Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20009 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение / В.П. Заставный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 51-60. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860151926366142464 |
|---|---|
| author | Заставный, В.П. |
| author_facet | Заставный, В.П. |
| citation_txt | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение / В.П. Заставный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 51-60. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.5
c©2008. В.П. Заставный
ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА
И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ
В работе получено обобщение формулы Эйлера-Маклорена, с помощью которой найдена асимпто-
тика рядов Матье.
1. Обобщенная формула Эйлера-Маклорена.Многочлены Бернулли Bn(x)
и Эйлера En(x) определяются с помощью следующих производящих функций (см.,
например, [1, §1.13, §1.14])
tetx
et − 1
=
∞∑
n=0
tn
n!
Bn(x) , |t| < 2π ;
2etx
et + 1
=
∞∑
n=0
tn
n!
En(x) , |t| < π. (1)
Связь между многочленами Эйлера и Бернулли вытекает из тождества En−1(x) =
2
n
(
Bn(x)− 2nBn
(
x
2
))
, n ∈ N. Сплайны Бернулли и Эйлера определяются соответ-
ственно по формулам
bn(x) = Bn({x}) и en(x) =
2
n + 1
(
bn+1(x)− 2n+1bn+1
(x
2
))
, n ∈ Z+.
Если p, n ∈ N и f ∈ Cn[0, p], то формулу Эйлера-Маклорена (см., например, [2, гл.IV,
§3]) можно записать в виде
p∑
k=1
f(k) =
∫ p
0
f(t) dt +
n∑
k=0
(−1)k+1
(k + 1)!
Bk+1(0)
(
f (k)(p)− f (k)(0)
)
+
+
(−1)n
(n + 1)!
∫ p
0
bn+1(t) df (n)(t) .
(2)
При этом надо учесть, что (−1)kBk(0) = Bk(0) при всех k ∈ Z+, k 6= 1, и B1(0) = −1
2 .
Если в (2) взять f(x) = F (εx + εu), u > 0, ε > 0, то получим неудобные для
исследований при ε → +0 слагаемые F (k)(εu) и
∫ ε(p+u)
εu F (t) dt.
Одним из основных результатов данной работы является следующее обобщение
формулы (2).
Теорема 1.
1. Пусть p ∈ N, u > −p, ε > 0, n ∈ Z+.
Работа выполнена при поддержке ДФФД, проект Ф25.1/055
51
В.П. Заставный
Если F ∈ Cn[εu−, ε(p + u)], где u− = u−|u|
2 , то имеет место равенство
p∑
k=1
F (εk + εu) =
1
ε
∫ ε(p+u)
0
F (t) dt+
n∑
k=0
(−1)k+1εk
(k + 1)!
(
Bk+1(0)F (k)(εp + εu)−Bk+1(−u)F (k)(0)
)
+
(−1)nεn
(n + 1)!
(∫ εp
0
bn+1
(
t
ε
)
dF (n)(t + εu) +
∫ 1
0
Bn+1(−u + ut) dF (n)(tεu)
)
.
(3)
2. Пусть p ∈ N, u > −2p, ε > 0, n ∈ Z+. Если G ∈ Cn[εu−, ε(2p + u)], то имеет
место равенство
2p∑
k=1
(−1)k−1G(εk + εu) =
n∑
k=0
(−1)k+1εk
2 k!
(
Ek(0)G(k)(2εp + εu)− Ek(−u)G(k)(0)
)
+
(−1)nεn
2n!
(∫ 2εp
0
en
(
t
ε
)
dG(n)(t + εu) +
∫ 1
0
En(−u + ut) dG(n)(tεu)
)
.
(4)
Здесь Bn(x) и En(x) – соответственно многочлены Бернулли и Эйлера, а bn(x) и
en(x) – сплайны Бернулли и Эйлера.
Доказательство. Докажем утверждение 1.При сделанных предположениях точ-
ки 0 и εu принадлежат отрезку [εu−, ε(p + u)]. Поэтому все интегралы в равен-
стве (3) имеют смысл. Очевидно bn(x) - периодические с периодом T = 1 функции.
Из свойств многочленов Бернулли вытекает, что b0(x) = 1, b1(x) = 1
2 + {x}, при
n ≥ 2 функции bn(x) абсолютно непрерывны на R и bn ∈ Cn−2(R), b′n(x) = nbn−1(x)
при n ≥ 3, x ∈ R и b′2(x) = 2b1(x) при x 6∈ Z. Учитывая эти свойства и применяя
формулу интегрирования по частям в интеграле Римана-Стилтьеса, получаем
(−1)nεn
(n + 1)!
∫ εp
0
bn+1
(
t
ε
)
dF (n)(t + εu) =
(−1)nεn
(n + 1)!
bn+1(0)
(
F (n)(εp + εu)− F (n)(εu)
)
+
(−1)n−1εn−1
n!
∫ εp
0
bn
(
t
ε
)
dF (n−1)(t + εu) = . . . =
n∑
k=0
(−1)kεk
(k + 1)!
bk+1(0)
(
F (k)(εp + εu)− F (k)(εu)
)
−
∫ εp
0
F (t + εu) d b1
(
t
ε
)
.
52
Формула Эйлера-Маклорена
Учитывая равенство b1(x) = −1
2 + x− [x], получаем
∫ εp
0
F (t + εu) d b1
(
t
ε
)
=
1
ε
∫ εp
0
F (t + εu) dt−
∫ εp
0
F (t + εu) d
[
t
ε
]
=
1
ε
∫ εp
0
F (t + εu) dt−
p∑
k=1
F (εk + εu) .
Тогда
(−1)nεn
(n + 1)!
∫ εp
0
bn+1
(
t
ε
)
dF (n)(t + εu) = −1
ε
∫ ε(p+u)
εu
F (t) dt+
n∑
k=0
(−1)kεk
(k + 1)!
bk+1(0)
(
F (k)(εp + εu)− F (k)(εu)
)
+
p∑
k=1
F (εk + εu) .
(5)
Аналогично, учитывая равенство B′
n(x) = nBn−1(x), n ∈ N и применяя формулу
интегрирования по частям, получаем следующее равенство
(−1)nεn
(n + 1)!
∫ 1
0
Bn+1(−u + ut) dF (n)(tεu) = −
∫ 1
0
F (tεu) dB1(−u + ut)+
n∑
k=0
(−1)kεk
(k + 1)!
(
Bk+1(0)F (k)(εu)−Bk+1(−u)F (k)(0)
)
.
Учитывая равенство B1(x) = −1
2 + x, получаем
(−1)nεn
(n + 1)!
∫ 1
0
Bn+1(−u + ut) dF (n)(tεu) = −1
ε
∫ εu
0
F (t) dt+
n∑
k=0
(−1)kεk
(k + 1)!
(
Bk+1(0)F (k)(εu)−Bk+1(−u)F (k)(0)
)
.
(6)
Складывая равенства (5) и (6), а также учитывая равенства bk(0) = Bk(0), получаем
равенство (3).
Утверждение 2 вытекает из утверждения 1 и следующего очевидного равенства
2p∑
k=1
(−1)k−1G(εk + εu) =
2p∑
k=1
G(εk + εu)− 2
p∑
k=1
G(2εk + εu) . (7)
К первой сумме в правой части равенства (7) надо применить формулу (3) при
F = G, в которой вместо p надо взять 2p, а ко второй сумме также надо применить
формулу (3) при F = G, в которой вместо ε надо взять 2ε, а вместо u надо взять u
2 .
Следует только учесть, что
(
u
2
)− = u−
2 . ¤
53
В.П. Заставный
2. Следствия из обобщенной формулы Эйлера-Маклорена.
Теорема 2.
1. Если при некотором n ∈ Z+ функция F ∈ Cn[0, +∞) ∩ L[0, +∞), F (n) имеет
ограниченную вариацию на [0, +∞) и F (k)(+∞) = 0 при 0 ≤ k ≤ n, то при любых
ε > 0 и u ≥ 0 имеет место равенство
∞∑
k=1
F (εk + εu) =
1
ε
∫ ∞
0
F (t) dt +
n∑
k=0
(−1)kεk
(k + 1)!
Bk+1(−u)F (k)(0)+
(−1)nεn
(n + 1)!
Ln(ε, u) ,
(8)
где
Ln(ε, u) =
∫ ∞
0
bn+1
(
t
ε
)
dF (n)(t + εu) +
∫ 1
0
Bn+1(−u + ut) dF (n)(tεu) ,
|Ln(ε, u)| ≤ sup
0≤x≤1
|bn+1(x)| V ∞
εu (F (n)) + sup
−u≤x≤0
|Bn+1(x)| V εu
0 (F (n)) . (9)
Если дополнительно F (n) абсолютно непрерывна на [0, +∞), то Ln(ε, u) = o(1) при
ε → +0. При этом оценка в o(1) равномерная по u ∈ [0, a] при любом фиксированном
a > 0.
2. Если при некоторых q < 0, n ∈ Z+ функция F ∈ Cn[q, +∞) ∩ L[q, +∞), F (n)
имеет ограниченную вариацию на [q,+∞) и F (k)(+∞) = 0 при 0 ≤ k ≤ n, то при
любых u < 0, ε ∈ (0, q
u) имеет место равенство (8) и
|Ln(ε, u)| ≤ sup
0≤x≤1
|bn+1(x)| V ∞
εu (F (n)) + sup
0≤x≤−u
|Bn+1(x)| V 0
εu(F (n)) . (10)
Если дополнительно F (n) абсолютно непрерывна на [q, +∞), то Ln(ε, u) = o(1) при
ε → +0. При этом оценка в o(1) равномерная по u ∈ [b, 0] при любом фиксированном
b < 0.
Доказательство теоремы 2. Докажем утверждение 1. Равенство (8) получается
из теоремы 1, если в равенстве (3) перейти к пределу при p → +∞. Неравенство (9)
очевидно. Если дополнительно F (n) абсолютно непрерывна на [0, +∞), то F (n+1) ∈
L[0, +∞) и, значит, при h → +0
∫∞
0 |F (n+1)(t + h)− F (n+1)(t)| dt = o(1). Кроме того,
имеет место неравенство
|Ln(ε, u)| ≤
∣∣∣∣
∫ ∞
0
bn+1
(
t
ε
)
F (n+1)(t) dt
∣∣∣∣ + sup
−u≤x≤0
|Bn+1(x)| V εu
0 (F (n))+
sup
0≤x≤1
|bn+1(x)|
∫ ∞
0
∣∣∣F (n+1)(t + εu)− F (n+1)(t)
∣∣∣ dt .
То, что последнее слагаемое стремится к нулю, отмечалось выше. Первое слагаемое
в правой части последнего неравенства также стремится к нулю при ε → +0. Это
54
Формула Эйлера-Маклорена
вытекает из теоремы Римана-Лебега, так как bn+1(x) – периодическая функция с
периодом T = 1, F (n+1) ∈ L[0, +∞) и
∫ 1
0
bn+1(x) dx =
∫ 1
0
B′
n+2(x)
n + 2
dx =
Bn+2(1)−Bn+2(0)
n + 2
= 0
при всех n ∈ Z+. И, наконец, V εu
0 (F (n)) → 0 при ε → +0, так как функция F (n)
имеет ограниченную вариацию на [0, +∞) и непрерывна в нуле. Таким образом,
Ln(ε, u) = o(1) при ε → +0, причем оценка в o(1) равномерная по u ∈ [0, a] при
любом фиксированном a > 0.
Утверждение 2 доказывается аналогично. Следует учесть, что, если дополни-
тельно F (n) абсолютно непрерывна на [q, +∞), q < 0, то F (n+1) ∈ L[q,+∞) и, значит,∫∞
0 |F (n+1)(t + h)− F (n+1)(t)| dt = o(1) при h → −0 и V 0
εu(F (n)) → 0 при ε → +0, так
как функция F (n) имеет ограниченную вариацию на [q, +∞) и непрерывна в нуле.
¤
Теорема 3.
1. Если при некотором n ∈ Z+ функция G ∈ Cn[0, +∞), G(n) имеет ограниченную
вариацию на [0,+∞) и G(k)(+∞) = 0 при 0 ≤ k ≤ n, то при любых ε > 0 и u ≥ 0
имеет место равенство
∞∑
k=1
(−1)k−1G(εk + εu) =
n∑
k=0
(−1)kεk
2 k!
Ek(−u)G(k)(0) +
(−1)nεn
2n!
ln(ε, u), (11)
где
ln(ε, u) =
∫ ∞
0
en
(
t
ε
)
dG(n)(t + εu) +
∫ 1
0
En(−u + ut) dG(n)(tεu),
|ln(ε, u)| ≤ sup
0≤x≤2
|en(x)| V ∞
εu (G(n)) + sup
−u≤x≤0
|En(x)| V εu
0 (G(n)) . (12)
Если дополнительно G(n) абсолютно непрерывна на [0, +∞), то ln(ε, u) = o(1) при
ε → +0. При этом оценка в o(1) равномерная по u ∈ [0, a] при любом фиксирован-
ном a > 0.
2. Если при некоторых q < 0, n ∈ Z+ функция G ∈ Cn[q, +∞), G(n) имеет ограни-
ченную вариацию на [q, +∞) и G(k)(+∞) = 0 при 0 ≤ k ≤ n, то при любых u < 0,
ε ∈ (0, q
u) имеет место равенство (11) и
|ln(ε, u)| ≤ sup
0≤x≤2
|en(x)| V ∞
εu (G(n)) + sup
0≤x≤−u
|En(x)| V 0
εu(G(n)) . (13)
Если дополнительно G(n) абсолютно непрерывна на [q, +∞), то ln(ε, u) = o(1) при
ε → +0. При этом оценка в o(1) равномерная по u ∈ [b, 0] при любом фиксированном
b < 0.
Доказательство теоремы 3. Доказательство такое же, как и в теореме 2. До-
кажем, например, утверждение 1. Равенство (11) получается из теоремы 1, если в
55
В.П. Заставный
равенстве (4) перейти к пределу при p → +∞. Неравенство (12) очевидно. Если
дополнительно G(n) абсолютно непрерывна на [0, +∞), то
|ln(ε, u)| ≤
∣∣∣∣
∫ ∞
0
en
(
t
ε
)
G(n+1)(t) dt
∣∣∣∣+
sup
0≤x≤2
|en(x)|
∫ ∞
0
∣∣∣G(n+1)(t + εu)−G(n+1)(t)
∣∣∣ dt + sup
−u≤x≤0
|En(x)| V εu
0 (G(n)) .
Далее рассуждения точно такие же, как и в теореме 2. Следует только учесть, en(x)
– периодическая функция с периодом T = 2 и
∫ 2
0 en(x) dx = 0. ¤
Теорема 4.
1. Если при некотором q ≤ 0 функция F ∈ C∞[q, +∞) и F (n) ∈ L[q, +∞) для
всех n ∈ Z+, то при любом фиксированном u ≥ 0, а если q < 0, то и при любом
фиксированном u ∈ R имеет место следующее асимптотическое представление
∞∑
k=1
F (εk + εu) ∼ 1
ε
∫ ∞
0
F (t) dt +
∞∑
k=0
(−1)kεk
(k + 1)!
Bk+1(−u)F (k)(0) , ε → +0 . (14)
2. Если при некотором q ≤ 0 функция G ∈ C∞[q, +∞), G(+∞) = 0 и G(n) ∈
L[q, +∞) для всех n ∈ N, то при любом фиксированном u ≥ 0, а если q < 0, то и
при любом фиксированном u ∈ R имеет место следующее асимптотическое пред-
ставление
∞∑
k=1
(−1)k−1G(εk + εu) ∼
∞∑
k=0
(−1)kεk
2 k!
Ek(−u)G(k)(0) , ε → +0 . (15)
Доказательство теоремы 4. Докажем утверждение 1. Из условий на F выте-
кает, что при любом n ∈ Z+ существует конечный предел
F (n)(+∞) =
∫ ∞
q
F (n+1)(x)dx + F (n)(q) .
Так как F (n) ∈ L[q, +∞), то F (n)(+∞) = 0. Дальше при любом n ∈ Z+ к функции
F применяем теорему 2.
Аналогично докажем утверждение 2. Из условий на G вытекает, что при любом
n ∈ N существует конечный предел G(n)(+∞) = 0. Дальше при любом n ∈ Z+ к
функции G применяем теорему 3. ¤
Пример. Функция F (t) = tγ−1e−tα при любых γ, α ∈ N удовлетворяет условиям
теоремы 4 при любом q < 0. Поэтому для F имеют место представления (14) и (15).
В этих представлениях полагаем εα = x > 0. Тогда при любом фиксированном u ∈ R
имеют место следующие асимптотические представления
∞∑
k=1
(k + u)γ−1e−x(k+u)α ∼ Γ
( γ
α
)
αx
γ
α
+
∞∑
k=0
(−1)k+1Bαk+γ(−u)xk
(αk + γ)k!
, x → +0 .
56
Формула Эйлера-Маклорена
∞∑
k=1
(−1)k−1(k + u)γ−1e−x(k+u)α ∼
∞∑
k=0
(−1)k+1Eαk+γ−1(−u)xk
2k!
, x → +0 .
При u = 0 эти представления можно найти в [3, Примеры 11.8, 11.9].
3. Применения к рядам Матье. Рассмотрим следующие обобщённые ряды
Матье
S(t, u, γ, α, µ) :=
∞∑
k=1
2(k + u)γ
((k + u)α + tα)µ+1
,
γ ≥ 0 , α > 0 , δ := α(µ + 1)− γ > 1 , u > −1 , t ≥ 0 .
(16)
Наряду с рядом (16) рассмотрим следующий ряд
S̃(t, u, γ, α, µ) :=
∞∑
k=1
2(−1)k−1(k + u)γ
((k + u)α + tα)µ+1
,
γ ≥ 0 , α > 0 , δ := α(µ + 1)− γ > 0 , u > −1 , t ≥ 0 .
(17)
Если δ > 1, то очевидно
S̃(t, u, γ, α, µ) = S(t, u, γ, α, µ)− 21−δS
(
t
2
,
u
2
, γ, α, µ
)
. (18)
В работе [4] была поставлена задача о получении точных неравенств для S(t, 0, α
2 , α,
µ). Отметим, что полученное в работе [5, Theorem 2] неравенство для S(t, 0, α
2 , α, µ)
неверно. В теореме 5 (см. также следствия 1 и 2) для всех допустимых параметров
доказаны неравенства для рядов (16) и (17). В качестве простых следствий получает-
ся асимптотика при t → +∞, а при (γ, α) ∈ Z+×N и асимптотическое представление
в виде ряда по степеням t−α(k+µ+1), k ∈ Z+.
Теорема 5.
Пусть γ ≥ 0, α > 0, g(x) := xγ(xα + 1)−µ−1, δ := α(µ + 1)− γ > 0. Тогда:
1. Если (γ, α) 6∈ Z+ × N, то g ∈ Cr[0, +∞), g 6∈ Cr+1[0,+∞) и при любом целом
n ∈ [0, r] функция g(n) абсолютно непрерывна на [0,+∞), где
r =
{
[γ] , если γ 6∈ Z+ ,
γ + [α] , если γ ∈ Z+ , α 6∈ Z+.
(19)
Если γ 6∈ Z+, то g(p)(0) = 0 при всех целых p ∈ [0, r]. Если γ ∈ Z+, α 6∈ N, то
g(p)(0) = 0 при всех целых p ∈ [0, r], p 6= γ и g(γ)(0) = γ! .
Кроме того, функция G = g удовлетворяет условиям утверждения 1 в тео-
реме 3 при любом целом n ∈ [0, r].
Если дополнительно δ > 1, то функция F = g удовлетворяет условиям
утверждения 1 в теореме 2 при любом целом n ∈ [0, r].
57
В.П. Заставный
2. Если (γ, α) ∈ Z+ × N, то g ∈ C∞(−1, +∞) и функция G = g удовлетворяет
условиям теоремы 3 при любых q ∈ (−1, 0), n ∈ Z+, а функция g(n) абсолютно
непрерывна на [q, +∞). Кроме того, при любом фиксированном u ∈ R имеет
место следующее асимптотическое представление
S̃(t, u, γ, α, µ) ∼
∞∑
k=0
(−1)k(α+1)+γ
tα(k+µ+1)
· Γ(µ + k + 1) Ekα+γ(−u)
Γ(µ + 1)Γ(k + 1)
, t → +∞ . (20)
Если дополнительно δ > 1, то функция F = g удовлетворяет условиям тео-
ремы 2 при любых q ∈ (−1, 0), n ∈ Z+. В этом случае при любом фиксирован-
ном u ∈ R имеет место следующее асимптотическое представление
S(t, u, γ, α, µ) ∼ 1
tα(µ+1)−γ−1
· 2
α
B
(
γ + 1
α
, µ + 1− γ + 1
α
)
+
∞∑
k=0
(−1)k(α+1)+γ
tα(k+µ+1)
· 2Γ(µ + k + 1)
Γ(µ + 1)Γ(k + 1)
· Bkα+γ+1(−u)
kα + γ + 1
, t → +∞ .
(21)
Асимптотическое представление (20) при u = 0, γ = 1, α = 2 и µ = 1 другим
методом получено в [6]. Асимптотическое представление (21) при u = 0, γ = 1, α = 2
и µ = 1 другими методами было получено в 1981-1982 годах в работах C.L.Wang,
X.H.Wang [7] и A.Elbert [8].
Лемма 1. Пусть γ ≥ 0, α > 0, δ := α(µ + 1) − γ > 0, g(x) := xγ(xα + 1)−µ−1.
Тогда
1. g ∈ C[0,+∞)
⋂
C∞(0, +∞) и g(r) ∈ L[1,+∞), g(r−1)(+∞) = 0 при всех r ∈ N.
Кроме того, g ∈ L[1, +∞) ⇐⇒ δ > 1.
2. Если (γ, α) ∈ Z+ × N, то g ∈ C∞(−1,+∞) и при всех p ∈ Z+ имеет место
равенство
g(p)(0)
p!
=
{
(−1)kΓ(µ+k+1)
Γ(µ+1)Γ(k+1) , если p = kα + γ, k ∈ Z+,
0 , если p 6= kα + γ, k ∈ Z+.
3. Если (γ, α) 6∈ Z+ × N, то функция g имеет в нуле конечную гладкость
r =
{
[γ] , если γ 6∈ Z+ ,
γ + [α] , если γ ∈ Z+ , α 6∈ Z+.
В этом случае g ∈ Cr[0, 1], g 6∈ Cr+1[0, 1] и g(r+1) ∈ L(0, 1). Если γ 6∈ Z+, то
g(p)(0) = 0 при всех целых p ∈ [0, r]. Если γ ∈ Z+, α 6∈ N, то g(p)(0) = 0 при
всех целых p ∈ [0, r], p 6= γ и g(γ)(0) = γ! .
58
Формула Эйлера-Маклорена
Доказательство. Утверждения леммы вытекают из следующих равенств
1
(u + 1)µ+1
=
∞∑
k=0
(−1)kΓ(µ + k + 1)
Γ(µ + 1)Γ(k + 1)
uk , |u| < 1 ,
g(x) =
∞∑
k=0
(−1)kΓ(µ + k + 1)
Γ(µ + 1)Γ(k + 1)
· xγ+kα , 0 ≤ x < 1 ,
g(x) =
∞∑
k=0
(−1)kΓ(µ + k + 1)
Γ(µ + 1)Γ(k + 1)
· 1
xδ+kα
, x > 1 .
(22)
¤
Доказательство теоремы 5. Утверждение теоремы 5 сразу получается из лем-
мы 1, теорем 2 и 3, в которых надо взять G = F = g и ε = 1
t . ¤
Следствие 1 . Пусть γ ≥ 0, α > 0, δ := α(µ+1)−γ > 0 и g(x) := xγ(xα+1)−µ−1.
Тогда на промежутке [0, +∞) функция g имеет ограниченную вариацию, равную
V ∞
0 (g) = 1, если γ = 0 и V ∞
0 (g) = 2
(γ
δ
) γ
α
(γ
δ + 1
)−µ−1, если γ > 0. Кроме того, при
любых u ≥ 0 и t > 0 имеет место равенство
S̃(t, u, γ, α, µ) =
g(0) + l(t, u)
tα(µ+1)−γ
, где |l(t, u)| ≤ V ∞
0 (g) , l(t, u) = o(1), t → +∞ . (23)
Если дополнительно δ > 1, то при любых u ≥ 0 и t > 0 имеет место равенство
S(t, u, γ, α, µ) =
2
α B
(
γ+1
α , µ + 1− γ+1
α
)
tα(µ+1)−γ−1
− (1 + 2u) g(0)− L(t, u)
tα(µ+1)−γ
, (24)
где |L(t, u)| ≤ (1+2u)V ∞
0 (g) и L(t, u) = o(1) при t → +∞. При этом в обоих случаях
оценка в o(1) равномерная по u ∈ [0, a] при любом фиксированном a > 0.
Доказательство. В случае γ = 0 функция g строго убывает на [0, +∞) и, значит,
V ∞
0 (g) = g(0) − g(+∞) = 1. В случае γ > 0 функция g возрастает на [0, x0] и
убывает на [x0, +∞), где x0 =
(γ
δ
)1/α и, значит, V ∞
0 (g) = 2g(x0). Далее применяем
утверждения 1 теорем 3 и 2 при n = 0, F = G = g и ε = 1
t . Из равенств (11)
и (8) при n = 0 вытекает, что l(t, u) = l0
(
1
ε , u
)
и L(t, u) = 2L0
(
1
ε , u
)
. Осталось
применить неравенства (12) и (9). Следует только учесть, что B1(x) = −1
2 + x,
b1(x) = −1
2 + {x}, E0(x) = 1, e0(x) = 1 при 0 ≤ x < 1, e0(x) = −1 при 1 ≤ x < 2 и
V εu
0 (g) + V ∞
εu (g) = V ∞
0 (g). ¤
Следствие 2. Пусть (γ
2 , α
2 ) ∈ Z+×N, δ := α(µ+1)−γ > 0. Тогда при всех n ∈ N
имеет место равенство
S̃(t, 0, γ, α, µ) =
(−1)γEγ(0)
tα(µ+1)
+ o
(
1
tα(n+µ+1)
)
, t → +∞ . (25)
59
В.П. Заставный
Если дополнительно δ > 1, то при всех n ∈ N имеет место равенство
S(t, 0, γ, α, µ) =
1
tα(µ+1)−γ−1
· 2
α
B
(
γ + 1
α
, µ + 1− γ + 1
α
)
+
(−1)γ 2Bγ+1(0)
(γ + 1) tα(µ+1)
+
o
(
1
tα(n+µ+1)
)
, t → +∞ .
(26)
Доказательство. Доказательство сразу получается из теорем 2, 3 и 5. Следует
только учесть, что Em(0) = 2(1−2m+1)
m+1 Bm+1(0) при m ∈ Z+, B1(0) = −1
2 и B2p+1(0) =
0 при всех p ∈ N. Поэтому E0(0) = 1 и E2p(0) = 0 при p ∈ N. ¤
Замечание. Скорее всего остаточный член в следствии 2 имеет более быстрое
стремление к нулю. Это видно на следующих трех примерах. С помощью формулы
суммирования Пуассона можно показать (см., например, [3, Пример 11.3]), что
∞∑
k=1
2
k2 + t2
=
π
t
− 1
t2
+
2π
t(e2πt − 1)
=
π
t
− 1
t2
+ O
(
1
te2πt
)
, t → +∞ .
Из этой формулы и равенства (18) следует, что
∞∑
k=1
2(−1)k−1
k2 + t2
=
1
t2
− 2π
t(eπt − e−πt)
=
1
t2
+ O
(
1
teπt
)
, t → +∞ .
И последний пример (см., например, [9, §3.11–3.12]):
∞∑
k=1
2(−1)k−1
√
k2 + t2
=
1
t
+ O
(
1√
teπt
)
, t → +∞ .
1. Bateman H., Erdélyi A. Higher transcendental functions, vol.1, 2, New York, Toronto, London, MC
Graw-Hill Book Company, INC, 1953.
2. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Москва, Наука, 1967.
3. Федорюк M.В. Асимптотика: Интегралы и ряды, Москва, Наука, 1987.
4. Qi F., Chen CH.-P., Guo B.-N. “Notes on double inequalities of Mathieu’s series”, International
Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 16 (2005), P.2547–2554.
5. Tomovski Ž “New double inequalities for Mathieu type series”, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn.
Fak. Ser. Mat., 15 (2004), P.79–83.
6. Pogány T.K., Srivastava H.M., Tomovski Ž “Some families of Mathieu a-series and alternating
Mathieu a-series”, Applied Mathematics and Computation, 173 (2006), P.69–108.
7. Wang C.L., Wang X.H. “A refinement of the Mathieu inequality”, Univ. Beograd. Publ. Electrotehn.
Fak. Ser. Mat. Fiz., №716-734 (1981), P.22-24.
8. Elbert A. “Asymptotic expansion and continued fraction for Mathieu’s series”, Period. Math. Hungar.,
13 (1982), P.1–8.
9. N.G. de Bruijn Asymptotic methods in analysis, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1958.
Донецкий национальный ун-т
zastavn@rambler.ru
zastavn@skif.net
Получено 04.09.08
60
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20009 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:58Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Заставный, В.П. 2011-05-20T07:30:42Z 2011-05-20T07:30:42Z 2008 Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение / В.П. Заставный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 51-60. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20009 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение Article published earlier |
| spellingShingle | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение Заставный, В.П. |
| title | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение |
| title_full | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение |
| title_fullStr | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение |
| title_full_unstemmed | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение |
| title_short | Обобщенная формула Эйлера-Маклорена и её применение |
| title_sort | обобщенная формула эйлера-маклорена и её применение |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20009 |
| work_keys_str_mv | AT zastavnyivp obobŝennaâformulaéileramaklorenaieeprimenenie |