Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20017 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 / В.А. Маркашева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 128-143. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20017 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Маркашева, В.А. 2011-05-20T07:45:00Z 2011-05-20T07:45:00Z 2008 Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 / В.А. Маркашева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 128-143. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20017 517.946 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 |
| spellingShingle |
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 Маркашева, В.А. |
| title_short |
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 |
| title_full |
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 |
| title_fullStr |
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 |
| title_full_unstemmed |
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 |
| title_sort |
локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа баоуенди-грушина. часть 2 |
| author |
Маркашева, В.А. |
| author_facet |
Маркашева, В.А. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20017 |
| citation_txt |
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 2 / В.А. Маркашева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 128-143. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT markaševava lokalʹnaâgelʹderovostʹrešeniikvazilineinyhparaboličeskihuravneniisnelineinymoperatoromtipabaouendigrušinačastʹ2 |
| first_indexed |
2025-11-24T21:54:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:54:15Z |
| _version_ |
1850499222710779904 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.946
c©2008. В.А. Маркашева
ЛОКАЛЬНАЯ ГЁЛЬДЕРОВОСТЬ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМ
ОПЕРАТОРОМ ТИПА БАОУЕНДИ-ГРУШИНА. ЧАСТЬ 2
В работе изучается свойство регулярности решений вырождающегося параболического уравнения с
нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Установлено свойство локальной гёльдеровости
решений.
Введение. Исследуется решение задачи Коши для квазилинейного вырождаю-
щегося параболического уравнения следующего вида
∂u
∂t
= Lλ,α[u] = divL(|DLu|λ−1DLu), (x, y, t) ∈ ST = RN+M × (0, T ). (1.1)
Здесь λ > 1, а x = (x1, .., xN ), y = (y1, .., yM ), N ≥ 1,M ≥ 1 – произвольные точки
евклидовых пространств RN и RM , соответственно. z = (x, y) = (x1, .., xN , y1, .., yM ),
z ∈ RN+M . Символом DLu обозначим вектор
DLu =
(
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, ..,
∂u
∂xN
, |x|α ∂u
∂y1
, |x|α ∂u
∂y2
, .., |x|α ∂u
∂yM
)
. (1.2)
Далее,
|DLu| =
√√√√
N∑
i=1
(
∂u
∂xi
)2 + |x|2α
M∑
j=1
(
∂u
∂yj
)2,
divL
~F (x, y) =
N∑
i=1
∂Fi
∂xi
+ |x|α
M∑
j=1
∂Fj+N
∂yj
.
Если α = 0, то при условии λ > 1 ([7]) уравнение (1.1) описывает процесс с медленной
диффузией. Операторы типа L1,α = ∆x + |x|2α∆y, где символ ∆ означает оператор
Лапласа, впервые исследовались в работах [1] и [6]. В работах [3] и [4] изучались
качественные свойства решения уравнения Lλ,α[u] = f , т.е. эллиптического аналога
(1.1) (см. также [5] и имеющуюся там литературу).
Цель данной работы – доказать локальную гёльдеровость решений уравнения
(1.1). Прежде, чем перейти к формулировкам основных результатов работы, введем
необходимые понятия. Однородное расстояние для пространственных переменных
d(z, 0) = d((x, y), (0, 0)) =
(|x|2(α+1) + (α + 1)2|y|2)1/2(α+1)
. В качестве шаров исполь-
зуем Bρ(z′) = {z ∈ RN+M : d(z − z′, 0) ≤ ρ}. Q = N + (α + 1)M – однородная
размерность в пространствах Карно-Каратеодори (см. [6]). Bρ является естествен-
ным расширением понятия шара в пространствах Карно-Каратеодори.
128
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
Пусть t > 0, R > 0 – произвольные фиксированные числа.
Определение. Слабым решением уравнения (1.1) будем называть неотрицатель-
ную измеримую на ST = RN+M × (0, T ) функцию
u(x, y, t) ∈ Vλ+1,loc(ST ) ≡ Lλ+1(t, T ; L1,λ+1,loc(RM+N )) ∩ C(t, T ; L2,loc(RM+N )),
при каждом t > 0 удовлетворяющую интегральному тождеству :
∫
BR
u(z, τ)η(z, τ)dz|t2t1 +
∫ t2
t1
∫
BR
{−uητ + (|DLu|λ−1DLu)DLη}dzdτ = 0, (1.3)
для всех η(x, y, t) ∈ C(t, T ; L1,λ+1(BR)) ∩ L2(BR × (t, T )) и для всех t1, t2 : 0 < t ≤
t1 ≤ t2 ≤ T.
Основным результатом статьи является теорема вложения:
Теорема 5.3. Пусть u ∈ Vλ+1,loc(ST ) ∩ L∞,loc(ST ) – слабое решение уравнения
(1.1). Тогда u(z, t) – локально гёльдерово на ST и для любого компакта K ⊂ ST су-
ществует постоянные ᾱ ∈ (0, 1) и C(ᾱ), зависящие только от параметров задачи
и diamK, такие что
|u(z1, t1)− u(z2, t2)| ≤ C(ᾱ)(dᾱ(z1, z2) + |t1 − t2|
ᾱ
λ+1 ). (1.4)
Содержание теоремы 5.3 является естественным обобщением результатов работы
[2], где изучался случай α = 0. Доказательство теоремы 5.3 приводится подходом
работы [2], где существенно используются также идеи работы [5].
Статья разделена на 2 части. В первую часть входят разделы 1 и 2. Во вто-
рую часть входят разделы 3, 4 и 5. Структура статьи такова: в первом разделе
описывается класс функций Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), для λ > 1, и доказывается, что ес-
ли слабое решение уравнения (1.1) из L∞,loc(ST ), то принадлежит классу функ-
ций Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), второй раздел содержит предварительные пояснения и обо-
значения, а также вспомогательные утверждения, на основании которых строит-
ся доказательство альтернатив и основного результата, разделы 3 и 4 доказыва-
ют соответственно первую и вторую альтернативы, а в пятом разделе приводит-
ся доказательство теоремы 5.3 при помощи альтернатив. Доказательства третьего,
четвертого и пятого разделов используют лишь принадлежность функции классу
Bλ+1,loc(ST , M̄ , C).
На протяжении всей работы символами C, Ci.j будем обозначать различные по-
ложительные константы, зависящие лишь от параметров λ,N,M, ᾱ, α. Индексы i, j
означают, что эта константа впервые появляется в выражении (i.j). Нумерация
сквозная.
Продолжим доказательство теоремы 5.3.
3. Первая альтернатива.
Лемма 3.1.Существует α0 ∈ (0, 1), не зависящее от w, R, s∗, такое , что если
для некоторого t̄ : t̄ ≤ t0, t̄−θ0R
λ+1 ≥ t0−θ∗Rλ+1, найдется цилиндр Ss0
R (z0, t̄) = Ss0
R ,
129
В.А. Маркашева
для которого справедлива оценка
∣∣∣(z, t) ∈ Ss0
R : u(z, t) < µ− +
w
2s0
∣∣∣ ≤ α0
∣∣Ss0
R
∣∣ , (3.1)
то либо
w < 2s0Rε
для некоторого произвольного ε : 0 < ε < (λ + 1)/(λ− 1), либо
u(z, t) > µ− + w/2s0+1 (3.2)
для всех (z, t) ∈ Ss0
R/2.
Доказательство леммы. Если первое утверждение неверно и w ≥ 2s0Rε, тогда
цилиндр Ss0
R компактно вложен в цилиндр Sε
R = BR × (t0 − Rλ+1−ε(λ−1), t0). По-
скольку u ∈ Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), то удовлетворяет первым двум условиям леммы 2.7.
Положив s = s0, θ = θ0, ρ = R, t = t̄, рассмотрим условие (2.7)
t̄∫
t̄−θρλ+1
mes {z : (u− µ± ∓ w
2s
)± > 0, z ∈ Bρ}dτ =
∣∣∣(z, t) ∈ Ss0
R : u(z, t) < µ− +
w
2s0
∣∣∣ ≤
≤ C
−Q+λ+1
λ+1
2.9 4−
(Q+λ+1)2
λ+1 ρQ+λ+1 = C
−Q+λ+1
λ+1
2.9 4−
(Q+λ+1)2
λ+1
∣∣Ss0
R
∣∣ .
Очевидно, что условие (2.7) справедливо при любом
α0 ≤ C
−Q+λ+1
λ+1
2.9 4−
(Q+λ+1)2
λ+1 .
Применив лемму 2.7, получим утверждение
u(z, t) > µ− + w/2s0+1
для всех (z, t) ∈ Ss0
R/2. Что и требовалось доказать.¤
Замечание 3.1. В данной лемме значение t̄ не определено. Единственное ограни-
чение уже описано в предыдущем разделе: t̄ ≤ t0, t̄−θ0R
λ+1 ≥ t0−θ∗Rλ+1. Выберем
s1 : t̄− θ0(R/2)λ+1 = t0 − θ1(R/2)λ+1. Очевидно, что s0 ≤ s1 ≤ s∗.
Лемма 3.2. Если
H− = ||(u− [µ− +
w
2s0+1
])−||∞,S
s1
R/2
≥ w
2s0+2
(3.3)
и выполняются условия леммы 3.1, тогда для любого α0 ∈ (0, 1), удовлетворяюще-
го (2.1), найдется m = m(α0), не зависящее от w и R, такое что либо w < 2s1Rε,
либо
mes
{
z ∈ BR/4 : u(z, t) < µ− +
w
2s0+m
}
< α0|BR/4| (3.4)
сразу для всех t ∈ [t0 − θ1(R/2)λ+1, t0].
130
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
Доказательство леммы 3.2. Поскольку u ∈ Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), то неравенство
(1.6) справедливо на цилиндре Ss1
R/2(z0, t0). В качестве срезающей функции выберем
ξ(z), которая равна 1 на шаре BR/4, нулю вне шара BR/2, и |DLξ| ≤ 4/R. Положим
ν = w/2s0+m, k = µ− + w/2s0+1. Тогда (1.6) примет вид
ess sup
t0−θs1 (R/2)λ+1≤τ≤t0
∫
BR/2
ψ2(H−, (u− [µ− + w
2s0+1 ])−(τ), w
2s0+m )ξλ+1(z)dz ≤
≤ ∫
BR/2
ψ2((u− k)−)(t0 − θs1(R/2)λ+1)dz + C1.6
∫ ∫
S
s1
R/2
ψ|ψ|1−λ|DLξ|λ+1dzdτ. (3.5)
Заметим, что (u−k)− = −min([u−µ−]−w/2s0+1, 0) ≤ −min(−w/2s0+1, 0) = w/2s0+1.
Тогда H− ≤ w/2s0+1 и
ψ = ln+
(
H−
H− − (u− [µ− + w
2s0+1 ])− + w
2s0+m
)
≤ ln+
(
H−
w
2s0+m
)
≤
≤ ln(2m−1) = (m− 1) ln 2.
|ψu|1−λ =
∣∣∣∣∣
1
H− − (u− k)− + w
2s0+m
∣∣∣∣∣
1−λ
= |H− − (u− k)− +
w
2s0+m
|λ−1 ≤
≤
∣∣∣ w
2s0+1
+
w
2s0+1
∣∣∣
λ−1
=
( w
2s0
)λ−1
= θ0.
Поскольку справедлива лемма 3.1, то u > µ− + w/2s0+1 при t = t̄ − θ0(R/2)λ+1.
Выберем s1 : t̄ − θ0(R/2)λ+1 = t0 − θ1(R/2)λ+1. Очевидно, что s0 ≤ s1 ≤ s∗. Тогда
(u − k)−(t0 − θ1(R/2)λ+1) = 0, откуда ψ
(
(u− k)−(t0 − θ1(R/2)λ+1)
)
= 0. Оценим
правую часть неравенства (3.5) сверху.
∫
BR/2
ψ2((u− k)−)(t0 − θ1(R/2)λ+1)dz + C1.6
∫ ∫
S
s1
R/2
ψ|ψ|1−λ|DLξ|λ+1dzdτ ≤
≤ C1.6θ0(m− 1) ln 2
(R/4)λ+1
|Ss1
R/2|.
Заметим, что
ψ2 = (ln+
(
H−
H− − (u− [µ− + w
2s0+1 ])− + w
2s0+m
)
)2 ≥
≥ (ln+
(
w
2s0+2
w
2s0+m−1
)
)2 = (m− 3)2 ln2 2.
ess sup
t0−θs1 (R/2)λ+1≤τ≤t0
∫
BR/2
ψ2(H−, (u− [µ− +
w
2s0+1
])−(τ),
w
2s0+m
)ξλ+1(z)dz ≥
131
В.А. Маркашева
≥ (m− 3)2 ln2 2 mes
{
z ∈ BR/4 : (u(z, t)− [µ− +
w
2s0+m
])− > 0
}
.
Имеем для всех t ∈ [t0 − θs1(R/2)λ+1, t0] и m = max([C1.62s1/α0] + 1; s1 − s0 + 1)
mes
{
z ∈ BR/4 : u(z, t) < µ− +
w
2s0+m
}
≤ C1.6
(m− 1)4λ+1
(m− 3)2Rλ+1
θ0|Ss1
R/4| ≤ α0|BR/4|.
Лемма доказана. ¤
Замечание 3.2. Выбор m не зависит от w, R, s∗. Дополнительное свойство m :
m + s0 > s1 будет использовано при доказательстве следующей леммы 3.3.
Лемма 3.3. Если выполняются условия леммы 3.1 и леммы 3.2, то либо w <
2s1Rε, либо
u(z, t) > µ− +
w
2s0+m+1
(3.6)
для всех (z, t) ∈ Ss1
R/8(z0, t0).
Доказательство леммы 3.3. Выберем ρn = R/8 + R/2n+3, ρ̄n = (ρn + ρn+1)/2,
kn = µ− + w/2s0+m+1 + w/2s0+m+1+n, n = 0, 1, 2, .. Обозначим Sn = Ss1
ρn
, S̄n = Ss1
ρ̄n
.
Выберем срезающую функцию ξ(z), которая равна 1 на S̄n, нулю вне Sn, и |DLξ| ≤
2n+1/ρn. Поскольку u ∈ Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), то неравенство (1.5) справедливо на
каждом цилиндре Sn :
ess sup
t0−θ1(R/8)λ+1≤τ≤t0
||(u− kn)−||2L2(Bρ̄n) + ||DL(u− kn)−||λ+1
Lλ+1(S̄n)
≤
≤ ||(u− kn)−||2L2(Bρ̄n )(t0 − θ1(R/8)λ+1)+
+C1.5
2n(λ+1)
ρλ+1
n
∫ ∫
Sn
[(u− kn)−]λ+1dzdτ.
(3.7)
Заметим, что поскольку s1 : t̄−θ0(R/2)λ+1 = t0−θ1(R/2)λ+1, то τ = t0−θ1(R/8)λ+1 :
τ ∈ (t̄ − θ0(R/2)λ+1, t̄) и по лемме 3.1 (u − kn)−(t0 − θ1(R/8)λ+1) = 0 для всех z ∈
BR/2(z0). Также заметим, что в силу выбора kn
(
2s1
w
)λ−1
ess sup
∫
Bρ̄n
[(u− kn)−]λ+1dz ≤
≤
(
2s0+m
w
)λ−1
ess sup
∫
Bρ̄n
[(u− kn)−]λ+1dz ≤ ess sup
∫
Bρ̄n
[(u− kn)−]2dz.
Сделав в неравенстве (3.7) замену переменной τ = t0 + θ1ź, получим оценку на
цилиндрах Sn = Bρn × (−(R/8)λ+1, 0), S̄n = Bρ̄n × (−(R/8)λ+1, 0) :
θ1ess sup
∫
Bρ̄n
[(v − kn)−]λ+1dz + θ1||DL(v − kn)−||λ+1
Lλ+1(S̄n)
≤ C1.5
2n(λ+1)
ρλ+1
n
θ1|A−n |.
132
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
||(v − kn)−||λ+1
Vλ+1(S̄n)
≤ C1.5
2n(λ+1)
ρλ+1
n
( w
2s1
)λ+1
|A−n |. (3.8)
Введем кусочно-гладкую срезающую функцию ϕn(z), которая равна 1 на Bρn+1 , 0
вне Bρ̄n , |DLϕn| ≤ 2n+1/ρn. Тогда (v−kn)−ϕn ∈ V0
λ+1(S̄n). Следствие 2.5 и неравен-
ство (3.8) дают
||(v − kn)−||λ+1
Vλ+1(Sn+1)
≤ ||(v − kn)−||λ+1
Vλ+1(S̄n)
≤
≤ C2.5|A−n |
λ+1
Q+λ+1 ||(v − kn)−ϕn||λ+1
V0
λ+1(S̄n)
≤
≤ C2.5|A−n |
λ+1
Q+λ+1
{
||(v − kn)−||λ+1
Vλ+1(S̄n)
+
2(n+2)(λ+1)
ρn
λ+1
||(v − kn)−||λ+1
Lλ+1(Sn)
}
≤
≤ C2.5C1.5
2n(λ+1)
ρλ+1
n
( w
2s1
)λ+1
|A−n |1+ λ+1
Q+λ+1 .
Так как
||(v − kn)−||λ+1
Vλ+1(Sn+1)
≥
≥ |kn − kn+1|λ+1|A−n+1| ≥ (w/2s0+m)λ+1/2(λ+1)(n+1)|A−n+1|,
имеем
|A−n+1| ≤ C2.5C1.52λ+1 4n(λ+1)
ρλ+1
n
|A−n |1+ λ+1
Q+λ+1 = C3.9
4n(λ+1)
ρλ+1
n
|A−n |1+ λ+1
Q+λ+1 . (3.9)
Введем новое обозначение Yn = |A−n |/|Sn|. Тогда
Yn+1 ≤ C3.94n(λ+1)Y
1+ λ+1
Q+λ+1
n .
Заметим, что
Y0 =
∣∣(z, t) : u > µ− + w
2s0+m , z ∈ BR/4, t ∈ [t0 − θ1(R/8)λ=1, t0]
∣∣
|BR/4 × [t0 − θ1(R/8)λ=1, t0]| ≤ α0
в следствие леммы 3.2. Применим лемму 2.6. Доказательство завершено. ¤
Утверждение 3.4. Для некоторого, фиксированного в лемме 3.1, α0 ∈ (0, 1)
найдутся целые положительные s1 и m, такие что, если существует цилиндр
Ss0
R (z0, t̄) : ∣∣∣(z, t) ∈ Ss0
R : u(z, t) < µ− +
w
2s0
∣∣∣ ≤ α0
∣∣Ss0
R
∣∣ ,
тогда либо w < 2s1Rε, либо
ess osc
S
s1
R/8
(z0,t0)
u < w
(
1− 1
2s0+m+1
)
. (3.10)
133
В.А. Маркашева
Доказательство. Если выполняется условие (3.1) и
H− = ||(u− [µ− +
w
2s0+1
])−||∞,S
s1
R/2
≥ w
2s0+2
,
то справедливы леммы 3.1, 3.2, 3.3, откуда
u(z, t) > µ− +
w
2s0+m+1
для всех (z, t) ∈ Ss1
R/8(z0, t0). Следовательно,
ess inf
S
s1
R/8
(z0,t0)
u(z, t) ≥ µ− +
w
2s0+m+1
.
Тогда
ess osc
S
s1
R/8
u(z, t) = ess sup
S
s1
R/8
u(z, t)− ess inf
S
s1
R/8
u(z, t) ≤
≤ µ+ − µ− − w
2s0+m+1
= w
(
1− 1
2s0+m+1
)
.
Если же
H− = ||(u− [µ− +
w
2s0+1
])−||∞,S
s1
R/2
<
w
2s0+2
,
то
ess inf
S
s1
R/8
u(z, t) ≥ µ− +
w
2s0+1
− w
2s0+2
= µ− +
w
2s0+2
≥ µ− +
w
2s0+m+1
.
Утверждение доказано.¤
Замечание 3.3. Число s1 зависит от t0 и s1 ≤ s∗, m зависит только от выбора
α0.
4. Вторая альтернатива. Первая альтернатива имеет смысл, если для неко-
торого, фиксированного в лемме 3.1, числа α0 ∈ (0, 1) существует хотя бы один
цилиндр Ss0
R (z0, t̄), такой что
∣∣∣(z, t) ∈ Ss0
R : u(z, t) < µ− +
w
2s0
∣∣∣ ≤ α0
∣∣Ss0
R
∣∣ . (4.1)
Во второй альтернативе будем предполагать, что для подобного α0 не существует
ни одного цилиндра, для которого справедливо (4.1). Тогда для всех t̄ < t0 < T и
цилиндров Ss0
R (z0, t̄) выполняется
∣∣∣(z, t) ∈ Ss0
R : u(z, t) < µ− +
w
2s0
∣∣∣ > α0
∣∣Ss0
R
∣∣ .
Используя верное неравенство µ+ − w/2s0 ≥ µ− + w/2s0 , имеем
∣∣∣(z, t) ∈ Ss0
R : u(z, t) < µ− +
w
2s0
∣∣∣ ≤ (1− α0)
∣∣Ss0
R
∣∣ , (4.2)
134
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
для всех Ss0
R (z0, t̄), где t̄ : t̄− θ0R
λ+1 ≥ t0 − θ∗Rλ+1, t̄ ≤ t0.
Лемма 4.1. Пусть справедливо (4.2). Тогда существует t∗ ∈ [t̄ − θ0R
λ+1, t̄ −
(α0/2)θ0R
λ+1], такое что
∣∣∣z ∈ BR : u(z, t∗) > µ+ − w
2s0
∣∣∣ ≤
(
1− α0
1− α0
2
)
|BR|.
Доказательство. От противного. Допустим, что не существует такого t∗, тогда
для почти всех t ∈ [t̄− θ0R
λ+1, t̄− (α0/2)θ0R
λ+1] справедливо
∣∣∣z ∈ BR : u(z, t) > µ+ − w
2s0
∣∣∣ >
(
1− α0
1− α0
2
)
|BR|.
Проинтегрировав неравенство по t на множестве [t̄ − θ0R
λ+1, t̄ − (α0/2)θ0R
λ+1],
получаем ∣∣∣(z, t) ∈ Ss0
R (t̄) : u(z, t) > µ+ − w
2s0
∣∣∣ >
>
t̄−(α0/2)θ0Rλ+1∫
t̄−θ0Rλ+1
{
z ∈ BR : u(z, t) > µ+ − w
2s0
}
dt > (1− α0)|Ss0
R |,
что противоречит (4.2).¤
Лемма 4.2. Предположим, что
H+ = ||(u− [µ+ − w
2s0+1
])+||∞,S
s0
R
>
w
2s0+2
.
Тогда существует целое положительное l, определенное в (2.1), не зависящее от
w и R, такое что либо w ≤ 2s0+lRε, либо
∣∣∣z ∈ BR : u(z, t) > µ+ − w
2s0+l
∣∣∣ ≤
(
1−
(α0
2
)2
)
|BR|
для всех t ∈ [t̄− (α0/2)θ0R
λ+1, t̄].
Доказательство. Используем неравенство (1.6). Обозначим S∗R = BR × [t∗, t],
S∗R−σR = BR−σR × [t∗, t], t ∈ [t̄ − (α0/2)θ0R
λ+1, t̄]. Положим k = µ+ − w/2s0 , ν =
w/2s0+l. В качестве срезающей функции выберем ξ(z), которая равна 1 на шаре
BR−σR, нулю вне шара BR, и |DLξ| ≤ 1/(σR). Тогда (1.6) примет вид
∫
BR−σR
ψ2(H+, (u− [µ+ − w
2s0
])+(τ),
w
2s0+l
)ξλ+1(z)dz ≤
≤
∫
BR
ψ2((u− k)+)(t∗)dz + C1.6
∫ ∫
S∗R
ψ|ψ|1−λ|DLξ|λ+1dzdτ.
135
В.А. Маркашева
Заметим, что (u − k)+ = max([u − µ+] + w/2s0 , 0) ≤ max(w/2s0 , 0) = w/2s0 . Тогда
H+ ≤ w/2s0 и
ψ = ln+
(
H+
H+ − (u− [µ+ − w
2s0 ])+ + w
2s0+l
)
≤ ln+
(
H+
w
2s0+l
)
≤ ln(2l) = l ln 2.
|ψu|1−λ =
∣∣∣∣∣
1
H+ − (u− k)+ + w
2s0+l
∣∣∣∣∣
1−λ
= |H+ − (u− k)+ +
w
2s0+l
|λ−1 ≤
≤
∣∣∣ w
2s0
+
w
2s0
∣∣∣
λ−1
= 2λ−1
( w
2s0
)λ−1
= θ02λ−1.
Поскольку справедлива лемма 4.1, то оценим первый интеграл справа
∫
BR
ψ2((u− k)+)(t∗)dz ≤
∫
{z∈BR:u>µ+− w
2s0 }
ln2
(
H+
ν
)
dz ≤
≤ ln2
(
w
2s0
w
2s0+l
)
|{z ∈ BR : u > µ +− w
2s0
}| ≤ l2ln22
(
1− α0
1− α0
2
)
|BR|.
Получим оценку
∫
BR−σR
ψ2((u− k)+)(t)dz ≤ l2ln22
(
1− α0
1− α0
2
)
|BR|+ C1.6θ0l2λ−1 ln 2(t− t∗)
(σR)λ+1
|BR|.
Учтем, что t̄− t∗ ≤ θ0R
λ+1. Имеем
∫
BR−σR
ψ2((u− k)+)(t)dz ≤ l2ln22
(
1− α0
1− α0
2
)
|BR|+ C1.6l2λ−1 ln 2
σλ+1
|BR|.
Оценим левую часть неравенства
∫
BR−σR
ψ2((u− k)+)(t)dz ≥
∫
{z∈BR−σR:u>µ+− w
2s0+l }
ln2
(
H+
ν
)
dz ≥
≥ ln2
(
w
2s0+2
w
2s0+l
)
|{z ∈ BR−σR : u > µ +− w
2s0+l
}| ≥
≥ (l − 2)2ln22|{z ∈ BR−σR : u > µ +− w
2s0+l
}|.
Имеем
|{z ∈ BR−σR : u > µ +− w
2s0+l
}| ≤
136
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
≤ 1
(l − 2)2ln22
(
l2ln22
(
(1− α0)
(1− α0
2 )
)
|BR|+ C1.6l2λ−1 ln 2
σλ+1
|BR|
)
.
Тогда
|{z ∈ BR : u > µ +− w
2s0+l
}| ≤
≤ |{z ∈ BR−σR : u > µ +− w
2s0+l
}|+ |BR −BR−σR| ≤
≤
(
l2
(l − 2)2
1− α0
1− α0
2
+
C1.6l2λ−1
σλ+1(l − 1)2 ln 2
+ Qσ
)
|BR|
для всех t ∈ [t∗, t̄]. По условию (2.1) l выбрана таким образом, что (l/(l − 2))2 <
(1− α0/2)(1 + α0). Выберем σ достаточно малым, чтобы
C1.6l2λ−1
σλ+1(l − 2)2 ln 2
≤ 3
8
α2
0, Qσ ≤ 3
8
α2
0.
Тогда
|{z ∈ BR : u > µ +− w
2s0+l
}| ≤ (1− α2
0 +
3
8
α2
0 +
3
8
α2
0)|BR| = (1− (α0/2)2)|BR|
для каждого t ∈ [t̄− (α0/2)θ0R
λ+1, t̄], поскольку t∗ ≤ t̄− (α0/2)θ0R
λ+1. Что и требо-
валось доказать. ¤
Замечание 4.1. Условие (4.2) выполняется для всех t̄ ≤ t0 : t0 ≥ t̄ ≥ t0 − (θ∗ −
θ0)Rλ+1. Лемма 4.2 выполняется для t ∈ [t̄ − (α0/2)θ0R
λ+1, t̄], значит, t ∈ [t0 −
(θ∗ − θ0)Rλ+1 − (α0/2)θ0R
λ+1, t0] = [t0 − (θ∗ − (1− (α0/2))θ0)Rλ+1, t0]. Заметим, что
θ∗ − (1 − (α0/2))θ0 = (2s∗/w)λ−1 − (1 − (α0/2))(2s0/w)λ−1 ≥ (2s∗/w)λ−1(1 − 1/(1 +
α0/2)) = θ∗(α0/(α0 + 2)) > θ∗α0/3. Значит, лемма 4.2 выполняется для всех t ∈
[t0 − (α0/3)θ∗Rλ+1, t0].
Лемма 4.3. Если (4.2) выполняется, тогда для каждого α0 ∈ (0, 1), удовлетво-
ряющего (2.1), существует целое положительное s∗, определенное в (2.2), такое
что на цилиндре Ss∗
R (α0) = BR × [t̄− (α0/3)θ∗Rλ+1, t̄] либо w ≤ 2s∗Rε, либо
∣∣∣(z, t) ∈ Ss∗
R : u(z, t) < µ+ − w
2s∗
∣∣∣ ≤ α0
∣∣∣Ss∗
R
∣∣∣ .
Доказательство. Используем неравенство (1.5). Рассмотрим цилиндры Sp
R(α0)
и Sp
2R(α0). Выберем срезающую функцию ξ(z, t), которая равна единице на Sp
R(α0),
нулю вне Sp
2R(α0), и такую, что ξ(z, t̄ − (α0/3)(2p/w)λ−12Rλ+1) = 0, 0 < ξτ ≤
Cξ/((α0/3)(2p/w)λ−12Rλ+1), |DLξ| ≤ 2/R. Уровень k = µ+ − w/2p−1, p > s0 + l.
Тогда неравенство (1.5) принимает вид
∫ ∫
Sp
R(α0)
|DL(u− k)+|λ+1dzdτ ≤ C1.5
Rλ+1
∫ ∫
Sp
2R(α0)
[(u− k)+]λ+1dzdτ+
+ 3C1.5
(α0/3)( 2p
w
)λ−12Rλ+1
∫ ∫
Sp
2R(α0)
[(u− k)+]2dzdτ ≤ C4.32Q+λ+1
α0Rλ+1
(
w
2p
)λ+1 |Sp
R(α0)|.
(4.3)
137
В.А. Маркашева
Теперь используем лемму 2.1 на шаре BR. Выберем l = µ+−w/2p, k = µ+−w/2p−1.
Тогда для всех t ∈ [t̄− (α0/2)θ0R
λ+1, t̄]
λ
( w
2p
)
|{z ∈ BR, u < µ+ − w
2p
}| ≤ C2.4|BR|
Q+1
Q
mes (BR −A+
k,R)
∫
A+
k,R−A+
l,R
|DLu|dz.
Лемма 4.2 дает на отрезке [t̄− (α0/3)(2p/w)λ−1Rλ+1, t̄] для всех p ≤ s∗ оценку
mes (BR −A+
µ+− w
2p−1 ,R
) ≥
(α0
2
)2
|BR|.
Используя последнюю оценку, получаем
( w
2p
)
mes (A+
µ+− w
2p ,R
(t)) ≤ 4C2.4
α2
0
|BR|
1
Q
∫
A+
k,R−A+
l,R
|DLu|dz.
Обозначим
Ap =
t̄∫
t̄−(
α0
3
)( 2p
w )λ−1
Rλ+1
mes {A+
µ+− w
2p ,R
(t)}dt.
Тогда, проинтегрировав последнее неравенство по t на отрезке
[t̄− (α0/3)(2p/w)λ−1Rλ+1, t̄], и применив неравенство Гельдера, получаем
( w
2p
)
Ap ≤
≤ 4C2.4
α2
0
|BR|
1
Q
∫ ∫
Sp
R(α0)
|DL(u− k)+|λ+1dzdτ
1
λ+1
(Ap −Ap−1)
λ
λ+1 .
Используем (4.3) ( w
2p
)λ+1
λ
Ap
λ+1
λ ≤
≤
(
4C2.4
α2
0
)λ+1
λ
|BR|
λ+1
λQ
(
C4.32Q+λ+1
α0Rλ+1
( w
2p
)λ+1
|Sp
R(α0)|
) 1
λ
(Ap −Ap−1),
Ap
λ+1
λ ≤ 2
2(λ+1)
λ
+
Q+λ+1
λ C
λ+1
λ
2.4 C
1
λ
4.3
α0
2(λ+1)
λ
+ 1
λ
|Sp
R(α0)| 1λ (Ap −Ap−1) =
= C4.4
α0
2(λ+1)
λ
+ 1
λ
|Sp
R(α0)| 1λ (Ap −Ap−1),
(4.4)
s∗∑
p=s0+l+1
A
λ+1
λ
p ≤ C4.4
α0
2(λ+1)
λ
+ 1
λ
|Ss∗
R (α0)|
1
λ
s∗∑
p=s0+l+1
(Ap −Ap−1).
138
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
Поскольку для всех p ≤ s∗, As∗ ≤ Ap, имеем
[s∗ − s0 − l − 1]A
λ+1
λ
s∗ ≤ C4.4
α0
2(λ+1)
λ
+ 1
λ
|Ss∗
R (α0)|
1
λ As∗ ,
As∗ ≤ C4.4
[s∗ − s0 − l − 1]λα0
2
λ
+ 1
λ(λ+1)
|Ss∗
R (α0)| ≤ C4.4
s∗λα3
0
|Ss∗
R (α0)|.
s∗ задано достаточно большим, чтобы C4.4/(s∗λα3
0) ≤ α0. Лемма доказана. ¤
Лемма 4.4. Предположим, что (4.2) выполняется, тогда s∗, определенное в
(2.2), таково, что либо w ≤ 2s∗Rε, либо
u < µ+ − w
2s∗+1
для всех (z, t) ∈ Ss∗
R/2(α0).
Доказательство. Поскольку выполняется (4.2), то справедлива лемма 4.3. Из
леммы 4.3 следует, что справедливо условие (2.7) при ρ = R, s = s∗, k = µ+ − w
2s∗ .
Поскольку u ∈ Vλ+1(Ss
ρ(z, t̄)), то верно неравенство (1.5). Используем лемму 2.7.
Лемма 4.4 доказана. ¤
Утверждение 4.5. Положительное целое s∗, не зависящее от w и R, опреде-
ленное в (2.2), таково, что если верно (4.2) сразу для всех t̄ на всех Ss0
R (z0, t̄), тогда
либо w ≤ 2s∗Rε, для некоторого ε : 0 < ε < (λ + 1)/(λ− 1), либо
ess osc
Ss∗
R/2
(α0)
u ≤ w
(
1− 1
2s∗+1
)
,
где Ss∗
R/2(α0) = BR/2 × (t0 − (α0/3)θ∗(R/2)λ+1, t0).
Доказательство. Если выполняется условие (4.2), и
H+ = ||(u− [µ+ − w
2s0+1
])−||∞,S
s0
R
≥ w
2s0+2
,
то справедливы леммы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, откуда
u(z, t) < µ+ − w
2s∗+1
для всех (z, t) ∈ Ss∗
R/2(α0)(z0, t0). Следовательно,
ess sup
Ss∗
R/2
(α0)(z0,t0)
u(z, t) ≤ µ+ − w
2s∗+1
.
Тогда
ess osc
Ss∗
R/2
(α0)
u(z, t) = ess sup
Ss∗
R/2
(α0)
u(z, t)− ess inf
Ss∗
R/2
(α0)
u(z, t) ≤
139
В.А. Маркашева
≤ µ+ − w
2s∗+1
− µ− = w
(
1− 1
2s∗+1
)
.
Если же
H+ = ||(u− [µ+ − w
2s0+1
])−||∞,S
s0
R
<
w
2s0+2
,
то
ess sup
Ss∗
R/2
(α0)
u(z, t) ≤ µ+ − w
2s0+1
+
w
2s0+2
= µ+ − w
2s0+2
≤ µ+ − w
2s∗+1
.
Утверждение доказано. ¤
5. Доказательство теоремы вложения.
Утверждение 5.1. Пусть u ∈ Bλ+1,loc(ST , M̄ , C1.5, C1.6). Точка (z0, t0) ∈ ST та-
кова, что для некоторых R0 > 0 и ε > 0 цилиндр Sε
R0
= BR0(z0)×[t0−R
λ+1−ε(λ−1)
0 , t0] ⊂
ST . Для определенного в (2.2) положительного целого s∗, любого R : 0 < R ≤
R0 и w : 0 < w ≤ 2M̄,
ess osc
Ss∗
R (z0,t0)
u(z, t) ≤ w,
где Ss∗
R = BR × [t0 − (2s∗/w)λ−1Rλ+1, t0] справедливо: либо w ≤ 2s∗+1Rε, либо най-
дутся такие σ0 ∈ N и η0 ∈ (0, 1), что
ess osc
S
σ0
R/8
(z0,t0)
u(z, t) ≤ η0w. (5.1)
Замечание 5.1. Точка (z0, t0) – произвольная фиксированная точка из ST .
Доказательство. Справедливо либо утверждение 3.4, либо утверждение 4.5.
Следовательно, либо w < 2s1Rε, откуда немедленно следует, что w ≤ 2s∗+1Rε, либо
ess osc
Ss∗
R/2
(α0)
u ≤ w
(
1− 1
2s∗+1
)
,
где Ss∗
R/2(α0) = BR/2 × (t0 − (α0/3)θ∗(R/2)λ+1, t0), либо w ≤ 2s∗+1Rε, либо
ess osc
S
s1
R/8
(z0,t0)
u < w
(
1− 1
2s0+m+1
)
,
где s1 ≤ s∗, m ≥ s∗.
Выберем σ0 ∈ N – максимальное, при условии что 2σ0(λ−1) ≤ (α0/3)2s1(λ−1) и
η0 = (1− (1/2s0+m+1)). Утверждение следует из элементарных оценок. ¤
Пусть θ̄ =
(
2s∗/w̄
)λ−1
, w̄ – будет определена позднее, Sε
R0
= BR0×(t0−R
(λ+1)−ε(λ−1)
0 ,
t0), S θ̄
R0
= BR0 × (t0− θ̄Rλ+1
0 , t0). Определим последовательность вложенных цилин-
дров {Sh}∞h=0. Если
ess osc
Sε
R0
u(z, t) ≤ 2s∗Rε
0,
140
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
тогда положим w0 = 2s∗Rε
0, S0 = BR0 × (t0 − (2s∗/w0)Rλ+1
0 , t0) = Sε
R0
. В противном
случае, если
ess osc
Sε
R0
u(z, t) > 2s∗Rε
0,
существует w̄ : 2s∗Rε
0 < w̄ ≤ 2M̄, такая, что
ess osc
Sθ̄
R0
u(z, t) ≤ w̄.
Положим w0 = w̄, S0 = S θ̄
R0
. Для h = 0, 1, 2, .. wh = max[η0wh−1, 2s∗Rε
h−1], θh =
(2s∗/wh)λ−1, Rh = R0/Ch
5.2,
Sh = Sθh
Rh
= BRh
(z0)× [t0 −
(
2s∗
wh
)λ−1
Rλ+1
h , t0], где C5.2 = 8
(
2s∗−σ0/η0
)λ+1
λ−1
. (5.2)
Утверждение 5.2 . Пусть выполняются требования утверждения 5.1, тогда
для определенной выше последовательности цилиндров справедливо:
Sh−1 ⊂ Sh, ess osc
Sh
u(z, t) ≤ wh, h = 0, 1, 2, .. (5.3)
Доказательство. Заметим, что для h = 1, 2, .. Rh−1 > Rh, wh−1 > wh. Действи-
тельно, первое неравенство очевидно. Для второго неравенства возможны два слу-
чая. Если 2s∗Rε
h−1 ≤ η0wh−1, то wh = η0wh−1 < wh−1, иначе, η0wh−1 < 2s∗Rε
h−1, и wh =
2s∗Rε
h−1 < 2s∗Rε
h−2 < max[η0wh−2, 2s∗Rε
h−2] = wh−1. Но число C5.2 выбрано таким
образом, что справедлива оценка
(
2s∗
wh
)λ−1
Rλ+1
h ≤
(
2σ0
wh−1
)λ−1 (
Rh−1
8
)λ+1
≤
(
2s∗
wh−1
)λ−1
Rλ+1
h−1.
Откуда имеем Sh−1 ⊂ Sh. Докажем оставшуюся часть (5.2) методом математичес-
кой индукции. При h = 0 утверждение (5.2) тривиально выполняется. Предпола-
гаем, что (5.2) справедливо при h = k − 1. Докажем (5.2) для случая h = k. Из
предположений имеем
ess osc
Sk−1
u(z, t) ≤ wk−1.
В утверждении 5.1 выберем w = wk−1, R = Rk−1. Заметим, что случай wk−1 ≤
2s∗Rε
k−1 ≤ max[η0wk−1, 2s∗Rε
k−1] = wk дает
ess osc
Sk
u(z, t) ≤ ess osc
Sk−1
u(z, t) ≤ wk−1 ≤ wk.
В противном случае, для Sσ0
Rk−1/8 = BRk−1
×(t0−(2σ0/wk−1)λ−1(Rk−1/8)λ+1, t0) верна
оценка
ess osc
S
σ0
Rk−1/8
u(z, t) ≤ η0wk−1 ≤ max[η0wk−1, 2s∗Rε
k−1] = wk.
141
В.А. Маркашева
В силу выбора C5.2 верно вложение Sk ⊂ Sσ0
Rk−1/8. Имеем
ess osc
Sk
u(z, t) ≤ ess osc
S
σ0
Rk−1/8
u(z, t) ≤ wk.
Утверждение (5.2) полностью доказано.¤
Теорема 5.3. Пусть u ∈ Vλ+1,loc(ST ) ∩ L∞,loc(ST ) – слабое решение уравнения
(1.1). Тогда u(z, t) – локально гёльдерово на ST и для любого компакта K ∈ ST су-
ществует постоянные ᾱ ∈ (0, 1) и C(ᾱ), зависящие только от параметров задачи
и diamK, такие что
|u(z1, t1)− u(z2, t2)| ≤ C(ᾱ)(dᾱ(z1, z2) + |t1 − t2|
ᾱ
λ+1 ).
Доказательство теоремы 5.3. Положим
ᾱ = min{(ε,− logCε
5.2
η0}, C(ᾱ) = max{2s∗Rε
0, w0}Cᾱ
5.2.
Полагаем R0 и ε такие, что K ⊂ Sε
0. Из утверждения 1.1 следует, чтo условия
утверждения 5.1 выполняются, тогда справедливо утверждение 5.2. Пускай r : 0 <
r ≤ R0 – произвольное. Найдется такое h0 ∈ N, что Rh0+1 ≤ r < Rh0 ≤ C5.2r < Rh0+1.
Тогда легко заметить, что Sε
r ⊂ Sh0+1 и
ess osc
Sh0+1
u(z, t) ≤ wh0+1,
тогда
ess osc
Sε
r
u(z, t) ≤ ess osc
Sε
h0+1
u(z, t) ≤ wh0+1 = max{2s∗Rε
h0
, η0wh0} ≤
≤ max{2s∗Rε
0, wh0}max{C−εh0
5.2 , ηh0
0 }.
Отметим, что в силу выбора ᾱ имеем η0 ≤ C−ᾱ
5.2 . Поскольку Rh0 ≤ C5.2r, то C−h0
5.2 ≤
(C5.2r)/R0. Откуда имеем
max{C−εh0
5.2 , ηh0
0 } ≤
(
C5.2r
R0
)ᾱ
.
Следовательно, для любого r : 0 < r < R0
ess osc
Sε
r
u(z, t) ≤ max{2s∗Rε
0, wh0}
(
C5.2r
R0
)ᾱ
= C(ᾱ)R−ᾱ
0 rᾱ.
Откуда следует справедливость теоремы 5.3.¤
Автор выражает благодарность А.Ф.Тедееву за руководство над работой и А.В.Ма-
ртыненко за полезные обсуждения результатов работы.
1. Baouendi M.S. Sur une classe d’opérateurs elliptiques dégénérés // Bull. Soc. Math. France. – 1967.
– Vol.95. – P.45-87.
142
Локальная гёльдеровость решений. Часть 2
2. Di Benedetto E. On the Local Behaviour of Solutions of Degenerate Parabolic Equations with
Measurable Coefficients // Ann. Sc. Norm. Pisa Cl.Sci. – 1986. – Vol.13 (3). – P.487-535.
3. Franchi B., Lanconelli E. Une metrique associee a une classe d‘operateurs elliptiques degeneres //
Toronto: Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. – 1984.
4. Franchi B., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of linear nonuniformly elliptic
operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. – 1983. – Vol.10 (4).
– P.523-541.
5. Garofalo N., Nhieu D.-M. Isoperimetric and Sobolev Inequalities for Carnot-Caratheodory Spaces
and the Existence of Minimal Surfaces // Comm. Pure Appl. Math. – 1996. – Vol.49. – P.1081-1144.
6. Grushin V.V. On a class of hypoelliptic operators // Math USSR Sbornik. – 1970. – Vol.12 (3). –
P.458-476.
7. Kalashnikov A.S. Some properties of the qualitative theory of nonlinear degenerate second-order
parabolic equations // Russian Math. Surveys. – 1987. – Vol.42. – P.169-222.
8. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квази линейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
w9071981@yandex.ru
Получено 26.03.08
143
|