Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта

Наведено результати стійкості для розв’язків рівняння Річардса — Клюта під впливом збурень у початкових та крайових умовах. Метою статті є доведення апріорних оцінок варіації розв’язку, які виникають внаслідок збурень у початково-крайових умовах. Доведено основний результат обмеженості варіації розв...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Доповіді НАН України
Дата:	2023
Автори:	Колесников, В.А., Ляшко, С.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2023
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202251
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта / В.А. Колесников, С.І. Ляшко // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 6. — С. 12-18. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-202251
record_format	dspace
spelling	Колесников, В.А. Ляшко, С.І. 2025-03-09T15:59:31Z 2023 Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта / В.А. Колесников, С.І. Ляшко // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 6. — С. 12-18. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202251 519.63 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.06.012 Наведено результати стійкості для розв’язків рівняння Річардса — Клюта під впливом збурень у початкових та крайових умовах. Метою статті є доведення апріорних оцінок варіації розв’язку, які виникають внаслідок збурень у початково-крайових умовах. Доведено основний результат обмеженості варіації розв’язку лінійною функцією від варіацій початково-крайових умов. Розглянуто випадок неоднорідного пористого середовища. The stability results of the Richards — Klute equation’s solution under perturbations of initial and boundary conditions are provided. The purpose of the article is to establish a priori estimates of the solution’s variation resulting from perturbations in the initial and boundary conditions. The primary finding demonstrates the boundedness of the solution’s variation by a linear function of the variation in the initial and boundary conditions. The case of a non-homogeneous porous medium is also examined. Дослідження виконано в рамках проєкту Національного фонду досліджень України, ДР0122U002026. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта Richards—Klute equation’s solution stability Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта
spellingShingle	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта Колесников, В.А. Ляшко, С.І. Інформатика та кібернетика
title_short	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта
title_full	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта
title_fullStr	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта
title_full_unstemmed	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта
title_sort	стійкість розв’язків рівняння річардса — клюта
author	Колесников, В.А. Ляшко, С.І.
author_facet	Колесников, В.А. Ляшко, С.І.
topic	Інформатика та кібернетика
topic_facet	Інформатика та кібернетика
publishDate	2023
language	Ukrainian
container_title	Доповіді НАН України
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format	Article
title_alt	Richards—Klute equation’s solution stability
description	Наведено результати стійкості для розв’язків рівняння Річардса — Клюта під впливом збурень у початкових та крайових умовах. Метою статті є доведення апріорних оцінок варіації розв’язку, які виникають внаслідок збурень у початково-крайових умовах. Доведено основний результат обмеженості варіації розв’язку лінійною функцією від варіацій початково-крайових умов. Розглянуто випадок неоднорідного пористого середовища. The stability results of the Richards — Klute equation’s solution under perturbations of initial and boundary conditions are provided. The purpose of the article is to establish a priori estimates of the solution’s variation resulting from perturbations in the initial and boundary conditions. The primary finding demonstrates the boundedness of the solution’s variation by a linear function of the variation in the initial and boundary conditions. The case of a non-homogeneous porous medium is also examined.
issn	1025-6415
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202251
citation_txt	Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта / В.А. Колесников, С.І. Ляшко // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 6. — С. 12-18. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT kolesnikovva stíikístʹrozvâzkívrívnânnâríčardsaklûta AT lâškosí stíikístʹrozvâzkívrívnânnâríčardsaklûta AT kolesnikovva richardskluteequationssolutionstability AT lâškosí richardskluteequationssolutionstability
first_indexed	2025-11-26T01:39:57Z
last_indexed	2025-11-26T01:39:57Z
_version_	1850604136163180544
fulltext	12 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6: 12—18 Ц и т у в а н н я: Колесников В.А., Ляшко С.І. Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6. С. 12—18. https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.06.012 © Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2023. Стаття опублікована за умовами відкритого доступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) ІНФОРМАТИКА ТА КІБЕРНЕТИКА INFORMATICS AND CYBERNETICS https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.06.012 УДК: 519.63 В.А. Колесников, https://orcid.org/0009-0004-7984-2995 С.І. Ляшко, https://orcid.org/0000-0003-1016-5231 Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, Київ E-mail: valera.kolesnikov.1997@gmail.com, lyashko.serg@gmail.com Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта Наведено результати стійкості для розв’язків рівняння Річардса — Клюта під впливом збурень у почат- кових та крайових умовах. Метою статті є доведення апріорних оцінок варіації розв’язку, які виника- ють внаслідок збурень у початково-крайових умовах. Доведено основний результат обмеженості варіації розв’язку лінійною функцією від варіацій початково-крайових умов. Розглянуто випадок неоднорідного по- ристого середовища. Ключові слова: рівняння Річардса — Клюта, стійкість, початкові умови, крайові умови. Рівняння Річардса — Клюта використовується для опису процесу масопереносу в порис- тих середовищах під дією явищ гравітації та капілярності. Проблема масопереносу в по- ристому середовищі з межею насичення є однією з важливих проблем математичної фізи- ки. За допомогою рівняння Річардса — Клюта описуються процеси зрошення та осушення, розв’язуються задачі оптимального керування для задання розподілу корисних речовин у ґрунті. Також воно використовується в процесі будівництва гідрологічних та іригаційних систем. Рівняння Річардса — Клюта є квазілінійним еліптично-параболічним виродженим диференціальним рівнянням у часткових похідних. Тому існує лише обмежена кількість аналітичних розв’язків цього рівняння. Більшість із них отримано для дуже спрощених властивостей середовища. З цієї ж причини існує лише невелика кількість апріорних оці- нок для розв’язків рівняння Річардса — Клюта. Більшість із них доведені лише для слабких розв’язків. Робота [1] містить аналітичний одновимірний розв’язок рівняння Річардса — Клюта, отриманий за допомогою перетворення Кірхгофа. У класичних роботах [2, 3] міс- тяться доведення теорем існування, єдиності та регулярності слабких розв’язків. Роботи [2, 4] також містять результати стосовно стійкості розв’язків рівняння Річардса — Клюта, але в них розглядалася лише стійкість в залежності від початкових умов. У роботі [5] на- 13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта ведено теоретичні результати, що стосуються задачі оптимального керування, отримані за допомогою перетворення Кірхгофа. Через обмежену кількість аналітичних розв’язків основним інструментом для роз в’я- зання рівняння Річардса — Клюта є чисельні методи. Роботи [6, 7] містять огляд чисель- них методів для розв’язання рівняння Річардса — Клюта. На практиці найпоширенішими методами є метод скінченних елементів і метод скінченних об’ємів. Останній забезпечує найкращий контроль балансу маси. Також є багато модифікацій цих методів. В роботах [8] та [9] запропоновані адаптивні кроки по часу та простору відповідно. Ці модифікації забезпечують більш високу точність порівняно зі стандартними методами. В [10] пропо- нується спеціальна процедура апроксимації рівняння Річардса — Клюта для неоднорід- них середовищ. Отримання наближеного розв’язку рівняння Річардса — Клюта за допо- могою лінеаризації рівняння описане в роботі [11]. Основним результатом згаданих робіт є підвищення ефективності обчислень при знаходженні наближеного розв’язку. Матриця системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), що утворюється на кожному кроці по часу для знаходження наближеного розв’язку на наступному кроці, зазвичай є розрідже- ною, симетричною та має діагональну перевагу. Для ефективного розв’язання СЛАР з та- кими матрицями користуються методом типу Зейделя та їх модифікаціями [12]. Є також роботи, в яких обговорюється проблема стійкості чисельних методів. Стаття [13] містить результати стійкості для змішаного методу скінченних елементів, отримані за допомо- гою перетворення Кірхгофа. У роботі [14] описано стійку схему на основі модифікації представлення величини потенціалу тиску. Стаття [15] містить результати щодо стійкості методу скінченних різниць для розв’язання рівняння Річардса — Клюта на основі методу перетворення Фур’є. Проте всі результати, що стосуються стійкості для чисельних методів, а також для за- гального рівняння Річардса — Клюта, дають оцінки похибки розв’язку в залежності від зміни початкових умов. Крайові умови в цих міркуваннях вважаються постійними. Дана стаття містить результати стійкості розв’язку рівняння Річардса — Клюта відносно змін у початкових і крайових умовах. Доведена обмеженість відхилення значень розв’язку рівнян- ня Річардса — Клюта лінійною функцією від відхилень у початкових та крайових умовах. Розглянемо рівняння Річардса — Клюта ( )( ),zh eKt ∇ + ∂θ =∇⋅ ∂ (1) де θ — коефіцієнт насиченості (безрозмірний); h — потенціал гідравлічного тиску, м; K — водопроникність, м/с, середовища (залежить від насиченості); ze — орт, напрямлений вер- тикально донизу; ( , , , ) (0, )x y z t T∈Ω× , Ω — обмежена область з гладкою межею, що розді- ляється на скінченну кількість підобластей гомогенності , ,i i i j i i j ⎛ ⎞ Ω Ω =Ω Ω ∩Ω =∅ ≠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ U , в кожній з яких визначена окрема функція Ki, так що K(h(ω))=Ki(h(ω)), ω ∈ Ωi. Надалі бу- демо вважати, що функції Ki неперервні, а також, що виконуються нерівності Ki>0. До того ж, будемо вважати, що функція залежності насиченості від потенціалу тиску θ(h) неспадна. Лема. Нехай область Ω обмежена та має гладку межу, Γ — зв’язна замкнута підмно- жина ∂Ω. Тоді для довільного 0δ δ існують така підобласть Ωδ ⊆ Ω з гладкою межею, що 14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 В.А. Колесников, С.І. Ляшко Γ ∩ Ωδ = ∅, ,( )Hd δΓ Ω δ , де dH — метрика Хаусдорфа, та неперервна кусково-диференці- йована функція νδ, така що виконуються такі умови: δ δ δ δ γ = γ∈Γ ω = ω∈Ω ∃ = ν ν ∇ν δ 0, , 1, co ( ) ( ) , nst : / .M M (2) Теорема. Нехай маємо рівняння Річардса — Клюта (1) у негомогенному середовищі з такими початково-крайовими умовами: 0 1, 2( , 0) ( ),θ ω = θ ω (3) 0 1, 2 1 1, 2 2 , ( ) , ( ) , , ( ( ) ) , ,( )z n h h t K h t t t e q = γ∈Γ ∇ γ + = ∈Γ γ γ (4) де Γ1 ∪ Γ2 = ∂Ω, Γ1 ∩ Γ2 = ∅. Нехай для рівняння (1) та початково-крайових умов θ1 0, h1 0, q1 і θ2 0, h2 0, q2 виконуються умови існування розв’язків h1 та h2 з роботи [2], причому ∇h1 та ∇h2 кусково-неперервні і в деякому околі межі Γ1 виконується нерівність \|∇(h1 – h2)\| ≤ \|h1 – h2\|, С — константа. Нехай для функцій Ki виконується така умова (A0 — константа). 1 2 0 1 2 .( ) ( )i iK h K h A h h− − (5) Тоді має місце така нерівність. 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 0 0 . T T d d C h h d dt C q q d dt Ω Ω Γ Γ θ − θ Ω ≤ θ −θ Ω + − Γ + − Γ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ (6) Доведення. Нехай θ1= θ(h1), θ2= θ(h2). Помножимо (1) на деяку неперервну кусково-диференційовану функцію η, таку що η (γ) = 0, γ ∈ Γ1, і проінтегруємо частинами. Тоді ми маємо таку рівність: 2 ( )( ) 0.zdz K h h e d q dn tΩ ΓΩ ∂θ η + ∇ + ⋅∇η Ω− η = ∂∫ ∫ ∫ (7) Підставимо у дану рівність розв’язки θ1 і θ2 та оцінимо їх різницю. Для подальшого аналізу підберемо тепер функцію η. Якщо функцію η обрати кусково-сталою, то другий інтеграл в (7) дорівнюватиме нулю. Якщо, окрім цього, обрати 1 2sign( )η = θ − θ , то ми ма- тимемо оцінку для кусково-диференційованої функції 1 2max(0, )θ − θ . Міняючи місцями θ1 та θ2, ми матимемо оцінку для функції 1 2 2 1 1 2max(0, ) max(0, )θ − θ + θ − θ = θ − θ . Проте для того, щоб перейти від (1) до (7), функція η повинна бути неперервною та задовольняти умові η (γ)=0, γ ∈ Γ1. Введемо тоді у розгляд сімейство функцій з двома параметрами ηδ,ε, 15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта таке що , 1 20 0 lim sign( )δ εδ→ ε→ η = θ − θ . Параметр δ відповідатиме за умову на межі Γ1, параметр ε — за розриви функції 1 2sign( )θ − θ в області Ω. Нехай функція : [0,1]μ → диференційована, μ (x)=0 для 0x , μ (x)=1 для 1x , для x ∈ [0,1] μ (x) монотонно зростає, причому ( )x Mμ ¢ для всіх x ∈ R. Нехай ηε(ξ) = μ(ξ/ε). Тоді для ηε виконуються такі властивості: 2( ) max 0, 0.) ( ) sign( ), 0, ( ( )f ε ξ ε ε = η ξ μ → ξ → ξ ε ′ ε→ → ξ (8) Тоді визначимо сімейство функцій , ( ) ( ) (, )vδ ε δ εη ω ξ = ω η ξ , де νδ(ω) — функції, що опи- сані у наведеній вище лемі для Γ = Γ1. Це сімейство функцій має такі властивості: , , ,( ) ( ) ( .0 , 1, , , ), ,) ( ( ) 0δ ε δ ε ε δ ε εη ω ξ η ω ξ η ξ η ω ξ →η ξ δ→   (9) В якості функції η підставимо у (7) функцію , 1 2( , ( ) ( ))h hδ εη ω ω − ω . Для градієнта ∇η ми маємо таку рівність: , 1 2 , 1 2 , 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( , ) ( ( , )) .( ) ( ) ( ) ( )( ) h h h h h h h h h h h h δ ε ω δ ε δ ε δ ε δ ε ∂ ∇η ω =∇η ω − =∇ η ω − + η ω − ∂ξ =∇ν ω η − + ν ω η − ∇ −′ ∇ = (10) Тоді 1 2 , 1 2 11 21 12 22( ) ( ) , ( ) ( ) ,h h d I I I I Q t δ ε Ω ∂ θ − θ η ω − Ω = − + − + ∂∫ (11) 2 ,1 1 11 2 1 2 2 1 2 12 2 1 2 , 1 2 2 21 1 2 , 1 2 22 1 2 , 1 2 1 2 1 ( ) ( ) . ( ( ) ( ))( ) ( ) , , ( ( ) ( ))( ) , , ( )( ) ,( ) ( ) , , ( )( ) , ( ) z z I K h K h h e h h h h d I K h K h h e h h d I K h h h h h d I K h h h h h d Q q q dn Ω Ω Ω δ ε ω δ ε δ ε ω δ Γ Ω ε ∂ = − ∇ + ⋅ ∇ −∇ η ω − Ω ∂ξ = − ∇ + ⋅∇ η ω − ∂ = ∇ −∇ η ω − ∂ξ = ∇ −∇ ⋅∇ η ω − − Ω Ω η Ω = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (12) Розглянемо рівняння, аналогічне (11), в якому θ1 і θ2 змінені місцями: 12 2 1 , 1 12 211 22 ( ) , ( ) (( ) .) r r r r rh h d I I I I Q t δ ε Ω ∂ θ − θ η ω − Ω = − + − + ∂∫ (13) 16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 В.А. Колесников, С.І. Ляшко Оцінимо праві частини (11) і (13). Шляхом нескладних перетворень ми маємо такі оцінки (A1, A2, A3 — константи): 1 1 1 2 11 21 1 11 21 1 0 0 12 2 1 2 1 0 0 12 2 1 2 1 0 0 22 22 3 1 2 1 1 2 2 ( ), ( ), , 0, , 0, , 0, . r r r r I I A f I I A f I A h h d I A h h d I I A h h d Q q q d Γ Γ Γ Γ − ε − ε − Γ δ→ − Γ δ→ + − Γ δ→ − Γ ∫ ∫ ∫ ∫       (14) Тоді, додаючи (11) і (13) та беручи до уваги, що sign(h1–h2) = sign(θ1–θ2), 1 2max(0, )θ − θ + 2 1 1 2 max(0, )+ θ − θ = θ − θ та f(ε)→0, ми отримуємо при ε,δ→0 нерівність 1 2 1 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2 2 ,d C h h d C q q d tΩ Γ Γ ∂ θ − θ Ω − Γ + − Γ ∂∫ ∫ ∫ (15) де C1, C2 — константи, а інтеграл в лівій частині розуміється у такому сенсі: 1 21 2 12 ( ) ( ) ,d d d t t t+ −Ω Ω Ω ∂ θ − θ ∂ θ − θ ∂ θ − θ Ω = Ω + Ω ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (16) де 1 2{ \| ( ) ( )}, \ .+ − +Ω = ω∈Ω θ ω > θ ω Ω =Ω Ω Інтегруючи (15) по часу, ми отримуємо (6). Дана нерівність описує обмеженість відхилення значень розв’язку рівняння Річард- са — Клюта в будь-який момент часу T лінійною функцією від відхилень у початкових та крайових умовах першого та другого роду. Основний результат статті слугує теоретичною базою для апроксимації початкових та крайових умов в процесі знаходження наближеного розв’язку рівняння Річардса — Клюта. Цей результат також впливає на використання чи- сельних методів, що дають можливість апроксимувати крайові умови Діріхле та Неймана з прогнозуванням похибок. Подальші дослідження можуть містити аналогічні результати початково-крайової стійкості у випадку швидко осцилюючих розв’язків. Також постає пи- тання стосовно аналогічних оцінок в інших метриках. Дослідження виконано в рамках проєкту Національного фонду досліджень України, ДР0122U002026. 17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 6 Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Srivastava R., Jim Yeh T.-C. Analytical Solutions for One-Dimensional, Transient Infiltration Toward the Water Table in Homogeneous and Layered Soil. Water Resources Research. 1991. 27, Iss. 5. P. 753—762. https://doi. org/10.1029/90WR02772 2. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations. Math. Z. 1983. 183, № 1. Р. 311— 341. https://doi.org/10.1007/BF01176474 3. Bertsch M., Husholf J. Regularity Results for an Elliptic-Parabolic Free Boundary Problem. Transactions of the Amer. Math. Society. 1986. 297, № 1. Р. 337—350. https://doi.org/10.2307/2000472 4. Egorov A.G., Dautov R.Z., Nieber J.L., Shevchukov A.Y. Stability analysis of gravity-driven infiltrating flow. Water Resour. Res. 2003. 39, № 9. https://doi.org/10.1029/2002WR001886. 5. Ляшко С.І., Клюшин Д.А., Тимошенко А.А. Оптимальне керування інтенсивністю занурених точкових джерел води у ненасиченому пористому середовищі. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 12. С. 13—18. https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.12.013 6. Farthing M.W., Ogden F.L. Numerical Solution of Richards’ Equation: A Review of Advances and Challenges. Soil Science Society of Amer. Journal. 2017. 81, № 6. Р. 1257—1269. https://doi.org/10.2136/sssaj2017.02.0058 7. Zha Y., Yang J., Zeng J., Tso C.-H.M., Zeng W., Shi L. Review of numerical solution of Richardson–Richards equation for variably saturated flow in soils. WIREs Water. 2019. 6, P. e1364. https://doi.org/10.1002/wat2.1364 8. Celia M., Bouloutas E., Zarba R. A general mass-conservative numerical solution for the unsaturated flow equation. Water Resources Research. 1990. 26, № 1. P. 1483—1496. https://doi.org/10.1029/WR026i007p01483 9. Колесников В. Аналіз побудови чисельних методів для розв’язання рівняння Річардса-Клюта. Журнал обчисл. та прикл. математики. 2023. № 1. С. 28—38. https://doi.org/10.17721/2706-9699.2023.1.03 10. Suk H., Park E. Numerical solution of the Kirchhoff-transformed Richards equation for simulating variably saturated flow in heterogeneous layered porous media. J. Hydrology. 2019. 579, № 124213. https://doi. org/10.1016/j.jhydrol.2019.124213 11. Liu F., Fukumoto Y., Zhao X. A multi level linearized Crank–Nicolson scheme for Richards equation under variable flux boundary conditions. Appl. Analysis. 2023. 102, № 6. Р. 1601—1617. https://doi.org/10.1080/0003 6811.2021.1992395 12. Хіміч О.М., Сидорук В.А. Гібридний алгоритм розв’язування систем лінійних рівнянь з розрідженими матрицями методом верхньої релаксації. Мат. та комп. моделювання. Серія: Фіз.-мат. науки. 2013. 9. С. 105—111. 13. Pop I.S., Radu F., Knabner P. Mixed finite elements for the Richards’ equation: linearization procedure. J. Comp. and Appl. Math. 2004. 168, № 1—2. Р. 365—373. https://doi.org/10.1016/j.cam.2003.04.008 14. Machado G.J., Pereira R.M.S., Clain S., Araújo N., Lopes S.O. A new stabilized scheme for a Richards’ equation with evapotranspiration. Groundwater for Sustainable Development. 2022. 17, № 100736. https://doi.org/10.1016/j. gsd.2022.100736 15. Pedrozo H.A., Rozenberger M.R., Shevzov C.E. Stability analysis of the solution of the one-dimensional Rich- ards equation by the finite difference method. AIP Conf. Proc. 2016. 1738, № 480008. https://doi.org/ 10.1063/1.4952244 Надійшло до редакції 25.09.2023 REFERENCES 1. Srivastava, R. & Jim Yeh, T.-C. (1991). Analytical Solutions for One-Dimensional, Transient Infiltration Toward the Water Table in Homogeneous and Layered Soil. Water Resources Research, 27, No. 5, pp. 753-762. https:// doi.org/10.1029/90WR02772 2. Alt, H. W. & Luckhaus, S. (1983). Quasilinear elliptic-parabolic differential equations. Math. Z., 183, No. 1, pp. 311-341. https://doi.org/10.1007/BF01176474 3. Bertsch, M. & Husholf, J. (1986). Regularity Results for an Elliptic-Parabolic Free Boundary Problem. Transac- tions of the Amer. Math. Society, 297, No. 1, pp. 337-350. https://doi.org/10.2307/2000472 4. Egorov, A. G., Dautov, R. Z., Nieber, J. L. & Shevchukov, A. Y. (2003). Stability analysis of gravity-driven infil- trating flow. Water Resour. Res., 39, No. 9. https://doi.org/10.1029/2002WR001886. 18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 6 В.А. Колесников, С.І. Ляшко 5. Lyashko, S. I., Klyushin, D. A. & Tymoshenko, A. A. (2019). Optimal control over inserted point source inten- sity for humidification of a two-dimensional porous medium. Dopov. Nac. akad. nauk. Ukr., No. 12, pp. 13-18 (in Ukrainian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.12.013 6. Farthing, M. W. & Ogden, F. L. (2017). Numerical Solution of Richards’ Equation: A Review of Advances and Challenges. Soil Science Society of Amer. Journal, 81, No. 6, pp. 1257-1269. https://doi.org/10.2136/sssaj2017. 02.0058 7. Zha, Y., Yang, J., Zeng, J., Tso, C.-H. M., Zeng, W. & Shi, L. (2019). Review of numerical solution of Richardson– Richards equation for variably saturated flow in soils. WIREs Water, 6, P. e1364. https://doi.org/10.1002/wat2.1364 8. Celia, M., Bouloutas, E. & Zarba, R. (1990). A general mass-conservative numerical solution for the unsaturated flow equation. Water Resources Research, 26, No. 1. pp. 1483-1496. https://doi.org/10.1029/WR026i007p01483 9. Kolesnykov, V. (2023). Analysis of the construction of numerical methods for solving the Richards-Klute equa- tion. Journal of Numerical and Appl. Math., No. 1, pp. 28-38 (in Ukrainian). https://doi.org/10.17721/2706- 9699.2023.1.03 10. Suk, H. & Park, E. (2019). Numerical solution of the Kirchhoff-transformed Richards equation for simulating variably saturated flow in heterogeneous layered porous media. J. Hydrology, 579, No. 124213. https://doi.org/ 10.1016/j.jhydrol.2019.124213 11. Liu, F., Fukumoto, Y. & Zhao, X. (2023). A multi level linearized Crank–Nicolson scheme for Richards equation under variable flux boundary conditions. Appl. Analysis, 102, No. 6, pp. 1601-1617. https://doi.org/10.1080/00 036811.2021.1992395 12. Khimich, O. M. & Sydoruk V. A. (2013). A hybrid algorithm for solving the linear equations system with sparse matrix using over relaxation method. Math. and comp. modeling. Series: Phys. and math. sci., 9, pp. 105-111 (in Ukrainian). 13. Pop, I. S., Radu, F. & Knabner, P. (2004). Mixed finite elements for the Richards’ equation: linearization proce- dure. J. Comp. and Appl. Math., 168, No. 1-2, pp. 365-373. https://doi.org/10.1016/j.cam.2003.04.008 14. Machado, G. J., Pereira, R. M. S., Clain, S., Araújo, N. & Lopes, S. O. (2022). A new stabilized scheme for a Richards’ equation with evapotranspiration. Groundwater for Sustainable Development, 17, No. 100736. https:// doi.org/10.1016/j.gsd.2022.100736 15. Pedrozo, H. A., Rozenberger, M. R. & Shevzov, C. E. (2016). Stability analysis of the solution of the one- dimensional Richards equation by the finite difference method. AIP Conf. Proc., 1738, No. 480008. https://doi. org/10.1063/1.4952244 Received 25.09.2023 V.A. Kolesnykov, https://orcid.org/0009-0004-7984-2995 S.I. Lyashko, https://orcid.org/0000-0003-1016-5231 Taras Shevchenko National University of Kyiv, Kyiv E-mail: valera.kolesnikov.1997@gmail.com, lyashko.serg@gmail.com RICHARDS — KLUTE EQUATION’S SOLUTION STABILITY The stability results of the Richards — Klute equation’s solution under perturbations of initial and boundary conditions are provided. The purpose of the article is to establish a priori estimates of the solution’s variation resulting from perturbations in the initial and boundary conditions. The primary finding demonstrates the boundedness of the solution’s variation by a linear function of the variation in the initial and boundary conditions. The case of a non-homogeneous porous medium is also examined. Keywords: Richards — Klute equation, stability, initial conditions, boundary conditions.

Стійкість розв’язків рівняння Річардса — Клюта

Репозитарії

Схожі ресурси