Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями

Запропоновано матрично-векторний підхід на основі узагальненого формалізму Стро для математичного моделювання плоских задач термомеханіки в біматеріальних тілах. На основі останнього побудовано інтегральні формули та рівняння для моделювання біматеріальних тіл, виготовлених із матеріалів зі зв’язани...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Доповіді НАН України
Datum:	2025
Hauptverfasser:	Пастернак, В.В., Сулим, Г.Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2025
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206534
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями / В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 33-47. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206534
record_format	dspace
spelling	Пастернак, В.В. Сулим, Г.Т. 2025-09-14T17:18:10Z 2025 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями / В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 33-47. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206534 539.3 https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.033 Запропоновано матрично-векторний підхід на основі узагальненого формалізму Стро для математичного моделювання плоских задач термомеханіки в біматеріальних тілах. На основі останнього побудовано інтегральні формули та рівняння для моделювання біматеріальних тіл, виготовлених із матеріалів зі зв’язаними фізичними полями (піроелектриків, термомагнітоелектропружних тіл та термопружних квазікристалів). Окрему увагу приділено врахуванню впливу неідеального контакту на внутрішній межі поділу матеріалів. Отримані інтегральні формули та рівняння для опису стану двокомпонентних тіл із матеріалів зі зв’язаними полями автоматично враховують характерний тип неідеального теплового та магніто-електро-механічного контакту на міжфазній поверхні та не містять невластивих інтегралів уздовж останньої. Це дає можливість як аналітичного вивчення розглянутих кусково-однорідних тіл, так і зменшення за потреби кількості ступенів вільності дискретизованої задачі за збереження належної точності при їхньому числовому розв’язуванні. A matrix-vector approach based on the generalized Stroh formalism is proposed for modeling plane thermomechanical problems in bimaterial bodies. Using this approach, integral formulas and equations are derived for modeling bimaterial bodies composed of materials with coupled physical fields, such as pyroelectrics, thermomagnetoelectroelastic media, and thermoelastic quasicrystals. Special attention is paid to the influence of imperfect contact at the internal material interface. The integral formulas and equations obtained to describe the state of two-component bodies made of multifield materials account for imperfect thermal and magneto-electro-mechanical contact at the interfacial surface, while avoiding singular integrals along the interface. This allows for analytical research of piecewise homogeneous bodies and a reduces the number of degrees of freedom in a discretized problem, while maintaining sufficient accuracy in numerical solutions. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями Integral equations of plane thermomechanical problems for bimaterial bodies with imperfect contact between components made of multifield materials Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями
spellingShingle	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями Пастернак, В.В. Сулим, Г.Т. Механіка
title_short	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями
title_full	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями
title_fullStr	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями
title_full_unstemmed	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями
title_sort	інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями
author	Пастернак, В.В. Сулим, Г.Т.
author_facet	Пастернак, В.В. Сулим, Г.Т.
topic	Механіка
topic_facet	Механіка
publishDate	2025
language	Ukrainian
container_title	Доповіді НАН України
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format	Article
title_alt	Integral equations of plane thermomechanical problems for bimaterial bodies with imperfect contact between components made of multifield materials
description	Запропоновано матрично-векторний підхід на основі узагальненого формалізму Стро для математичного моделювання плоских задач термомеханіки в біматеріальних тілах. На основі останнього побудовано інтегральні формули та рівняння для моделювання біматеріальних тіл, виготовлених із матеріалів зі зв’язаними фізичними полями (піроелектриків, термомагнітоелектропружних тіл та термопружних квазікристалів). Окрему увагу приділено врахуванню впливу неідеального контакту на внутрішній межі поділу матеріалів. Отримані інтегральні формули та рівняння для опису стану двокомпонентних тіл із матеріалів зі зв’язаними полями автоматично враховують характерний тип неідеального теплового та магніто-електро-механічного контакту на міжфазній поверхні та не містять невластивих інтегралів уздовж останньої. Це дає можливість як аналітичного вивчення розглянутих кусково-однорідних тіл, так і зменшення за потреби кількості ступенів вільності дискретизованої задачі за збереження належної точності при їхньому числовому розв’язуванні. A matrix-vector approach based on the generalized Stroh formalism is proposed for modeling plane thermomechanical problems in bimaterial bodies. Using this approach, integral formulas and equations are derived for modeling bimaterial bodies composed of materials with coupled physical fields, such as pyroelectrics, thermomagnetoelectroelastic media, and thermoelastic quasicrystals. Special attention is paid to the influence of imperfect contact at the internal material interface. The integral formulas and equations obtained to describe the state of two-component bodies made of multifield materials account for imperfect thermal and magneto-electro-mechanical contact at the interfacial surface, while avoiding singular integrals along the interface. This allows for analytical research of piecewise homogeneous bodies and a reduces the number of degrees of freedom in a discretized problem, while maintaining sufficient accuracy in numerical solutions.
issn	1025-6415
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206534
citation_txt	Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями / В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 33-47. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT pasternakvv íntegralʹnírívnânnâploskihzadačtermomehaníkibímateríalʹnihtílízneídealʹnimkontaktomskladovihízmateríalívzízvâzanimipolâmi AT sulimgt íntegralʹnírívnânnâploskihzadačtermomehaníkibímateríalʹnihtílízneídealʹnimkontaktomskladovihízmateríalívzízvâzanimipolâmi AT pasternakvv integralequationsofplanethermomechanicalproblemsforbimaterialbodieswithimperfectcontactbetweencomponentsmadeofmultifieldmaterials AT sulimgt integralequationsofplanethermomechanicalproblemsforbimaterialbodieswithimperfectcontactbetweencomponentsmadeofmultifieldmaterials
first_indexed	2025-11-25T16:45:14Z
last_indexed	2025-11-25T16:45:14Z
_version_	1850520343808049152
fulltext	33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3: 33—47 Ц и т у в а н н я: Пастернак В.В., Сулим Г.Т. Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3. С. 33—47. https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.033 © Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2025. Стаття опублікована за умовами відкритого доступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) МЕХАНІКА MECHANICS https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.033 УДК 539.3 В.В. Пастернак1, https://orcid.org/0000-0003-2529-7915 Г.Т. Сулим2, https://orcid.org/0000-0003-2223-8645 1Волинський національний університет ім. Лесі Українки, Луцьк, Україна 2Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, Україна E-mail: pasternak.viktoriia@vnu.edu.ua, gtsulym@gmail.com Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями Представлена академіком НАН України Р.М. Кушніром Запропоновано матрично-векторний підхід на основі узагальненого формалізму Стро для математич- ного моделювання плоских задач термомеханіки в біматеріальних тілах. На основі останнього побудова- но інтегральні формули та рівняння для моделювання біматеріальних тіл, виготовлених із матеріалів зі зв’язаними фізичними полями (піроелектриків, термомагнітоелектропружних тіл та термопружних квазікристалів). Окрему увагу приділено врахуванню впливу неідеального контакту на внутрішній межі поділу матеріалів. Отримані інтегральні формули та рівняння для опису стану двокомпонентних тіл із матеріалів зі зв’язаними полями автоматично враховують характерний тип неідеального теплового та магніто-електро-механічного контакту на міжфазній поверхні та не містять невластивих інтегралів уздовж останньої. Це дає можливість як аналітичного вивчення розглянутих кусково-однорідних тіл, так і зменшення за потреби кількості ступенів вільності дискретизованої задачі за збереження належної точ- ності при їхньому числовому розв’язуванні. Ключові слова: інтегральне рівняння, піроелектрик, піромагнетик, термопружний квазікристал, плоска задача, неідеальний контакт, біматеріал. Вступ. Сучасні мультифункціональні матеріали, зокрема піроелектрики, термомагніто- електропружні середовища та термопружні квазікристали характеризуються складною взаємодією декількох фізичних полів. Їх унікальні властивості відкривають нові широкі можливості для створення сенсорів, енергоефективних пристроїв та інтелектуальних сис- тем керування. Вивчення напружено-деформованого стану таких матеріалів потребує вра- хування взаємодії між механічними, тепловими, електричними та магнітними полями в 34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим єдиному теоретичному підході. Особливої актуальності набувають задачі для біматеріаль- них тіл, де гетерогенність структури поєднується з багатопольовою взаємодією. Розробка ефективних методів аналізу таких тіл є важливою як для глибшого розуміння фізичних процесів, так і для проєктування новітніх матеріалів і приладів. Особливої уваги вимагає також моделювання неідеального контакту між складовими біматеріалу, оскільки на практиці поверхні поділу зазвичай поєднані далеко не ідеально. Вивченню задач термопружності кусково-однорідних тіл при неідеальному контакті сто- суються роботи [1, 2]. Узагальнення цього підходу на задачі взаємодії полів різної фізичної природи здійснено у праці [3]. Проте публікацій, що стосувалися би вивченню впливу неідеального термо-електро- магніто-механічного контакту на внутрішній межі поділу матеріалів, є відносно мало. У публікації [4] розглянуто функції Ґріна для біматеріального тіла з різними комбінаціями матеріалів (п’єзоелектрик — провідник, п’єзоелектрик — діелектрик тощо), що призво- дять до специфічних крайових умов на внутрішній поверхні поділу. У працях [5, 6] побу- довано інтегральні рівняння для термомагнітоелектропружного біматеріалу з ідеальним магніто-електро-механічним та неідеальним тепловим (двох типів) контактом складових. У дослідженні [7] отримано функції Ґріна для анізотропного термопружного біматеріалу з неідеальними механічним контактом типу пружного з’єднання та тепловим типу Капіци. Щодо розробки методів аналізу задач термопружності квазікристалічних біматеріальних тіл, то авторам не вдалося знайти жодної праці. Метою цієї роботи є розробка уніфікованого матрично-векторного підходу до мо- делювання з єдиних позицій плоских задач термомеханіки для різних типів біматеріалів зі зв’язаними фізико-механічними полями. Із використанням розширеного формалізму Стро отримано інтегральні формули та рівняння для моделювання двокомпонентних тіл із матеріалів зі зв’язаними полями за врахування неідеального теплового та магніто-елек- тро-механічного контакту на внутрішній межі їх поділу. Узагальнена форма запису визначальних співвідношень для матеріалів зі зв’язаними полями. Розглянемо лінійні задачі теплопровідності та термоелектропружності піроелек- тричних тіл. Відповідно до [4, 9, 8, 10] у нерухомій прямокутній системі координат 1 2 3Ox x x рівняння рівноваги, балансу тепла та конститутивні співвідношення плоскої деформації лінійно термоелектропружного тіла і плоскої стаціонарної теплопровідності можна запи- сати у такому уніфікованому вигляді: , 0Ij j  , , 0i ih  ; (1) ,Ij IjKm K m IjC u     , ,i ij jh k   (2) при 4 4 4 4 4 4 4 ( 1, 2, 3), ; ( 1,2, 3), ( 1, 2); ( 1, 2, 3), ( 1, 2); , , , – ( , 1, 2, 3; , 1, 2). i i ij ij j j ij ij j j ijkm ijkm ij m mij jkm jkm j m jm u u i u i D j i j C C C e C e C i k j m                                    (3) 35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових... Тут ij — компоненти тензора напружень; ih — компоненти вектора густини теплово- го потоку; iD — електричне зміщення; iu — переміщення точок тіла;  — електрич- ний потенціал;  — зміна температури порівняно з відліковою; ijkmC — пружні сталі; ijk — коефіцієнти теплопровідності; ( , , , 1, .., 3)ij ijkm km mij mC e i j k m      — модулі теплового розширення (коефіцієнти теплових напружень); ij — коефіцієнти лінійного теплового розширення; ijke — п’єзоелектричні сталі; ij — діелектричні сталі матеріалу; i ikm km ij je       — піроелектричні коефіцієнти; i — піроелектричні модулі. Тензори з компонентами ijkmC , ijk , ij та ij вважаються симетричними. Для зручності та легкого розрізнення прийнято, що записані великими літерами індекси змінюються від 1 до 4, а малими традиційно від 1 до 3 (чи 2 у плоскій задачі). У формулах прийняте узвичаєне правило Айнштайна підсумовування за індексом, що повторюється. Кома в індексних позначеннях відповідає диференціюванню за зазначеною після коми координатою, тобто ,i j i ju u x   . Співвідношення (1), (2) можна також використовувати для моделювання поведінки термомагнітоелектропружних матеріалів, якщо вважати, що [11] 4 5 4 5 4 5 4 4 4 4 5 5 5 5 4 5 5 4 , , ; , – , ; , , ; , , , – , , , – , – , – , i i i i m ij ij j j j j ijkm ijkm ij m mij jkm jkm j m jm ij m mij jkm jkm j m jm j m jm j m jm ij u u u u f f f q f b D B C C C e C e C C h C h C C C                                                 4 5, – , ( , , , 1, 2, 3),ij j j j j i j k m         (4) де ij — компоненти тензора напружень; iu — компоненти вектора переміщень; iD — компоненти вектора електричних зміщень; iB — вектор магнітної індукції;  ,  — елек- тричний та магнітний потенціали; ijkmC — компоненти тензора пружних сталих; ijk — ко- ефіцієнти теплопровідності; ijke , ijkh — п’єзоелектричні та п’єзомагнітні сталі; ij , ij , ij — діелектрична і магнітна проникності та електромагнітні сталі; i — піромагнітні коефіцієнти. Однак при моделюванні термомагнітоелектропружної взаємодії у матеріалах зі зв’язаними полями у формулах (1) та (2) позначені великими літерами індекси зміню- ються від 1 до 5. Відповідно до [12] для квазікристалічних матеріалів визначальні співвідношення (1), (2) теж застосовні, якщо вважати, що ( 3) 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) , , , ; , , , , , ( , , , 1, 2, 3). ij ij i j ij i i i i ijkm ijkm ij k m ijkm i jkm kmij i j k m ijkm ij ijkm km ijkm km i j kmij km ijkm km H u u u w C C C R C R C K C R R K i j k m                                         (5) Тут ij — фононні напруження; ijH — фазонні напруження; iu — компоненти векто- ра фононних переміщень; iw — фазонні переміщення; ijkmC — компоненти тензора фо- 36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим нонних пружних сталих; ijkmK — компоненти тензора фазонних пружних сталих; ijkmR та ijkm kmijR R  — компоненти тензорів фононно-фазонної взаємодії; ij , ij — фононна та фазонна складові коефіцієнтів лінійного теплового розширення. Зазначимо, що у за- гальному випадку для квазікристалів позначені великими літерами індекси змінюються від 1 до 6. Отже, за допомогою поданого підходу задачі для матеріалів зі зв’язаними полями (пі- роелектричних термомагнітоелектропружних, квазікристалічних) зводяться до уніфікова- ного вигляду з єдиною відмінністю у розмірності розширених векторів та тензорів. Більше того, розширений 4-валентний тензор IjKmC має таку властивість симетрії: IjKm KmIjC C  . (6) Останнє співвідношення визначає результуючий тип рівнянь сформульованих задач та дає можливість використати для їхнього розв’язування формалізм Стро. Розширений формалізм Стро. Відповідно до розширеного формалізму Стро [10, 12] загальний розв’язок рівнянь (1), (2) має вигляд 2Re{ ( )}tg z  , 2 Im{ ( )}t tk g z  , 1 , 2h   , 2 , 1h   , 2 11 22 12tk k k k  ; 2Re{ ( ) ( )}tz g z u Af c , 2Re{ ( ) ( )}tz g z Bf d ; 1 , 2     , 2 , 1    ; (7) 1 2t tz x p x  ; 1 2z x p x   ; T * 1 1 2 2 3 3( ) [ ( ), ( ), ( ), ...]z F z F z F zf , де  — функція теплового потоку; ( )tg z , ( )F z  — певні аналітичні функції відповідних аргументів ( tz та z ( 1, 2, 3, ...)  ); комплексна стала tp є коренем (із додатною уявною частиною) характеристичного рівняння теплопровідності 2 22 12 112 0t tk p k p k   ; (8) матриці [ ] [ ]iA   A a та [ ] [ ]iB   B b і сталі p ( 1, 2, 3, ...)  визначаються із задачі на власні значення формалізму Стро [4, 8, 10]: 1 2 T 3 1         N N N N N , T , , p p   N N       (9) а вектори ñ і d задовольняють таке матричне рівняння [10, 8]: tp N     ,        c d  , 2 1 T 21               0 N I N    . (10) Тут –1 T 1  N T R , –1 2 N T , –1 T 3  N RT R Q ; T[ , ] a b — правий власний вектор, а T[ , ] b a — лівий власний вектор матриці N ; верхній індекс « T » означає операцію транспонування. Компоненти матриць Q , R , T означені так: 1 1IK I KQ C  , 2 2IK I KT C  , 1 2 2 1IK I K K IR C C   . Матриці Q та T симетричні з огляду на симетрію компонент IjKmC тензора (6). Розмірність матриць Q , R , T та вектора [ ]pp така ж, як і максимальне 37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових... значення позначеного великою літерою індекса у співвідношеннях (1), (2), тобто, 4 для пі- роелектриків, 5 для термомагнітоелектропружних матеріалів та 6 для квазікристалів. Оскільки власні вектори матриці N означені з точністю до сталих множників, матриці A та B нормують такими співвідношеннями ортогональності [4, 8, 10]: T T T T                   B A I 0A A 0 IB BB A . (11) Причому, виходячи з рівнянь (9) — (11) виявлено [13] такий важливий для отримання інтегральних рівнянь термомеханічних задач зв’язок: T T T TIm{ } Im{ } Im{ } Im{ }t tp p  PB c PA d B c A d , diag[ ]P p . (12) Умови ортогональності (11) дають можливість побудувати такий зв’язок між комплек- сними потенціалами Стро та вектор-функціями розширених переміщень і напружень: T T T T ( ) t tz    f B u A B u A     , 2Re{ ( )}t tg zu c , 2Re{ ( )}t tg z d . (13) На основі (7) можна також отримати такий зв’язок між функцією ( )tg z та температу- рою і функцією теплового потоку: 1( ) 2t t g z i k         . (14) Складені півпростори з неідеальним термофізичним контактом. Розглянемо плоску задачу термомеханіки для двох півпросторів 2 0x  та 2 0x  із матеріалів зі зв’язаними по- лями (при розгляді яких вивчаємо лише нормальні до осі 3x перерізи (півплощини) 1S та 2S , як зображено на рисунку), поєднаних уздовж площини 2 0x  . При цьому на межі поділу матеріалів не виконуються умови ідеального термофізичного контакту. Для опису умов те- плового контакту виберемо модель теплового контакту двох матеріалів за типом Капіци [7]: 2 2 2 2 (1) (2) 1 2 1 2 10 0 (1) 1 2 1 0 , 1 10 (2) 1 2 1 10 ( , ) ( , ) ( ), ( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ) (– ; ). x x x x x x x x x x x x x x x x x                      (15) Тут 0 — тепловий опір межі поділу матеріалів. Умови неідеального фізико-механічного контакту складових біматеріалу запишемо у подібному до моделі пружної основи Вінклера («пружинний інтерфейс» [7]) вигляді: 2 2 2 2 (1) 1 2 1 , 1 10 (2) 1 2 10 (1) (2) 1 2 1 2 1 10 0 ( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ), ( , ) ( , ) ( ) (– ; ). x x x x x x x x x x x x x x x x x              u u u u              (16) 38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим Кожен із півпросторів містить систе- ми тунельних порожнин, яким в облас- тях 1S та 2S відповідають отвори, обме- жені плоскими контурами (1) 1 j j   та (2) 2 j j   відповідно (див. рисунок). Для побудови інтегральних подань комплексних потенціалів Стро для спря- жених півпросторів скористаємося інте- гральною формулою Коші [14], що пов’язує контурні значення довільної аналітичної функції ( )  на межі S області S із її зна- ченням ( )z всередині та зовні цієї області: ( ) ,1 ( ) 0 .2 S z z Sd z Si z             (17) Тут , z  — комплексні змінні, що окреслюють розташування відповідно точок витоку та спостереження. При цьому, якщо область S є необмеженою, то вважається, що функція ( )z заникає при z  . Теплопровідність. Унаслідок лінійності задачі теплопровідності, як і у випадку ідеаль- ного фізико-механічного контакту складових [5], шукатимемо її розв’язок у вигляді суми заданого функціями (1) 1 ( )tg z та (2) 2 ( )tg z однорідного розв’язку (що безумовно повинен задовольняти також і крайові умови (15)) і збурених наявністю контурів 1 та 2 складо- вих. Позначивши інтеграли Коші від комплексних функцій температури ( )( )i i tg z через [5] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) i i i i j i t t t t i i t t g dq z z       , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) i i i i j i t t t t i j t t g dq z z       , (18) а невластиві інтеграли уздовж відрізку 1– x   — ( ) 1 1 ( ) 1– ( )( )j t t j t x dxm z x z      , ( ) 1 1 ( ) 1– ( )( )j t t j t x dxp z x z      , (19) на основі (14) та (17), задовольняючи умови контакту (15), отримаємо такі інтегральні по- дання для ( )( )i i tg z : (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)0 1 1 (1) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22t t t t t t t t t t t ig z g z q z p z m z m z i k              , (1)Im( ) 0tz  ; (20) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 2 2 (2) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2t t t t t t t t t ig z g z q z p z m z i k             (2)Im( ) 0tz  (21) x1 x2 Γ2 Γ1 Material 1 Material 2 S1 Z(1) Z(2) S2 Z(1)— Z(2)— Схема задачі 39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових... та системи звичайних диференціальних рівнянь для визначення невластивих інтегралів (19) через інтеграли Коші (18): (1) (1) (1) (1) (1) (1)0 (1) (2) (1) (1) (1) (2) 1Im( ) 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 2 2 2 1( ) ( ) ( ) 0; 2 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t iz q z p z m z m z k iq z p z m z k          (22) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (1) (2) (2) (2) (2)0 (1) 1Im( ) 0 : ( ) ( ) ( ) 0, 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0. 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t iz q z p z m z k iq z p z m z m z k          (23) Тут верхнім індексом 1 чи 2 позначено належність до відповідних півпросторів. Також вра- ховано, що внаслідок інтегрування частинами ( ) , 1 1 11 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1– – ( )( )( )( ) ( ) i i t t t t i j j t t t x dxx dxdm zm z dz x z x z             . Додатним напрямком обходу контурів є той, за якого зайнята тілом область залишається ліворуч, тому у вираз (20) невластиві інтеграли (19) входять зі знаком «+», а в (21) — із протилежним знаком. Розв’язуючи диференціальні рівняння (22) та (23) стосовно функцій (19), задовольнив- ши при цьому умову, що ( ) 0t tm z  при ( ) 0tg z  , матимемо: (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) 1 1(2) 0 (1) (1) (1) (2) (1) 1 1 0 2( ) 2 ( ) [ ( ; ) ( ; )], 2( ) [ ( ; ) ( ; )]; t t t t t t t t t t t t t t t ip z q z e z e z k m z e z e z            (24) (2) (2) (2) (1) (2) (2) (2) 2 2(2) 0 (2) (1) (2) (2) (2) 2 2 0 2( ) 2 ( ) [ ( ; ) ( ; )], 2( ) [ ( ; ) ( ; )]. t t t t t t t t t t t t t t t ip z q z e z e z k m z e z e z            (25) Тут сталі величини i дорівнюють (1) (2) 1 0(1) (2) t t t t k ki k k      , 2 1–   , (26) 40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим а функції ( )k te означені такими інтегральними формулами: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) –1 1 1 ( ; ) ( ) , ( ; ) ( ) ; ( ) exp( )E ( ); E ( ) exp(– ) . k k k j k j k kt t t i t k t t i k j k j k kt t t i t k t t i z ze z g d ze z g d z z z z t t dt                            K K K (27) Підставляючи (24) в (20), а (25) в (21), отримаємо інтегральні подання функцій ( )( )i i tg z , що не містять невластивих інтегралів уздовж безмежної межі поділу матеріалів [5] та, як на- слідок, спростять розв’язування результуючих інтегральних рівнянь та підвищать точність розрахунків: (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (1) 1 1 1 1(1) 0 (1) 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ; ) ( ; )) , 2 Im( ) 0; t t t t t t t t t t t t ig z g z q z q z e z e z i k z                   (28) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (1) (2) (2) (2) 2 2 2 2(2) 0 (2) 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ; ) ( ; )) , 2 Im( ) 0. t t t t t t t t t t t t ig z g z q z q z e z e z i k z                   (29) Варто зазначити, що спрямувавши у виразах (28), (29) тепловий опір межі поділу до нуля, отримаємо інтегральні подання комплексних потенціалів для біматеріалу з ідеаль- ним тепловим контактом складових. Аналогічно, спрямувавши 0  , отримаємо від- повідні подання для теплоізольованих півпросторів. Це без сумніву підтверджує достовір- ність отриманих залежностей. Відповідно до (14) інтеграли Коші (18) зводяться до криволінійних інтегралів першо- го роду ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ln( ( ) ) ( ) , 2 ( ) 2 ( ) ( )1( ) ( ) ln( ( ) ) ( ) , 2 ( ) 2 i i i i i i j i jt t t t t ni j i t t t i i j i jt t t t t ni j i t t t n s p n s iq z s ds s z h s ds s z k n s p n s iq z s ds s z h s ds s z k                           (30) де 2 2 1 2ds dx dx  — дійсний диференціал дуг 1 чи 2 ; jn — компоненти одиничного вектора n зовнішньої нормалі; n i ih h n — тепловий потік через поверхню тіла. 41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових... Аналогічно, з урахуванням співвідношень [11] 1 * 2 2 * 1( ( ) ( ))d dx p dx n s p n s ds      , (31) 1 2 2 2 1 1 1 2 (– )– – n x x h n h n h s x s x s              (32) та рівнянь (14), інтеграли (27) запишуться у вигляді ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1( ; ) ( ( ) ( )) (( ( ) ) ) ( ) 2 ( (( ( ) ) ) ln)( ( ) )) ( ) , 2 1( ; ) ( ( ) ( )) (( ( ) ) ) ( ) – 2 k k k k j k k j t i t t t t i k j k ji t t i t t nk t k j k k j t i t t t t i e z n s p n s s z s ds i s z s z h s ds k e z n s p n s s z s ds                                K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (( ( ) ) ) ln( ( ) ) ( ) . 2 k k j k ji t t i t t nk t i s z s z h s ds k          K (33) Тобто застосування співвідношень формалізму Стро та виразів (28), (29), (30) і (33) дає можливість побудувати інтегральні формули теплопровідності біматеріалу з тепловим опором межі. Вони аналогічні до відповідних для біматеріалу з неідеальним тепловим та ідеальним фізико-механічним контактом складових, отриманих у [5]. Для побудови інтегральних подань розширених вектора переміщень та тензора напру- жень відповідно до (19) необхідно обчислити також первісні функції ( )( )i i tg z , ( )tm z та ( )tp z : ( ) ( ) ( )( ) ( )i i i i t i t tg z g z dz  ; (34) 1 1 1 – ( ) ( ) ln( ) ( )t tM z m z dz x z x dx         ; (35) 1 1 1 – ( ) ( ) ln( ) ( )t tP z p z dz x z x dx         . (36) Згідно з (24) — (29) отримаємо (1) (2) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (1) 1 1 (1) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) 1 1 (1) (1) (1) 1 1 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 )( ( ; ) ( ; )), ( ) (1 )[ ( ) ( ) ( ( ; ) ( ; ))], 1( ) ( ) [ 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t P z K Q z K Q z K e z e z M z ik K Q z Q z e z e z g z g z Q i                     (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (1) 1 1 ( ) ( ) (1 ) ( )]– 1– ( ( ; ) ( ; )) ( Im( ) 0); 2 t t t t t t t t t t z KQ z K Q z K e z e z z i           (37) 42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим (2) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (2) 2 2 (2) (2) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (2) 2 2 (2) (2) (2) 2 2 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 )( ( ; ) ( ; )), ( ) (1 )[ ( ) ( ) ( ( ; ) ( ; ))], 1( ) ( ) [ ( 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t P z K Q z K Q z K e z e z M z ik K Q z Q z e z e z g z g z Q i                    (2) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (2) (2) 2 2 ) ( ) (1 ) ( )]– 1– ( ( ; ) ( ; )) ( Im( ) 0). 2 t t t t t t t t t t z KQ z K Q z K e z e z z i           (38) При побудові цих виразів використано позначення ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) ,i i i i t t t tQ z q z dz Q z q z dz   (39) а також співвідношення ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) – ( ; ) ( ), ( ; ) – ( ; ) ( ). k k k t i i t i i t k k k t i i t i i t e z dz e z Q z e z dz e z Q z             (40) Неідеальний термо-фізико-механічний контакт. Запишемо інтегральні формули (17) для комплексних потенціалів Стро (1) (1) ( )zf та (2) (2) ( )zf , аналітичних відповідно в облас- тях 1S та 2S . При цьому, зважаючи на те, що задані інтегралами Коші функції заникають на безмежності, тобто окреслюють лише збурену складову, повний розв’язок подамо у ви- гляді суми цієї збуреної частини та заданої потенціалами (1) (1) ( )zf , (2) (2) ( )zf однорідної складової, що також задовольняє крайові умови (16). Увівши позначення [5] ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) j j i j j j j i dz z      q f , ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) j j i j j j j i dz z      q f , (41) ( ) 1 1 ( ) 1– ( ) ( )j j x dx z x z     m  , ( ) 1 1 ( ) 1– ( ) ( )j j x dx z x z      u p  , (42) а також зважаючи на те, що на основі (13), (14) та умов контакту (16) після інтегрування частинами (1) 1 1 T ( ) T ( ) T ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1( ) 1– (1) 1 1 T ( ) T ( ) T ( ) ( ) ( ) 111 1 1 1( ) 1– (2) 1 1 T 2( ) 1– ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) i i i i i ti i i i i i ti i x dx z z z M z R z x z x dx z z z M z R z x z x dx x z                                  f A m B p B m f A m B p B m f A m           ( ) T ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (2) 1 1 T ( ) T ( ) ( ) ( ) 222 2 2( ) 1– ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), i i i i t i i i i ti z z M z R z x dx z z M z R z x z                   B p f A m B p       (43) 43ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових... де комплексні векторні сталі j та j означені виразами [5] T T ( ) 1 ( Im[ ] Im[ ])j j j j jj tk  A d B c , T TRe[ ] Re[ ]j j j j j A d B c , (44) а функції ( )( )i jR z задані залежністю ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) – – ( ) ( ) ( 1); ( ) ln( ) ( , 0) – ( ) ( 2), i i t ti i j j i t P z m z j R z x z x dx P z j                (45) отримаємо такі інтегральні формули для комплексних потенціалів Стро та рівняння для визначення невідомих невластивих інтегралів: (1) (1) (1) (1) * * 4 (1) T ( ) T ( ) T ( ) (1) (1) 1 * 1 1 1 * 1 1 * 1 1 ( ) ( ) 1 [ ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ]; 2 i i i t z z z z z z M z R z i                     f f q I A m B p B m     (46) T ( ) T ( ) T ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 1 1( ) ( ) ( ) – ( ) ( ) ( );i i i i i i tz z z z R z M z         A m B p B m q     (47) T ( ) T ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( );i i i i i tz z z R z M z       A m B p q    (48) (2) (2) (2) (2) * * 4 (2) T (2) T (2) (2) (2) 2 * 2 2 * 2 2 * 2 1 ( ) ( ) 1 [ ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ]; 2 t z z z z z M z R z i                   f f q I A m B p    (49) T (2) T (2) T (2) (2) (2) (2) 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) – ( ) ( ) ( );tz z z z R z M z         A m B p B m q     (50) T (2) T (2) (2) (2) (2) 2 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )tz z z R z M z       A m B p q    . (51) Тут diag[ ]i  I , тобто, 1 diag[1, 0, 0, ...]I , 2 diag[0,1, 0, ...]I і т.д. Рівняння (47), (48), (50) та (51) дають можливість виразити інтеграли (42) по безмеж- ному проміжку через інтеграли уздовж скінченних контурів j за допомогою таких ма- тричних диференціальних рівнянь: (1) (1) T (1) T (1) 1 1 2 2 (2) (2) T (2) T (2) 1 4 2 3 (2) –T (1) T (1) 2 2 2 (2) –T (2) T (2) 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) [ ( ) ( )]; ( ) [ ( ) ( )], z z z z z z z z z z z z z z                             Xm m B y B y Xm m B y B y p B y A m p B y A m   (52) 44 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим де позначено (1) (1) (1) (1) 1 11 1 1 (1) (1) (1) (1) 2 2 2 2 2 (2) (2) (2) (2) 4 1 1 1 1 (2) (2) (2) (2) 2 23 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ). t t t t z z R z M z z z R z M z z z R z M z z z R z M z                               y q y q y q y q             (53) Стала матриця X означена через матрицю імпедансу –1–iM BA (54) таким співвідношенням: –1 –1 T 1 1 2 2i[ ( ) ] X M M M M . (55) Розв’язуючи диференціальні рівняння (52) отримаємо, що шукані функції є лінійною комбінацією інтегралів (39), (40), (41) та контурних інтегралів типу ( ) –1 ( ) –1 ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * ( ) –1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * ( ; ) ( ) ( ), ( ; ) ( ) ( ). k k k j k j k k k k j k j k k k z z d z z d                      e X X q e X X q       K K (56) Тут функція матриць –1 ( ) ( ) * ( )k jz  Ë XK означена так само, як і в (27). З урахуванням викладеного, на основі (46) та (49) з урахуванням співвідношень (7) формалізму Стро можна побудувати такі інтегральні формули для біматеріалу з неідеаль- ним термофізичним контактом складових:     (1) (1) (1) 1 1 1 1 (2) (2) (2) 2 * 2 2 2 2Re[ ( ( )) ( ( ))] ( ), 2Re[ ( ( )) ( ( ))] . t t Z g Z S Z g Z S         A f c u A f c             (57) Схема побудови інтегральних рівнянь задачі. Запропонований підхід на основі ТФКЗ дає можливість окрім інтегральних формул також ефективно будувати сингулярні інтегральні рівняння задачі. Зокрема, зручно використати формулу Сохоцького — Племе- лі [14], яка для гладкої дуги  пов’язує граничне значення інтеграла із його головним зна- ченням у такий спосіб: 0 0 0 ( ) ( )1 1 1lim ( ) CPV 2 2 2z d d i z i                     . (58) Тут вважається, що точка z прямує до точки 0 межі  зсередини області; CPV означає головне значення інтеграла (Cauchy Principal Value). Отже, спрямувавши в (57) внутрішню точку ξ до деякої точки 0x на контурах 1 чи 2 та використавши співвідношення (58) отримаємо інтегральні рівняння розглянутої задачі, 45ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових... що разом із заданими крайовими умовами дають можливість обчислити невідомі крайові функції. Знаючи останні за допомогою (57) можна обчислити фізико-механічні поля все- редині області, визначивши зокрема, й термонапружений стан. Висновки. Запропонований підхід до побудови інтегральних формул та рівнянь для матеріалів зі зв’язаними полями має такі дві переваги щодо існуючих методів. Завдяки побудові уніфікованих визначальних рівнянь цей підхід придатний до роз- в’я зування плоских задач для біматеріальних тіл різних типів (піроелектриків, магнітое- лектриків, квазікристалів) за допомогою лише зміни розмірності результуючих матриць та векторів. Запропонований підхід дозволяє виключити із розгляду невластиві інтеграли уздовж внутрішньої межі контакту складових біматеріального тіла завдяки врахуванню умов кон- такту в ядрах інтегральних формул та рівнянь, що дає можливість аналітичного аналізу впливу неідеального термофізичного контакту складових тіла, а також істотно підвищує точність розв’язування відповідних задач числовими методами, оскільки у них відпадає по- треба дискретизації внутрішньої межі поділу матеріалів. Це також зменшує необхідну для забезпечення належної точності обчислень кількість ступенів вільності дискретної моделі. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Кушнір Р.М. Використання методу узагальнених задач спряження в термопружності кусково-однорід- них тіл при неідеальному контакті. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 1998. 41, № 1. С. 108—116. https:// doi.org/10.1007/BF02364925 2. Kushnir R., Popovych V. Application of the generalized functions method for analysis of thermal stresses in piecewise-homogeneous solids. Encyclopedia of thermal stresses: Hetnarski R.B. (Ed.). Dordrecht: Springer, 2014. P. 224—230. https://doi.org/10.1007/978-94-007-2739-7_602 3. Гачкевич О.Р., Кушнір Р.М. Вибрані проблеми механіки зв’язаних полів. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2016. 59, № 1. С. 7—24. https://doi.org/10.1007/s10958-018-3666-7 4. Qin Q.H. Green’s function and boundary elements of multifield materials. Oxford: Elsevier, 2007. 254 p. https:// doi.org/10.1016/B978-0-08-045134-3.X5045-9 5. Pasternak Ia., Pasternak R., Sulym H. 2D boundary element analysis of defective thermoelectroelastic bimaterial with thermally imperfect but mechanically and electrically perfect interface. Eng. Anal. Bound. Elem. 2015. 61. P. 194—206. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2015.07.012 6. Sulym H., Vasylyshyn A., Pasternak Ia. Influence of imperfect interface of anisotropic thermomagnetoelectroelastic bimaterial solids on interaction of thin deformable inclusion. Acta Mech. Autom. 2022. 16, № 3. P. 242—249. https://doi.org/10.2478/ama-2022-0029 7. Wang X., Pan E. Thermal Green’s functions in plane anisotropic bimaterials with spring-type and Kapitza-type imperfect interface. Acta Mech. 2010. 209. P. 115—128. https://doi.org/10.1007/s00707-009-0146-7 8. Hwu C. Anisotropic elastic plates. New York: Springer, 2010. 673 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-5915-7 9. Pasternak Ia. Coupled 2D electric and mechanical fields in piezoelectric solids containing cracks and thin inhomogeneities. Eng. Anal. Bound. Elem. 2011. 35, № 4. P. 678—690. https://doi.org/10.1016/j. enganabound.2010.12.001 10. Ting T.C.T. Anisotropic elasticity: theory and applications. New York: Oxford University Press, 1996. 567 p. https://doi.org/10.1093/oso/9780195074475.001.0001 11. Pasternak V., Sulym H., Pasternak Ia.M. Frequency domain Green’s function and boundary integral equations for multifield materials and quasicrystals. Int. J. Solids Struct. 2024. 286—287. 112562. https://doi.org/10.1016/j. ijsolstr.2023.112562 12. Pasternak V., Sulym H., Pasternak Ia.M., Hotsyk I. Extended Stroh formalism for plane problems of thermoelasticity of quasicrystals with applications to Green’s functions and fracture mechanics. Int. J. Eng. Sci. 2024. 203. 104124. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2024.104124 46 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 В.В. Пастернак, Г.Т. Сулим 13. Pasternak Ia. Boundary integral equations and the boundary element method for fracture mechanics analysis in 2D anisotropic thermoelasticity. Eng. Anal. Bound. Elem. 2012. 36, № 12. P. 1931—1941. https://doi. org/10.1016/j.enganabound.2012.07.007 14. Carrier G.F., Krook M., Pearson C.E. Functions of a complex variable: theory and technique. New York: McGraw-Hill, 1966. 438 p. https://doi.org/10.1137/1.9780898719116 Надійшла до редакції 11.04.2025 REFERENCES 1. Kushnir, R. M. (1999). Application of the method of generalized coupling problems in the thermoelasticity of piecewise-homogeneous bodies under nonideal contact. J. Math. Sci., 97, No. 1, pp. 3854-3861. https://doi. org/10.1007/BF02364925 2. Kushnir, R. & Popovych, V. (2014). Application of the generalized functions method for analysis of thermal stresses in piecewise-homogeneous solids. In Hetnarski, R.B. (Ed.). Encyclopedia of thermal stresses (pp. 224- 230). Dordrecht: Springer. https://doi.org/10.1007/978-94-007-2739-7_602 3. Hachkevych, O. R. & Kushnir, R. M. (2018). Selected problems of the mechanics of coupled fields. J. Math. Sci., 229, No. 2, pp. 115-132. https://doi.org/10.1007/s10958-018-3666-7 4. Qin, Q. H. (2007). Green’s function and boundary elements of multifield materials. Oxford: Elsevier. https:// doi.org/10.1016/B978-0-08-045134-3.X5045-9 5. Pasternak, Ia., Pasternak, R. & Sulym, H. (2015). 2D boundary element analysis of defective thermoelectroelastic bimaterial with thermally imperfect but mechanically and electrically perfect interface. Eng. Anal. Bound. Elem., 61, pp. 194-206. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2015.07.012 6. Sulym, H., Vasylyshyn, A. & Pasternak, Ia. (2022). Influence of imperfect interface of anisotropic thermomagnetoelectroelastic bimaterial solids on interaction of thin deformable inclusion. Acta Mech. Autom., 16, No. 3, pp. 242-249. https://doi.org/10.2478/ama-2022-0029 7. Wang, X. & Pan, E. (2010). Thermal Green’s functions in plane anisotropic bimaterials with spring-type and Kapitza-type imperfect interface. Acta Mech., 209, pp. 115-128. https://doi.org/10.1007/s00707-009-0146-7 8. Hwu, C. (2010). Anisotropic elastic plates. New York: Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-5915-7 9. Pasternak, Ia. (2011). Coupled 2D electric and mechanical fields in piezoelectric solids containing cracks and thin inhomogeneities. Eng. Anal. Bound. Elem., 35, No. 4, pp. 678-690. https://doi.org/10.1016/j. enganabound.2010.12.001 10. Ting, T. C. T. (1996). Anisotropic elasticity: theory and applications. New York: Oxford University Press. https:// doi.org/10.1093/oso/9780195074475.001.0001 11. Pasternak, V., Sulym, H. & Pasternak, Ia.M. (2024). Frequency domain Green’s function and boundary integral equations for multifield materials and quasicrystals. Int. J. Solids Struct., 286–287, 112562. https://doi. org/10.1016/j.ijsolstr.2023.112562 12. Pasternak, V., Sulym, H., Pasternak, Ia.M. & Hotsyk, I. (2024). Extended Stroh formalism for plane problems of thermoelasticity of quasicrystals with applications to Green’s functions and fracture mechanics. Int. J. Eng. Sci., 203, 104124. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2024.104124 13. Pasternak, Ia. (2012). Boundary integral equations and the boundary element method for fracture mechanics analysis in 2D anisotropic thermoelasticity. Eng. Anal. Bound. Elem., 36, No. 12, pp. 1931-1941. https://doi. org/10.1016/j.enganabound.2012.07.007 14. Carrier, G. F., Krook, M. & Pearson, C. E. (1966). Functions of a complex variable: theory and technique. New York: McGraw-Hill. https://doi.org/10.1137/1.9780898719116 Received 11.04.2025 47ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових... V.V. Pasternak1, https://orcid.org/0000-0003-2529-7915 H.T. Sulym2, https://orcid.org/0000-0003-2223-8645 1 Lesya Ukrainka Volyn National University, Lutsk, Ukraine 2 Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of the NAS of Ukraine, Lviv, Ukraine E-mail: pasternak.viktoriia@vnu.edu.ua, gtsulym@gmail.com INTEGRAL EQUATIONS OF PLANE THERMOMECHANICAL PROBLEMS FOR BIMATERIAL BODIES WITH IMPERFECT CONTACT BETWEEN COMPONENTS MADE OF MULTIFIELD MATERIALS A matrix-vector approach based on the generalized Stroh formalism is proposed for modeling plane thermome- chanical problems in bimaterial bodies. Using this approach, integral formulas and equations are derived for mod- eling bimaterial bodies composed of materials with coupled physical fields, such as pyroelectrics, thermomagneto- electroelastic media, and thermoelastic quasicrystals. Special attention is paid to the influence of imperfect contact at the internal material interface. The integral formulas and equations obtained to describe the state of two-compo- nent bodies made of multifield materials account for imperfect thermal and magneto-electro-mechanical contact at the interfacial surface, while avoiding singular integrals along the interface. This allows for analytical research of piecewise homogeneous bodies and a reduces the number of degrees of freedom in a discretized problem, while maintaining sufficient accuracy in numerical solutions. Keywords: integral equation, pyroelectric, pyromagnetic, thermoelastic quasicrystal, plane problem, imperfect contact, bimaterial.

Інтегральні рівняння плоских задач термомеханіки біматеріальних тіл із неідеальним контактом складових із матеріалів зі зв’язаними полями

Institution

Ähnliche Einträge