Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20003 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика / А.А. Амиршадян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 3-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859684605842423808 |
|---|---|
| author | Амиршадян, А.А. |
| author_facet | Амиршадян, А.А. |
| citation_txt | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика / А.А. Амиршадян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 3-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-11-30T21:21:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.984 + 519.210
c©2008. А.А.Амиршадян
ГРАНИЧНАЯ ИНДЕФИНИТНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ
ПРОБЛЕМА НЕВАНЛИННЫ-ПИКА
Построена операторная модель для граничной индефинитной интерполяционной задачи Неван-
линны-Пика. Установлено взаимно однозначное соответствие между множеством решений задачи
и множеством соответствующих минимальных самосопряженных расширений модельного опера-
тора. В случае невырожденной матрицы Пика получено полное описание всех решений интерпо-
ляционной задачи.
Введение. В 1929 году Р.Неванлинна [20] рассмотрел задачу, получившую на-
звание граничной интерполяционной задачи. Такая задача характеризуется тем, что
точки интерполяции принадлежат вещественной оси. Матричная дефинитная гра-
ничная задача Неванлинны-Пика была исследована в [9] методами В.П.Потапова. В
работе [12] использовался операторный подход к скалярной дефинитной граничной
задаче, имеющей не более счетного числа точек интерполяции на вещественной оси.
Метод В.П.Потапова применялся в работе [8] при рассмотрении скалярной гранич-
ной задачи в классе Стилтьеса. Индефинитная скалярная задача была рассмотрена
в [15]. В настоящей работе в рамках операторного подхода изучается граничная ин-
дефинитная задача в классах обобщенных неванлинновских матриц-функций. Ана-
логичная задача рассматривалась в [1], [3], [13].
Напомним необходимые определения и теоремы.
Определение 1. [17] Пара n × n-матриц-функций {φ(λ), ψ(λ)} голоморфных в
области O = Ō ⊂ C \ R называется обобщенной неванлинновской парой (или Nκ-
парой, κ ∈ Z+) если: 1) ядро Nφψ(λ, µ) =
φ(µ)∗ψ(λ)− ψ(µ)∗φ(λ)
λ− µ̄
имеет κ отрица-
тельных квадратов в O; 2) ψ(λ̄)∗φ(λ) − φ(λ̄)∗ψ(λ) = 0 ∀λ ∈ O; 3) rank {φ(λ)∗ :
ψ(λ)∗} = n ∀λ ∈ O. Каждая Nκ-пара {φ, ψ} допускает голоморфное продолже-
ние в C \ R. Две пары {φ, ψ} и {φ1, ψ1} называются эквивалентными, если φ1(λ) =
φ(λ)H(λ), ψ1(λ) = ψ(λ)H(λ) для некоторой голоморфной и обратимой в O матри-
цы функции H(λ). Множество классов эквивалентности Nκ-пар обозначим Ñκ(Cn).
Если τ(λ) = {φ(λ), ψ(λ)} ∈ Ñκ(Cn) и φ(λ) – обратима, мы будем писать ψ(λ)φ(λ)−1 ∈
Nκ(Cn). Будем рассматривать Nκ(Cn) как подмножество Ñκ(Cn), отождествляя мат-
рицу H(λ) с линейным отношением {I, H(λ)}.
Пусть S – замкнутое симметрическое линейное отношение в пространстве Понт-
рягина (Π, [·, ·]), ρ̂(S) – множество точек регулярного типа отношения S и пусть
дефектные подпространства Nλ = ker(S+ − λ) (λ ∈ ρ̂(S)) конечномерны, а индексы
дефекта n±(S) = dimNλ (λ ∈ C± ∩ ρ̂(S)) равны, n+(S) = n−(S) = n(S) < ∞. На-
помним (см. [7] и [5], [11] в случае κ = 0) определение граничной тройки и функции
Вейля симметрического отношения S, использующиеся при описании обобщенных
3
А.А.Амиршадян
резольвент линейного отношения S.
Определение 2. Совокупность {Cn, Γ0,Γ1}, где Γ0, Γ1 – линейные отображения
из S+ в Cn называется граничной тройкой линейного отношения S+, если отоб-
ражение Γ : f̂ → {Γ0f̂ , Γ1f̂} из S+ в Cn ⊕ Cn является сюръективным и для всех
f̂ = {f, f ′}, ĝ = {g, g′} ∈ S+ выполняется соотношение: [f ′, g]−[f, g′] = (Γ1f̂ , Γ0ĝ)Cn−
(Γ0f̂ , Γ1ĝ)Cn .
Каждой граничной тройкой порождаются два самосопряженных расширения
симметрического отношения S: Aj := ker Γj (j = 0, 1). Матрица-функция M(λ),
определенная соотношением M(λ)Γ0f̂λ = Γ1f̂λ (λ ∈ ρ(A0), f̂λ ∈ N̂λ) называется
функцией Вейля симметрического отношения S, соответствующей граничной трой-
ке {Cn,Γ0, Γ1}. Функция Вейля M(λ) корректно определена и голоморфна в ρ(Ã).
Пусть Ã – самосопряженное расширение симметрического отношения S, действую-
щее в пространстве Понтрягина Π̃ = Π[+]Π′, PΠ – ортогональный проектор из Π̃ на
Π, κ = κ−(Π). Оператор-функция Rλ = PΠ(Ã−λ)−1|Π (λ ∈ ρ(Ã)) называется обоб-
щенной резольвентой отношения S. Расширение Ã = Ã+ отношения S в простран-
стве Π̃ (⊇ Π) называется минимальным, если: span{Π+(Ã−λ)−1Π | λ ∈ ρ(Ã)} = Π̃ .
Если κ−(Π̃) = κ̃ (κ̃ ∈ Z+), то обобщенную резольвенту Rλ относят к классу Ωκ̃(S).
Расширение Ã называют регулярным, если выполнено условие минимальности и
κ−(Π̃) = κ.
Теорема 1. ([6], [17] ) Пусть S – замкнутое симметрическое линейное отно-
шение в пространстве Понтрягина Π, κ = κ−(Π) и {Cn, Γ0, Γ1} – граничная тройка
отношения S+, M(λ) – соответствующая функция Вейля, λ0 ∈ ρ(A0)∩C+. Тогда:
1) формула Rλ = (A0−λ)−1−γ(λ)φ(λ)(ψ(λ)+M(λ)φ(λ))−1γ(λ̄)+ (λ ∈ ρ(A0)∩ρ(Ã))
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством обобщен-
ных резольвент Rλ ∈ Ωκ̃(S), голоморфных в точке λ0 и множеством Nκ̃−κ-пар
{φ, ψ} голоморфных в точке λ0 и таких, что det(ψ(λ0) + M(λ0)φ(λ0)) 6= 0.
В дальнейшем нам потребуется следующая лемма
Лемма 1. ([4]) Пусть Ã – самосопряженное отношение в пространстве Понт-
рягина Π̃, векторы f, g принадлежат R(Ã− z0) для некоторого z0 ∈ R \ σp(Ã). То-
гда существуют некасательные пределы lim
λ
∧−→z0
((Ã− z)−1f, g) = ((Ã− z0)−1f, g),
lim
λ
∧−→z0
((Ã− z)−1f, (Ã− z)−1g) = ((Ã− z0)−1f, (Ã− z0)−1g).
Теорема 2.([1], [3]) Пусть {H,Γ0, Γ1} – граничная тройка линейного отноше-
ния S+. Если Ã = Ã+ – минимальное самосопряженное расширение оператора S,
действующее в пространстве Понтрягина Π̃ ⊇ Π (κ̃ := κ−(Π̃) ≥ κ := κ−(Π)), и
{φ(λ), ψ(λ)}–Nκ̃−κ – пара, соответствующая расширению Ã в силу формулы обоб-
щенных рзольвент. Тогда: 1) равномерная положительность (отрицательность)
подпространства ker(Ã − λ0) (λ0 6∈ σp(A0)) эквивалентна условию lim
λ
∧−→λ0
(λ −
λ0)φ(λ)(M(λ)φ(λ)+ψ(λ))−1 ≥ 0 (≤ 0). 2) Если mulA0 = {0}, то равномерная поло-
жительность (отрицательность) подпространства mul à эквивалентна условию
lim
λ
∧−→∞
φ(λ)(M(λ)φ(λ) + ψ(λ))−1
λ
≥ 0 (≤ 0). 3) Условие λ0 /∈ σp(Ã) эквивалентно
4
Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика
условию lim
λ
∧−→λ0
(λ− λ0)φ(λ)(M(λ)φ(λ) + ψ(λ))−1 = 0.
Замечание 1. В том случае, когда Π, Π̃ – гильбертовы пространства и λ0 = ∞,
аналогичный вариант равенства из пункта 3) имеется в [11]. Как было показано в
[10], если λ0 ∈ ρ(A0)∩R, M ′(λ0) > 0, то для любого регулярного самосопряженного
расширения Ã подпространства ker(Ã−λ0) являются равномерно положительными.
1. Постановка задачи и модельный оператор. Рассматривается следую-
щая граничная интерполяционная Задача ∂IPκ. Даны вещественные точки zj и
симметрические матрицы Wj , Dj (j = 1, .., m). Требуется найти матрицу-функцию
F (λ) ∈ Nκ(Cn), удовлетворяющую условиям:
lim
λ
∧−→zj
F (λ) = Wj (j = 1, ..,m) (1)
lim
λ
∧−→zj
F ′(λ) ≤ Dj (j = 1, .., m). (2)
Выше предполагается, что некасательные пределы в (1), (2) существуют.
При получении основной теоремы используется функциональная модель
М.Г.Крейна, Г.Лангера [18] и Б.С-Надя, А.Кораньи [19]. В скалярном случае такая
модель была использована в [12] при исследовании граничной интерполяционной
задачи в классах Неванлинны. С данными задачи свяжем блочную матрицу Пика
P = (Pjk)m
j,k=1, имеющую вид
Pjk =
{
Wj−Wk
zj−zk
, при j 6= k;
Dj , приj = k.
В дальнейшем считаем, что detP 6= 0. В качестве модельного пространства, рас-
смотрим пространство функций Π
Π = {f(t) |f(t) =
m∑
j=1
εjfj =
m∑
j=1
t− z1
t− zj
fj , fj ∈ Cn, t ∈ C\{z1, .., zm}}
со скалярным произведением [f(t), g(t)] =
∑m
j,k g∗kPjkfj . Пространство Π являет-
ся пространством Понтрягина и κ−(Π) = sq−(P). В дальнейшем будем исполь-
зовать следующие обозначения: V = (In, ..., In), W = (W1, ..., Wm), Φz = ZP +
V ∗W − zP, Z = diag(z1In, ..., zmIn) (V,W ∈ [Cmn, Cn], Z ∈ [Cmn, Cmn]). Матри-
цы V, W, Z называются данными Задачи ∂IPκ. Непосредственно проверяется, что
справедливо уравнение Ляпунова PZ − Z∗P = V ∗W − W ∗V. На подпространстве
D(S) = {f(t)|∑m
j=1 fj = 0} определим модельный оператор S умножения на неза-
висимую переменную Sf(t) = tf(t) =
∑m
j=1 εjzjfj . Оператор S является неплотно
заданным симметрическим оператором с индексами дефекта n+(S) = n−(S) = n.
Пусть G – оператор вложения Cn в Π, то есть Gf := ε1f (f ∈ Cn).
Следующая теорема является основной. Она устанавливает биективное соответ-
ствие между всеми решениями Задачи ∂IPκ и соответствующими минимальными
самосопряженными расширениями модельного оператора S.
5
А.А.Амиршадян
Теорема 3. Пусть матрица P невырождена и sq−(P) ≤ κ. Для того, чтобы
функция F (λ) являлась решением Задачи ∂IPκ, необходимо и достаточно, чтобы
она имела вид
F (λ) = W1 + (λ− z1)G+(I + (λ− z1)(Ã− λ)−1)G, (3)
где Ã (= Ã+) – произвольное минимальное самосопряженное расширение оператора
S, действующее в пространстве Понтрягина Π̃ ⊇ Π (κ−(Π̃) = κ), такое что под-
пространства ker(Ã− zj) являются равномерно положительными (j = 1, ..,m).
Доказательство. Достаточность. Пусть Ã – произвольное минимальное са-
мосопряженное расширение оператора S, такое что подпространства ker(Ã − zj)
(j = 1, .., m) равномерно положительны. Покажем, что функция вида (3) являет-
ся решением Задачи ∂IPκ. Проверим выполнение интерполяционных условий для
точек zj (j = 2, ..., m). Так как подпространство Π̃′′j := ker(Ã− zj) равномерно поло-
жительно, то пространство Π̃ и линейное отношение Ã можно представить в виде
Π̃ = Π̃′j [+]Π̃′′j , Ã = Ã′j [+]Ã′′j .
В соответствии с таким разложением пространства Π̃ линейное отношение (Ã − z)
(z ∈ ρ(Ã)) имеет вид:
(Ã− z) = diag(Ã′j − z, Ã′′j − z).
Если P ′
j , P ′′
j – ортопроекторы на Π̃′j , Π̃′′j , то из последнего разложения следует
P ′
j(Ã− z)−1f1 = (Ã′j − z)−1f1, ∀f1 ∈ Π̃′j .
Для любого j (= 2, ...m) верно равенство
(Ã− zj)(εj − ε1)f = (zj − z1)ε1f,
что означает (zj−z1)ε1f ∈ R(Ã′j−zj) и, следовательно, ε1f ∈ Π̃′j . Так как (Ã′j−zj)−1
оператор, то имеем
(I + (zj − z1)(Ã′j − zj)−1)ε1f = P ′
jε1f. (4)
Теперь выражение (F (z)f, g) для f, g ∈ Cn примет вид
(F (z)f, g) = (W1f, g) + (z − z1)[(I + (z − z1)(Ã− z)−1)Gf,Gg]
Π̃
=
(W1f, g) + (z − z1)[P ′
j(I + (z − z1)(Ã− z)−1)Gf,Gg]
Π̃′j
=
(W1f, g) + (z − z1)[(I + (z − z1)(Ã′j − z)−1)Gf, Gg]
Π̃′j
. (5)
Устремляя в последнем равенстве z
∧−→ zj , получим:
lim
z
∧−→zj
(F (z)f, g) = (W1f, g) + (zj − z1)(D1f, g) + (zj − z1)[P ′
j(εj − ε1)f, Gg] =
(W1f, g) + (zj − z1)(D1f, g) + (zj − z1)[εjf, ε1g]− (zj − z1)[ε1f, ε1g] =
(W1f, g) + (zj − z1)
(
Wj −W1
zj − z1
f, g
)
= (Wjf, g).
6
Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика
Из тождества
(
F (z)− F (λ)∗
z − λ̄
f, f
)
= [(I + (z − z1)(Ã− z)−1)Gf, (I + (λ− z1)(Ã− λ)−1)Gf ], (6)
проверяемого непосредственно, формул (4), (5) и равномерной положительности
подпространства ker(Ã− zj) следует
lim
z,λ
∧−→zj
(
F (z)− F (λ)∗
z − λ̄
f, f
)
=
lim
z,λ
∧−→zj
[(I + (z − z1)(Ã′j − z)−1)Gf, (I + (λ− z1)(Ã′j − λ)−1)Gf ]
Π̃′j
=
[P ′
jεjf, P ′
jεjf ] ≤ [P ′
jεjf, P ′
jεjf ] + [P ′′
j εjf, P ′′
j εjf ] = [εjf, εjf ] = (Djf, f).
Таким образом, мы показали что выполняются интерполяционные условия для то-
чек zj (j = 2, ..., m). Проверим интерполяционные условия в точке z1. Рассмотрим
разложение пространства Π̃ вида Π̃ = Π̃′1[+]Π̃′′1, где Π̃′′1 = ker(Ã − z1). Равенство
(Ã − z1)(ε1 − ε2)f = (z1 − z2)ε2f, означает, что ε2f ∈ R(Ã − z1) = R(Ã1 − z) ∈ Π̃′1.
Таким образом, верно (I + (z1 − z2)(Ã′1 − z1)−1)ε2f = P ′
1ε1f. Используя равенство:
(I + (λ− z1)(Ã− λ)−1)ε1f = (I + (λ− zj)(Ã− λ)−1)εjf, (7)
перепишем выражение (F (z)f, g), f, g ∈ Cn в виде
(F (z)f, g) = (W1f, g) + (z − z1)[(I + (z − z1)(Ã− z)−1)Gf,Gg] =
(W1f, g) + (z − z1)[(I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f, P ′
1ε1g + P ′′
1 ε1g] =
(W1f, g) + (z − z1)[P ′
1(I + (z − z2)(Ã− z)−1)ε2f, ε1g]+
(z − z1)[P ′′
1 (I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f, ε1g] =
(W1f, g) + (z − z1)[(I + (z − z2)(Ã′1 − z)−1)ε2f, ε1g]+
(z − z1)[(I + (z − z1)(Ã′′1 − z)−1)P ′′
1 ε1f, ε1g].
Так как последнее слагаемое обращается в 0, то получаем lim
z
∧−→z1
(F (z)f, g) =
(W1f, g). Для завершения доказательства, воспользуемся равенством (6) и соотно-
шением (7):
(
F (z)− F (z)∗
z − z̄
f, g
)
= [(I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f, (I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f ] =
[P ′
1(I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f, P ′
1(I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f ]+
[P ′′
1 (I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f, P ′′
1 (I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f ] =
[P ′
1(I + (z − z2)(Ã− z)−1)ε2f, P ′
1(I + (z − z2)(Ã− z)−1)ε2f ]+
[P ′′
1 (I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f, P ′′
1 (I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f ]. (8)
7
А.А.Амиршадян
Так как для для всех z ∈ ρ(Ã) верно
P ′′
1 (I + (z − z1)(Ã− z)−1)ε1f = (I + (z − z1)(Ã′′1 − z)−1)P ′′
1 ε1f = 0,
то равенство (8) принимает вид
(
F (z)− F (z)∗
z − z̄
f, g
)
= [P ′
1(I + (z − z2)(Ã− z)−1)ε2f, P ′
1(I + (z − z2)(Ã− z)−1)ε2f ].
В последнем соотношении, устремляя z
∧−→ z1, получаем
lim
z
∧−→z1
(F ′(z)f, f) = (P ′
1ε1f, P ′
1ε1f) ≤
(P ′
1ε1f, P ′
1ε1f) + (P ′′
1 ε1f, P ′′
1 ε1f) = (ε1f, ε1f) = (D1f, f).
Таким образом, интерполяционные условия (1), (2) выполняются во всех точках
zj (j = 1, ..., m). Равенство (6) влечет, что F (λ) ∈ Nκ(Cn).
Необходимость. Пусть F (z) является решением Задачи ∂IPκ. Как функция клас-
са Nκ она допускает представление [17]:
F (z) = F (λ̄) + (z − λ̄)Γ+(I + (z − λ)(A− z)−1)Γ, (z, λ ∈ ρ(A)), (9)
где A – самосопряженное отношение в некотором пространстве Понтрягина ΠA,
κ−(ΠA) ≥ κ, Γ – отображение из Cn в ΠA. Представление (9) можно выбрать Γ –
минимальным, то есть считать, что выполняется условие:
ΠA = span {Γzf := (I + (z − λ)(A− z)−1)Γf | f ∈ Cn, z ∈ ρ(A)}. (10)
При выполнении (10) верно равенство κ−(ΠA) = κ. Из тождества Гильберта следует
равенство
[Γzf,Γλg]ΠA
=
(F (z)f, g)− (F (λ)∗f, g)
z − λ̄
(λ, z ∈ ρ(A), f, g ∈ Cn).
Так как элементы Γλf , λ ∈ ρ(A) плотны в ΠA и F (z) является решением задачи,
то из существования пределов (1), (2) следует, что существуют пределы Γzjf :=
lim
λ
∧−→zj
Γzf (j = 1, ...,m) и, следовательно,
[Γzjf, Γzjg]ΠA
= lim
λ
∧−→zj
(F ′(z)f, g) ≤ (Djf, g), (f, g ∈ Cn);
[Γzjf, Γzk
g]ΠA
= lim
z
∧−→zjλ
∧−→zk
(F (z)f, g)− (F (λ)∗f, g)
z − λ̄
=
(Wjf, g)− (Wkf, g)
zj − zk
= (Pjkf, g), (f, g ∈ Cn).
8
Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика
Построим вложение модельного пространства Π в некоторое пространство Понтря-
гина, связанное с представлением (9). Для каждого j (= 1, ..., m) определим подпро-
странства Hj следующим образом
Hj := {f ∈ Cn | [Γzjf,Γzjf]ΠA
< (Djf, f)} (j = 1, ..,m). (11)
Пусть Pj – ортопроектор из Cn на Hj , Zs – совокупность тех точек zj , для кото-
рых Hj 6= {0}. С каждым zj ∈ Zs свяжем символ ej и рассмотрим пространство E
формальных сумм вида
∑
j ejPjfj , fj ∈ Cn. Определим в E скалярное произведение
[ejPjfj , ekPkfk] := 0, j 6= k
[ejPjfj , ejPjfj ] := (Djfj , fj)Cn − [Γzjfj ,Γzjfj ]ΠA
, j = k.
Пространство E в силу (11) является пространством Гильберта. Теперь, в простран-
стве Π̃A := ΠA ⊕ E рассмотрим линейное отношение
à := A[+]AE = A [+] { {
∑
j
ejPjfj ,
∑
j
ejzjPjfj} | zj ∈ Zs}. (12)
Линейное отношение Ã является самосопряженным в Π̃A. Определим отображение
Γ̃zj из Cn в Π̃A = ΠA ⊕ E равенством
Γ̃zjf :=
{
Γzjf, если zj 6∈ Zs
Γzjf + ejPjf, если zj ∈ Zs.
На подпространстве P := span {Γ̃zjfj | fj ∈ Cn, j = 1, ..,m} определим симметриче-
ский оператор SA
SA = {{
m∑
j=1
Γ̃zjfj ,
m∑
j=1
zjΓ̃zjfj} |
m∑
j=1
fj = 0}.
Оператор SA является симметрическим и унитарно эквивалентным модельному опе-
ратору S. Для доказательства унитарной эквивалентности достаточно рассмотреть
унитарное отображение U из модельного пространства Π в пространство Π̃A, опреде-
ляемое равенствами Uεjfj := Γ̃zjfj (fj ∈ Cn, j = 1, ...m). Покажем, что Ã является
расширением симметрического оператора SA. Так как
Γzf = (I + (z − λ)(A− z)−1)Γf,
то для всех z ∈ ρ(A), и любого f ∈ Cn : {(Γz − Γ)f, (zΓz − λΓ)f} ∈ A ⊂ Ã. Отсюда,
в силу замкнутости линейного отношения A следует, что
{(Γ̃zj − Γ)f, (zjΓ̃zj − λΓ)f} ∈ Ã (j = 1, ..., m). (13)
9
А.А.Амиршадян
Покажем, что Ã является минимальным расширением оператора SA. Для дока-
зательства минимальности необходимо показать, что
Π̃A = span {Γ̃zjf, (Ã− z)−1Γ̃zjh | z ∈ ρ(Ã), f, h ∈ Cn, j = 1, .., m}. (14)
Достаточно показать, что справедливо вложение
Π̃A ⊆ span {Γ̃zjf, (Ã− z)−1Γ̃zjh | z ∈ ρ(Ã), f, h ∈ Cn, j = 1, .., m}.
Из (13) выводим {(Γ̃zj − Γz)f, (zjΓ̃zj − zΓz)f} ∈ Ã, что эквивалентно равенству:
Γzf = (z−zj)(Ã−z)−1Γ̃zjf +Γ̃zjf. Последнее означает, что элементы Γzf принадле-
жат правой части (14). Тогда, в силу Γ – минимальности отношения A пространство
ΠA принадлежит правой части (14). Из равенств: ejPjf = Γ̃zjf−Γzjf, zj ∈ Zs, сразу
следует, что пространство E принадлежит правой части (14). В силу построенного
унитарного отображения U, имеем Uε1f = Γ̃z1f , и функцию F (z) можем записать в
виде:
(F (z)f, f) = (W1f, f) + (z − z1)[(I + (z − z1)(Ã− z)−1)Γ̃z1f, Γ̃z1f ]
Π̃A
.
Покажем, что подпространства ker(Ã− zj) (j = 1, .., m) являются равномерно поло-
жительными. Так как функция F (z) является решением задачи, то существуют пре-
делы Γzjf для всех f ∈ Cn, j = 1, . . . , m и
{
Γzf − Γzjf, (z − zj)Γzf
} ∈ (A− zj), (j =
1, ..., m). Таким образом, ran(A − zj) содержит все векторы вида Γzf , z ∈ ρ(A),
f ∈ Cn и, в силу Γ-минимальности расширения A, линеал ran(A − zj) плотен в
ΠA. Поэтому подпространства ker(A − zj) тривиальны и, в силу (12), подпростран-
ства ker(Ã − zj) = ker(AE − zj) являются равномерно положительными для всех
j = 1, . . . , m. ¤
2. Сопряженное отношение S+ и граничная тройка. В модельном про-
странстве Π рассмотрим операторы P(z) и P(∞) отображающие функцию f(t) =∑
j εj(t)fj ∈ Π в P(z)f(t) := f(z) =
∑
j εj(z)fj , z ∈ C\{z1, ..., zm}, и P(∞)f(t) :=∑
j fj , соответственно. Положим P1f(t) :=
∑
j Wjfj , и определим самосопряжен-
ное расширение A0 оператора S формулой A0f(t) :=
∑
j εjzjfj + P+
1 P(∞)f(t) =∑
j εj(t)zjfj + P+
1 (
∑
j fj).
Предложение 1. Пусть матрица Пика P невырождена. 1) Сопряженное отноше-
ние S+ оператора S можно представить в виде:
S+ = {f(t), A0f(t) + P(∞)+l | f(t) ∈ Π, l ∈ Cn}.
2) Совокупность {Cn, Γ1, Γ0}, определенная для f̂ = {f(t), A0f(t) + P(∞)+l} ∈ S+
соотношениями:
Γ1f̂(t) := P(∞)f(t) =
∑
j
fj , Γ0f̂(t) := −l, (15)
образует граничную тройку отношения S+.
10
Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика
Рассмотрим разложение пространства Π вида:
Π = Ran(S − z)+̇Cn, z ∈ C \ {z2, ..., zm}.
Заметим, что множество C \ {z2, ..., zm} является множеством L(= Cn) – регуляр-
ных точек оператора S. В качестве косого проектора из Π на Cn возьмем оператор
P(z). Определим оператор-функцию Q(z)f(t) := G+(S − z)−1(I − P(z))f(t), z ∈
C \ {z2, ..., zm}.
Теорема 4. Пусть подпространство L = Cn ⊂ Π выбрано в качестве масштаб-
ного подпространства. Тогда для z ∈ C \ {z2, ..., zm}:
1. P(∞) = V, P1 = W, G+ = (In, 0, ..., 0)P =
∑
j Pj1,
P(z) = −(z − z1)V (Z − z)−1, Q(z) = [(In, 0..., 0)P− P11V ](Z − z)−1.
2. Элементы Wij(z) (i, j = 1, 2) L-резольвентной матрицы W (z), соответству-
ющей граничной тройке (15), имеют вид
W11(z) = P11 − [(In, 0, ..., 0)P− P11V ](Z − z)−1P−1W ∗,
W12(z) = −[(In, 0, ..., 0)P− P11V ](Z − z)−1P−1V ∗,
W21(z) = (z1 − z)[I + V (Z − z)−1P−1W ∗],
W22(z) = (z1 − z)V (Z − z)−1P−1V ∗. (16)
3. Функция Вейля M(z) и её производная M ′(z) соответственно равны:
M(z) = V (ZP + V ∗W − zP)−1V ∗ = V Φ−1
z V ∗, M ′(z) = V Φ−1
z PΦ−1
z V ∗. (17)
3. Описание решений. Определим матрицу решений Ω(λ) :
Ω(λ) = (Ωij(λ))2i,j=1 = I2n +
(
W
V
)
(Z − λ)−1 P−1 (−V ∗,W ∗). (18)
Вид матрицы решений (18) для задачи ∂IPκ совпадает с хорошо известным видом
матрицы решений классической интерполяционной проблемы Неванлинны-Пика [14].
Используя формулу для описания L – резольвент (см.[14]), получаем следующую
теорему.
Теорема 5. Пусть sq−(P) = κ, detΦzj 6= 0 (j=1,..,m). Тогда формула
F (λ) = (Ω12(λ)ψ(λ)− Ω11(λ)φ(λ))(Ω22(λ)ψ(λ)− Ω21(λ)φ(λ))−1 (19)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством решений
задачи ∂IPκ̃ и множеством Nκ̃−κ-пар {φ(λ), ψ(λ)}, голоморфных в точках zj (j =
1, ..., m) и таких что
det(Ω22(z)ψ(z)− Ω21(z)φ(z)) 6≡ 0
11
А.А.Амиршадян
lim
λ
∧−→zj
(λ− zj)φ(λ)(V Φ−1
λ V ∗φ(λ) + ψ(λ))−1 ≥ 0 (j = 1, ..,m). (20)
Доказательство. Учитывая вид (3) функции-решения, достаточно применить
формулу, описывающую множество L – резольвент
F (λ) = (Ω̃11(λ)ψ(λ) + Ω̃12(λ)ϕ(λ))(Ω̃21(λ)ψ(λ) + Ω̃22(λ)ϕ(λ))−1,
где
Ω̃11(λ) = (λ− z1)2W11(λ) + ((λ− z1)P11 + W1)W21(λ),
Ω̃12(λ) = (λ− z1)2W12(λ) + ((λ− z1)P11 + W1)W22(λ),
Ω̃21(λ) = W21(λ), Ω̃22(λ) = W22λ.
Вид Ω̃21(λ), Ω̃22(λ) установлен в (16). Найдем вид Ω̃11(λ), Ω̃12(λ). Предварительно
докажем тождества
[(W1, ..., W1)− (z1 − z)(P11, ..., P1m)](Z − z)−1P−1W ∗ = −W1 + W (Z − z)−1P−1W ∗,
[(W1, ..., W1)− (z1 − z)(P11, ..., P1m)](Z − z)−1P−1V ∗ = −In + W (Z − z)−1P−1V ∗.
(21)
Действительно, так как
[(W1, ..., W1)− (W1, ...,Wm)− (z1 − z)(P11, ..., P1m)](Z − z)−1P−1W ∗ =
− (P11,
W2 −W1
z2 − z1
, ...,
Wm −W1
zm − z1
)P−1W ∗ = −(In, 0, ..., 0)W ∗ = −W1.
Аналогично проверяется равенство (21).
[(W1, ..., W1)− (W1, ..., Wm)− (z1 − z)(P11, ..., P1m)](Z − z)−1P−1V ∗ =
− (P11,
W2 −W1
z2 − z1
, ...,
Wm −W1
zm − z1
)P−1V ∗ = −(In, 0, ..., 0)V ∗ = −In.
Теперь получаем:
Ω̃11(λ) = (λ− z1)2W11(λ) + ((λ− z1)P11 + W1)W21(λ) =
(λ− z1)2(P11 −Q(λ)P−1W ∗) + ((λ− z1)P11 + W1)(z1 − λ)(I + V (Z − λ)−1P−1W ∗) =
(λ− z1)2(P11 − ((In, 0, 0, ..., 0)P− P11V )(Z − λ)−1P−1W ∗)+
((λ− z1)P11 + W1)(z1 − λ)I + ((λ− z1)P11 + W1)(z1 − λ)V (Z − λ)−1P−1W ∗ =
(z1 − λ)2P11 − (z1 − λ)2((In, 0, ..., 0)P− P11V )(Z − λ)−1P−1W ∗ − (z1 − λ)2P11+
W1(z1 − λ)− (z1 − λ)2P11V (Z − λ)−1P−1W ∗ + (z1 − λ)W1V (Z − λ)−1P−1W ∗ =
(z1 − λ)(W1V − (z1 − λ)(In, 0, ..., 0)P)(Z − λ)−1P−1W ∗ + (z1 − λ)W1 =
(z1 − λ)(−W1 + W (Z − λ)−1P−1W ∗) + (z1 − λ)W1 = (z1 − λ)W (Z − λ)−1P−1W ∗.
12
Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика
Найдем элемент Ω̃12(λ)
Ω̃12(λ) = (z1 − λ)2W12(λ) + (W1 − (z1 − λ)P11)W22(λ) =
− (z1 − λ)2((In, 0, ..., 0)P− P11V )(Z − λ)−1P−1V ∗+
(z1 − λ)W1V (Z − λ)−1P−1V ∗ − (z1 − λ)2P11V (Z − λ)−1P−1V ∗ =
(z1 − λ)((W1, W1, ..., W1)− (z1 − λ)(P11, ..., P1m))(Z − λ)−1P−1V ∗ =
(z1 − λ)(−I + W (Z − λ)−1P−1V ∗) = −(z1 − λ)(I −W (Z − λ)−1P−1V ∗).
Для доказательства формулы (19) достаточно заметить, что
Ω̃(λ) = (Ω̃ij(λ))2i,j=1 = Ω(λ)
(
0 −In
In 0
)
.
Условия (20) непосредственно получаются из Теоремы2 и вида (17) функции Вейля
M(λ). Заметим, что условие detΦz 6= 0 эквивалентно условию z ∈ ρ(A0). Действи-
тельно, легко находим матричный вид оператора A0 = Z +P−1W ∗V и утверждение
сразу следует из равенства (A0 − z)−1 = Φ−1
z P. ¤
Замечание 2. В случае, когда и M ′(zj) = V Φ−1
zj
PΦ−1
zj
V ∗ > 0, j = 1, ...,m усло-
вия (20) выполняются автоматически.
1. Амиршадян А.А. Граничная интерполяционная задача в классах обобщенных неванлинновских
матриц-функций // Математические заметки. – 2003. – 73, вып.2. – С.173-178.
2. Амиршадян А.А. Интерполяция на спектре в классе обобщенных неванлинновских функций //
Труды ИПММ НАН Украины. – 2000. – вып.5. – С.3-10.
3. Амиршадян А.А. Граничная интерполяционная задача в классах обобщенных неванлинновских
матриц-функций // Труды ИПММ НАН Украины. – 2002. – вып.7. – С.9-16.
4. Амиршадян А.А. Интерполяционные задачи в обобщенных классах Неванлинны и Стилтьеса //
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. – Донецк-
2006.
5. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравне-
ний. – Киев, Наук. Думка, 1984. – 284с.
6. Деркач В.О. Про розширення нещiльно заданого eрмiтова оператора у просторi Крейна //
Доповiдi АН Укр. РСР, Сер. А. – 1988. – №10. – С.15-19.
7. Деркач В.А. Об обобщенных резольвентах одного класса эрмитовых операторов в пространстве
Крейна // Докл. АН СССР. – 1991. – 317, №4. – С.807-812.
8. Кацнельсон В.Э. Интерполяция "на спектре" в классе функций Стилтьеса (случай одного узла)
// Функциональный анализ и прикладная математика. Сборник научных трудов. Киев : Наук.
Думка – 1982. – C.33-42.
9. Ковалишина И.В.Кратная граничная интерполяционная задача для сжимающих матриц-функ-
ций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. – 1989. – №51 – С.38-55.
10. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова
оператора в пространстве Πκ // Функциональный анализ и его приложения. – 1971. – Т.5, вып.2.
– C.59-71, вып.3, C.54-69.
11. Маламуд М.М. О формуле обобщенных резольвент неплотно заданного эрмитова оператора //
Укр. мат. журн. –1992. – 44, №12. – С.1658-1688.
12. Alpay D., Dijksma A., Langer H. Classical Nevanlinna-Pick interpolation with real interpolation
points // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2000. – 115. – P.1–50.
13
А.А.Амиршадян
13. Amirshadyan A.A. Boundary indefinite Nevanlinna-Pick interpolation problem // International con-
ference "Modern analysis and applications" (MAA 2007), Odessa. – 2007. – P.6-7.
14. Amirshadyan A.A., Derkach V.A. Interpolation in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes // J.
of Operator Theory. – 1999. – V.42. – P.145-188.
15. Ball J.A., Helton J.W. Interpolation problems of Pick-Nevanlinna and Loewner types for meromorphic
matrix functions // Integr. Equat. and Operator Theory. – 1986. – 9. – P.155-203.
16. Derkach V.A. On generalized resolvents of Hermitian relations in Krĕın spaces // J. of Math. Sci. –
1999. – Vol.97, No5. – P.4420-4460.
17. Dijksma A., Langer H., de Snoo H. Eigenvalues and pole functions of Hamiltonian system with
eigenvalue depending boundary conditions // Math.Nachr. – 1993. – V.161. – P.107-154.
18. Krĕın M.G., Langer H. Über die Q-functions eines π-hermiteschen Operators im Raume Πκ // Acta
Sci. Math. (Szeged). – 1973. – 34. – P.191-230.
19. Nagy Sz., Koranyi A. Relations d’un probleme de Nevanlinna et Pick avec la theorie des operateurs
de l’espace hilbertien // Acta Math. Acad. Hung. – 1956. – V.7. – P.295-303.
20. Nevanlinna R. Über berchränkte Funktionen // Ann. Akad. Scient. Fenn. – 1929. – 32, no.7.
Донецкий национальный ун-т
amirshadyan@mail.ru
Получено 15.11.08
14
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20003 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T21:21:14Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Амиршадян, А.А. 2011-05-20T07:20:12Z 2011-05-20T07:20:12Z 2008 Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика / А.А. Амиршадян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 3-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20003 517.984 + 519.210 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика Article published earlier |
| spellingShingle | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика Амиршадян, А.А. |
| title | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика |
| title_full | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика |
| title_fullStr | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика |
| title_full_unstemmed | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика |
| title_short | Граничная индефинитная интерполяционная проблема Неванлинны-Пика |
| title_sort | граничная индефинитная интерполяционная проблема неванлинны-пика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20003 |
| work_keys_str_mv | AT amiršadânaa graničnaâindefinitnaâinterpolâcionnaâproblemanevanlinnypika |