Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
Запропоновано аналітико-чисельний метод дослідження плоскої задачі механіки руйнування для напівобмеженого тіла, що містить приповерхневу тріщину нормального відриву, паралельну граничній поверхні, з урахуванням дії спрямованих вздовж тріщини початкових (залишкових) напружень. Метод базується на спі...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2025 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206496 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву / В.Л. Богданов, О.І. Лесик // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 2. — С. 24-41. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859656467873792000 |
|---|---|
| author | Богданов, В.Л. Лесик, О.І. |
| author_facet | Богданов, В.Л. Лесик, О.І. |
| citation_txt | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву / В.Л. Богданов, О.І. Лесик // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 2. — С. 24-41. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано аналітико-чисельний метод дослідження плоскої задачі механіки руйнування для напівобмеженого тіла, що містить приповерхневу тріщину нормального відриву, паралельну граничній поверхні, з урахуванням дії спрямованих вздовж тріщини початкових (залишкових) напружень. Метод базується на співвідношеннях тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл. Із застосуванням подань загальних розв’язків лінеаризованих рівнянь рівноваги через потенціальні гармонічні функції та з використанням інтегрального перетворення Фур’є сформульовану крайову задачу зведено спочатку до парних інтегральних рівнянь, а потім до системи неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. З аналізу асимптотичного розподілу напружень в околі тріщини зроблено висновок про збіг порядку сингулярності в розподілі напружень біля кінчиків тріщини в задачі, що розглядається, з порядком сингулярності, який отримується в плоскій задачі для півплощини з тріщиною нормального відриву за відсутності початкових напружень, та отримано аналітичні вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень. Для високоеластичного (гіперпружного) тіла, матеріал якого описується пружним потенціалом Трелоара (тіло неогуківського типу), обчислено залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень від початкових (залишкових) напружень та оцінено вплив на них ефекту взаємодії тріщини та граничної поверхні тіла. Також виявлено резонансне зростання значень коефіцієнтів інтенсивності напружень при досягненні початковими стискаючими напруженнями певних критичних значень, що відповідають для даного матеріалу локальній втраті стійкості стану рівноваги в околі тріщини.
An analytic-numerical method of investigation of the plane fracture mechanics problem for a semi-bounded body containing a near-surface crack of mode I parallel to the boundary surface, taking into account the action of initial (residual) stresses directed along the crack, is proposed. The method is based on the relations of three-dimensional linearized mechanics of deformable bodies. Using representations of general solutions of linearized equilibrium equations in terms of potential harmonic functions and applying the Fourier integral transformation, the formulated boundary value problem is reduced first to dual integral equations and then to a system of inhomogeneous Fredholm integral equations of the second kind. From the analysis of the asymptotic stress distribution in the vicinity of the crack it is concluded that the order of singularity in the stress distribution near the crack tips in the considered problem coincides with the order of singularity obtained in the plane problem for a halfplane with a mode I crack in the absence of initial stresses, and analytical expressions for the stress intensity factors have been obtained. For a highly elastic (hyperelastic) body, the material of which is described by the Treloar elastic potential (a body of neo-Hookian type), the dependences of the stress intensity coefficients on the initial (residual) stresses are calculated and the effect of the interaction between the crack and the boundary surface of the body on them has been estimated. A resonant increase in the values of stress intensity coefficients when the initial compressive stresses reach certain critical values, which for a given material correspond to a local loss of stability of the equilibrium state in the vicinity of the crack, has also been found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:39:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
24
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No. 2: 24—41
Ц и т у в а н н я: Богданов В.Л., Лесик О.І. Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з
приповерхневою тріщиною нормального відриву . Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2. С. 24—41. https://doi.
org/10.15407/dopovidi2025.02.024
© Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2025. Стаття опублікована за умовами відкритого доступу за
ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)
МЕХАНІКА
MECHANICS
https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.02.024
УДК 539.375
В.Л. Богданов, https://orcid.org/0000-0001-9864-9120
О.І. Лесик, https://orcid.org/0009-0002-5999-8197
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, Україна
E-mail: bogd1965@gmail.com, alexey27lesik@gmail.com
Напружено-деформований стан
попередньо напруженої півплощини
з приповерхневою тріщиною нормального відриву
Представлена академіком НАН України В.М. Назаренком
Запропоновано аналітико-чисельний метод дослідження плоскої задачі механіки руйнування для напівоб-
меженого тіла, що містить приповерхневу тріщину нормального відриву, паралельну граничній поверхні, з
урахуванням дії спрямованих вздовж тріщини початкових (залишкових) напружень. Метод базується на
співвідношеннях тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл. Із застосуванням подань загаль-
них розв’язків лінеаризованих рівнянь рівноваги через потенціальні гармонічні функції та з використанням
інтегрального перетворення Фур’є сформульовану крайову задачу зведено спочатку до парних інтеграль-
них рівнянь, а потім до системи неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. З аналізу
асимптотичного розподілу напружень в околі тріщини зроблено висновок про збіг порядку сингулярності
в розподілі напружень біля кінчиків тріщини в задачі, що розглядається, з порядком сингулярності, який
отримується в плоскій задачі для півплощини з тріщиною нормального відриву за відсутності початкових
напружень, та отримано аналітичні вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень. Для високоелас-
тичного (гіперпружного) тіла, матеріал якого описується пружним потенціалом Трелоара (тіло неогуків-
ського типу), обчислено залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень від початкових (залишкових)
напружень та оцінено вплив на них ефекту взаємодії тріщини та граничної поверхні тіла. Також вияв-
лено резонансне зростання значень коефіцієнтів інтенсивності напружень при досягненні початковими
стискаючими напруженнями певних критичних значень, що відповідають для даного матеріалу локальній
втраті стійкості стану рівноваги в околі тріщини.
Ключові слова: півплощина з приповерхневою тріщиною, тріщина нормального відриву, початкові (залиш-
кові) напруження, коефіцієнти інтенсивності напружень.
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
Вступ. Практично всім елементам конструкцій властиві початкові (за іншою терміноло-
гією — залишкові, технологічні) напруження, виникнення яких зумовлено технологіч-
ними операціями, що необхідні для виготовлення матеріалів, або складання конструкцій
[1, 2]. Їх необхідно враховувати у виробничих процесах для створення матеріалів та при
визначенні міцності і ресурсу виробів з них, особливо за наявності концентраторів на-
пружень у вигляді тріщин.
Особливістю проблем механіки руйнування тіл з тріщинами за наявності спрямова-
них вздовж тріщин початкових напружень є те, що з розв’язку відповідних задач лінійної
теорії пружності випливає, що ці напруження не входять до виразів для коефіцієнтів ін-
тенсивності напружень (КІН), J-інтеграла, величини розкриття тріщини та інших пара-
метрів руйнування і, отже, не можуть бути враховані в класичних критеріях руйнування
Гріффітса—Ірвіна, Черепанова—Райса, критичного розкриття тріщин чи їх узагальненнях
[3]. Такі проблеми відносять до некласичних проблем механіки руйнування і для їх адек-
ватного дослідження розробляють специфічні підходи [4].
Один із таких загальних підходів, який дозволяє достовірно оцінити вплив початкових
напружень на параметри руйнування, запропоновано в роботах О.М. Гузя в рамках строгої
тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл (ТЛМДТ) [5, 6]. Варто зазначити,
що вказаний лінеаризований підхід дозволяє досліджувати в єдиній загальній формі для
стисливих та нестисливих пружних тіл з довільною структурою пружного потенціалу. При
цьому конкретизація моделі матеріалу здійснюється лише на кінцевому етапі досліджен-
ня — при чисельному аналізі отриманих у загальному вигляді характеристичних рівнянь,
розв’язуючих інтегральних рівнянь тощо.
За допомогою вказаного загального підходу в рамках ТЛМДТ було отримано розв’язки
окремих класів статичних плоских та просторових задач для ізольованих тріщин (тобто
коли тріщини не взаємодіють ні між собою, ні з границями тіл) [5, 6]. При цьому були ви-
явлені нові механічні ефекти, пов’язані з впливом початкових (залишкових) напружень. У
подальшому в загальній постановці досліджувались ряд просторових (осесиметричних та
неосесиметричних) задач про руйнування матеріалів з початковими напруженнями, що
містять взаємодіючі тріщини. Так, були розглянуті окремі просторові задачі для кругових
тріщин у півпросторі та у шарі з початковими напруженнями, а також для систем пара-
лельних тріщин в необмежених попередньо напружених тілах (див. огляди [7, 8]).
Водночас результати дослідження задач механіки руйнування попередньо напруже-
них тіл з взаємодіючими тріщинами за умов плоскої деформації чи плоского напруженого
стану на сьогодні відсутні. Проте багато практичних задач можуть математично формулю-
ватися саме як плоскі задачі про руйнування попередньо напружених матеріалів чи еле-
ментів конструкцій з взаємодіючими тріщинами (мова, зокрема, йде про протяжні тіла
призматичної чи циліндричної форми, що містять приповерхневі тріщини чи системи
внутрішніх близько розташованих одна до одної тріщин, при дії навантажень вздовж бо-
кової поверхні таких тіл, тонкостінні елементи конструкцій з взаємодіючими тріщинами
тощо). При цьому варто враховувати, що взаємний вплив тріщин між собою та з границя-
ми тіл, як відомо з відповідних робіт в рамках класичної механіки руйнування [9], може
призводити в плоских задачах механіки руйнування до істотних відмінностей параметрів
напружено-деформованого стану, зокрема, КІН, в околі взаємодіючих тріщин у порівнянні
з випадком ізольованих (невзаємодіючих) тріщин.
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
Мета дослідження — розробка та апробація методу вивчення плоских задач механіки
руйнування напівобмежених тіл з приповерхневими тріщинами з урахуванням дії спрямо-
ваних вздовж тріщин початкових (залишкових) напружень. Метод ґрунтується на співвід-
ношеннях ТЛМДТ [6] з використанням подань загальних розв’язків лінеаризованих рів-
нянь рівноваги через гармонічні потенціали [10] і передбачає представлення цих потенці-
алів через інтегральні розклади Фур’є, зведення поставлених задач до парних інтегральних
рівнянь, а потім до розв’язуючих інтегральних рівнянь, які досліджуються чисельно.
З використанням запропонованого методу для випадку плоскої деформації дослідже-
но задачу про напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з па-
ралельною границі півплощини приповерхневою тунельною тріщиною, береги якої заван-
тажені нормальними напруженнями (тріщина моди I). З аналізу асимптотичного розподі-
лу напружень біля кінчиків (вершин) тріщини отримано аналітичні вирази для КІН. Для
нестисливого високоеластичного (нелінійно-пружного) матеріалу з потенціалом Трелоара
(тіло неогуківського типу) чисельно проаналізована залежність КІН від значень початко-
вих (залишкових) напружень та нормованої на довжину тріщини відстані між тріщиною
та вільною границею півплощини. Отримані результати можуть використовуватись для
оцінки міцності та залишкового ресурсу конструкційних матеріалів (зокрема, еластоме-
рів) та виробів з них, що містять приповерхневі гострокінцеві дефекти.
Основні співвідношення. Постановка задачі. Розглянемо напівобмежене однорідне
ізотропне тіло y2 ≥ –h з початковими напруженнями 0
11S , які діють вздовж площин y2 =
= const (рис. 1). Тіло містить на лінії y2 = 0 плоску тунельну тріщину довжиною 2a, яка є
нескінченною в напрямку осі Oy3 і займає область –a ≤ y1 ≤ +a.
Під дією початкових (залишкових) напружень в тілі виникає однорідний напружено-
деформований стан плоскої деформації, який характеризується такими співвідношеннями
для компонентів симетричного тензора напружень Лагранжа S̃ і вектора переміщень u:
0 constiiS , 0
22 0S , 0
11 0S , 0
33 0S , (1)
0 –1( )1i i i iu y , consti ( 1, 2, 3i ).
В (1) і далі верхній індекс «0» означає, що величина відноситься до початкового напру-
жено-деформованого стану, зумовленого дією початкових напружень 0
iiS .
При дослідженні використовуються лагранжеві координати
n n ny x , (2)
S11, λ1
0S11, λ1
0 y2
y1
O1
2
a–a
–h
Рис. 1. Напівобмежене тіло, що містить припо-
верхневу тунельну тріщину, за дії початкових (за-
лишкових) напружень
27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
які в початковому стані (зумовленому дією початкових напружень) є декартовими коор-
динатами. В (2) xn — декартові координати недеформованого стану, λn — коефіцієнти по-
довжень (чи скорочень) матеріальних волокон вздовж координатних осей, викликаних по-
чатковими розтягуючими (чи стискаючими) напруженнями.
У випадку стисливих матеріалів лінеаризовані рівняння рівноваги в частинних похід-
них мають вигляд [5, 6]
2
' 0ij
i
u
y y
, (3)
а лінеаризовані співвідношення пружності
'
ij ij
uQ
y
, (4)
де uα — компоненти вектора переміщень, викликаних додатковими напруженнями ijQ , що
діють на берегах тріщини та на граничній поверхні тіла (тут ijQ — компоненти несиме-
тричного тензора напружень Піоли—Кірхгофа), а '
ij — компоненти тензора четвертого
рангу, які визначаються вибором моделі пружного матеріалу (для гіперпружного тіла —
видом пружного потенціалу) і залежать від початкових напружень (від параметрів λn) [6].
На берегах тріщини діють рівномірно розподілені нормальні навантаження інтенсив-
ності σ(y1), направлені перпендикулярно до лінії розташування тріщини; границя півпло-
щини вільна від напружень. Граничні умови такої задачі мають вигляд
22 1( )Q y , 21 0Q ( 1y a ; 2 0y ),
22 0Q , 21 0Q ( 1y ; 2y h ), (5)
де знаки «±» в першому рядку означають верхні та нижні береги тріщини. Слід зазначити,
що якщо вважати, що 0
11 0S , 0 < λ1 < 1, а в (5) покласти σ(y1) = 0, то вирази (3)—(5) відпо-
відатимуть математичній постановці лінеаризованої задачі про стискання півплощини з
приповерхневою тріщиною зусиллями, спрямованими вздовж тріщини [10].
Для зручності подальших викладок умовно розіб’ємо півплощину y2 ≥ –h на області:
«1» (півплощина y2 ≥ 0) та «2» (смуга –h ≤ y2 ≤ 0) (зазначимо, що при цьому береги тріщини
належать різним областям). На межі областей поза тріщиною (|y1| > a; y2 = 0) виконуються
умови неперервності переміщень і напружень
(1) (2)
1 1u u , (1) (2)
2 2u u ( 1y a ; 2 0y ),
(1) (2)
22 22Q Q , (1) (2)
21 21Q Q ( 1y a ; 2 0y ). (6)
В (6) і в подальших виразах верхній індекс в круглих дужках означає належність вели-
чини до області «1» або «2».
Враховуючи перший рядок у граничних умовах (5), приходимо до висновку, що умови
неперервності напружень (другий рядок у (6)) є дійсними на всій області y2 = 0:
(1) (2)
22 22Q Q , (1) (2)
21 21Q Q (–∞ ≤ y1 ≤ ∞; 2 0y ). (7)
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
Математичне формулювання лінеаризованої крайової задачі, що розглядається, вклю-
чає лінеаризовані рівняння рівноваги (3), співвідношення пружності (4), а також граничні
умови (5) (з урахуванням розбиття на області) і умови неперервності переміщень (перший
рядок в (6)) та напружень (7), які набувають вигляду
(2)
22 1( )Q y , (2)
21 0Q (|y1| ≤ a; 2 0y ),
(2)
22 0Q , (2)
21 0Q (–∞ ≤ y1 ≤ ∞; 2y h ), (8)
(1) (1)
1 1u u , (1) (2)
2 2u u ( 1y a ; 2 0y ),
(1) (1)
22 22Q Q , (1) (2)
21 21Q Q (–∞ ≤ y1 ≤ ∞; 2 0y ).
Крім того, повинні виконуватись умови затухання компонент вектора переміщень та
тензора напружень при віддаленні від тріщини
0ju , ' 0ijQ ( 1y , 2y ). (9)
Переміщення uα та напруження ijQ можна представити через гармонічні потенціали,
причому вигляд цих представлень залежить від співвідношення між коренями відповідно-
го характеристичного рівняння (див., наприклад, [5, 6]). Так, для випадку нерівних коренів
характеристичного рівняння ( * *
1 2n n ) (цим випадком обмежимося в подальших виклад-
ках) ці представлення мають вигляд
1 1 2
1
( )u
y
, * * –1/2 * * –1/21 2
2 1 1 2 2
1 2
( ) ( )u m n m n
z z
,
* * * –1/2 * * –1/21 2
21 44 1 1 2 2
1 1 2
( ) ( )Q C d n d n
y z z
, (10)
2 2
* * * * *1 2
22 44 1 1 2 22 2
1 2
Q C d l d l
z z
,
* –1/2
1 1 2( )z n y , * –1/2
2 2 2 ( )z n y , *
44 1212C ,
*
1111 2112*
1122 1212
j
j
n
m
,
* *2112
1212
j jd m
,
* *
2222 2211*
* *
1212
j j
j
j j
m n
l
d n
( 1, 2j ). (11)
Корені характеристичного рівняння визначаються з виразів
* 2 2222 2112
1,2
1111 1221
n a a
,
2
1111 1221 1111 2222 2112 1221 1122 12122 ( )a . (12)
29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
При цьому потенціали φ1(y1, z1), φ2(y1, z2) є гармонічними функціями своїх аргументів
і задовольняють рівнянням Лапласа
2 2
12 2
1
,( ) 0i i
i
y z
y z
, 1, 2i .
Підставляючи в (8) вирази для напружень і переміщень через гармонічні потенціальні
функції (10), можна переформулювати граничні умови та умови неперервності в термінах
потенціальних функцій.
Метод дослідження. Розв’язуючі інтегральні рівняння. Подальший хід розв’язування
сформульованої крайової задачі є таким. Невідомі потенціальні функції φ1(y1, z1), φ2(y1, z2)
в кожній із областей «1» та «2» подаються у вигляді інтегральних розкладів Фур’є по про-
сторовій координаті з невідомими функціями параметрів розкладу
1–(1)
1 1 1 1
0
, ( s( ) ) coz dy z A e y
,
2–(1)
2 1 2 1
0
, ( s( ) ) coz dy z B e y
, (13)
(2)
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
10
, [ cosh ( ) sinh ( )]co( ) ( ) ( ) s
sinh
dy z C z h C z h y
h
,
(2)
2 1 2 1 2 2 2 2 2 1
20
, [ cosh ( ) sinh ( )]co( ) ( ) ( ) s
sinh
dy z D z h D z h y
h
,
де A(λ), B(λ), Cj(λ), Dj(λ), j = 1,2 — невідомі функції, які залежать від однієї змінної і по-
требують визначення в процесі подальшого розв’язування задачі. Зазначимо, що подання
потенціальних гармонічних функцій у вигляді (13) відповідає парності по y1 компоненти
переміщення u2 і непарності по цій змінній компоненти переміщення u1, тому далі буде
розглядатися лише область y1 ≥ 0. Також подання (13) забезпечує виконання умов (9), тоб-
то умов перетворення в нуль у нескінченній по y2 області «1» компонентів вектора пере-
міщень та тензора напружень при прямуванні y2 до нескінченності.
Умови в (8), які задаються на всій площині y2 = const, дозволяють скоротити кількість
невідомих функцій, що входять до інтегральних розкладів Фур’є, на кількість зазначених
умов. Дійсно, з другого і четвертого рядків в (8) маємо
1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 ,( ) (1( ) {[ coth coth ( )] [ coth coth () ]) ()( )}A k k k C k k k C
k
* *
1 1 2
2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2* *
12 2
1( ) {[ coth coth ( ) ] coth coth ( ,( ) }( ) ( ]) ) ( ])d l kB k k k C k k k C
k kd l
* *
1 1
1 1* *
2 2
( ) ( )d lD C
d l
,
* *
1 1 2
2 2* *
12 2
( ) ( )d l kD C
kd l
, (14)
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
i ih , * –1/2( )i ih n h , 1, 2i ; 2
1
sinh
sinh
;
* * –1/2
1 1 2( )k l n , * * –1/2
2 2 1( )k l n , 1 2k k k . (15)
Решта умов (перший і третій рядок в (8)) призводять до такої системи парних інте-
гральних рівнянь щодо невідомих функцій C1(λ) та C2(λ):
2 1
1 2 1 2 1 * * *0
1 44 1 1
( ) ( ( )[(coth coth ) ])1 cosk yC C y d
k C d l
, y1 ≤ a,
1
1 1 2 2 10
2
1 (coth coth ) sin 0( ) ( )k C C y d
k
, y1 ≤ a,
1 10
cos 0X y d
, 1y a ; 2 10
sin 0X y d
, 1y a , (16)
1
1 1 2 1 1 1 2 2
1[(coth coth ) (1 )] [( coth coth )( )kX C k k
k k
+ 1 2 2( )] ,( )k k C
2
2 2 1 1 2 2 1 1 1 2
1[( coth coth ) ( )] [(coth coth )( ) kX k k k k C
k k
+ 2(1 )] .( )C (17)
На практиці парні інтегральні рівняння (16) розв’язуються методом підстановки [11].
В результаті отримуються розв’язуючі інтегральні рівняння Фредгольма. Для цього пред-
ставимо вирази X1 та X2 (17) у вигляді інтегральних розкладів через функції Бесселя
1 00
) )( (
a
X t t dt ,
–1
2 1 0 00 0
( ) (( ) [ ) ( )( ) ]
a a
X t t dt t a t dt ; ( )( ) d tt
dt
, (18)
де φ(t) та ψ(t) — невідомі функції, які є неперервними, як і їх перші похідні, на відрізку [0, a].
Підставивши вирази (18) в третє і четверте рівняння в (16) та врахувавши розривні
інтеграли Вебера—Шафхейтліна [12]
0
0 2 2
0
(
, 0 ,
1cos , 0) ,
t x
x t d x t
t x
1
0 2 2
0
(
, 0 ,
sin , 0) ,
t x
xx t d x t
t t x
можна показати, що ці рівняння задовольняються автоматично.
Перше та друге рівняння в (16) після деяких досить громіздких перетворень, анало-
гічних тим, що виконувались у випадку осесиметричної задачі про попередньо напружене
31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
тіло з приповерхневою тріщиною нормального відриву (див., наприклад, [13]), та з ураху-
ванням формули [14]
2 2 2
–
0 0 1–
0 2
( ) ( ) 1
2
p p x te x t d Q
xtxt
,
(де Q–1/2 — функція Лежандра другого роду) і формул операційного числення приводять до
розв’язуючої системи неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду:
1 1 /2
1
11 12
0 0 0
( ) ,( 41 1( ) , ( ) ( ) Σ( sin )) kf K f d K g d d
k
�
� � � � � �� � � � �� � � � �
� � �� � � , (19)
1 1
21 22
0 0
1 1( ) , ( ) , ( ) 0( ) ( )g K f d K g d
; 0 ≤ ξ ≤ 1, Σ * * *
44 1 1
( )Ó( ) a
C d l
.
В (19) використовуються такі безрозмірні змінні і функції:
–1a x , –1a t , –1 –1( ) ( ) ( )f a a a x , ( ) ( ) ( )g a x . (20)
(Зазначимо, що якщо в (19) покласти Σ(ξ) = 0, то отримаємо систему однорідних ін-
тегральних рівнянь Фредгольма другого роду, які є розв’язуючими для плоскої задачі про
стискання півплощини з приповерхневою тріщиною зусиллями, спрямованими вздовж
тріщини; ця система дещо відрізняється від отриманої в [10] розв’язуючої системи інте-
гральних рівнянь через різні методики розв’язку парних інтегральних рівнянь).
Ядра в інтегральних рівняннях Фредгольма (19) мають вигляд
11 1 1 2 1 11 2 1 2 2 12 1 2 1 2 13/2
1, [ ( ) ( ) ]( ) ( 2 ) ( )( ) ) (K k k k S z k k k S z k k S z
k
,
–1/21 1 2
12 1 11 1 12 1 1 1 212 – – – –
2 2 2 2
, 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k kK Q z Q z Q z Q z
k
+
1 22 1 2– –
2 2
2 ,( ) ( )Q z Q z
(21)
2 2
2 1 2 1 11 1
21 11 1 112 22 –11 11 2
3/2
2(2 ) (2 ), 1 ( ) 1
( 1) 2 ( 1)2 32
(( )( ) )k k k zK S z Q z
z zk
–
2 2 2
2 12 2 1 2 1 1
12 1 12 12 2 2–12 12 12
2(2 ) (2 ) 2( ) (( ) 2 1 ( )
( 1) 2 ( 1) ( 1)
( )z zS z Q z S z
z z z
2
2
1 12 –1 2
) ,
( 1)
( )Q z
z
–3/2 –3/2
22 2 1 2 1 11 21 1 1 2 2 122( ) ( ) [ ] ( ) [1, [ ( ) ( ) ( )K k k k S z S z k k k S z
k
– –3/2
22 1 2 1 2 1 2( ,) (2 ( ) ( )] ) ]}[S z k k S z S z
32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
де введено такі позначення:
–1ha , * –1/2( )i in , 1, 2i ;
2 2 2 –1
1 (4 )(2 )i iz , 2 2 –1
2 (4 1)(2 )i iz ,
2 2 2 –1
1 1 2[( ) ](2 )z , 2 2 –1
2 1 2[( ) 1](2 )z ;
–1 2
2 –1
1 2[ ( )]( ) ( 1) ( )S z z Q z zQ z . (22)
Таким чином, поставлену співвідношеннями (3), (4) та (8) крайову задачу зведено до
системи неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду (19) відносно неві-
домих функцій ( )f та ( )g , яка буде досліджуватись чисельно.
Коефіцієнти інтенсивності напружень. Далі проаналізуємо асимптотичний розподіл
напружень в околі кінчиків тріщини та визначимо КІН, які, як і в класичній механіці руй-
нування без початкових напружень [3, 9], являють собою коефіцієнти при сингулярностях
у зазначеному розподілі напружень при наближенні (з боку суцільного тіла) до кінчика
(вершини) тріщини.
З представлень компонент тензора напружень через потенціальні гармонічні функції
φ1(y1, z1), φ2(y1, z2) у вигляді (10) з урахуванням (13), (14) та (17) можемо отримати такі ви-
рази для компонент тензора напружень 22Q та 21Q в області |y1| > a, y2 = 0 (тобто на лінії
розташування тріщини поза її межами, в області «2»):
'(2) * * *
22 1 44 1 1 1 1 1 2 10 0
1
, 0 cos [ ( ) ( ) ] cos( )
2
kQ y C d l X y d M X F X y d
k
,
'(2) * * * –1/2
21 1 44 1 1 2 1 1 2 10 0
2
, 0 – sin [ ( ) ( ) ] si( ) n
2
( ) kQ y C d n X y d F X L X y d
k
(23)
де X1, X2, визначаються з (17), та введено позначення
1 2 1 2– – –2 –22 1 2 2
1
( ) 2
2
k k k kM e e e
k k k
,
1 2 1 2– – –2 –21 1 2 1
2
( ) 2
2
k k k kL e e e
k k k
, 1 2– – 21 2( ) ( )
2
k kF e e
k
. (24)
З аналізу виразів (23) випливає, що сингулярність при y1 → a містять лише перші інте-
грали в фігурних дужках виразів для '(2)
22 1( ), 0Q y та '(2)
21 1( ), 0Q y , оскільки в других інтегралах
в фігурних дужках, як випливає з відповідних формул для інтегралів від функцій Бесселя
[12], вказана сингулярність відсутня.
Розглянемо перший інтеграл у виразі для '(2)
22 1( ), 0Q y . З урахуванням першого виразу в
(18), а також беручи до уваги співвідношення [12]
–1
0 1( ) ([ ])dt t t t
dt
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
і змінюючи порядок інтегрування, маємо
–1
1 0 1 1 10 0 0 0
([ ( ) ] cos ( ) [ cos ]) ( )
a a dI t t dt y d t t t y t d dt
dt
. (25)
Далі використаємо розривний інтеграл Вебера—Шафхейтліна [12]
1
1 1
10 2 2 2 2
1 1 1
1 , 0 ,
cos
, 0
( )
y t
t
y t d t t y
y t y y t
та врахуємо, що t змінюється в межах від 0 до a та розглядається область поза тріщиною
(y1 > a) і, таким чином, маємо t < y1. Тоді з (25), беручи інтеграл по частинах, маємо
–1
1 02 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )aa a t t tI dt
y a y y a y t y y t
. (26)
При цьому другий доданок в (26) не містить особливостей при y1 → a [15].
З першого виразу в (23) з урахуванням (26) отримуємо
'(2) * * *
22 1 44 1 1 2 21 1 1 1 1
( ), 0 (1)
2 ( )( )
( ) k a aQ y C d l O
k y a y a y y a
, (27)
де символом O(1) позначено регулярні члени, тобто такі, які не мають особливостей
при y1 → a.
Провівши аналогічні викладки для (2)
21 1( , 0)Q y , маємо
'(2) * * * –1/2
21 1 44 1 1
2 1 1
( ), 0 (1)
(
( ) (
2 )( )
) k aQ y C d n O
k y a y a
. (28)
З виразів (27), (28) випливає, що порядок особливості в розподілі напружень біля кін-
чика (вершини) приповерхневої тріщини в попередньо напруженій півплощині дорівнює
–1/2, тобто збігається з порядком особливості в розподілі напружень біля кінчика тріщини
в тілі без початкових напружень [9].
Вирази (27), (28) можна записати так:
'(2) I
22 1
1
, )( )0 (1
2 ( )
KQ y O
y a
, '(2) II
21 1
1
, 0 (1)( )
2 ( )
KQ y O
y a
, (29)
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
де KI, KII — КІН біля кінчика тріщини, які визначаються з таких співвідношень:
* * *
I 44 1 1
1
( )
2
kK C d l a
k a
,
* * * –1/2 * * * –1/2
II 44 1 1 44 1 1 0
2 2
( ) (( ) ( )
2 2
)
ak kK C d n a C d n t dt
k a k a
. (30)
Переходячи в (30) з урахуванням (20) до безрозмірних змінних та функцій, отримаємо
такі вирази для КІН
* * *
I 44 1 1
1
(1)
2
kK C d l a f
k
,
1* * * –1/2
II 44 1 1 0
2
( ) ( )
2
kK C d n a g d
k
, (31)
де функції ƒ(η), g(η) визначаються з розв’язку системи інтегральних рівнянь Фредгольма
другого роду (19).
З виразів (30), (31) випливає, що взаємний вплив приповерхневої тріщини та вільної
границі півплощини зумовлює якісні зміни в асимптотичному розподілі напружень біля
кінчика тріщини, а саме, обидва КІН KI та KII виявляються відмінними від нуля у випад-
ку завантаження берегів тріщини лише нормальними зусиллями (в задачі про ізольовану
тріщину нормального відриву в нескінченній площині як з початковими напруженнями
[5], так і без початкових напружень [9] маємо KI ≠ 0, KII = 0). Крім того, вирази (30), (31)
підтверджують, що для задачі, що розглядається, обидва КІН залежать від початкових на-
пружень, оскільки параметри *
1n , *
2n , *
44C , *
1d , *
1l , 1k , 2k , k залежать від параметра λ1, зу-
мовленого дією початкових напружень 0
11S .
Проаналізуємо граничний випадок розташування тріщини в півплощині, коли від-
стань між нею та границею півплощини прямує до нескінченності. З аналізу виразів для
ядер (21) випливає, що при β = h/a → ∞ граничні значення всіх ядер дорівнюють нулю, а
система інтегральних рівнянь (19) після деяких перетворень приводить до таких гранич-
них значень функцій ƒ(η) та g(η):
1
* * * 0 2 2
44 1 1
4 ( )li )) m (( k af f d
k C d l
, m( ) li ( ) 0g g
. (32)
Підставивши ці вирази для функцій в (30), (31), отримаємо при β → ∞ такі вирази для КІН:
1
I 0 02 2 2
( ) ( )2 2
1
aa a a tK d dt
a t
, II 0K . (33)
Ці значення КІН не залежать від початкових напружень і повністю збігаються з виразами,
які були отримані при дослідженні плоскої задачі механіки руйнування для нескінченної
площини з тріщиною нормального відриву [9]. Зокрема, коли на берегах тріщини діють
постійні напруження
1( ) consty , (34)
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
з (33) маємо
IK a , II 0K , (35)
що повністю збігається з результатом для тріщини в нескінченному тілі без початкових
напружень [3, 9].
Чисельні результати. Викладений вище метод дослідження плоских задач механіки
руйнування попередньо напружених напівобмежених тіл з приповерхневими тріщинами
дозволяє розв’язувати задачі в єдиній (уніфікованій) формі для стисливих і нестисливих
пружних тіл з різними пружними потенціалами, для яких реалізується випадок нерівних
коренів характеристичного рівняння (12). Конкретизацію моделі матеріалу необхідно
здійснювати лише на етапі чисельного дослідження системи інтегральних рівнянь Фред-
гольма другого роду (19) та обрахунку значень КІН (31) шляхом задання конкретних
значень параметрів *
44C , *
in , *
id , *
il , ik , k ; 1,2i , які є специфічними для кожної моделі
пружного тіла.
Нижче наведено приклад чисельного розрахунку для нестисливого високоеластично-
го матеріалу, що описується пружним потенціалом Трелоара (неогуківське тіло) [16]. Для
цього потенціалу маємо
при 1 1 : * –4
1 1n , *
2 1n , * –2
44 10 12C C , * –4
1 11d , *
2 2d ,
2
* 1
1 2 2
1 1
2l
,
* 4
2 1
1 (1 )
2
l ,
2
1
1 2 –2
1 1
2k
, 2 4
2 1 1( )1 1
2
k ,
2 2 4 2
1 1 1
4
1
]4 (1 )
2(1 )
[k
;
при 1 1 : *
1 1n , * –4
2 1n , * –2
44 10 12C C , *
1 2d , * –4
2 11d , * 4
1 1
1 (1 )
2
l ,
2
* 1
2 2 –2
1 1
2l
, 2 4
1 1 1( )1 1
2
k ,
2
1
2 2 –2
1 1
2k
,
2 2 4 2
1 1 1
4
1
4 (
)
[ ]1 )
2(1
k
.
Тут C10 — константа матеріалу.
Результати наведено для випадку рівномірного нормального навантаження на берегах
тріщини у вигляді (34). На рис. 2, 3 для різних значень нормованої на половину довжини
тріщини відстані між тріщиною і границею тіла β = h/a продемонстровано характер за-
лежності нормованих КІН I I/K K та II I/K K (де IK — КІН для випадку тріщини нор-
мального відриву в нескінченній площині, який не залежить від початкових напружень і
визначається з (35)) від параметра початкових напружень λ1 (значення цього параметра в
діапазоні 0 < λ1 < 1 відповідають стискаючим початковим напруженням, при λ1 > 1 — роз-
тягуючим, при λ1 = 1 початкові напруження відсутні). Як випливає з цих рисунків, обидва
КІН (KI та KII) суттєво залежать від початкових напружень, причому вплив стискаючих
початкових напружень є сильнішим, ніж розтягуючих.
Криві, наведені на рис. 2 та 3, в області стискаючих початкових напружень мають вер-
тикальні асимптоти. Це свідчить про те, що при досягненні стискаючими напруженнями
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
0
11S (і, відповідно, параметром λ1) певних значень (ці значення є різними для різних вели-
чин β) відбувається різке (резонансне) зростання КІН.
В таблиці для окремих значень безрозмірної відстані між тріщиною і границею β
наведено числові значення параметрів λ1, при яких відбувається зазначене резонансне
явище, та подано відповідні значення КІН. Слід зазначити, що ці значення λ1 збігаються
з критичними значеннями коефіцієнта скорочення вздовж координатної осі Oy1 за дії
стискаючого зусилля 0
11S , які були отримані при дослідженні плоскої задачі про стиск
півплощини вздовж приповерхневої тріщини і відповідають втраті стійкості стану рів-
новаги частини матеріалу в локальній області біля тріщини (за симетричною формою)
(див., наприклад, [10]). Так, при великих значеннях β значення λ1 збігається з критич-
ним значенням *
1 0,544 , яке отримується в плоскій задачі про стиск нескінченної
площини вздовж ізольованої тріщини [10]. Це обґрунтовує доцільність поширення
об’єднаного підходу до дослідження двох некласичних механізмів руйнування, а саме,
KI/KI
∞
2,5
1,5
2
0,5
1
0,25
0,5
2,0
1,0
0
0,80,6 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 λ1
β = 0,1
KII/KI
∞
2,5
1,5
2
0,5
1
0,25
0,5
2,0
1,0
0
0,80,6 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 λ1
β = 0,1
Рис. 2. Залежність нормованих КІН I I/K K
від параметра початкових напружень λ1
для матеріалу з потенціалом Трелоара
Рис. 3. Залежність нормованих КІН II I/K K
від параметра початкових напружень λ1
для матеріалу з потенціалом Трелоара
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
руйнування тіл з діючими вздовж тріщин початковими (залишковими) напруженнями
та руйнування тіл при стисканні вздовж тріщин, який раніше було запропоновано при
розгляді просторових задач [17], і на плоскі задачі механіки руйнування за дії спря-
мованих вздовж тріщин зусиль (детальніше із зазначеним об’єднаним підходом можна
ознайомитись в [13]).
β 0,1 0,25 0,5 1,0 2,0 10,0 100,0 1000,0
λ1 0,996 0,969 0,912 0,824 0,731 0,595 0,549 0,544
I I/K K 52207,9 25575,6 1551540,0 39871,6 12345,2 3454,5 6886,1 11071,7
II I/K K 48213,4 27861,2 1494780,0 33792,7 8573,7 987,7 257,9 42,8
Рис. 4 та 5 ілюструють для цього ж матеріалу залежності нормованих КІН I I/K K
та II I/K K від безрозмірної відстані між тріщиною та границею тіла β = h/a для різних
значень параметра початкових напружень λ1. При зменшенні цієї відстані взаємодія трі-
KI/KI
∞
2,5
1,5
1,1
1,2
1,5
0,9999
0,5
2,0
1,0
0 1 2 3 β
λ = 0,95
KII/KI
∞
2,5
1,5
1,2
1,5
1,1
0,9999
0,5
2,0
1,0
0 1 2 3 β
λ1 = 0,95
Рис. 4. Залежність нормованих КІН I I/K K
від безрозмірної відстані між тріщиною і
границею півплощини β = h/a для матеріа-
лу з потенціалом Трелоара
Рис. 5. Залежність нормованих КІН II I/K K
від безрозмірної відстані між тріщиною і
границею півплощини β = h/a для матеріа-
лу з потенціалом Трелоара
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
щини і граничної поверхні зумовлює суттєве зростання значень КІН (наприклад, при
λ1 = 0,95 (початковий стиск) значення I I/K K при β = 0,5 перевищує значення I I/K K
при β = 5 в 2,6 раза, а при λ1 = 1,1 (початковий розтяг) відмінність між значенням I I/K K
при β = 0,1 та значенням I I/K K при β = 5 становить у 3,9 раза. Аналогічним є вплив від-
стані між тріщиною та границею і на значення II I/K K . З іншого боку, при віддаленні
тріщини від границі тіла їх взаємний вплив помітно зменшується, а відповідні значення
КІН прямують до значень, які отримуються для ізольованої тріщини в нескінченній пло-
щині. Так, розрахунки показують, що при значеннях відстані між тріщиною та границею,
що становлять 2,5 довжини тріщини і більше, відмінність значень IK та IK у всьому діа-
пазоні досліджених значень параметра λ1 не перевищує 5 %, тобто при таких відстанях
між тріщиною і вільною границею тіла їх взаємним впливом з придатною для інженер-
них розрахунків точністю можна нехтувати.
Висновки. В роботі вперше в рамках тривимірної лінеаризованої механіки деформів-
них тіл досліджено плоску задачу механіки руйнування напівскінченного тіла з припо-
верхневою тріщиною нормального відриву, паралельною границі тіла, з урахуванням дії
вздовж тріщини початкових (залишкових) напружень. Проаналізовано залежності КІН в
околі кінчика (вершини) тріщини від початкових напружень та від відстані між тріщиною
та границею тіла. З отриманих результатів можна зробити такі висновки:
■ порядок особливості (сингулярності) в околі кінчика (вершини) тріщини в плоскій
задачі про півплощину з початковими напруженнями, що містить приповерхневу тріщину
нормального відриву, дорівнює -1/2, тобто збігається з порядком особливості біля кінчика
тріщини в аналогічній задачі для півплощини без початкових напружень;
■ взаємний вплив тріщини та граничної поверхні приводить до якісних змін в роз-
поділі напружень в околі вершини тріщини нормального відриву, а саме, до ненульових
значень обох КІН KI та KII (в задачі про ізольовану тріщину в нескінченній площині мали
KI ≠ 0, KII = 0);
■ обидва КІН KI та KII суттєво залежать від початкових напружень;
■ при збільшенні відстані між тріщиною та межею півплощини приходимо до гранич-
них значень КІН, які повністю збігаються зі значеннями, які отримуються в задачі про не-
скінченну площину з тріщиною нормального відриву.
Слід також зазначити, що з отриманого в цій роботі розв’язку задачі про попередньо
напружену півплощину з тріщиною можна, аналізуючи резонансну поведінку КІН при
певних значеннях стискаючих початкових напружень, отримати значення критичних па-
раметрів навантаження при стисканні півплощини вздовж приповерхневої тріщини, пара-
лельної гран ичній поверхні півплощини.
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Лобанов Л.М., Єрмолаєв Г.В., Квасницький В.В., Махненко О.В., Єгоров Г.В., Лабарткава А.В. Напру-
ження та деформації при зварюванні і паянні. Миколаїв: НУК, 2016. 248 с.
2. Технологические напряжения и деформации в материалах. Шульга Н.А., Томашевский В.Т. (ред.). Киев:
ПТОО “А.С.К”, 1997. 394 с.
3. Cherepanov G.P. Mechanics of brittle fracture. New York: McGraw-Hill, 1979. 939 p.
4. Guz A.N. Eight non-classical problems of fracture mechanics. Cham: Springer, 2022. 366 p. (Advanced Structure
Materials, vol. 159).
5. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. Киев: Наук. думка, 1991. 288 с.
6. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. Berlin: Springer,
1999. 557 p.
7. Bogdanov V.L., Guz A.N., Nazarenko V.M. Spatial problems of the fracture of materials loaded along cracks
(review). Int. Appl. Mech. 2015. 51, № 5. P. 489—560. https://doi.org/10.1007/s10778-015-0710-x
8. Guz A.N. Nonclassical problems of fracture/failure mechanics: on the occasion of the 50th anniversary of
research (review). III. Int. Appl. Mech. 2019. 55, № 4. P. 343—415. https://doi.org/10.1007/s10778-019-00960-4
9. Саврук М.П. Т. 2. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наук. думка,
1988. 620 с.
10. Guz A.N., Bogdanov V.L., Nazarenko V.M. Two-dimensional problems on the fracture of bodies under
compression along cracks. Fracture of materials under compression along cracks. Cham: Springer, 2020. P. 149—
248. (Advanced Structure Materials, vol. 138). https://doi.org/10.1007/978-3-030-51814-1_3
11. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Ленинград: Наука, 1967. 404 с.
12. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and Series. Vol. 2. Special Functions. New York: Gor-
don and Breach Science Publisher, 1986. 756 p.
13. Богданов В.Л., Гузь А.Н., Назаренко В.М. Объединенный подход в неклассических проблемах механики
разрушения. Saarbrücken: Lambert Acad. Publ., 2017. 528 с.
14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и призведений. Москва: Физматгиз,
1963. 1108 с.
15. Prudnikov A.P., Brychkov Y.A., Marichev O.I. Integrals and Series. Vol. 1. Elementary Functions. New York:
Gordon and Breach Science Publisher, 1986. 808 p.
16. Treloar L.R.G. Large elastic deformations in rubberlike materials. Deformation and Flow of Solids: Grammel,
R. (Eds.). Berlin, Heidelberg: Springer, 1956. P. 208—217. https://doi.org/10.1007/978-3-642-48236-6_20
17. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V.L. Combined analysis of fracture under stresses acting along cracks.
Arch. Appl. Mech., 2013. 83, № 9. P. 1273—1293. https://doi.org/10.1007/s00419-013-0746-5
Надійшла до редакції 25.03.2025
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 2
В.Л. Богданов, О.І. Лесик
REFERENCES
1. Lobanov, L. M., Yermolayev, G. V., Kvasnytsky, V. V., Makhnenko, O. V., Yegorov, G. V. & Labartkava, A. V.
(2016). Stresses and strains during welding and soldering. Mykolayiv: NUK (in Ukrainian).
2. Shul’ga, N. A. & Tomashevskii, V. T. (Eds.). (1997). Process-induced stresses and strains in materials. Kyiv: ASK
(in Russian).
3. Cherepanov, G. P. (1979). Mechanics of brittle fracture. New York: McGraw-Hill.
4. Guz, A. N. (2022). Eight non-classical problems of fracture mechanics. Advanced Structure Materials. (Vol.
159). Cham: Springer.
5. Guz, A. N. (1991). Brittle fracture of materials with initial stresses. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian).
6. Guz, A. N. (1999). Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. Berlin:
Springer.
7. Bogdanov, V. L., Guz, A. N. & Nazarenko, V. M. (2015). Spatial problems of the fracture of materials loaded
along cracks (review). Int. Appl. Mech., 51, No. 5, pp. 489-560. https://doi.org/10.1007/s10778-015-0710-x
8. Guz, A. N. (2019). Nonclassical problems of fracture/failure mechanics: on the occasion of the 50th anniversary
of research (review). III. Int. Appl. Mech., 55, No. 4, pp. 343-415. https://doi.org/10.1007/s10778-019-00960-4
9. Savruk, M.P. (1988). Stress intensity factors in bodies with cracks. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian).
10. Guz, A. N., Bogdanov, V. L. & Nazarenko, V. M. (2020). Two-dimensional problems on the fracture of bodies
under compression along cracks. Fracture of materials under compression along cracks. Advanced Structure
Materials. (Vol. 138). (pp. 149-248). Cham: Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-030-51814-1_3
11. Uflyand, Ya. S. (1967). Integral transformations in problems of the theory of elasticity. Leningrad: Nauka (in
Russian).
12. Prudnikov, A. P., Brychkov, Yu .A. & Marichev, O. I. (1986). Special Functions. Integrals and Series. (Vol. 2).
New York: Gordon and Breach Science Publisher.
13. Bogdanov, V. L., Guz, A. N. & Nazarenko, V. M. (2017) Unified approach in non-classical problems of fracture
mechanics. Saarbrücken: LAMBERT Acad. Publ. (in Russian).
14. Gradshteyn, I. S. & Ryzhik, I. M. (1963). Table of integrals, series, and products. Moscow: Physmatgiz (in
Russian).
15. Prudnikov, A. P., Brychkov, Y. A. & Marichev, O. I. (1986). Elementary functions. Integrals and Series. (Vol. 1).
New York: Gordon and Breach Science Publisher.
16. Treloar, L. R. G. (1956). Large elastic deformations in rubberlike materials. Grammel, R. (Eds.). Deformation
and Flow of Solids. International Union of Theoretical and Applied Mechanics. (pp.208-217). Berlin, Heidelberg:
Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-642-48236-6_20
17. Guz, A. N., Nazarenko, V. M. & Bogdanov, V. L. (2013). Combined analysis of fracture under stresses acting
along cracks. Arch. Appl. Mech., 83, No. 9, pp. 1273-1293. https://doi.org/10.1007/s00419-013-0746-5
Received 25.03.2025
41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 2
Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву
V.L. Bogdanov, https://orcid.org/0000-0001-9864-9120
O.I. Lesyk, https://orcid.org/0009-0002-5999-8197
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine
E-mail: bogd1965@gmail.com, alexey27lesik@gmail.com
STRESS-STRAIN STATE OF A PRESTRESSED HALFPLANE
WITH CRACK IN MODE I NEAR THE SURFACE
An analytic-numerical method of investigation of the plane fracture mechanics problem for a semi-bounded body
containing a near-surface crack of mode I parallel to the boundary surface, taking into account the action of initial
(residual) stresses directed along the crack, is proposed. The method is based on the relations of three-dimensional
linearized mechanics of deformable bodies. Using representations of general solutions of linearized equilibrium
equations in terms of potential harmonic functions and applying the Fourier integral transformation, the formulated
boundary value problem is reduced first to dual integral equations and then to a system of inhomogeneous
Fredholm integral equations of the second kind. From the analysis of the asymptotic stress distribution in the
vicinity of the crack it is concluded that the order of singularity in the stress distribution near the crack tips in the
considered problem coincides with the order of singularity obtained in the plane problem for a halfplane with a
mode I crack in the absence of initial stresses, and analytical expressions for the stress intensity factors have been
obtained. For a highly elastic (hyperelastic) body, the material of which is described by the Treloar elastic potential
(a body of neo-Hookian type), the dependences of the stress intensity coefficients on the initial (residual) stresses
are calculated and the effect of the interaction between the crack and the boundary surface of the body on them has
been estimated. A resonant increase in the values of stress intensity coefficients when the initial compressive stresses
reach certain critical values, which for a given material correspond to a local loss of stability of the equilibrium state
in the vicinity of the crack, has also been found.
Keywords: halfplane with a near-surface crack, mode I crack, initial (residual) stresses, stress intensity factors.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206496 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:39:55Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богданов, В.Л. Лесик, О.І. 2025-09-12T14:19:23Z 2025 Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву / В.Л. Богданов, О.І. Лесик // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 2. — С. 24-41. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206496 539.375 https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.02.024 Запропоновано аналітико-чисельний метод дослідження плоскої задачі механіки руйнування для напівобмеженого тіла, що містить приповерхневу тріщину нормального відриву, паралельну граничній поверхні, з урахуванням дії спрямованих вздовж тріщини початкових (залишкових) напружень. Метод базується на співвідношеннях тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл. Із застосуванням подань загальних розв’язків лінеаризованих рівнянь рівноваги через потенціальні гармонічні функції та з використанням інтегрального перетворення Фур’є сформульовану крайову задачу зведено спочатку до парних інтегральних рівнянь, а потім до системи неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. З аналізу асимптотичного розподілу напружень в околі тріщини зроблено висновок про збіг порядку сингулярності в розподілі напружень біля кінчиків тріщини в задачі, що розглядається, з порядком сингулярності, який отримується в плоскій задачі для півплощини з тріщиною нормального відриву за відсутності початкових напружень, та отримано аналітичні вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень. Для високоеластичного (гіперпружного) тіла, матеріал якого описується пружним потенціалом Трелоара (тіло неогуківського типу), обчислено залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень від початкових (залишкових) напружень та оцінено вплив на них ефекту взаємодії тріщини та граничної поверхні тіла. Також виявлено резонансне зростання значень коефіцієнтів інтенсивності напружень при досягненні початковими стискаючими напруженнями певних критичних значень, що відповідають для даного матеріалу локальній втраті стійкості стану рівноваги в околі тріщини. An analytic-numerical method of investigation of the plane fracture mechanics problem for a semi-bounded body containing a near-surface crack of mode I parallel to the boundary surface, taking into account the action of initial (residual) stresses directed along the crack, is proposed. The method is based on the relations of three-dimensional linearized mechanics of deformable bodies. Using representations of general solutions of linearized equilibrium equations in terms of potential harmonic functions and applying the Fourier integral transformation, the formulated boundary value problem is reduced first to dual integral equations and then to a system of inhomogeneous Fredholm integral equations of the second kind. From the analysis of the asymptotic stress distribution in the vicinity of the crack it is concluded that the order of singularity in the stress distribution near the crack tips in the considered problem coincides with the order of singularity obtained in the plane problem for a halfplane with a mode I crack in the absence of initial stresses, and analytical expressions for the stress intensity factors have been obtained. For a highly elastic (hyperelastic) body, the material of which is described by the Treloar elastic potential (a body of neo-Hookian type), the dependences of the stress intensity coefficients on the initial (residual) stresses are calculated and the effect of the interaction between the crack and the boundary surface of the body on them has been estimated. A resonant increase in the values of stress intensity coefficients when the initial compressive stresses reach certain critical values, which for a given material correspond to a local loss of stability of the equilibrium state in the vicinity of the crack, has also been found. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву Stress-strain state of a prestressed halfplane with crack in mode i near the surface Article published earlier |
| spellingShingle | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву Богданов, В.Л. Лесик, О.І. Механіка |
| title | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву |
| title_alt | Stress-strain state of a prestressed halfplane with crack in mode i near the surface |
| title_full | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву |
| title_fullStr | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву |
| title_full_unstemmed | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву |
| title_short | Напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву |
| title_sort | напружено-деформований стан попередньо напруженої півплощини з приповерхневою тріщиною нормального відриву |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206496 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanovvl napruženodeformovaniistanpoperednʹonapruženoípívploŝinizpripoverhnevoûtríŝinoûnormalʹnogovídrivu AT lesikoí napruženodeformovaniistanpoperednʹonapruženoípívploŝinizpripoverhnevoûtríŝinoûnormalʹnogovídrivu AT bogdanovvl stressstrainstateofaprestressedhalfplanewithcrackinmodeinearthesurface AT lesikoí stressstrainstateofaprestressedhalfplanewithcrackinmodeinearthesurface |