К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения
Вивчаються властивості множини позиційного поглинання в задачі наведення конфліктнокеруючої системи на множину. Показано, що перерізи множини позиційного поглинання в загальному випадку розривно залежать від часу і можуть бути незв’язними навіть у випадку зв’язної цільової множини. The paper is de...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206806 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения / Ю.В. Авербух // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 3. — С. 5-9. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206806 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Авербух, Ю.В. 2025-09-22T14:58:08Z 2006 К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения / Ю.В. Авербух // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 3. — С. 5-9. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206806 К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения / Ю.В. Авербух // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 3. — С. 5-9. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. Вивчаються властивості множини позиційного поглинання в задачі наведення конфліктнокеруючої системи на множину. Показано, що перерізи множини позиційного поглинання в загальному випадку розривно залежать від часу і можуть бути незв’язними навіть у випадку зв’язної цільової множини. The paper is devoted to a problem of conflict controlled system directing on a target set. We study the properties of the positional absorption set. It is shown that the section of positional absorption set depends on the time discontinuously in general case. Also the section of positional absorption set can be disconnected even if the target set is connected. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения Щодо структури множини позиційного поглинання в ігровій задачі наведення On the Structure of the Positional Absorption Set in a Target-Directed Game Problem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения |
| spellingShingle |
К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения Авербух, Ю.В. Проблемы динамики управляемых систем |
| title_short |
К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения |
| title_full |
К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения |
| title_fullStr |
К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения |
| title_full_unstemmed |
К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения |
| title_sort |
к вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения |
| author |
Авербух, Ю.В. |
| author_facet |
Авербух, Ю.В. |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Щодо структури множини позиційного поглинання в ігровій задачі наведення On the Structure of the Positional Absorption Set in a Target-Directed Game Problem |
| description |
Вивчаються властивості множини позиційного поглинання в задачі наведення конфліктнокеруючої системи на множину. Показано, що перерізи множини позиційного поглинання в загальному випадку розривно залежать від часу і можуть бути незв’язними навіть у випадку зв’язної цільової множини.
The paper is devoted to a problem of conflict controlled system directing on a target set. We study the properties of the positional absorption set. It is shown that the section of positional absorption set depends on the time discontinuously in general case. Also the section of positional absorption set can be disconnected even if the target set is connected.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206806 |
| citation_txt |
К вопросу о структуре множества позиционного поглощения в игровой задаче наведения / Ю.В. Авербух // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 3. — С. 5-9. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT averbuhûv kvoprosuostrukturemnožestvapozicionnogopogloŝeniâvigrovoizadačenavedeniâ AT averbuhûv ŝodostrukturimnožinipozicíinogopoglinannâvígrovíizadačínavedennâ AT averbuhûv onthestructureofthepositionalabsorptionsetinatargetdirectedgameproblem |
| first_indexed |
2025-11-26T00:12:51Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:12:51Z |
| _version_ |
1850596912009314304 |
| fulltext |
© Ю.В. АВЕРБУХ, 2006
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.71: 517.977
Ю.В. Авербух
К ВОПРОСУ О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА
ПОЗИЦИОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
В ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ НАВЕДЕНИЯ
Настоящая работа посвящена изучению свойств решений дифференциаль-
ных игр [1, 2]. Мы изучаем задачу наведения конфликтно-управляемой системы
на заданное целевое множество. В этом случае структура решения характеризу-
ется фундаментальной теоремой об альтернативе Н.Н. Красовского и А.И. Суб-
ботина [2, 3]. Множество всех позиций, для которых гарантируется решение упо-
мянутой задачи, именуется множеством позиционного поглощения [3]. Известны
многие свойства множества позиционного поглощения, в частности полунепре-
рывность слева по включению сечений [4, с. 152]. В настоящей работе на простом
примере показано, что полунепрерывность сечений слева не может быть в общем
случае усилена до непрерывности слева.
Из теоремы об альтернативе следует, что множество позиционного поглоще-
ния, т.е. множество успешной разрешимости задачи для первого игрока (распоря-
жающегося управлением u), является максимальным u-стабильным мостом
в смысле Н.Н. Красовского. Дадим определение u-стабильного моста. Пусть зада-
на конфликтно-управляемая система
,,,],,[),,,,( 00 QvPuxttvuxtfx n ∈∈∈ϑ∈= R (1)
PQP qp ,, RR ⊂⊂ и Q — компакты.
Рассмотрим задачу наведения в момент времени 0ϑ на множество ,nM R⊂
u-стабильным мостом называется замкнутое множество W, слабо инвариантное
относительно дифференциального включения ),,,( co vPxtfx = при всех .Qv∈
,}:),,,({),,,(( PuvuxtfvPxtf ∈= co — операция взятия выпуклой оболочки),
такая, что . } ),(:{=)( 00 MWxxW ⊂∈ϑϑ Максимальным u-стабильным мо-
стом [2] называется наибольший, в смысле включения, стабильный мост.
В построенном примере максимальный u-стабильный мост в задаче наведе-
ния на точку имеет вид двух фрагментов кривых (рисунок). При этом один из них
начинается позже второго. Таким образом, показано, что сечения позиционного
поглощения зависят от времени разрывно и сечения моста в задаче наведения на
связное множество могут быть несвязными множествами.
6 ISSN 0572-2691
1
0,5
0
– 0,5
– 1
y
t
y
x
0,1
0,2
0,3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,4 1
При построении примера большое значение имеют сглаженные индикатор-
ные функции множеств. С их помощью выделяется множество, являющееся ста-
бильным мостом. Дифференциальная игра рассматривается на плоскости.
Принят такой порядок следования переменных: сначала время ],1,0[∈t да-
лее две пространственные переменные: 1x и .2x Если W — замкнутое подмноже-
ство ,]1,0[),,( ,]1,0[ 2
21
2 RR ×∈× xxt то определим расстояние от позиции
),,( 21 xxt до множества W :
}.),,(:)()()({min)),,,(( 21
2
22
2
11
2
21 WyyyxyxtWxxtd ∈τ−+−+τ−=
Пусть ,]1,0[ 2R×⊂K ]}.1,2/1[ :)0 ),1exp(1 ,{(]}1,0[ :)0 ,0 ,{( ∈−−∪∈= tttttK
Затем исследуем дифференциальную игру, в которой множество K является
стабильным мостом. Пусть ,0>ε εK — дополнение до ε-окрестности множест-
ва K,
,),,(\)]1,0[( 21
),,(
2
21
×=
∈
εε xxtOK
Kxxt
R (2)
где ),,( 21 xxtOε — ε-окрестность позиции .),,( 21 xxt
Определим функцию ,]1,0[:),,( 2
21, RR →×χ ε xxtK действующую по пра-
вилу
.
)),,,(()),,,((
)),,,((
),,(
2121
21
21, KxxtdKxxtd
Kxxtd
xxtK +
=χ
ε
ε
ε (3)
Отметим следующие свойства функции :),,( 21, xxtK εχ
1) ;]1,0[),,( ]1,0[),,( 2
2121, R×∈∀∈χ ε xxtxxtK
2) ;),,( 1),,( 2121, KxxtxxtK ∈⇔=χ ε
3) функция ),,(, ⋅⋅⋅χ εK липшицева. В самом деле, функция ),),,,(( 21 εKxxtd
как расстояние до замкнутого множества, липшицева, а +ε )),,,(( 21 Kxxtd
.]1,0[),,()),,,(( 2
2121 R×∈∀ε≥+ xxtKxxtd
Рассмотрим дифференциальную игру с фиксированным временем окончания
для системы
−χ=
=
ε ,),,(
,
221,2
11
vuxxtx
ux
K
(4)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 7
].1,1[,,],1,0[ 21 −∈∈ vuut В качестве целевого множества рассмотрим множество
.)}0,0{( 2R⊂ При этом предполагается, что встречу с данным множеством
надо осуществить в момент времени .1=t Таким образом, в данной задаче
)}.0,0{(=M
Покажем, что множество позиционного поглощения в рассматриваемой игре
равно K. Перед этим опишем класс допустимых движений. Рассмотрим пози-
ционные стратегии первого игрока [2]. Пусть задана дифференциальная игра
вида (1). В этом случае если PtU n →×ϑ R],[: 00 — позиционная стратегия, то
движение, выходящее из точки ,0x строится следующим образом. Пусть
}{ 010 ϑ=<<<=∆ nttt — разбиение отрезка ].,[ 00 ϑt Пусть также :)(tv
Qt →ϑ ],[ 00 — некоторое управление второго игрока. Тогда ломанная Эйлера
определяется на каждом отрезке как решение уравнения
∫
−
ττττ+= −
−
−−
−
t
t
k
k
k
k
k
kk
k
dvtxtUxftxtx
1
,))(,))(,(),(,()()( 1
)1(
1
)(
1
)1()(
.)( 00
)0( xtx =
Движение (конструктивное движение в смысле Н.Н. Красовского) под дей-
ствием стратегии U и управления )(⋅v определяется как предел последовательно-
сти ломанных Эйлера [2]. Заметим, что если мы рассматриваем ломанные Эйлера,
то можно говорить и о получающемся в дискретной схеме программном управле-
нии первого игрока. В этом случае .[,[)),(,()( 11
)1(
1 kkk
k
k ttttxtUtu −−
−
− ∈=
Вернемся к примеру. Вначале покажем, что позиции, не лежащие на множе-
стве K, не принадлежат мосту. Более того, для них второй (распоряжающийся
управлением )v имеет выигрышную программную стратегию. Пусть
.),,( 21 Kxxt ∉∗∗∗ Рассмотрим случай .0*
2 ≠x Программное управление второго иг-
рока положим равным ).(sgn *
2xv −= Поскольку при 02 ≠∗x ,1),,( 21 <χε xxt то
при :]1,1[2 −∈u
.0,0),,(
;0,0),,(
2221,
2221,
<<−χ
>>−χ
ε
ε
xvuxxt
xvuxxt
K
K
Следовательно, 2x не убывает в случае, когда мы рассматриваем ломанные Эй-
лера. Переходя к пределу, получаем, что 2x не убывает в случае конструктив-
ных движений. Значит, позиции ),,( 21 xxt с 02 ≠x не могут принадлежать мно-
жеству позиционного поглощения в рассматриваемой задаче. Пусть теперь
,02 =∗x но .),,( 21 Kxxt ∉∗∗∗ Обозначим .)),,,(( 21 Kxxtd ∗∗∗=ρ Пусть τ положи-
тельно и не превосходит .2/ρ Для ],[ τ+∈ ∗∗ ttt при любом выборе управлений
.2/)()( 111 ρ≤τ≤ξξ<− ∫
∗
∗
t
t
duxtx (5)
8 ISSN 0572-2691
Поэтому при любом выборе управлений ,1u 2u и v Ktxtxt ∉))(),(,( 21
.],[ τ+∈∀ ∗∗ ttt
Заметим, что
≤τ≤−τ+∈χ ∗∗∗
ε }],,[:),,({max 1121, xxtttxxtK
.1}2/],,[:),,({max 1121, <ρ≤−τ+∈χ≤ ∗∗∗
ε xxtttxxtK (6)
Введем обозначение
}.2/],,[:),,({max1 1121, ρ≤−τ+∈χ−= ∗∗∗
ε xxtttxxtL K
Предположим, что второй игрок выбрал управление .1=v Тогда в силу (5) и (6)
справедливы неравенства
.0})2/],,[:),,({max1(
})2/],,[:),,({max1(
))())(),(,(1()(
1121,
1121,
221,2
>τ=τρ≤−τ+∈χ−≥
≥ξρ≤−τ+∈χ−≥
≥ξξξχ−=τ+
∗∗∗
ε
τ+
∗∗∗
ε
τ+
ε
∗
∫
∫
∗
∗
∗
∗
Lxxtttxxt
dxxtttxxt
uxxttx
K
t
t
K
t
t
K
Следовательно, если ,),,( 21 Kxxt ∉∗∗ ,02 =∗x то через достаточно малый промежу-
ток времени τ система окажется во множестве },:),,{( 221 τ≥ Lxxxt которое не
пересекается со множеством позиционного поглощения в силу того, что .0>L
Это рассуждение верно в случае, когда мы рассматриваем ломанные Эйлера. Пе-
реходя к пределу, получаем, что точки ),,( 21 xxt со свойством Kxxt ∉),,( 21 не
принадлежат множеству позиционного поглощения в рассматриваемой диффе-
ренциальной игре.
В то же время множество K u-стабильно. Действительно, на любое управле-
ние второго игрока ,∗v объявленное в позиции ,),,( 21
∗∗∗ xxt первый игрок отвеча-
ет управлением
=−−=∈−−
×∈
=
∗∗∗∗
∗∗∗
;0),1(exp1],1,2/1[),1(exp
)};0,0{(]1,0[),,(,0
)(
21
21
1
xtxtt
xxt
tu (7)
.)(2
∗= vtu Заметим, что ]1,1[)(),( 21 −∈tutu при .]1,0[∈t Докажем, что ),(,( 1 txt
.))(2 Ktx ∈
Если )},0,0{(]1,0[),,( 21 ×∈∗∗∗ xxt то управляемая система приобретает вид
−χ=
=
∗∗
ε .),,(
,0
21,2
1
vvxxtx
x
K
(8)
В этом случае функция ]1,[,0)()( 21
∗∈== tttxtx является решением уравне-
ния (8). В самом деле, ],1,[,1)0,0,( *
, tttK ∈=χ ε значит, .02
∗∗ −== vvx Из тео-
рем о существовании и единственности [5] следует, что рассмотренная функция
является решением системы (8).
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 9
Случай 0),1(exp1],1,2/1[ 21 =−−=∈ ∗∗∗∗ xtxt рассматривается аналогично.
Подставляя выбранные управления (см. (7)) в (4), получаем, что управляемая си-
стема принимает вид
−χ=
−−=
∗∗
ε .),,(
),1(exp
21,2
1
vvxxtx
tx
K
(9)
В этом случае функция 0)(),1(exp1)( 21 =−−= txttx является решением систе-
мы (9). Из теорем о существовании и единственности следует, что эта функция —
единственное решение.
Ю.В. Авербух
ЩОДО СТРУКТУРИ МНОЖИНИ ПОЗИЦІЙНОГО
ПОГЛИНАННЯ В ІГРОВІЙ ЗАДАЧІ НАВЕДЕННЯ
Вивчаються властивості множини позиційного поглинання в задачі наведення
конфліктно-керуючої системи на множину. Показано, що перерізи множини
позиційного поглинання в загальному випадку розривно залежать від часу і
можуть бути незв’язними навіть у випадку зв’язної цільової множини.
Yu.V. Averbukh
ON A STRUCTURE OF POSITIONAL
ABSORPTION SET IN THE GAME PROBLEM
OF DIRECTING ON A TARGET
The paper is devoted to a problem of conflict controlled system directing on a target
set. We study the properties of the positional absorption set. It is shown that the sec-
tion of positional absorption set depends on the time discontinuously in general case.
Also the section of positional absorption set can be disconnected even if the target set
is connected.
1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М. : Мир, 1967. — 480 с.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М. : Наука,
1974. — 455 с.
3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи движения // Приклад-
ная математика и механика. — 1970. — 37, № 6. — С. 1005–1022.
4. Субботин А.И. Обобщенные решения дифференциальных уравнений 1-го порядка. —
Ижевск : РХД, 2003. — 336 с.
5. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. :
Наука, 1964. — 280 с.
Получено 02.11.2005
|