Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20022 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений / Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 166-174. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859838832102342656 |
|---|---|
| author | Севостьянов, Е.А. |
| author_facet | Севостьянов, Е.А. |
| citation_txt | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений / Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 166-174. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T15:36:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.5
c©2008. Е.А. Севостьянов
СУЩЕСТВЕННО ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ВЕТВЛЕНИЯ ОТКРЫТЫХ
ДИСКРЕТНЫХ КОЛЬЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Доказано, что если точка x0 ∈ Rn, n ≥ 3, является существенной изолированной особой точкой
открытого дискретного кольцевого Q-отображения f : D → Rn в точке x0, Bf – множество точек
ветвления f в D, то при определённых условиях на Q, Rn \ f(D) ⊂ fBf , множество fBf неограни-
чено и x0 ∈ Bf .
1. Введение. Ключевым понятием данной статьи является понятие асимпто-
тического предела отображения f в граничной точке области D, см., напр., раздел
3.13 в [6] или раздел 2 гл. VII в [8]. Грубо говоря, отображение f, заданное в области
D, имеет своим асимптотическим пределом величину z0 ∈ Rn в некоторой точке b
границы D, если существует кривая, лежащая в D и стремящаяся к b, вдоль кото-
рой отображение f стремится к z0. Поведение открытых дискретных кольцевых Q-
отображений в изолированной существенной особой точке по существу исследовано
автором в контексте обобщения хорошо известных теорем Сохоцкого-Вейерштрасса
и Пикара, см. [12]. В частности, при определённых условиях на Q, отображение f(x)
в произвольной окрестности существенно особой точки x0 достигает в пределе лю-
бую наперёд заданную точку из Rn при x → x0. Ясно, что отсюда, вообще говоря, не
следует существование асимптотического предела в точке x0, что, в свою очередь,
говорит о необходимости более тонких исследований этого вопроса. В данной ста-
тье решается следующая задача: распространить наиболее важные результаты из
теории квазирегулярных отображений, касающиеся изучения асимптотических пре-
делов, на более широкие классы кольцевых Q-отображений. Основной упор здесь де-
лается на взаимосвязи асимптотических пределов с множествами точек ветвления
изучаемого отображения. В частности, показано, что образ fBf множества точек
ветвления Bf открытого дискретного кольцевого Q-отображения, удовлетворяюще-
го определённым условиям относительно Q и имеющего изолированную существенно
особую точку, является неограниченным множеством. Для квазирегулярных отоб-
ражений подобные теоремы получены О.Мартио, С.Рикманом и Ю.Вяйсяля, см.
раздел 3 в [6] и раздел 2 гл. VII в [8]. По сути в указанных работах, равно как и в
настоящей статье, использован подход В.А.Зорича, см. [11], и С.Агард-А.Мардена,
см. [1].
2. Основные определения. Всюду далее D – область в Rn, n ≥ 2. Запись
f : D → Rn предполагает, что отображение f непрерывно. Всюду далее C(E, f) ={
y ∈ Rn : y = lim
m→∞ f(xm), xm → x0 ∈ E
}
– предельное множество отображения f :
D → Rn на множестве E ⊂ D, Rn = Rn ∪ {∞} , B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} ,
B(r) = {x ∈ Rn : |x| < r} , Bn = {x ∈ Rn : |x| < 1} , S(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| =
166
Существенно особые точки ...
r}, S(r) = {x ∈ Rn : |x| = r}, Sn−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1} . Запись g = id для отобра-
жения g : D → Rn означает, что g – тождественное отображение, т.е. g(x) = x для
всех x ∈ D. Напомним, что x – точка ветвления отображения f : D → Rn, если
ни в одной окрестности U точки x сужение отображения f |U не является гомео-
морфизмом. Совокупность всех точек ветвления f принято обозначать Bf . Напом-
ним, что борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства
Γ кривых γ в Rn, если
∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1 для всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае
мы пишем: ρ ∈ adm Γ. Модулем семейства кривых Γ называется величина M(Γ) =
infρ∈ admΓ
∫
D
ρn(x) dm(x). Пусть D − область в Rn , n ≥ 2, E , F ⊆ Rn – произволь-
ные множества. Обозначим через Γ(E,F, D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn ,
которые соединяют E и F в D , т.е. γ(a) ∈ E , γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b).
Следующее понятие, мотивированное кольцевым определением квазиконформности
по Герингу, см. [3], введено В.Рязановым, У.Сребро и Э.Якубовым на плоскости,
см., напр., [9], см. также [2] и [7]. Пусть r0 = dist (x0 , ∂D), Q : D → [0 ,∞] –
измеримая по Лебегу функция, A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x − x0| < r2} ,
S i = S(x0, ri), i = 1, 2. Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является кольцевым
Q–гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если соотношение
M (f (Γ (S1, S2, A))) ≤
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (1)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < r0, и для каждой из-
меримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1. Пусть D – область в
Rn, n ≥ 2, и x0 ∈ D. По аналогии, будем говорить, что (не обязательно гомеоморф-
ное) отображение f : D \ {x0} → Rn является кольцевым Q–отображением в точке
x0 ∈ D, если выполнено соотношение (1). Рассмотрим следующее определение, см.
3.13 в [6], см. также п. 2 гл. VII в [8]. Будем говорить, что точка z0 ∈ Rn является
асимптотическим пределом отображения f : D → Rn в точке b ∈ ∂D, если найдёт-
ся кривая α : [0, 1) → D с α(t) → b при t → 1 такая, что f(α(t)) → z0 при t → 1.
Говорят, что множество E ⊂ Rn относительно локально связно, если каждая точка
множества E имеет сколь угодно малые окрестности U такие, что множества U ∩E
связны.
Предложение 1. Пусть f : D → Rn – локальный гомеоморфизм, Q – односвязное
и локально линейно связное множество в Rn и P – компонента связности множества
f −1Q такая что P ⊂ D. Тогда f отображает P на Q гомеоморфно. Если дополни-
тельно Q – относительно локально связно, то f гомеоморфно отображает P на Q,
см. лемму 2.2 раздела 2 в [6].
Отображение f : D → Rn называется нульмерным, если множество {f −1(y)}
всюду разрывно при каждом y ∈ Rn, т.е. каждая компонента связности {f −1(y)}
вырождается в точку.
Предложение 2. Пусть отображение f : D → Rn – нульмерное, A ⊂ f(D) и пусть
167
Е.А. Севостьянов
существует непрерывное сечение s : A → D отображения f, т.е. f ◦ s = id. Если A –
относительно локально связно в точке y ∈ A, то предельное множество C(s, y) либо
континуум в ∂D, либо – единственная точка в D, см. [1], 3.A, см. также лемму 3.10
в [6].
Предложение 3. Пусть f : D → Rn – локальный гомеоморфизм, F–компактное
множество в D и f |F инъективно. Тогда f также инъективно в некоторой окрестно-
сти множества F, см. [11], c. 422, см. также следствие 3.8 в [6].
Пусть f : D → Rn, n ≥ 2, – открытое дискретное отображение, β : [a, b) → Rn
– некоторая кривая и пусть x ∈ f−1 (β(a)) . Кривая α : [a, c) → D называется
максимальным поднятием кривой β при отображении f с началом в точке x, если
(i) α(a) = x ; (ii) f ◦ α = β|[a, c) ; (iii) если c < c′ ≤ b, то не существует кривой
α′ : [a, c′) → D, такой что α = α′|[a, c) и f ◦ α = β|[a, c′). Аналогично можно опре-
делить максимальное поднятие кривой β : (b, a] → Rn при отображении f с концом
в точке x, см. раздел 3 гл. II в [8]. Пусть f – открытое дискретное отображение и
x ∈ f−1 (β(a)) . Тогда кривая β : [a, b) → Rn (или, соответственно, β : (b, a] → Rn)
имеет максимальное поднятие при отображении f с началом в точке x (или, соот-
ветственно, с концом в точке x), см. следствие 3.3 главы II в [8].
3. Основные леммы.
Предложение 4. Пусть D – область в Rn, содержащая начало координат, а f :
D \ {0} → Rn, n ≥ 2, – кольцевое Q-отображение в нуле. Предположим, что при
некотором ε0 < dist (0, ∂D) и ε → 0
∫
ε<|x|<ε0
Q(x) · ψn(|x|) dm(x) = o (In(ε, ε0))
для функции ψ(t) : (0,∞) → (0,∞), удовлетворяющей условию I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt < ∞ ∀ ε ∈ (0, ε0). Пусть Γ – семейство открытых кривых γ(t) : (0, 1) → Rn,
таких что γ(t) → 0 при t → 0 и γ(t) 6≡ 0. Тогда M(f(Γ)) = 0.
Доказательство аналогично рассуждениям леммы в 3.1 [12]. Идея доказатель-
ства следующего утверждения относится к работам [1] и [11], см. также теорему 3.14
в [6].
Лемма 1. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3 – открытое дискретное кольцевое
Q-отображение в точке x0, x0 ∈ ∂D – изолированная существенно особая точ-
ка отображения f. Предположим, что при некотором ε0 < dist (x0, ∂D \ {x0}) и
ε → 0 ∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) · ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) (1)
для функции ψ(t) : (0,∞) → (0,∞), удовлетворяющей условию
I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt < ∞ ∀ ε ∈ (0, ε0) . (2)
168
Существенно особые точки ...
Если z0 ∈ Rn является асимптотическим пределом f в точке x0, то z0 ∈ f(Bf ∩ U)
для любой окрестности U точки x0.
Доказательство. Проведём доказательство от противного, т.е. предположим,
что найдётся окрестность U точки x0, для которой z0 /∈ f(Bf ∩ U). Не ограничи-
вая общности рассуждений, можно считать, что x0 = z0 = 0. По дискретности f,
B(r0) ⊂ U ∩ (D ∪ {0}) и S(r0) ∩ f −1(0) = ∅ для некоторого r0 > 0. Положим
U0 = B(r0) \ {0}, g = f |U0 . Поскольку dist (fS(r0), 0) > 0 и, по предположению,
0 /∈ f(Bf ∩ U), найдётся r ′ > 0 такое, что
B(r ′) ∩ (fS(r0) ∪ gBg) = ∅. (3)
Так как z0 = 0 является асимптотическим пределом отображения f в точке x0 = 0,
то найдётся кривая α(t) : [0, 1) → U0 с α(t) → 0 при t → 1 такая, что β(t) = f(α(t)) →
0 при t → 1. Без ограничения общности, можно считать, что 0 < |β(t)| < r ′ при всех
t ∈ (0, 1). Тогда, в силу (3),
|α| ⊂ U0 \Bg . (4)
Определим при 0 ≤ t ≤ 1 и 0 < ϕ ≤ π так называемые сферические сегменты по
следующему правилу: G(t, ϕ) = {y ∈ Rn : |y| = |β(t)|, (y, β(t)) > |y|2 cosϕ} . Пусть
G∗(t, ϕ) – α(t)–компонента связности множества g−1G(t, ϕ) и ϕt – точная верхняя
грань чисел ϕ ∈ (0, π] таких, что g отображает G∗(t, ϕ) гомеоморфно на G(t, ϕ);
такое ϕt > 0 существует ввиду соотношения (3) и того, что β(t) ∈ f(U0). Положим
G(t) = G(t, ϕt), G∗(t) = G∗(t, ϕt), тогда отображение g определяет при каждом фик-
сированном t гомеоморфизм gt : G∗(t) → G(t). Покажем, что для п.в. r ∈ (0, r ′),
из равенства |β(t)| = r следует, что 0 /∈ G ∗(t). Предположим, что 0 ∈ G ∗(t) при
некотором t, тогда найдётся последовательность xk ∈ G ∗(t) с xk → 0 при k →∞. Не
ограничивая общности, можно считать, что последовательность f(xk) → yt ∈ G(t)
при k → ∞. Заметим, что отображение g−1
t является сечением отображения f на
множестве G(t) ⊂ f(U0) и по предложению 2 множество C(g−1
t , yt) есть континуум,
содержащий точку x0 = 0 и, возможно, точки границы U0. Ввиду соотношения (3),
C(g−1
t , yt) = {0}, т.е. g−1
t (y) → 0 при y → yt. Пусть Γ(t) – семейство открытых
кривых γt(s) : (0, 1) → Rn, соединяющих β(t) и yt в G(t), т.е. γt(0) = yt, γt(1) = β(t)
и γt(s) ∈ G(t) при s ∈ (0, 1). Обозначим Γ ∗(t) = g−1
t Γ(t). Тогда каждая кривая
γ ∗t (s) : (0, 1) → U0 семейства Γ ∗(t) такова, что γ ∗t (s) → 0 при s → 0. Обозначим
Γ ∗ =
⋃
t: 0∈G ∗(t)
Γ ∗(t). По предложению 4 M(g(Γ ∗)) = 0. С другой стороны, согласно
10.2 в [10], M(gΓ ∗) ≥ bn ·
∫
E
dr
r , где постоянная bn зависит только от размерности n
и E = {|β(t)| : 0 ∈ G ∗(t)} при некотором t. Следовательно, линейная мера Лебега
mesE = 0, что и требовалось доказать. Пусть T = {t : 0 ≤ t < 1, |β(t)| /∈ E}. Заме-
тим, что ввиду (3), G ∗(t) ⊂ U0 \ Bg при t ∈ T. По теореме Менгера–Урысона, см.,
напр., теорему IV.4 в [4], множество U0 \Bg является областью. По предложению 1
отображение f отображает G ∗(t) гомеоморфно на G(t). Кроме того, по предложе-
нию 3 f инъективно в некоторой окрестности G ∗(t). По определению угла ϕt, это
169
Е.А. Севостьянов
возможно только в случае ϕt = π. Следовательно, при каждом t ∈ T множество
G ∗(t) = G ∗(t, π) есть поверхность в U0 \Bg, топологически эквивалентная сфере, и
f гомеоморфно отображает G ∗(t) на S(|β(t)|). Пусть D(t) означает ограниченную
компоненту множества Rn \ G ∗(t). Положим T0 = {t ∈ T : 0 ∈ D(t)}. Возможны 2
случая: 1 ∈ T0 и 1 /∈ T0.
1 случай. Предположим, что 1 ∈ T0, тогда найдётся возрастающая последова-
тельность tj ∈ T0, такая что tj → 1. Положим rj = |β(tj)| и Dj = D(tj); не огра-
ничивая общности, мы можем считать, что rj+1 < rj и, ввиду того, что α(tj) → 0
при j → ∞, что Dj+1 ⊂ Dj . Пусть Aj означает сферическое кольцо B(r1) \ B(rj).
Поскольку отображение g инъективно в окрестности границы ∂D1, найдётся ком-
понента A ∗
j множества g−1Aj такая, что ∂A ∗
j ⊃ ∂D1. Т.к. ∂Dj ∩ A ∗
j = ∅, A ∗
j ⊂ U0.
Кроме того, ввиду того, что Aj ∩ gBg = ∅, A ∗
j ⊂ U0 \ Bg. По предложению 1 f
отображает A ∗
j гомеоморфно на Aj . Согласно сказанному выше, существует сече-
ние sj : Aj → A ∗
j отображения f, такое что sj = sk|Aj при всех k > j. Следовательно,
мы построили сечение s : B(r1)\{0} → U0\Bg отображения f в B(r1)\{0}. По пред-
ложению 2, C(s, 0) либо континуум в ∂U0, либо единственная точка в U0. Заметим,
что ввиду соотношения (3) первая возможность исключена, если только C(s, 0) не
вырождается в точку x0 = 0. Таким образом, сечение s может быть продолжено до
непрерывного отображения s всего шара B(r1). Заметим также, что ввиду условия
∂Dj ∩ A ∗
j = ∅ и того, что tj ∈ T0, точка x0 = 0 всегда принадлежит ограниченной
компоненте дополнения кольцевой области A ∗
j при каждом фиксированном j ∈ N.
Т.к C(s, 0) =
∞⋂
j=2
A ∗
j , то случай C(s, 0) = {a} невозможен при a 6= 0. Таким обра-
зом, C(s, 0) = {0} и s(0) = 0. Пусть xk – произвольная последовательность в U0 с
xk → 0 при k → ∞, тогда f(xk) → 0 при k → 0. Отсюда вытекает устранимость
отображения f в точке x0 = 0, что противоречит условию леммы.
2 случай. Предположим теперь, что 1 /∈ T0. Кривую α мы можем продолжить
до кривой α : [−1, 1) → Rn так, что α(−1) ∈ ∂U0 \ {0}, α(−1, 1) ⊂ U0, α|[0,1) = α и
β = f(α(t)) 6= 0 при всех t ∈ [−1, 1). По предположению, найдётся δ, 0 ≤ δ < 1 такое,
что [δ, 1)∩ T0 = ∅. Выберем возрастающую последовательность точек tj ∈ T ∩ [δ, 1)
такую, что: 1) tj → 1 при j → ∞; 2) |β(t)| < rj = |β(tj)| при всех t ∈ (tj , 1);
3) |β(t)| > rj+1 при всех t ∈ [−1, tj ]. Как и выше, положим Dj = D(tj). Поскольку
α(tj) → 0 при j → ∞ и последовательность α(tj) можно выбрать монотонно убы-
вающей, случай 2 можно условно разбить на 2 подслучая: (a) Dj ⊂ Dj+1 при всех
j ∈ N; (b) Dj∩Dj+1 = ∅ для некоторого j ∈ N. Предположим, что (a) верно. Рассуж-
даем, как и в первом случае. Пусть Aj означает сферическое кольцо B(r1) \ B(rj).
Поскольку отображение g инъективно в окрестности границы ∂D1, найдётся компо-
нента A ∗
j множества g−1Aj такая, что ∂A ∗
j ⊃ ∂D1. Ввиду того, что Aj ∩ gBg = ∅,
множество A ∗
j ⊂ U0 \Bg. По предложению 1, f отображает A ∗
j гомеоморфно на Aj .
Заметим, что α(t1, 1) ⊂ Rn \ D1 и A ∗
j ⊂ Dj \ D1. Рассуждая, как выше, получаем
непрерывное сечение s : B(r1) \ {0} → U0 \ Bg отображения f в B(r1) \ {0}. Тогда
C(s, 0) – невырожденный континуум в U0 ∪ {0}, что противоречит предложению 2.
170
Существенно особые точки ...
Предположим, что верно (b). Заметим, что в этом случае
α(tj , 1) ⊂ Rn \Dj . (5)
Положим uj+1 = sup {t : α(tj , t) ⊂ Rn \ Dj+1}. Выберем окрестность Uj+1 гра-
ницы ∂Dj+1 такую, что сужение f |Uj+1 инъективно, см. предложение 3. Посколь-
ку β(tj+1, 1) ⊂ B(rj+1), будем иметь g
(
Uj+1 ∩
(
Rn \Dj+1
)) ⊂ B(rj+1), ибо ввиду
инъективности g в Uj+1 все связные компоненты множества g
(
Uj+1 ∩
(
Rn \Dj+1
))
принадлежат одной и той же компоненте связности множества Rn \ S(rj+1). Следо-
вательно, учитывая условие 3), найдётся число v1 = max{t : tj < t < uj+1, |β(t)| =
rj+1}, причём неравенства tj < v1 < uj+1 строгие, v1 > δ и, по определению, v1 ∈ T,
поскольку β(tj+1) = rj+1 и tj+1 ∈ T. Покажем, что
D(v1) ⊂ Rn \ (Dj ∪Dj+1) . (6)
Заметим прежде всего, что G ∗(v1) не может содержать точку x0 = 0, т.к. t1 ∈ T
и не может пересекать кривую α в точке α(−1), поскольку α(−1) ∈ ∂U0 \ {0} и
ввиду условия (3). Если D(v1) ∩ Dj 6= ∅, тогда либо G ∗(v1) ∩ G ∗(tj) 6= ∅, либо
D(tj) ⊂ D(v1), либо D(v1) ⊂ D(tj). В первом случае будем иметь rj+1 = |β(v1)| = rj ,
что невозможно ввиду условия 2). Во втором случае, G ∗(v1) ∩ α(−1, tj) 6= ∅, что
противоречит условию 3). Третий случай невозможен в силу (5). Следовательно,
D(v1) ∩ Dj = ∅. Аналогично, D(v1) ∩ Dj+1 = ∅. Таким образом, соотношение (6)
доказано. В таком случае, v ′1 = sup {t : α(tj , t) ⊂ Rn \ D(v1)} > tj . Тогда найдётся
v2 = max{t : tj < t < v ′1, |β(t)| = rj+1}, такое что D(v2) ⊂ Rn\Dj∪Dj+1∪D(v1). И так
далее. Продолжая этот процесс, мы получим бесконечное число компонент связно-
сти G ∗(vi) множества g−1S(rj+1). Заметим, что существует v = lim
j→∞
vj , v ∈ (tj , uj+1),
такое что каждая окрестность точки α(v) пересекает бесконечно много компонент
g−1S(rj+1). Последнее невозможно, т.к. ввиду соотношения (4) отображение f яв-
ляется локальным гомеоморфизмом в точке α(v). Лемма доказана. ¤
Следующее утверждение доказано автором в [12], см. лемму 3.1 и теорему 5.1.
Предложение 5. Пусть f : D → Rn, n ≥ 2 – открытое дискретное кольцевое
Q-отображение в точке x0, x0 ∈ ∂D – изолированная существенная особая точка
отображения f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0
такие, что выполнены условия (1) и (2) леммы 1. Тогда cap
(
Rn \ f(U \ {x0})
)
= 0
для любой окрестности U ⊃ {x0} в D.
Лемма 2. Пусть f : D → Rn, n ≥ 2 – открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в точке x0, x0 ∈ ∂D – изолированная существенная особая точка
отображения f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0
такие, что выполнены условия (1) и (2) леммы 1. Тогда каждая точка множества
Rn \ f(D) является асимптотическим пределом f в точке x0.
Доказательство. Пусть z ∈ Rn\f(D). Не ограничивая общности, можно считать,
что z = 0. Выберем r0 > 0 таким, что B(x0, r0) ⊂ D∪{x0} и положим U0 = B(x0, r0)\
{x0}. Так как 0 /∈ f(D), существует r ′ > 0 такое, что
B(r ′) ∩ fS(x0, r0) = ∅. (7)
171
Е.А. Севостьянов
Можно считать r ′ < 1. По предложению 5 ввиду (7) найдётся сферический сегмент
G ⊂ S(r ′) такое, что некоторая связная компонента G ∗ множества f −1G содержится
в U0. Для y ∈ S(r ′) обозначим через γy : (0, r ′] → B(r ′) кривую γy(t) = ty. При
каждом r ′y ∈ G, пусть γ ∗y – максимальное поднятие кривой γy с концом в G ∗, γ ∗y :
(ry, r
′] → U0. Проводя рассуждения, аналогичные лемме 3.1 в [12], можно показать,
что γ ∗y (t) → x0 при t → ry. Для справедливости заключения леммы достаточно
показать, что ry = 0 для п.в. r ′y ∈ G. Пусть Ei = {y ∈ Sn−1 : r ′y ∈ G, ry > 1/i},
i = 1, 2, . . . , . Достаточно показать, что Hn−1(Ei) = 0 для каждого i, где Hn−1 –
(n−1)-мерная мера Хаусдорфа. Для фиксированного i ∈ N обозначим Γi = {γ ∗y : y ∈
Ei}. По сказанному выше, все кривые семейства Γi стремятся к точке x0, поэтому
M(Γi) = 0. По предложению 4 также M(f(Γi)) = 0. Заметим, что семейство fΓi
минорирует семейство ∆ всех отрезков αy : [1/i, r ′] → Rn, αy(t) = ty, y ∈ Ei. Пусть
ρ ∈ adm fΓi. При каждом фиксированном y ∈ Ei по неравенству Гёльдера имеем
оценку
r ′∫
1/i
tn−1ρ(ty) dt ≤
r ′∫
1/i
ρn(ty) dt
1/n
·
r ′∫
1/i
tn dt
(n−1)/n
≤ (8)
≤
r ′∫
1/i
ρn(ty) dt
1/n
,
т.к.
(
r ′∫
1/i
tn dt
)(n−1)/n
≤
(
r ′ (n+1)
n+1
)(n−1)/n
< 1 ибо r ′ < 1. Опять же, по неравенству
Гёльдера и по выбору ρ, 1 ≤
r ′∫
1/i
ρ(ty)dt ≤
(
r ′∫
1/i
ρn(ty)dt
)1/n
, откуда следует, что
(
r ′∫
1/i
ρn(ty)dt
)1/n
≤
r ′∫
1/i
ρn(ty)dt. Тогда по (8)
r ′∫
1/i
tn−1ρ(ty) dt ≤
r ′∫
1/i
ρn(ty) dt . (9)
Используя неравенство (9) и теорему Фубини, получаем
∫
Rn
ρn(x)dm(x) ≥
∫
Sn−1
r ′∫
1/i
tn−1ρ(ty) dt
dy ≥ 1
in−1
Hn−1(Fρ) , (10)
где Fρ = {y ∈ Sn−1 :
r ′∫
1/i
ρ(ty) dt ≥ 1}. Заметим, что по выбору ρ имеет место вклю-
172
Существенно особые точки ...
чение Ei ⊂ Fρ. Поскольку M(fΓi) = 0, из (10) следует что Hn−1(Fρ) = 0 и, следова-
тельно, Hn−1(Ei) = 0. Лемма доказана. ¤
Лемма 3. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3, – открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в точке x0, x0 ∈ ∂D – изолированная существенная особая точка
отображения f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0
такие, что выполнены условия (1) и (2) леммы 1. Тогда Rn \ f(D) ⊂ fBf .
Доказательство легко следует из лемм 1 и 2. Предположим противное, тогда
найдётся y ∈ (
Rn \ f(D)
) \ fBf . Тогда по лемме 2 y является асимптотическим
пределом отображения f в точке x0. Но тогда по лемме 1 y ∈ f(Bf ∩ U) для любой
окрестности U точки x0, что противоречит сделанному предположению. 2
Лемма 4. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3 – открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в точке x0, x0 ∈ ∂D – изолированная существенная особая точка
отображения f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0
такие, что выполнены условия (1) и (2) леммы 1. Тогда множество fBf неогра-
ничено.
Доказательство. Заметим, что точка y0 = ∞ ∈ Rn \ f(D) и по лемме 3 суще-
ствует последовательность yk ∈ fBf , k = 1, 2, . . . , такая что yk → ∞ при k → ∞.
Тем самым, fBf неограничено, что и требовалось доказать. ¤
Лемма 5. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3 – открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в точке x0, x0 ∈ ∂D – изолированная существенная особая точка
отображения f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0
такие, что выполнены условия (1) и (2) леммы 1. Тогда x0 ∈ Bf .
Доказательство. Предположим противное, тогда существует окрестность U точ-
ки x0, такая что
(U \ {x0}) ∩Bf = ∅ . (11)
Заметим, что точка y0 = ∞ ∈ Rn \ f(U \ {x0}). Применим к сужению g := f |U\{x0}
отображения f на множество U \ {x0} лемму 3. Получаем, что найдётся последова-
тельность yk ∈ f (Bf ∩ (U \ {x0})) , k = 1, 2, . . . , такая что yk →∞ при k →∞. Од-
нако, последнее противоречит соотношению (11), ибо тогда f (Bf ∩ (U \ {x0})) 6= ∅
и, значит, (Bf ∩ (U \ {x0})) 6= ∅. ¤
Выбирая в леммах 1–5 ψ(t) : = 1
t log 1
t
, на основании следствия 2.3 в [5] и понятия
конечного среднего колебания, см. там же, получаем такой результат.
Теорема 1. Пусть f : D → Rn, n ≥ 2 – открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в точке x0, x0 ∈ ∂D – изолированная существенная особая точка
отображения f, такие, что либо Q ∈ FMO(x0), либо qx0(r) = O
([
log 1
r
]n−1
)
при
r → 0, где qx0(r) – среднее интегральное значение Q над сферой |x− x0| = r. Тогда:
I. Если n ≥ 3 и точка z0 ∈ Rn является асимптотическим пределом f в
точке x0, то для любой окрестности U ⊂ D, содержащей точку x0, выполнено
z0 ∈ f(Bf ∩ U);
II. Каждая точка множества Rn\f(D) является асимптотическим пределом
f в точке x0;
173
Е.А. Севостьянов
III. Если n ≥ 3, то Rn \ f(D) ⊂ fBf ;
IV. Если n ≥ 3 и ∞ /∈ f(D), то множество fBf неограничено и x0 ∈ Bf .
1. Agard S., Marden A. A removable singularity theorem for local homeomorphisms // Indiana Math.
J. – 20. – 1970. – P.455-461.
2. Bishop C.J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Intern.
Journ. Math. and Math. Scie. – 22. – 2003. – P.1397-1420.
3. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 103. –
1962. – P.353-393.
4. Hurewicz W., Wallman H. Dimension Theory, Princeton: Princeton Univ. Press, 1948.
5. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. матем.
вестник. – 2, №3. – 2005. – P.395-417.
6. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Topological and metric properties of quasiregular mappings //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 488. – 1971. – P.1-31.
7. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q–homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. – 30, no.1. – 2005. – P.49-69.
8. Rickman S. Quasiregular mappings, Results in Mathematic and Related Areas (3), 26. Berlin:
Springer-Verlag, 1993.
9. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. d’Anal. Math. –
96. – 2005. – P.117-150.
10. Väisälä J. Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes in Math. 229. –
Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.
11. Зорич В.А. Теорема М.А.Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства // Ма-
тем. сб. – 116, №3. – 1967. – C.415-433.
12. Севостьянов Е.А. Теоремы Лиувилля, Пикара и Сохоцкого для кольцевых отображений //
Укр. матем. вестник. – 5, no.3. – 2008. – C.366-381.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
brusin2006@rambler.ru, e_sevostyanov@rambler.ru
Получено 31.10.08
174
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20022 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:36:11Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Севостьянов, Е.А. 2011-05-20T08:00:04Z 2011-05-20T08:00:04Z 2008 Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений / Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 166-174. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20022 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений Article published earlier |
| spellingShingle | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений Севостьянов, Е.А. |
| title | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений |
| title_full | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений |
| title_fullStr | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений |
| title_full_unstemmed | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений |
| title_short | Существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений |
| title_sort | существенно особые точки и ветвления открытых дискретных кольцевых отображений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20022 |
| work_keys_str_mv | AT sevostʹânovea suŝestvennoosobyetočkiivetvleniâotkrytyhdiskretnyhkolʹcevyhotobraženii |