О стабилизации движения систем с неголономными связями
У кінематичному наближенні розглянуто задачу синтезу системи стабілізації для колісних транспортних роботів з одним і двома кермовими колесами. Запропоновано алгоритм синтезу слідкуючої системи для таких пристроїв. Наведено результати математичного моделювання, що свідчать про ефективність синтезов...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206765 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О стабилизации движения систем с неголономными связями / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 218-230. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206765 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ларин, В.Б. 2025-09-22T09:20:19Z 2006 О стабилизации движения систем с неголономными связями / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 218-230. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206765 621.865.5: 00752 У кінематичному наближенні розглянуто задачу синтезу системи стабілізації для колісних транспортних роботів з одним і двома кермовими колесами. Запропоновано алгоритм синтезу слідкуючої системи для таких пристроїв. Наведено результати математичного моделювання, що свідчать про ефективність синтезованих алгоритмів. У кінематичному наближенні розглянуто задачу синтезу системи стабілізації для колісних транспортних роботів з одним і двома кермовими колесами. Запропоновано алгоритм синтезу слідкуючої системи для таких пристроїв. Наведено результати математичного моделювання, що свідчать про ефективність синтезованих алгоритмів. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики О стабилизации движения систем с неголономными связями Про стабілізацію руху систем з неголономними зв’язками On the Stabilization of Movement in Systems with Nonholonomic Constraints Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О стабилизации движения систем с неголономными связями |
| spellingShingle |
О стабилизации движения систем с неголономными связями Ларин, В.Б. |
| title_short |
О стабилизации движения систем с неголономными связями |
| title_full |
О стабилизации движения систем с неголономными связями |
| title_fullStr |
О стабилизации движения систем с неголономными связями |
| title_full_unstemmed |
О стабилизации движения систем с неголономными связями |
| title_sort |
о стабилизации движения систем с неголономными связями |
| author |
Ларин, В.Б. |
| author_facet |
Ларин, В.Б. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про стабілізацію руху систем з неголономними зв’язками On the Stabilization of Movement in Systems with Nonholonomic Constraints |
| description |
У кінематичному наближенні розглянуто задачу синтезу системи стабілізації для колісних транспортних роботів з одним і двома кермовими колесами. Запропоновано алгоритм синтезу слідкуючої системи для таких пристроїв. Наведено результати математичного моделювання, що свідчать про ефективність синтезованих алгоритмів.
У кінематичному наближенні розглянуто задачу синтезу системи стабілізації для колісних транспортних роботів з одним і двома кермовими колесами. Запропоновано алгоритм синтезу слідкуючої системи для таких пристроїв. Наведено результати математичного моделювання, що свідчать про ефективність синтезованих алгоритмів.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206765 |
| citation_txt |
О стабилизации движения систем с неголономными связями / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 218-230. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT larinvb ostabilizaciidviženiâsistemsnegolonomnymisvâzâmi AT larinvb prostabílízacíûruhusistemznegolonomnimizvâzkami AT larinvb onthestabilizationofmovementinsystemswithnonholonomicconstraints |
| first_indexed |
2025-11-26T04:03:52Z |
| last_indexed |
2025-11-26T04:03:52Z |
| _version_ |
1850610943357091840 |
| fulltext |
© В.Б. ЛАРИН, 2006
218 ISSN 0572-2691
УДК 621.865.5: 00752
В.Б. Ларин
О СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ
С НЕГОЛОНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ
Задачи управления механическими системами с неголономными связями
продолжают привлекать внимание исследователей (см., например, [1–4], моно-
графию [5] и ссылки к ней). Как правило, это задачи управления колесными
транспортными роботами, однако в [4] прыгающий одноногий робот приведен в
качестве примера системы с неголономной связью. Задачи управления такими
системами см., например, в [6–8].
Часто задачи управления транспортными роботами рассматриваются в кине-
матическом приближении, т.е. принимаются во внимание только кинематические
неголономные ограничения (см., например, [2]). Для решения задач в такой по-
становке предложен ряд подходов [9, 10, 2, 3]. Естественно, что эти подходы не
позволяют учесть динамические ограничения задачи. Более того, даже в такой
упрощенной постановке могут возникать проблемы с выбором управляющих воз-
действий. Так, в [4] (пример 2 (кинематическая тележка)) в качестве одного из
управляющих воздействий принимается продольная скорость тележки. Однако
при рассмотрении задачи с учетом динамических эффектов эта скорость не может
быть выбрана произвольно, а определяется результатом интегрирования нелиней-
ного дифференциального уравнения (см., например, соотношения (19)–(21) [1],
(7.3) [11]). В этой связи в [11, 12] предложен подход, который позволил для опре-
деленного класса систем с неголономными связями произвести декомпозицию
общей задачи управления на две: задачу управления в кинематическом прибли-
жении и задачу управления с учетом динамических эффектов.
В [13–15, 16, 17] при решении задачи выбора программной траектории для
транспортных роботов с одним и двумя рулевыми колесами успешно использова-
лась такая декомпозиция. Естественно, она может использоваться и при решении
задачи стабилизации колесных транспортных роботов, например, в [11, 12] при
синтезе системы стабилизации транспортного робота с одним рулевым колесом.
Поэтому, используя декомпозицию, описанную в [11, 12], далее рассматривается
только первая часть общей задачи синтеза системы стабилизации, а именно, зада-
ча синтеза системы стабилизации в кинематическом приближении и задача от-
слеживания программной траектории применительно к колесным транспортным
роботам с одним (кинематическая тележка [4]) и двумя [3] рулевыми колесами.
Отметим, что рассматриваемые ниже алгоритмы стабилизации и синтеза
следящей системы для робота с одним рулевым колесом отличаются от описан-
ных в [11, 12].
1. Уравнения движения [13, 11, 16, 17]. Получим уравнение движения для
транспортного робота с одним рулевым колесом [11]. Пусть объект совершает
плоско-параллельное движение в плоскости .Oxy Его положение характеризуется
отрезком AB (рис. 1). Предполагается, что скорость точки B направлена вдоль
отрезка AB, а скорость точки A составляет угол ψ с направлением отрезка AB
(ψ можно интерпретировать как угол поворота рулевого колеса). Положение та-
кой системы определяется координатами ),( yx точки B и углом θ, который об-
разует отрезок AB и ось .Ox Если обозначить Z мгновенный центр скоростей
объекта, VVA , — скорости точек A и ,B ABL = ⋅( — длина отрезка), то
можно получить уравнение движения этого объекта:
Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 219
,cosθ=Vx ,sin θ=Vy .tgψ=θ
L
V (1)
Далее предполагается, что управляющее воздействие u связано с dtd /ψ следу-
ющим образом:
.cosθ=ψ uV (2)
Итак, система (1) и уравнение (2) описывают в кинематическом приближе-
нии движение транспортного робота с одним рулевым колесом (аналог уравне-
ний (11) [20]).
y
VA
z
θ
A
V
B
ψ
x0
Рис. 1
Существенно, что в уравнениях (1), (2) скорость V фигурирует как свобод-
ный параметр, величина которого, при рассмотрении задачи в кинематическом
приближении, может быть выбрана произвольно. Однако скорость движения V
определяется динамическим уравнением. Как отмечено в [11, 12], это обстоятель-
ство позволяет произвести декомпозицию общей задачи стабилизации на задачу
стабилизации скорости V и задачу стабилизации других параметров движения ап-
парата, изменение которых описывается (1), (2).
Далее будем предполагать, что .0>V В этом случае в уравнениях (1), (2) мож-
но выбрать в качестве независимой переменной x и таким образом понизить поря-
док системы. При этом аналогами системы (1), (2) будут следующие уравнения:
,tgθ==′
dx
ydy ,
cos
tg
θ
ψ
=
θ
=θ′
Ldx
d .u
dx
d
=
ψ (3)
Отметим, что в уравнениях (3) штрих означает дифференцирование по x (это не
относится к производной ψ, для которой сохраним обозначение )./ dxdψ
Приняв во внимание, что ,tgθ=′y ,
)(cos
tg
3θ
ψ
=′′
L
y систему (3) заменим од-
ним дифференциальным уравнением третьего порядка
,vy =′′′ (4)
.
)(cos)(cos
)(sinsin3
)(cos)(cos 252
2
23 ψθ
ψθ
+
ψθ
=
LL
uv (5)
Найдем уравнения движения для системы с двумя рулевыми колесами
(рис. 2) [13, 3, 16, 17]. Предположим, что ,LBOAO == 21, ψψ — углы пово-
рота переднего и заднего рулевого колеса соответственно, θ — угол, который об-
разует корпус аппарата с осью .x
220 ISSN 0572-2691
y
VB
VA
ψ1
A
θ
O
B
ψ2
x0
Рис. 2
Обозначив yoxo VV , проекции на оси x и y скорости точки O, можно запи-
сать следующие соотношения:
),(tg
sin
cos
1 θ+ψ=
θθ−
θθ+
LV
LV
xo
yo ).(tg
sin
cos
2 θ+ψ=
θθ+
θθ−
LV
LV
xo
yo (6)
Соотношения (6) представим в виде [12]
),sin)(sincoscoscos2(
)(sin 2121
12
θψ+ψ+θψψ−
ψ−ψ
θ
=
LVxo
),cos)(sinsincoscos2(
)(sin 2121
12
θψ+ψ−θψψ−
ψ−ψ
θ
=
LVyo
или в форме, которую будем использовать далее:
),2(
)(sin2 12
cpmcppcmmLVxo ++
ψ−ψ
θ
−=
),2(
)sin(2 12
smmsppspmLVyo +−−
ψ−ψ
θ
−=
(7)
.
)2(
)(sin2 12
cmmcppcpmL
Vxo
++
ψ−ψ
−=θ
Здесь приняты обозначения:
);(sin 21 ψ−θ−ψ=smm );(sin 21 ψ+θ+ψ=spp
);(sin 21 ψ−θ+ψ=spm );(cos 21 ψ−θ+ψ=cpm (8)
);(cos 21 ψ+θ+ψ=cpp ).(cos 21 ψ−θ−ψ=cmm
Введем управляющие воздействия 1u и 2u следующим образом (аналог со-
отношения (2)):
,11 xoVu=ψ .22 xoVu=ψ (9)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 221
Предполагая, что ,0>xoV перепишем уравнения (7), (9) в следующем виде
(аналог (3)):
,
)2(
)2(
cmmcppcpm
spmsppsmm
dx
dyy
++
++−
==′
,
)2(
)(sin2 21
cmmcppcpmLdx
d
++
ψ−ψ
=
θ
=θ′ (10)
,1
1 u
dx
d
=
ψ .2
2 u
dx
d
=
ψ
Продифференцировав первые два уравнения по x и приняв во внимание по-
следние два уравнения этой системы, запишем
,1vy =′′ (11)
,2v=θ ′′ (12)
где
,, 2222111212121111 buauavbuauav ++=++= (13)
,)1(4
1
11 d
spmsppcpmcppa −+
= ,)1(4
1
12 d
sppsmmcppcmma −+
=
,)2()24( 2
1 cmmcppcmmcppcpmcpmd ++++=
,)2(1
)sin(2
2
2
2
2
12
1
−+
+
ψ+ψ−
=
d
smmsppspm
dL
b
,22 cmmcppcpmd ++=
)),2)(sin()cos((2
212122
2
21 smmsppspmd
Ld
a ++ψ−ψ+ψ−ψ=
)),2)(sin()cos((2
212122
2
22 smmsppspmd
Ld
a −−ψ−ψ+ψ−ψ−=
.
)2())(sin(4
3
2
2
2
12
2
dL
smmsppspm
b
−+ψ+ψ−
=
Здесь использованы обозначения, принятые в (8).
Отметим, что из первых двух уравнений (10) можно получить следующие
выражения для :, 21 ψψ
,
)cossin(
)sincos(arctg1
θ+θ′
θ−θ′+θ′
=ψ
y
yL .
)cossin(
)sincos(arctg2
θ+θ′
θ−θ′−θ′
=ψ
y
Ly (14)
2. Стабилизации движения транспортного робота с одним рулевым коле-
сом [11, 12]. Рассмотрим задачу движения по прямой. Пусть движение объекта
описывается уравнением (4). Задача состоит в выборе u как функции ψθ,,y таким
образом, что нулевое решение уравнения (4) будет асимптотически устойчивым.
222 ISSN 0572-2691
Согласно (4), (5) имеем
.
)(cos)(cos
)(sinsin3
)(cos)(cos 252
2
23 ψθ
ψθ
+
ψθ
=′′′
LL
uy (15)
Управляющее воздействие u выберем таким образом, чтобы уравнение (15)
имело вид
,dyybyay −′−′′−=′′′ (16)
где dba ,, — заданные константы. В этом случае
.
)(cos
)(sinsin3))(cossin)(costg()(cos 2
2
322
θ
ψθ
−θ+θθ+ψψ−=
L
ydLbLau (17)
Таким образом, имеется нелинейный алгоритм стабилизации, гарантирую-
щий устойчивость системы в большом. Требуется указать процедуру выбора кон-
стант, фигурирующих в этом алгоритме. Так закон обратной связи, определяемый
соотношением (17), гарантирует устойчивость системы в большом, при условии,
что значения констант dba ,, обеспечивают асимптотическую устойчивость си-
стем (16), т.е. 0,, >dba и .abd < Естественно попытаться выбрать эти констан-
ты, исходя из какой-либо оптимизационной процедуры. Ниже это будет сделано
применительно к уравнению (4).
Итак, согласно (4) уравнение объекта имеет вид .vy =′′′ Введя фазовый век-
тор T][ yyyz ′′′= (здесь и далее верхний индекс T означает транспонирование),
уравнение (17) запишем так:
,BuAz
xd
zd
+= ,
000
100
010
=A .
1
0
0
=B (18)
Согласно (16) константы dba ,, определяются законом цепи обратной связи
,kzu = который (матрица коэффициентов усиления )k может быть найден в ре-
зультате решения линейной квадратичной задачи (см., например, [18, 19, 20]).
Итак, пусть система (18) оптимизируется в соответствии с квадратичным крите-
рием качества
,)(
0
2T∫
∞
+= dxrvQzzI (19)
в котором можно выбрать следующую структуру для матрицы :Q
,}0,0,1{diag TDDQ == ].001[=D
Очевидно, для решения сформулированной (18), (19) задачи (нахождения мат-
рицы k) можно использовать стандартную процедуру метода пространства со-
стояний (нахождение решения матричного алгебраического уравнения Рикка-
ти [18, 20]). Однако учитывая вид матрицы Q, в данной задаче, по-видимому, це-
лесообразно использовать частотный метод [19], связанный с факторизацией
характеристического определителя ))(( sλ гамильтоновой матрицы вариационной
задачи, определяемой соотношениями (18), (19). Известно, что корни этого поли-
нома, лежащие в левой полуплоскости, совпадают с корнями характеристического
Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 223
полинома оптимальной замкнутой системы «объект + регулятор». В принятых
обозначениях полином )(sλ выглядит так (например, соотношение (3.473) [19]):
,)()(11)()()(
−+−γγ−=λ sHsH
r
sss
),(det)( AEss −=γ .)()( 1 BAEsDsH −−=
Здесь и далее E — единичная матрица соответствующего размера.
Приняв во внимание, что ,)( 3ss =γ ,1)( 3s
sH = имеем .1)( 6
r
ss −=λ Не-
трудно проверить, что корни полинома ),(sλ расположенные в левой полуплос-
кости, совпадают с корнями полинома
.0122
3
2
6
3 =+++
r
s
r
s
r
s (20)
Сравнивая (16) и (20), находим, что константы dba ,, выражаются следующим
образом через параметр :r
,2
6 r
a = ,2
3 r
b = .1
r
d = (21)
3. Синтез следящей системы. Обобщим алгоритм (17) стабилизации транс-
портного робота на случай отслеживания им заданной траектории. Рассмотрим
эту задачу в случае, когда программное движение не сильно отличается от пря-
мой [11]. Итак, пусть )(xy — программное значение траектории аппарата
(точки ).B Перепишем закон стабилизации (16):
)).(( xyydybyay −−′−′′−=′′′ (22)
Это даст возможность «отслеживать» заданную траекторию ))(( xy коорди-
натой y точки B аппарата. Однако такой сравнительно простой алгоритм может
не обеспечить достаточное качество слежения, если )(xy — сравнительно быстро
меняющаяся функция.
Рассмотрим вопрос повышения качества слежения. С этой целью запишем
передаточную функцию между входом ))(( xy и выходом ))(( xy системы, кото-
рая описывается уравнением (22). Эта передаточная функция )(sH имеет вид
.)( 23 dbsass
dsH
+++
= (23)
При сравнительно низких частотах 1<<ω )( ω= is модуль передаточной
функции (23) будет близок к 1. В этой области частот основная погрешность вос-
произведения выходом системы ))(( xy входного воздействия ))(( xy обусловлена
фазовым запаздыванием. Фазовое запаздывание ,ν которое имеет система с пе-
редаточной функцией (23) на частоте ,ω определяется выражением
.tg 2
2
ω
ω−
−ω
=ν
ad
b
При малых ω
.ω−≅ν
d
b (24)
224 ISSN 0572-2691
Это фазовое запаздывание можно компенсировать, вводя в алгоритм стаби-
лизации (22) программное значение )(xy с некоторым опережением ,∆ т.е.
.))()(( ∆+−−′−′′−=′′′ xyxydybyay (25)
Действительно, передаточная функция ),(1 sH соответствующая (25), имеет вид
.)()( 231
s
s
esH
dbsass
desH ∆
∆
=
+++
=
Фазовое запаздывание этой системы в области низких частот (аналог (24))
можно записать так:
.ω∆+ω−=ν
d
b (26)
Выбрав ∆ из условия, что ,0=ν согласно (26) и (21), найдем
.2 6 r=∆ (27)
Таким образом, в случае отслеживания заданной траектории закон цепи об-
ратной связи (17) может быть модифицирован следующим образом:
+θθ+ψψ−= sin)(costg()(cos 22 bLau
.
)(cos
)(sinsin3)))(()(cos 2
2
3
θ
ψθ
−∆+−θ+
L
xyydL (28)
Проиллюстрируем повышение эффективности отслеживания заданной траек-
тории )),(( xy обусловленное наличием опережения ∆ в алгоритме (28).
Пример 1. Движение объекта описывается системой (3), в которой принято,
что .2=L Алгоритм цепи обратной связи определяется соотношением (28). Кон-
станты dba ,, выбраны в соответствии с (21), где принято, что .1,0=r
Функция )(xy определяется следующим образом:
≥
<<−+−
−≤
=
.2если,0
,22если,12/
,2если,2
)(
x
xx
x
xy (29)
На рис. 3–5 приведены результаты ))(),(),(( xxxy ψθ моделирования на ин-
тервале 55 ≤≤− x движения системы (3) и (28) с начальными условиями
,2)5( =−y ,1,0)5( =−θ ,1)5( =−ψ в которой значение ∆ выбиралось в соответ-
ствии с (27). На рис. 6 приведена зависимость )(xy в случае, когда в (28) .0=∆
На рис. 3 и рис. 6 пунктирной линией показана функция (29).
Рис. 4
Рис. 3
Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 225
– 5 x
y
2
0
1 ,52
0,5
– 0,5
12
0
Рис. 6
Таким образом, сравнивая рис. 3 и рис. 6, можно констатировать, что исполь-
зование опережения ∆, величина которого не определяется (27), позволяет суще-
ственно повысить качество отслеживания роботом заданной траектории движения.
4. Стабилизация движения транспортного робота с двумя рулевыми ко-
лесами. Модифицируем подходы, описанные в предыдущих двух разделах, при-
менительно к задаче управления роботом с двумя рулевыми колесами. Отметим
существенное отличие этой задачи. Если движение робота с одним рулевым коле-
сом описывается одним дифференциальным уравнением третьего порядка (4), то
движение робота с двумя рулевыми колесами описывается двумя уравнениями
второго порядка: (11), (12).
Как и раньше, рассмотрим задачу стабилизации движения по прямой. Эта за-
дача состоит в таком выборе ,, 21 uu как функции текущих значений ,,,, 21 ψψθy
что нулевое решение системы (10) или (11), (12) было бы асимптотически устой-
чивым. С этой целью управляющие воздействия выберем таким образом, чтобы
уравнения (11), (12) имели вид
,11 yyy β−′α−=′′ ,22 θβ−θ′α−=θ ′′ (30)
т.е.
,111 yyv β−′α−= .222 θβ−θ′α−=v (31)
Соответствующие значения 21, uu определяются системой линейных урав-
нений (13).
Очевидно, что для асимптотической устойчивости системы (30) необходимо
и достаточно положительности коэффициентов .,,, 2211 βαβα Для выбора вели-
чин этих коэффициентов используем оптимизационную процедуру, аналогичную
описанной в разд. 3.
Введя два фазовых вектора ,][ T
1 yyw ′= ,][ T
2 θ′θ=w заменим уравнения
(11), (12) следующими системами:
,111 vBAww +=′ ,
00
10
=A ,
1
0
=B (32)
.222 vBAww +=′ (33)
Константы 2211 ,,, βαβα , согласно (31), формируют цепи обратной связи и
могут быть найдены в результате решения линейных квадратичных задач. Итак,
пусть системы (32), (33) оптимизируются в соответствии с квадратичными функ-
ционалами
,)(
0
2
111
T
11 ∫
∞
+= dxvrQwwI (34)
Рис. 5
226 ISSN 0572-2691
.)(
0
2
222
T
22 ∫
∞
+= dxvrwQwI (35)
В (34), (35) матрица Q имеет следующую структуру:
,}0,1{diag TDDQ == ].01[=D
Используя соотношения, приведенные в разд. 3, найдем, что характеристиче-
ские определители )(),( 21 ss λλ гамильтоновых матриц, соответствующих вариа-
ционным задачам (32), (34) и (33), (35), имеют вид
−+−γγ−=λ )()(11)()()(
1
1 sHsH
r
sss ,
,)()(11)()()(
2
2
−+−γγ−=λ sHsH
r
sss
,)(det)( AEss −=γ .)()( 1 BAEsDsH −−=
В рассматриваемом случае
,)( 2ss =γ ,1)( 2s
sH =
,1)(
1
4
1 r
ss −=λ (36)
.1)(
2
4
2 r
ss −=λ (37)
Как уже отмечалось, корни полиномов (36), (37), лежащие в левой полуплос-
кости, совпадают с корнями характеристических полиномов оптимальных за-
мкнутых систем, соответствующих вариационным задачам (32), (34) и (33), (35).
Легко проверить, что корни полиномов )(siλ ),2,1( =i расположенные в левой
полуплоскости, совпадают с корнями следующих полиномов:
,012
4
2 =++
ii r
s
r
s .2,1=i (38)
Поскольку полиномы (38) соответствуют характеристическим полиномам
дифференциальных уравнений (30), то можно записать следующие выражения
для констант :,,, 2211 βαβα
,2
4 1
1
r
=α ,1
1
1
r
=β (39)
,2
4 2
2
r
=α .1
2
2
r
=β (40)
5. Синтез следящей системы робота с двумя рулевыми колесами. Обоб-
щим подход, изложенный в разд. 4, для робота с двумя рулевыми колесами. Как и
в разд. 4, рассмотрим задачу синтеза следящей системы, когда программное дви-
жение не сильно отличается от прямой. Отметим существенное отличие данной
задачи от задачи разд. 4. Действительно, если в разд. 4 движение робота описыва-
лось одним уравнением (22), и в этой связи необходимо было задать только про-
Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 227
граммное значение ),(xy то в рассматриваемом случае движение описывается
двумя уравнениями: (11), (12), и поэтому, кроме ),(xy необходимо задать еще
)(xθ — программу изменения угла .θ
Итак, пусть движение объекта описывается (11), (12). Закон цепи обратной
связи (31) запишем следующим образом:
)),(()),(( 222111 xvxyyyv θ−θβ−θ′α−=−β−′α−= (41)
где коэффициенты ,, ii βα ,2,1=i определяются соотношениями (39), (40). Так
как структуры первого и второго соотношений в (41) совпадают, то подробно рас-
смотрим вопрос повышения качества слежения только применительно к первому
соотношению (41). Запишем передаточную функцию )(sH между входом ))(( xy
и выходом системы, описываемой (11), и первым соотношением (41):
.)(
11
2
1
β+α+
β
=
ss
sH (42)
Как и в случае передаточной функции (23), при сравнительно низких часто-
тах 1<<ω )( ω= is модуль передаточной функции (42) будет близок к 1. В этой
области частот основная погрешность воспроизведения выходом системы ))(( xy
входного воздействия ))(( xy обусловлена фазовым запаздыванием ,ν которое
имеет система с периодической функцией (42) на частоте :ω
.tg 2
1
1 ω
ω−β
α
−=ν
При малых ω
.
1
1 ω
β
α
−≅ν
Как и в разд. 4, это фазовое запаздывание будем компенсировать, вводя в ал-
горитм стабилизации (41) программное значение )(xy с некоторым опережением
,1∆ т.е.
.))(( 1111 ∆+−β−′α−= xyyyv (43)
Передаточная функция ),(1 sH системы (11) и (43) имеет вид
.)(
11
2
1 1
β+α+
β
=
∆
ss
e
sH
x
(44)
Фазовое запаздывание в области низких частот передаточной функции (44)
можно записать так:
.1
1
1 ω∆+ω
β
α
−=ν (45)
Выбрав 1∆ из условия ,0=ν согласно (39), (45), имеем
.44 11 r=∆ (46)
228 ISSN 0572-2691
Аналогичные рассуждения, приведенные применительно ко второму соот-
ношению (41), т.е. в случае, когда 2v описывается соотношением, аналогич-
ным (43),
)),(( 2222 ∆+θ−θβ−θ′α−= xv (47)
позволяют сделать вывод, что оптимальное значение 2∆ определяется соот-
ношением
.44 22 r=∆ (48)
Пример 2. Движение объекта описывается системой (11)–(13), в которой
принято, что .1=L Алгоритм цепи обратной связи определяется выражения-
ми (43), (47), в которых константы ,, ii βα ,2,1=i определяются (39), (40), вели-
чины опережения ),( 21 ∆∆ — соотношениями (46), (48), в которых принято, что
.1,021 == rr Функция )(xy определяется (29), функция )(xθ имеет вид
≤
π
−
>
=θ
.2если,
2
4
cos
,2если,0
)(
x
x
x
x (49)
На рис. 7–10 приведены результаты моделирования ))(),(),(),(( 21 xxxxy ψψθ
на интервале 55 ≤≤− x движения системы (11)–(13), (43), (47) при следующих
начальных условиях: .0)5(,1)5(,1,0)5(,2)5( 21 =−ψ=−ψ−=−θ=−y Отметим,
что если в качестве начальных условий задаются ,,,, θ′′θ yy то соответствующие
значения 21, ψψ определяются согласно (14).
Рис. 7
Рис. 8
Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 229
Рис. 9
Рис. 10
Пунктирными линиями на рис. 7, 8 показаны функции (29), (49). Приведен-
ные результаты свидетельствуют о достаточно высоком качестве отслеживания
роботом программных сигналов ,)(xy .)(xθ
В заключение отметим, что алгоритмы стабилизации (28), (41), (13) опреде-
ляют ,,, 21 uuu т.е. .,, 21
xd
d
xd
d
xd
d ψψψ Однако для осуществления стабилизации
в реальном времени необходимо иметь
.,, 21
td
d
td
d
td
d ψψψ (50)
Эти соотношения определяются (2), (9), и, следовательно, для их вычисления
необходимо иметь информацию о фигурирующих в (2), (9) линейных скоростях
., xoVV Как уже отмечалось, эти скорости можно получить как в результате инте-
грирования соответствующего уравнения [14, 15, 11, 12], так и с помощью нави-
гационных устройств. В последнем случае вычисление (50), согласно (2), (9), не
составляет труда и можно говорить о том, что алгоритмы (28), (41), (13) и соот-
ношения (2), (9) полностью определяют цепь обратной связи колесного транс-
портного робота.
В.Б. Ларін
ПРО СТАБІЛІЗАЦІЮ РУХУ СИСТЕМ
З НЕГОЛОНОМНИМИ ЗВ’ЯЗКАМИ
У кінематичному наближенні розглянуто задачу синтезу системи стабілізації
для колісних транспортних роботів з одним і двома кермовими колесами. За-
230 ISSN 0572-2691
пропоновано алгоритм синтезу слідкуючої системи для таких пристроїв. Наве-
дено результати математичного моделювання, що свідчать про ефективність
синтезованих алгоритмів.
V.B. Larin
ON STABILIZATION OF MOVEMENT OF SYSTEMS
WITH NONHOLONOMIC CONSTRAINTS
In kinematic approximation the problem of synthesis of system of stabilization for
wheel transport robots with one and two steering wheels is considered. The synthesis
of algorithm of tracking system for such devices is offered. Results of mathematical
modeling which testify the efficiency of the synthesized algorithms are shown.
1. Bloch A.M., Reyhanoglu M., McClamroch. Control and stabilization of nonholonomic dynamic
systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1992. — 37, N 11. — P. 1746–1757.
2. Conudas de Wit C., Sordalen O.J. Exponential stabilization of mobile robots with nonholonomic
constraints // Ibid. — 1992. — 37, N 11. — P. 1791–1797.
3. Fazal-ur-Rehman. Steering of nonholonomic mobile robots by using differential geometric ap-
proach // Appl. Comput. Math. — 2002. — 1, N 2. — P. 131–141.
4. Murray R.M., Sastry S.S. Nonholonomic motion planning: steering using sinusoids // IEEE Trans.
Automat. Control. — 1993. — 38, N 5. — P. 700–716.
5. Bloch A.M. Nonholonomic mechanics and control. Interdisciplinary applied mathematics, 24.
Systems and Control. — New York : Springer-Verlag, 2003. — 483 p.
6. Larin V.B. The Control of non-stationary regimes of the hopping apparatus motion (The control
of a step length) // Int. Appl. Mech. — 2003. — 39, N 2. — P. 729–754.
7. Larin V.B. Spatial model of the one-legged hopping device // Ibid. — 2004. — 40, N 5. —
P. 726–736.
8. Larin V.B., Matiyasevich V.M. A Control algorithm for a 3D hopping machine // Ibid. — 2004. —
40, N 4. — P. 462–470.
9. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления // Мат. методы в теории си-
стем / Под ред. Ю.И. Журавлева. — М. : Мир, 1979. — C. 174–220.
10. Brockett R.W. Pattern generation and the control of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat.
Control. — 2003. — 48, N 10. — P. 1699–1711.
11. Larin V.B. Stabilizing the motion of a system with nonholonomic constraints // Int. Appl. Mech. —
1998. — 34, N 7. — P. 683–693.
12. Larin V.B. The Control of manipulators and Wheeled transport robots as systems of rigid bodies //
Ibid. — 2000. — 36, N 4. — P. 449–481.
13. Ларин В.Б. О выборе траектории колесного транспортного робота // Прикл. механика. —
2005. — 41, № 2. — С. 91–102.
14. Ларин В.Б. Об управлении колесными транспортными роботами // Там же. — 2005. — 41,
№ 4. — С. 117–125.
15. Ларин В.Б. О выборе траектории колесного транспортного робота с двумя рулевыми коле-
сами // Там же. — 2005. — 41, № 5. — С. 107–115.
16. Larin V.B. Motion planning of mobile robots // Appl. Comput. Math. — 2005. — 4, N 1. —
P. 10–19.
17. Larin V.B. Motion planning in the presence of nonholonomic constraints // J. Appl. Math. and
Mech. — 2005. — 2. — P. 96–108.
18. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. — М. : Мир, 1972. —
544 с.
19. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М. : Мир, 1977. —
652 с.
20. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of linear control systems: analytical methods and computa-
tional algorithms. — Amsterdam : Gordon and Breach Science Publ., 1998. — 261 p.
Получено 30.09.2005
|