Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів

Теоретично досліджено поширення джозефсонівських плазмових хвиль в обмежених зразках шаруватого надпровідника за допомогою підходу Лагранжа. З базових експериментальних результатів отримано вирази для функції Лагранжа для зв’язаних ступенів вільності фази параметра порядку в надпровідних шарах і еле...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Доповіді НАН України
Datum:	2024
Hauptverfasser:	Бухтатий, А.Є., Майзеліс, З.О., Ямпольський, В.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2024
Schlagworte:	Фізика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202281
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів / А.Є. Бухтатий, З.О. Майзеліс, В.О. Ямпольський // Доповіді Національної академії наук України. — 2024. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-202281
record_format	dspace
spelling	Бухтатий, А.Є. Майзеліс, З.О. Ямпольський, В.О. 2025-03-10T15:24:25Z 2024 Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів / А.Є. Бухтатий, З.О. Майзеліс, В.О. Ямпольський // Доповіді Національної академії наук України. — 2024. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202281 537.8 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2024.01.013 Теоретично досліджено поширення джозефсонівських плазмових хвиль в обмежених зразках шаруватого надпровідника за допомогою підходу Лагранжа. З базових експериментальних результатів отримано вирази для функції Лагранжа для зв’язаних ступенів вільності фази параметра порядку в надпровідних шарах і електромагнітного поля. Показано, що у k-просторі функція Лагранжа представляє собою суму зліченої множини незалежних внесків, які відповідають різним можливим хвилеводним модам у зразку, які розбито на звичайні та надзвичайні моди. Отримано дисперсійні залежності мод. Результати можуть бути застосовані для побудови електронних пристроїв терагерцевого діапазону. The theoretical investigation of Josephson plasma wave propagation in confined samples of a layered superconductor was conducted using the Lagrangian approach. Based on fundamental experimental results, an expression for the Lagrange function governing the coupled degrees of freedom of the order parameter phase in the layers of the sample and the electromagnetic field was derived. It is shown that, in k-space, the Lagrange function represents of a counted set of independent contributions corresponding to various possible waveguide modes in the sample, categorized as ordinary and extraordinary modes. Dispersion dependences for the modes were obtained. The results of this study can be applied to the construction of electronic devices in the Terahertz frequency range. Роботу виконано за підтримки Національного фонду досліджень України в рамках проєкту 2020.02/0149 “Квантовi явища при взасмодiї електромагнiтних хвиль з твердотiльними наноструктурами”. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів Lagrange function for the layered superconductor samples of fi nite size Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів
spellingShingle	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів Бухтатий, А.Є. Майзеліс, З.О. Ямпольський, В.О. Фізика
title_short	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів
title_full	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів
title_fullStr	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів
title_full_unstemmed	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів
title_sort	функція лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів
author	Бухтатий, А.Є. Майзеліс, З.О. Ямпольський, В.О.
author_facet	Бухтатий, А.Є. Майзеліс, З.О. Ямпольський, В.О.
topic	Фізика
topic_facet	Фізика
publishDate	2024
language	Ukrainian
container_title	Доповіді НАН України
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format	Article
title_alt	Lagrange function for the layered superconductor samples of fi nite size
description	Теоретично досліджено поширення джозефсонівських плазмових хвиль в обмежених зразках шаруватого надпровідника за допомогою підходу Лагранжа. З базових експериментальних результатів отримано вирази для функції Лагранжа для зв’язаних ступенів вільності фази параметра порядку в надпровідних шарах і електромагнітного поля. Показано, що у k-просторі функція Лагранжа представляє собою суму зліченої множини незалежних внесків, які відповідають різним можливим хвилеводним модам у зразку, які розбито на звичайні та надзвичайні моди. Отримано дисперсійні залежності мод. Результати можуть бути застосовані для побудови електронних пристроїв терагерцевого діапазону. The theoretical investigation of Josephson plasma wave propagation in confined samples of a layered superconductor was conducted using the Lagrangian approach. Based on fundamental experimental results, an expression for the Lagrange function governing the coupled degrees of freedom of the order parameter phase in the layers of the sample and the electromagnetic field was derived. It is shown that, in k-space, the Lagrange function represents of a counted set of independent contributions corresponding to various possible waveguide modes in the sample, categorized as ordinary and extraordinary modes. Dispersion dependences for the modes were obtained. The results of this study can be applied to the construction of electronic devices in the Terahertz frequency range.
issn	1025-6415
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/202281
citation_txt	Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів / А.Є. Бухтатий, З.О. Майзеліс, В.О. Ямпольський // Доповіді Національної академії наук України. — 2024. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT buhtatiiaê funkcíâlagranžadlâšaruvatogonadprovídnikaskínčennihrozmírív AT maizelíszo funkcíâlagranžadlâšaruvatogonadprovídnikaskínčennihrozmírív AT âmpolʹsʹkiivo funkcíâlagranžadlâšaruvatogonadprovídnikaskínčennihrozmírív AT buhtatiiaê lagrangefunctionforthelayeredsuperconductorsamplesoffinitesize AT maizelíszo lagrangefunctionforthelayeredsuperconductorsamplesoffinitesize AT âmpolʹsʹkiivo lagrangefunctionforthelayeredsuperconductorsamplesoffinitesize
first_indexed	2025-11-26T01:45:46Z
last_indexed	2025-11-26T01:45:46Z
_version_	1850606373586337792
fulltext	13 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2024. № 1: 13—19 Ц и т у в а н н я: Бухтатий А.Є., Майзеліс З.О., Ямпольський В.О. Функція Лагранжа для шаруватого надпровідни- ка скінченних розмірів. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2024. № 4. С. 13—19. https://doi.org/10.15407/dopovidi2024.01.013 © Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2024. Стаття опублікована за умовами відкритого доступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) ФІЗИКА PHYSICS https://doi.org/10.15407/dopovidi2024.01.013 УДК 537.8 А.Є. Бухтатий1, https://orcid.org/0009-0007-2183-4329 З.О. Майзеліс2,3, https://orcid.org/0000-0001-6217-7117 В.О. Ямпольський2,3 , https://orcid.org/0000-0003-3702-4551 1КЗ “Харківський ліцей №161 “Імпульс” Харківської міської ради”, Харків, Україна 2Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, Харків, Україна 3Харківский національний університет ім. В.Н. Каразіна, Харків, Україна E-mail: maizelis.z.a@gmail.com Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів Теоретично досліджено поширення джозефсонівських плазмових хвиль в обмежених зразках шаруватого надпровідника за допомогою підходу Лагранжа. З базових експериментальних результатів отримано вира- зи для функції Лагранжа для зв’язаних ступенів вільності фази параметра порядку в надпровідних шарах і електромагнітного поля. Показано, що у k-просторі функція Лагранжа представляє собою суму зліченої множини незалежних внесків, які відповідають різним можливим хвилеводним модам у зразку, які розби- то на звичайні та надзвичайні моди. Отримано дисперсійні залежності мод. Результати можуть бути застосовані для побудови електронних пристроїв терагерцевого діапазону. Ключові слова: функція Лагранжа, шаруватий надпровідник, хвилевод, звичайні і надзвичайні моди, дисперсійна залежність. Збуреннями густини зарядів у електронній плазмі у провідних матеріалах є плазмони. Дис- персійну залежність для плазмонів можна отримати, розглядаючи функцію Лагранжа, при цьому в якості ступенів вільності вибирається густина зарядів. Ці флуктації матеріальних ступенів вільності у деякому діапазоні частот пов’язані з модами електромагнітного поля, в результаті чого утворюються плазмон-поляритони [1]. У надпровідниках при розгляді флуктуацій матеріальних ступенів вільності переходять до спряженої до густини коорди- нати — фази комплексного параметра порядку надпровідника [2]. Останнім часом особливий інтерес представляють шаруваті надпровідники — періо- дичні структури, які складаються з надпровідних шарів, що чергуються з шарами діелек- трика. Найпоширенішими представниками таких високотемпературних надпровідників 14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2024. No. 1 А.Є. Бухтатий, З.О. Майзеліс, В.О. Ямпольський є природні кристали 2 2 2 8+Bi Sr CaCu O  [3, 4]. Численні експерименти показали, що якщо провідність у площині шарів у шаруватих надпровідниках може бути описана теорією Лон- донів, то у перпендикулярному напрямку струм визначається ефектом Джозефсона [4]. З експериментальної точки зору джозефсон-плазмові хвилі (ДПХ), які можуть розпо- всюджуватися в шаруватих надпровідниках, цікаві тим, що вони відповідають терагерце- вому діапазону частот, який є дуже важливим з точки зору можливих застосувань у ме- дицині, біофізиці тощо, але є складно досяжним для сучасних електронних та оптичних пристроїв. Особливий для шаруватих надпровідників нелінійний зв’язок між струмом впоперек шарів структури і фазою параметра порядку призводить до ряду цікавих ефек- тів, які можна застосовувати у електронних пристроях терагерцевого діапазону (зупинка світла, індукована прозорість зразків шаруватого надпровідника, самофокусування, керу- вання прозорістю за рахунок магнітного поля, розповсюдження особливих поверхневих ДПХ [4—7]). Властивості ДПХ у різних конфігураціях вивчаються інтенсивно протягом останнього десятиріччя, але більшість робіт присвячена нескінченним зразкам. Водночас з практичної точки зору дуже важливим є аналіз саме зразків скінченних розмірів. В даній роботі вперше застосовано підхід Лагранжа для отримання дисперсійних залежностей мод у хвилеводі з ідеально провідними стінками із заповненням з шаруватого надпровідника. Функція Лагранжа шаруватого надпровідника. Почнемо з аналізу доданків у функ- ції Лагранжа, які відповідають матеріальним ступеням вільності у випадку ізотропного суцільного надпровідника. Згідно з класичною теорією Гінзбурга—Ландау, енергетичні за- трати на формування поля параметра порядку  визначаються його градієнтом [2], тобто густину потенціальної енергії розраховуємо за співвідношенням [1] 2 21 ( ( ) ( ) ) , 8s s V L D dV t       (1) де sD — ефективна пружність джозефсонівської плазми;  — стисливість зарядів у над- провіднику. Тут і далі постійною Планка у формулах нехтуємо, інтегрування виконуємо за скінченним об’ємом зразка. В загальному випадку у k -просторі  є функцією хвильового вектора. Якщо ми знехтуємо цією залежністю для невеликих значень k , тобто вважатиме- мо параметр 0   константою, то отримаємо з (1) лінійний, “звуковий”, закон дисперсії sv k , де швидкість поширення збуджень 0/s sv D  . Однак, якщо ми врахуємо далеку кулонівську взаємодію між електронами, то функція ( )k , як показано, наприклад, у [8], закон дисперсії набуває постійного доданку, який відповідає плазмовому порогу, 2 2 2 2 ,p sv k   де 2 24p se D   — плазмова частота у суцільному надпровіднику. Функція Лагранжа (1) враховує лише матеріальні ступені вільності. Водночас, як за- значалося вище, флуктуації густини зарядів пов’язуються з флуктуаціями електромагніт- ного поля. Для врахування цього зв’язку необхідно перейти від змінної  до градієнтно- інваріантних ступенів вільності i , які визначаються таким чином: 0 0 1, 2, 3 , , , , 1 2 2, ( ) ,x y z x y z e eA A c t c c          (2) 15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2024. № 1 Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів де 0A — скалярний; , ,x y zA — векторний потенціал електромагнітного поля. Змінні i відпо- відають фізично вимірюваним величинам, на відміну від самої фази  , і вони не змінюються при одночасному перенормуванні як потенціалів електромагнітного поля, так і фази  : 0 0 ( , , , ) ( , , , )1 , ,i i i f x y z t f x y z t A A A A c t x         2 ( , , , )e f x y z t c  (3) з довільною функцією координат і часу ( , , , )f x y z t . Необхідно також враховувати власну енергію електромагнітного поля, яка відповідає функції Лагранжа 2 2 0 1 1( ( ) (rot ) ) . 8em V AL A A dV c t          (4) Тут  — проникність діелектричних прошарків. Для знаходження повної функції Лагранжа системи слід скласти функцію Лагранжа з (1) (в якій виконано перехід від фази  до градієнтно-інварінтних змінних i ) і функцію Лагранжа електромагнітного поля (4): 2 2 2 2 0 0 2 1 1( ( 2 ) ( ) ( ) (rot ) ) . 8 8 8 8 s V D e AL eA A A A dV t c c t                    (5) Цей вираз не є діагональним за ступенями вільності, що відповідає взаємодії густини за- рядів і електромагнітного поля. В ньому можна провести калібровку, яка задовольняє пра- вилам (3). Скористаємося надалі калібровкою 0 0A  і замість ступенів вільності електро- магнітного поля застосуємо змінні i . Наступним кроком є визначення анізотропії шаруватого надпровідника. Для враху- вання різної провідності вздовж і впоперек шарів надпровідника ми робимо заміну 2 2 2 2( ) ( ) [( ) ( ) ]s c abD D D z x y           (6) у рівнянні (1) і відповідну заміну у (5). Тут вважається, що вісь z направлена перпенди- кулярно до площини шарів xy. Така анізотропія проявляється, наприклад, у зміні поляри- зації електромагнітних хвиль при відбиванні від зразків шаруватого надпровідника [9]. Наслідком того, що значення стисливості зарядів у двох напрямках неоднакові, є і різниця порогових значень частоти збуджень: 2 24 4, .c ab J o J e D e D          (7) Тут введено параметр анізотропії  (його значення є достатньо великим для типових пред- ставників шаруватих надпровідників). Як уже зазначалося, важливою властивістю шаруватих надпровідників є нелінійність електродинамічних рівнянь зв’язку струму, що тече у системі, і градієнтно-інваріантного параметра z . Згідно із загальноприйнятою моделлю, струм, що тече у напрямку, перпен- дикулярному шарам, можна наблизити джозефсонівським виразом [4], sin .z J zj D  (8) 16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2024. No. 1 А.Є. Бухтатий, З.О. Майзеліс, В.О. Ямпольський Це призводить до відповідного нелінійного зв’язку у функції Лагранжа системи. Утри- муючи лише доданки, які відповідають ступеням вільності x і z , отримаємо з (5) такий вираз для функції Лагранжа: 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ( ) ( ) cos 32 Jx z o x z V cL D t te c c c c D               2 2 2 2( ) ( ) ) .x z z x x z dV z z x z x z                 (9) Тут замість доданка 2 2 J z  фігурує 22 cosJ z   так, що його розклад до квадратичного члену дає такий самий результат, а похідна — синусоїдальний струм (8). З функції Лагранжа (9) можна отримати рівняння Ейлера—Лагранжа, які є диференці- альними рівняннями для знаходження змінних ,x z , 2 2 22 2 2 2 2 0,x x z o x c c x zt z                 22 2 22 2 2 2sin 0.Jz z x z c cD D x zt x                 (10) Якщо виключити з цих рівнянь x і обмежитися лише надзвичайними модами, вва- жаючи, що o >> J , приходимо до класичних синусоїдальних рівнянь Гордона для шару- ватих надпровідників [10], які отримують з мікроскопічних міркувань. Функція Лагранжа зразка скінченних розмірів. Врахуємо тепер те, що зразок ша- руватого надпровідника є скінченним. Зрозуміло, що це призводить до того, що замість розподілених змінних ( , )i r t  тепер ми маємо справу зі зліченою множиною мод, які задо- вольняють граничним умовам на межах зразка. В якості таких граничних умов виберемо умови ідеальної провідності стінок, згідно з якими тангенціальні компоненти електрично- го поля на межі дорівнюють нулю. Тоді будемо шукати розв’язок у вигляді ( , ) ( )cos( )sin( )sin( ),xq xq x y zr t t q x q y q z   ( , ) ( )sin( )cos( )sin( ),yq yq x y zr t t q x q y q z   ( , ) ( )sin( )sin( )cos( ),zq zq x y zr t t q x q y q z   (11) де враховуємо всі три компоненти , ,x y z . Вісь z , як і раніше, спрямована перпендикуляр- но до шарів надпровідника, а область зразка відповідає діапазонам 0 xx L  , 0 yy L  i 0 zz L  . Для виконання граничних умов необхідно, щоб , , .yx z x y z x y z nn nq q q L L L      (12) Тут , ,x y zn — цілі ненульові числа, одне з яких може дорівнювати нулю. Тоді загальний розв’язок представлятиме собою суму за всіма модами системи. 17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2024. № 1 Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів Існують дві групи розв’язків рівнянь Ейлера—Лагранжа (10), які відповідають звичай- ним і надзвичайним модам. Функція Лагранжа при цьому розпадається на суму незалеж- них внесків, які відповідають кожній з мод, ( ) ( ) , , ( ). x y z ord ext q q n n n L L L  (13) Розглянемо окремо кожного з них. Звичайні моди не збуджують струм перпендикуляр- но шарам і електричне поле в цьому напрямку дорівнює нулю. Дві інші компоненти x і y пов’язані співвідношенням – .x x y yq q   (14) Тоді відповідні доданки у функції Лагранжа системи мають вигляд 2 2 ( ) 2 2 2( ) ( ) ,ord x q o x c qL t         (15) де 2 2 2 x y zq q q q   , а постійним множником перед доданком нехтуємо. Важливо, що зви- чайні моди є лінійними, оскільки не супроводжуються струмом поперек шарів. Другий набір доданків у загальній функції Лагранжа (13), який відповідає надзвичай- ним модам, має складнішу структуру. Він відповідає ситуації, коли магнітне поле лежить у площині шарів надпровідника, і виконується такий зв’язок компонент x , y та z : ,x y y xq q   2 2 ( ) .z o z x x x z q c q q q       (16) Тоді відповідні доданки у функції Лагранжа матимуть вигляд: 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) . / ) x yext x q J x z o c q q L t c q           (17) Бачимо, що характерні частоти поширення таких хвиль значно менші за рахунок мен- шого значення J порівняно з o . На відміну від звичайних мод, такі моди є нелінійними, що пов’язано з доданком ~ cos zD у функції Лагранжа. Врахувати цю нелінійність можна, розв’язуючи рівняння Ейлера—Лагранжа (10). Як і в інших нелінійних задачах, в принципі це може привести до кількох ефектів. По-перше, частота нелінійної надзвичайної моди по- чинає залежати від амплітуди хвилі. Для головної поправки методом послідовних набли- жень отримаємо такий вираз: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 , 32/ ) x y J nl J z o c q q D A c q          (18) де A — амплітуда моди; 9 / 4  для мод з 0zq  і 3  при 0zq  . Іншими ефектами не- лінійності є генерація старших гармонік і взаємодія мод. 18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2024. No. 1 А.Є. Бухтатий, З.О. Майзеліс, В.О. Ямпольський Висновки. Таким чином, в роботі отримано функцію Лагранжа для шаруватого над- провідника, обмеженого у просторі. Виходячи з загального випадку анізотропного середо- вища, вирази узагальнені на випадок специфічної нелінійності, характерної для шаруватих надпровідників. З використанням підходу Лагранжа отримано дисперсійні співвідношен- ня для джозефсонівських плазмових хвиль, які можуть поширюватися в обмежених зраз- ках шаруватого надпровідника. Отримані результати становлять інтерес з фундаменталь- ної точки зору, оскільки дозволяють узагальнити підхід Лагранжа на системи шаруватих надпровідників. Практичний інтерес має дослідження збуджень у шаруватих надпровід- никах, оскільки це дозволяє будувати терагерцеві електронні пристрої з можливістю точ- ного контролю їх параметрів. Роботу виконано за підтримки Національного фонду досліджень України в рамках проєк- ту 2020.02/0149 “Квантовi явища при взасмодiї електромагнiтних хвиль з твердотiльними наноструктурами”. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Gabriele F., Castellani C., Benfatto L. Generalized plasma waves in layered superconductors: A unified approach. Phys. Rev. Res. 2022. 4, Iss. 2. P. 023112. https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.4.023112 2. De Palo S., Castellani C., Di Castro C., Chakraverty B.K. Effective action for superconductors and BCS-Bose crossover. Phys. Rev. B. 1999. 60, Iss. 1. P. 564. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.60.564 3. Kleiner R., Steinmeyer F., Kunkel G., Muller P. Intrinsic Josephson effects in 2 2 2 8+Bi Sr CaCu O  single crystals. Phys. Rev. Lett. 1992. 68, Iss. 15. P. 2394. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.2394 4. Savel’ev S., Yampol’skii V.A., Rakhmanov A.L., Nori F. Terahertz Josephson plasma waves in layered su per con- ductors: spectrum generation nonlinear and quantum phenomena. Rep. Prog. Phys. 2010. 73, № 2. P. 026501. https://doi.org/10.1088/0034-4885/73/2/026501 5. Ovcharenko H.V., Maizelis Z.A., Apostolov S.S., Yampol’skii V.A. Nonlinear focusing of terahertz laser beam using a layered superconductor. Phys. Rev. B. 2022. 106, Iss. 17. P. 174511. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.106.174511 6. Rokhmanova T., Apostolov S.S., Kvitka N., Yampol’skii V.A. Effect of a dc magnetic field on the anomalous dispersion of localized Josephson plasma modes in layered superconductors. Low Temp. Phys. 2018. 44, № 6. P. 552. https://doi.org/10.1063/1.5037558 7. Apostolov S.S., Maizelis Z.A., Sorokina M.A., Yampol’skii V.A., Nori F. Self-induced tunable transparency in layered superconductors. Phys. Rev. B. 2010. 82, Iss. 14. P. 144521. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.82.144521 8. Anderson P.W. Random-Phase Approximation in the Theory of Superconductivity. Phys. Rev. 1958. 112, Iss. 6. P. 1900. https://doi.org/10.1103/PhysRev.112.1900 9. Apostolov S.S., Rokhmanova T.N., Khankina S.I., Yakovenko V.M., Yampol’skii V.A. Transformation of the polarization of THz waves by their reflection and transmission through a finite layered superconductor. Low Temp. Phys. 2012. 38, Iss. 9. P. 880. https://doi.org/10.1063/1.4747706 10. Sakai S., Bodin P., Pedersen N.F. Fluxons in thin-film superconductor-insulator superlattices. J. Appl. Phys. 1993. 73, Iss. 5. P. 2411. https://doi.org/10.1063/1.353095 Надійшло до редакції 27.10.2023 REFERENCES 1. Gabriele, F., Castellani, C. & Benfatto, L. (2022). Generalized plasma waves in layered superconductors: A unified approach. Phys. Rev. Res., 4, Iss. 2, pp. 023112. https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.4.023112 2. De Palo, S., Castellani, C., Di Castro, C. & Chakraverty, B. K. (1999). Effective action for superconductors and BCS-Bose crossover. Phys. Rev. B., 60, Iss. 1, pp. 564. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.60.564 3. Kleiner, R., Steinmeyer, F., Kunkel, G. & Muller, P. (1992). Intrinsic Josephson effects in 2 2 2 8+Bi Sr CaCu O  single crystals. Phys. Rev. Lett., 68, Iss. 15, pp. 2394. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.2394 19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2024. № 1 Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів 4. Savel’ev, S., Yampol’skii, V. A., Rakhmanov, A. L. & Nori, F. (2010). Terahertz Josephson plasma waves in layered superconductors: spectrum generation nonlinear and quantum phenomena. Rep. Prog. Phys., 73, No. 2, pp. 026501. https://doi.org/10.1088/0034-4885/73/2/026501 5. Ovcharenko, H. V., Maizelis, Z. A., Apostolov, S. S. & Yampol’skii, V. A. (2022). Nonlinear focusing of terahertz laser beam using a layered superconductor. Phys. Rev. B., 106, Iss. 17, pp. 174511. https://doi.org/10.1103/ PhysRevB.106.174511 6. Rokhmanova, T., Apostolov, S. S., Kvitka, N. & Yampol’skii, V. A. (2018). Effect of a dc magnetic field on the anomalous dispersion of localized Josephson plasma modes in layered superconductors. Low Temp. Phys., 44, No. 6, pp. 552. https://doi.org/10.1063/1.5037558 7. Apostolov, S. S., Maizelis, Z. A., Sorokina, M. A., Yampol’skii, V. A. & Nori, F. (2010). Self-induced tunable trans pa- rency in layered superconductors. Phys. Rev. B., 82, Iss. 14, pp. 144521. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.82.144521 8. Anderson, P. W. (1958). Random-Phase Approximation in the Theory of Superconductivity. Phys. Rev., 112, Iss. 6, pp. 1900. https://doi.org/10.1103/PhysRev.112.1900 9. Apostolov, S. S., Rokhmanova, T. N., Khankina, S. I., Yakovenko, V. M. & Yampol’skii, V. A. (2012). Transformation of the polarization of THz waves by their reflection and transmission through a finite layered superconductor. Low Temp. Phys., 38, Iss. 9, pp. 880. https://doi.org/10.1063/1.4747706 10. Sakai, S., Bodin, P. & Pedersen, N. F. (1993). Fluxons in thin-film superconductor-insulator superlattices. J. Appl. Phys., 73, Iss. 5, pp. 2411. https://doi.org/10.1063/1.353095 Received 27.10.2023 A. Bukhtatyi 1, https://orcid.org/0009-0007-2183-4329 Z.A. Maizelis 2,3, https://orcid.org/0000-0001-6217-7117 V.A. Yampol’skii 2,3, https://orcid.org/0000-0003-3702-4551 1 Communal Institution “Kharkiv Lyceum № 161 “Impulse” of the Kharkiv City Council”, Kharkiv, Ukraine 2 O.Ya. Usikov Institute for Radio Physics and Electronics of the NAS of Ukraine, Kharkiv, Ukraine 3 V.N. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine E-mail: mjkp@ukr.net LAGRANGE FUNCTION FOR THE LAYERED SUPERCONDUCTOR SAMPLES OF FINITE SIZE The theoretical investigation of Josephson plasma wave propagation in confined samples of a layered superconductor was conducted using the Lagrangian approach. Based on fundamental experimental results, an expression for the Lagrange function governing the coupled degrees of freedom of the order parameter phase in the layers of the sample and the electromagnetic field was derived. It is shown that, in k-space, the Lagrange function represents of a counted set of independent contributions corresponding to various possible waveguide modes in the sample, categorized as ordinary and extraordinary modes. Dispersion dependences for the modes were obtained. The results of this study can be applied to the construction of electronic devices in the Terahertz frequency range. Keywords: Lagrange function, layered superconductor, waveguide, ordinary and extraordinary modes, dispersion relation.

Функція Лагранжа для шаруватого надпровідника скінченних розмірів

Institution

Ähnliche Einträge