Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження
Розглянуто вироджене рівняння типу Колмогорова другого порядку з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження. Коефіцієнти рівняння є диференційовними, а їх ріст залежить від деякої зростальної і диференційовної функції. Для такого рівняння побудовано фундаментальний розв’язок...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2025 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206537 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження / І.П. Мединський, Г.С. Пасічник // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859635466824843264 |
|---|---|
| author | Мединський, І.П. Пасічник, Г.С. |
| author_facet | Мединський, І.П. Пасічник, Г.С. |
| citation_txt | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження / І.П. Мединський, Г.С. Пасічник // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто вироджене рівняння типу Колмогорова другого порядку з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження. Коефіцієнти рівняння є диференційовними, а їх ріст залежить від деякої зростальної і диференційовної функції. Для такого рівняння побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та одержано оцінки його похідних за основною групою змінних. Отримані результати можуть бути використані для вивчення розв’язності задачі Коші розглядуваного рівняння та побудови і дослідження фундаментального розв’язку задачі Коші для рівняння з коефіцієнтами, що залежать від усіх груп просторових змінних та зростають при |x|→∞.
The class of equations considered in the work is a generalization of the well-known equation diffusion with inertia of A.M. Kolmogorov. These equations are degenerate differential equations with partial derivatives of the parabolic type. They contain only lower derivatives in the sense of the theory of parabolic equations for some of the spatial variables. Such equations belong to the class of ultraparabolic or elliptic-parabolic equations. These equations and their various generalizations have been studied by many authors. Linear and nonlinear ultraparabolic equations arise in some problems of probability theory, mathematical modeling of options, Brownian motion theory, convective diffusion theory, binary electrolytes theory, modeling of diffusion processes with inertia and electron scattering, and other branches of science. In addition to the Kolmogorov structure, the equations under consideration have another peculiarity: the coefficients of the group of junior terms grow indefinitely. A degenerate second-order Kolmogorov equation with unbounded coefficients independent of the degeneracy variables is considered. The coefficients of the equation are differentiable, and their growth depends on some increasing and differentiable function. For such an equation, a fundamental solution of the Cauchy problem has been constructed and estimates of its derivatives with respect to the main group of variables are obtained. The obtained results can be used in studying the solvability of the Cauchy problem for the equation under consideration, as well as in constructing and investigating the fundamental solution of the Cauchy problem for an equation with coefficients depending on all groups of spatial variables and growing at |x|→∞.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:15:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
3
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3: 3—16
Ц и т у в а н н я: Мединський І.П., Пасічник Г.С. Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Кол-
могорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження. Допов. Нац. акад. наук Укр.
2025. № 3. С. 3—16. https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.003
© Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2025. Стаття опублікована за умовами відкритого доступу за
ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)
https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.003
УДК 517.956.4
І.П. Мединський1,2, https://orcid.org/0000-0002-0651-4198
Г.С. Пасічник3, https://orcid.org/0000-0002-1759-5042
1 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, Україна
2 Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, Україна
3 Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича, Чернівці, Україна
Е-mail: h.pasichnyk@chnu.edu.ua, ihor.p.medynskyi@lpnu.ua
Фундаментальний розв’язок задачі Коші
для рівняння типу Колмогорова з необмеженими
коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження
Представлена членом-кореспондентом НАН України В.О. Пелихом
Розглянуто вироджене рівняння типу Колмогорова другого порядку з необмеженими коефіцієнтами, які не
залежать від змінних виродження. Коефіцієнти рівняння є диференційовними, а їх ріст залежить від деякої
зростальної і диференційовної функції. Для такого рівняння побудовано фундаментальний розв’язок задачі
Коші та одержано оцінки його похідних за основною групою змінних. Отримані результати можуть бути
використані для вивчення розв’язності задачі Коші розглядуваного рівняння та побудови і дослідження фун-
даментального розв’язку задачі Коші для рівняння з коефіцієнтами, що залежать від усіх груп просторових
змінних та зростають при | |x .
Ключові слова: рівняння типу Колмогорова, зростальний коефіцієнт, фундаментальний розв’язок задачі
Коші, метод Леві.
Вступ. Клас рівнянь, які розглядаються у статті, є узагальненням відомого рівняння дифу-
зії з інерцією А.М. Колмогорова [1] і належать до підкласу 22E класу 2E за термінологією
з праці [2]. Ці рівняння є виродженими диференціальними рівняннями із частинними по-
хідними параболічного типу. Вони містять за частиною просторових змінних лише молод-
ші похідні в сенсі теорії параболічних рівнянь. Такі рівняння належать до класу ультрапа-
раболічних або еліптико-параболічних рівнянь. Ці рівняння і їх різноманітні узагальнення
вивчалися багатьма дослідниками. Лінійні і нелінійні ультрапараболічні рівняння виника-
ють у деяких задачах теорії ймовірностей, математичного моделювання опціонів, у теорії
броунівського руху, теорії конвективної дифузії, теорії бінарних електролітів, під час мо-
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3
І.П. Мединський, Г.С. Пасічник
делювання процесів дифузії з інерцією та розсіювання електронів, у віковому наближенні
енергії сповільнених електронів, у біології, економіці та інших галузях науки [2, 3—11].
Крім структури Колмогорова розглянуті рівняння мають ще одну особливість: коефі-
цієнти групи молодших членів при | |x необмежено зростають.
У праці [12] С.Д. Ейдельманом та Г.П. Малицькою означено новий клас рівнянь — клас
рівнянь дифузії з інерцією, коефіцієнти яких зростають. Але цей клас виявився вужчим,
ніж клас 22E . Що стосується вироджених параболічних рівнянь другого порядку з коефі-
цієнтами, які є сталими в групі старших і зростають у групі молодших членів, але не мають
структури Колмогорова, то основні результати наведено в працях [13, 14].
Повнота результатів про розв’язки задачі Коші залежить від властивостей відповідних
фундаментальних розв’язків задачі Коші (ФРЗК).
Мета. У цій статті для виродженого параболічного рівняння з двома групами просторових
змінних будується ФРЗК і встановлюються оцінки ФРЗК та його похідних за основними змін-
ними. Коефіцієнти рівняння припускаються достатньо гладкими і не залежними від змінних
виродження. Крім того, вони зростають на нескінченності за основною групою змінних. Для
побудови ФРЗК використано метод Леві та метод введення додаткової просторової змінної.
Позначення, припущення та допоміжні відомості. Нехай 1n , 2n — задані натураль-
ні числа такі, що 2 1n n ; 1 2:n n n ; 1 1 2 2:M n m n m , де 1 : 1/ 2m , 2 : 3 / 2m . Вва жа ти ме мо,
що просторова змінна nx складається з двох груп змінних: основної групи 1
1
nx i
групи змінних виродження 2
2
nx , де 1: ( , , )
ll l lnx x x , {1, 2}l , так, що 1 2: ( , )x x x .
Від по відно до цього мультиіндекс nk записуватимемо у вигляді 1 2: ( , )k k k , де
1
1
nk , 2
2
nk . Використовуватимемо ще такі позначення: : {( , ) | , }n
H t x t H x ,
11
1 1: {( , ) | , }n
H t x t H x , якщо H ; : { | | | }n
RB x x R , 11
1 1: { | | | }n
RB x x R ,
0R ; (·, , ·) : (·, , ·) (·, , ·)z
x f x f x f z ;
( )
(·, , ·) : (·, , ·)
pp
p
z z
xx f x f x , {1, 2}p , де (1)
1 2: ( , )z z x ,
(2)
1 2: ( , )z x z ; 1 1 2( ) : ( ( ), ( ))X t X t X t , 1 1( )X t x , 2 2 1( )X t x tx ,
21 11 1: ( , , )nx x x .
Позначимо через S диференціальний вираз вигляду
2
21
1
j
n
t j x
j
x
.
Розглянемо рівняння вигляду
1 1
1 1 11 1 1 0 1
, 1 1
( , , , ) : ( , ) ( , ) ( , )( )
j s j
n n
t x js x x j x
j s j
Lu t x S a t x a t x a t x
(0, ]( , ) 0, .( , ) Tu t x t x (1)
Припустимо, що коефіцієнти jsa , ja i 0a є комплекснозначними функціями в 1
[0, ]T , а
рівняння (1) є в [0, ]T дисипативним ультрапараболічним рівнянням типу Колмогорова,
тобто iснує неперервна функцiя 1: [1, ),nD яка задовольняє такi умови:
1) 1( )D x при 1| |x ;
2) функцiї 1 1( , ) : ( , )js jsb t x a t x , 1{ , } {1, ..., }j s n , –1
1 1 1( , ) : ( , ) ( )j jb t x a t x D x , 1{1, ..., }j n ,
–2
0 1 0 1 1( , ) : ( , ) ( )b t x a t x D x , 1
1 [0, ]( , ) Tt x , обмеженi;
3) для рiвняння
1 1
1 1 1 1 1
2
1 1 0 1
, 1 1
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , ) 0( )( )
j s j n n
n n
js x x j x x x
j s j
S b t x b t x i b t x i v t x
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами...
з обмеженими коефiцiєнтами i додатковою просторовою змiнною 1nx виконується умо-
ва параболічності
1
11 11 10 : ( , ..., ) :n
n
1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 1
, 1 1
Re ( , ) ( , ) ( , ) | | .( ) ( )
n n
js j s j j
j s j
b t x b t x b t x
(2)
Функцiя D при цьому називається характеристикою дисипацiї рівняння (1).
Припустимо, що виконуються такі умови на коефіцієнти рівняння (1).
A1. Рівняння (1) є дисипативним ультрапараболічним рівнянням типу Колмогорова в
[0, ]T з характеристикою дисипації D .
A2. Iснують неперервнi похiднi 1
1
k
jsx a , 1{ , } {1, ..., }j s n , 1
1
k
jx a , 1{1, ..., }j n , 1
0
k
x a ,
1| | 2k , для яких справджуються оцiнки 1 1
1
| |(1– )
1 1| ( , ) | ( ( )) ,k k
jsx a t x C D x 1
1 1| ( , ) |k
jx a t x
11 | |(1– )
1( ( )) ,kC D x 1 1
1
2 | |(1– )
0 1 1| ( , ) | ( ( )) ,k k
x a t x C D x [0, ]t T , 1
1
nx , де 0C , (0,1) ;
функції 1( , )jsb t x , 1{ , } {1, ..., }j s n , 1( , )jb t x , 1{1, ..., }j n , 0 1( , )b t x як функції t є неперервни-
ми рiвномiрно щодо 1
1
nx .
A3. Похiднi 1
1
k
jsx a , { , } {1, ..., }j s n , 1
1
k
jx a , {1, ..., }j n , 1
1 0
k
x a , 1| | 2k , задовольняють ло-
кальну умову Гельдера за x з показником (0,1) рiвномiрно щодо [0, ]t T , тобто
1 1
1 1
1
1 1 1 1 10 0 { , } [0, ]: | ( , ) | | | ,z k
R x xR C x z B t T a t x C x z
де символ a позначає коефіцієнти рівняння jsa , ja та 0a .
Нехай 1: [1, )ng — функцiя, яка пов’язана з характеристикою дисипацiї D умовою
A4. 1( )g x при 1| |x ; iснують локально неперервнi за Гельдером з показником
з умови A3 похiднi 1
1
k
x g , 10 | | 4k , якi пов’язанi з характеристикою дисипацiї D спів-
відношеннями
1 1 1
1
| |(1– )
1 1 1 1| ( ) | ( ( )) , , 0 | | 4,k k n
x g x C D x x k
де 0C ; (0,1) ; — досить мале додатне число, вибором якого в кожнiй конкретнiй
ситуацiї будемо розпоряджатись.
Використовуватимемо такі оцінні функції:
1–2 2( , ) : exp{– | | }, 0, , {1, 2};pnp p
c p p pE t z ct z t z p
1–2 2( , ) : exp{– | | }, 0, , {1, 2};pnp p
c p p pE t z ct z t z p
1 2
1 1 2 2( , , ) : ( , ) ( , ( ) ), 0, { , } ;n
c c cE t x E t x E t X t t x
–1 2 –3 –1 2
1 1 2 1 1 2 .( , , ) : exp{– ((4 ) | | 3 | 2 ( ' ' ) | )}, 0, { , } n
cF t x c t x t x t x t x
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3
І.П. Мединський, Г.С. Пасічник
Ці функції згідно з [2] мають такі властивості:
1 2 2 1( , , ) ( , , ) ( , , ), 0, { , } , 0 ,n
c c cE t x F t x E t x t x c c c (3)
– ( , , ) ,
n
M
ct E t x d C
(4)
(0,1) { , , } , 0 { , } :nC t t T x
– –
(1– )/4( , , ) ( , , ) ( )( ) ( ) ( , , ),( )
n
M M
c c cE t x y E y t dy C t E t x
(5)
– –( , , ) ( , , ) ( )( ) ( ) ( , , ), 0.( )
n
M M
c c cF t x y F y t dy C t F t x c
(6)
Зазначимо, що справджуються ще такі нерівності:
( , ( ), ) ( , , ), 0 , { , } ,n
c cE X t E t x t x (7)
1
1 2 /2 –2 1 1( , ( , ( )), ) ( , , ) ( , ),c c cE y X t E t x E y x (8)
0 , { , } .nt x
З нерівності (8) і урахуванням того, що t при [( ) / 2, ]t t , одержуємо
1
1 2 /2 –2 1 1( , ( , ( )), ) ( , , ) ( , ),c c cE y X t E t x E t y x
1
1( ) / 2 , { , } , .nnt t x y (9)
Властивості параметриксу. Опишемо спочатку головний член формули для ФРЗК.
Для цього розглянемо рівняння
1 1
1 1 1 1 1
2
1 1 0 1 1
, 1 1
( , ) ( , ) – ( , )(– ) ( , , ) 0,( )( )
j s j n n
n n
js x x j x x x n
j s j
S b t y b t y i b t y i v t x x
1 (0, ]( , , ) ,n Tt x x (10)
де 1y — фіксована точка простору 1n . Коефіцієнти рівняння (10) є симетричними функ-
ціями, які залежать від t i параметра 1y . За зроблених припущень на коефіцієнти рівнян-
ня так само, як і в [2], доводиться існування ФРЗК 0 1 1 1( , , , , , )n nG t x x y , 0 t T ,
{ , } nx , 1 1{ , }n nx , 1
1
ny , рівняння (10), для якого справджуються оцінки
1 1
11
– – –| |/2
0 1 1 1| ( , , , , , ) | ( ) ( , , )n k n
nn
k M M kk
x n n kk cx G t x x y C t E t x
12 –1
1 1 1 1 1exp {– | – | ( – ) } 0 , { , } , { , } , ,, nn
n n n nc x t t T x x y (11)
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами...
де nk , 1
1nk ,
1
0
nkkC
, 0c — деякi сталi, 1 1 2 2: | | | |kM k m k m ;
1 1 1: | |kM k m при
1( , 0)k k . При цьому, зокрема, похiдна 0 1( , , , , , )k
xG t x z y , z z iz , як функцiя аргу-
менту –1/2( )t z за фiксованих , , ,t x i 1y є цiлою функцiєю, для якої справджуються
оцінки
– – 2 –1 2 –1
0 1| ( , , , , , ) | ( ) ( , , )exp | | ( ) | | ( ) ,{ }kM Mk
x k cG t x z y C t E t x c z t c z t
1
10 , { , } , , ,nnt T x z y (12)
де 0kC , 0c , 0c .
Нехай 0 1 0 1
ˆ ( , ; , ; ; ) : [ ( , ; , ; ; )]zG t x y F G t x z y . Тодi функція 0 1
ˆ ( , ; , ; ; )G t x y ,
0 t T , { , } nx , 1
1
ny , , є ФРЗК рівняння
2 1 1
2 1 1 1
2
1 1 1 0 1
1 , 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0( )
j j s j
n n n
t j x js x x j x
j j s j
x b t y b t y b t y v t x
для довiльно фiксованих точок i 1
1 .ny Поклавши 1
ˆ( , ; , ; ) :G t x y
0 1 1
ˆ ( , ; , ; ( ); )G t x D y y , з оцiнок (12) на пiдставi леми про перетворення Фур’є з [2] одер-
жуємо
– – 2
1 1
ˆ( , ; , ; ) ( ) ( , , )exp{ ( )( ( )) }| | kM Mk
x k cG t x y C t E t x c t D y ,
1
10 , { , } , ,nnt T x y (13)
де nk , 0kC , 0c . При цьому функція
–1
1 ( ) 0 1 1
ˆ( , ; , ; ) [ ( , , , )]( , , , , )X tG t x y F V t y t x y
є ФРЗК для рівняння
1 (0, ]( , , , ) ( , ) 0, ( , ) ,t x TL t y v t x t x (14)
для кожної фiксованої точки 1
1
ny , а 0 1( , , , )V t y є розв’язком рівняння
1
1 1 2 1 1 2 1
, 1
( , ) [ ( ) ] [ ( ) ][ ( ( )( )
n
t js j j j j j s s s s s
j s
a t y t t
1
1 1 2 1 0 1 0 1
1
( , ) [ ( ) ] ( , ) ( , , , ) 0,( ) )]
n
j j j j j j
j
i a t y t a t y V t y
(15)
де
2
2 1
1, {1, ..., },
:
0, { 1, ..., },j
j n
j n n
2
2 1
0, {1, ..., },
:
1, { 1, ..., },j
j n
j n n
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3
І.П. Мединський, Г.С. Пасічник
i правильна оцінка
2 2 2 2 3
0 1 1 1 1 1 1 2 1 2| ( , , , ) | exp{( | | | | )( ) ( | | | | )( )V t i y C c t c t
12
1 1( ( )) ( )}, 0 , { , } , ,nnD y t t T y (16)
де 0C , 1 0 , 1 0c , 0.
Наведемо деякi властивостi ФРЗК для рівняння (14) Ĝ , в основі отримання повного
аналітичного опису якого лежить оцінка (16).
Твердження 1. Нехай коефiцiєнти рівняння (14) задовольняють умови A1 i A2. Тодi
справджуються оцiнки
1 1
1
–( | |(1 )/2) 2
1 1
ˆ( , ; , ; ) ( ) ( , , )exp{ ( )( ( )) },| | kl M M lk
x cy G t x y C t E t x c t D y
1 1
1 1 10 , { , } , , , , | | 2.n nn nt T x y k l l (17)
Доведення. Оцiнимо похiднi вiд Ĝ за 1y . Згідно з вищевикладеним досить одержати
оцінку похідних від 0 1( , , , )V t y , 0 t T , n , 1
1
ny .
Диференцiюючи рiвнiсть (15) за 1 jy , 1{1, ..., }j n , одержуємо
1
1 10 1 0 1 1 1 2
, 1
( , , , ) ( , ; ; ) ( , ) [ ( ) ]( (
j j
t n
y y js j j j
j s
V t y V t y a y
1
11 1 2 1 1 1 2 1
1
[ ( ) ] ( , ) [ ( ) ])( ) ( )
j
n
j j s s s s s y j j j j j j
j
i a y
1 0 1 0 1( , ) ( , , , ) .)
jy a y V y d
Використавши умову A2, оцiнку (16), нерівності 3 3( ) / 4 ( )t t 3 3( ) ( )t
та нерівність
0| | exp{ | | } exp{ | | }, ,k p p
kr c r C c r r (18)
в якiй 0k , 0p , 0c , 00 c c , 0kC , одержимо
1
2 2 2 2 3
0 1 1 1 1 1 2 2 1 2( , ; ; ) exp ( | | | | )( ) ( | | | | )( ) {
jy V t y C c t c t
2 1– 2– 3– –(1– )/2
1 1 1 1( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )}( )
t
D y t D y D y D y d C t
2 2 2 2 3 1 2
1 1 1 1 2 2 1 2 1exp ( | | | | )( ) ( | | | | )( ) ( ( )) ( ) ,{ }c t c t D y t
1
10 , , : ,n nt T y i
де 1 0c , 10 , 2 1 / 4 . Аналогічно, диференцiюючи співвідношення (15) за 1 jy , а
потім за 1ky , 1{1, ..., }k n , дістаємо оцінку
1 1
2
0 1| ( , , , ) |
j ky y V t y , що дає можливість одержа-
ти повний аналiтичний опис для похiдних вiд функції Ĝ .
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами...
Зауваження 1. З оцiнок (18) випливають оцінки
1 1
1
– – 2
1 1
ˆ( , ; , ; ) ( ) ( , , ) exp{ ( )( ( )) },| | kM Mk
cx G t x x C t E t x c t D x
10 , { , } , | | 2.nt T x k (19)
Твердження 2. Нехай коефiцiєнти рівняння (14) задовольняють умови A1 — A3. Тоді
справджуються оцінки
1
1 10 0 { , } :RR C y z B
1 1 0 1
1 1
–( | |(1 )/2)
1 1 1
ˆ| ( , ; , ; ) | | ( ) ( , , ),| kz l M M lk
x cy y G t x y C y z t E t x
1
1 10 , { , } , , , | | 2,nn nt T x k l l (20)
де 0C , 0c , (0,1] з умови A3, (0,1) з умови A2.
Доведення. Оцінка різниці 1 1
1 1 0 1( , , , )z l
y y V t y , 1
1 1{ , } Ry z B , 0 t T , n , про-
водиться так само, як для 1
1 0 1( , , , )l
y V t y , з використанням умови A3, оцiнок (16), 1
1 0 || l
y V
та обмеженості в 1
RB коефіцієнтів рівняння.
Твердження 3. Справджується рівність
1
1 0 1 1
ˆ( , ; , ; ) exp ( , ) , 0 , , .{ }
n
t
nnG t x y d a y d t T x y
(21)
Зауваження 2. З оцiнок (21) випливає, що для довільних {0}nk , 0 t T і nx ,
1
1
ny справджуються рівності
1
ˆ( , ; , ; ) 0
n
k
x G t x y d
і
1
ˆlim ( , ; , ; ) 1
nt
G t x y d
рівномірно щодо nx , а якщо 0 0a , то
1
1 1
ˆ( , ; , ; ) 1, 0 , { , } , .
n
nnG t x y d t T x y
Твердження 4. Нехай коефiцiєнти рівняння (14) задовольняють умови A1 і A2, а непе-
рервна функція ( , ; , )t x , 0 ,t T { , } nx , задовольняє умови
– –1 /2| ( , ; , ) | ( ) ( , , ), 0 , { , } ;M n
ct x C t E t x t T x (22)
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3
І.П. Мединський, Г.С. Пасічник
1 2 ( )
1 1 10 (0,1), , { , } :
3
p p
RR x z B
21 – –1 ( )| ( , ; , ) | | | ( ) ( , , ) ( , , ) ,( )pp
p p
p
z M m p
p p c cx t x C x z t F t x F t z
1 1 2 2
2 1 2 10 , , , , {1, 2}.: :
3
nt T p
(23)
Тоді функція
1 ,ˆ( , ; , ) ( , ; , , ) ( , ; , ) , 0 , { , }
n
t
nw t x d G t x y x y dy t T x
має неперервні похідні 1
1
k
x w , 1| | 2k , і Sw , для яких правильні формули
1 1 1
ˆ( , ; , ) ( , ; , ; ) ( , ; , ) ,
j j
n
t
x xw t x d G t x y x y dy
1
1 1 1 1
2 2
1
ˆ( , ; , ) ( , ; , ; ) ( , ; , )
j l j l
n
t
x x x xw t x d G t x y x y dy
1 1
1
2 ( )
1
ˆ( , ; , ; ) ( , ; , )
j l
n
t
X t
x x y
t
d G t x y x y dy
1 1
1
2
1
ˆ( , ; , ; ) ( , ( ); , ) ,( )
j l
n
t
x x
t
G t x y x dy X t d
1
1
ˆ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , ; ) ( , ; , )
n
t
Sw t x t x d SG t x y x y dy
1
( – )
1
ˆ( , ; , ; ) ( , ; , )
n
t
X t
y
t
d SG t x y x y dy
1
1
ˆ( , ; , ; ) ( , ( ); , ) ,( )
n
t
t
SG t x y x dy X t d
10 , { , } , : ( ) / 2.nt T x t t t
Доведення проводиться за методикою з праці [2]. Зазначимо лише, що для /2Rx B , де
R — будь-яке фіксоване додатне число, і Ry B приріст
1 2
1 2
( , ( – ))( – ) ( – ) – –1
( , ( – )( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , ) ( )| | | | | |y X tX t X t M
y yy X ty y y C
1 1
1 2 1
1 1 1 2| | ( ) ( , ( ), ) ( , ( , ( )), )( ( )m
c cx y F X t F y X t
2 2
1 2 2
2 2 1 2| ( ) | ( ) ( , , ) ( , ( , ( )), ) ,( ))m
c cX t y F y F y X t
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами...
а для n
Ry B
( – ) ( , ; , ) | ( , ; , | | ( , ( ); , || |X t
y y y X t
– –1 /2( ) ( , , ) ( , , )( )M
c cC E y E t x
та
–1 –3 2 – 2
1( , , ) exp{ (( ) ( ) )( / 2) } exp{ ( ) },q
cE t x y c t t R c t R
/20 , , ,n
R Rt T x B y B
де 3q при 1t i 1q при 1t . Для обґрунтування формули для ˆSG треба ско-
ристатись рівністю
1 1
1 1 1 1 11 1 1 0 1 1
, 1 1
ˆ ˆ( , ; , ; ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ; , ; ) ,( ) |
j s j
n n
js x x j x y x
j s j
SG t x x a t x a t x a t x G t x y
.0 , { , } nt T x
Побудова і оцінки ФРЗК. Основним результатом статті є така теорема.
Теорема. Нехай для рівняння (1) виконуються умови A1—A3. Тодi для нього iснує ФРЗК
( , ; , ),G t x 0 ,t T { , } ,nx для якого справджуються оцiнки
1 1
1
( , ; , ) ( ) ( , , ),kM Mk
cx G t x C t E t x
(24)
i
1
11 1
1
| |
– – (1– )
1 1 1
0
( , ; , ) ( ) ( ( )) ( , , )exp{ ( ) ( )},k
k
M M jmk j
cx
j
G t x C t D x E t x g x g
(25)
10 , { , } , | | 2,nt T x k
де C i ñ — додатнi сталi, а g — будь-яка функцiя, що задовольняє умову A4.
Доведення. Згiдно з методом Левi ФРЗК для рівняння (1) шукаємо у виглядi
1 1
ˆ ˆ( , ; , ) ( , ; , ; ) ( , ; , ; ) ( , ; , ) ,
n
t
G t x G t x x d G t x y x y dy
0 , { , } ,nt T x (25)
де [0, ](·, ·; , ) : T — функція, яку пiдбираємо так, щоб функція [0, ](·, ·; , ) : TG ,
яка визначається формулою (25), була розв’язком рівняння (1) для будь-якої фiксованої
точки [0, )( , ) T .
Припускаючи, що функцiя є неперервною i для неї справджуються оцiнки (22) та
(23), застосовуючи диференцiальний вираз L з (1) до функцiї (25) i припущення щодо ,
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3
І.П. Мединський, Г.С. Пасічник
на пiдставi твердження 4 одержуємо для iнтегральне рiвняння
( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , ) , 0 , { , } ,
n
t
nt x K t x d K t x y y dy t T x
де ядро K визначається формулою
1
1 1 1 1 1 11
, 1
( , ; , ) : ( , )( ( )
j s j s j s
n
js x y y x y y
j s
K t x a t x
1
1 1 11 1
1
ˆ( , ) ( , ; , ; ) .) |
j
n
j y y x
j
a t x G t x y
(26)
Використовуючи умову A1 на коефiцiєнти рівняння, оцiнки (17) та нерiвності (3) і (18),
одержуємо для ядра K оцінки
1
– –1 /2 , ,( , ; , ) ( ) ( , ), 0 , { , }M n
cK t x C t F t x t T x
де 0C , 10 c c , а c — стала з оцінок (17). Отже, для ядра K виконуються умови леми
1.10 з [2], на підставі якої для cправджується оцінка (22).
При 11/
1 1| | ( ) / 2mx z t та 21/
2 2| | ( ) / 2mx z t відповідно оцiнки (23) випливають
з (22). Тому розглянемо випадок 1/| | ( ) / 2,pm
p px z t {1, 2}.p
Запишемо
, ( , ; , ) ( ; , ) ( , ; , ) ( , ; , )p p p
p p p
n
z z z
x x xt x K t x d K t x y y dy
( ) ,+ ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , )
n n
t t
pd K t x y y dy d K t z y y dy
де 1/: | | pm
p pt x z . Для оцiнки першого доданка з урахуванням (26) маємо
1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 11 1 11 1
, 1 1
( , ; , ) ( , ) ( , )( ( ) )
j s j s j s j
n n
z z z
js x y y x y y j yx x x
j s j
K t x a t x a t x
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1
, 1
ˆ ˆ( , ; , ; ) ( , ) ( , ; , ; )| (( ) |
j s j s j s
n
y x js x y y x y y y x
j s
G t x y a t z G t x y
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
1
ˆ( , ; , ; )( ) |
j s j s j sz y y z y y y zG t z y
1
1 1 1 1 1 1
(1)
1 1 1
1
ˆ ˆ( , )( ( , ; , ; ) ( , ; , ; ) ),| |
j j
n
j y y x y y z
j
a t z G t x y G t z y
1
2
1 1 1 1 1 1 1 12 1 1
, 1
ˆ( , ; , ) ( , ) ( , ; , ; )(( ) |
j s j s j s
n
z
js x y y x y y y xx
j s
K t x a t x G t x y
13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами...
(2)1 1 1 1 1 1 1 1
1 ,
ˆ( , ; , ; )( ) | )
j s j s j sx y y x y y y x x zG t x y
1
2
1 1 12
( )
1 1
ˆ( , ) ( , ; , ; ) , 0 , { , , } .( )|
j
n
z p n
j y y xx
j
a t x G t x y t T x z
Запишемо
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
1 1
ˆ ˆ( , ; , ; ) ( , ; , ; )| |
j s j sx y y x z y y zG t x y G t z y
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
1 1
ˆ ˆ( , ; , ; ) ( , ; , ; )( | | )
j s j sx y y x z y y xG t x y G t z y
1 1 1 1 1 1 1 1
(1) (1)
1 1
ˆ ˆ( , ; , ; ) ( , ; , ; ) .( | | )
j s j sz y y x z y y zG t z y G t z y (27)
Використовуючи оцінки (17), нерівність з [15]
1
( )
1( , , ) ( , , ),p
c cE t C E t x t ,
1C 0, 10 c c , де ( )p — довільна точка відрізка, що сполучає точки x i ( )pz , {1, 2}p ,
одержуємо оцінки
1 1 1 1
(1)
1 1
ˆ ˆ( , ; , ; ) ( , ; , ; )| |
j s j sx y z yG t x y G t z y
0 0
1 1 1
1
– –1/2–(1– )/2– 2
1 1 1| | ( ) ( , , )exp{ ( )( ( )) },M m
cC x z t E t x c t D y
11/ 0
1 1 1| | ( ) / 2, (0,1).mx z t
З формули (27), останньої оцінки з 0
1 та оцінки (20) одержуємо
1
1 1 1 10 0 { , } , | | ( ) :m
RR C x z B x z t
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
1 1 1 1
ˆ ˆ( , ; , ; ) ( , ; , ; ) | || | | |
j s j sx y y x z y y zG t x y G t z y C x z
1
1
– –1/2–(1– )/2 (1) .( ) ( , , ) ( , , )( )M m
c ct E t x E t z
Аналогічно розглядаються інші прирости, які використовуються для доведення (23).
Для доведення оцінки (24) використовуються вирази (3)—(9), а для одержання рівнян-
ня (25) потрібно в (1) зробити заміну 1( )
(0, ]( , ) ( , ), ( , ) ,g x
Tu t x e v t x t x в якій функція
g задовольняє умову A4. При цьому для коефіцієнтів отриманого рівняння виконуються
умови A4—A3, причому умова параболічності (3) задовольняється за малих .
Висновки. Для виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова з двома гру-
пами просторових змінних і зростальними коефіцієнтами побудовано ФРЗК, досліджено
його властивості і властивості потенціалів, а також отримано оцінки ФРЗК та його похід-
них. Отримані результати мають теоретичний характер і використовуватимуться для до-
слідження коректної розв’язності задачі Коші для таких рівнянь, а також для дослідження
дисипативних вироджених рівнянь з більшою кількістю груп змінних виродження.
14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3
І.П. Мединський, Г.С. Пасічник
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Kolmogoroff A. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung). Ann. Math. 1934. 35, № 1.
P. 116—117. https://doi.org/10.2307/1968123
2. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-
differential equations of parabolic type. Basel: Springer, 2004. 390 p. (Operator Theory: Advances and
Applications, Vol. 152). https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7844-9
3. Процах Н.П., Пташник Б.Й. Нелінійні ультрапараболічні рівняння та варіаційні нерівності. Київ: Наук.
думка, 2017. 280 c.
4. Citti G., Pascucci A., Polidoro S. On the regularity of solutions to a nonlinear ultraparabolic equations arising in
mathematical finance. Differ. Integral Equ. 2001. 14, № 6. P. 701—738. https://doi.org/10.57262/die/1356123243
5. Di Francesco M., Pascucci A. On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type. Appl. Math.
Res. eXpress. 2005. № 3. P. 77—116. https://doi.org/10.1155/AMRX.2005.77
6. Di Francesco M., Pascucci A. A continuous dependence result for ultraparabolic equations in option pricing.
J. Math. Anal. Appl. 2007. 336, № 2. P. 1026—1041. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.03.031
7. Foschi P., Pascucci A. Kolmogorov equations arising in finance: direct and inverse problems. Lect. Notes Semin.
Interdiscip. Mat. 2007. 6. P. 145—156.
8. Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. The Fokker—Planck—Kolmogorov equations for some degenerate diffusion
processes. Theory Stoch. Process. 2009. 16, № 1. P. 57—66.
9. Lanconelli E., Polidoro S. On a class hypoelliptic evolution operators. Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 1994.
52, № 1. P. 29—63.
10. Pascucci A. Kolmogorov equations in physics and in finance. Elliptic and parabolic problems. Basel: Birkhäuser,
2005. P. 353—364. (Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Vol. 63). https://doi.
org/10.1007/3-7643-7384-9_35
11. Polidoro S. A global lower bound for the fundamental solution of Kolmogorov—Fokker—Planck equations.
Arch. Ration. Mech. Anal. 1997. 137, № 4. P. 321—340. https://doi.org/10.1007/s002050050031
12. Ейдельман С.Д., Малицька Г.П. Про рівняння дифузії з інерцією, коефіцієнти яких ростуть. Доп. АН
УРСР. Сер. А. 1974. № 2. С. 106—110.
13. Бабич O.О., Івасишен С.Д., Пасічник Г.С. Фундаментальний розв’язок задачі Коші для виродженого
параболічного рівняння зі зростаючими коефіцієнтами групи молодших членів. Наук. вісн. Чернів. нац.
ун-ту ім. Ю. Федьковича. Сер.: Математика. 2011. 1, № 1—2. С. 13—24.
14. Івасишен С.Д., Пасічник Г.С. Фундаментальний розв’язок задачі Коші для одного параболічного рів-
няння зі зростаючими коефіцієнтами групи молодших членів. Збірник праць Ін-ту математики НАН
України. 2014. 11, № 2. С. 126—153.
15. Івасишен С.Д., Мединський І.П. Класичний фундаментальний розв’язок виродженого рівняння Кол-
могорова, коефіцієнти якого не залежать від змінних виродження. Буковинський мат. журн. 2014. 2,
№ 2—3. С. 94—106.
Надійшла до редакції 18.04.2025
15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2025. № 3
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами...
REFERENCES
1. Kolmogoroff, A. (1934). Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung). Ann. Math., 35,
No. 1, pp. 116-117. https://doi.org/10.2307/1968123
2. Eidelman, S. D., Ivasyshen, S. D. & Kochubei, A. N. (2004). Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type. Operator Theory: Advances and Application (Vol. 152). Basel:
Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7844-9
3. Protsach, N. P. & Ptashnyk, B. Yo. (2017). Nonlinear ultraparabolic equations and variational inequalities. Kyiv:
Naukova Dumka (in Ukrainian).
4. Citti, G., Pascucci, A. & Polidoro, S. (2001). On the regularity of solutions to a nonlinear ultraparabolic equations
arising in mathematical finance. Differ. Integral Equ., 14, No. 6, pp. 701-738. https://doi.org/10.57262/
die/1356123243
5. Di Francesco, M. & Pascucci, A. (2005). On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type. Appl.
Math. Res. eXpress, No. 3, pp.77-116. https://doi.org/10.1155/AMRX.2005.77
6. Di Francesco, M. & Pascucci, A. (2007). A continuous dependence result for ultraparabolic equations in option
pricing. J. Math. Anal. Appl., 336, No. 2, pp. 1026-1041. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.03.031
7. Foschi, P. & Pascucci, A. (2007). Kolmogorov equations arising in finance: direct and inverse problems. Lect.
Notes Semin. Interdiscip. Mat., 6, pp. 145-156.
8. Ivasyshen, S. D. & Medynsky, I. P. (2010). The Fokker—Planck—Kolmogorov equations for some degenerate
diffusion processes. Theory Stoch. Process., 16, No. 1, pp. 57-66.
9. Lanconelli, E. & Polidoro, S. (1994). On a class hypoelliptic evolution operators. Rend. Sem. Mat. Univ. Pol.
Torino, 52, No. 1, pp. 29-63.
10. Pascucci, A. (2005). Kolmogorov equations in physics and in finance. In Elliptic and parabolic problems.
Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications (Vol. 63) (pp. 353-364). Basel: Birkhäuser.
https://doi.org/10.1007/3-7643-7384-9_35
11. Polidoro, S. (1997). A global lower bound for the fundamental solution of Kolmogorov—Fokker—Planck
equations. Arch. Ration. Mech. Anal., 137, No. 4, pp. 321-340. https://doi.org/10.1007/s002050050031
12. Eidelman, S. D. & Malytska, H. P. (1974). On equations diffusion with inertia with growing coefficients. Dop.
АN URSR. Sеr. А, No. 2, pp. 106-110 (in Ukrainian).
13. Babych, O. О., Ivasyshen, S. D. & Pasichnyk, H. S. (2011). An fundamental solution of the Cauchy problem for
degenerate parabolic equation with growing young members. Nаuk. Visn. Cherniv. nats. Un-tu іm.
J. Fedkovycha. Sеr.: Matematyka, 1, No. 1-2, pp. 13-24 (in Ukrainian).
14. Ivasyshen, S. D. & Pasichnyk, H. S. (2014). Fundamental solution of the Cauchy problem for an parabolic
equation with growing young members. Zbirnyk prats’ In-tu matematyky NAN of Ukrainy, 11, No. 2, pp. 126-
153 (in Ukrainian).
15. Ivasyshen, S. D. & Medensky, I. P. (2014). Classical fundamental solution for degenerate Kolmogorov equation
whose coefficients do not depend on variables of degeneration. Bukovynskyi Mat. Zhurn., 2, No. 2-3, pp. 94-
106 (in Ukrainian).
Received 18.04.2025
16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2025. No 3
І.П. Мединський, Г.С. Пасічник
I.P. Medinskyi1,2, https://orcid.org/0000-0002-0651-4198
H.S. Pasichnyk3, https://orcid.org/0000-0002-1759-5042
1 Y.S. Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics of the NAS of Ukraine, Lviv, Ukraine
2 Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine
3 Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University, Chernivtsi, Ukraine
FUNDAMENTAL SOLUTION TO CAUCHY PROBLEM
FOR KOLMOGOROV-TYPE EQUATION WITH UNBOUNDED COEFFICIENTS
THAT DO NOT DEPEND ON DEGENERATION VARIABLES
The class of equations considered in the work is a generalization of the well-known equation diffusion with inertia
of A.M. Kolmogorov. These equations are degenerate differential equations with partial derivatives of the parabolic
type. They contain only lower derivatives in the sense of the theory of parabolic equations for some of the spatial
variables. Such equations belong to the class of ultraparabolic or elliptic-parabolic equations. These equations and
their various generalizations have been studied by many authors. Linear and nonlinear ultraparabolic equations
arise in some problems of probability theory, mathematical modeling of options, Brownian motion theory,
convective diffusion theory, binary electrolytes theory, modeling of diffusion processes with inertia and electron
scattering, and other branches of science. In addition to the Kolmogorov structure, the equations under consideration
have another peculiarity: the coefficients of the group of junior terms grow indefinitely. A degenerate second-order
Kolmogorov equation with unbounded coefficients independent of the degeneracy variables is considered. The
coefficients of the equation are differentiable, and their growth depends on some increasing and differentiable
function. For such an equation, a fundamental solution of the Cauchy problem has been constructed and estimates
of its derivatives with respect to the main group of variables are obtained. The obtained results can be used in
studying the solvability of the Cauchy problem for the equation under consideration, as well as in constructing and
investigating the fundamental solution of the Cauchy problem for an equation with coefficients depending on all
groups of spatial variables and growing at | |x .
Keywords: Kolmogorov-type equations, increasing coefficients, fundamental solution of the Cauchy problem, Levi
method.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206537 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:15:22Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мединський, І.П. Пасічник, Г.С. 2025-09-14T17:18:25Z 2025 Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження / І.П. Мединський, Г.С. Пасічник // Доповіді Національної академії наук України. — 2025. — № 3. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206537 517.956.4 https://doi.org/10.15407/dopovidi2025.03.003 Розглянуто вироджене рівняння типу Колмогорова другого порядку з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження. Коефіцієнти рівняння є диференційовними, а їх ріст залежить від деякої зростальної і диференційовної функції. Для такого рівняння побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та одержано оцінки його похідних за основною групою змінних. Отримані результати можуть бути використані для вивчення розв’язності задачі Коші розглядуваного рівняння та побудови і дослідження фундаментального розв’язку задачі Коші для рівняння з коефіцієнтами, що залежать від усіх груп просторових змінних та зростають при |x|→∞. The class of equations considered in the work is a generalization of the well-known equation diffusion with inertia of A.M. Kolmogorov. These equations are degenerate differential equations with partial derivatives of the parabolic type. They contain only lower derivatives in the sense of the theory of parabolic equations for some of the spatial variables. Such equations belong to the class of ultraparabolic or elliptic-parabolic equations. These equations and their various generalizations have been studied by many authors. Linear and nonlinear ultraparabolic equations arise in some problems of probability theory, mathematical modeling of options, Brownian motion theory, convective diffusion theory, binary electrolytes theory, modeling of diffusion processes with inertia and electron scattering, and other branches of science. In addition to the Kolmogorov structure, the equations under consideration have another peculiarity: the coefficients of the group of junior terms grow indefinitely. A degenerate second-order Kolmogorov equation with unbounded coefficients independent of the degeneracy variables is considered. The coefficients of the equation are differentiable, and their growth depends on some increasing and differentiable function. For such an equation, a fundamental solution of the Cauchy problem has been constructed and estimates of its derivatives with respect to the main group of variables are obtained. The obtained results can be used in studying the solvability of the Cauchy problem for the equation under consideration, as well as in constructing and investigating the fundamental solution of the Cauchy problem for an equation with coefficients depending on all groups of spatial variables and growing at |x|→∞. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження Fundamental solution to Cauchy problem for Kolmogorov-type equation with unbounded coeffi cients that do not depend on degeneration variables Article published earlier |
| spellingShingle | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження Мединський, І.П. Пасічник, Г.С. Математика |
| title | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження |
| title_alt | Fundamental solution to Cauchy problem for Kolmogorov-type equation with unbounded coeffi cients that do not depend on degeneration variables |
| title_full | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження |
| title_fullStr | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження |
| title_full_unstemmed | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження |
| title_short | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння типу Колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження |
| title_sort | фундаментальний розв’язок задачі коші для рівняння типу колмогорова з необмеженими коефіцієнтами, які не залежать від змінних виродження |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206537 |
| work_keys_str_mv | AT medinsʹkiiíp fundamentalʹniirozvâzokzadačíkošídlârívnânnâtipukolmogorovazneobmeženimikoefícíêntamiâkínezaležatʹvídzmínnihvirodžennâ AT pasíčnikgs fundamentalʹniirozvâzokzadačíkošídlârívnânnâtipukolmogorovazneobmeženimikoefícíêntamiâkínezaležatʹvídzmínnihvirodžennâ AT medinsʹkiiíp fundamentalsolutiontocauchyproblemforkolmogorovtypeequationwithunboundedcoefficientsthatdonotdependondegenerationvariables AT pasíčnikgs fundamentalsolutiontocauchyproblemforkolmogorovtypeequationwithunboundedcoefficientsthatdonotdependondegenerationvariables |