Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин

Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин

Розглянуто тривимірну задачу поширення гармонічної поздовжньої хвилі у пружному просторі з двоперіодичними масивами еліптичних тріщин за їх укладання в скінченний набір рівновіддалених паралельних квадратних ґраток. У частотній області отримано граничне інтегральне рівняння стосовно розкриття відлік...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Доповіді НАН України
Дата:2025
Автор: Жбадинський, І.Я.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2025
Теми:
Механіка
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206535
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин / І.Я. Жбадинський // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 25-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206535
record_format dspace
spelling Жбадинський, І.Я.
2025-09-14T17:18:15Z
2025
Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин / І.Я. Жбадинський // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 25-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
1025-6415
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206535
539.3
https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.025
Розглянуто тривимірну задачу поширення гармонічної поздовжньої хвилі у пружному просторі з двоперіодичними масивами еліптичних тріщин за їх укладання в скінченний набір рівновіддалених паралельних квадратних ґраток. У частотній області отримано граничне інтегральне рівняння стосовно розкриття відлікової тріщини в унітарній комірці двоперіодичної структури за допомогою відповідної функції Гріна. Для стійкості числових розрахунків використано подання функції Гріна в експоненціально збіжній формі та здійснено регуляризацію цієї функції шляхом залучення замкнутих значень спеціальних ґраткових сум. Числове розв’язання рівняння виконано за допомогою методу відображень. Обчислення коефіцієнта проходження хвиль у метаматеріалі з поодинокою ґраткою тріщин забезпечено підстановкою граничноелементних розв’язків у співвідношення апроксимації віддаленого від ґраткового масиву хвильового поля. Для випадку множинних ґраток цей коефіцієнт визначено на основі широкопросторової еквідистантної моделі хвильового перенесення.
The three-dimensional problem of propagation of harmonic longitudinal waves in an elastic solid containing double-periodic arrays of elliptical cracks located in a finite set of equidistant parallel square lattices is considered. In the frequency domain, a boundary integral equation for the reference crack opening in the unit cell of the double-periodic structure is obtained using the appropriate Green’s function. For the stability of numerical calculations, the Green’s function is represented in an exponentially convergent form, and its regularization is achieved by employing closed-form expressions for special lattice sums. The numerical solution of the equation is carried out using the mapping method. The wave transmission coefficient in a metamaterial with a single crack in the lattice is calculated by substituting the boundary element solutions into approximation relations for the wave field distant from the lattice. In the case of multiple lattices, this coefficient is determined based on a wide-space equidistant model of wave propagation.
uk
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
Доповіді НАН України
Механіка
Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
Determination of elastic wave transmission coefficient in a metamaterial with lattices of doubly-periodic elliptical cracks
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
spellingShingle Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
Жбадинський, І.Я.
Механіка
title_short Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
title_full Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
title_fullStr Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
title_full_unstemmed Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
title_sort визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин
author Жбадинський, І.Я.
author_facet Жбадинський, І.Я.
topic Механіка
topic_facet Механіка
publishDate 2025
language Ukrainian
container_title Доповіді НАН України
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format Article
title_alt Determination of elastic wave transmission coefficient in a metamaterial with lattices of doubly-periodic elliptical cracks
description Розглянуто тривимірну задачу поширення гармонічної поздовжньої хвилі у пружному просторі з двоперіодичними масивами еліптичних тріщин за їх укладання в скінченний набір рівновіддалених паралельних квадратних ґраток. У частотній області отримано граничне інтегральне рівняння стосовно розкриття відлікової тріщини в унітарній комірці двоперіодичної структури за допомогою відповідної функції Гріна. Для стійкості числових розрахунків використано подання функції Гріна в експоненціально збіжній формі та здійснено регуляризацію цієї функції шляхом залучення замкнутих значень спеціальних ґраткових сум. Числове розв’язання рівняння виконано за допомогою методу відображень. Обчислення коефіцієнта проходження хвиль у метаматеріалі з поодинокою ґраткою тріщин забезпечено підстановкою граничноелементних розв’язків у співвідношення апроксимації віддаленого від ґраткового масиву хвильового поля. Для випадку множинних ґраток цей коефіцієнт визначено на основі широкопросторової еквідистантної моделі хвильового перенесення. The three-dimensional problem of propagation of harmonic longitudinal waves in an elastic solid containing double-periodic arrays of elliptical cracks located in a finite set of equidistant parallel square lattices is considered. In the frequency domain, a boundary integral equation for the reference crack opening in the unit cell of the double-periodic structure is obtained using the appropriate Green’s function. For the stability of numerical calculations, the Green’s function is represented in an exponentially convergent form, and its regularization is achieved by employing closed-form expressions for special lattice sums. The numerical solution of the equation is carried out using the mapping method. The wave transmission coefficient in a metamaterial with a single crack in the lattice is calculated by substituting the boundary element solutions into approximation relations for the wave field distant from the lattice. In the case of multiple lattices, this coefficient is determined based on a wide-space equidistant model of wave propagation.
issn 1025-6415
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206535
citation_txt Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин / І.Я. Жбадинський // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 25-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT žbadinsʹkiiíâ viznačennâkoefícíêntaprohodžennâpružnihhvilʹumetamateríalízgratkamidvoperíodičnihelíptičnihtríŝin
AT žbadinsʹkiiíâ determinationofelasticwavetransmissioncoefficientinametamaterialwithlatticesofdoublyperiodicellipticalcracks
first_indexed 2025-11-26T22:01:15Z
last_indexed 2025-11-26T22:01:15Z
_version_ 1850778146035466240
fulltext 25 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3: 25—32 Ц и т у в а н н я: Жбадинський І.Я. Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґрат- ками двоперіодичних еліптичних тріщин. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3. С. 25—32. https://doi.org/10.15407/ dopovidi2025.03.025 © Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2025. Стаття опублікована за умовами відкритого доступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) МЕХАНІКА MECHANICS https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.025 УДК 539.3 І.Я. Жбадинський, https://orcid.org/0000-0003-2525-0885 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, Україна E-mail: zhbadynskyi.igor@gmail.com Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних еліптичних тріщин Представлена академіком НАН України Р.М. Кушніром Розглянуто тривимірну задачу поширення гармонічної поздовжньої хвилі у пружному просторі з двопері- одичними масивами еліптичних тріщин за їх укладання в скінченний набір рівновіддалених паралельних квадратних ґраток. У частотній області отримано граничне інтегральне рівняння стосовно розкриття відлікової тріщини в унітарній комірці двоперіодичної структури за допомогою відповідної функції Гріна. Для стійкості числових розрахунків використано подання функції Гріна в експоненціально збіжній формі та здійснено регуляризацію цієї функції шляхом залучення замкнутих значень спеціальних ґраткових сум. Числове розв’язання рівняння виконано за допомогою методу відображень. Обчислення коефіцієнта про- ходження хвиль у метаматеріалі з поодинокою ґраткою тріщин забезпечено підстановкою граничноеле- ментних розв’язків у співвідношення апроксимації віддаленого від ґраткового масиву хвильового поля. Для випадку множинних ґраток цей коефіцієнт визначено на основі широкопросторової еквідистантної моделі хвильового перенесення. Ключові слова: періодичні еліптичні тріщини, коефіцієнт проходження хвиль, дифракція та інтерферен- ція хвиль, метод граничних інтегральних рівнянь, широкопросторова модель, метод відображень. Вступ. Практичне зацікавлення метаматеріалами зі штучно організованою регулярністю їх структури зумовлено досягненням унікальних хвильових якостей, наприклад здатності, крім локалізації хвильової енергії [1] і негативної рефракції [2], до вибіркового пропускан- ня чи блокування хвиль на частотному спектрі [3]. Збагачення цих проявів конструктивної чи деструктивної хвильової інтерференції забезпечується розглядом пружних середовищ внаслідок виникнення і перетворення у них різномодових хвиль (поздовжніх і поперечних). До нового класу належать метаматеріали, сформовані введенням у пружне середовище періодично розташованих тонкостінних неоднорідностей. На противагу об’ємистим [4], 26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 І.Я. Жбадинський тонкостінні розсіювачі, зокрема кругові [5] та прямокутні [6] тріщини, уможливлюють утворення плоских ґраток на шляху поширення хвиль, а відтак приводять до спеціаль- них ефектів хвильового відбиття і проникнення. У роботі [7] на прикладі еквідистантного каскаду з таких ґраток показано існування частот з нульовим коефіцієнтом проходження поздовжньої пружної хвилі. Мета роботи — поширити аналіз гармонічного за часом проникнення пружних хвиль на випадок наявності в метаматеріалі множини рівновіддалених площинних екранів із не- скінченними двоперіодичними системами еліптичних тріщин. Постановка задачі. Розглянемо тривимірний пружний метаматеріал, сформований розташуванням у безмежному просторі довільного, проте скінченного числа N рівно- віддалених з інтервалом h площин 3 0, , 2 , ..., ( 1)x h h N h  з двоперіодичними масивами еліптичних тріщин з однаковими великими a та малими b півосями. Геометричні центри областей ( , )nmS n m , які займають тріщини у кожній площині, розташовані з періодич- ністю d уздовж двох взаємно перпендикулярних осей, а малі та великі півосі еліпсів є па- ралельними до цих осей. Таке розташування забезпечує квадратний візерунок утворених ґраток з тріщин та триперіодичність загального масиву розсіювачів. Механічні властивості матеріалу простору визначаються густиною ρ, модулем зсуву μ та коефіцієнтом Пуассона ν. Перпендикулярно на каскад з ґраток тріщин у напрямку осі Ox3 набігає плоска поздовжня гармонічна у часі хвиля переміщень 3 0 1 3( ) exp( )inu u ik xx із заданими сталою амплітудою u0 та циклічною частотою k (тут і далі загальний експоненціальний часовий множник ви- лучається з розв’язку, 1 2(1 2 ) 2(1 ) ,k k k k        / /  — хвильові числа поздо- вжньої і поперечної мод, 1i   ). Вихідними для сформульованої задачі приймаються рівняння коливань пружного середовища у переміщеннях 1 2 3( , , )u u uu , які за відсутності масових сил мають вигляд [8] –2 –2 1 2( ) ( ) 0k k     u u u       , (1) де   — тривимірний набла-вектор. Крайові умови на поверхнях тріщин записуються як 33( ) 0, ( , )nmS n m   x x  . (2) У точному формулюванні розглянута задача передбачає задоволення крайових умов (2) на всій сукупності тріщин, включно з урахуванням індивідуальних взаємодій між тими, що розташовані в різних площинах. Спрощення аналізу досягається для відносно розрідженого каскаду та з використанням хвильових розподілів у віддаленій зоні. Широкопросторова апроксимація хвильових полів для еквідистантного каскаду розсіювачів. Виходитимемо з припущення, що відстань між сусідніми площинами розсіювачів є достатньо великою (h > 2a), щоб знехтувати впливом на взаємодію між цими площинами хвиль, відмінних від плоских поздовжніх з напрямком спадної хвилі. Також відстань між площинами повинна перевищувати довжину генерувальної хвилі (k1h > 1). Вказані умови забезпечують достатньо великий простір між ґратками тріщин, гарантуючи їх розділення у фізичному сенсі, тобто вплив решти площин на поле розсіяних хвиль біля кожної ґратки є мінімальним. Це спрощує аналіз, оскільки кожна площина розглядається 27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних... незалежно від інших [7]. У рамках такого наближення коефіцієнти відбиття RN та проходження TN хвиль на періодичній структурі, що складається з N ≥ 2 рівновіддалених площин з тріщинами, визначаються співвідношеннями [9] 21 12 21 1 11 22 22 , exp[ ( 1)]N N t t tR T ik h N t t t            . (3) Тут ( , 1, 2)jkt j k   — коефіцієнти матриці SN розмірності 2 × 2, яка отримується пе ре мно- женням матриці розсіяння S для одноплощинного масиву двоперіодичних тріщин стільки разів, скільки бар’єрів у каскаді, а саме: ...N N    S S S S . (4) У рівнянні (4) матриця розсіяння S виражається через коефіцієнти відбиття R1 та проходження T1 хвиль для одноплощинного масиву тріщин таким чином:         2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 exp exp1 exp exp T R ik h R ik h T R ik h ik h           S . (5) У частотному діапазоні 20 2k d   спостерігається дифракція лише поздовжніх хвиль. Щоб знайти R1 та T1-коефіцієнти у цьому діапазоні, використовуватимемо формули [10] 2 –1 2 –1 1 0 1 0(2 ) ( ) , 1 (2 ) ( ) S S R d u u dS T d u u dS     y yy y , (6) де Δu — стрибок переміщень на відліковій тріщині S = S00, введений як результат природ- них умов періодичності 1 2 1 2( , ) ( , ), ,nmu x nd x md u x x n m      . (7) Отже, задача поширення пружної поздовжньої хвилі у розглянутому метаматеріалі зводиться до знаходження функції стрибка переміщень (7) за набігу на тріщини в одноплощинному двоперіодичному масиві та підстановки цієї функції у співвідношення (3)—(6) для коефіцієнтів відбиття RN і проходження TN хвиль за розгляду N-площинного еквідистантного каскаду розсіювачів. Визначення стрибків динамічних переміщень на репрезентативній тріщині у ква- дратній ґратці. З урахуванням умов періодичності (7) та крайових умов на тріщинах (2) задача зводиться до граничного інтегрального рівняння (ГІР) з інтегруванням за областю розташування лише відлікового дефекту S відносно стрибка нормальних переміщень Δu у цій області: 2 2 33( ) ( ) ( , ( ), .in S k u R G dS S            yy x y x y x x (8) 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 І.Я. Жбадинський Тут ядро ( )R x y відповідає за індивідуальну реакцію відлікової тріщини на хвильове навантаження і має вигляд 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1( ) {(9 9 4 )exp( ) [9 9 ( 5 )R r ik r k r ik r ik r ik r k k r         2 2 3 2 2 2 4 –5 1 1 2 1 2 1 1(2 ) (2 ) ]exp( )} 4 ik k k r k k r ik r r    , (9) |x – y| — відстань між точкою джерела x(x1, x2) і точкою інтегрування y(y1, y2), а ядро G(x, y) — за взаємодію відлікової тріщини з усіма іншими у двоперіодичній ґратці. Це ядро інтерпретується як функція Гріна і має вигляд подвійно-нескінченної суми, експо- ненціально збіжний аналог якої можна записати у формі 2 1 1 5 1 0 exp(– ( ))1( , ) , ( )[1 exp( ( ))] j j j jj U t x yG t Y t U t U t dd              x y 2 2 1 1, exp 2j n x y x yt dt in d d                  2 2 – exp(– ( )) , ( ) , ( )[1 exp(– ( ))] jn jn j jn jn W t x yX t t dt W t W t d             (10) де ( , ) exp[ ( )] exp[– ( )]j j jY q t qU t qU t  , 22 2 4 2 2 22 1 1 1 0 2 1 ( )( , ) ( ) ( 2 ) 2 k J ptp t k d J pt t k k d p            2 2 2 ( )3 ,J ptt p  2 2 21 2 2 2 2 ( ) ( )( , ) 3 ,J pt J ptp t tk d t p p    2 2( ) ( ) ,j jU t t k d   22 2( ) 2 ( ) ,jn jW t t n k d    ( , ) exp[ ( )] exp[– ( )]jn jn jnX r t rW t rW t  , 22 2 4 2 2 2 2 42 1 1 2 1( ) ( 2 ) , 2 kt k d t k k d t            2 2 2 4 2 2( )t t k d t   . Ефективне числове розв’язування ГІР (8) повинно спиратися на відповідні регуляри- заційні процедури щодо інтегралів з гіперсингулярністю –3x y в ядрі R у точці джерела y = x, а також інтегралів з сингулярностями в ядрі G у точках t = kjd, що є коренями функцій Uj(t). Методику усунення сингулярностей ядра G детально описано в роботі [5]. 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних... Метод відображень ГІР задачі. Зважаючи на збіг характеристичних частин ГІР роз- глянутої задачі і задачі динамічного навантаження безмежного однорідного тіла з тріщи- ною, для побудови регулярного аналога рівняння (8) можна використати методику роботи [11], яка передбачає відображення еліптичної області S на кругову область S одиничного радіуса. Для цього виконуємо заміну змінних: 1 1 2 2 , , x a x b       1 1 2 2 , , y a y b       (11) де ξ(ξ1, ξ2), η(η1, η2) — нові змінні в області S . Після такої заміни ГІР (8) набуває вигляду 2 in2 33( ) ( , ) ( ) ( , )S ku R G dS                                  , S  , (12) У рівнянні (12) введено такі позначення для складних функцій: 1 1 2 2 ( ) ( ) ;x a x b u ab u        x  1 1 2 2 in in 33 33( ) ( ) ;x a x b        x  1 1 1 1 2 2 2 2 , , ( , ) ( , ) ;x a y a x b y b G G          x    y функція β(ξ, η) описує відношення відстаней між точками ξ і η та їх прообразами, тобто –1 2 2 2 2 2 2 ( )1( , 1 ,q a                  1 22 21 .bq a         У ГІР (12) виділяємо особливі інтеграли, перетворивши його тотожно [5]: 3 2 2 2 3 ( , (7 12 8 ) ( )( ) 8(1 )S S k uu dS dS                                 3 2 2 2 2 3 2 ( , (7 12 8 ) ( ,4(1 )( ) ( , 8(1 )S k u R dS k                                                   in 332 2 4(1 ) 4 (1 )( ) ( , ) ( ), S u G dS S k                       . (13) Тут перший інтеграл гіперсингулярний, а другий — слабосингулярний. Ці інтеграли мають форму своїх статичних аналогів, а їх регуляризація [5] реалізується через подання 2 2 1 2( ) 1 ( ),u        (14) де ( )   — нова невідома функція. Подання (14) відповідає фізичній інтерпретації функції Δu(x) як стрибка нормальних переміщень на тріщині та умові неперервності переміщень на контурі цієї тріщини. 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 І.Я. Жбадинський Рівняння (13) розв’язували числово, використовуючи метод колокацій у вузлових точ- ках граничноелементного покриття області S . Під час розрахунків область репрезента- тивної тріщини розбивали на 177 елементів з інтервалами 1/12 у радіальному та π/8 куто- вому напрямках. На кожному елементі шукану функцію приймали сталою. У такий спосіб отримали систему з 177 лінійних алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами для визначення значень функції  у вузлових точках області S . Аналіз одержаних результатів. Числові результати стосуються частотної поведінки модулів коефіцієнтів хвильового проходження 1T для одноплощинного масиву тріщин (рисунок, а) та 8T у еквідистантному каскаді, утвореному вісьмома квадратними плос- кими ґратками з однаковою відстанню h = 3b між ними (рисунок, б). Розмір унітарної ко- мірки квадратної ґратки з періодичних еліптичних тріщин вибирався як d × d, d = 3b. На обох панелях рисунку графіки стосуються кругових (b = a) та еліптичних (b = 0,7a) тріщин. Коефіцієнт Пуассона матеріалу ν приймався рівним 0,3. Для одноплощинного тріщинного бар’єру за низьких частот значення амплітуд коефі- цієнта хвильового проходження близькі до одиниці 1T  , що відповідає безперешкодно- му проникненню хвиль, і не залежать від форми тріщин (див. рисунок, а). Зі збільшенням частоти спостерігається зменшення коефіцієнта проходження хвиль, яке стрімкіше для масиву еліптичних тріщин. Здатність блокувати пружні хвилі фіксується для восьмиплощинного каскаду розсі- ювачів і продемонстрована частотними смугами, за яких спостерігається відсутність хви- льового проникнення, коли 8 0T  (див. рисунок, б). Частотна смуга блокування хвиль є значно ширшою для еліптичних тріщин порівняно з круговими. Висновки. Поєднуючи методи широкопросторової апроксимації, відображень та ГІР, можна отримати ефективний аналітично-числовий інструментарій для аналізу поши- рення гармонічних хвиль у пружних метаматеріалах з каскадними системами періодич- них тріщин зі змінною кривиною контуру. Такі метаматеріали дають змогу маніпулювати шириною спектра частот хвильового блокування вибором форми розсіювачів у ґратковій |T| 0,8 0,6 0,4 0,2 |T8| 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,25 0,50 k2d/(2π) b = 0,7a b = 0,7a d = 3b b = a b = aN = 8 b 0,75 1,00 0 0,25 0,50 0,75 1,00 a d d u3 in а б Залежності модуля коефіцієнта проходження хвиль від безрозмірного хвильового числа для: а — одноплощинного, б — восьмиплощинного тріщинного бар’єру з дво- періодичних еліптичних (b = 0,7a) та кругових (b = a) тріщин з міжґратковою відстан- ню (d = 3b) 31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3 Визначення коефіцієнта проходження пружних хвиль у метаматеріалі з ґратками двоперіодичних... структурі. Збільшення кількості ґраток у метаматеріалі призводить до розширення сму- ги блокування хвиль, яка для еліптичних тріщин є стабільно ширшою, ніж для кругових. Отримані результати щодо коефіцієнта проходження хвиль застосовні в технологіях ди- зайну і продукування тривимірних метаматеріалів та фононних кристалів з контрольова- ною хвилепровідністю. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Lee G., Park J., Choi W., Ji B., Kim M., Rho J. Multiband elastic wave energy localization for highly amplified piezoelectric energy harvesting using trampoline metamaterials. Mech. Syst. Signal Process. 2023. 200. 110593. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2023.110593 2. Bonnet G., Monchiet V. Negative refraction of elastic waves on a metamaterial with anisotropic local resonance. J. Mech. Phys. Solids. 2022. 169. 105060. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2022.105060 3. Tian Y., Shen Y. Selective guided wave mode transmission enabled by elastic metamaterials. J. Sound Vib. 2020. 485. 115566. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2020.115566 4. Isakari H., Niino K., Yoshikawa H., Nishimura N. Calderon’s preconditioning for periodic fast multipole method for elastodynamics in 3D. Int. J. Numer. Meth. Eng. 2012. 90, № 4. P. 484—505. https://doi.org/10.1002/ nme.3332 5. Mykhas’kiv V.V., Zhbadynskyi I.Ya., Zhang Ch. On propagation of time-harmonic elastic waves through a double-periodic array of penny-shaped cracks. Eur. J. Mech. A  /  Solids. 2019. 73. P. 306—317. https://doi. org/10.1016/j.euromechsol.2018.09.009 6. Remizov M.Yu., Sumbatyan M.A. Three-dimensional one-mode penetration of elastic waves through a doubly periodic array of cracks. Math. Mech. Solids. 2017. 23. P. 636—650. https://doi.org/10.1177/1081286516684902 7. Zhbadynskyi I.Ya., Mykhas’kiv V.V. Acoustic filtering properties of 3D elastic metamaterials structured by crack-like inclusions. Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED): Proceedings of the 23rd International Seminar/Workshop (Tbilisi, 24—27 Sept. 2018). Tbilisi, 2018. Р. 145— 148. https://doi.org/10.1109/DIPED.2018.8543137 8. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. думка, 1981. 284 с. 9. Linton C.M. Lattice sums for the Helmholtz equation. SIAM Rev. 2010. 52, №  4. P. 630—674. https://doi. org/10.1137/09075130X 10. Sotiropoulos D.A., Achenbach J.D. Ultrasonic reflection by a planar distribution of cracks. J. Nondestruct. Eval. 1988. 7. P. 123—129. https://doi.org/10.1007/BF00565997 11. Хай М.В., Михаськів В.В., Галего Р., Стасюк Б.М. Симетрична задача про усталену за часом взаємодію еліптичних тріщин у безмежному тілі. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2000. 43, № 2. С. 112—118. Надійшла до редакції 08.04.2025 REFERENCES 1. Lee, G., Park, J., Choi, W., Ji, B., Kim, M. & Rho, J. (2023). Multiband elastic wave energy localization for highly amplified piezoelectric energy harvesting using trampoline metamaterials. Mech. Syst. Signal Process., 200, 110593. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2023.110593 2. Bonnet, G. & Monchiet, V. (2022). Negative refraction of elastic waves on a metamaterial with anisotropic local resonance. J. Mech. Phys. Solids, 169, 105060. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2022.105060 3. Tian, Y. & Shen, Y. (2020). Selective guided wave mode transmission enabled by elastic metamaterials. J. Sound Vib., 485, 115566. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2020.115566 4. Isakari, H., Niino, K., Yoshikawa, H. & Nishimura, N. (2012). Calderon’s preconditioning for periodic fast multipole method for elastodynamics in 3D. Int. J. Numer. Meth. Eng., 90, No.  4, pp. 484-505. https://doi. org/10.1002/nme.3332 5. Mykhas’kiv, V. V., Zhbadynskyi, I. Ya. & Zhang, Ch. (2019). On propagation of time-harmonic elastic waves through a double-periodic array of penny-shaped cracks. Eur. J. Mech. A / Solids, 73, pp. 306-317. https://doi. org/10.1016/j.euromechsol.2018.09.009 32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3 І.Я. Жбадинський 6. Remizov, M. Yu. & Sumbatyan, M. A. (2017). Three-dimensional one-mode penetration of elastic waves through a doubly periodic array of cracks. Math. Mech. Solids, 23, pp. 636-650. https://doi. org/10.1177/1081286516684902 7. Zhbadynskyi, I. Y. & Mykhas’kiv, V. V. (2018, September). Acoustic filtering properties of 3D elastic metama- terials structured by crack-like inclusions. Proceedings of the 23rd International Seminar/Workshop Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED) (pp. 145-148). Tbilisi. https:// doi.org/10.1109/DIPED.2018.8543137 8. Hrinchenko, V.T., & Meleshko, V.V. (1981). Harmonic oscillations and waves in elastic solids. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian). 9. Linton, C. M. (2010). Lattice sums for the Helmholtz equation. SIAM Rev., 52, No. 4, pp. 630-674. https://doi. org/10.1137/09075130X 10. Sotiropoulos, D. A. & Achenbach, J. D. (1988). Ultrasonic reflection by a planar distribution of cracks. J. Non- destruct. Eval., 7, pp. 123-129. https://doi.org/10.1007/BF00565997 11. Khaj, M. V., Mykhas’kiv, V. V., Galego, R. & Stasyuk, B. M. (2000). Symmetric problem on Time-harmonic in- teraction of elliptic cracks in an infinite solid. Matematychni Metody ta Fizyko-Mekhanichni Polya, 43, No. 2, pp. 112-118 (in Ukrainian). Received 08.04.2025 I.Ya. Zhbadynskyi, https://orcid.org/0000-0003-2525-0885 Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of the NAS of Ukraine, Lviv, Ukraine E-mail: zhbadynskyi.igor@gmail.com DETERMINATION OF ELASTIC WAVE TRANSMISSION COEFFICIENT IN A METAMATERIAL WITH LATTICES OF DOUBLY-PERIODIC ELLIPTICAL CRACKS The three-dimensional problem of propagation of harmonic longitudinal waves in an elastic solid containing double-periodic arrays of elliptical cracks located in a finite set of equidistant parallel square lattices is considered. In the frequency domain, a boundary integral equation for the reference crack opening in the unit cell of the double-periodic structure is obtained using the appropriate Green’s function. For the stability of numerical calculations, the Green’s function is represented in an exponentially convergent form, and its regularization is achieved by employing closed-form expressions for special lattice sums. The numerical solution of the equation is carried out using the mapping method. The wave transmission coefficient in a metamaterial with a single crack in the lattice is calculated by substituting the boundary element solutions into approximation relations for the wave field distant from the lattice. In the case of multiple lattices, this coefficient is determined based on a wide-space equidistant model of wave propagation. Keywords: periodic elliptical cracks, wave transmission coefficient, wave diffraction and interference, boundary integral equation method, wide-space model, mapping method.

Схожі ресурси