О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20016 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 119-127. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859627792031809536 |
|---|---|
| author | Ломако, Т.В. |
| author_facet | Ломако, Т.В. |
| citation_txt | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 119-127. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-11-29T13:48:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.5
c©2008. Т.В. Ломако
О РАСПРОСТРАНЕНИИ КОЛЬЦЕВЫХ
ГОМЕОМОРФИЗМОВ НА ГРАНИЦУ
Работа посвящена изучению кольцевых Q-гомеоморфизмов. Сформулированы условия на функцию
Q(x) и границу области, при которых всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает гомеоморфное
продолжение на границу. Кроме того, для произвольного кольцевого Q-гомеоморфизма f : D → D′
с Q ∈ L1(D) исследован вопрос о продолжении на границу обратных отображений. Показано, что
изолированная сингулярность устранима для кольцевых Q-гомеоморфизмов при условии, что Q
имеет конечное среднее колебание в точке.
1. Введение. В последнее время в работах многих известных специалистов по
теории отображений изучаются так называемые уравнения Бельтрами с вырожде-
нием, которые имеют широкое применение в науке и технике. Следует обратить вни-
мание, например, на работы [2] и [9], где изучается некоторый класс отображений,
который тесно связан с решениями упомянутых выше уравнений. Более подробно,
кольцевые Q-гомеоморфизмы, которые являются центральным объектом данной ра-
боты, являются решениями уравнений типа Бельтрами, поэтому их изучение с точки
зрения геометрической теории функций является важным и доказывает свое право
на существование.
Данная статья посвящена проблеме распространения кольцевых Q-гомеомор-
физмов на границу. Это означает, что и решения соответствующих уравнений Бель-
трами будут иметь при соответствующих условиях продолжение в точки границы
непрерывным образом.
Кольцевые гомеоморфизмы введены В.Рязановым, У.Сребро и Э.Якубовым на
плоскости, см., напр., [9]. Е.Севостьяновым показано, что при соответствующих
условиях семейства таких отображений нормальны, см. [12], и что такие отобра-
жения удовлетворяют теоремам типа Пикара-Сохоцкого-Вейерштрасса и Лиувилля
в окрестности изолированных существенно особых точках границы, см. [13].
Основные методы, которые использованы в данной статье, применялись ранее
для исследования различных вопросов, связанных с изучением Q-гомеоморфизмов,
см. [7], [3].
2. Предварительные сведения. Приведем основные обозначения и определе-
ния, которые будут использованы нами в дальнейшем. Всюду далее D – область в
Rn, n ≥ 2, Rn = Rn ∪ {∞}, B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x − x0| < r}, Bn = {x ∈ Rn :
|x| < r}, dm(x) – мера Лебега в Rn, diamA обозначает евклидов диаметр множе-
ства A ⊂ Rn, dist (A,B) обозначает евклидово расстояние между множествами A и
B в Rn, A ⊂ Rn. Пусть E , F ⊆ Rn− произвольные множества. Обозначим через
Γ(E,F, D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn , которые соединяют E и F в D ,
т.е. γ(a) ∈ E , γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b).
119
Т.В. Ломако
Напомним, что борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для
семейства Γ кривых γ в Rn , если
∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1
для всех γ ∈ Γ. В этом случае мы пишем: ρ ∈ adm Γ. Модулем семейства кривых Γ
называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
D
ρn(x) dm(x) .
Напомним, что топологическое пространство связно, если его нельзя разбить на
два непустых открытых множества. Компактные связные пространства называют-
ся континуумами. Топологическое пространство T будем называть линейно связ-
ным, если любые точки x1 и x2 можно соединить непрерывным путем γ : [0, 1] →
T, γ(0) = x1 и γ(1) = x2.
Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, d0 = dist(x0, ∂D), и пусть Q : D → [0, ∞] –
измеримая по Лебегу функция. Положим
A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2},
Si = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x− x0| < ri}, i = 1, 2.
Следующее понятие, см. [9], мотивировано кольцевым определением квазикон-
формности по Герингу и тесно связано с решением вырожденных уравнений типа
Бельтрами на плоскости. Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является кольце-
вым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если соотношение
M(f(Γ(S1, S2, A))) ≤
∫
A
Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) (1)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < d0, и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2) → [0, ∞] такой, что
r2∫
r1
η(r)dr = 1. (2)
В работе [10] было введено более общее понятие кольцевого Q-гомеоморфизма
нежели то, что касается соотношения (1) и связано с изучением поведения отображе-
ний на границе. Гомеоморфизм f : D → Rn называется кольцевым Q-гомеоморфиз-
мом в точке x0 ∈ D, если соотношение
M(f(Γ(K1, K2, D))) ≤
∫
A
⋂
D
Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) (3)
120
О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу
выполнено для любых двух континуумов K1, K2 из D, которые принадлежат раз-
ным компонентам дополнения в Rn кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < ∞,
которые содержат x0 и ∞ и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0, ∞],
такой что выполняется условие (2).
Напомним, что область D называется локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если
для любой окрестности U точки x0 найдется окрестность V ⊆ U точки x0 такая,
что V ∩ D связно, см. [5], с.232. Аналогично, область D локально линейно связна
в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется окрестность
V ⊆ U точки x0 такая, что V ∩D линейно связно.
Согласно [7], с.205, будем говорить, что ∂D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D,
если, для любой окрестности U точки x0, найдется компакт E ⊂ D, окрестность
V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что
M(Γ(E, F, D)) ≥ δ
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V. Граница ∂D области D на-
зывается слабо плоской в точке x0 ∈ ∂D, если для любого числа P > 0 и окрестности
U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая что
M(Γ(E, F, D)) ≥ P
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V . Граница области
D ⊂ Rn называется сильно достижимой, или слабо плоской, если соответствующие
свойства выполнены в каждой точке границы.
Напомним, что сферическое (хордальное) расстояние между точками x и y в Rn
есть величина h(x, y) = |π(x) − π(y)|, где π – стереографическая проекция Rn на
сферу Sn(1
2en+1,
1
2) в Rn+1:
h(x,∞) =
1√
1 + |x|2
, h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6= ∞ 6= y.
Хордальным диаметром множества E ⊆ Rn называется величина
h(E) = sup
x,y ∈E
h(x, y).
3. О непрерывном продолжении на границу.
Лемма 1.Пусть D локально линейно связна в x0 ∈ ∂D, D ′ – компакт, а f :
D → D ′ – кольцевой Q-гомеоморфизм такой, что ∂D ′ сильно достижима хотя
бы в одной точке предельного множества
C (x0, f) = {y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk) , xk → x0, xk ∈ D}. (4)
Предположим, что для каждой точки x0 ∈ ∂D найдется ε0 = ε(x0) > 0 такое,
что для ∀ ε ∈ (0, ε0)∫
D(x0, ε)
Q(x) · ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) (5)
121
Т.В. Ломако
при ε → 0, где D(x0, ε) = {x ∈ D : ε < |x − x0| < ε0} и ψ(t) – неотрицательная
измеримая функция на (0,∞), такая что
0 < I(ε, ε ′) =
ε ′∫
ε
ψ(t)dt < ∞
для всех (фиксированных) ε ′ ∈ (0, ε0] и ε ∈ (0, ε ′). Тогда f имеет непрерывное
продолжение в точку x0.
Доказательство. Не ограничивая общности можно считать, что ∞ /∈ D′. По-
кажем, что предельное множество E = C(x0, f) состоит из единственной точки.
Отметим, что E 6= ∅ ввиду компактности D ′. По условию леммы, ∂D ′ сильно до-
стижима в некоторой точке y0 ∈ E. Допустим, что существует хотя бы еще одна
точка y∗ ∈ E. Пусть U = B(y0, r0), где 0 < r0 < |y0 − y∗|.
В силу локальной линейной связности области D в точке x0, найдется после-
довательность окрестностей Vm точки x0 такая, что Dm = D
⋂
Vm – области и
diam(Vm) → 0 при m → ∞. Тогда найдутся точки ym и y∗m ∈ Fm = fDm, близ-
кие к y0 и y∗, соответственно, для которых |y0 − ym| < r0 и |y0 − y∗m| > r0, которые
можно соединить непрерывными кривыми Cm в областях Fm. По построению
Cm
⋂
∂B(y0, r0) 6= ∅,
ввиду связности Cm. По условию сильной достижимости найдется компакт C ∈ D ′
и число δ > 0 такие, что
M(Γ(C, Cm, D ′)) ≥ δ , (6)
для больших m, поскольку dist(y0, Cm) → 0 при m → ∞. Выберем континуум C ′,
такой что C ⊂ C ′ и C ′ ⊂ D.
Заметим, что Γ(C, Cm, D ′) ⊆ Γ(C ′, Cm, D ′), поэтому
M(Γ(C ′, Cm, D ′)) ≥ M(Γ(C, Cm, D ′)) ≥ δ. (7)
K = f−1(C ′) является континуумом как непрерывный образ континуума. Таким
образом, ε0 = 1
2 dist (x0, K) > 0.
Обозначим Bε = B(x0, ε), ε ∈ (0, ε0). Пусть ψ∗ – борелевская функция, такая что
ψ∗(t) = ψ(t) для почти всех t ∈ (0, ∞), которая существует по теореме Лузина, см.,
например, [11]. Тогда для функции
ηε(x) =
{
ψ∗(t)/I(ε, ε0), x ∈ (ε, ε0),
0, x /∈ (ε, ε0)
выполняется
ε0∫
ε
ηε(t)dt =
ε0∫
ε
ψ∗(t)
I(ε, ε0)
dt = 1.
122
О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу
Обозначим A = A(ε, ε0, x0). Возьмем континуумы K1 ∈ Bε
⋂
D и K2 = K, тогда
M(f(Γ(K1,K2, D))) ≤
∫
A
⋂
D
Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) =
=
∫
D(x0, ε)
Q(x)ψ∗n(|x− x0|)
I(ε, ε0)
dm(x) → 0 (8)
при ε → 0 согласно (5).
С другой стороны, для любого ε ∈ (0, ε0) при больших m имеет место вклю-
чение Dm ⊂ Bε, и поэтому Cm ⊂ fBε, откуда следует, что f−1Cm ⊂ Bε. Возь-
мем континуумы K1 = f−1(Cm) и K2 = K, заметим, что K1 ∈ B(x0, ε)
⋂
D, K2 ∈
(Rn \B(x0, ε0))
⋂
D, согласно (7) получим
M(f(Γ(K1,K2, D))) ≥ δ,
что противоречит (8). ¤
4. Основные следствия.
Теорема 1. Пусть область D из Rn, n ≥ 2 , локально линейно связна в точке
x0 ∈ ∂D, D ′ – компакт, а f : D → D ′ – кольцевой Q-гомеоморфизм такой, что
∂D ′ сильно достижима хотя бы в одной точке предельного множества
C (x0, f) = {y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk) , xk → x0, xk ∈ D},
где Q : D → [0,∞] – измеримая функция по Лебегу. Предположим, что в каждой
точке x0 ∈ D
qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0 , где qx0(r) – среднее интегральное значение Q(x) над сферой {x ∈ D :
|x− x0| = r}. Тогда f продолжим в точку x0 в Rn по непрерывности.
Доказательство. Пусть x0 – произвольная точка ∂D. Не ограничивая общности,
можно считать, что x0 = 0. Фиксируем ε0 < 1. Положим ψ(t) = 1
t log 1
t
. Заметим, что
∫
ε < |x|< ε0
Q(x)dm(x)(
|x| log 1
|x|
)n =
ε0∫
ε
∫
|x|= r
Q(x)(
|x| log 1
|x|
)n dS
dr ≤
≤ ωn−1
ε0∫
ε
dr
r log 1
r
= ωn−1 log
log 1
ε
log 1
ε0
= ωn−1 · I(ε, ε0) ,
где I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t) dt. Нужное заключение следует теперь прямо из леммы 1. ¤
123
Т.В. Ломако
С целью упрощения, мы обозначаем в дальнейшем −
∫
A
f(x)dm(x) := 1
|A|
∫
A
f(x)dm(x),
где, как обычно, |A| обозначает лебегову меру множества A ⊆ Rn. Следуя работе
[3], говорим, что функция ϕ : D → R имеет конечное среднее колебание в точ-
ке x0 ∈ D, пишем ϕ ∈ FMO(x0), если lim
ε→0
−
∫
B(x0, ε) |ϕ(x) − ϕε| dm(x) < ∞, где
ϕε = −
∫
B(x0, ε) ϕ(x) dm(x). Также говорим, что ϕ : D → R – функция конечного сред-
него колебания в D, пишем ϕ ∈ FMO(D), или ϕ ∈ FMO, если ϕ имеет конечное
среднее колебание в каждой точке x ∈ D.
Также напомним, см. раздел 2 в [3], что область D ⊂ Rn удовлетворяет условию
удвоения меры в точке x0 ∈ D, если
mesB(x0, 2ε) ∩D ≤ c ·mes B(x0, ε) ∩D
для некоторого c > 0 и достаточно малых ε > 0.
Лемма 2. Пусть D – область в Rn, удовлетворяющая условию удвоения меры
в 0 ∈ D, ϕ : D → R, n ≥ 2 – неотрицательная функция, имеющая конечное среднее
колебание в точке 0 ∈ D. Тогда при ε → 0
∫
ε<|x|<ε0
ϕ(x) dm(x)
(|x| log 1
|x| )
n = O
(
log log 1
ε
)
для
некоторого ε0 ≤ dist (0, ∂D), см. следствие 2.3. в [3].
Теорема 2. Пусть область D из Rn, n ≥ 2 , локально линейно связна в точ-
ке x0 ∈ ∂D и удовлетворяет условию удвоения меры во всех граничных точках,
D ′ – компакт, а f : D → D ′ – кольцевой Q-гомеоморфизм такой, что ∂D ′ сильно
достижима хотя бы в одной точке предельного множества
C (x0, f) = {y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk) , xk → x0, xk ∈ D},
где Q : D → [0,∞] – измеримая функция по Лебегу. Предположим, что Q(x) имеет
конечное среднее колебание во всех точках x0 ∈ D. Тогда f продолжим в точку x0
в Rn.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что x0 = 0 и Bn ⊂
D. Пусть ε0 < e−1. На основании леммы 2, для функции 0 < ψ(t) = 1
t log 1
t
будем
иметь, что ∫
ε<|x|<ε0
Q(x) · ψn(|x|) dm(x) = O
(
log log
1
ε
)
.
Заметим также, что
I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t) dt = log
log 1
ε
log 1
ε0
.
Оставшаяся часть утверждения следует теперь из леммы 1. ¤
5. О продолжении на границу обратных отображений.
Лемма 3. Пусть f : D → D′ – кольцевой Q-гомеоморфизм с Q ∈ L 1(D). Если
область D локально линейно связна в точках x1 и x2 ∈ ∂D, x1 6= x2, а D′ имеет
слабо плоскую границу, тогда C(x1, f)
⋂
C(x2, f) = ∅.
124
О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу
Доказательство. Пусть Ei = C(xi, f), i = 1, 2 и δ = |x1 − x2|. Предположим,
что E1
⋂
E2 6= ∅. Так как область D локально линейно связна в точках x1 и x2,
существуют окрестности U1 и U2 точек x1 и x2, соответственно, такие что W1 =
D
⋂
U1 и W2 = D
⋂
U2 – области и U1 ⊂ B(x1,
δ
3) и U2 ⊂ CB(x1,
2δ
3 ). Тогда по
неравенству треугольника dist(W1, W2) ≥ δ
3 и функция
η(x) =
{
3
δ , x ∈ ( δ
3 , 2δ
3 ),
0, x /∈ ( δ
3 , 2δ
3 ).
Имеем
2δ
3∫
δ
3
η(t)dt = 1, следовательно, для любых континуумов K1 ⊂ W1 и K2 ⊂ W2:
M(f(Γ(K1, K2, D))) ≤
∫
A( δ
3
, 2δ
3
, x1)
Q(x)ηn(|x− x1|)dm(x) ≤
≤ 3n
δn
∫
A( δ
3
, 2δ
3
, x1)
⋂
D
Q(x)dµ(x) < ∞,
так как Q ∈ L 1(D).
Последняя оценка противоречит, однако, условию слабой плоскости, если най-
дется y0 ∈ E1
⋂
E2. Действительно, тогда y0 ∈ fW1
⋂
fW2 и в областях W ∗
1 = fW1,
и W ∗
2 = fW2 найдется по непрерывной кривой, пересекающей любые наперед задан-
ные сферы ∂B(y0, r0) и ∂B(y0, r∗) с достаточно малыми радиусами r0 и r∗. Поэтому
предположение, что E1
⋂
E2 6= ∅, неверно. ¤
Из леммы 3 следует следующее заключение.
Теорема 3. Пусть D локально линейно связна во всех своих граничных точках
и D – компакт, D′ имеет слабо плоскую границу, а f : D → D′ – кольцевой Q-
гомеоморфизм с Q ∈ L1(D). Тогда обратный гомеоморфизм g = f−1 : D′ → D
допускает непрерывное продолжение g : D′ → D.
6. Устранение изолированной особенности. В следующей лемме показано,
что для устранения изолированной особенности кольцевых Q-гомеоморфизмов до-
статочно потребовать интегрируемость Q(x) с подходящим весом.
Лемма 4. Пусть f : Bn \ {0} → Rn, n ≥ 2 – кольцевой Q-гомеоморфизм. Пред-
положим, что существует ε0 (0 < ε0 < 1
2), такое что для любого ε ∈ (0, ε0)
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψn(|x|)dm(x) = o(I(ε)n), (9)
при ε → 0, где ψ(t) – неотрицательная измеримая функция на (0, ∞), такая что
0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt < ∞, (10)
125
Т.В. Ломако
то f имеет непрерывное продолжение на Bn, которое является кольцевым Q-
гомеоморфизмом.
Доказательство. Пусть ψ∗ – борелевская функция, такая что ψ∗(t) = ψ(t) для
п. в. t ∈ (0, ∞). Такая функция ψ∗ существует по теореме Лузина, см. напр., [11].
Тогда функция
ηε(t) =
{
ψ∗(|t|)/I(ε), t ∈ (ε, ε0),
0, t /∈ (ε, ε0),
такая что
ε0∫
ε
ηε(t)dt = 1 и, следовательно, для сфер S1 = S(0, ε
2) и S2 = S(0, 2ε0) :
M(f(Γ(S1, S2, Bn \ {0}))) ≤
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ηn
ε (|x|)dm(x),
т. е. M(f(Γ(S1, S2, Bn \ {0}))) → 0 при ε → 0 согласно (9).
По лемме Геринга, см. [4],
M(f(Γ(S1, S2, Bn \ {0}))) ≥ an
(log bn
δ0δε
)n−1
,
где an и bn зависят только от n, δ0 и δε – сферические (хордальные) диаметры fS2
и fS1. Таким образом, δε → 0 и fS1 стягивается в точку при ε → 0. ¤
В частности, выбирая в лемме 4 ψ = 1
t log(1/t) , получаем согласно лемме 2 следу-
ющее утверждение.
Теорема 4. Пусть f : D\ {x0} → Rn, n ≥ 2, является кольцевым Q-гомео-
морфизмом, где Q(x) имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D, либо ло-
гарифмические особенности порядка не выше n − 1. Тогда f допускает кольцевое
Q-гомеоморфное продолжение на D.
1. Bishop C.J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Intern.
Journ. Math. and Math. Scie. – 2003. – 22. – P.1397-1420.
2. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. General Beltrami equations and BMO // Ukr. Math. Bull.
– 2008. – 5, №3 – P.305-326.
3. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. матем.
вестник. – 2005. – 2, №3. – C.395-417.
4. Gehring F. W. Quasiconformal mappings, in Complex Analysis and its Applications, V.2. – Interna-
tional Atomic Energy Agency: Vienna, 1976.
5. Куратовский К. Топология, т.2. – М.: Мир, 1969. – 624с.
6. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q–homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. – 2005. – 30, №1. – P.49-69.
7. Рязанов В.И., Салимов Р.Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений //
Укр. матем. вестник. – 2007. – 4, №2. – C.199-234.
8. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеомор-
физмов // Сиб. матем. ж. – 2007. – 48, №6. – C.1361-1376.
9. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. d’Anal. Math. –
2005. – 96. – P.117–150.
10. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. To convergence theory for Beltrami equations // Ukr. Math.
Bull. – 2008. – 5, №4. – P.503-514.
126
О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу
11. Saks S. Theory of Integral. – New York: Dover Publ. Inc., 1964.
12. Севостьянов Е.А. Теория модулей, емкостей и нормальные семейства отображений, допускаю-
щих ветвление// Укр. матем. вестник. – 2007. – 4, №4. – C.582-604.
13. Севостьянов Е.А. Теоремы Лиувилля, Пикара и Сохоцкого для кольцевых отображений //
Укр. матем. вестник. – 2008. – 5, №3. – C.366-381.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
brusin2006@rambler.ru
Получено 30.11.08
127
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20016 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T13:48:33Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ломако, Т.В. 2011-05-20T07:43:30Z 2011-05-20T07:43:30Z 2008 О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 119-127. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20016 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу Article published earlier |
| spellingShingle | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу Ломако, Т.В. |
| title | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу |
| title_full | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу |
| title_fullStr | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу |
| title_full_unstemmed | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу |
| title_short | О распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу |
| title_sort | о распространении кольцевых гомеоморфизмов на границу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20016 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv orasprostraneniikolʹcevyhgomeomorfizmovnagranicu |