Теорема о среднем для полианалитических функций

Теорема о среднем для полианалитических функций

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
Datum:2008
1. Verfasser: Трофименко, О.Д.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20025
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Теорема о среднем для полианалитических функций / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 194-196. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20025
record_format dspace
spelling Трофименко, О.Д.
2011-05-20T08:05:31Z
2011-05-20T08:05:31Z
2008
Теорема о среднем для полианалитических функций / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 194-196. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
1683-4720
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20025
517.5
ru
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
Теорема о среднем для полианалитических функций
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Теорема о среднем для полианалитических функций
spellingShingle Теорема о среднем для полианалитических функций
Трофименко, О.Д.
title_short Теорема о среднем для полианалитических функций
title_full Теорема о среднем для полианалитических функций
title_fullStr Теорема о среднем для полианалитических функций
title_full_unstemmed Теорема о среднем для полианалитических функций
title_sort теорема о среднем для полианалитических функций
author Трофименко, О.Д.
author_facet Трофименко, О.Д.
publishDate 2008
language Russian
container_title Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format Article
issn 1683-4720
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20025
citation_txt Теорема о среднем для полианалитических функций / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 194-196. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT trofimenkood teoremaosrednemdlâpolianalitičeskihfunkcii
first_indexed 2025-11-26T00:09:25Z
last_indexed 2025-11-26T00:09:25Z
_version_ 1850593633668956160
fulltext ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17 УДК 517.5 c©2008. О.Д. Трофименко ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В данной статье получен аналог теоремы о среднем для случая полианалитических функций. Введение. Пусть функция f ∈ C(D) (D : |z| < 1). f называется ареоларно моногенной в D тогда и только тогда, когда ( ∂ ∂z̄ )f - аналитическая функция в D. Пусть Ω – область в C, m ∈ N. Функция f , локально интегрируемая в Ω, на- зывается m-аналитической в Ω тогда и только тогда, когда ( ∂ ∂z̄ )mf = 0 в смысле распределений. Изучению m-аналитических функций предшествовали работы М.О.Рида [1], [2] об ареоларно моногенных функциях. По поводу результатов, связанных с различ- ными классами m-аналитических функций, см. [3], [4]. Приведем ранее полученные результаты. Теорема A. (см.[1]) Если f(z) ∈ C(D), D : |z| < 1, тогда следующие утвер- ждения эквивалентны: (A) f(z)-ареоларно моногенная в D. (B) Уравнение L(f ; z, r) ≡ ∫ C(z,r) (ζ − z)f(ζ)dζ = 0 (1) выполнено для каждого C(z, r) в D (C(z, r) – граница замкнутого диска D(z, r) с центром в точке z и радиусом r). (C) Уравнение A(f ; z, r) ≡ ∫ ∫ D(z,r) (ζ − z)2f(ζ)dξdη = 0 (2) выполнено для каждого D(z, r) в D. Теорема B. (см.[3], гл.5) Если функция f – m-аналитична в Ω(Ω ⊂ C, m ∈ N), то уравнение ∫ |z|=r f(z + ζ)zm−1dz = 0 (3) выполнено для почти всех ζ ∈ Ω, r ∈ (0, dist(ζ, ∂Ω)). Обратное утверждение также выполнено. 194 Теорема о среднем для полианалитических функций Теорема C. Пусть 0 – произвольная точка в Ω(Ω ⊂ Cn) и ∆pΦ = 0 в Sρp ⊂ Ω (p = 0, 1, 2, ..., Sρp – сфера с радиусом ρp и центром в 0); тогда ∀ρj ≤ ρp Φ(0) + p∑ i=2 ρ 2(i−1) j Ai = 1 ωN ∫ r=ρj Φdω, (4) где Ai не зависит от ρj, ωN – площадь поверхности n-мерной единичной сферы. В данной работе обобщены результаты для m-аналитических функций и получен аналог основного результата Пизетти для полигармонических функций (см. Теорема C). 1. Формулировка основного результата. В этом разделе приводится теорема о среднем для m-аналитических функций. Теорема 1. Пусть m ∈ N и f – m-аналитична в Ω (Ω – область в C). Тогда ∀ζ ∈ Ω выполнено равенство m−1∑ l=1 1 (l − 1)!l! (( ∂ ∂ζ )l−1 ( ∂ ∂ζ̄ )l ) f(ζ)ρ2l = 1 2πi ∫ |z−ζ|=ρ f(z)dz, (5) ρ < dist(ζ, ∂Ω). Как промежуточный результат, получена следующая лемма, которая понадобит- ся нам для доказательства основного результата. Лемма. Пусть m ∈ N, k ∈ Z+, тогда для любой функции вида f = zkz̄m−1 выполнено равенство (5). Доказательство леммы. Для доказательства этой леммы рассмотрим два слу- чая. При k ≥ m− 1 получим ∫ |z−ζ|=ρ f(z)dz = ∫ |z−ζ|=ρ zkz̄m−1dz = 2πi m−1∑ l=1 C l−1 k C l kρ 2lζk−l+1ζ̄k−l = (6) = m−1∑ l=1 C l−1 k C l k(k − l + 1)!(m− l − 1)! k!(m− 1)! (( ∂ ∂ζ )l−1 ( ∂ ∂ζ̄ )l ) f(ζ)ρ2l = = m−1∑ l=1 1 (l − 1)!l! (( ∂ ∂ζ )l−1 ( ∂ ∂ζ̄ )l ) f(ζ)ρ2l. Если k < m− 1, то ∫ |z−ζ|=ρ f(z)dz = ∫ |z−ζ|=ρ zkz̄m−1dz = 2πi k+1∑ l=1 C l−1 k C l kρ 2lζk−l+1ζ̄k−l = (7) 195 О.Д. Трофименко = m−1∑ l=1 1 (l − 1)!l! (( ∂ ∂ζ )l−1 ( ∂ ∂ζ̄ )l ) f(ζ)ρ2l. Из (6) и (7) следует, что f удовлетворяет (5). ¤ 2. Доказательство основного результата. Теперь докажем Теорему 1. Доказательство. Используем общий вид m-аналитических функций f(z) = ϕ1(z) + z̄ϕ2(z) + ... + z̄m−1ϕm(z), z ∈ Ω, (8) где ϕi(z) – аналитические функции в Ω (см. [3]), i = 1,m. Тогда m-аналитическую функцию можно локально равномерно приблизить функциями типа g(z) = zkz̄n, где k ∈ Z+ и n = 0,m− 1. Следовательно, используя результат Леммы, получаем, что любая m-аналитическая функция удовлетворяет (5). ¤ 1. Maxwell O. Reade On areol monogenic functions. – Bulletin of the American Mathematical Society, 53, 1947, PP.98-103. 2. Maxwell O. Reade A theorem of Fédoroff. – Duke Math.J., 18, PP.105-109. 3. M.B.Balk Polyanalytic functions and their generalizations. – Progress in Science and Technology, 85, VINITI, PP.187-246. 4. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London. – 454p. Донецкий национальный ун-т odtrofimenko@gmail.com Получено 28.10.08 196 содержание Том 17 Донецк, 2008 Основан в 1997г.

Ähnliche Einträge