Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення

Розглянуто методи виявлення прихованих періодичностей, які описуються періодично нестаціонарними випадковими процесами та шляхи підвищення їх ефективності. Проведено аналіз квазіоптимальних оцінок базових частот моментних функцій першого й другого порядків прихованих періодичностей випадкових процес...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
Hauptverfasser:	Яворський, І.М., Юзефович, Р.М., Личак, О.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2023
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Інформатика та кібернетика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202250
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 6. — С. 19-32. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-202250
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2022502025-03-10T01:07:46Z Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення Stochastic models of hidden periodicities and effective methods for their discovery Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В. Інформатика та кібернетика Розглянуто методи виявлення прихованих періодичностей, які описуються періодично нестаціонарними випадковими процесами та шляхи підвищення їх ефективності. Проведено аналіз квазіоптимальних оцінок базових частот моментних функцій першого й другого порядків прихованих періодичностей випадкових процесів, що знаходяться як точки максимальних значень квадратичних функціоналів, які є асимптотичними наближеннями функціоналів найменших квадратів. З використанням методу малого параметра доведена середньоквадратична збіжність оцінок і в першому наближенні отримано залежності їх зміщень та дисперсій від довжини реалізації та коефіцієнтів Фур’є математичного сподівання й кореляційної функції. The methods for discovering hidden periodicities described by periodically non-stationary random processes (PNRP) and the ways to improve their efficiency are considered. The analysis of quasi-optimal estimators for basic frequencies of the first and second-order PNRP moment functions is carried out. These estimators are found as maximum points of the quadratic functional that serves as an asymptotic approximation of the least square functional. Convergences in the mean square of the estimators using the small parameter method are proven, and dependencies of their biases and variances on the realization length and Fourier coefficients of the mean and covariance functions are obtained at the first approximation. 2023 Article Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 6. — С. 19-32. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202250 621.391:519.22 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.06.019 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В. Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення Доповіді НАН України
description	Розглянуто методи виявлення прихованих періодичностей, які описуються періодично нестаціонарними випадковими процесами та шляхи підвищення їх ефективності. Проведено аналіз квазіоптимальних оцінок базових частот моментних функцій першого й другого порядків прихованих періодичностей випадкових процесів, що знаходяться як точки максимальних значень квадратичних функціоналів, які є асимптотичними наближеннями функціоналів найменших квадратів. З використанням методу малого параметра доведена середньоквадратична збіжність оцінок і в першому наближенні отримано залежності їх зміщень та дисперсій від довжини реалізації та коефіцієнтів Фур’є математичного сподівання й кореляційної функції.
format	Article
author	Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В.
author_facet	Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В.
author_sort	Яворський, І.М.
title	Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення
title_short	Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення
title_full	Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення
title_fullStr	Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення
title_full_unstemmed	Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення
title_sort	стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2023
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202250
citation_txt	Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 6. — С. 19-32. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT âvorsʹkijím stohastičnímodelíprihovanihperíodičnostejtaefektivnímetodiíhviâvlennâ AT ûzefovičrm stohastičnímodelíprihovanihperíodičnostejtaefektivnímetodiíhviâvlennâ AT ličakov stohastičnímodelíprihovanihperíodičnostejtaefektivnímetodiíhviâvlennâ AT âvorsʹkijím stochasticmodelsofhiddenperiodicitiesandeffectivemethodsfortheirdiscovery AT ûzefovičrm stochasticmodelsofhiddenperiodicitiesandeffectivemethodsfortheirdiscovery AT ličakov stochasticmodelsofhiddenperiodicitiesandeffectivemethodsfortheirdiscovery
first_indexed	2025-11-26T23:59:07Z
last_indexed	2025-11-26T23:59:07Z
_version_	1849899406895087616
fulltext	19 ІНФОРМАТИКА ТА КІБЕРНЕТИКА INFORMATICS AND CYBERNETICS ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6: 19—32 Ц и т у в а н н я: Яворський І.М., Юзефович Р.М., Личак О.В. Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6. С. 19—32. https://doi.org/10.15407/ dopovidi2023.06.019 © Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2023. Стаття опублікована за умовами відкритого доступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.06.019 УДК 621.391:519.22 І.М. Яворський1,2, https://orcid.org/0000-0003-0243-6652 Р.М. Юзефович1,3, https://orcid.org/0000-0001-5546-453X О.В. Личак1, https://orcid.org/0000-0001-5559-1969 1 Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, Львів 2 Бидгощcька політехніка, Бидгощ, Польща 3 Національний університет “Львівська політехніка”, Львів E-mail: ihor.yavorskyj@gmail.com, roman.yuzefovych@gmail.com, olehlychak2003@yahoo.com Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення Розглянуто методи виявлення прихованих періодичностей, які описуються періодично нестаціонарними випадковими процесами та шляхи підвищення їх ефективності. Проведено аналіз квазіоптимальних оцінок базових частот моментних функцій першого й другого порядків прихованих періодичностей випадкових процесів, що знаходяться як точки максимальних значень квадратичних функціоналів, які є асимпто- тичними наближеннями функціоналів найменших квадратів. З використанням методу малого параметра доведена середньоквадратична збіжність оцінок і в першому наближенні отримано залежності їх зміщень та дисперсій від довжини реалізації та коефіцієнтів Фур’є математичного сподівання й кореляційної функції. Ключові слова: приховані періодичності, періодично нестаціонарні випадкові сигнали, квазіоптимальні оцінки базових частот, середньоквадратична збіжність. Повторюваність і стохастичність є характерними рисами коливань, які зустрічаються у геофізиці, океанології, медицині, радіофізиці, технічній діагностиці тощо [1—9]. Їх називають стохастичними. Теорія й аналіз таких коливань базуються на моделях у вигляді періодично нестаціонарних випадкових процесів (ПНВП) та їх узагальнень – бі- та полі- ПНВП [4, 5, 8, 9]. ПНВП описують стохастичну повторюваність з одним періодом. Ці процеси представляються стохастичним рядом [3, 5, 9]: ω ∈ ∈ ξ = ξ = ξ + ξ ω + ξ ω∑ ∑0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) [ cos ( )sin ]ik t c s k k k k k t t e t t k t t k t   , (1) 20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак де 0 ( )tξ і ]( ) ( ) (1[ 2 )c s k k kt t i tξ = ξ − ξ є стаціонарно зв’язаними випадковими процесами; 0 2 P π ω = — базова частота; P — період;  — множина цілих чисел;  — множина натуральних чисел. З ряду (1) отримують окремі простіші моделі прихованих періодичностей, а саме: адитивну, муль- типлікативну, адитивно-мультиплікативну, представлення Райса, полігармонічну, як теж два крайніх випадки — детерміновану періодичну функцію і стаціонарний випадковий процес. Стохастичні властивості прихованих періодичностей у вигляді ПНВП визначаються стаціонарно зв’язаними випадковими процесами ( )k tξ , які модулюють несучі гармоніки за амплітудою і фазою. Їх математичні сподівання, авто- та взаємокореляційні функції визначають коефіцієнти Фур’є математичного сподівання та кореляційної функції ПНВП: 0 0 0 0( ) ( ) ( cos sin )ik t c s k k k k k m t E t m e m m k t m k tω ∈ ∈ = ξ = = + ω + ω∑ ∑   , (2) ω ∈ ∈ τ = ξ ξ + τ = τ = τ + τ ω + τ ω∑ ∑ o 0 0 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )cos ( )sin ]ik t c s k k k k k R t E t t R e R R k t R k t   . (3) Тут E — оператор усереднення за розподілом, ( )k km E t= ξ , ω τ − ∈ τ = τ∑ 0 ,( ) ( ) il k l k l l R R e  , ( ) ( ) ( )llk kR E t tτ = ξ ξ + τ o o , ( ) ( )k k kt t mξ = ξ − o , “–” — знак спряження, а також 1 ( ) 2 c s k k km m im= − , 1( ) [ ( ) ( )] 2 c s k k kR R iRτ = τ − τ 0k∀ ≠ . Коефіцієнти Фур’є кореляційної функції називають коре- ляційними компонентами [1, 3, 9]. З формули (3) випливає, що періодичні зміни кореля- ційної функції за часом є результатом корельованості модуляцій гармонік різного порядку у гармонічному представленні (1). Нульовий кореляційний компонент 0 ( )R τ визначається автокореляціями модуляцій і має всі властивості кореляційної функції стаціонарного ви- падкового процесу. Тому його називають кореляційною функцією стаціонарного набли- ження ПНВП [3, 9]. Його перетворення Фур’є – 0 0 – 1( ) ( ) 2 if R e d ∞ ωτ ∞ ω = τ τ π ∫ є спектральною гус тиною потужності стаціонарного наближення ПНВП. Коли спектри мо- дуляцій є вузькосмуговими, то спектральна густина має гребінчасту форму. Точки пікових значень ( )k nω у випадках, коли спектри модуляцій належать до інтервалу 0 0[– , ]ω ω , мало відрізняються від 0kω , ∈k  . При зміщенні спектрів за границі цього інтервалу різниці між піковими значеннями ( )k nω і частотами 0kω стають істотними, а при високочастотній модуляції вони взагалі переміщаються у високочастотну область. Це означає, що пошук прихованих періодичностей другого порядку неможливий у рамках стаціонарного набли- ження. Тому для розв’язування цієї задачі використовуються перетворення, які селективні до періодичних змін моментних функцій за часом [10—16]. Першою процедурою, яка була запропонована для виявлення періодичностей вважають схему Бюй—Балло[17]. Теоретичний аналіз статистичних властивостей оцінок періоду, отри- маних за допомогою цієї схеми та її узагальнення на випадок ПНВП-моделі, подано у робо- тах [10, 14, 15]. Оцінки періоду знаходяться як точки екстремальних значень перетворень, 21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення які подібні до когерентних статистик для обчислення математичного сподівання й кореля- ційної функції з тією різницею, що замість дійсного періоду використовується деяка пробна величина. Оцінка періоду знаходиться як точка екстремальних значень цих перетворень від- носно тестового періоду. Показано, що порядок збіжності в середньому є O( )–2T , де T — до- вжина реалізації, а в середньоквадратичному — O( )–3T . Когерентні перетворення в точках екстремумів мають значення, які близькі до значень в цих точках математичного сподівання чи кореляційної функції ПНВП. Якщо ми використовуємо для оцінювання періоду компо- нентні статистики, то в точках екстремумів отримуємо значення коефіцієнтів Фур’є рядів (2) і (3) [11,13,15]. Очевидно, що ефективність виявлення прихованих періодичностей залежить від цих екстремальних значень. Використання методу найменших квадратів (НК) дає можли- вість підвищити цю ефективність [16]. Екстремальні значення НК-статистик близькі до су- марної потужності гармонік математичного сподівання чи кореляційної функції, вибраних для оцінки їх базових частот. Однак для обчислення цих статистик потрібно розв’язувати систему лінійних рівнянь, яка може мати велику розмірність. Це утруднює практичне засто- сування НК-методу у випадках, коли математичне сподівання чи кореляційна функція міс- тять велику кількість гармонік. У даній роботі проведено аналіз оцінок базової частоти, що отримуються за допомогою спрощених функціоналів, в яких НК-оцінки коефіцієнтів Фур’є тригонометричних поліномів для математичного сподівання чи кореляційної функції обчис- люються з використанням компонентних статистик [18]. Як було показано в [19], зміщення й дисперсії оцінок НК математичного сподівання та кореляційної функції і їх компонентних оцінок все менше відрізняються між собою при збільшенні довжини реалізації. НК-оцінювання базової частоти математичного сподівання ПНВП зводиться до зна- ходження точки максимуму функціоналу [16]: 2 1 – 1ˆ ˆ( ) ( , ) 2 T T F m t dt T ω = ω∫ . (4) Тут 1 1 ˆ ˆ ˆ( , ) [ ( )cos ( )sin ] L c s k k k m t m k t m k t = ω = ω ω + ω ω∑ , (5) де 1L — число вибраних гармонік; функції ˆ ( )c km ω і ˆ ( )s km ω — розв’язки матричного рівняння ˆ ( )(ω) (ω) = ωm m%Μ , де – 1( ) ( ) ( , ) 2 T T t t dt T ω = ξ ω∫m e% , ( )ωM є симетричною матрицею: – 1( ) ( , ) ( , ) 2 T tr T t t dt T ω = ω ω∫M e e , 22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак а ˆ ( )ωm і ( , )tωe є матрицями-стовпцями: 1 11 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ( ), ... ( ), ... ( ), ... ( ))c c s s tr L Lm m m mω = ω ω ω ωm , 1 1( , ) (cos , ..., cos , sin , ..., sin )trt t L t t L tω = ω ω ω ωe . Тут верхній індекс ( )tr• означає транспонування. Підставимо у функціонал (4) замість НК-оцінки математичного сподівання (5) його компонентну оцінку, коли невідомі функції ˆ ( )c km ω і ˆ ( )s km ω знаходиться за формулами: ˆ ( ) cos1 ( ) sinˆ ( ) c T k s Tk m k s s ds k sTm − ⎧ ⎫ω ω⎧ ⎫⎪ ⎪ = ξ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ωω ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ . (6) Після усереднення за часом для великих T маємо: 1 2 2 1 1 1 1ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) [[ ( )] [ ( )] ] 2 L c s k k k F Q m m = ω ≈ ω = ω + ω∑ . (7) Проведемо аналіз властивостей функціоналу (7). Для математичних сподівань ста- тистик (6) – 1ˆ( ) ( ) ( )cos T c k k T C Em m s k sds T ω = ω = ω∫ , ( ) ( ) ( )1ˆ sin T s k k T S Em m s k sds T − ω = ω = ω∫ в інтервалі 0 03, 2 2 ω ω⎡ ⎤ ω∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ отримуємо: 0 0 , , lim ( ) 0, , c k kT mC →∞ ⎧ ω =ω⎪ω = ⎨ ω≠ ω⎪⎩ (8) 0 0 , , lim ( ) 0, . s k kT mS →∞ ⎧ ω =ω⎪ω = ⎨ ω≠ ω⎪⎩ (9) Середньоквадратичні значення флуктуаційних складових – 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )cos T c k k k T M m C s k sds T ω = ω − ω = ξ ω∫ o , – 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )sin T s k k k T N m S s k sds T ω = ω − ω = ξ ω∫ o 23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення визначаються співвідношеннями: 2 2 0 0 2ˆ[ ( )] 1 [2 ( )cos ( )cos ( )sin ] 2 T c s k k k uE M R u k u R u k u R u k u du T T ⎛ ⎞ω = − ω + ω − ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ , (10) 2 2 0 0 0 2ˆ[ ( )] 1 [2 ( )cos ( )cos ( )sin ] 2 T c s k k k uE N R u k u R u k u R u k u du T T ⎛ ⎞ω = − ω − ω + ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ . (11) Теорема 1. Якщо кореляційна функція ( , )R t τ загасає до нуля зі зростанням зсуву τ , тобто lim ( , ) 0R t τ→∞ τ = чи lim ( ) 0kR τ→∞ τ = 1[0, 2 ]k L∀ ∈ , (12) то 2ˆ[ ( )] 0kE M ω → і 2ˆ[ ( )] 0kE N ω → , якщо 0T→ , а значення функціоналу 1 ( )Q ω для 0ω=ω збігається в середньому до величини 1 ( ) 2 2 1 1 [( ) ( ) ] 2 L d c s t k k k P m m = = +∑ , яка визначає усереднену за часом потужність детермінованих коливань і прямує до нуля для 0ω≠ω і 0 03, 2 2 ω ω⎡ ⎤ ω∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , тобто 1 2 2 0 1 1 0 0 0 1 [( ) ( ) ], , 2lim ( ) 30, , . 2 2 L c s k k k T m m Q = →∞ ⎧ + ω =ω⎪ ⎪ω = ⎨ ω ω⎡ ⎤⎪ ω≠ ω ∧ ω∈⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ ∑ (13) Доведення. З умови (12) випливає, що O( ) 2 0 cos ( ) sin T k k R d T k αωτ⎧ ⎫ τ τ⎨ ⎬ωτ⎩ ⎭ ∫ � , де 1α< . Тоді для дисперсій (8) і (9) маємо: 2ˆlim [ ( )] 0kT E M →∞ ω = , (14) 2ˆlim [ ( )] 0kT E N →∞ ω = . (15) Представляючи статистики (6) у вигляді: ˆˆ ( ) ( ) ( )c k k km C Nω = ω + ω , ˆˆ ( ) ( ) ( )s k k km S Mω = ω + ω , ~ 24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак для математичного сподівання функціоналу (7) отримуємо: 1 2 2 2 2 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) [[ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ] 2 L k k k k k EQ C E M S E N = ω = ω + ω + ω + ω∑ . Прийнявши до уваги граничні рівності (8)—(9) і (14)—(15), приходимо до формули (13). Теорема доведена. Теорема 2. Якщо для гауссового ПНВП виконується умова (12), то статистика (7) в середньоквадратичному збігається до ( )d tP , якщо 0ω =ω , і прямує до нуля для інших 0 03, 2 2 ω ω⎡ ⎤ ω∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , тобто 2 2 1 1 ˆ ˆlim [ [ ( )] [ ( )] ] 0 T E Q EQ →∞ ω − ω = . Доведення. Квадрат статистики 1 ( )Q ω має вигляд: 1 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [[ ( )] [ ( )] 2[ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ] L c c c s s s k l k l k l k l Q m m m m m m = ω = ω ω + ω ω + ω ω∑ . Математичне сподівання кожної складової цього виразу в асимптотиці дорівнює: 2 2 2 2ˆ ˆlim {[ ( )] [ ( )] } lim[ ( )] [ ( )]c c k l k lT T E m m C C →∞ →∞ ω ω = ω ω , 2 2 2 2ˆ ˆlim {[ ( )] [ ( )] } lim[ ( )] [ ( )]c s k l k lT T E m m C S →∞ →∞ ω ω = ω ω , 2 2 2 2ˆ ˆlim {[ ( )] [ ( )] } lim [ ( )] [ ( )]s s k l k lT T E m m S S →∞ →∞ ω ω = ω ω . Звідси 2 2 1 1 ˆ ˆlim ( ) lim [ ( )] T T EQ EQ →∞ →∞ ω = ω , а це означає, що гранична рівність є справедливою. Теорему доведено. Встановлені властивості перетворення (7) дають підставу розглядати точку його мак- симуму як оцінку базової частини 0ω , яка є розв’язком нелінійного рівняння: 1 1 ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( ) 0 c sL k kc s k k k dm dm m m d d= ⎡ ⎤ω ω ω + ω =⎢ ⎥ ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ . (16) Щоб дослідити статистичні властивості цієї оцінки, представимо її у вигляді степеневого ряду за малим параметром 1γ : ω =ω +Αω+ γ ω + γ ω + γ ω +2 3 0 0 1 1 1 2 1 3ˆ ..., (17) 25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення де 1 2 3, , , ...ω ω ω є послідовними наближеннями. Ми виберемо малий параметр 1γ у вигляді відношення: 1 2 1 ( ) ˆ[ ( )]t d t D m t P ⎡ ⎤ γ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , де ˆ[ ( )]tD m t — усереднена за часом дисперсія компонентної оцінки математичного споді- вання при 0ω=ω , яка дорівнює [18]: 1 1 ˆ ˆ[ ( )] 2 [ ] L t k k D m t D m = = ∑ , при цьому 2 0 0 0 4ˆ[ ] 1 ( )cos 2 T k uD m R u k udu T T ⎛ ⎞= − ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ , Якщо виконується умова (12), то 1 0γ → , коли T→∞ . Введемо в рівнянні (16) нормовані детерміновану й стохастичну складові: 1 ( ) 2 ( ) ( ) [ ] k k d t C C P ω ω =% , 1 ( ) 2 ( ) ( ) [ ] k k d t S S ω ω =% , 1 2 ( ) ( ) ˆ[ [ ( )]] k k t M M D m t ω ω =% , 1 2 ( ) ( ) ˆ[ [ ( )]] k k t N N D m t ω ω =% і перепишемо його у вигляді: 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] k k k kL k k k k k dC dM C M d d dS dN S N d d = ⎡ ⎤⎡ ⎤ω ω ω + γ ω + γ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ω ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ =⎢ ⎥⎡ ⎤ω ω⎢ ⎥+ ω + γ ω + γ⎢ ⎥⎢ ⎥ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ % % % % % % % % . (18) Введемо позначення 0 ( ) ( )l kl k l d C ñ d ω=ω ⎡ ⎤ω = ⎢ ⎥ ω⎢ ⎥⎣ ⎦ % , 0 ( ) ( )l kl k l d S s d ω=ω ⎡ ⎤ω = ⎢ ⎥ ω⎢ ⎥⎣ ⎦ % , 0 ( ) ( )l kl k l d M m d ω=ω ⎡ ⎤ω = ⎢ ⎥ ω⎢ ⎥⎣ ⎦ % , 0 ( ) ( )l kl k l d N n d ω=ω ⎡ ⎤ω = ⎢ ⎥ ω⎢ ⎥⎣ ⎦ % 26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак і розкладемо ліву частину рівняння (18) в ряд Тейлора в околі точки 0ω=ω . Підставляючи в отримане співвідношення степеневий ряд (17) і прирівнюючи коефіцієнти при однако- вих степенях малого параметра, отримуємо вирази для невідомих наближень 1 2, , ...Δω ω ω У першому наближенні знаходимо: 1 (0) (1) (0) (1) 1 1 ( ) ( ) L k k k k k c c s s p T = Δω = +∑ , (19) 1 (0) (1) (0) (1) (1) (0) (1) (0) 1 (1) (1) (0) (2) (2) (0) (0) (2) (2) (0) 1 1 ( ) (2 ) L k k k k k k k k k k k k k k k k k k k c m s n s n c m p T c m c m c m s n s n= ⎡ ⎤+ + + + ω = ⎢ ⎥ +Δω + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ , (20) де 1 (1) 2 (1) 2 (0) (2) (0) (2) 1 1 1 1 ( ) [( ) ( ) ] L k k k k p T c s c c s s = = + + +∑ . Теорема 3. Якщо виконується умова (12), то точка максимуму функціоналу (7) для гауссових ПНВП є асимптотично незміщеною та слушною оцінкою базової частоти ма- тематичного сподівання, а для скінченої довжини реалізації її зміщення 0 0 0ˆ ˆ[ ]ε ω = Εω −ω і дисперсія 2 2 0 0 0ˆ ˆ ˆ[ ] [ ]D ω = Εω − Εω в першому наближенні визначаються формулами: î ( ) 1 1 1 0 1 0 –3 0 , 12 2 2 2 1 0 1 0 1 [ [( ) ] [( ) ]]3ˆ[ ] [ [( ) ] [( ) ]][( ) ( ) ] c sL k k L s s k lc s k k k k k m m I l k T I l k T T m m I l k T I l k TT k m m = = ⎡ ⎤− ω + + ω − ε ω = +⎢ ⎥ − − ω + + ω⎢ ⎥⎣ ⎦+ ∑ ∑ , (21) 1 0 2 3 2 2 2 1 3ˆ[ ] 2 [( ) ( ) ] L c s k k k D T k m m = ω = × ⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ 1 2 0 0 0 0 , 1 0 [ [ ( )(sin sin ) ( )(sin sin ) TL c c s s k l k l k l k l kl m m R u k u l u R u k u l u+ − = × ω + ω + ω − ω +∑ ∫ 0 0[ ( ) ( )](cos cos )]s c k l k lR u R u k u l u− −+ − ω + ω + 0 0 0 0[ ( )(sin sin ) ( )(sin sin )s s s s k l k l k lm m R u k u l u R u k u l u− ++ ω − ω − ω + ω + 0 0[ ( ) ( )](cos cos )]c c k l k lR u R u k u l u+ −+ + ω + ω − 0 0 0 02 [ ( )(sin sin ) ( )(sin sin )c s c c k l l k l km m R u k u l u R u l u k u+ −− ω + ω + ω − ω + î ( )–3 0 0[ ( ) ( )](cos cos )]]s s k l lR u R u k u l u du T++ + ω + ω + , (22)o 27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення де 1 2 sin cos( , ) 0T TI T T ω ω ω = − ∀ω≠ ωω . Доведення. Оскільки ( ) 0l kEm = і ( ) 0l kEn = , то зміщення в першому наближенні визна- чається виразом (19). Використовуючи рівності 1–( ) –1 ( ) 2 0 – [ ] ( )cos T p p d p tk T c k T P t m t k tdt= ω∫ , 1–( ) –1 ( ) 2 0 – [ ] ( )sin T p p d p tk T s k T P t m t k tdt= ω∫ , після перетворень приходимо до формули (21). Прийнявши до уваги (20), для дисперсії в першому наближенні маємо 12 (0) (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1)1 0 2 , 1 ˆ ˆ[ ] [ 2 ] ( ) L k l k l k l k l k l k l k l D c c m m s s n n c s m n p T = γ ω = Ε + Ε + Ε∑ . Кореляції (1) (1) k lm mΕ , (1) (1) k ln nΕ і (1) (1) k lm nΕ визначаються подвійними інтегралами, що мають вигляд 0 0 2 2 0 0– cos cos1 ( , – ) sin sin T T T T k s l t I tsR t s t dtds k s l tT ω ω⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ω ω⎩ ⎭ ∫ ∫ . Після спрощення цих інтегралів отримуємо формулу (22). При виконанні умови (12) зміщення (21) і дисперсія (22) прямують до нуля при T→∞ , тобто оцінка базової частоти (17) є асимпототично незміщеною та слушною. Теорему доведено. Оцінювання базової частоти кореляційної функції методом НК зводиться до пошуку точки максимуму функціоналу [16] 2 2 – 1ˆ ˆ( , ) ( , , ) 2 T T F R t dt T ω τ = ω τ∫ , (23) де ˆ ( , , )R tω τ — оцінка НК кореляційної функції. Підставимо у вираз (23) замість цієї оцін- ки компонентну: 2 1 ˆ ˆ ˆ( , , ) [ ( , )cos ( , )sin ] L c s k k k R t R k t R k t = ω τ = ω τ ω + ω τ ω∑ , де – ˆ ( , ) cos1 ( , )ˆ sin( , ) c T k s Tk R k s s ds k sTR ⎧ ⎫ω τ ω⎧ ⎫⎪ ⎪ = η τ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ωω τ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ , (24) 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак ( , ) ( ) ( )s s sη τ = ξ ξ + τ o o і 2L — число гармонік кореляційної функції. Після усереднення за ча- сом маємо: 2 2 2 2 2 1 1ˆˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) [[ ( , )] [ ( , )] ] 2 L c s k k k F Q R R = ω τ ≈ ω τ = ω τ + ω τ∑ . (25) Величина (25) в точці 0ω=ω визначає потужність часових змін кореляційної функції ( ) 2 0( , )s tP Q= ω τ . Детерміновані складові статистик (24) мають вигляд – 1ˆ( , ) ( , ) ( , )cos T c k k T C R R s k sds T ω τ = Ε ω τ = τ ω∫ , (26) – 1ˆ( , ) ( , ) ( , )sin T s k k T S R R s k sds T ω τ = Ε ω τ = τ ω∫ , (27) а флуктуаційні складові визначаються виразами: – 1ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( , )cos T c k k k T N R C s k sds T ω τ = ω τ − ω τ = η τ ω∫ o , (28) – 1ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( , )sin T s k k k T M R S s k sds T ω τ = ω τ − ω τ = η τ ω∫ o , (29) де ( , ) ( ) ( ) ( , )s s s R sη τ = ξ ξ + τ − τ o o o . Для середньоквадратичних значень величин (28) і (29) зна- ходимо: 2 2 0 0 0 2ˆ ( , ) 1 [2 ( , )cos ( , )cos ( , )sin ] 2 T c s k k k uM R u k u R u k u R u k u du T T ⎛ ⎞Ε ω τ = − τ ω + τ ω − τ ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ % % % , (30) 2 2 0 0 0 2ˆ ( , ) 1 [2 ( , )cos ( , )cos ( , )sin ] 2 T c s k k k uN R u k u R u k u R u k u du T T ⎛ ⎞Ε ω τ = − τ ω − τ ω + τ ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ % % % , (31) де 0 ( , )R u τ% і , ( , )c s kR u τ% — коефіцієнти Фур’є кореляційної функції ( , , )R t uη τ = ( )( , ) ,t t u= Εη τ η + τ o o . Для гауссових ПНВП 2 ( , ) 0kMΕ ω τ → і 2 ( , ) 0kNΕ ω τ → при T→∞ , якщо виконується умова (12). Асимптотичні властивості функціоналу (25) визначаються наведеними нижче теоре- мами 4 і 5, доведення яких подібне до теореми 1 і 2. Теорема 4. Якщо виконується умова (12), то дисперсії (28) і (29) для гауссових ПНВП прямують до нуля при T→∞ , а значення 2 ( , )Q ω τ для 0ω=ω збігаються в середньому до усередненої за часом потужності часових змін кореляційної функції та прямують до нуля 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення для інших 0 03, 2 2 ω ω⎡ ⎤ ω∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , тобто E 2 2 2 0 1 2 0 0 0 1 [[ ( )] [ ( )] ], , 2ˆlim ( , ) 30, , . 2 2 L c s k k k T R R Q = →∞ ⎧ τ + τ ω=ω⎪ ⎪ω τ = ⎨ ω ω⎡ ⎤⎪ ω≠ω ∧ω∈⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ ∑ Теорема 5. Якщо виконується умова (12), то статистика (25) гауссового ПНВП збіга- ється до ( )s tP , якщо 0ω=ω і прямує до нуля для інших 0 03, 2 2 ω ω⎡ ⎤ ω∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , тобто 2 ˆlim [ ( , )] 0 T D Q →∞ ω τ = . Встановлені властивості функціоналу (25) дають підставу розглядати точку його мак- симуму як оцінку базової частоти кореляційної функції. Така оцінка є розв’язком неліній- ного рівняння 2 1 ˆ ˆ( , ) ( , )ˆ ˆ( , ) ( , ) 0 c sL k kc s k k k R R R R = ⎡ ⎤∂ ω τ ∂ ω τ ω τ + ω τ =⎢ ⎥ ∂ω ∂ω⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ . (32) Цей розв’язок будемо шукати у вигляді степеневого ряду за малим параметром, який тепер виберемо у вигляді 1 2 2 1 ( ) 2 ˆ[ [ ( , )]] [ ] t s t D R t P τ γ = , де ˆ[ ( , )]tD R t τ — усереднена за часом дисперсія компонентної оцінки кореляційної функції при 0ω=ω : 2 0 1 ˆ ˆ ˆ[ ( , )] [ ( )] 2 [ ( )] L t k k D R t D R D R = τ = τ + τ∑ , при цьому 2 0 0 0 4ˆ[ ( )] 1 ( , )cos 2 T k uD R R u k udu T T ⎛ ⎞τ = − τ ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ % . Після переходу в рівнянні (32) до нормованих величин, розкладу його лівої частини у ряд Тейлора в околі точки 0ω=ω та виконання перетворень, які аналогічні до проведених вище, отримаємо формули для наближень, які співпадають з (21) і (22). Тільки тепер ве- личини, що входять до цих рівнянь, є похідними нормованих детермінованих (26)і (27) та флуктуаційних (28) і (29) складових. Виходячи з таких міркувань, можемо сформулювати наслідок теореми 3. 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак Наслідок. Якщо виконується умова (12), то значення частоти ω , при якому функціо- нал (25) набуває максимального значення, є для гауссового ПНВП асимптотично незміще- ною та слушною оцінкою базової частоти кореляційної функції, а для скінчених реалізацій зміщення оцінки та її дисперсія мають вигляд: 0 2 2 2 2 2 1 3ˆ[ ] [[ ( )] [ ( )] ] L c s k k k T k R R = ε ω = × τ + τ∑ 2 2 1 0 1 0 1 1 [ ( ) ( )[ [(1 ) , ] [(1 ) , ]] L L c c k l k l k R R I k T I h T = = × τ τ − ω + − ω −∑ ∑ î ( ) 2 –2 1 0 1 0 1 ( ) ( )[ [(1 ) , ] [(1 ) , ]]] L s s k l l R R I k T I k T T = − τ τ − ω + + ω +∑ . (33) 0 22 3 2 2 2 1 3ˆ[ ] 2 [[ ( )] [ ( )] ] L c s k k k D T k R R = ω = × ⎡ ⎤ τ + τ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 22 0 0 0 0 , 1 0 [ ( ) ( )[ ( , )(sin sin ) ( , )(sin sin ) TL c c s s k l l k k l k l kl R R R u k u l u R u k u l u+ − = × τ τ τ ω + ω + τ ω − ω +∑ ∫ % % 0 0[ ( , ) ( , )(cos cos )]] ( ) ( )c c s s k l k l k lR u R u k u l u R R− ++ τ − τ ω + ω + τ τ ×% % 1 0 0 2 0 0[ ( )(sin sin ) ( )(sin sin )s c k kR u k u l u R u k u l u− −× ω − ω − ω + ω +% % 0 0[ ( , ) ( )](cos cos )]c c k l k lR u R u k u l u+ −+ τ + ω + ω −% % 0 0 0 02 ( ) ( )[ ( , )(sin sin ) ( , )(sin sin )c s c c k k l k l kR R R u k u l u R u l u k u+ −− τ τ τ ω + ω + τ ω − ω +% % î ( )–3 0 0[ ( , ) ( , )](cos cos )]s s k l l kR u R u k u l u du T+ −+ τ + τ ω + ω +% % . (34) Отримані вище результати теоретично обґрунтовують можливості використання функціоналів (7) і (25) для обчислення базової частоти математичного сподівання та коре- ляційної функції ПНВП. Ці оцінки мають високий порядок збіжності, який не відрізняєть- ся від оцінок найменших квадратів. Виведені формули (21) і (20) та (33) і (34) характеризують похибки оцінювання в за- лежності від довжини реалізації та параметрів, що описують структуру процесу. На їх підставі можуть бути обчислені систематична й середньоквадратична похибки оцінюван- ня та вибрані її параметри статистичної обробки реалізації, які забезпечують їх потрібну величину. o o 31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Драган Я.П., Яворский И.Н. Ритмика морского волнения и подводные акустические сигналы. Киев: Наук. думка, 1982. 248 с. 2. Gardner W.A. Introduction to Random Processes with Applications to Signals and Systems. NewYork: Macmillan, 1985. 496 p. 3. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1987. 320 с. 4. Gardner W.A. Cyclostationarity in Communications and Signal Processing. NewYork: IEEE Press, 1994. 504 p. 5. Hard H.L., Miamee A. Periodically Correlated Random Sequences: Spectral Theory and Practice. NewYork: Wiley, 2007. 384 p. 6. Antoni J. Cyclostationarity by examples. Mech. Syst. Signal Process. 2009. 23, № 4. P. 987—1036. https://doi. org/10.1016/j.ymssp.2008.10.010 7. Javorskyj I., Yuzefovych R., Matsko I., Kravets I. The stochastic recurrence structure of geophysical phenomena. Applied Condition Monitoring. 2015. 3. P. 55—88. https://doi.org/10.1007/987-3-319-163330-7_4 8. Napolitano A. Cyclostationary Processes and Time Series: Theory, Applications, and Generalizations. Elsevier, AcademicPress, 2020. 626 p. 9. Яворський І.М. Математичні моделі та аналіз стохастичних коливань. Львів: ФМІ НАН України, 2013. 802 p. 10. Javorskyj I. Application of Buys-Ballot scheme in statistical analysis of rhythmic signal. Radioelectron. Com- mun. Syst. 1984. 27, № 11. P. 403—417. 11. Javorskyj I. Statistical analysis of periodically correlated random processes. J. Commun. Technol. Electron. 1985. 30, № 10. P. 21—29. 12. Javorskyj I., Mykhailyshyn V. Probabilistic models and investigation of hidden periodicities. Appl. Math. Lett. 1996. 9, № 2. P. 21—23. https://doi.org/10.1016/0893-9659(96)00005-5 13. Javorskyj I., Dehay D., Kravets I. Component statistical analysis of second order hidden periodicities. Digit. Signal Process. 2014. 26. P. 50—70. https://doi.org/10.1016/j.dsp.2013.12.002 14. Javorskyj I., Yuzefovych R., Matsko I., Zakrzewski Z., Majewski J. Coherent covariance analysis of periodically correlated random processes for unknown non-stationarity period. Digit. Signal Process. 2017. 65. P. 27—51. https://doi.org/10.1016/j.dsp.2017.02.013 15. Javorskyj I., Yuzefovych R., Matsko I., Zakrzewski Z., Majewski J. Covariance analysis of periodically correlated random processes for unknown non-stationarity period. Advances in Signal Processing: Reviews. Ed. Sergey Y. Yurish. Barselona: International Frequency Sensor Association Publishing, 2018. P. 155—276. 16. Javorskyj I., Yuzefovych R., Matsko I., Zakrzewski Z. The least square estimation of the basic frequency for periodically non-stationary random signals. Digit. Signal Process. 2022. 122. Article number:103333. https:// doi.org/10.1016/j.dsp.2021.103333 17. Buys Ballot C.H.D. Leo Claemert Periodiques de Temperature. Kemintet Fills, Utrecht, 1847. 18. Javorskyj I, Isayev I, Majewski J, Yuzefovych R. Component covariance analysis for periodically correlated ran- dom processes. Signal Process. 2010. 90, № 4. P. 1083—1102. https://doi.org/10.1016/j.sigpro.2009.07.031 19. Javorskyy I. Yuzefovych R., Kravets I., Zakrzewski Z. Least squares method in the statistic analysis of periodi- cally correlated random processes. Radioelectron. Commun. Syst. 2011. 54, № 1. P. 45—59. https://doi. org/10.3103/S0735272711010079 Надійшло до редакції 25.09.2023 REFERENCES 1. Dragan, Ya. & Yavorsky, I. (1982). Rhytmics of Sea Waving and Underwater Acoustic Signals. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian). 2. Gardner, W. A. (1985). Introduction to Random Processes with Applications to Signals and Systems. NewYork: Macmillan. 3. Dragan, Ya., Yavorskyj, I. & Rozhkov, V. (1987). Methods of probabilistic analysis of oceanological rhytmics. Leningrad: Gidrometeoizdat (in Russian). 4. Gardner, W. A. (1994). Cyclostationarity in Communications and Signal Processing. NewYork: IEEE Press. 5. Hard, H. L. & Miamee, A. (2007). Periodically Correlated Random Sequences: Spectral Theory and Practice. NewYork: Wiley. 32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак 6. Antoni, J. (2009). Cyclostationarity by examples. Mech. Syst. Signal Process., 23, No. 4, pp. 987-1036. https:// doi:10.1016/j.ymssp.2008.10.010 7. Javorskyj, I., Yuzefovych, R., Matsko, I. & Kravets, I. (2015). The stochastic recurrence structure of geophysical phenomena. Applied Condition Monitoring, 3, pp. 55-88. https://doi.org/10.1007/987-3-319-163330-7_4 8. Napolitano, A. (2020). Cyclostationary Processes and Time Series: Theory, Applications, and Generalizations. Elsevier: AcademicPress. 9. Javorskyj, I. (2013). Mathematical models and analysis of stochastic oscillations. Lviv: Karpenko Physico-Me- chanical Institute (in Ukrainian). 10. Javorskyj, I. (1984). Application of Buys-Ballot scheme in statistical analysis of rhythmic signal. Radioelectron. Commun. Syst., 27, No. 11, pp. 403-417. 11. Javorskyj, I. (1985). Statistical analysis of periodically correlated random processes. J. Commun. Technol. Electron., 30, No. 10, pp. 21-29. 12. Javorskyj, I. & Mykhailyshyn, V. (1996). Probabilistic models and investigation of hidden periodicities. Appl. Math. Lett., 9, No. 2, pp. 21-23. https://doi.org/10.1016/0893-9659(96)00005-5 13. Javorskyj, I., Dehay, D. & Kravets, I. (2014). Component statistical analysis of second order hidden periodici- ties. Digit. Signal Process, 26, pp. 50-70. https://doi.org/10.1016/j.dsp.2013.12.002 14. Javorskyj, I., Yuzefovych, R., Matsko, I., Zakrzewski, Z. & Majewski, J. (2017). Coherent covariance analysis of periodically correlated random processes for unknown non-stationarity period. Digit. Signal Process, 65, pp. 27-51. https://doi.org/10.1016/j.dsp.2017.02.013 15. Javorskyj, I., Yuzefovych, R., Matsko, I., Zakrzewski, Z. & Majewski, J. (2018). Covariance analysis of periodi- cally correlated random processes for unknown non-stationarity period. Advances in Signal Processing: Re- views. Ed. Sergey Y. Yurish. Barselona: International Frequency Sensor Association Publishing, pp. 155-276. 16. Javorskyj, I., Yuzefovych, R., Matsko, I. & Zakrzewski, Z. (2022). The least square estimation of the basic fre- quency for periodically non-stationary random signals. Digit. Signal Process, 122, Article number: 103333. https://doi.org/10.1016/j.dsp.2021.103333 17. Buys Ballot, C.H.D. (1847). Leo Claemert Periodiques de Temperature. Kemintet Fills, Utrecht. 18. Javorskyj, I., Isayev, I., Majewski, J. & Yuzefovych, R. (2010). Component covariance analysis for periodically cor- related random processes. Signal Process, 90, No. 4, pp. 1083-1102. https://doi.org/10.1016/j.sigpro.2009.07.031 19. Javorskyy, I., Yuzefovych, R., Kravets, I. & Zakrzewski, Z. (2011). Least squares method in the statistic analysis of periodically correlated random processes. Radioelectron. Commun. Syst., 54, No. 1, pp. 45-59. https://doi. org/10.3103/S0735272711010079 Received 25.09.2023 I.M. Javorskyj1, 2, https://orcid.org/0000-0003-0243-6652 R.M. Yuzefovych1, 3, https://orcid.org/0000-0001-5546-453X O.V. Lychak1, https://orcid.org/0000-0001-5559-1969 1 Karpenko P hysico-Mechanical Institute of the NAS of Ukraine, Lviv 2 UTP University of Sciences and Technology, Bydgoszcz, Poland 3 Lviv Polytechnic National University, Lviv E-mail: ihor.yavorskyj@gmail.com, roman.yuzefovych@gmail.com, olehlychak2003@yahoo.com STOCHASTIC MODELS OF HIDDEN PERIODICITIES AND EFFECTIVE METHODS FOR THEIR DISCOVERY The methods for discovering hidden periodicities described by periodically non-stationary random processes (PNRP) and the ways to improve their efficiency are considered. The analysis of quasi-optimal estimators for basic frequencies of the first and second-order PNRP moment functions is carried out. These estimators are found as maximum points of the quadratic functional that serves as an asymptotic approximation of the least square functional. Convergences in the mean square of the estimators using the small parameter method are proven, and dependencies of their biases and variances on the realization length and Fourier coefficients of the mean and covariance functions are obtained at the first approximation. Keywords: hidden periodicities, periodically non-stationary random processes, quasi-optimal estimators of basic fre- quencies, convergences in the mean square.

Стохастичні моделі прихованих періодичностей та ефективні методи їх виявлення

Institution

Ähnliche Einträge