Модель электродвигателя в теории гироскопов
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20013 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модель электродвигателя в теории гироскопов / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 88-95. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859649491666206720 |
|---|---|
| author | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| author_facet | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| citation_txt | Модель электродвигателя в теории гироскопов / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 88-95. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T13:31:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 531.38, 531.36
c©2008. Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ В ТЕОРИИ ГИРОСКОПОВ
Для поддержания вращения ротора в гироприборах используются электродвигатели переменного
тока асинхронного или синхронного типа. В работе дано описание механизма формирования сум-
марного момента относительно оси ротора для обоих типов двигателей, и в нелинейном случае
указаны свойства этого момента, используемые при исследовании динамики прибора.
Введение. Основным элементом механических гироприборов является гиро-
блок, представляющий собой кожух, в котором на подшипниках установлен вал с
закрепленным на нем осесимметричным ротором. Ось симметрии ротора совпада-
ет с осью вала. Первоначально в теории гироскопов принималось допущение, что
ротор вращается по инерции без трения [1–3]. На практике быстровращающийся
ротор испытывает значительное тормозящее воздействие диссипативных сил. По-
этому для поддержания вращения ротора используют электродвигатель, так что
кожух представляет собой статор, а ротор гироскопа – ротор электродвигателя.
При исследовании динамики гироприбора с электроприводом ротора иногда при-
нимается допущение, что угловая скорость вращения ротора относительно кожуха
постоянна [4]. Реальным приборам в большей степени соответствует модель, осно-
ванная на учете характера взаимодействия магнитного поля статора и ротора элек-
тродвигателя [5]. Силы, действующие на ротор со стороны статора, создают отно-
сительно оси ротора момент L, равный алгебраической сумме вращающего момента
электродвигателя L1 и момента сил диссипации L2. В случае синхронного двигателя
суммарный момент L зависит от угла ϕ поворота ротора относительно статора и от
угловой скорости ϕ̇ вращения ротора относительно статора, в случае асинхронного
двигателя момент L зависит только от ϕ̇.
Обычно в теории гироскопов пользуются линейными приближениями суммарно-
го момента L. В настоящей работе рассмотрен механизм формирования этого момен-
та для асинхронного и синхронного электродвигателей, проанализирована структу-
ра нелинейных формул для L, выделены устойчивые режимы работы электродви-
гателя, для синхронного двигателя получено разложение момента L на потенци-
альную и диссипативную составляющие. Представленные результаты полезны при
исследовании динамики гироскопических систем.
1. Момент асинхронного электродвигателя относительно оси ротора.
В случае асинхронного двигателя ротор представляет собой стальной цилиндр и не
имеет собственного магнитного поля. В статоре создается магнитное поле, результи-
рующий вектор напряженности которого H постоянен по модулю, ортогонален оси
ротора и вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью ω > 0. При несов-
падении угловой скорости ротора ϕ̇ с ω в нем индуцируются электрические токи, и
в результате взаимодействия этих токов с вращающимся магнитным полем статора
88
Модель электродвигателя в теории гироскопов
возникает вращающий момент двигателя – ротор вовлекается во вращение. Следова-
тельно, вращающий момент асинхронного двигателя является функцией L1 = L1(ϕ̇)
угловой скорости ротора ϕ̇, обращающейся в ноль при ϕ̇ = ω; знак этого момента
противоположен знаку разности ϕ̇ − ω [6]. Модуль момента L1 тем больше, чем
больше модуль разности ϕ̇− ω.
При возрастании угловой скорости ротора
Рис. 1. Вращающий, диссипативный и
суммарный моменты для асинхронного
двигателя
от 0 до ω угловая скорость вращения магнит-
ного поля статора относительно ротора ω −
ϕ̇ монотонно убывает от ω до 0, и поэтому
момент L1(ϕ̇) монотонно убывает на отрезке
[0, ω] от положительного значения L1(0) до ну-
ля. При ϕ̇ > ω момент L1(ϕ̇) продолжает убы-
вать, становясь отрицательным. Момент сил
сопротивления L2 является отрицательной фу-
нкцией L2 = L2(ϕ̇) угловой скорости ϕ̇, моно-
тонно убывающей вне малой окрестности ну-
ля. Графики функций L1(ϕ̇), −L2(ϕ̇) схемати-
чески изображены на рис.1.
Если при запуске двигателя вращающий момент L1(0) по модулю больше дис-
сипативного момента L2(0), то есть L1(0) > −L2(0), то ротор приходит во враще-
ние. В этом случае существует единственное значение ω0 (ω0 < ω) угловой скоро-
сти ротора ϕ̇, при котором моменты L1 и L2 уравновешивают друг друга, то есть
L(ω0) = L1(ω0) + L2(ω0) = 0. Поэтому асинхронный электродвигатель может обес-
печить режим равномерного вращения ротора ϕ = ω0t + ϕ0, где ω0 ∈ (0, ω), а ϕ0 –
постоянная, определяемая начальными условиями запуска.
Итак, для асинхронного двигателя суммарный момент L = L1 + L2 сил, дей-
ствующих относительно оси ротора, является функцией угловой скорости ротора ϕ̇.
Момент L(ϕ̇) обращается в ноль при ϕ̇ = ω0 (ω0 < ω), а при ϕ̇ 6= ω0 знак L(ϕ̇) про-
тивоположен знаку разности ϕ̇−ω0 (рис.1). При значениях ϕ̇, близких к ω0, момент
L(ϕ̇) является монотонно убывающей функцией.
Предполагая эту функцию непрепрывно дифференцируемой и выделяя ее ли-
нейную часть в окрестности стационарного вращения, получаем известную прибли-
женную формулу [5]: L = −λ(ϕ̇− ω0). Здесь λ = −dL(ω0)/dϕ̇ > 0. Постоянные λ, ω0
характеризуют асинхронный двигатель и силы диссипации.
Легко видеть, что режим равномерного вращения асинхронного двигателя асимп-
тотически устойчив по ϕ̇
2. Момент синхронного электродвигателя относительно оси ротора.
Вращающий момент L1 синхронного двигателя формируется следующим образом.
В статоре электродвигателя создается магнитное поле, результирующий вектор на-
пряженности которого H постоянен по модулю, ортогонален оси ротора и вращается
вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью ω > 0, составляя угол ϕH = ωt+ϕH0
с направлением отсчета угла ϕ. Ротор синхронного двигателя имеет собственное по-
стоянное магнитное поле, результирующий вектор напряженности которого H0 ор-
89
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
тогонален оси ротора. Так как противоположные магнитные полюса притягиваются,
то в результате взаимодействия этих двух полей возникает вращающий момент L1,
который стремится совместить направление −H0 с H. Следовательно, если обозна-
чить через γ̃ угол между векторами H и −H0 (рис.2), то L1 = L1(γ̃), причем при
0 < |γ̃| < π знак L1(γ̃) противоположен знаку γ̃. При γ̃ = 0 будет L1(0) = 0. Угол γ̃
называется углом мощности [7].
Равенство L1(γ̃) = 0, очевидно, имеет место
Рис. 2. Угол мощности γ̃ для синхрон-
ного электродвигателя
и при γ̃ = ±π. Но в этом случае знак L1(γ̃) сов-
падает со знаком приращения угла γ̃.
Если угол γ̃ получает приращение, кратное
2π, то взаимное положение векторов H и −H0
не изменяется. Поэтому не изменяется и вра-
щающий момент L1(γ̃). Следовательно, момент
L1(γ̃) является 2π-периодической функцией уг-
ла γ̃. В дальнейшем эта функция предполага-
ется непрерывно дифференцируемой. Ее макси-
мальное значение L1max положительно, а мини-
мальное – отрицательно, так как при некоторых
значениях угла γ̃ момент L1(γ̃) является враща-
ющим, а при некоторых – тормозящим. Таким
образом, в рамках рассматриваемой модели гра-
фик зависимости L1 = L1(γ̃) изображается в виде синусоидальной кривой, показан-
ной на рис.3.
В общем случае, когда центр масс ротора C не лежит на оси его вращения, обо-
значим через OC перпендикуляр к оси вращения ротора, опущенный из точки C.
Угол ϕ поворота ротора отсчитывается в плоскости, ортогональной оси ротора, от
некоторого фиксированного в статоре направления до направления оси OC. Направ-
ление вектора −H0 в роторе определяет угол δ между лучом OC и вектором −H0.
Поэтому угол мощности равен (рис.2)
γ̃ = ϕ + δ − ωt− ϕH0. (1)
Момент L2(ϕ̇) сил сопротивления при ϕ̇ ≥ 0 является отрицательной функцией
ϕ̇, монотонно убывающей на всей полуоси ϕ̇ ≥ 0 (исключая, быть может, некоторую
окрестность нуля). Поэтому график зависимости L2 от ϕ̇ имеет вид, схематически
изображенный на рис.4.
Суммарный момент сил, действующих на ротор со стороны статора, равен ал-
гебраической сумме моментов L1 и L2: L = L1(γ̃) + L2(ϕ̇).
Режим равномерного вращения ϕ = ω0t + ϕ0 ротора синхронного двигателя су-
ществует только при угловой скорости ротора ω0, равной угловой скорости ω вра-
щения поля статора. Действительно, вращение ротора описывается дифференци-
альным уравнением Iϕ̈ = L1 + L2, где I – осевой момент инерции ротора. Если
предположить, что режим равномерного вращения существует при ω0 6= ω, то в
этом режиме угол мощности (1) является величиной переменной. Тогда момент L1
90
Модель электродвигателя в теории гироскопов
Рис. 3. График зависимости L1(γ̃)
и равновесные значения угла γ̃
Рис. 4. График зависимости L2(ϕ̇)
будет переменным, а момент L2 – постоянным. Поэтому ϕ̈ 6≡ 0, что невозможно при
равномерном вращении.
Существование режима равномерного вращения ϕ = ωt + ϕ0 означает существо-
вание такого значения γ̃, при котором вращающий момент двигателя уравновеши-
вает момент сил сопротивления при ϕ̇ = ω, то есть
L1(γ̃) + L2(ω) = 0. (2)
Очевидно, что уравнение (2) разрешимо относительно γ̃ только в случае, когда
значение −L2(ω) лежит в области значений функции L1(γ̃), то есть выполнено
двойное неравенство L1min ≤ −L2(ω) ≤ L1max. Так как L1min < 0, −L2(ω) >
> 0, то левое неравенство всегда выполнено. Следовательно, режим равномерного
вращения синхронного двигателя существует при одном условии: L1max+L2(ω) ≥ 0.
Оно означает, что момент сопротивления по модулю не должен превосходить мак-
симального вращающего момента двигателя.
Как показано ниже (п.4), в случае L1 max + L2(ω) = 0 режим равномерного вра-
щения ротора синхронного электродвигателя неустойчив и поэтому нереализуем.
Отбрасывая этот случай, будем предполагать, что
L1max + L2(ω) > 0. (3)
Тогда на периоде функции L1(γ̃) уравнение (2) имеет решение γ̃0, принадлежащее
участку убывания этой функции, а также решение, принадлежащее участку возрас-
тания (рис.3).
Из (1) следует, что для режима равномерного вращения ϕ = ωt + ϕ0 при γ̃ = γ̃0
угол ϕ0 равен
ϕ0 = γ̃0 − δ + ϕH0. (4)
Пусть γ̃1, γ̃2 – ближайшие к γ̃0 решения уравнения (2), лежащие, соответственно,
слева и справа от точки γ̃0 (рис.3). Так как функция L1(γ̃) убывает в окрестности
91
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
точки γ̃0, то в левой полуокрестности этой точки L1(γ̃) > L1(γ̃0) = −L2(ω), а в
правой полуокрестности L1(γ̃) < L1(γ̃0) = −L2(ω). Первое из этих неравенств обра-
щается в равенство при γ̃ = γ̃1, а второе – при γ̃ = γ̃2. Таким образом, имеем
L1(γ̃) + L2(ω)
> 0, γ̃ ∈ (γ̃1, γ̃0);
= 0, γ̃ = γ̃1, γ̃0, γ̃2;
< 0, γ̃ ∈ (γ̃0, γ̃2).
(5)
Для дальнейшего удобно вместо угла γ̃ ввести угол
γ = γ̃ − γ̃0. (6)
Из (1), (6) получаем для угла γ выражение
γ = ϕ− ωt− ϕ0, (7)
где угол ϕ0 определен формулой (4). Если центр масс ротора C лежит на оси его
вращения, то возникает произвол в выборе направления связанной с ротором оси,
до которой отсчитывается угол ϕ. Этот произвол можно устранить, проведя данную
ось в направлении вектора −H0. Тогда δ = 0 в (1), (4).
Будем рассматривать вращающий момент двигателя L1 как функцию L1(γ) угла
γ. Тогда суммарный момент относительно оси ротора равен
L = L1(γ) + L2(ϕ̇). (8)
Представим момент (8) в виде суммы
L = Lp(γ) + Ld(γ̇) (9)
потенциального и диссипативного моментов
Lp(γ) = L1(γ) + L2(ω), Ld(γ̇) = L2(ϕ̇)− L2(ω). (10)
Поскольку функция L2(ϕ̇) – монотонно убывающая по ϕ̇, то диссипативный мо-
мент Ld(γ̇) – монотонно убывающая функция γ̇, обращающаяся в ноль при γ̇ =
ϕ̇− ω = 0. Поэтому знак Ld(γ̇) противоположен знаку γ̇:
γ̇Ld(γ̇) < 0 (γ̇ 6= 0), Ld(0) = 0. (11)
Так как dLd(γ̇)/dγ̇ < 0 в рабочем диапазоне значений γ̇, то в линейном приближении
по γ̇ имеем формулу
Ld(γ̇) = −λ2γ̇, (12)
где
λ2 = −dLd(0)/dγ̇ > 0. (13)
Из определения (10) момента Lp(γ) с учетом равенства L1(0)+L2(ω) = 0 следует,
что в линейном приближении по γ этот момент равен
Lp(γ) = −λ1γ. (14)
92
Модель электродвигателя в теории гироскопов
Здесь
λ1 = −dL1(0)/dγ > 0, (15)
так как точка γ = 0 лежит на участке убывания функции L1(γ).
Подставив выражения (14), (12) в (9), получаем для момента L приближенную
формулу
L = L(γ, γ̇) = −λ1γ − λ2γ̇, (16)
справедливую при малых значениях γ, γ̇. Положительные параметры λ1, λ2, опре-
деленные формулами (13), (15), характеризуют синхронный электродвигатель и
силы диссипации. Формула (16) точностью до обозначений совпадает с формулой
L = −Kcz −Nγ ż, принятой в [5, с.132].
3. Потенциальная энергия взаимо-
Рис. 5. График зависимости U1(γ)
действия магнитных полей.Момент Lp(γ)
выше назван потенциальным, так как его мож-
но представить по формуле
Lp(γ) = −dU1(γ)/dγ, (17)
где
U1(γ) = −
γ∫
0
Lp(σ) dσ (18)
– это потенциальная энергия взаимодействия
магнитных полей ротора и статора синхронного двигателя. Поскольку Lp(γ) – пери-
одическая функция γ, то ее можно записать в виде Lp(γ) = Lp+L̃p(γ), где число Lp –
это среднее значение функции Lp(γ) за период, а L̃p(γ) = Lp(γ)−Lp – периодическая
функция с нулевым средним значением. Тогда из (18) следует, что потенциальная
энергия U1(γ) равна сумме
U1(γ) = −γLp + Ũ1(γ)
линейной функции −γLp и периодической функции
Ũ1(γ) = −
γ∫
0
L̃p(σ) dσ.
В простейшем случае, когда разложение L1(γ) в ряд Фурье содержит только одну
гармонику (как на рис.3), график зависимости U1(γ) имеет вид, изображенный на
рис.5. В общем случае на низшую гармонику налагаются более высокие и график
U1(γ) имеет более сложный вид. Но и в этом случае поведение кривой U1(γ) на
отрезке [γ1, γ2] остается таким же, как на рис.5, а именно, функция U1(γ) имеет в
точке γ0 = 0 изолированный минимум, равный нулю, монотонно убывает на [γ1, 0],
монотонно возрастает на [0, γ2], и dU1(γk)/dγ = 0, k = 0, 1, 2.
93
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
Действительно, в соответствии с определениями (6), (10), (18) угла γ и функций
Lp(γ), U1(γ) из (5) получаем
Lp(γ) = −dU1(γ)
dγ
> 0, γ ∈ (γ1, 0);
= 0, γ = γ1, 0, γ2;
< 0, γ ∈ (0, γ2).
(19)
Следовательно, подынтегральный дифференциал в (18) на интервалах (γ1, 0), (0, γ2)
отрицателен, и поэтому
U1(γ) > 0 (γ ∈ (γ1, γ2), γ 6= 0), U1(0) = 0. (20)
4. Устойчивость равномерного вращения ротора синхронного электро-
двигателя. Логически возможны четыре типа равномерных вращений синхронно-
го электродвигателя, которые соответствуют решениям уравнения (2) относительно
угла γ̃, лежащим:
а) на участке убывания вращающего момента L1(γ̃),
б) на участке его возрастания,
в) в точке его локального максимума,
г) в точке его локального минимума.
Решения типов а), б) уравнение (2) имеет лишь при условии (3).
Рассмотрим вопрос об устойчивости режимов равномерного вращения ротора
неподвижного синхронного двигателя в случаях а)-г). В каждом из этих случа-
ев выбираем соответствующее решение уравнения (2) за начало отсчета угла γ и
представляем суммарный момент L по формулам (9), (10). Тогда динамика ротора
описывается дифференциальным уравнением
Iγ̈ = Lp(γ) + Ld(γ̇), (21)
а режим равномерного вращения соответствует решению γ = 0 этого уравнения.
В соответствии с (18), потенциальная энергия U1(γ) имеет в точке γ = 0 изоли-
рованный минимум в случае а) и изолированный максимум в случае б). В случаях
в), г) функция U1(γ) имеет перегиб при γ = 0. Следовательно, во всех случаях, кро-
ме случая а), функция U1(γ) принимает отрицательные значения при сколь угодно
малых значениях γ.
Рассмотрим функцию
W (γ, γ̇) =
1
2
Iγ̇2 + U1(γ). (22)
Имеем W (0, 0) = 0, а производная этой функции по времени в силу уравнения (21)
с учетом (17) равна
Ẇ (γ, γ̇) = γ̇Ld(γ̇). (23)
Согласно (11), Ẇ ≤ 0, причем Ẇ = 0 только при γ̇ = 0. Но при γ̇ ≡ 0 дифференци-
альное уравнение (21) сводится к конечному уравнению Lp(γ) = 0, которое не имеет
в окрестности точки γ = 0 других решений, кроме самой этой точки (см. рис.3).
94
Модель электродвигателя в теории гироскопов
Поэтому в фазовом пространстве (γ, γ̇) уравнения (21), кроме стационарной точки
(γ, γ̇) = (0, 0) в некоторой ее окрестности, не существует других целых полутраек-
торий, где Ẇ ≡ 0.
Так как в случае а) функция U1(γ) имеет нулевой минимум при γ = 0, то функ-
ция W (γ, γ̇) – определенно положительная. Следовательно, по теореме Барбашина-
Красовского [8], стационарное решение (γ, γ̇) = (0, 0) уравнения (21), соответствую-
щее равномерному вращению ротора, асимптотически устойчиво в случае а).
В каждом из случаев б)-г) функция U1(γ) принимает отрицательные значения
в сколь угодно малой окрестности точки γ = 0. Поэтому функция (22) принима-
ет отрицательные значения в сколь угодно малой окрестности стационарной точки
(γ, γ̇) = (0, 0). Производная Ẇ (γ, γ̇) по-прежнему выражается формулой (23) и яв-
ляется знакопостоянной отрицательной. Множество точек фазового пространства
(γ, γ̇) уравнения (21), в которых Ẇ (γ, γ̇) = 0, определено соотношением γ̇ = 0. Оно
содержит решение уравнения (21), если выполнено условие Lp(γ) = 0. Но ни в од-
ном из случаев б)-г) в окрестности стационарной точки (γ, γ̇) = (0, 0) не существует
других целых полутраекторий, удовлетворяющих условиям γ̇ = 0, Lp(γ) = 0. По-
этому данная стационарная точка неустойчива на основании теоремы Барбашина-
Красовского [8].
Итак, режимы равномерного вращения ротора неподвижного синхронного элек-
тродвигателя неустойчивы в случаях б)-г). Асимптотически устойчивым и поэтому
практически реализуемым является только режим равномерного вращения в случае
а), когда равновесное значение угла мощности лежит на участке убывания враща-
ющего момента L1.
1. Николаи Е.Л. О движении уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе // Прикл. мате-
матика и механика. – 1939. – 3, вып.4. – С.237-244.
2. Magnus K. Beiträge zur Dynamik des Kraftefreien kardanisch gelagerten Kreisels // Zeitschrift für
angewandte Mathematik und Mechanic. – 1955. – 35, No. 1/2. – P.83-91.
3. Plymale B.T., Goodstein R. Nutation of a free gyro subjected to an impulse // Transactions of
ASME. Journal of Applied Mechanics. – 1955. – 22, No. 3. – P.365-376.
4. Климов Д.М. О движении астатического гироскопа в кардановом подвесе с неаксиально наса-
женным ротором // Доклады АН СССР. – 1959. – 124, №3. – С.29-32.
5. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. – М.: Наука, 1978. –
208с.
6. Сыромятников И.А. Режимы работы асинхронных и синхронных двигателей. 4-е изд. – М.:
Энергоатом, 1984. – 240с.
7. Лищенко А.И. Синхронные двигатели с автоматическим регулированием возбуждения. – К.:
Техника, 1969. – 192с.
8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 224с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
konos@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 20.10.08
95
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20013 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:31:53Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. 2011-05-20T07:38:42Z 2011-05-20T07:38:42Z 2008 Модель электродвигателя в теории гироскопов / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 88-95. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20013 531.38, 531.36 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Модель электродвигателя в теории гироскопов Article published earlier |
| spellingShingle | Модель электродвигателя в теории гироскопов Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| title | Модель электродвигателя в теории гироскопов |
| title_full | Модель электродвигателя в теории гироскопов |
| title_fullStr | Модель электродвигателя в теории гироскопов |
| title_full_unstemmed | Модель электродвигателя в теории гироскопов |
| title_short | Модель электродвигателя в теории гироскопов |
| title_sort | модель электродвигателя в теории гироскопов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20013 |
| work_keys_str_mv | AT konosevičbi modelʹélektrodvigatelâvteoriigiroskopov AT konosevičûb modelʹélektrodvigatelâvteoriigiroskopov |