Напівретракції дімоноїдів
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20008 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напівретракції дімоноїдів / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860001628765028352 |
|---|---|
| author | Жучок, А.В. |
| author_facet | Жучок, А.В. |
| citation_txt | Напівретракції дімоноїдів / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T16:36:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 512.533
c©2008. А.В. Жучок
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ДIМОНОЇДIВ
У роботi визначається i вивчається поняття напiвретракцiї дiмоноїду.
Вступ. Поняття “дiмоноїд” ввiв Джин Лодeй [1]. Дiмоноїдом називається алгеб-
ра з двома асоцiативними операцiями, що задовольняють деяким трьом аксiомам
(див. нижче). У випадку, коли цi операцiї спiвпадають, дiмоноїд перетворюється у
напiвгрупу. Першим результатом про дiмоноїди є описання вiльного дiмоноїду на
заданiй множинi. Iншим поняттям, що належить до теорiї напiвгруп, є поняття на-
пiвретракцiї [2] – перетворення з деякими природними властивостями, за допомогою
якого полегшується задача знаходження конгруенцiй напiвгруп. Деякi застосування
технiки напiвретракцiй напiвгруп використовувались в [2–6].
У данiй статтi визначається i вивчається поняття напiвретракцiї дiмоноїду, на-
водяться деякi застосування напiвретракцiй до вивчення конгруенцiй дiмоноїдiв.
Термiнологiя та позначення вiдповiдають прийнятим в [2].
Основнi поняття. Множина D з визначеними на нiй бiнарними асоцiативними
операцiями ≺ i Â, якi задовольняють умовам:
(x ≺ y) ≺ z = x ≺ (y  z) (1)
(x  y) ≺ z = x  (y ≺ z) (2)
(x ≺ y)  z = x  (y  z) (3)
для всiх x, y ∈ D, називається дiмоноїдом.
Елемент e ∈ D називають бар’єрною одиницею дiмоноїду D, якщо x ≺ e = x =
e  x для будь-якого x ∈ D.
Вiдзначимо, що на вiдмiну вiд моноїдiв дiмоноїд може мати необов’язково лише
одну бар’єрну одиницю.
Гомоморфiзмом дiмоноїдiв D та D
′ називається вiдображення f : D → D
′ таке,
що
(x ≺ y)f = xf ≺ yf, (x  y)f = xf  yf
для всiх x, y ∈ D.
Будь-який моноїд (M, ∗) є дiмоноїдом. Дiйсно, якщо для будь-яких m,n ∈ M
покласти m ≺ n = m ∗ n = m  n, то отримаємо дiмоноїд D = (M,≺, Â). Навпаки,
якщо дiмоноїд D має одиницю, то згiдно (2) ≺=Â, i ми отримуємо моноїд.
1. Загальнi властивостi напiвретракцiй.
1.1. Перетворення τ дiмоноїду D називатимемо лiвою напiвретракцiєю, якщо
(x ≺ y)τ = (xτ ≺ y)τ, (4)
(x  y)τ = (xτ  y)τ (5)
42
Напiвретракцiї дiмоноїдiв
при будь-яких x, y ∈ D. Якщо замiсть (4), (5) виконуються тотожностi
(x ≺ y)τ = (x ≺ yτ)τ, (6)
(x  y)τ = (x  yτ)τ, (7)
то говоритимемо про праву напiвретракцiю.
Якщо для перетворення τ дiмоноїду D виконуються тотожностi (4)–(7), то пере-
творення τ називатимемо (симетричною) напiвретракцiєю дiмоноїду D.
Нехай De – дiмоноїд, який мiстить принаймнi одну бар’єрну одиницю e.
Будь-яка лiва (права) напiвретракцiя τ дiмоноїду De є його iдемпотентним пе-
ретворенням. Дiйсно, якщо x ∈ De – довiльний елемент, то
xτ = (x ≺ e)τ = (xτ ≺ e)τ = (xτ)τ = xτ2.
Аналогiчно показується iдемпотентнiсть правої напiвретракцiї.
Характеристику iдемпотентних перетворень, якi є лiвими напiвретракцiями, дає
Лема. Iдемпотентне перетворення τ дiмоноїду D є його лiвою напiвретракцiєю
тодi й лише тодi, коли вiдношення ∇τ його рiвнозначностi є правою конгруенцiєю
цього дiмоноїду.
Доведення. Нехай iдемпотентне перетворення τ дiмоноїду D є його лiвою напiв-
ретракцiєю. Якщо (x; y) ∈ ∇τ , x, y ∈ D, то xτ = yτ , звiдки
xτ ≺ t = yτ ≺ t, xτ Â t = yτ Â t
для будь-якого t ∈ D. Дiючи на обидвi частини кожної з останнiх двох рiвностей
перетворенням τ , отримуємо
(xτ ≺ t)τ = (x ≺ t)τ = (yτ ≺ t)τ = (y ≺ t)τ,
(xτ  t)τ = (x  t)τ = (yτ  t)τ = (y  t)τ
згiдно з (4), (5) i, отже, (x ≺ t; y ≺ t) ∈ ∇τ , (x  t; y  t) ∈ ∇τ .
Нехай, навпаки, τ2 = τ i вiдношення рiвнозначностi∇τ є правою конгруенцiєю дi-
моноїду D. Тодi для будь-яких x, y ∈ D за першою умовою матимемо xτ2 = (xτ)τ =
xτ , звiдки (x, xτ) ∈ ∇τ , а за другою –
(x ≺ y; xτ ≺ y) ∈ ∇τ , (x  y; xτ  y) ∈ ∇τ .
З останнiх умов отримуємо, що
(x ≺ y)τ = (xτ ≺ y)τ, (x  y)τ = (xτ  y)τ.
Лему доведено.
1.2. У двоїстий спосiб доводиться
Лема. Iдемпотентне перетворення τ дiмоноїду D є його правою напiврет-
ракцiєю тодi й лише тодi, коли вiдношення ∇τ його рiвнозначностi є лiвою конг-
руенцiєю цього дiмоноїду.
43
А.В. Жучок
1.3. Нехай ω – довiльна права конгруенцiя дiмоноїду D, z ∈ D, [ω]z = {x ∈
D|(z; x) ∈ ω}. Якщо розглянути деяке фiксоване константне перетворення γz мно-
жини [ω]z (sγz = z для всiх s ∈ [ω]z) i покласти xγ = xγz ⇔ x ∈ [ω]z для всiх x ∈ D,
то отримаємо iдемпотентне перетворення множини D таке, що ∇γ = ω. Отже, має
мiсце
Лема. Для кожної правої конгруенцiї ω дiмоноїду D iснує його лiва напiврет-
ракцiя τ така, що ∇τ = ω.
1.4. У двоїстий спосiб отримуємо
Лема. Для кожної лiвої конгруенцiї ω дiмоноїду D iснує його права напiврет-
ракцiя τ така, що ∇τ = ω.
2. Регулярнiсть.
2.1. Природньо постає питання про те, за яких умов образ ∆τ лiвої напiвретрак-
цiї τ є пiддiмоноїдом в D i як пов’язанi властивостi напiвретракцiй з внутрiшнiми
та факторизацiйними властивостями вiдповiдного дiмоноїду.
Лiву напiвретракцiю τ дiмоноїду D = (D,≺, Â) назвемо регулярною, якщо її
образ ∆τ = Imτ є пiддiмоноїдом дiмоноїду D. Для всiх t ∈ D визначимо перетво-
рення ρt, ρ
′
t та λt, λ
′
t дiмоноїду D, поклавши xρt = x ≺ t, xρ
′
t = x  t, xλt = t ≺ x,
xλ
′
t = t  x для всiх x ∈ D. Перетворення τ дiмоноїду D назвемо централiзаторним
справа, якщо ρtτ = τρt, ρ
′
tτ = τρ
′
t для всiх t ∈ Imτ , i децентралiзаторним злiва,
якщо τλxτ = τλxτ , τλ
′
xτ = τλ
′
xτ
для всiх x ∈ D.
Твердження. Для дiмоноїду D та його лiвої iдемпотентної напiвретракцiї τ
еквiвалентними є твердження:
1. τ є регулярною;
2. τ є централiзаторною справа;
3. τ є децентралiзаторною злiва.
Доведення. Якщо τ є регулярною, x ∈ D, t ∈ ∆τ , то
xτρt = xτ ≺ t = (xτ ≺ t)τ = (x ≺ t)τ = xρtτ,
xτρ
′
t = xτ  t = (xτ  t)τ = (x  t)τ = xρ
′
tτ,
звiдки ρtτ = τρt, ρ
′
tτ = τρ
′
t для всiх t ∈ ∆τ .
Якщо виконується твердження 2, то при будь-яких x, a ∈ D матимемо
aτλxτ = xτ ≺ aτ = xτρaτ = xρaττ = (x ≺ aτ)τ = aτλxτ,
звiдки τλxτ = τλxτ . Аналогiчно, τλ
′
xτ = τλ
′
xτ
для всiх x ∈ D.
Якщо ж виконується твердження 3, то для будь-яких t, u ∈ ∆τ матимемо
t ≺ u = tτ ≺ uτ = uτλtτ = uτλtτ = uλtτ = (t ≺ u)τ ∈ ∆τ ,
t  u = tτ  uτ = uτλ
′
tτ
= uτλ
′
tτ = uλ
′
tτ = (t  u)τ ∈ ∆τ ,
звiдки випливає, що τ є регулярною лiвою напiвретракцiєю.
Твердження доведено.
44
Напiвретракцiї дiмоноїдiв
Двоїсто визначивши лiву централiзаторнiсть та праву децентралiзаторнiсть пра-
вої напiвретракцiї, отримаємо вiдповiдний результат для правих напiвретракцiй.
2.2. Один з прикладiв регулярних лiвих напiвретракцiй виникає при розглядi
внутрiшнiх лiвих зсувiв дiмоноїдiв.
Перетворення λa, a ∈ D назвемо внутрiшнiм лiвим зсувом дiмоноїду D, якщо
xλa = a  x для всiх x ∈ D.
Твердження. Якщо a ∈ D та a  a = a, то внутрiшнiй лiвий зсув λa дiмо-
ноїду D є регулярною лiвою напiвретракцiєю.
Доведення. Для будь-яких x, y ∈ D маємо
(x  y)λa = a  (x  y) = a  (a  (x  y)) =
= a  (xλa  y) = (xλa  y)λa,
(x ≺ y)λa = a  (x ≺ y) = a  a  (x ≺ y) =
= a  (a  (x ≺ y)) = a  ((a  x) ≺ y) = a  (xλa ≺ y) = (xλa ≺ y)λa
згiдно асоцiативностi операцiї Â та умови (2).
Покажемо, що λa – регулярна. Зрозумiло, що Imλa = a  D. Вiзьмемо елементи
a  x, a  y ∈ Imλa, для яких отримаємо
((a  x)  (a  y))λa = a  (a  x)  (a  y) = (a  x)  (a  y),
((a  x) ≺ (a  y))λa = a  ((a  x) ≺ (a  y)) =
= (a  (a  x)) ≺ (a  y) = (a  x) ≺ (a  y)
згiдно асоцiативностi операцiї Â та умови (2). Звiдси випливає, що τ є регулярною
лiвою напiвретракцiєю.
Твердження доведено.
2.3. Перетворення ρa, a ∈ D назвемо внутрiшнiм правим зсувом дiмоноїду D,
якщо xρa = x ≺ a для всiх x ∈ D.
У двоїстий спосiб (див.п.2.2) доводиться
Твердження. Якщо a ∈ D та a ≺ a = a, то внутрiшнiй правий зсув ρa
дiмоноїду D є регулярною правою напiвретракцiєю.
3. Симетричнi напiвретракцiї.
3.1. Якщо напiвретракцiя τ дiмоноїду D = (D,≺, Â) є симетричною (див. п.1.1),
то природньо виникає дiмоноїд Dτ = (Imτ,≺τ ,Âτ ), в якому операцiї визначаються
за правилами
x ≺τ y = (x ≺ y)τ, x, y ∈ Imτ,
x Âτ y = (x  y)τ, x, y ∈ Imτ.
Дiйсно, при будь-яких x, y, z ∈ Imτ матимемо:
(x ≺τ y) ≺τ z = ((x ≺ y)τ ≺ z)τ = ((x ≺ y) ≺ z)τ =
= (x ≺ (y  z))τ = (x ≺ (y  z)τ)τ =
= (x ≺ (y Âτ z))τ = x ≺τ (y Âτ z),
45
А.В. Жучок
(x Âτ y) ≺τ z = ((x  y)τ ≺ z)τ = ((x  y) ≺ z)τ =
= (x  (y ≺ z))τ = (x  (y ≺ z)τ)τ = (x  (y ≺τ z))τ =
= x Âτ (y ≺τ z),
(x ≺τ y) Âτ z = ((x ≺ y)τ Â z)τ = ((x ≺ y) Â z)τ =
= (x  (y  z))τ = (x  (y  z)τ)τ = (x  (y Âτ z))τ =
= x Âτ (y Âτ z)
згiдно умовам (1)–(3) вiдносно операцiй ≺, Â. Асоцiативнiсть операцiй ≺τ i Âτ
випливає з роботи [2].
Дiмоноїд Dτ називатимемо τ -мутацiєю дiмоноїду D. Легко бачити, що вiдоб-
раження τ# : D → Dτ : x 7→ xτ# = xτ є гомоморфiзмом дiмоноїдiв. Дiйсно, для
будь-яких t, u ∈ D матимемо
(t ≺ u)τ# = (t ≺ u)τ = (tτ ≺ uτ)τ = tτ# ≺τ uτ#,
(t  u)τ# = (t  u)τ = (tτ  uτ)τ = tτ# Âτ uτ#.
3.2. Загальну характеристику (симетричних напiвретракцiй) дає
Твердження. Для iдемпотентного перетворення π дiмоноїду D = (D,≺, Â)
еквiвалентними є твердження:
1. π є симетричною напiвретракцiєю;
2. π є лiвою напiвретракцiєю, а вiдношення ∇π її рiвнозначностi є конгруенцiєю
дiмоноїду D;
3. π є правою напiвретракцiєю, а вiдношення ∇π її рiвнозначностi є конгруен-
цiєю дiмоноїду D;
4. для всiх x, y ∈ D виконуються тотожностi:
(x ≺ y)π = (xπ ≺ yπ)π, (x  y)π = (xπ  yπ)π.
Доведення. Еквiвалентнiсть тверджень 1, 2, 3 випливає з визначення симетричної
напiвретракцiї та з лем п.п.1.1, 1.2.
Для завершення доведення покажемо еквiвалентнiсть тверджень 1 i 4. Якщо
виконується умова 1, то для всiх x, y ∈ D матимемо:
(x ≺ y)π = (xπ ≺ y)π = (x ≺ yπ)π = (xπ ≺ yπ)π,
(x  y)π = (xπ  y)π = (x  yπ)π = (xπ  yπ)π,
тобто 1 ⇒ 4. Якщо ж виконується умова 4, то для всiх x, y ∈ D матимемо:
(x ≺ y)π = (xπ ≺ yπ)π = (xπ2 ≺ yπ)π = ((xπ)π ≺ yπ)π = (xπ ≺ y)π,
(x ≺ y)π = (xπ ≺ yπ)π = (xπ ≺ yπ2)π = (xπ ≺ ( yπ)π)π = (x ≺ yπ)π.
Аналогiчнi викладки матимемо й для операцiї Â. Тобто 4 ⇒ 1.
Твердження доведено.
46
Напiвретракцiї дiмоноїдiв
Таким чином, задача описання конгруенцiй дiмоноїдiв заданого класу зводить-
ся до описання їх напiвретракцiй. Тобто, знаючи дiю напiвретракцiї на дiмоноїдi
ми можемо побудувати єдину конгруенцiю, що їй вiдповiдає, та, навпаки, знаючи
будову конгруенцiї на дiмоноїдi, можливо задати клас напiвретракцiй, вiдношення
рiвнозначностi за якими спiвпадають iз заданою конгруенцiєю.
3.3. Наведемо деякi розв’язки задачi безпосереднього описання напiвретракцiй
дiмоноїдiв.
Нехай D = (D,≺, Â) – довiльний дiмоноїд, I, J−довiльнi непорожнi множини,
для яких визначено вiдображення
p : J × I → D : (j; i) 7→ (j; i)p = pji.
Визначимо на множинi D
′
= I ×D × J операцiї за правилами:
(i, g, j) ≺′
(k, h, l) = (i, g ≺ pjk ≺ h, l) ,
(i, g, j) Â′
(k, h, l) = (i, g  pjk  h, l)
для всiх (i, g, j), (k, h, l) ∈ D
′
.
Лема. Алгебра (D
′
,≺′
,Â′
) є дiмоноїдом.
Доведення. Той факт, що операцiї ≺′
,Â′ є асоцiативними, випливає з визначення
напiвгрупи Рiса матричного типу (див., наприклад, [7]).
Нехай (i, a, j), (k, b, t), (l, c,m) – довiльнi елементи дiмоноїду (D
′
,≺′
,Â′
). Тодi
((i, a, j) ≺′
(k, b, t)) ≺′
(l, c, m) = (i, a ≺ pjk ≺ b, t) ≺′
(l, c,m) =
= (i, (a ≺ pjk ≺ b) ≺ ptl ≺ c,m) = (i, ((a ≺ pjk) ≺ b) ≺ ptl ≺ c,m) =
= (i, ((a ≺ pjk) ≺ (b  ptl)) ≺ c,m) = (i, (a ≺ pjk) ≺ ((b  ptl)  c),m) =
= (i, a, j) ≺′
(k, b  ptl  c,m) = (i, a, j) ≺′
((k, b, t) Â′
(l, c, m))
згiдно асоцiативностi операцiй ≺, Â та умови (1) вiдносно операцiй ≺, Â.
Покажемо справедливiсть умови (2) для операцiй ≺′
,Â′ . Маємо:
((i, a, j) Â′
(k, b, t)) ≺′
(l, c, m) = (i, a  pjk  b, t) ≺′
(l, c,m) =
= (i, (a  pjk  b) ≺ ptl ≺ c,m) = (i, ((a  pjk)  b) ≺ (ptl ≺ c),m) =
= (i, (a  pjk)  (b ≺ (ptl ≺ c)),m) = (i, a, j) Â′
(k, b ≺ ptl ≺ c,m) =
= (i, a, j) Â′
((k, b, t) ≺′
(l, c, m))
згiдно асоцiативностi операцiй ≺, Â та умови (2) вiдносно операцiй ≺, Â.
Нарештi покажемо справедливiсть умови (3) для операцiй ≺′
,Â′ . Маємо:
((i, a, j) ≺′
(k, b, t)) Â′
(l, c, m) = (i, a ≺ pjk ≺ b, t) Â′
(l, c,m) =
= (i, (a ≺ pjk ≺ b)  ptl  c,m) = (i, ((a ≺ pjk) ≺ b)  ptl  c,m) =
= (i, (a ≺ pjk)  (b  ptl)  c,m) = (i, (a ≺ pjk)  (b  ptl  c),m) =
= (i, a  pjk  (b  ptl  c),m) = (i, a, j) Â′
(k, b  ptl  c,m) =
= (i, a, j) Â′
((k, b, t) Â′
(l, c, m))
47
А.В. Жучок
згiдно асоцiативностi операцiй ≺, Â та умови (3) вiдносно операцiй ≺, Â. Таким
чином, (D
′
,≺′
,Â′
) є дiмоноїдом.
Лему доведено.
Дiмоноїд, отриманий в такий спосiб, назвемо дiмоноїдом Рiса i позначимо його
через D
′
= D
′
(I, D, J ; p).
3.4. Нехай D
′
= D
′
(I, D, J ; p) – дiмоноїд Рiса (див. п.3.3.), τ – iдемпотентна
напiвретракцiя дiмоноїду D, α = α2 : I → I, β = β2 : J → J – перетворення такi, що
виконується умова:
pji = pjβ iα, j ∈ J, i ∈ I.
Нехай далi D
′′
= (D
′′
,≺′′
,Â′′
) = D
′′
(Iα,Dτ , Jβ; p
′
) – дiмоноїд Рiса такий, що
p
′
: Jβ × Iα → Dτ : (jβ, iα) 7→ (jβ, iα)p
′
= p
′
jβ iα
= pjβ iατ.
Визначимо перетворення σ
[α;β]
τ дiмоноїду D
′ , поклавши
(i, a, j)σ[α;β]
τ = (iα, aτ, jβ)
для всiх (i, a, j) ∈ D
′ .
У позначеннях п.3.1 отримуємо
Теорема. Будь-яке перетворення σ
[α;β]
τ дiмоноїду Рiса D
′ є напiвретракцiєю,
для якої має мiсце рiвнiсть (D
′
)σ
[α;β]
τ = D
′′
(Iα, Dτ , Jβ; p
′
).
Доведення. Якщо (i, a, j), (m, b, n)−довiльнi елементи дiмоноїду D
′
, то, з одного
боку –
((i, a, j) ≺′
(m, b, n))σ[α;β]
τ = (i, a ≺ pjm ≺ b, n)σ[α;β]
τ = (iα, (a ≺ pjm ≺ b)τ, nβ)
i, з iншого боку –
((i, a, j)σ[α;β]
τ ≺′
(m, b, n)σ[α;β]
τ )σ[α;β]
τ =
= ((iα, aτ, jβ) ≺′
(mα, bτ ; nβ))σ[α;β]
τ =
= (iα, (aτ ≺ pjβ mα ≺ bτ)τ, nβ).
Оскiльки τ – iдемпотентна напiвретракцiя дiмоноїду D та pjm = pjβ mα, то
(a ≺ pjm ≺ b)τ = ((a ≺ pjm)τ ≺ bτ)τ = ((aτ ≺ pjm)τ ≺ bτ)τ =
= (aτ ≺ pjm ≺ bτ)τ = (aτ ≺ pjβ mα ≺ bτ)τ,
а це, разом з попереднiм, означає, що
((i, a, j) ≺′
(m, b, n))σ[α;β]
τ = ((i, a, j)σ[α;β]
τ ≺′
(m, b, n)σ[α;β]
τ )σ[α;β]
τ
для всiх (i, a, j), (m, b, n) ∈ D
′ .
Аналогiчно показується справедливiсть умови симетричної напiвретракцiї для
операцiї Â′ . Отже, σ
[α;β]
τ є напiвретракцiєю.
Неважко бачити, що образом напiвретракцiї σ
[α;β]
τ є множина
Imσ[α;β]
τ = {(iα, aτ, jβ) ∈ D
′ |i ∈ I, a ∈ D, j ∈ J}.
48
Напiвретракцiї дiмоноїдiв
При цьому для будь-яких (iα, aτ, jβ), (mα, bτ, nβ) ∈ D
′′ маємо:
(iα, aτ, jβ) ≺′′
(mα, bτ, nβ) = (iα, aτ ≺τ p
′
jβ mα ≺τ bτ, nβ) =
= (iα, ((aτ ≺ pjβ mατ)τ ≺ bτ)τ, nβ) = (iα, (aτ ≺ pjβ mατ ≺ bτ)τ, nβ) =
= (iα2, (aτ ≺ pjβ mα ≺ bτ)τ, nβ2) = (iα, aτ ≺ pjβ mα ≺ bτ, nβ)σ[α;β]
τ =
= (iα, aτ, jβ) ≺′
σ
[α;β]
τ
(mα, bτ, nβ)
завдяки тому, що τ – iдемпотентна напiвретракцiя дiмоноїду D. Звiдси ≺′
σ
[α;β]
τ
=≺′′ .
Аналогiчно показується, що Â′
σ
[α;β]
τ
=Â′′ .
Теорему доведено.
3.5. Нехай D = (D,≺, Â) – довiльний дiмоноїд, a – довiльний, але фiксований
елемент дiмоноїду D. На множинi D визначимо операцiї ≺a i Âa за правилами:
x ≺a y = x ≺ a ≺ y, x Âa y = x  a  y
для всiх x, y ∈ D.
Лема. Алгебра (D,≺a, Âa) є дiмоноїдом.
Доведення. Той факт, що операцiї ≺a i Âa є асоцiативними, випливає з визна-
чення напiвгрупи з деформованим множенням (див., наприклад, [8]).
Нехай x, y, z – довiльнi елементи дiмоноїду (D,≺a, Âa). Тодi
(x ≺a y) ≺a z = (x ≺ a ≺ y) ≺ a ≺ z = ((x ≺ a ≺ y) ≺ a) ≺ z =
= (x ≺ a ≺ y) ≺ (a  z) = ((x ≺ a) ≺ y) ≺ (a  z) =
= (x ≺ a) ≺ (y  (a  z)) = (x ≺ a) ≺ (y  a  z) =
= (x ≺ a) ≺ (y Âa z) = x ≺a (y Âa z)
згiдно асоцiативностi операцiй ≺, Â та умови (1) вiдносно операцiй ≺, Â.
Покажемо справедливiсть умови (2) для операцiй ≺a i Âa. Маємо:
(x Âa y) ≺a z = (x  a  y) ≺ a ≺ z = ((x  a)  y) ≺ a ≺ z =
= ((x  a)  (y ≺ a)) ≺ z = x  a  (y ≺ a ≺ z) = x Âa (y ≺a z)
згiдно асоцiативностi операцiй ≺, Â та умови (2) вiдносно операцiй ≺, Â.
Нарештi покажемо справедливiсть умови (3) для операцiй ≺, Â. Маємо:
(x ≺a y) Âa z = (x ≺ a ≺ y)  a  z = ((x ≺ a) ≺ y)  a  z =
= ((x ≺ a)  (y  a))  z = (x  (a  (y  a)))  z =
= x  a  (y  a  z) = x Âa (y Âa z)
згiдно асоцiативностi операцiй ≺, Â та умови (3) вiдносно операцiй ≺, Â. Таким
чином, (D,≺a, Âa) є дiмоноїдом.
Лему доведено.
Дiмоноїд, отриманий в такий спосiб, назвемо дiмоноїдом з деформованими мно-
женнями.
49
А.В. Жучок
3.6. В умовах та позначеннях попереднього пункту має мiсце
Твердження. Нехай (D,≺, Â) – довiльний дiмоноїд, (D, ≺a, Âa) – дiмоноїд з
деформованими множеннями. Якщо iдемпотентне перетворення τ множини D є
напiвретракцiєю дiмоноїду (D,≺, Â), то воно є напiвретракцiєю i дiмоноїду (D, ≺a
, Âa).
Доведення. Якщо τ – напiвретракцiя дiмоноїду (D,≺, Â), то для будь-яких x, y ∈
(D, ≺a, Âa) маємо:
(x ≺a y)τ = (x ≺ a ≺ y)τ = ((x ≺ a)τ ≺ yτ)τ = ((xτ ≺ a)τ ≺ yτ)τ =
= ((xτ ≺ a) ≺ yτ)τ = (xτ ≺ a ≺ yτ)τ = (xτ ≺a yτ)τ.
Аналогiчно показується, що (x Âa y)τ = (xτ Âa yτ)τ для будь-яких x, y ∈ (D,≺a
,Âa).
Твердження доведено.
1. J.-L. Loday Dialgebras, In: Dialgebras and related operads, Lecture Notes in Math. 1763. Springer,
Berlin. – 2001. – PP.7-66.
2. Усенко В.М. Напiвретракцiї моноїдiв // Труды ИПММ НАН Украины. – 2000. – т.5. – C.155-164.
3. Усенко В.М. Напiвретракцiї та симетричнi зображення // Вiсник Київ. Унiверситету. Серiя
фiз.-мат. науки. – 2002. – вип.1. – C.81-85.
4. Жучок А.В. Свободные полугруппы идемпотентов // Известия Гомельського гос. ун-та им.
Ф.Скорины, 2003. – №4 (19). – C.55-58.
5. Жучок А.В. Напiвретракцiї вiльних моноїдiв // Труды ИПММ НАН Украины. – 2005. – вып.11.
– C.81-88.
6. Жучок А.В. Вiльнi нормальнi напiвгрупи iдемпотентiв // Труды ИПММ НАН Украины. – 2006.
– вып.12. – C.57-62.
7. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // М.: Мир. –1972. – т.1 – C.185;
т.2. – C.422.
8. Magill K.D., Jr. Semigroup structures for families of functions. I-III. // J. Austral. Math. Soc. –
1967. – №7.
Луганський нацiональний педагогiчний
ун-т iм. Тараса Шевченка
zhuchok_a@mail.ru
Получено 24.06.08
50
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20008 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:36:31Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жучок, А.В. 2011-05-20T07:29:17Z 2011-05-20T07:29:17Z 2008 Напівретракції дімоноїдів / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20008 512.533 uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Напівретракції дімоноїдів Article published earlier |
| spellingShingle | Напівретракції дімоноїдів Жучок, А.В. |
| title | Напівретракції дімоноїдів |
| title_full | Напівретракції дімоноїдів |
| title_fullStr | Напівретракції дімоноїдів |
| title_full_unstemmed | Напівретракції дімоноїдів |
| title_short | Напівретракції дімоноїдів |
| title_sort | напівретракції дімоноїдів |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20008 |
| work_keys_str_mv | AT žučokav napívretrakcíídímonoídív |