Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры
Запропоновано методику розв’язання задачі параметричної ідентифікації за наявності обмежень на оцінювані параметри на основі аналізу статистичних характеристик нев’язок субоптимального фільтра з фіксованою пам’яттю. Розглянуто випадок введення лінійних обмежень типу рівностей для оцінки математично...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206813 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры / В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая, Е.В. Подладчикова // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 3. — С. 75-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860162064560947200 |
|---|---|
| author | Подладчиков, В.Н. Народицкая, Н.А. Подладчикова, Е.В. |
| author_facet | Подладчиков, В.Н. Народицкая, Н.А. Подладчикова, Е.В. |
| citation_txt | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры / В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая, Е.В. Подладчикова // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 3. — С. 75-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Запропоновано методику розв’язання задачі параметричної ідентифікації за наявності обмежень на оцінювані параметри на основі аналізу статистичних характеристик нев’язок субоптимального фільтра з фіксованою пам’яттю. Розглянуто випадок введення лінійних обмежень типу рівностей для оцінки математичного сподівання шуму вимірювання. Наведено аналіз точності отриманих оцінок з урахуванням та без урахування обмежень. Розглянуто застосування запропонованого підходу до аналізу сонячних геліограм та показано ефективність його застосування.
The paper introduces a new procedure for solving parameter identification problem with constraints on estimated parameters based on analysis of statistical characteristics of suboptimal finite memory filter discrepancy. We introduce linear equality constraints on measurement noise average and analyze accuracy of estimates obtained with and without these constraints. We also study the applicability of the proposed procedure to Sun heliograms analysis and show efficiency of such approach.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:55:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Н. ПОДЛАДЧИКОВ, Н.А. НАРОДИЦКАЯ, Е.В. ПОДЛАДЧИКОВА, 2006
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 75
УДК 681.5
В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая, Е.В. Подладчикова
АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ
НА ОЦЕНИВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ∗
В настоящее время в отечественной и зарубежной литературе имеется боль-
шое количество работ, посвященных различным аспектам проблемы оценивания
параметров и состояния нестационарных систем в условиях неопределенности [1].
В качестве математического аппарата для оценивания характеристик процес-
сов в условиях изменчивости их моделей используют адаптивные методы оцени-
вания, позволяющие строить самокорректирующиеся модели процесса. Для авто-
матической коррекции модели динамики процессов наиболее часто используется
предложенный Брауном метод экспоненциального сглаживания (МЭС) и его раз-
личные обобщения [2], которые учитывают результаты оценок на предыдущем
шаге и различную информационную ценность членов временнóго ряда. Оценки
экспоненциального сглаживания определяются на основе рекуррентных алгорит-
мов, где текущее значение оценки равно сумме предыдущей оценки и невязки
(сигнала рассогласования), взятой с постоянным коэффициентом. МЭС и его раз-
личные модификации широко используются в различных областях, например для
анализа экономических временных рядов [3], оценки колебаний курсов валют [4],
для задач слежения за движущимся объектом [5] и др.
В реальных системах, как правило, доступна дополнительная информация об
оцениваемом процессе, которая определяется из физической сути поставленной
задачи и может быть легко выделена специалистом в предметной области. В не-
которых случаях эта информация может быть формализована в виде ограничений
типа равенств или неравенств. В настоящее время МЭС не позволяет учесть эту
информацию при оценивании, однако очевидно, что ее учет должен повысить
точность оценивания, уменьшить запаздывания реакции оценок при изменении
динамики процесса. Особенно важно учесть эту информацию для нестационарных
процессов, а также процессов, подверженных влиянию резких аномальных воз-
мущений.
В данной работе предлагается обобщение МЭС на случай наличия ограниче-
ний на оцениваемый процесс. Показано, что оценки МЭС можно получить как
решение задачи безусловной оптимизации со специально выбранным критерием
качества. Переход к оптимизационной задаче открывает возможность расширения
сферы применения метода на решение практических задач в условиях ограниче-
ний на оцениваемые параметры путем перехода к задаче условной оптимизации.
В работе [6] приведены формализация и решение задачи идентификации при
ограничениях типа неравенств на основе обобщенного МЭС как задачи условной
оптимизации и показано, что учет ограничений позволяет существенно повысить
эффективность прогнозирования волатильности валютных курсов.
В настоящей работе рассматривается специальный класс задач, для которых
на неизвестные и изменяющиеся по неопределенному закону параметры целесо-
образно наложить ограничения типа равенств. Например, при изучении солнеч-
ной активности используются искаженные помехами данные наблюдений интен-
сивности излучения солнечной поверхности, представленные спутникам SOHO.
∗ Данные предоставлены консорциумом SOHO/EIT (совместный проект ЕКА и НАСА).
76 ISSN 0572-2691
В этом случае решается задача сглаживания изменяющейся интенсивности вдоль
окружностей, колец, т.е. областей, имеющих лишь условное начало. Непосред-
ственное применение МЭС для сглаживания интенсивности может привести к
скачку оценок в крайних точках. Поэтому необходимо ввести ограничение, отра-
жающее равенство интенсивностей в начале и конце области, т.е. решать задачу
условной оптимизации.
В литературе уделяется большое внимание описанию точностных характери-
стик оценок МЭС и их асимптотических свойств, выбору постоянной сглажива-
ния и начальных значений оценок [3, 7]. В данной работе анализируется точность
оценок МЭС, полученных с учетом и без учета ограничений.
1. Экспоненциальное сглаживание как решение задачи безусловной оп-
тимизации. Рассмотрим функцию n переменных
+−β+−β= ∑∑
−
=
−−−
−
=
−
2
0
2
11
1
0
2
2121 )()()...,,,,...,,,(
n
i
nin
i
n
i
nin
i
nn xzxzzzxxxxf
.)()(
0
0
2
11
1
0
2
22 ∑∑
=
−
=
− −β+−β++
i
i
i
i
i
i xzxz (1)
Необходимое условие минимума этой функции в точке ,)...,,,( **
2
*
1
*
nxxxx =
)...,,,( 21 nzzzz = выражается равенством ,0),( * =∇ zxf или
,0),( *
=
∂
∂
jx
zxf .,,1 nj = (2)
Гесcиан функции ),( * zxf в силу ее аддитивности представляет собой диагональ-
ную матрицу размерности nn× вида
.
20
2
02
1
0
1
0
0
0
T
2
β
β
β
=
∂∂
∂
=
∑
∑
∑
−
=
=
=
n
i
i
i
i
i
i
xx
fH (3)
Матрица H положительно определена, следовательно условие (2) — это необхо-
димое и достаточное условие минимизации функции .),( zxf
Оптимальное решение задачи оптимизации определяется выражениями
,
1
1 1
0
*
ij
j
i
i
jj zx −
−
=
∑β
β−
β−
= .,,1 nj = (4)
Каждое выражение ,jx ,,,1 nj = найдено из условия минимума «взвешенной
суммы квадратов»
,)(
1
0
2∑
−
=
− −β
j
i
jij
i xz .,,1 nj =
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 77
Пусть ijz − — величины последовательных измерений в присутствии помех
изменяющегося процесса ,jx тогда iβ — вес соответствующего квадрата разно-
сти измерения значения процесса i периодов назад )( ijz − и значения процесса в
момент j .)( jx Равенства системы (4) можно рассматривать как оценки значений
процесса ,jx ,,,1 nj = минимизирующие функционал (1).
Покажем, что оценки, полученные по формуле (4), эквивалентны оценкам
метода экспоненциального сглаживания [8] с постоянной сглаживания .1 β−=α
Как видно из (4), оценки *
jx представляют собой линейную комбинацию всех
наблюдений, вес которых убывает по геометрической прогрессии. При больших j
величина знаменателя jβ−1 стремится к единице. Текущие наблюдения имеют
вес .1 β−=α Наблюдения, полученные i периодов назад, учитываются с весом
:)1( iα−α
,)1(
1
0
*
ij
j
i
i
j zx −
−
=
∑ α−α= .,,1 nj =
Таким образом, оценки экспоненциального сглаживания величины нестационар-
ного процесса ,jx ,,,1 nj = по данным его наблюдений в присутствии измери-
тельных ошибок могут быть получены путем решения задачи безусловной опти-
мизации.
Такая интерпретация позволяет использовать математический аппарат мето-
дов условной оптимизации в алгоритмах экспоненциального сглаживания.
2. Ограничения в виде равенств. Рассмотрим класс задач, связанных с
оцениванием нестационарного процесса, наблюдаемого в области, совпадающей
с некоторой замкнутой кривой в пространстве. Такие задачи возникают, напри-
мер, при оценивании интенсивности волны, равноудаленной от центра излучения.
Изменение интенсивности на окружности с центром в точке местонахождения ис-
точника излучения может быть обусловлено неоднородностью характера излуче-
ния в различных направлениях.
Традиционный подход к решению этой задачи предполагает необходи-
мость «разомкнуть» кривую, вдоль которой наблюдается процесс, т.е. выбрать
условное начало последовательности измерений nzzz ...,,, 21 значений процесса
nxxx ...,,, 21 и оценивать ряд (или его приращения) на основе математического
аппарата оценивания, например МЭС.
В этих условиях подход, основанный на выражении (4), обеспечивает оценку
уровня ряда на интервале от 1 до N, но приводит, тем не менее, к запаздыванию
реакции алгоритма на изменение динамики процесса, а также к разрыву между
оценками по сути соседних значений ряда nx и ,1x который может существенно
превысить разрыв между измерениями этих значений.
Введем ограничения, исключающие возможность разрыва, и рассмотрим за-
дачу экспоненциального сглаживания при ограничениях типа равенств. Обозна-
чим j∆ приращение ряда:
,1 jjj xx −=∆ + ,1,,1 −= nj .1 nn xx −=∆
78 ISSN 0572-2691
Измерения этих приращений представим в виде
,1 jjj zzv −= + ,1,,1 −= nj .1 nn zzv −=
Тогда условие, «замыкающее ряд», имеет вид
.0
1
=∆∑
=
n
i
i (5)
Рассмотрим задачу определения оценок экспоненциального сглаживания
приращений ряда j∆ по наблюдениям ,jν ,,,1 nj = при ограничениях ви-
да (5). Эта задача формулируется как задача минимизации функции ...,,( 21 ∆∆f
)...,,,,..., 21 nn vvv∆ при ограничении (5).
Запишем минимизируемый функционал в виде
...)(...)()...,,,,...,,,(
2
0
2
11
1
0
2
2121 +∆−β++∆−β=∆∆∆ ∑∑
−
=
−−−
−
=
−
n
i
nin
i
n
i
nin
i
nn vvvvvf
.)()(...
0
0
2
11
1
0
2
22 ∑∑
=
−
=
− ∆−β+∆−β+
i
i
i
i
i
i vv (6)
Используя функцию Лагранжа, получаем
.)...,,,,...,,,(),...,,,,...,,,(
1
21212121 ∑
=
∆λ−∆∆∆=λ∆∆∆
n
i
innnn vvvfvvvL
Необходимое условие минимизации функции f при ограничениях записываем
в виде
,0)(2
1
0
=λ−∆−β−=
∆∂
∂ ∑
−
=
−
j
i
jij
i
j
vL ,...,,1 nj = (7)
.0
1
=∆−=
λ∂
∂ ∑
=
n
i
j
L (8)
Поскольку функция f дифференцируема и вогнута, а ограничения линейны, то
решения системы (7), (8) представляют собой глобальное решение задачи услов-
ной оптимизации.
Из выражения (7) следует
,
)1(2
)1(
1
1 1
0
*
jij
j
i
i
jj v
β−
β−λ
+β
β−
β−
=∆ −
−
=
∑ ....,,1 nj = (9)
Суммируя полученные выражения по всем j и учитывая равенство (8), получаем
уравнения относительного множителя Лагранжа λ :
,0
)1(
1
2
)1(
1
)1(
11
1
0
1
∑∑
∑
∑
==
−
−
=
=
=
β−
β−λ
+
β−
β
β−=∆
n
j
j
n
j
j
ij
j
i
i
n
j
j
v
....,,1 nj =
Отсюда следует
.)1()1(2
1
1
1
1
0
1 /
β−
ββ−=λ ∑∑ ∑
=
−
=
−
−
=
−
n
j
j
n
j
ij
j
i
ij v (10)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 79
Таким образом, равенства (9), (10) определяют решения задачи оценивания при-
ращений ,j∆ минимизирующих функционал (6) при ограничениях (5).
Как видно из полученных выражений, формирование оценок приращений ря-
да j∆ для каждого nj ...,,1= выполняется с использованием всех измерений ,jν
....,,1 nj =
3. Точностные характеристики оценок экспоненциального сглаживания.
Традиционный анализ ошибок МЭС, обусловленных наличием измерительных
помех, основан на исследовании этих ошибок в установившемся режиме. В дан-
ном разделе определяется характер изменения ошибок оценивания в переходном
режиме работы МЭС.
Предположим, что оценка )...,,,( **
2
*
1
*
n∆∆∆=∆ представляет собой точку
минимума в пространстве без ограничений для целевой функции ),( vf ∆ (6).
В точке минимума
.0),( *
=
∆∂
∆∂ vf (11)
Допустим, измерительная помеха приводит к смещению наблюдений в точку
.vv δ+ Вследствие этого минимум функции ),( vf ∆ перемещается из точки
,** ∆δ+∆ где должно выполняться равенство
.0),( **
=
∆∂
δ+∆δ+∆∂ vvf (12)
Раскладывая левую часть (12) в ряд Тейлора и оставляя только члены до первого
порядка включительно, с учетом (11) получаем
,0T
2
*
T
2
=δ
∂∆∂
∂
+∆δ
∆∂∆∂
∂ v
v
ff
откуда следует, что
,T
21** v
v
fH δ
∂∆∂
∂
−≈∆δ
−
,
*
T
2
*
∆=∆∆∂∆∂
∂
=
fH
где *H — Гессиан функции .),( * vf ∆
Тогда ковариационная матрица ошибок оценивания вектора ,( 1∆=∆
,)...,,2 n∆∆ обусловленная ошибками ,v∂ имеет вид
.][
1*
T
T2
T
T
21*T**
∂∆∂
∂
δδ
∂∆∂
∂
≈∆δ∆δ=
−−
H
v
fvv
v
fHEEVx
Матрицы
1*−H и T
2
v
f
∂∆∂
∂ вычисляются в точке *∆=∆ и по фактической выбор-
ке v. Следовательно, они представляют собой константы и могут быть вынесены
за знак математического ожидания в последнем выражении
,
1*
T
T2
T
21*1 −−
∂∆∂
∂
∂∆∂
∂
≈ H
v
fR
v
fHVx (13)
где ][ TvvER δδ= — ковариационная матрица шума измерения.
80 ISSN 0572-2691
Диагональные элементы матрицы 1
xV представляют собой дисперсии ошибок
оценивания .)...,,,( 21 n∆∆∆=∆ На рис. 1 и 2 сплошной кривой показана зависи-
мость дисперсии ошибок оценивания переменных ,40...1, =∆ ii от номера измере-
ния, на рис. 1 — в предположении о том, что измерения этих переменных получе-
ны в присутствии помех ,40...1, =δ ivi представляющих собой некоррелирован-
ную случайную последовательность с нулевым математическим ожиданием и
единичной дисперсией; на рис. 2 — в предположении о некоррелированности
ошибок измерений ,39...1, =δ ivi последовательности ,39...1, =∆δ ii и равенства
.0
40
1
=∑
=i
iv Последнее соотношение вытекает из условия равенства начального и
конечного значений наблюдений .i∆
В приложении 1 (табл. 1) показан вывод аналитических выражений, на осно-
вании которых рассчитаны приведенные на графиках дисперсии ошибок оценок.
0,5
0,45
0,4
0,35
0,55
0 5 10 15 20 25 30 35 40
1
xv
2
xv
Рис. 1
0,5
0,45
0,4
0,35
0,55
0 5 10 15 20 25 30 35 40
1
xv
2
xv
0,3
Рис. 2
4. Точностные характеристики оценок экспоненциального сглаживания
при наличии ограничений типа равенств. Рассмотрим, как влияет на точность
оценок введение ограничений на оцениваемые параметры. Исходя из условий за-
мкнутости ряда (5) в качестве ограничения выберем равенство
,0)( T
1
=∆=∆=∆ ∑
=
cg
n
i
i (14)
где c — единичный вектор размерности .1×n
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 81
В оптимальной точке должны выполняться условия Лагранжа
.)(),( **
∆∂
∆∂
λ=
∆∂
∆∂ gvf (15)
Если изменить наблюдения на величину ,vδ то оптимальная точка *∆ сместится
на ,*∆δ а величина λ — на .λδ В точке нового оптимума равенство (15) примет
вид (с точностью до членов первого порядка)
,*
T
2
T
2
*
T
2
∆δ
∆∂∆∂
∂
λ+
∆∂
∂
λδ+
∆∂
∂
λ=δ
∂∆∂
∂
+∆δ
∆∂∆∂
∂
+
∆∂
∂ gggv
v
fff
причем все производные вычислены в точке .*∆ Вычтя (15) из последнего выра-
жения, получаем
.T
2T
* v
v
fgA δ
∂∆∂
∂
−λδ
∆∂
∂
=∆δ
Здесь
.*
T
2
T
2
∆δ
∆∂∆∂
∂
λ−
∆∂∆∂
∂
=
gfA (16)
Второе слагаемое выражения (16) равно нулю, так как ограничение (14) линейно
по переменным )...,,,( 21 n∆∆∆=∆ и, следовательно, ,*HA = где
.
*
T
2
*
∆=∆∆∂∆∂
∂
=
fH
Тогда
.T
2T1**
δ
∂∆∂
∂
−λδ
∆∂
∂
=∆δ
−
v
v
fgH (17)
При смещении ∆δ остается справедливым равенство
.0* =∆δ
∆∂
∂
=δ
gg
Подставляя (17) в последнее выражение и решая его относительно ,λδ получаем
.T
21*
1T1* v
v
fHggHg
δ
∂∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
=λδ
−
−
−
Подстановка последнего выражения в (17) приводит к уравнению
.T
21*
1T1*
T1** v
v
fIHggHggH δ
∂∆∂
∂
−
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
=∆δ
−
−
−−
82 ISSN 0572-2691
Введем обозначение
.
1*
1T1*
T
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
−−=
−
−
−
HggHggIP
Матрица P — это матрица проектирования [9]. Ковариационная матрица ошибки
оценивания в общем случае принимает вид
,T1*
T
T
2
T
21*2 PH
v
fR
v
fPHVx
−−
∂∆∂
∂
∂∆∂
∂
=
где ][ TvvER δδ= — ковариационная матрица шума измерения.
Учитывая выражение (13), получаем аналитическую зависимость между ко-
вариационной матрицей 2
xV ошибок экспоненциального сглаживания при огра-
ничениях вида (14) и ковариационной матрицей 1
xV ошибок метода экспоненци-
ального сглаживания без ограничений:
.T12 PPVV xx = (18)
На основе выражения (18) в приложении 2 (табл. 2) приведен вывод соотно-
шений для расчета дисперсии ошибок оценивания переменных ...,,( 21 ∆∆=∆
)..., n∆ при наличии ограничений вида (14).
На рис. 1 и 2 пунктирными кривыми показана зависимость дисперсии оши-
бок оценивания переменных ,40...1, =∆ ii от номера измерения при ограничении
,0
40
1
=∆∑
=i
i для некоррелированной случайной последовательности ошибок изме-
рений ,40...1, =δ ivi с нулевым математическим ожиданием и единичной диспер-
сией — на рис. 1 и для некоррелированной последовательности ,39...1, =δ ivi
при условии выполнения равенства 0
40
1
=∑
=i
iv — на рис. 2.
Из рис. 1, 2 видно, что учет ограничений вида (14) на переменные ,i∆
,40...1=i позволяет повысить точность их оценивания на 10–15 % практически
на всем интервале наблюдения.
5. Применение МЭС с ограничениями типа равенств при анализе изоб-
ражений солнечного диска. В результате анализа разностных изображений
Солнца при помощи УФ-телескопа SOHO/EIT была обнаружена новая разновид-
ность диммингов, т.е. областей пониженной интенсивности мягкого рентгенов-
ского и крайнего УФ-излучения с временем жизни от нескольких часов до десят-
ков часов, которые формируются вслед за коронарным выбросом масс в окрест-
ности центра активности. В настоящее время характер области распространения
диммингов изучается в основном путем визуального наблюдения изображений
гелиограммы [10].
В данной работе для более точного выявления области распространения дим-
мингов предлагается метод, основанный на компьютерной обработке наблюдений
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 83
по методике SOHO/EIT с использованием экспоненциального сглаживания при
ограничениях. Исследуются димминги, наблюдаемые после коронарного выброса
масс, произошедшего 12 мая 1997 года (рис. 3), события хорошо известного и по-
дробно описанного в литературе [10, 11].
Рис. 3
Из разностной гелиограммы, приведенной на рис. 3, видно, что центр актив-
ности, наблюдаемый как наиболее яркая компактная область в северо-восточной
части диска, окружен областью снижения интенсивности, затемненной на изоб-
ражении области диммингов.
Уровень снижения интенсивности в области распространения диммингов из-
меняется как в зависимости от расстояния от центра активности, т.е. от длины ра-
диус-вектора, исходящего из этого центра, так и от направления этого радиус-
вектора.
На рис. 4 сплошной кривой показана зависимость наблюдаемого уровня сни-
жения солнечной интенсивности от направления радиус-вектора на таком рассто-
янии от центра активности, на котором суммарный уровень снижения интенсив-
ности достигает максимального значения (положение максимального уровня ин-
тенсивности соответствует окружности, изображенной на рис. 3). Угол изменения
радиус-вектора разбит на 30 интервалов. В качестве измерения уровня снижения
интенсивности на каждом интервале используется среднестатистическое значение
всех пикселов, принадлежащих этому интервалу.
0 5 10 15 20 25 30
0
– 1200
– 800
– 600
– 400
И
нт
ен
си
вн
ос
ть
димминг 1 димминг 2 димминг 1
Номер пиксела
— измерения интенсивности
— основа оценки состояния при условной оптимизации
— основа оценки состояния при экспоненциальном сглаживании
– 1000
– 200
Рис. 4
84 ISSN 0572-2691
Как видно из рис. 4, области интенсивных диммингов (области максимально-
го снижения) соответствуют интервалу (13–23) и разомкнутому на графике ин-
тервалу, объединяющему два интервала — (27–30) и (1–5). Однако измеренная
кривая, описывающая глубину распространения диммингов, содержит области
резких скачкообразных колебаний.
Это объясняется тем, что наблюдения уровня интенсивности искажены по-
мехами, обусловленными артефактами, которые возникают из-за неточного учета
вращения Cолнца, ошибками наблюдений, дискретностью разбиения на интерва-
лы, а также другими явлениями, не связанными непосредственно с динамикой
распространения области диммингов.
В связи c высокой изменчивостью уровня падения интенсивности и его скач-
кообразным характером для фильтрации помех использован МЭС. Пунктирная
кривая на рис. 4 показывает оценки МЭС уровня падения интенсивности. Как
видно из этого рисунка, пунктирная кривая сглаживает резкие скачкообразные
колебания измерений. Однако в силу инерционности алгоритма сглаживания име-
ет место систематическое смещение оценок по отношению к наблюдаемым зна-
чениям уровня падения интенсивности и, следовательно, смещение оценок обла-
сти распространения диммингов по отношению к наблюдаемой.
Штрих-пунктирная кривая на рис. 4 показывает оценки уровня падения
интенсивности на основе МЭС для приращений ряда при учете ограничений на
равенство нулю суммы приращений интенсивности всех интервалов. Из этого ри-
сунка видно, что сглаживание при учете ограничений позволяет избежать запаз-
дывания оценок и, вследствие этого, смещения оцененной области распростране-
ния диммингов по отношению к действительной области.
Таким образом, полученные в работе результаты позволяют сделать вывод не
только о теоретическом улучшении точности оценок экспоненциального сглажи-
вания за счет учета ограничений на оцениваемые параметры, но и о возможности
эффективного практического использования предлагаемого метода.
Приложение 1
Точностные свойства оценок метода экспоненциального сглаживания.
Определим дисперсии ошибок оценивания ,...,,1, nii =∆ обусловленные наличи-
ем измерительных шумов. Ковариационная матрица ошибок оценивания, как сле-
дует из (13), имеет вид
.
1*
T
T2
T
21*1 −−
∂∆∂
∂
∂∆∂
∂
≈ H
v
fR
v
fHVx
Запишем обратную матрицу Гессе для целевой функции (6):
.
1
10
...
1
1
01
2
1
1...0
1...
............
0...1
,
1,1
1,1
1*
β−
β−
β+
=
=
−−
−
n
nn
nn
h
h
h
H (19)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 85
Матрица смешанных производных
T
2
v
f
∂∆∂
∂ определяется выражением
.
1...
01...
...............
00...1
00...01
2
1
21
T
2
βββ
ββ
β
−=
∂∆∂
∂
−
−−
nn
nnv
f (20)
Ковариационная матрица шума измерения в случае некоррелированной случай-
ной последовательности ошибок измерений ,...,,1, nivi =δ с нулевым математи-
ческим ожиданием и дисперсией 2σ имеет вид
.
0
...
0
2
2
2
1
σ
σ
σ
=R (21)
В случае некоррелированной последовательности ,1...,,1, −=δ nivi с нулевым
математическим ожиданием и дисперсией 2σ при условии выполнения равенства
0
1
=∑
=
n
i
iv ковариационная матрица имеет следующий вид:
.
)1(
0
0
222
22
22
2
σ−σ−σ−
σ−σ
σ−σ
=
n
R
(22)
Равенство 0
1
=∑
=
n
i
iv следует из физического смысла задачи и может быть получе-
но из выражения
.0)( 1
2
11
2
=−+−=+ ∑∑
=
−
=
n
n
i
ii
n
i
i zzzzvv
Поскольку ,iii vv δ+∆= то
.0
111
=δ+∆= ∑∑∑
===
n
i
i
n
i
i
n
i
i vv
Учитывая ограничение (5), получаем .0
1
=δ∑
=
n
i
iv
Последовательность ,1...,,1, −=δ nivi — независимые случайные величины.
Таким образом, справедливо соотношение ,
1
1
∑
−
=
δ=δ
n
i
in vv из которого следует (22).
86 ISSN 0572-2691
Исходя из выражений (19)–(22), диагональные элементы ковариационной
матрицы ошибки оценки (13), обусловленной шумом измерения, представим
в табл. 1.
Таблица 1
Диагональные элементы 1
xV
Ковариационная матрица
помехи ,ivδ ,...,,1 ni = вида 1R
Ковариационная матрица
помехи ,ivδ ,...,,1 ni = вида 2R
2
2
,
1
)1(2
2
1,1
1
1
)1(2
2
1,1
1
1
)1(2
4 σ
β
β
β
∑
∑
∑
=
−
−−
−
=
−
=
−
nn
n
i
i
nn
n
i
i
i
i
h
h
h
2
2
,
2
1
1
11
2
1,1
1
1
)1(2
2
1,1
1
1
)1(2
)1()1(
4 σ
−+β+β−β
β
β
∑∑
∑
∑
=
−
=
−−
−−
−
=
−
=
−
nn
n
i
i
n
i
ii
nn
n
i
i
i
i
h
n
h
h
Приложение 2
Точностные свойства оценок метода экспоненциального сглаживания
при ограничениях типа равенств. Представим диагональные элементы ковари-
ационной матрицы ошибок оценивания, описываемой выражением (18), для целе-
вой функции (6) в виде
,T1*
T
T
2
T
21*2 PH
v
fR
v
fPHVx
−−
∂∆∂
∂
∂∆∂
∂
=
где ,*H ,T
2
v
f
∂∆∂
∂ R определяются соответствующими выражениями в приложе-
нии 1.
Обозначим ,spur 1−= Hs тогда проекционная матрица P определяется выра-
жением
.
1...
1...
............
...1
,,,
1,11,11,1
1,11,11,1
1T
−
−
−
=
−−= −−−−−−
−
s
h
s
h
s
h
s
h
s
h
s
h
s
h
s
h
s
h
s
HccIP
nnnnnn
nnnnnn (23)
Введем обозначение матрицы ,T
21*
v
fPHD
∂∆∂
∂
=
−
которая имеет вид
Проблемы управления и информатики, 2006, № 3 87
.
1
1
1
2
,
,
)(
,
1 ,
)2(
2
,
1 ,
)1(
1
2,2
,
)(
2,2
1 ,
)2(
2,2
1 ,
)1(
1,1
,
)(
1,1
2 ,
)2(
1,1
1 ,
)1(
β
−
β
−β
β
−β
β
−
β
−
β
−β
β
−
β
−
β
−
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=
−
=
−
−=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
nn
n
ni ii
ni
nn
n
i ii
i
n
nn
n
i ii
i
n
n
ni ii
nin
i ii
in
i ii
i
n
ni ii
nin
i ii
in
i ii
i
h
s
h
h
s
h
h
s
h
h
s
h
h
s
h
h
s
h
h
s
h
h
s
h
h
s
h
D
(24)
Из выражений (19)–(24) находим диагональные элементы ковариационной матри-
цы ошибки оценки, обусловленной шумом измерения (18), которые представлены
в табл. 2.
Таблица 2
Диагональные элементы 2
xV
Ковариационная матрица
помехи ,ivδ ,...,,1 ni = вида 1R
Ковариационная матрица
помехи ,ivδ ,...,,1 ni = вида 2R
2
1
2
,
1
2
,2
1
2
,1
4 σ
∑
∑
∑
=
=
=
n
i
in
n
i
i
n
i
i
d
d
d
2
2
,
1
,,,
2
,2
1
,2,2,2
2
,1
1
,1,1,1
)4()2(
)4()2(
)4()2(
4 σ
−+−
−+−
−+−
∑
∑
∑
=
=
=
nn
n
i
innnin
n
n
i
ini
n
n
i
ini
dnddd
dnddd
dnddd
Здесь jid — соответствующие элементы матрицы D.
В.М. Подладчіков, Н.О. Народицька, О.В. Подладчікова
АДАПТИВНА ФІЛЬТРАЦІЯ
ЗА НАЯВНОСТІ ОБМЕЖЕНЬ
НА ПАРАМЕТРИ, ЩО ОЦІНЮЮТЬСЯ
Запропоновано методику розв’язання задачі параметричної ідентифікації за
наявності обмежень на оцінювані параметри на основі аналізу статистичних
характеристик нев’язок субоптимального фільтра з фіксованою пам’яттю. Роз-
глянуто випадок введення лінійних обмежень типу рівностей для оцінки мате-
матичного сподівання шуму вимірювання. Наведено аналіз точності отриманих
оцінок з урахуванням та без урахування обмежень. Розглянуто застосування
запропонованого підходу до аналізу сонячних геліограм та показано ефектив-
ність його застосування.
88 ISSN 0572-2691
V.N. Podladchikov, N.A. Naroditskaya, E.V. Podladchikova
ADAPTIVE FILTRATION WITH CONSTRAINTS
ON ESTIMATED PARAMETERS
The paper introduces a new procedure for solving parameter identification problem
with constraints on estimated parameters based on analysis of statistical characteris-
tics of suboptimal finite memory filter discrepancy. We introduce linear equality con-
straints on measurement noise average and analyze accuracy of estimates obtained
with and without these constraints. We also study the applicability of the proposed
procedure to Sun heliograms analysis and show efficiency of such approach.
1. Згуровский М.З., Подладчиков В.Н. Аналитические методы калмановской фильтрации для
систем с априорной неопределенностью. — Киев : Наук. думка, 1995. — 282 с.
2. Чуев Ю.В.,. Михайлов Ю.Б., Кузьмин В.И. Прогнозирование количественных характеристик
процессов. — М. : Сов. радио, 1975. — 400 с.
3. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. —
М. : Финансы и статистика, 2003. — 416 с.
4. Morgan J.P. Risk Metrics (1995) : Technical document. 4th Edition, Morgan Guaranty Trust
Company. New York. http://www. Risk Metrics.com/rm/index.html.
5. Joseph J., LaViola Jr. Double exponential smoothing: an alternative to Kalman filter-based pre-
dictive tracking // ACM Intern. Conf. Proc. Series. — 2003. — 199–206 p.
6. Народицкая Н.А. Применение методов параметрической идентификации для прогнозиро-
вания валютных рисков // Системные технологии. — 2004. — 5, вып. 34. — С. 142–157.
7. Hamilton J.D. Times series analysis. — New Jersey : Princtonun university press, 1994. — 799 p.
8. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия. — Новоси-
бирск : Изд-во СО РАН, 2005. — 744 с.
9. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. Пер с англ. / Под ред. В.Г. Горского. — М. :
Статистика, 1979. — 346 с.
10. Черток И.М., Гречнев В.В. Крупномасштабные канализированные димминги, вызываемые
корональными выбросами массы на Солнце // Астрономический журнал. — 2003. — 80,
№ 2. — С. 162–174.
11. SOHO/EIT observations of an Earth-directed coronal mass ejection on May 12, 1997 /
B.J. Thompson, S.P. Plunkett, J.B. Gurman, J.S. Newmark, St. O.C. Cyr, D.J. Michels,
J.-P. Delaboudiniere // Geophysical research letters, 1998. — 25, № 14. — C. 2461–2464.
Получено 18.02.2005
После доработки 03.10.2005
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206813 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:55:22Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Подладчиков, В.Н. Народицкая, Н.А. Подладчикова, Е.В. 2025-09-22T16:14:49Z 2006 Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры / В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая, Е.В. Подладчикова // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 3. — С. 75-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206813 681.5 Запропоновано методику розв’язання задачі параметричної ідентифікації за наявності обмежень на оцінювані параметри на основі аналізу статистичних характеристик нев’язок субоптимального фільтра з фіксованою пам’яттю. Розглянуто випадок введення лінійних обмежень типу рівностей для оцінки математичного сподівання шуму вимірювання. Наведено аналіз точності отриманих оцінок з урахуванням та без урахування обмежень. Розглянуто застосування запропонованого підходу до аналізу сонячних геліограм та показано ефективність його застосування. The paper introduces a new procedure for solving parameter identification problem with constraints on estimated parameters based on analysis of statistical characteristics of suboptimal finite memory filter discrepancy. We introduce linear equality constraints on measurement noise average and analyze accuracy of estimates obtained with and without these constraints. We also study the applicability of the proposed procedure to Sun heliograms analysis and show efficiency of such approach. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки и защиты информации Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры Адаптивна фільтрація за наявності обмежень на параметри, що оцінюються Adaptive Filtering with Constraints on Estimated Parameters Article published earlier |
| spellingShingle | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры Подладчиков, В.Н. Народицкая, Н.А. Подладчикова, Е.В. Методы обработки и защиты информации |
| title | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры |
| title_alt | Адаптивна фільтрація за наявності обмежень на параметри, що оцінюються Adaptive Filtering with Constraints on Estimated Parameters |
| title_full | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры |
| title_fullStr | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры |
| title_full_unstemmed | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры |
| title_short | Адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры |
| title_sort | адаптивная фильтрация при наличии ограничений на оцениваемые параметры |
| topic | Методы обработки и защиты информации |
| topic_facet | Методы обработки и защиты информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206813 |
| work_keys_str_mv | AT podladčikovvn adaptivnaâfilʹtraciâprinaličiiograničeniinaocenivaemyeparametry AT narodickaâna adaptivnaâfilʹtraciâprinaličiiograničeniinaocenivaemyeparametry AT podladčikovaev adaptivnaâfilʹtraciâprinaličiiograničeniinaocenivaemyeparametry AT podladčikovvn adaptivnafílʹtracíâzanaâvnostíobmeženʹnaparametriŝoocínûûtʹsâ AT narodickaâna adaptivnafílʹtracíâzanaâvnostíobmeženʹnaparametriŝoocínûûtʹsâ AT podladčikovaev adaptivnafílʹtracíâzanaâvnostíobmeženʹnaparametriŝoocínûûtʹsâ AT podladčikovvn adaptivefilteringwithconstraintsonestimatedparameters AT narodickaâna adaptivefilteringwithconstraintsonestimatedparameters AT podladčikovaev adaptivefilteringwithconstraintsonestimatedparameters |