Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования

Викладено загальний метод розв’язування квазілінійних ігрових задач переслідування. Він базується на методі розв’язувальних функцій. Запропонована схема охоплює широке коло конфліктнокерованих функціональнодиферен- ціальних систем. Аналіз різних форм розв’язувальних функцій дозволяє з’ясувати необхі...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Проблемы управления и информатики
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Чикрий, А.А., Раппопорт, И.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206754
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 60-70. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206754
record_format	dspace
spelling	Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С. 2025-09-22T08:05:25Z 2006 Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 60-70. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206754 518.9 Викладено загальний метод розв’язування квазілінійних ігрових задач переслідування. Він базується на методі розв’язувальних функцій. Запропонована схема охоплює широке коло конфліктнокерованих функціональнодиферен- ціальних систем. Аналіз різних форм розв’язувальних функцій дозволяє з’ясувати необхідну інформованість для завершення гри. This paper outlines a general approach to solution of the quasilinear game problems of pursuit. This approach essentially employs the apparatus of the theory of multivalued mappings and is based on the method of resolving functions. Suggested scheme encompasses a wide range of functionaldifferential conflictcontrolled systems. The analysis of various forms of resolving functions allows to clarify what kind of information is necessary for successful termination of the game under study. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования Вимірні багатозначні відображення та їх селектори у динамічних іграх переслідування Measurable Multivalued Mappings and Their Selections for Dynamic Pursuit Games Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования
spellingShingle	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С.
title_short	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования
title_full	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования
title_fullStr	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования
title_full_unstemmed	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования
title_sort	измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования
author	Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С.
author_facet	Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С.
publishDate	2006
language	Russian
container_title	Проблемы управления и информатики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Вимірні багатозначні відображення та їх селектори у динамічних іграх переслідування Measurable Multivalued Mappings and Their Selections for Dynamic Pursuit Games
description	Викладено загальний метод розв’язування квазілінійних ігрових задач переслідування. Він базується на методі розв’язувальних функцій. Запропонована схема охоплює широке коло конфліктнокерованих функціональнодиферен- ціальних систем. Аналіз різних форм розв’язувальних функцій дозволяє з’ясувати необхідну інформованість для завершення гри. This paper outlines a general approach to solution of the quasilinear game problems of pursuit. This approach essentially employs the apparatus of the theory of multivalued mappings and is based on the method of resolving functions. Suggested scheme encompasses a wide range of functionaldifferential conflictcontrolled systems. The analysis of various forms of resolving functions allows to clarify what kind of information is necessary for successful termination of the game under study.
issn	0572-2691
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206754
citation_txt	Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 60-70. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT čikriiaa izmerimyemnogoznačnyeotobraženiâiihselektoryvdinamičeskihigrahpresledovaniâ AT rappoportis izmerimyemnogoznačnyeotobraženiâiihselektoryvdinamičeskihigrahpresledovaniâ AT čikriiaa vimírníbagatoznačnívídobražennâtaíhselektoriudinamíčnihígrahpereslíduvannâ AT rappoportis vimírníbagatoznačnívídobražennâtaíhselektoriudinamíčnihígrahpereslíduvannâ AT čikriiaa measurablemultivaluedmappingsandtheirselectionsfordynamicpursuitgames AT rappoportis measurablemultivaluedmappingsandtheirselectionsfordynamicpursuitgames
first_indexed	2025-11-26T00:12:51Z
last_indexed	2025-11-26T00:12:51Z
_version_	1850596901120901120
fulltext	© А.А. ЧИКРИЙ, И.С. РАППОПОРТ, 2006 60 ISSN 0572-2691 УДК 518.9 А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ СЕЛЕКТОРЫ В ДИНАМИЧЕСКИХ ИГРАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ В данной работе излагается общий подход для решения квазилинейных игро- вых задач сближения. Он базируется на методе разрешающих функций [1] и ис- пользует аппарат теории многозначных отображений и их селекторов. Предло- женная схема охватывает широкий круг конфликтно-управляемых функциональ- но-дифференциальных систем, в частности дифференциально-разностных, интег- родифференциальных, интегральных систем уравнений, Вольтерра и Фредгольма, а также систем уравнений с дробными по Риману–Лиувиллю производными и ре- гуляризованными производными Капуто [2, 3]. Для выбора управлений преследователь использует теорему измеримого вы- бора Филиппова–Кастена [4]. При этом процесс преследования в основной схеме реализуется в классе квазистратегий [5] либо при дополнительном предположе- нии в классе стробоскопических стратегий [6] за то же время. Этим предположе- нием является звездность по соответствующему конусу некоторых многозначных отображений. Предлагается также некоторая альтернативная схема преследования в классе контруправлений, позволяющая реализовать схему метода без дополни- тельных предположений, но за большее время. Анализ различных форм разреша- ющих функций позволяет выяснить необходимую информированность для за- вершения игры. Работа примыкает к исследованиям [7–9]. 1. Постановка задачи и свойства измеримых многозначных отображе- ний. Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс, эволюция которого описы- вается уравнением ,))(),((),()()( 0 τττϕτΩ+= ∫ dvuttgtz t .0≥t (1) Функция },0:{,:),( ≥=→ ++ ttRRRgtg n измерима и ограничена при ,0>t матричная функция ),,( τΩ t ,0≥τ≥t измерима по t, а также суммируема по τ при любом .+∈ Rt Блок управления задается функцией ),,( vuϕ ,: nRVU →×ϕ кото- рая предполагается непрерывной по совокупности переменных на прямом произ- ведении непустых компактов U и V, т.е. ),( mRKU ∈ ),( lRKV ∈ )( nRK — сово- купность непустых компактов евклидового пространства ,nR n, m, l — натураль- ные числа. Управляющие воздействия игроков ),(τu ,: URu →+ и ),(τv ,: VRv →+ — измеримые функции. Кроме процесса (1), задано терминальное множество ,M которое имеет ци- линдрический вид ,0 MMM += (2) где 0M — линейное подпространство из ,nR а ),(LKM ∈ где L — ортого- нальное дополнение к 0M в .nR Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 61 Цели первого (u) и второго (v) игроков противоположны. Первый стремится привести траекторию процесса (1) на множество (2) за кратчайшее время, вто- рой — максимально оттянуть момент попадания траектории на множество .M Примем сторону первого игрока и будем ориентироваться на выбор против- ником в качестве управления произвольной измеримой функции со значениями из V. В свою очередь, будем предполагать, что если игра (1), (2) происходит на интервале ],,0[ T то в качестве управления первого игрока будем выбирать либо измеримую функцию вида ,)(],,0[)),(),(()( UtuTtvTgutu t ∈∈⋅= (3) где }0:)({)( tssvvt ≤≤=⋅ — предыстория управления второго игрока до момен- та t, либо контруправление .)(],,0[)),(),(()( UtuTttvTgutu ∈∈= (4) Если, в частности, ,)()( 0ztAtg = где )(tA — матричная функция, такая, что ,)0( EA = E — единичная матрица, а ,)0( 0zz = то можно считать, что управ- ление вида (3) ))(,()( 0 ⋅= tvzutu представляет собой определенный тип квазистра- тегий [5], а управление первого игрока вида (4) ))(,()( 0 tvzutu = предписывается в виде стробоскопической стратегии [6]. Цель данной работы — установить для игры (1), (2) при условии информиро- ванности типа (3) и (4) достаточные условия разрешимости задачи в пользу пер- вого игрока за некоторое гарантированное время и найти управления первого иг- рока, позволяющие реализовать этот результат. Обозначим через π ортопроектор, действующий из nR в L. Положив =ϕ ),( vU },),,({ Uuvu ∈ϕ= рассмотрим многозначные отображения  Vv vtWtWvUtvtW ∈ τ=τϕτΩπ=τ ),,(),(),,(),(),,( на множествах соответственно V×∆ и ∆, где }.0:),{( ∞<≤τ≤τ=∆ tt Условие Понтрягина. Многозначное отображение ),( τtW принимает непу- стые значения на множестве ∆. Отображение ),( vUϕ — замкнутое многозначное отображение, т.е. его гра- фик замкнут. Поэтому с учетом предположения о матричной функции ),( τΩ t можно заключить, что при любом фиксированном 0>t отображение ),,,( vtW τ — измеримое по τ на интервале ],0[ t и замкнутое по ,, Vvv ∈ многозначное отоб- ражение. Тогда на основании леммы 1 отображение ),( τtW — измеримое по τ многозначное отображение на интервале ].,0[ t Лемма 1. Пусть ,nRX ⊂ ,0>T ),( xtF — измеримое по t, ],,0[ Tt ∈ и за- мкнутое по x, ,Xx∈ многозначное отображение .),0[: nRzXTF →× Тогда =)(tG  Xx xtF ∈ = ),( — измеримое многозначное отображение на множестве =Gdom }.)(:],0[{ ∅≠∈= tGTt 62 ISSN 0572-2691 Обозначим )( nRP совокупность непустых замкнутых множеств простран- ства .nR Тогда очевидно, что ),(:),,( nRPVvtW →×∆τ ).(:),( nRPtW →∆τ В этом случае говорят, что измеримые многозначные отображения ),,( vtW τ и ),( τtW нормальные по τ [10]. Лемма 2 [4]. Пусть )(],0[:)(,0 nRPTtFT →> — нормальное многозначное отображение. Тогда существует измеримый селектор ,),0[:),( nRTftf → )()( tFtf ∈ для всех ].,0[ Tt ∈ Из условия Понтрягина и леммы 2 следует, что при любом 0≥t существует хотя бы один измеримый по τ селектор ).,(),( τ∈τγ tWt В силу предположений о параметрах процесса (1) такой селектор ),( τγ t — суммируемая по τ, ),,0[ t∈τ функция при любом фиксированном .0≥t Обозначим +π=⋅γξ )()),(),(,( tgttgt ,),( 0 ∫ ττγ+ t dt где ),( τγ t — упомянутый выше селектор. С помощью функции )),(),(,( ⋅γξ ttgt определим функцию :),,( vt τα }))],(),(,([)],(),,([:0{sup),,( ∅≠⋅γξ−ατγ−τ≥α=τα  ttgtMtvtWvt (5) и назовем ее разрешающей [1]. В дальнейшем она будет играть ключевую роль. Приведем три известных результата [10], которые сформулируем в виде леммы. Лемма 3. Пусть ,],0[:),,(,0, nn RXTfxtfTRX →×>⊂ — измеримая по t и непрерывная по x функция. Тогда: 1) если ,],0[:),( XTxtx → — измеримая функция, то суперпозиция функ- ций ,],0[:)),(,()( nRTftxtftf →= — измеримая функция на интервале ];,0[ T 2) отображение },:),({),()( XxxtfXtftF ∈== ,2],0[: nRTF → — изме- римое многозначное отображение на интервале ];,0[ T 3) если nRTFtF 2],0[:),( 11 → и ,2],0[:),( 22 nRTFtF → — измеримые много- значные отображения на интервале ],,0[ T то отображение nRTHtH 2],0[:),( → , которое определяется в виде )},(),(),(:{)( 21 tFxtftFxRxtH n ∈∈∈= — изме- римое многозначное отображение на интервале ].,0[ T Лемма 4. Пусть ,],0[:),(,0 VTvvT →τ> — произвольная измеримая функ- ция. Тогда отображение ),())(,,( τ=ττ WvTW ),(],0[: nRPTW → — измеримое многозначное отображение на интервале .],0[ T Доказательство. Пусть ,],0[:),(,0 VTvvT →τ> — произвольная измери- мая функция. В силу п. 1 леммы 3 суперпозиция ))(,( τϕ vu — измеримая по τ, ],,0[ T∈τ и непрерывная по u, ,Uu∈ функция. Поэтому в силу п. 2 леммы 3 )),(,,( ττ vTW )(],0[: nRPTW → — измеримое многозначное отображение на интервале ].,0[ T Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 63 Рассмотрим многозначное отображение }.))],(),(,([)],(),,([:{),,( ∅≠⋅γξ−ατγ−τ∈α=τ + ttgtMtvtWRvtA  (6) Лемма 5. Пусть для игры (1), (2) выполнено условие Понтрягина и для неко- торого 0>T .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Тогда для любой измеримой функции ),(τv ,],0[: VTv → отображение ),())(,,( τ=ττ AvTA )(],0[: +→ RPTA — измеримое многозначное отображение на интервале ],,0[ T суперпозиция ),())(,,( τα=ττα vT ,],0[: +→α RT — измеримая по ],,0[, T∈ττ функция. Доказательство. Пусть ,],0[:),(,0 VTvvT →τ> ,],0[:),( MTmm →τ — произвольные измеримые функции, а .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ В силу п. 3 леммы 3 отображение )},())(,,())],(),(,()([:{))(),(,,( τγ−ττ∈⋅γξ−τα∈α=τττ + TvTWTTgTmRmvTA — измеримое многозначное отображение на интервале .],0[ T Действительно, функция ),())],(),(,()([ ατ=⋅γξ−τα fTTgTm — измеримая по ],,0[, T∈ττ и не- прерывная по ,, +∈αα R а ),())(,,( τγ−ττ TvTW в силу леммы 4 — измеримое по τ многозначное отображение на интервале ].,0[ T Тогда на основании теоремы измеримого выбора [10] можно заключить, что ),())(,,( τ=ττ AvTA )(],0[: +→× RPVTA — измеримое многозначное отобра- жение на интервале ].,0[ T Теперь покажем, что суперпозиция ),())(,,( τα=ττα vT ,],0[: +→α RT — измеримая по ],,0[, T∈ττ функция. Действительно, так как ),1));(,,((sup))(,,( ))(,,( ττ=α=ττα ττ∈α vTACvT vTA где );( pXC — опорная функция множества X в направлении p [10], то ее измери- мость вытекает из измеримости многозначного отображения ))(,,( ττ vTA [10]. Лемма 6. Пусть для игры (1), (2) выполнено условие Понтрягина и для некото- рого ,0>T .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Тогда ),,,()( vTAB Vv τ=τ ∈  ),(],0[: +→ RPTB — измеримое многозначное отображение на интервале ],0[ T , а ),,,(inf)( vT Vv τα=τα ∈ +→α RT ],0[: — измеримая по ],,0[, T∈ττ функция. Доказательство. Пусть ,0>T .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ По аналогии с доказа- тельством леммы 5 можно показать, что ),,,( vTA τ )(],0[: +→× RPVTA — из- меримое отображение на интервале ].,0[ T С другой стороны, нетрудно видеть, что ),,( vTA τ — замкнутое по ,, Vvv ∈ многозначное отображение. Поэтому в силу леммы 1 ,),,()(  Vv vTAB ∈ τ=τ ),(],0[: +→ RPTB — измеримое многозначное отображение на интервале ].,0[ T Поскольку ),1);,,((),,( vTACvT τ=τα то разрешающая функция =τα ),,( vT ),,( vτα= ,],0[: +→×α RVT — измерима по ].,0[, T∈ττ Кроме того, можно по- 64 ISSN 0572-2691 казать [1], что эта функция полунепрерывна сверху по ., Vvv ∈ Поэтому на осно- вании известного результата [1] можно заключить, что ),,,(inf)( vT Vv τα=τα ∈ ,],0[: +→α RT — измеримая по ],,0[, T∈ττ функция. 2. Общая схема метода и основные результаты. Введем отображение .1),,(inf:0)),(),(( 0         ≥ττα≥=⋅⋅γ⋅ ∫ ∈ t Vv dvttgT (7) Заметим, что если для некоторого 0>T ,)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ то в силу леммы 6 функция ),,(inf vT Vv τα ∈ измерима по ],,0[, T∈ττ а так как она равномер- но ограничена по τ, то и суммируема на интервале .],0[ T Если при некотором 0>T ,)),(),(,( MTTgT ∈⋅γξ то ∞+=τα ∈ ),,(inf vT Vv для ],,0[ T∈τ и в этом случае значение интеграла в соотношении (7) естественно положить равным ,∞+ а соот- ветствующее неравенство выполнено автоматически. Положим ,)),(),(( ∅=⋅⋅γ⋅gT если неравенство в (7) не выполняется при всех .0≥t Теорема 1. Пусть для игры (1), (2) выполнено условие Понтрягина и множе- ство M выпукло, причем для некоторой измеримой ограниченной функции )(tg и измеримого по τ селектора ),,( τγ t ,0≥τ≥t многозначного отображения ),( τtW множество )),(),(( ⋅⋅γ⋅gT непусто и )),,(),(( ⋅⋅γ⋅∈ gTT .∞+<T Тогда траектория процесса (1) может быть приведена на терминальное множество (2) в момент T с помощью управления вида (3). Доказательство. Пусть ,],0[:),( VTvv →τ — произвольная измеримая функция. Рассмотрим случай .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Введем контрольную функцию ,))(,,(1)( 0 τττα−= ∫ dvTth t ].,0[ Tt ∈ В силу леммы 5 )())(,,( τα=ττα vT — измеримая по τ, ],,0[ t∈τ функция. Кроме того, она ограничена при почти всех T<τ и, следовательно, интегрируема на любом конечном интервале времени. Отсюда вытекает, что функция )(th не- прерывна, она не возрастает и .1)0( =h С другой стороны, легко проверить, что .0))(,,(inf1)( 0 ≤τττα−≤ ∫ ∈ dvTth T Vv Поэтому существует такой момент времени )),(( ⋅= vtt ],,0(* Tt ∈ что .0)( * =th Участки ),0[ t и ],[ Tt будем называть активным и пассивным соответ- ственно. Опишем способ управления первым игроком на каждом из них. Для это- го рассмотрим многозначное отображение для :),0[ T∈τ =ττ=τ ))(,()( vUU ))]}.,(),(,())[(,,(),())(,(),(:{ ⋅γξ−ττα∈τγ−τϕτΩπ∈= TTgTMvTTvuTUu (8) В силу п. 3 леммы 3 ),(τU )(],0[: nRKTU → — измеримое многозначное отображение на интервале .],0[ T Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 65 Действительно, в силу п. 1 леммы 3 суперпозиция ))(,( τϕ vu — измеримая по τ, ],,0[ T∈τ и непрерывная по ,, Uuu ∈ функция. Поэтому функция =τ ),( uf ),,())(,(),( τγ−τϕτΩπ= TvuT nRUTf →×],0[: измерима по ],,0[, T∈ττ и не- прерывна по ., Uuu ∈ Многозначное отображение ,)(1 UF ≡τ ],,0[ T∈τ изме- римо как постоянное отображение [10]. Отображение ×ττα=τ ))(,,()(2 vTF ))],(),(,([ ⋅γξ−× TtgTM — измеримое многозначное отображение на интервале ],,0[ T поскольку в силу леммы 5 суперпозиция ),())(,,( τα=ττα vT →α ],0[: T +→ R — измеримая по ],,0[, T∈ττ функция, и при этом ),( nRKM ∈ а )),(),(,( ⋅γξ TTgT ограничено. В силу леммы 2 многозначное отображение ))(,( ττ vU имеет измеримый се- лектор. Обозначим его )),(,( ττ vu .],0[ T∈τ Управление первого игрока на ак- тивном участке ),0[ t положим равным )).(,()( ττ=τ vuu (9) Рассмотрим пассивный интервал .],[ Tt Положим в выражении (8) 0))(,,( ≡ττα vT при ],[ * Tt∈τ и управление первого игрока выберем согласно предложенной выше процедуре, используя соотношения (8), (9). При MTTgT ∈⋅γξ )),(),(,( функция ∞+=ττα ))(,,( vT для всех ].,0[ T∈τ В этом случае для ],0[ T∈τ рассмотрим многозначное отображение }.0),())(,(),(:{))(,()( 00 =τγ−τϕτΩπ∈=ττ=τ TvuTUuvUU (10) В силу п. 3 леммы 3 ),())(,( 00 τ=ττ UvU ),(],0[:0 nRKTU → — измеримое многозначное отображение на интервале ].,0[ T При этом лемма 2 гарантирует, что многозначное отображение )),(,(0 ττ vU ],,0[ T∈τ имеет измеримый селек- тор. Обозначим его )),(,(0 ττ vu ].,0[ T∈τ Управление первого игрока положим равным )),(,()( 0 ττ=τ vuu .],0[ T∈τ (11) Покажем, что при выборе управления первым игроком в виде (9), (11) с уче- том соотношений (8), (10) в каждом из случаев траектория системы (1) будет при- ведена на множество при любых управлениях второго игрока. Из выражения (1) имеем .))(),((),()()( 0 τττϕτΩπ+π=π ∫ dvuTTgTz T (12) Проанализируем случай .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Для этого прибавим и вычтем из правой части равенства (12) вектор .),( 0 ττγ∫ dT T Используя описанный ранее закон выбора управления первым игроком, из (12) получаем включение .))(,,())(,,(1)),(),(,()( ** 00 ∫∫ τττα+         τττα−⋅γξ∈π tt dMvTdvTTTgTTz 66 ISSN 0572-2691 Так как M — выпуклый компакт, ))(,,( ττα vT — неотрицательная функция для ),0[ t∈τ и ,1))(,,( 0 =τττα∫ t dvT то ,))(,,( * 0 ∫ =τττα t MdMvT следовательно, MTz ∈π )( или .)( MTz ∈ Пусть .)),(),(,( MTTgT ∈⋅γξ Тогда с учетом закона управления первого иг- рока из равенства (12) немедленно получаем .)( MTz ∈π Множество X назовем звездным относительно точки ,0x ,0 Xx ∈ если для любой точки ,, Xxx ∈ весь отрезок, соединяющий точки x и ,0x принадлежит множеству X. Пусть X — непустое множество из .nR Обозначим ,:{con xzRzX n λ∈∈= },0, >λ∈ Xx а Xcon — замыкание .con X Рассмотрим множество nRX ⊂ и конус K с вершиной в точке .0 Xx ∈ Будем говорить, что X звездное относительно точки 0x по конусу K, если множество KX звездное относительно точки .0x Многозначное отображение :),( XX τ nRT 2],0[ → является звездным по конусу K относительно точки ,0x если этим свойством обладает каждое множество ].,0[),( TX ∈ττ Далее предполагается выполненным условие Понтрягина. Условие 1. Многозначное отображение ,],,0[)),,(),((),,(),,( VvTgTTTvTW ∈∈τ⋅⋅γ⋅∈τγ−τ при MTTgT ∉⋅γξ )),(),(,( звездное по конусу ))],(),(,([con ⋅γξ− TTgTM относи- тельно нуля. Теорема 2. Пусть для игры (1), (2) выполнено условие Понтрягина и множе- ство M выпукло, причем для некоторой измеримой ограниченной функции )(tg и измеримого по τ селектора ),,( τγ t ,0≥τ≥t многозначного отображения ),( τtW множество )),(),(( ⋅⋅γ⋅gT непусто, )),,(),(( ⋅⋅γ⋅∈ gTT ,∞+<T и выполнено усло- вие 1. Тогда траектория процесса (1) может быть приведена на терминальное множество (2) в момент T с помощью управления вида (4). Доказательство. Пусть ),(τv ,],0[: VTv → — произвольная измеримая функция. Рассмотрим случай .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Обозначим ττα= ∫ ∈ dvTTa T Vv ),,(inf)( 0 и положим .),,(inf )( 1),(       τα=τα ∈ ∗ vT Ta T Vv В силу условия 1 ),,(),( vTAT τ∈τα∗ для каждого .Vv∈ Опишем способ уп- равления первым игроком на интервале .],0[ T Для этого рассмотрим многознач- ное отображение для ].,0[ T∈τ =ττ=τ ∗∗ ))(,()( vUU ))]}.,(),(,()[,(),())(,(),(:{ ⋅γξ−τα∈τγ−τϕτΩπ∈= ∗ TTgTMTTvuTUu (13) Из условия 1 непосредственно вытекает, что ∅≠τ∗ )(U для всех .],0[ T∈τ Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 67 В силу п. 3 леммы 3 отображение ),())(,( τ=ττ ∗∗ UvU )(],0[: nRKTU →∗ является измеримым многозначным отображением на интервале .],0[ T Действительно, в силу п. 1 леммы 3 суперпозиция ))(,( τϕ vu — измеримая по ],,0[, T∈ττ и непрерывная по u, Uu ∈ функция. Поэтому функция =τ ),( uf ),,())(,(),( τγ−τϕτΩπ= TvuT ,],0[: nRUTf →× измерима по τ, ],,0[ T∈τ и не- прерывна по u, .Uu∈ Многозначное отображение ,)(1 UF ≡τ ],,0[ T∈τ измеримо как постоянное отображение [10]. Отображение ))],(),(,()[,()(2 ⋅γξ−τα=τ ∗ TTgTMTF — изме- римое многозначное отображение на интервале ],,0[ T поскольку в силу лем- мы 6 функция ),,( τα∗ T ,],0[: + ∗ →α RT измерима по τ, ],,0[ T∈τ и при этом ),( nRKM ∈ а )),(),(,( ⋅γξ TTgT ограничено. В силу леммы 2 многозначное отображение )),(,( ττ∗ vU ],,0[ T∈τ имеет из- меримый селектор. Обозначим его )),(,( ττ∗ vu ].,0[ T∈τ Управление первого иг- рока на интервале ],0[ T положим равным )).(,()( ττ=τ ∗ vuu (14) При MTTgT ∈⋅γξ )),(),(,( функция ∞+=τα∗ ),(T для всех ].,0[ T∈τ В этом случае для ],0[ T∈τ рассмотрим многозначное отображение ))(,()( 00 ττ=τ vUU согласно соотношению (10) и соответствующий измеримый селектор )).(,(0 ττ vu Управление первого игрока положим равным )),(,()( 0 ττ=τ vuu .],0[ T∈τ (15) Покажем, что при выборе управления первым игроком в виде (14), (15) с уче- том соотношений (13), (10) в каждом из случаев траектория процесса (1) будет приведена на множество M при любых управлениях второго игрока. Проанализируем случай .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Прибавим и вычтем из пра- вой части равенства (12) вектор .),( 0 ττγ∫ dT T Тогда получим .)],())(),((),([)),(),(,()( 0 ∫ ττγ−ττϕτΩπ+⋅γξ=π T dTvuTTTgTTz (16) Используя описанный ранее закон выбора управления первым игроком, из (16) получаем включение .),(),(1)),(),(,()( 00 ∫∫ ττα+         ττα−⋅γξ∈π ∗∗ TT dMTdTTTgTTz Так как M — выпуклый компакт, ),( τα∗ T — неотрицательная функция для ],0[ T∈τ и ,1),( 0 =ττα∫ ∗ dT T то имеем MdMT T =ττα∫ ∗ 0 ),( и, следовательно, MTz ∈π )( или .)( ∗∈MTz 68 ISSN 0572-2691 В случае MTTgT ∈⋅γξ )),(),(,( с учетом закона управления первого игрока из равенства (16) немедленно получаем .)( MTz ∈π Определим еще один тип разрешающей функции )},,(:0sup{),( τ∈β≥β=τβ tBt  Vv vtAtB ∈ τ=τ ),,(),( (17) и введем отображение .1),(:0)),(),(( 0         ≥ττβ≥=⋅⋅γ⋅θ ∫ t dttg (18) Заметим, что если для некоторого 0>T ,)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ то в силу леммы 6 отображение  Vv vtAtB ∈ τ=τ ),,(),( — измеримое многозначное отображе- ние на интервале ].,0[ T Поэтому функция )1);,((),( τ=τβ TBCt измерима по τ, ],,0[ T∈τ а так как она равномерно ограничена по τ, то и суммируема на ин- тервале .],0[ T Если при некотором ,0>T ,)),(),(,( MTTgT ∈⋅γξ то ∞+=τβ ),(T для ],0[ T∈τ и в этом случае значение интеграла в соотношении (18) есте- ственно положить равным ,∞+ а соответствующее неравенство выполнено ав- томатически. Положим ,)),(),(( ∅=⋅⋅γ⋅θ g если неравенство в (18) не выполняет- ся при всех .0≥t Теорема 3. Пусть для игры (1), (2) выполнено условие Понтрягина и множе- ство выпукло, причем для некоторой измеримой ограниченной функции )(tg и измеримого по τ селектора ),,( τγ t ,0≥τ≥t многозначного отображения ),( τtW множество )),(),(( ⋅⋅γ⋅θ g непусто и )),,(),(( ⋅⋅γ⋅θ∈ gT .∞+<T Тогда траектория процесса (1) может быть приведена на терминальное множество (2) в момент T с помощью управления вида (4). Доказательство. Пусть ),(τv ,],0[: VTv → — произвольная измеримая функция. Рассмотрим случай .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Введем контрольную функцию ,),(1)( 0 ∫ ττβ−= t dTth .],0[ Tt ∈ Функция )(th непрерывна, не возрастает и .1)0( =h Поэтому существует та- кой момент времени ,t ,],0( Tt ∈ что .0)( * =th Участки ),0[ t и ],[ Tt будем называть активным и пассивным соответ- ственно. Опишем способ управления первым игроком на каждом из них. Для это- го рассмотрим многозначное отображение для :],0[ T∈τ =ττ=τ ))(,()( vUU ))]}.,(),(,()[,(),())(,(),(:{ ⋅γξ−τβ∈τγ−τϕτΩπ∈= TTgTMTTvuTUu (19) В силу п. 3 леммы 3 ),())(,( τ=ττ UvU ),(],0[: nRKTU → — измеримое многозначное отображение на интервале ],0[ T и поэтому имеет измеримый се- Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 69 лектор (лемма 2). Обозначим его )),(,( ττ vu .],0[ T∈τ Управление первого игрока на активном участке ),0[ t положим равным )).(,()( ττ=τ vuu (20) Рассмотрим пассивный интервал .],[ Tt Положим в выражении (19) 0),( ≡τβ T при ],[ * Tt∈τ и управление первого игрока выберем согласно пред- ложенной выше процедуре, используя соотношения (19), (20). В случае MTTgT ∈⋅γξ )),(),(,( функция ∞+=τβ ),(T для всех .],0[ T∈τ По- этому управление первого игрока положим равным )),(,()( 0 ττ=τ vuu ],,0[ T∈τ (21) где ))(,(0 ττ vu — измеримый селектор измеримого многозначного отображения )),(,()( 00 ττ= vUtU ),(],0[:0 nRKTU → заданного согласно соотношению (10) по схеме доказательства теоремы 2. Покажем, что при выборе управления первым игроком в виде (20), (21) с уче- том соотношений (19), (10) в каждом случае траектория системы (1) будет приве- дена на множество M при любых управлениях второго игрока. Пусть .)),(),(,( MTTgT ∉⋅γξ Из соотношений (12), (16) получаем включение .),(),(1)),(),(,()( * 00 ∫∫ ττβ+         ττβ−⋅γξ∈π tt dMTdTTTgTTz Поскольку M — выпуклый компакт, ),( τβ T — неотрицательная функция для ),0[ t∈τ и ,1),( 0 =ττβ∫ t dT то MMdT t =ττβ∫ * 0 ),( и, следовательно, MTz ∈π )( или .)( *MTz ∈ Пусть .)),(),(,( MTTgT ∈⋅γξ Тогда с учетом закона управления первого иг- рока из равенства (16) немедленно получаем .)( MTz ∈π А.О. Чикрій, І.С. Раппопорт ВИМІРНІ МНОГОЗНАЧНІ ВІДОБРАЖЕННЯ ТА ЇХ СЕЛЕКТОРИ У ДИНАМІЧНИХ ІГРАХ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ Викладено загальний метод розв’язування квазілінійних ігрових задач переслі- дування. Він базується на методі розв’язувальних функцій. Запропонована схе- ма охоплює широке коло конфліктно-керованих функціонально-диферен- ціальних систем. Аналіз різних форм розв’язувальних функцій дозволяє з’ясу- вати необхідну інформованість для завершення гри. 70 ISSN 0572-2691 А.А. Chikriy, І.S. Rappoport MEASURABLE MULTIVALUED MAPPINGS AND THEIR SELECTIONS FOR DYNAMIC PURSUIT GAMES This paper outlines a general approach to solution of the quasilinear game prob- lems of pursuit. This approach essentially employs the apparatus of the theory of multivalued mappings and is based on the method of resolving functions. Sug- gested scheme encompasses a wide range of functional-differential conflict- controlled systems. The analysis of various forms of resolving functions allows to clarify what kind of information is necessary for successful termination of the game under study. 1. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht : Kluwer Academ. Publ., 1997. — 424 p. 2. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Game problems for systems with Volterra evolution. Fractal games, game theory and applications VI, Nova Scie. Publ., Inc., Huntington. N.Y., USA. — 2001. — P. 9–44. 3. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг–Леффлера в игро- вых задачах для эволюционных уравнений дробного порядка // Кибернетика и системный анализ. — 2000. — № 3. — С. 3–32. 4. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнени- ями. — М. : Наука, 1977. — 623 с. 5. Krasovskii N.N., Krasovskii A.N. Control under lack of information. — Boston : Birkhauser, 1995. — 322 p. 6. Hajek O. Pursuit games. V. 12. — New York : Academ. Press, 1975. — 266 p. 7. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. T. 2. — М. : Наука, 1988. — 576 с. 8. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления: игро- вой подход. — Киев: Наук. думка, 1985. — 245 с. 9. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори- ями. — Киев : Наук. думка, 2005. — 220 с. 10. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М. : Наука, 1974. — 479 с. Получено 13.12.2005

Измеримые многозначные отображения и их селекторы в динамических играх преследования

Institution

Ähnliche Einträge