Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью

Представлено результати аналітичних та чисельних досліджень ідентифікованості і особливостей задач ідентифікації багатовимірних систем в умовах обмеженої невизначеності. Запропоновано структуру моделі у формі ітеративної схеми, зручної для реалізації, що дозволяє відновлювати модель за окремими су...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2006
Автори:	Губарев, В.Ф., Тигунов, П.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206766
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью / В.Ф. Губарев, П.А. Тигунов // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 231-246. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206766
record_format	dspace
spelling	Губарев, В.Ф. Тигунов, П.А. 2025-09-22T09:24:43Z 2006 Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью / В.Ф. Губарев, П.А. Тигунов // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 231-246. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206766 681.5 Представлено результати аналітичних та чисельних досліджень ідентифікованості і особливостей задач ідентифікації багатовимірних систем в умовах обмеженої невизначеності. Запропоновано структуру моделі у формі ітеративної схеми, зручної для реалізації, що дозволяє відновлювати модель за окремими субмоделями. Визначено умови, за яких задача ідентифікації стає некоректно поставленою. Results of analytical and numerical researches on identifiability and peculiarity of identification problem for multivariable systems under bounded uncertainty are offered. Model structure in suitable form for iterative scheme which allows to reconstruct model by means of separate submodels is proposed. The illconditioning of parameter estimates for identification problem is established. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью Про особливості ідентифікації багатовимірних неперервних систем за даними з обмеженою невизначеністю On the Peculiarities of Identifying Multivariable Continuous-Time Systems from Unknown but Bounded Data Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью
spellingShingle	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью Губарев, В.Ф. Тигунов, П.А.
title_short	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью
title_full	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью
title_fullStr	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью
title_full_unstemmed	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью
title_sort	об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью
author	Губарев, В.Ф. Тигунов, П.А.
author_facet	Губарев, В.Ф. Тигунов, П.А.
publishDate	2006
language	Russian
container_title	Проблемы управления и информатики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Про особливості ідентифікації багатовимірних неперервних систем за даними з обмеженою невизначеністю On the Peculiarities of Identifying Multivariable Continuous-Time Systems from Unknown but Bounded Data
description	Представлено результати аналітичних та чисельних досліджень ідентифікованості і особливостей задач ідентифікації багатовимірних систем в умовах обмеженої невизначеності. Запропоновано структуру моделі у формі ітеративної схеми, зручної для реалізації, що дозволяє відновлювати модель за окремими субмоделями. Визначено умови, за яких задача ідентифікації стає некоректно поставленою. Results of analytical and numerical researches on identifiability and peculiarity of identification problem for multivariable systems under bounded uncertainty are offered. Model structure in suitable form for iterative scheme which allows to reconstruct model by means of separate submodels is proposed. The illconditioning of parameter estimates for identification problem is established.
issn	0572-2691
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206766
citation_txt	Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью / В.Ф. Губарев, П.А. Тигунов // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 231-246. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gubarevvf obosobennostâhidentifikaciimnogomernyhnepreryvnyhsistempodannymsograničennoineopredelennostʹû AT tigunovpa obosobennostâhidentifikaciimnogomernyhnepreryvnyhsistempodannymsograničennoineopredelennostʹû AT gubarevvf proosoblivostíídentifíkacííbagatovimírnihneperervnihsistemzadanimizobmeženoûneviznačenístû AT tigunovpa proosoblivostíídentifíkacííbagatovimírnihneperervnihsistemzadanimizobmeženoûneviznačenístû AT gubarevvf onthepeculiaritiesofidentifyingmultivariablecontinuoustimesystemsfromunknownbutboundeddata AT tigunovpa onthepeculiaritiesofidentifyingmultivariablecontinuoustimesystemsfromunknownbutboundeddata
first_indexed	2025-11-26T00:12:51Z
last_indexed	2025-11-26T00:12:51Z
_version_	1850596908050939904
fulltext	© В.Ф. ГУБАРЕВ, П.А. ТИГУНОВ, 2006 Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 231 УДК 681.5 В.Ф. Губарев, П.А. Тигунов ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ИДЕНТИФИКАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ПО ДАННЫМ С ОГРАНИЧЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ∗ Наиболее трудной и малоисследованной является задача идентификации многомерных объектов с ограниченной неопределенностью, когда отсутствует какая-либо априорная информация о предполагаемом порядке модели и значени- ях других ее параметров. В этом случае часто сложно отделить полезный сигнал от возмущений и таким образом пытаться установить порядок модели. Это усу- губляется еще тем, что с увеличением размерности показатель точности оценива- ния по неточным данным сначала уменьшается, а затем неограниченно начинает расти. Такое явление характерно для многих задач, связанных с аналитической аппроксимацией экспериментальных данных (см., например, [1–4] и библиогра- фию к ним). Основная причина — это неустойчивость решений, связанная с не- корректностью поставленной задачи. Кроме того, в таких задачах утрачивает смысл понятие состоятельности оценки, поскольку невозможно установить предельные свойства решений, когда неограниченно увеличивается число используемых данных. Как следствие, значи- тельно сложнее получить условия идентифицируемости и определить, какое входное воздействие будет информативным. Цель настоящей статьи — провести детальный анализ особенностей иденти- фикации многомерных систем в условиях неопределенности на основе разрабо- танного нестандартного подхода к проблеме и результатах проведенных вычисли- тельных экспериментов. Особое внимание при этом уделяется выявлению усло- вий, при которых задача идентификации становится некорректно поставленной. 1. Описание подхода Пусть идентифицируемый многомерный объект — линейная стационарная система, имеющая r входов, на которые могут подаваться управляемые воздей- ствия ,,,, 21 ruuu  а также m выходов ,,,, 21 myyy  позволяющих измерять ре- акцию системы на эти воздействия. Тогда для системы, находившейся в покое до момента ,0=t начиная с которого прикладывается входное воздействие, соотно- шение вход–выход, получаемое из формулы Коши, можно записать в виде ),()()())(()( 0 ttuDduBtCty t ξ++τττ−Φ= ∫ (1) где )],(,),([)( 1 T tytyty m= )],(,),([)( 1 T tututu r= C, B и D — матрицы раз- мерностей ,nm× rn × и rm× соответственно, )( τ−Φ t — переходная матрица системы, элементы которой формируются из независимых фундаментальных ре- шений, )](,),([)( 1 T ttt mξξ=ξ  — вектор ограниченной неопределенности, кото- рый содержит в себе неконтролируемые воздействия, немоделируемую детерми- ∗ Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследо- ваний Министерства образования и науки Украины. Проект 01.07/00036. 232 ISSN 0572-2691 нированной частью (1) динамику и погрешности измерения. Размерность n опре- деляет число внутренних степеней свободы или мод системы, которые априори неизвестны. Если подавать возбуждающее воздействие отдельно на каждый вход iu при 0≡ku ),( ik ≠ то отклик системы на p-м выходе будет равен ),()()())(()( 0 T)( ttuddubtcty pipii t ip i p ξ++τττ−Φ= ∫ (2) где T pc — p-я вектор-строка матрицы C, а ib — i-й вектор-столбец матрицы B. Переходная матрица )( τ−Φ t для стационарного случая имеет вид =τ−Φ )(t ,)( τ−= tAe где A — матрица размерности n однородной системы в пространстве состояний. Для определения переходной матрицы можно использовать обычное преобразование Лапласа согласно выражению },{ 11 −−θ −= ApELe A (3) где 1−L — обратное преобразование Лапласа. Если для A взять блочно-диагональную каноническую жорданову форму, то (3) позволяет в явном виде представить переходную матрицу )( τ−Φ t и тогда (2) можно записать в виде разложения по фундаментальным решениям. Поскольку цель работы — установить особенности процедуры идентификации в условиях ограниченной неопределенности, то рассмотрим более простой случай, когда все собственные значения матрицы A — действительные числа. При этом (2) примет вид ),()()( )!1( )()( 0 )(1 1 1 )()( ttuddue j tgty pipii t tjQ q n j i pqj i p q q ξ++ττ − τ− = ∫∑ ∑ τ−γ− − = = (4) где qγ — собственное значение матрицы A кратности ,qn а Q — число ее жор- дановых клеток и nnq Q q =∑ =1 ).( nQ ≤ Коэффициенты pqjg могут быть явно выражены через компоненты векторов pc и .ib Для этого матрицы C и B сначала представим в блочном виде, согласо- ванном с клеточной структурой A, т.е. , 1                 = Q q B B B B   .][ 1 Qq CCCC = Тогда векторы pc и ib можно записать как ,,1,,1,],,,,,[,],,,,,[ TTT 2 T 1 TTTT 2 T 1 T rimpbbbbbccccc QiqiiiipQpqppp ====  где .],,,[,],,,[ 21 T 21 T qq qinqiqiqipqnpqpqpq bbbbcccc  == Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 233 Если образовать из коэффициентов )(i pqjg векторы ,],,,[ T)()( 2 )( 1 )( i pqn i pq i pq i pq q gggg = то при жордановой форме матрицы A будем иметь следующие уравнения связи:                                     =                     − qq q qq q pqn pq pq qin qinqiqi qinqinqiqi i pqn i pq i pq c c c b bbb bbbb g g g       2 1 32 21 )( )( 2 )( 1 000 0 1 . (5) Таким образом, (4) дает нам rm× уравнений, описывающих динамику мно- гомерной системы, структурными детерминированными параметрами которой яв- ляются собственные числа qγ и их кратность ,qn коэффициенты разложения им- пульсной переходной функции )(i pqjg и матричные элементы ,pid а также размер- ность Q или число степеней свободы (мод) n. Такая структура модели позволяет проводить идентификацию ее параметров отдельно по каждому из rm× уравне- ний, подавая поочередно на каждый вход iu возбуждающий сигнал (при нулевых остальных) и измеряя отклик на него на каждом выходе. Это возможно, поскольку каждый вектор ],,,[ T)(T)( 2 T)( 1 )( i pQ i p i p i p gggg = связан со своей группой параметров матриц B и C, определяемых соотношениями (5), а также с каждым отдельным элементом .pid Наличие общих параметров qγ позволяет проводить идентифи- кацию итеративно с использованием процедур усреднения. При этом устанавли- ваемые значения qn и Q для каждого из уравнений (4) могут не совпадать. Это говорит о том, что некоторые старшие моды ненаблюдаемые на каких-то выходах либо неуправляемые по некоторым входам. Тогда размерность матрицы A или по- рядок системы устанавливается соотношением , 1 nnq Q q =∗ = ∑ где ∗ qn соответствует максимальному размеру q-й жордановой клетки по всем входам и выходам, а Q определяется числом различных ,qγ устанавливаемых также по всем входам и выходам. Дополнительным основанием для раздельной по входам и выходам идентификации служит то обстоятельство, что метод решения задачи не должен зависеть от значений m и r и оставаться эффективным при любом их количестве, в том числе для одного входа и одного выхода. Структура модели в форме (4), полученная для жорданового представле- ния A, сохраняется для любых реализаций этой матрицы, связанных между собой неособым преобразованием. Другими словами, структура модели (4) и ее пара- метры инвариантны относительно преобразований базиса системы и переходе к новым переменным пространства состояний. Однако только для жордановой формы можно получить достаточно простые уравнения связи (5) как между пара- метрами )(i pqjg и элементами матриц qB и ,qC так и для явного вида блоков мат- рицы A, через ,qγ qn и Q. 2. Условия идентифицируемости Предлагаемая структура модели в форме (4) и соотношения (5) позволяют установить некоторые условия идентифицируемости как мод, входящих в q-ю 234 ISSN 0572-2691 жорданову клетку, так и системы в целом. Каково бы ни было входное воздей- ствие )(tu для идентификации всех qn мод q-й клетки, необходимо, чтобы у мат- риц qC и qB нашлись такие вектор-строка pqc и вектор-столбец ,qib для кото- рых мода 1qx наблюдаема, ,01 ≠pqc а мода qqnx управляема, .0≠ qqinb Действи- тельно, каждому диагональному блоку qJ матрицы A соответствует вектор состояния ],,,[ 21 T qqnqqq xxxx = размерности .qn При этом , 1 )( ∑ = = qn i qqnpqi i pq xcy а уравнение для моды qqnx не зависит от других мод блока и равно .iqinqnq qn ubx dt dx qq q =γ+ В то же время, когда возбуждается мода , qqnx все остальные моды блока также возбуждаются за счет зацепления с модой qqnx даже при равных нулю ко- эффициентах ,qijb .1,1 −= qnj Если 0 1 = qqinpq bc при любых допустимых p и i, то идентифицируемы не бо- лее 1−qn мод жордановой клетки, а при 0 1 == qqinpq bc не более 2−qn мод. Вся система идентифицируема, когда идентифицируем каждый блок, т.е. .0,,1,,1, )( ≠∈∃∈∃∈∀ i pqnq grimpQq Структура модели в форме (4) позволяет осуществлять идентификацию по- этапно. Сначала целесообразно оценить значения ,qγ их кратность qn и компо- ненты векторов ,)(i pqg а также элементы ,pid затем уже по )(i pqg определять ком- поненты векторов pqc и ,qib используя для этого, например, соотношения (5). Остановимся на последнем подробнее. Пусть система имеет один выход и r вхо- дов. В этом случае из (5) вектор-строки ),1( Qqcq = и вектор-столбцы qb ),1,,1( riQq == определяются по значениям компонент вектора )(i qg неодно- значно. Тогда следует выбрать структуру модели в наблюдаемой канонической форме, т.е. положить ).,1(121 Qqccc qqnqq =====  В результате обратным ходом метода Гаусса из (5) однозначно находятся параметры .qijb Аналогично можно поступить, если система имеет один вход и m выходов. Тогда выбираем управляемую каноническую форму 121 ==== qqnqq bbb  ).,1( Qq = В итоге (5) принимает гауссово представление и значения qijc находятся однозначно. Заметим, что при выборе наблюдаемой канонической формы можно взять 0,1 21 ==== qqnqq ccc  и получить )(i qjqij gb = ).,1,,1( Qqnj q == Аналогич- но для управляемой канонической формы с коэффициентами ,qjb равными =1qb ,01 === −qqnb ,1= qqnb будем иметь =pqjg .1+−= jpqnq c Отсюда понятен фи- зический смысл коэффициентов )(i pqjg в (4). В многомерном случае (много входов и выходов) (5) дает переопределенную систему и в то же время сохраняется неоднозначность в выборе коэффициентов. Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 235 Тогда следует либо по одному из входов выбрать управляемую или по одному из выходов наблюдаемую канонические формы, а остальные коэффициенты нахо- дить из переопределенной системы (5). В этом случае, представляя систему как совокупность подсистем, каждая из которых имеет один вход (i фиксировано) и m выходов или один выход (p фиксировано) и r входов, можно получить множе- ственную оценку элементов матриц qB и .qC Затем, проведя на каждом отдель- ном множестве принадлежности коэффициентов усреднение, придем к однознач- ной оценке. Может показаться, что более оптимальным является решение (5) ме- тодом наименьших квадратов. Однако большой разброс получаемых коэф- фициентов свидетельствует о существенной погрешности оценивания коэффициентов ,ˆ )(i pq g а при малых отклонениях процедура усреднения будет при- емлемой без применения сложных алгоритмов. 3. Формирование информативных данных Обратимся теперь к вопросу, как формировать входной тестовый сигнал ),(tui чтобы обеспечить разрешимость задачи идентификации в условиях неопределен- ности. Для этого рассмотрим входные воздействия, состоящие из кластера S гар- моник, например синусоид следующего вида: .sin)( 1 ∑ = ω= S s sisi tutu (6) Подставив (6) в (5) и произведя интегрирование, получим +ω        ω+γ ϕ− + − = ∑ ∑ ∑∑ ∑ = = = − = = γ− tug j j tfety sis S s Q q n j pqjj sq sq jjQ q n j i pqj ti p qq q sin )( cos)1( )1( )( 1 1 1 2/22 1 1 1 )()( .)(sincos )( cos)1( 11 1 1 2/22 ttudtug j ps S s ispisis S s Q q n j pqjj sq sk jq ξ+ω+ω        ω+γ ϕ− + ∑∑ ∑ ∑ == = = (7) В выражении (7) коэффициенты )(i pqjf можно рассматривать как компоненты вектора ,],,,[ T)()( 2 )( 1 )( i pqn i pq i pq i pq q ffff = который связан с вектором )(i pqg соот- ношением ,)()()( i pq i q i pqj gHf = (8) где , ),1(000 ),2(),1(00 ),1(),2(),1(0 ),(),1(),2(),1( )( )()( )()()( )()()()( )(                         −− − = qh qhqh qnhqnhqh qnhqnhqhqh H i ii q i q ii q i q iii i q    236 ISSN 0572-2691 ,,1,sin )( )1(),( 1 2/22 1)( ∑ = + =ϕ ω+γ −= S s qspj sq isji njj u qjh .cos,sin 2222 sq q sp sq s sp ω+γ γ =ϕ ω+γ ω =ϕ Первое слагаемое в (7) определяет переходный процесс, а последующие — вынужденное движение системы. Из (7) следует, что идентификацию системы можно интерпретировать как за- дачу аппроксимации экспериментально полученного и обычно зашумленного ре- ального отклика )(ty p ∗ конечномерным набором независимых функций. Часть из них, определяющих установившееся движение, нам известна, а другие состоят из известных по структуре, но с неизвестными параметрами qγ и qn функций, яв- ляющихся фундаментальными решениями. Поэтому для идентификации целесо- образно из сигнала (7) выделять отдельно вынужденное движение и переходный процесс. Для асимптотически устойчивых систем с ,0>γq если использовать данные, начиная с того момента, когда переходный процесс практически затух, то в )()( ty i p остается только вынужденное движение. Например, данные можно брать из полуинтервала ),,[ min ∞t где ,)( 1 1min −γ>>t а 1γ — минимальное собственное число. Затем можно применить метод конечно-частотной идентификации много- мерного объекта [5]. Для этого следует либо выбрать частоты sω в (6), кратными некоторой базовой частоте, либо провести S экспериментов с одночастотной накачкой и различными .),1( Sss =ω Тогда можно выделить конечное число ча- стотных характеристик исследуемого объекта, осуществив интегрирование по формулам .cos)( ,sin)( )( /2 )( )( /2 )( min min min min tdtty uk tdtty uk s i p skt tis si s s i p skt tis si s ω π ω =β ω π ω =α ∫ ∫ ωπ+ ωπ+ (9) Множество },1,,{ )()( Ssi s i s =βα — исходные данные метода конечномерной частотной идентификации [5]. Из (7) нетрудно получить соответствующие урав- нения для определения всех параметров, которые входят в рассматриваемую структуру модели. Однако наибольший интерес для нас представляют данные переходного про- цесса, поскольку они позволяют, во-первых, проводить идентификацию на отно- сительно коротком интервале времени и, во-вторых, восстанавливать не всю мо- дель сразу, а находить ее по отдельным частям. Последнее особенно важно для многомерных систем. Как известно, при аналитической аппроксимации по экспе- риментальным приближенным данным неизвестной функции, представляемой в виде разложения по системе независимых функций, существует оптимальное чис- ло членов разложения, при котором величина погрешности минимальна. Даль- нейшее увеличение размерности аппроксимирующего ряда приводит к неограни- Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 237 ченному росту погрешности аппроксимации [4]. Таким образом, задача много- мерной аппроксимации типа (7) является некорректно поставленной относительно подобной задачи суммирования большого числа членов ряда Фурье с приближен- но заданными коэффициентами. Чтобы выделить переходный процесс из (7), достаточно многократно проин- тегрировать )()( ty i p на скользящем интервале       ω π + s tt 2,1 для :,1 Ss = .)()(~ 2 )( 2 2 1 2 )( 1 1 2 1 1 1 ∫∫∫ ω π +τ τ ω π +τ τ ω π + − − ττττ= S S S SS i p t t i p dyddty  (10) В результате получим ∑ ∑ ∑ = = ω πγ −− = −      +      ω π +−= Q q n j jS s s ji pqj i p q s q ettwty 1 1 21 1 1)()( 2)(~ +−        ω π + ω π ++         ω + ω πγ−− += = ∑ ps q et jS sp s ps 1121 1 1 22 ).(~22)1( 112 1 1 1 teet p t S S qS q j ξ+            ω π ++ ω π +−+ γ−      ω ++ ω πγ −   (11) Здесь )(i pqjw — компоненты вектора ],,,,[ )()( 2 )( 1 )( i pqn i pq i pq i pq q wwww = связанно- го с вектором )(i pqf преобразованием ,)( )( )( i pqq i pq fWw = где , 100 10 1 2 11 )( S n q n qq q q q W                   γ γγ = − −−     )(~ tpξ — многократно проинтегрированная на скользящих интервалах погреш- ность ).(tpξ Исходные данные следует брать из проинтегрированных согласно (10) реаль- ных выходов системы. Очевидно, они должны выбираться в пределах переходно- го процесса так, чтобы отношение полезного сигнала к помехе было существенно больше единицы. Если возмущения и погрешности измерений не зависят от вход- ного воздействия, то увеличением амплитуд накачки isu можно обеспечить до- статочное число информативных данных. Обозначим ],0[ T интервал переходно- го процесса с информативными данными и выберем на нем N моментов времени ,,,, 21 Nttt  где .,01 Ttt N ≤≥ Тогда последовательность },1),(~{ )( Njty j i p = 238 ISSN 0572-2691 значений )(~ i py для этих моментов времени может составить исходные для иден- тификации данные. При этом полученные сигналы зависят от выбранных частот sω и амплитуд ,isu а самое главное, у различных мод будет свой интервал ин- формативных данных. Поэтому, манипулируя isu и ,sω величинами ,1t Nt и шагом квантования, можно влиять на величину вклада различных мод в последо- вательность }.,1),(~{ )( Njty j i p = В свою очередь это открывает возможность изби- рательно формировать такое множество данных, которое будет содержать инфор- мативный отклик только определенной группы мод, а все остальные моды сис- темы будут давать вклад в )(~ )( j i p ty на уровне имеющейся неопределенности. В результате можно строить итерационные схемы идентификации, позволяющие восстанавливать не всю модель сразу, а по отдельным частям. 4. Процедура идентификации Моды с информативным откликом будем называть существенными. Если их число и кратности qγ были бы известны, то соотношения (11) позволяют форми- ровать соответствующие аналитические выражения сигналов )(~ )( j i p ty и исполь- зовать их вместе с экспериментальными данными для приближенного оценивания параметров существенных мод. Поэтому рассмотрим один из возможных спосо- бов нахождения размерности числа существенных мод и определения кратности .qγ Для этого воспользуемся подходом, широко применяемым в 4SID- методах при определении порядка модели [6]. Из последовательности ),(~{ )( j i p ty },1 Nj = формируем обобщенную ганкелеву матрицу , ~~~ ~~~ ~~~ )()()( )()()( )()()( )( 11 132 21                     = −η+ξ+ηη +ξ ξ i p i p i p i p i p i p i p i p i p i p yyy yyy yyy Y     .1,)(~~ )()( Ntyy j i p i pj ≤−η+ξ= (12) Величины ξ, η и N выбираются так, чтобы число существенных мод субмо- дели было значительно меньше, чем ),min( ηξ . При этом желательно, чтобы мат- рица )(i pY не сильно отличалась от квадратной. Осуществим сингулярное преоб- разование матрицы ,)(i pY т.е. ,T)( VUY i p Σ= (13) где U и V — ортогональные матрицы размерности η×η и ξ×ξ соответственно, а Σ — диагональная матрица с сингулярными числами, расположенными в невоз- растающем порядке. Размерность субмодели зависит от «практического ранга» или ε-ранга матрицы, определяемого по формуле .)rank(min),(rank 2 ˆ YY YY ε≤− =ε (14) Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 239 Величина ε равна ограничению на погрешность ,~ pξ с которой получены значения )(~ i py в эксперименте с учетом преобразования (10). Вместо (14) практи- ческий ранг субмодели ),(rank )( ε=ε i pYr в соответствии с [7] можно определять из условия ).,,(diag),,min(, 11 1 pprr p σσ=Σηξ=σ≥≥σ≥ε>σ≥≥σ +εε  Таким образом, получаем ,snr =ε где sn — размерность субмодели, соот- ветствующей выбранной последовательности данных )}.(~{ )( j i p ty После установления по практическому рангу величины sn следует опреде- лить кратности входящих в субмодель значений .qγ Для этого можно использо- вать дифференциальное или интегральное преобразование сигнала )(~ )( ty i p вида ty dt tyd ty i p i pi p )( )( )( 1 ~)(~ ),( λ+=λ или ,~1)(~),( )( 0 )()( 2 tydyty i p t i p i p λ +ττ=λ ∫ (15) где λ — настраиваемый параметр. По аналогии с предыдущим формируем из сиг- налов (15) сначала последовательности )},(~{ )( 1 j i p ty λ или )},,(~{ )( 2 j i p ty λ ,,1 Nj = а затем обобщенные ганкелевы матрицы )( 1 i pY или )( 2 i pY и устанавливаем дли них число существенных сингулярных чисел, используя для этого SVD-преобразо- вания. Варьируя параметр λ, находим те его значения, при которых число син- гулярных чисел, определяющих практический ранг матрицы, уменьшается на единицу. Именно эти значения, как это легко установить, подставляя (11) в (15), и будут .qγ Если число таких λ оказалось равным ,sn то все собственные зна- чения простые, а если меньше, то среди qγ есть кратные. Для определения крат- ности qγ  необходимо многократно осуществить преобразование (15), проверяя каждый раз практический ранг соответствующих матриц при варьировании λ вблизи предполагаемых кратных собственных значений. Если при qγ=λ коли- чество сингулярных чисел уменьшилось на единицу, то имеем дело с кратным корнем. Когда при очередном преобразовании количество сингулярных чисел при qγ=λ не уменьшилось, то для данного qγ процедура нахождения его крат- ности исчерпана. Кратность такого корня определяется общим числом произве- денных при этом преобразований (15). Проверка кратности заканчивается, когда число найденных qγ с учетом их кратности становится равным .sn За интер- вальную оценку qγ можно брать интервал тех значений λ, для которых выпол- няется .ε≤σ εr Середина этого интервала может быть приближенной точечной оценкой .ˆ qγ Дифференциальное преобразование в (15) целесообразно использовать, когда помеха преимущественно низкочастотная, а интегральное эффективнее при высо- кочастотных шумах. При многократном использовании преобразований их можно чередовать. 240 ISSN 0572-2691 После того как sn и кратности qγ установлены, в (11) неизвестными оста- ются только коэффициенты )(i pqjw и собственные значения .qγ При этом грубые оценки для ,qγ а возможно, и близкие к точным, получаются при использовании фильтров (15). Если теперь для экспериментально полученных последовательнос- тей )},(~{ )( j i p ty )},(~{ )( 1 ty i p λ или )},(~{ )( 2 ty i p λ записать, исходя из (11), (15), соответ- ствующие им аналитические выражения, то получим систему уравнений для определения указанных параметров. На их основе с использованием процедур ме- тода наименьших квадратов можно решить задачу параметрической идентифика- ции данной субмодели полностью. Чтобы провести идентификацию последую- щих субмоделей, необходимо сформировать новые данные, используя для этого другой интервал переходного процесса и выбрать новый входной тестовый сиг- нал (6). В качестве исходного следует взять экспериментально полученный сиг- нал ),(~ )( ty i p из которого вычитается аналитически вычисляемая часть вклада всех мод идентифицированных субмоделей. Продолжая этот последовательный про- цесс идентификации субмоделей, можно итеративно восстанавливать многомер- ную модель системы любой сложности. 5. Результаты исследований методом численного моделирования Основная цель численного моделирования — это подтверждение результатов аналитических исследований и выяснение особенностей и свойств тех процедур, которые предлагается использовать для идентификации. Сначала рассматривался детерминированный случай, когда отсутствуют всякие погрешности, кроме вы- числительного характера. Данные генерировались системой четвертого порядка с одним кратности три и одним простым собственными числами 1γ и .2γ Для вы- деленного выхода и входа, на который подавалось одночастное информативное для всех мод воздействие (6), формировались ганкелевы матрицы. Число сингу- лярных чисел для 013 ≠g и 021 ≠g определялось при широком варьировании параметров системы и всегда было строго равным четырем. Описанные в статье процедуры правильно определяли кратность и с высокой точностью (в пределах вычислительной погрешности) давали оценки параметров. Все последующие ре- зультаты получены при наличии погрешности ),(~ tξ которая ограничивалась по отношению к полезному сигналу безразмерным значением ε. Поэтому макси- мальные значения qj w нормировались на единицу. Поведение сингулярных чисел iσ при варьировании параметра 11w для 1,1, 21131211 === wwww представлено на рис. 1 и рис. 2. Из рис. 1 видно, что при малой погрешности 005,0=ε % четыре сингулярных числа, соответствую- щие идентифицируемой системе, легко отличить от сингулярных чисел, связан- ных с возмущениями. Когда ε увеличивается, четвертое сингулярное число при- ближается к области возмущений и, начиная с некоторого ε, становится неразли- чимым на их фоне. На рис. 2 показано поведение сингулярных чисел для значения ε = 0,006 %, близкого к порогу неразличимости четвертого числа. Оба рисунка подтверждают также полученное условие идентифицируемости всех трех мод с кратным собственным значением при 013 ≠g и произвольных 11g и ,12g в том числе, когда .01211 == gg Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 241 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 w11 σi 10− 6 10− 5 10− 4 10− 3 10− 2 10− 1 100 101 4 3 2 1 Рис. 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 w11 σi 10− 6 10− 5 10− 4 10− 3 10− 2 10− 1 100 101 4 3 2 1 Рис. 2 Поведение сингулярных чисел в зависимости от параметра λ для сигналов )( 1 i py и ,)( 2 i py полученных дифференциальным и интегральным преобразования- ми (15), показано на рис. 3 и рис. 4. Дифференциальное применялось для низкоча- стотной помехи, интегральное — для высокочастотной. Оба преобразования дают интервальную оценку 21 =γ и ,5,42 =γ отмеченных на рисунках «× ». При 0→ε интервалы сужаются и в пределе дают точечную оценку, совпадающую с точными значениями 1γ и .2γ Наибольший интерес представляют исследования условий, при которых за- дача идентификации при ограниченной неопределенности становится некоррект- но поставленной. Как показывают вычислительные эксперименты, при увеличе- нии размерности субмодели погрешность оценивания параметров растет, что со- гласуется с известными результатами по аппроксимации экспериментальных данных в условиях неопределенности [4]. Однако некорректность имеет место не только при увеличении порядка мо- дели. При малой размерности алгоритмы идентификации также могут становит- 242 ISSN 0572-2691 ся неустойчивыми, что определяется как параметрами идентифицируемого объ- екта, так и значениями амплитуд isu и частот sω входного воздействия (6). Ре- зультирующее действие указанных факторов аккумулируется в коэффициентах )(i pqjw (см. (11)). Например, коэффициент qpqnw может оказаться малым как из-за малости коэффициента ,)(i pqnq g так и из-за малости коэффициента ),,1()( gh i по- скольку .),1( )()()()( i pqn ii pqn i pqn qqq gghfw == Кроме )(i pqnq w малым может стать и ко- эффициент )( 1 i pqnq w − за счет 1−qpqng или из-за ),,2()( gh i которое вместе с ),1()( gh i может быть также близким к нулю. Попробуем подобрать такое входное воздействие, при котором вклад всей жордановой клетки или группы мод в тестовом сигнале )()( ty i p равен нулю или очень мал. В результате сигнал соответствующих мод становится меньше погрешности ),(tpξ что приведет к неустойчивости алгоритмов идентифика- ции. Это полностью подтверждается результатами расчетов, представленными кривыми на рис. 5–8. При моделировании рассматривалась субмодель, имею- щая три моды с кратными собственными значениями. Как установлено ранее и подтверждено рис. 1, при 13w порядка единицы субмодель идентифицируема при любых 11w и .12w Если же положить ,112 =w а 13w варьировать в интерва- ле [−1, 1], то при малых 13w задача идентификации превращается в некоррект- но поставленную. На рис. 5 хорошо виден переход к неустойчивости при уменьшении 13w для высокочастотного шума, а на рис. 6 те же зависимости представлены при низко- частотной помехе. Здесь δ — относительная погрешность оценивания параметров. Аналогичный результат имеет место, когда 13w и 12w приближаются к нулю при условии ,111 −=w ,1312 ww = что видно из рис. 7 для высокочастотного и рис. 8 для низкочастотного шумов. Однако, если в неустойчивой области значений 13w взять субмодель не третьего, а второго порядка с первыми двумя модами, полу- чим для параметров 11w и 12w оценку, согласованную с уровнем присутствую- щих возмущений. Это же относится и к случаю малых значений 13w и .12w Тогда приближенной является модель первого порядка, для которой получаемая оценка 11w близка к точной. В результате моделирования установлены безразмерные не- устойчивые интервалы значений 13w при .112 =w В достаточно широком диапазоне значений 11w и высокочастотной помехе оценка будет неустойчивой, если )16,0,42,0(13 −∈w для %,1,0=ε ∈13w )2,0,43,0(−∈ для %.5=ε При низкочастотном шуме и тех же параметрах не- устойчивая область была в интервалах: 1) )18,0,62,0(13 −∈w для %;1,0=ε 2) )22,0,65,0(13 −∈w для %.5=ε Аналогичные неустойчивые интервалы, толь- ко смещенные в сторону положительных значений, получаются для 1312 ww = при .111 =w Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 243 0 1 2 3 4 5 6 7 λ σi 10− 5 10− 4 10− 3 10− 2 10− 1 100 101 102 4 3 2 1 Рис. 3 0 1 2 3 4 5 6 7 λ σi 10− 7 10− 6 10− 5 10− 4 10− 1 100 101 102 4 3 2 1 10− 3 10− 2 Рис. 4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 w13 δ, % 0 30 40 50 10 20 60 70 ε = 0,1 % ε = 1 % ε = 10 % Рис. 5 244 ISSN 0572-2691 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 w13 δ, % 0 30 50 40 10 20 60 70 ε = 0,1 % ε = 1 % ε = 10 % 80 90 Рис. 6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 w12 δ, % 0 25 35 30 10 20 40 45 ε = 0,1 % ε = 1 % ε = 10 % 50 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 5 15 Рис. 7 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 w12 δ, % 0 80 120 100 60 140 160 ε = 0,1 % ε = 1 % ε = 10 % 180 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 20 40 Рис. 8 Задача идентификации в условиях неопределенности также может быть не- корректно поставленной, когда простые или кратные собственные значения ре- альной системы оказались близкими друг к другу. Это объясняется тем, что на информативном интервале переходного процесса различить моды с близкими экспонентами при неточных данных невозможно. Этот факт иллюстрируется на рис. 9 для двух мод с простыми собственными значениями 1γ и ∆+γ=γ 12 и при погрешности исходных данных с ε = 10 %. Видно, как при уменьшении ∆ относи- тельная погрешность оценивания δ растет и, начиная с ,1≈∆ алгоритмы оцени- Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 245 вания становятся плохо сходящимися и дают неустойчивую оценку. Если для это- го случая задать модель первого порядка, то алгоритмы оценивания становятся устойчивыми и дают приближенные собственное число 11ˆ γ≈γ и параметр .ˆ 211 ggg +≈ Данный результат почти очевиден и подтверждается аналитически, если при малых ∆ в )(~ )( ty i p выполнить асимптотическое разложение выражений, имеющих близкие собственные значения. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 ∆ δ, % 0 150 250 200 100 300 350 400 50 Рис. 9 Заключение Как следует из [4] и многих других работ, число членов разложения (7) при аппроксимации экспериментально полученной приближенной функции )()( ty i p всегда ограничивается некоторым числом ,kpn начиная с которого задача оцени- вания параметров этого ряда становится некорректно поставленной. Практически любой алгоритм будет давать неустойчивое решение, зависящее от конкретной реализации помехи ).(tpξ В соответствии с теорией некорректных задач kpn за- висит от величины ε так, что при .,0 ∞→→ε kpn Поэтому при заданном уровне неопределенности исходных данных задача идентификации многомерного объек- та с числом степеней свободы или мод, большим ),(εkpn будет некорректно по- ставленной. Это первая особенность, которую следует учитывать в рассматривае- мой задаче. Поэтому в данной статье и других предшествующих работах авторов было предложено проводить идентификацию не всей модели, а пытаться восста- навливать ее по частям, по субмоделям, используя для этого предлагаемые подхо- ды. Естественно, что размерность каждой субмодели должна быть как можно меньшей или такой, чтобы не превышалось .kpn Не менее серьезной проблемой являются условия идентифицируемости при наличии неопределенности в исходных данных. Плохая управляемость или наблюдаемость, а также малая информативность входного воздействия по отно- шению к некоторым модам могут стать причиной некорректности задачи иденти- фикации субмодели даже при малой ее размерности. В таких случаях восстано- вить можно только аппроксимирующую модель, размерность которой может ока- заться меньше, чем у реального объекта. При этом результат идентификации также зависит от ε. Если ε уменьшается (гипотетически), то размерность аппрок- симирующей модели будет увеличиваться, приближаясь к размерности реальной системы. 246 ISSN 0572-2691 Разработанные и исследованные в статье процедуры могут служить основой различных алгоритмов идентификации многомерных объектов. В.Ф. Губарєв, П.О. Тигунов ПРО ОСОБЛИВОСТІ ІДЕНТИФІКАЦІЇ БАГАТОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ ЗА ДАНИМИ З ОБМЕЖЕНОЮ НЕВИЗНАЧЕНІСТЮ Представлено результати аналітичних та чисельних досліджень ідентифікова- ності і особливостей задач ідентифікації багатовимірних систем в умовах об- меженої невизначеності. Запропоновано структуру моделі у формі ітеративної схеми, зручної для реалізації, що дозволяє відновлювати модель за окремими субмоделями. Визначено умови, за яких задача ідентифікації стає некоректно поставленою. V.F. Gubarev, P.А. Tigunov ON PECULIARITIES OF MULTIVARIABLE CONTINUONIS TIME SYSTEMS IDENTIFICATION FROM UNKNOWN BUT BOUNDED DATA Results of analytical and numerical researches on identifiability and peculiarity of identification problem for multivariable systems under bounded uncertainty are offered. Model structure in suitable form for iterative scheme which allows to recon- struct model by means of separate submodels is proposed. The ill-conditioning of pa- rameter estimates for identification problem is established. 1. Akaike H. A new look at the statistical model identification // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1974. — AC-19, N 6. — P. 716–723. 2. Степашко В.С., Кочерга Ю.А. Методы и критерии решения задач структурной идентифи- кации // Автоматика. — 1985. — № 5. — С. 29–37. 3. Верулава Ю.Ш., Поляк Б.Т. Выбор порядка регрессионной модели // Автоматика и телеме- ханика. — 1988. — № 11. — С. 113–129. 4. Кунцевич В.М. О точности построения аппроксимирующих моделей при ограниченных по- мехах измерений // Там же. — 2005. — № 5. — С. 125–133. 5. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: многомерный объект // Избр. тр. Междунар. конф. по проблемам управления. — М. : ИПУ РАН. — 1999. — 1. — С. 15–28. 6. Viberg M. Subspace methods in system identification // Proc. of the Symposium on System Iden- tification, SYSID 94, Copenhagen, Denmark. — 1994. — Р. 1–12. 7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М. : Мир, 1999. — 548 c. Получено 26.12.2005 1. Описание подхода 2. Условия идентифицируемости 3. Формирование информативных данных 4. Процедура идентификации 5. Результаты исследований методом численного моделирования Заключение

Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью

Репозитарії

Схожі ресурси