Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях

Разработаны модель, алгоритм и программное обеспечение для конечноэлементного моделирования фазового превращения мартенситного типа в малом объеме материала образца при деформировании в квазигидростатических условиях (в гаскетке без передающей давление среды) на алмазных наковальнях аппарата сверхвы...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Сверхтвердые материалы
Дата:	2008
Автор:	Полотняк, С.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут надтвердих матеріалів ім. В.М. Бакуля НАН України 2008
Теми:	Получение, структура, свойства
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20682
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях / С.Б. Полотняк // Сверхтвердые материалы. — 2008. — № 2. — С. 13-28. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859625505272102912
author	Полотняк, С.Б.
author_facet	Полотняк, С.Б.
citation_txt	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях / С.Б. Полотняк // Сверхтвердые материалы. — 2008. — № 2. — С. 13-28. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Сверхтвердые материалы
description	Разработаны модель, алгоритм и программное обеспечение для конечноэлементного моделирования фазового превращения мартенситного типа в малом объеме материала образца при деформировании в квазигидростатических условиях (в гаскетке без передающей давление среды) на алмазных наковальнях аппарата сверхвысокого давления, которые базируются на термомеханической теории фазовых превращений в неупругих материалах, разработанной проф. В. И.Левитасом. Предложен алгоритм моделирования кинетики процесса фазового превращения, состоящий в циклическом решении контактной упругопластической задачи, оценке возможности протекания фазового превращения и повторном решении задачи с учетом фазовой деформации. A model, algorithm, and software for a finite-element simulation of the martensitic phase transformation in a small volume of a sample material in the deformation under quasihydrostatic conditions (in a gasket without a pressure medium) in diamond anvils of a superhigh-pressure apparatus have been developed. The model is based on the thermomechanical theory of the phase transformations in inelastic materials formulated by Prof. Levitas. The algorithm has been proposed of the simulation of the phase transformation kinetics that consists of the cyclic solution of a contact elastoplastic problem, estimation of the possibility for the phase transformation, and of the repeated solution of the problem with the allowance made for the phase deformation.
first_indexed	2025-11-29T11:12:11Z
format	Article
fulltext	ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 13 УДК 539.3:539.89 С. Б. Полотняк (г. Киев) Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях Разработаны модель, алгоритм и программное обеспечение для конечноэлементного моделирования фазового превращения мартенситного типа в малом объеме материала образца при деформировании в квазигидростатиче- ских условиях (в гаскетке без передающей давление среды) на алмазных нако- вальнях аппарата сверхвысокого давления, которые базируются на термомеха- нической теории фазовых превращений в неупругих материалах, разработанной проф. В. И. Левитасом. Предложен алгоритм моделирования кинетики процесса фазового превращения, состоящий в циклическом решении контактной упруго- пластической задачи, оценке возможности протекания фазового превращения и повторном решении задачи с учетом фазовой деформации. Ключевые слова: алмазные наковальни, мартенситные фазовые переходы, компьютерное моделирование, метод конечных элементов. Введение. Развитие техники высоких давлений дает в руки исследователей новые способы воздействия на структуру твердых тел, воз- можность направленного изменения их физических и эксплуатационных ха- рактеристик. Непосредственным результатом действия высокого давления является сжатие вещества (увеличение его плотности) и энергетически вы- годным становится то направление физических и химических процессов, ко- торое в соответствии с принципом Ле Шателье-Брауна приводит к уменьше- нию объема вещества (при условии сохранения массы). Уменьшение меж- атомных (межмолекулярных) расстояний при сжатии приводит, в конечном счете, к деформации молекул и внешних электронных оболочек атомов, к из- менению характера межатомных взаимодействий, что неизбежно сказывается на физических и химических свойствах вещества. Например, при статиче- ском сжатии многие вещества испытывают полиморфные превращения с об- разованием новых кристаллических форм, происходят переходы диэлектрика в состояние с металлической проводимостью, у кристаллических тел увели- чивается пластичность (вследствие залечивания дефектов структуры в про- цессе деформирования). Кроме того, высокие давления оказывают сущест- венное влияние на кинематику протекающих в веществах процессов. Фазовые превращения, протекающие в малых объемах образцов при их деформировании в гаскетке аппарата сверхвысокого давления с алмазными наковальнями (DAC) без передающей давление среды (рис. 1), имеют прак- тически “мгновенный” характер и сопровождаются резким изменением объе- ма материала и, соответственно, изменением всех его физико-механических свойств [1—4]. В литературе такие превращения классифицируют как мар- © С. Б. ПОЛОТНЯК, 2008 www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 14 тенситные бездиффузионные или как полиморфные фазовые превращения первого рода, при которых изменение взаимного расположения составляю- щих кристалл атомов (или молекул) происходит путем их упорядоченного перемещения, причем относительные смещения соседних атомов малы по сравнению с междуатомным расстоянием. Для таких превращений величина деформации мала и соответственно мал, по сравнению с энергией связи в кристалле, энергетический барьер, препятствующий однородному переходу исходной фазы в конечную. Необходимое условие мартенситного превраще- ния — сохранение упорядоченного контакта между фазами. Упорядоченное строение межфазных границ при малости барьера для однородного фазового перехода обеспечивает их малую энергию и высокую подвижность. Как след- ствие, избыточная энергия, необходимая для зарождения кристаллов новой фазы (мартенситных), мала и при некотором отклонении от равновесия фаз становится сопоставимой с энергией дефектов, присутствующих в исходной фазе. Поэтому зарождение мартенситных кристаллов происходит с большой скоростью и может не требовать тепловых флуктуаций. Вследствие воздейст- вия образовавшейся фазы на исходную энергетический барьер для переме- щения границы фаз существенно меньше, чем для однородного перехода; при небольших отклонениях от равновесия он исчезает — кристалл растет со скоростью порядка звуковой и без тепловой активации. Практически все фазовые превращения мартенситного типа (далее ФП) с фазовой деформацией, превышающей 0,5 %, сопровождаются пластическими деформациями. Процессы пластической релаксации, связанные с зарождени- ем и перемещением дислокаций, делают превращения существенно необра- тимыми (между прямым и обратным превращением возникает значительный гистерезис). “Оседание” дислокаций на межфазных границах уменьшает их подвижность и увеличивает их энергию, соответственно, растет барьер для зарождения. Чем больше степень релаксации, тем при меньших отклонениях от точки истинного равновесия фаз может проходить превращение, но тем меньше его скорость и менее отчетливо проявляется закономерный характер продуктов превращения. В одном и том же материале, в зависимости от сте- пени отклонения от точки истинного равновесия фаз и скорости релаксации, наблюдаются кинетически и структурно различные варианты превращения 1 2 Рис. 1. Деформирование образца (1), заключенного в гаскетку (2) из нержавеющей стали, при комнатной температуре в DAC. ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 15 (быстрые “атермические”, изотермические, “нормальные”, по кинетике по- добные кристаллизации). Таким образом, ФП в упруго-пластических мате- риалах являются сложным термомеханическим процессом, сопровождаю- щимся изменением механических свойств, фазовой деформацией, сложным распределением локальных напряжений и деформаций. Серьезные затрудне- ния термомеханического описания процесса мартенситного фазового пре- вращения в упруго-пластических материалах при высоких давлениях обу- словлены неопределенностью условия ФП, сложностью формулирования краевой задачи и значительной трудоемкостью ее численного решения. При описании ФП в упругих материалах обычно используют принцип ми- нимума свободной энергии Гиббса. Для случая неупругих материалов такого закона не существует и теория ФП неупругого твердого тела находится в на- чальной стадии своего развития. Известны результаты решения ряда простых модельных задач о появлении зародыша новой фазы [5—8]. Практически во всех этих работах для получения критерия ФП и экстремального принципа для определения неизвестных параметров используют, как и в случае ФП в упругих материалах, минимизацию свободной энергии Гиббса. Однако для упруго-пластических материалов необходимо дополнительно учитывать дис- сипацию энергии вследствие пластической деформации, а также траекторию деформирования. В [9, 10] максимизируют величину работы превращения с использованием локальных напряжений в области ФП, однако до протекания последнего. Так как в ходе ФП вследствие фазовой деформации величина на- пряжений изменяется очень сильно и даже изменяет свой знак [6, 11—13], то это может приводить к значительной погрешности решения. Существует также ряд подходов к изучению закономерностей процесса фазового превра- щения, использующих в определяющих соотношениях параметр концентра- ции новой фазы и кинетические уравнения ее изменения [10, 14—17]. Однако такие подходы не могут быть использованы для описания мгновенно проис- ходящего мартенситного ФП, сопровождающегося резким изменением всех физико-механических свойств материала. Известно всего несколько подходов для численного моделирования таких процессов в упруго-пластических мате- риалах [9, 18, 19]. Типичным для этих работ является то, что предложенные в них критерии фазового превращения не базируются на использовании второ- го закона термодинамики и не рассматривают диссипацию энергии вследст- вие ФП, что делает крайне затруднительным понимание физического смысла этих критериев и, следовательно, ставит под сомнение справедливость пред- ложенных подходов. Термомеханическая теория фазовых превращений в неупругих материалах [20—25] представляется наиболее приемлемой для описания ФП в материа- лах при их деформировании в DAC. Несмотря на ряд допущений, принятых при выводе определяющих соотношений, предложенный там критерий ФП в упруго-пластических материалах получен с использованием второго закона термодинамики и является наиболее термодинамически обоснованным, а для определения всех неизвестных параметров на основании термомеханического постулата — постулата реализуемости — получен новый экстремальный принцип. Поэтому целью настоящего исследования была разработка конеч- ноэлементной методики моделирования процессов ФП мартенситного типа в малых объемах материалов, деформируемых в DAC. www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 16 Методика моделирования процессов мартенситных фазовых превращений, протекающих в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях Как отмечалось выше, мартенситные ФП, протекающие в кристалличе- ских материалах при деформировании в DAC с использованием гаскеток, но без передающей давление среды, осуществляются путем упорядоченного пе- ремещения составляющих кристалл атомов (или молекул), причем при этом относительные смещения соседних атомов малы по сравнению с межатом- ным расстоянием. Будем считать, что перестройка кристаллической решетки в микрообластях сводится к деформации ее ячейки и конечная фаза может рассматриваться как однородно деформированная исходная фаза. Для описа- ния процесса ФП применим термомеханическую теорию ФП в неупругих ма- териалах [20—25]. С помощью данного подхода разработана конечноэле- ментная методика, базирующаяся на использовании термодинамически обос- нованного критерия фазового превращения в упруго-пластических материа- лах и экстремального принципа для определения всех неизвестных парамет- ров. Критерий фазового перехода. Рассмотрим объем V многофазного мате- риала с заданными граничными условиями по поверхности S. Пусть в малом объеме VVn ∈ с границей nΣ в момент времени Δt происходит фазовый пе- реход. Считаем, что в каждой точке объема Vn справедлив второй закон тер- модинамики, записанный в виде неравенства Планка: 0θρψρ: ≥−−= &&& sD εσ . (1) Здесь D — скорость диссипации в единичном объеме; ρ — удельная плот- ность материала; s — энтропия; ψ — удельная свободная энергия Хелмголь- ца; σ и ε — тензоры напряжений и деформаций соответственно; θ — темпе- ратура. ФП рассматриваем как термомеханический процесс роста фазовой деформации от начальной к конечной величине, сопровождаемый изменени- ем всех свойств материала. Общее приращение диссипации в течение ФП в каждой трансформирующейся материальной точке определяется следующим образом: ∫∫ ∫ −Δ−== Δ+ 2 1 2 1 θ θ ε ε θρψd: dsdtDN tt t εσ , (2) где ( )12 ψψρΔψ −= . Индексы 1 и 2 соответствуют начальной и конечной ста- дии ФП соответственно. Предположим, что при ФП происходят два диссипа- тивных процесса: непосредственно сам ФП и пластическое течение. Тогда приращение диссипации в ходе превращения вследствие пластического тече- ния (при условии независимости свободной энергии от пластической дефор- мации) можно записать в виде ∫= 2 1 ε ε d: p p pN εσ , (3) где εp — пластическая деформация. Приращение диссипации X вследствие самого фазового превращения (т. е. движущая сила для ФП) есть разница ме- жду N и Np. Полагая, что в ходе ФП не происходит изменения температуры ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 17 (при разложении ε = εe + εp + εf, где εe и εf — упругая и фазовая деформации), получим ( ) ψd: 2 1 ε ε Δ−+=−= ∫ fepNNX εεσ . (4) Простейшее предположение о взаимной независимости обоих диссипа- тивных процессов приводит к условию, что приращение диссипации в ходе каждого из них должно быть неотрицательным, в частности, Х ≥ 0. Следова- тельно, при Х < 0 фазовый переход невозможен. Условие Х = 0 является кри- терием превращения без диссипации вследствие ФП, так как ФП возможен (не противоречит второму закону термодинамики) и приращение диссипации из-за ФП равно нулю. Так как практически все мартенситные превращения, даже в упругих телах, сопровождаются диссипацией и гистерезисом, крите- рий фазового перехода должен быть записан в виде Х = k. (5) Здесь k — экспериментально определяемая величина диссипации энергии вследствие ФП, которая может зависеть от параметров θ, εp. При Х < k ФП невозможен. Пусть в некотором объеме Vn происходит фазовый переход, тогда для ка- ждой точки в этом объеме должен выполняться критерий ФП (5). Интегрируя данный критерий по объему Vn, получаем необходимое условие зародышеоб- разования: ∫∫ = nn V nn V dVkdVΧ , (6) или с учетом выражения (4) для приращения диссипации Х получаем ( ) 0ψd: 2 1 ε ε =−Δ−+ ∫∫ ∫∫ nnn V n V n V nfe dVkdVdVεεσ . (7) Выражение (7) имеет одинаковую форму для ФП в упругих и упруго- пластических материалах. Пластичность оказывает влияние на изменение σ в ходе ФП и величину k. Если записать θψρ::5,0ψρ iieiiei += εEε , i = 1, 2 и E1 = E2, (8) где Ei — тензоры упругих модулей i-й фазы, θψi — температурная состав- ляющая свободной энергии, тогда ( )1122 ::::5,0d::d: 2 1 2 1 eeeeeee e e e e εEεεEεεEεεσ −== ∫∫ ε ε ε ε и выражение (7) примет вид 0ψd: θ ε ε 2 =−Δ− ∫∫∫ ∫ nnn f f1 V n V n V nf dVkdVdVεσ . (9) www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 18 Таким образом, упругие деформации также пропадают. Для случая, когда фазовая деформация является чисто объемной, т. е. Iε 0ε=f , где I — еди- ничный тензор, 3ε0 — объемная деформация превращения, получим 00 εσ3d df =ε:σ (здесь σ0 — гидростатическое давление). Если распределение температуры, объемной деформации превращения и параметра k однородно по объему Vn, тогда выражение (9) может быть записано в виде kdX =Δ−= ∫ θ 0 00 ψεσ3 02ε ; ∫= nV n n dV V 00 σ1σ . (10) Здесь 0σ — осредненное по объему Vn давление, X — движущая сила фазового превращения (осредненная по объему Vn величина приращения дис- сипации X вследствие непосредственно самого превращения). Выражение (10) является конечной формой критерия ФП, который будет использован в данной работе. Приращение температурной составляющей свободной энер- гии θψiΔ может быть получено с использованием выражений [26] ( ) ( ) ,θν1 θ θlnθνθθψψ ;θν1 θ θlnθνθθψψ 02 0 200202 θ 2 01 0 100101 θ 1 −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−−−= −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−−−= s s (11) где 0ν1 > и 0ν2 > — удельное тепло, 01s , 02s , 01ψ , 02ψ некоторые констан- ты материала, θ0 — референсная температура. Следует отметить, что в этом случае фазовый переход рассматриваем как рост объемной деформации пре- вращения от нуля до некоторой величины ε0 (которая является постоянной для данного превращения), сопровождающийся резким изменением темпера- турных свойств материала. Экстремальный принцип для определения неизвестных параметров. Для определения всех неизвестных параметров b (положение, форма и ори- ентация зародыша, εf, ε2 и др.) используем постулат реализуемости [27]: если, начиная от состояния без ФП, которое можно описать выражением ( ) ( )( ) 0)( * <−= ∫ n V VdkXF n *** bbb (12) для всех возможных параметров ФП b, в процессе изменения краевых усло- вий для некоторого параметра b начинает выполняться условие ФП (5), тогда образование зародыша будет происходить с этим b. Если в ходе вариации краевых условий критерий (5) выполняется для од- ного или нескольких b, тогда для произвольного другого b неравенство (12) также должно выполняться, так как в противоположном случае для этого b* условие (5) должно было быть выполнено ранее, чем для b. Таким образом, для определения всех неизвестных параметров b получаем экстремальный принцип ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) n V n V VdkXVdkX nn ∫∫ −=<− bbbb ** 0 * . (13) ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 19 Или иначе: max)( →bF , 0)( =bF . Из условия (13), используя (7), получаем ( ) ( ) .ψd: 0ψd: 2 1 * * 2 * 1 * ****** n V n VV nfe n V n V * V nfe dVkdVdV dVkdVdV nnn nnn ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ −Δ−+= =<−Δ−+ ε ε ε ε ∗ εεσ εεσ (14) Для случая критерия ФП в виде (10) можно записать следующие выраже- ния: kdkd −Δ−=<−Δ− ∫∫ θ 0 00 θ ε 0 0 * 0 ψεσ30ψεσ3 0202 ε ; (15) ∫= * * 0* * 0 σ1σ nV n n dV V . (16) Так как значение интеграла работы ∫= 02ε 0 00 εσ3φ d зависит только от объема зародыша новой фазы (его расположения и формы) и изменения осредненно- го по объему Vn давления, то согласно принципу максимума (15) max)σ,(φ * 0 * →nV . (17) Следует отметить, что в данном подходе величина объемной деформации фазового превращения ε0(r) (где r — радиус-вектор положения точки) изме- няется от нуля до своего предельного значения ε02 только в некотором объеме Vn. В остальном объеме материала, величина ε0(r) остается неизменной. Основной смысл данного принципа максимума состоит в следующем: ес- ли только некоторый диссипативный процесс (пластическое течение или фа- зовое превращение) может произойти — он будет происходить, т. е. первое выполнение необходимого энергетического условия является достаточным для начала протекания диссипативного процесса. Система определяющих уравнений и конечноэлементная методика моделирования фазовых переходов мартенситного типа в материалах при деформировании в DAC. Суммируя вышесказанное, систему опреде- ляющих соотношений для моделирования процесса мартенситного ФП в уп- руго-пластических материалах при допущениях, что поведение новой и ста- рой фаз описывается стандартной упругопластической моделью на основе условия пластического течения Мизеса, упругие свойства обеих фаз одинако- вы [9, 18, 19], фазовая деформация является чисто объемной, граница раздела фаз когерентна (перемещения при пересечении границы фаз непрерывны), можно записать следующим образом: — уравнения равновесия; — кинематическое разложение полной деформации; www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 20 — закон Гука для упругой области; — условие пластического течения Мизеса; — ассоциированный закон пластического течения; — критерий фазового перехода (10); — принцип максимума (17). Таким образом, для моделирования процесса ФП в упруго-пластическом материале следует вычислять интеграл работы в уравнении (10) и рассчиты- вать изменение распределения локальных напряжений в зависимости от из- менения фазовой деформации превращения. Для этого необходимо решать стандартную контактную упруго-пластическую задачу с заранее заданной объемной деформацией фазового превращения. Поэтому был выполнен ком- плекс работ по разработке на основе существующего в Институте сверхтвер- дых материалов им. В. Н. Бакуля НАН Украины программного обеспечения [28—31] программного комплекса “Термомеханика 2” для численного, с ис- пользованием метода конечных элементов (МКЭ), решения контактных термоупруго-пластических задач по теории пластического течения при малых и конечных деформациях с учетом влияния высоких давлений и наличия фазовых превращений. В комплекс прикладных программ [29] была интегрирована библиотека изопараметрических конечных элементов [28], со- держащая линейные, квадратичные, кубические и ряд переходных элементов и проведена адаптация всех подпрограмм пакета к новым процедурам фор- мирования и решения системы уравнений МКЭ, а также вычисления полей напряжений и деформаций в соответствии с изменившейся схемой интегри- рования определяющих уравнений. Разработаны и протестированы два моду- ля — пре- и постпроцессор, предназначенные для автоматизации процесса конечноэлементного разбиения исследуемых областей, введения двойных линий для контактирующих тел (препроцессор) и визуализации получаемых в результате проведения расчетов параметров термомеханического состояния конструкции (постпроцессор). Разработанный программный продукт адапти- рован для использования в среде Windows 2k, Windows XP. Проведенное тес- тирование программного комплекса показало увеличение точности получае- мых результатов и снижение времени расчета задач за счет использования при дискретизации расчетных областей конечных элементов, имеющих более высокую степень аппроксимации перемещений, деформаций и напряжений. В основу программного обеспечения положены модели поведения мате- риалов, описанные в [32, 33]. Приняты следующие допущения: при нормаль- ном давлении упругие деформации малы, при высоком давлении сдвиговые упругие деформации малы, а объемная упругая деформация конечна. Замкнутая система определяющих соотношений в деформированном теку- щем состоянии по теории пластического течения при конечных деформациях в единой декартовой системе координат имеет следующий вид [32]: 1. Уравнение равновесия: 0ρ =+ ∂ ∂ f x σ . (18) 2. Кинематические уравнения: p e t a ddB x U x Ud ++= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂+ ∂ ∂= ∇ θ22 1 , ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂− ∂ ∂= t x U x UW 2 1 ; (19) ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 21 Id αθ1 )αθ( θ + = ⋅ , )( 3 21 1 2 ea BI+= , ( )WBBB ⋅+= ∇ eee 2& . (20) Нелинейность кинематического разложения (19) обусловленна наличием конечных объемных упругих деформаций. 3. Физические соотношения: — в упругой области ( 0)κσ1)(θ,(Φσ)θ,,( 0 <+−= qqF iσ ): ( ) eee BIIBBEσ μ2:λ: +== (21) или в скоростях с учетом (19): ea BEddEσ :)(: θ 2 &+−= ∇ , θ θ )](:[ )( θ 1 2 && ∂ ∂+− ∂ ∂= EddI BI EE e a ; — в упруго-пластической области (F = 0): SEBE σ B:EddE σ SEEσ :θ θ ::1)(::: 2 θ 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂+ ∂ ∂−+−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂−= ∇ &&& FFa N F N a ee ; 21 2 : 3 2:: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂− ∂ ∂= SS σ SE σ FFaN , (22) где x — радиус-вектор точки в деформированной конфигурации; xU &= — вектор скорости; pddd ,, θ — тензоры скорости полной, термической и плас- тической деформаций, соответственно; f — массовые усилия; ρ — плотность материала; IU )αθ1(θ += — тензор термической деформации, θ — температура, I — единичный тензор, θαθααθ && += ⋅ ; σ — тензор истинных на- пряжений Коши; eB — тензор упругой деформации; W — тензор вихря, характеризующий скорость поворота точки по отношению к текущей кон- фигурации; ∇ σ , ∇ eB — производная Яумана тензоров напряжений и упругой деформации соответственно; I1(Be) — первый инвариант тензора Be; F(σ, q, θ) — поверхность нагружения; 21 : 2 3σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= SSi — интенсивность напряжений; σS dev= — девиатор тензора напряжений; 21 : 3 2 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= ppq dd — величина накопленной в процессе деформирования пластической деформации; )( 3 1 10 σI=σ — давление; )κσ1)(θ,(Φ 0+q — экспериментально определяемая зависимость предела текучести для материала, κ — константа материала (при нормальном давлении 1κσ1 0 ≈+ ); E — тензор упругих постоянных; λ, μ — константы Ламе; I:dp = 0 — условие пластической несжимаемости; точки над величинами обозначают производную по времени. 4. Контактные условия (записываются для деформированного состояния в локальной системе координат): www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 22 0σσ 21 ≤−= nn , 21 σσ ee = ; jie ,= ; (23) nnn UU δ21 ≤− , 0)δ( 121 =−− nnnn TUU ; (24) если 0σσ1 <+ γ ne , то 021 =− ee UU && ; (25) если 0σσ γ 1 =+ ne , то 0λ,0σ)σλ( 2 11 2 12 ≥=−− eeee UU && , (26) где en σ,σ — нормальные и касательные к поверхности контакта напряжения, rpprn nnσσ = ; rppre lnσσ = ; 3,2,1,,,;,;3,2,1, === pjinjilrp ppp — компоненты нормального к поверхности контакта первого тела и касательного единичных векторов, которые образуют локальный базис; индексы 1 и 2 обозначают принадлежность к первому и второму телу соответственно; eenn UUUU ⋅⋅ ,,, — компоненты векторов перемещений и скорости перемещений в локальной системе координат соответственно; γ — коэффициент трения; nδ — натяг. Система уравнений (18)—(26), дополненная граничными условиями в напряжениях или перемещениях, представляет собой полную систему урав- нений для решения контактных термоупруго-пластических задач. Отметим некоторые особенности конечноэлементной реализации приме- няемой методики. В методике использован единый подход к решению упруго-пластических задач по теории пластического течения при малых и больших деформациях модифицированным методом начальных напряжений с пошаговым итерационным алгоритмом. При этом переход от случая малых деформаций к конечным связан лишь с незначительной модификацией итера- ционной процедуры. Конечноэлементная постановка упруго-пластической задачи при малых деформациях, записанная в приращениях, имеет следующий вид: — уравнение равновесия: [ ] { } { }qdVB V T∫ =σ ; (27) — геометрические соотношения: { } [ ]{ }UB Δ=Δε ; (28) { } { } { } { }θεεεε Δ+Δ+Δ=Δ Pe , (29) где { }pε — вектор пластических деформаций; — физические соотношения: { } ][[ [ ]{ } [ ] ] { } { }( ) [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( ){ } [ ]{ } ;θ θ ε σ ε εε σ ασ 21212 θ 222 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ΨΔ+− ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ν α−−+ +Δ−Δ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧Ψ ν −=Δ D d dFDD d dFDD D d dFDD e T e T (30) ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 23 [ ]{ } { } { } , 3 2 σ 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ΨΨ−Ψ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧=ϑ T T dq dFD d dF где параметр 0α = в упругой области и 1α = в упруго-пластической области; F = F(σij, q, θ) — функция нагружения; Ψ — функция текучести; [ ] [ ]21 , DD — матричное представление компонент тензора упругих постоянных ijmnE и ijmnE соответственно. Для изотропного материала в случае зависимости упругих характеристик от первого инварианта упругой деформации ε0 и температуры θ матрицы [ ]1D и [ ]2D имеют такую же структуру, как и в (21), но модуль Юнга и коэффи- циент Пуассона зависят от первого инварианта упругой деформации и темпе- ратуры — ( ) ( )θ,εμμ,θ,ε 00 == EE . В случае пластически несжимаемого ма- териала нетрудно перейти от ε0 к давлению ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 000 ε 3 1σσ K , где K — модуль объемного сжатия и считать, что ( ) ( ).θ,σμμ,θ,σ 00 == EE В трехмерном случае векторы ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ σd dF и { }Ψ имеют следующий вид: ; σ ; σ ; σ ; σ ; σ ; σσ 231312332211 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ d dF d dF d dF d dF d dF d dF d dF T (31) { } { }231312332211 ;;;;; ΨΨΨΨΨΨ=Ψ T . (32) Перемещения, деформации, напряжения, которые удовлетворяют уравне- ниям (27)—(32) и граничным условиям, являются решением упруго-пласти- ческой задачи. Алгоритм метода начальных напряжений в форме, при которой отсутству- ет эффект неверной разгрузки, на каждом шаге догрузки имеет такой вид: { } 0=ΔU ; {Ω0}={Δq0}; I = 0. i = i + 1; { } [ ] { }1 1 − − Ω=Δ ii KU ; { } { } { } { } { }( ){ } { } { } [ ] { } { }( ) .Δσσ ;θ,σσ; dVBq UUUU T VV i i =−=Ω ΔΔΔ=ΔΔ+Δ=Δ ∫ Δ+ Достигнута ли сходимость? Нет Да { } { } { } { } { } { }Δσσσ; +=Δ+= UUU ; N = N + 1. Здесь индекс i означает номер итерации, N — номер шага нагружения; { } { }σ,U — равновесные значения перемещений и напряжений, известные из www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 24 предыдущего шага решения (на первом шаге { }{ }σ,U приравнивают нулю); [K] — матрица жесткости. В этом алгоритме вместо [K] можно использовать любую другую матрицу, которая обеспечит наиболее быструю сходимость итерационного процесса. Итерационный процесс заканчивается при выполнении какого-то крите- рия сходимости. В данной программе таким критерием является условие { } { } { } { } δ≤ΩΩ qq T i T i , где δ — заданная точность вычислений. Отметим, что для вычисления напряжений необходимо точно определять момент перехода деформирования из упругой области в упруго-пластическую. Это можно определить с помощью следующей процедуры. Пусть в начале итерации { }( ) .0,θ,σ 1 <= FqF При решении системы уравнений по алгоритму метода начальных напряжений определяем напряжения { }σΔ по упругому закону (α = 0). Пусть при этом { } { }( ) .0Δθ,θ,σσ 2 >=+Δ+ FqF Тогда необходимо оп- ределить параметр r, который будет характеризовать выход на поверхность нагружения, т. е. { } { }( ){ }( ) .0,θθ,θ,σσ =Δ+ΔΔΔ+ qrrUrF Раскладывая в ряд Тейлора функцию F и ограничиваясь только производными первого порядка, получим 12 1 FF Fr − −= . Таким образом, при деформировании на величину r{ΔU}, rΔθ при вы- числении {Δσ} необходимо пользоваться соотношениями (30) при .0α = При последующем деформировании на величину (1 – r){ΔU}, (1 – r){Δθ} следует использовать соотношения (30) для случая 1α = . В упруго-плас- тической области ( 1α = ) при больших значениях {Δε}, {Δθ} их необходимо разбить на m шагов нагружения и затем проинтегрировать (30). Число точек интегрирования можно рассчитать по формуле m = F2/Δσт, где Δσт ≈ 0,1σт (σт — предел текучести). Алгоритм моделирования процесса протекания мартенситного фазового превращения в объеме материала образца при его деформировании в DAC Процесс протекания фазового превращения в объеме образца рассмотрен в предположении, что фазовая деформация — чисто объемная и равна ε0, константа диссипации k зависит только от температуры, температура в ходе фазового превращения в элементарном объеме Vn не изменяется, в произ- вольный момент времени ФП может происходить только в одном конечном элементе. Таким образом, при фиксированной температуре и известных зна- чениях k и Δψθ величина интеграла работы ϕ (согласно критерию ФП (10)) дает полную информацию для оценки возможности ФП в данной точке мате- риала. Поскольку заранее не известно, в какой именно точке материала об- разца будет происходить ФП (известно только то, что он может происходить в объеме образца), необходимо проверять всю область, занятую образцом — рассчитывать величину интеграла работы и на основании принципа макси- мума и критерия ФП принимать решение о возможности перехода. Таким об- разом, последовательность вычислительного процесса состоит в следующем: — задание исходной информации о конечноэлементном разбиении конст- рукции, упруго-пластических свойств материалов, граничных условий; ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 25 — задание области, в которой возможно протекание ФП (вся область, за- нимаемая образцом); — проверка всех конечных элементов (КЭ) в заданном объеме материала образца на возможность протекания ФП. Для этого предполагают, что пере- ход происходит в одном конечном элементе области, решают упруго- пластическую задачу с заданной величиной фазовой деформации ε0 в этом элементе и рассчитывают условия ФП для него (интеграл работы и движу- щую силу перехода). Такую процедуру повторяют для всех КЭ в заданном объеме материала образца; —сортировка КЭ в этой области в соответствии с критерием максимума движущей силы. ФП будет происходить в элементе с максимальной движу- щей силой X . Для данного КЭ задают величину ε0 и повторно решают упру- го-пластическую задачу, рассчитывая поля напряжений и деформаций нового двухфазного материала; — возвращение на второй этап и повторение данной последовательности вычислений. Данная последовательность вычислений позволяет выявить кинетику рос- та области ФП. Указанный алгоритм реализован в виде программ для вычис- лительного комплекса “Термомеханика 2”. На рис. 2 приведена блок-схема алгоритма вычислительного процесса для моделирования кинетики протекания ФП в упруго-пластическом материале. Вычисление приращения и текущего значения величины интеграла работы ϕ: 003 εΔσ=ϕΔ , ϕn+1= ϕn+Δϕ Задание исходной информации: конечноэлементное разбиение конструкции, физико�механические свойства материалов, граничные условия Задание области, в которой возможно протекание ФП (N – количество КЭ в области ФП) Поиск КЭ с максимальной движущей силой ФП – Организация цикла по всем КЭ в объеме образца – Задание величины фазовой деформации ε02 для i�го КЭ в области возможного ФП) Сортировка КЭ по критерию максимальной движущей силы ФП – Задание величины фазовой деформации ε02 для КЭ с максиальной движущей силой – Повторное решение упругопластической задачи для нового двухфазного материала Во всех КЭ области возможного ФП осуществлен переход? Поиск следующего элемента ε0 < ε02 i < N Итерационное решение упругопластической задачи Расчет локальных полей напряжений и деформаций Задание приращения фазовой деформации Δε0 для i*го КЭ: ε0= ε0 + Δε0 (0 ≤ ε0 ≤ ε02) Рис. 2. Блок-схема алгоритма вычислительного процесса для моделирования кинетики протекания ФП в упруго-пластическом материале. Оценка величины константы диссипации вследствие фазового превращения Величина константы диссипации k, обусловленной протеканием фазового превращения, зависит от ряда причин, таких как взаимодействие фазовой де- www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 26 формации или движущихся границ с различными дефектами — примесями, вакансиями, дислокациями, зернами и т. д.; эмиссия акустических волн; цик- лические силы сопротивления (Peierls barrier) в кристаллах. Величина константы k может быть различной для процессов зародышеоб- разования и развития границ, а также для прямого и обратного переходов и, по-видимому, должна представлять собой сложную функцию параметров процесса термомеханического деформирования и микроструктуры материа- ла. Однако в [20, 34] показано, что она может быть описана достаточно про- стой формулой k = Lσтε0, где σт — предел текучести, ε0 — объемная фазовая деформация, L — некоторый коэффициент. Величина коэффициента L была определена для ряда материалов (таблица). Величина параметра L для различных материалов [20, 34] Материал L RbCl, KCl, KBr 5,89 CdS, CdSe 1,39 InSb, Bi 0,11 Графит, алмаз ~ 3 Сплав Fe + 30 % Ni 7,5 Физическая интерпретация соотношения для константы диссипации k со- стоит в следующем: параметр k характеризует взаимодействие движущейся поверхности раздела фаз и параметров микроструктуры материала, а предел текучести также является интегральной характеристикой микроструктуры, так как пластическое течение является движением дислокаций через такие же самые препятствия (точечные, линейные и другие дефекты). Поэтому, если предположить истинность полученного выражения в общем случае, тогда за- висимость параметра k от температуры, пластической деформации, скорости пластической деформации, размеров зерен и т. п. также будет определена. При больших деформациях, согласно закономерностям, обнаруженным в [32, 33], предел текучести и, соответственно, константа K также не должны зави- сеть от деформации и истории деформирования. Выводы Разработаны методика и алгоритм численного моделирования фазовых превращений мартенситного типа в малых объемах материала образца при деформировании в квазигидростатических условиях в аппарате сверхвысоко- го давления с алмазными наковальнями. Методика базируется на термодина- мически обоснованном критерии фазовых превращений в упруго-пласти- ческих материалах и экстремальном принципе для определения всех неиз- вестных параметров. Алгоритм моделирования кинетики процесса фазового превращения состоит в циклическом решении контактной упруго- пластической задачи, расчете изменения распределения локальных напряже- ний в зависимости от изменения фазовой деформации, вычислении движу- щей силы превращения, оценке возможности протекания фазового превра- щения и повторном решении контактной упруго-пластической задачи с за- данной величиной фазовой деформации. Разработано программное обеспечение для численного, методом конеч- ных элементов, моделирования термомеханических процессов, протекающих ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2008, № 2 27 в элементах конструкций в условиях высоких давлений, больших деформа- ций и фазовых переходов мартенситного типа. 1. Jayaraman A. Diamond anvil cell and high-pressure physical investigations // Rev. Mod. Phys. — 1983. — 55, N 1. — P. 65—108. 2. Jayaraman A. Ultrahigh pressure // Rev. Sci. Instrum. — 1986. — 57, N 6. — P. 1013— 1031. 3. Sherman W. F., Stadtmuller A. A. Experimental techniques in high pressure research. — Lon- don: John Wiley & Sons Ltd, 1987. — 471 p. 4. Novikov N. V., Petrusha I. A., Shvedov L. K. et al. Abrupt irreversible transformation of rhombohedral BN to a dense form in uniaxial compression of CVD material // Diamond Re- lat. Mater. — 1999. — 8. — P. 361—363. 5. Лившиц И. М., Гулида Л. С. К теории локального плавления // Докл. АН СССР. — 1952. — 87. — C. 377—380. 6. Ройтбурд А. Л., Темкин Д. Е. Пластическая деформация и термодинамический гистерезис при фазовых переходах в твердых телах // Физика твердого тела. — 1986. — 28. — C. 432—436. 7. Барьяхтар В. Г., Енилевский С. Г., Токий В. В., Яблонский Д. А. Термодинамическая теория зародышеобразования в упругопластическом материале // Там же. — 1986. — 28. — С. 1303—1310. 8. Kaganova I. M., Roitburd A. L. Effect of plastic deformation on the equilibrium shape of a new phase inclusion and thermodynamic hysteresis // Sov. Phys. Solid State. — 1989. — 31. — P. 545—550. 9. Ganghoffer J. F., Denis S., Gautier E. et al. Micromechanical simulation of a martensitic transformation by finite element // J. Phys. IV. Colloque C4, Suppl. J. Phys. III. — 1991. — 1. — Р. 83—88. 10. Marketz F., Fischer F. D. A mesoscale study on the thermodynamic effect of stress on mart- ensitic transformation // Metallurg. Mater. Trans. A. — 1995. — 26. — Р. 267—278. 11. Levitas V. I. Phase transitions in inelastic materials at finite strains: a local description // J. Phys. IV., Colloque C1, Suppl. J. Phys. III. —1996. — 6. — Р. 55—64. 12. Levitas V. I., Stein E., Idesman A. V. Phase transitions in elastoplastic materials: thermody- namical theory and numerical simulation // Ibid. — 1996. — 6. — Р. 309—314. 13. Levitas V. I., Idesman A. V., Stein E. Finite element simulation of martensitic phase transi- tions in elastoplastic materials // Int. J. Solids Struct. —1997. — 35. — Р. 855—887. 14. Raniecki B., Bruhns O. Thermodynamic reference model for elastic plastic solids undergoing phase transformations // Arch. Mech. — 1991. — 43. — Р. 343—376. 15. Левитас В. И. Термомеханика фазовых превращений и неупругие деформации в микронеоднородных материалах. — Киев: Наук. думка, 1992. — 248 с. 16. Levitas V. I. Thermomechanics of martensitic phase transitions in elastoplastic materials // Mech. Res. Commun. — 1995. — 22. — Р. 87—94. 17. Leblond J. B., Devaux J., Devaux J. C. Mathematical modeling of transformation plasticity in steels. Part I and II. // Int. J. Plasticity. — 1989. — 5. — Р. 551—591. 18. Marketz F., Fischer F. D. Micromechanical modelling of stress-assisted martensitic trans- formation // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. — 1994. — 2. — Р. 1017—1046. 19. Marketz F., Fischer F. D. A micromechanical study on the coupling effect between mi- croplastic deformation and martensitic transformation // Comput. Mater. Sci. — 1994. — 3, N 2. — Р. 307—325. 20. Levitas V. I. Thermomechanical theory of martensitic phase transformations in inelastic ma- terials // Int. J. Solids Struct. — 1998. — 35, N 9—10. — P. 889—940. 21. Levitas V. I. Thermomechanics and kinetics of generalized second-order phase transitions in inelastic materials. Application to ductile fracture // Mech. Res. Commun. — 1998. — 25, N 4.— P. 427—436. 22. Levitas V. I. General thermomechanical and kinetic approach to structural changes in inelas- tic material // Constitutive and Damage Modelling of Inelastic Deformation and Phase Trans- formation: Proc. of “Plasticity’99”. — Maryland: Neat Press Fulton, 1998. — P. 235—238. 23. Levitas V. I. Structural changes without stable intermediate state in inelastic material. Part I. General thermomechanical and kinetic approaches // Int. J. Plasticity. — 2000. — 16. — P. 805—849. www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 28 24. Levitas V. I. Structural changes without stable intermediate state in inelastic material. Part II. Applications to displacive and diffusional-displacive phase transformations, strain-induced chemical reactions and ductile fracture // Ibid. — 2000. — 16. — P. 851—892. 25. Levitas V. I. Continuum mechanical fundamentals of mechanochemistry // High Pressure Surface Science and Engineering. Section 3 / Eds. Y. Gogotsi, V. Domnich. — Bristol: Insti- tute of Physics, 2004. — P. 159—292. 26. Fu S., Huo Y., Muller I. Thermodynamics of pseudoelasticity: an analytical approach // Actа Mechanica. — 1993. — 99. — P. 1—19. 27. Levitas V. I. The postulate of realizability: formulation and applications to post-bifurcation behavior and phase transitions in elastoplastic materials. Part I and II // Int. J. Eng. Sci. — 1995. — 33. — P. 921—971. 28. Новиков Н. В., Левитас В. И., Полотняк С. Б. Численное моделирование напряженно- деформированного и предельного состояния элементов аппарата высокого давления с алмазными наковальнями // Сверхтв. материалы. — 1987. — № 1. — С. 3—10. 29. Idesman A. V., Levitas V. I. Finite element procedure for solving contact thermoplastic prob- lems at large strain, normal and high pressures // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. — 1995. — 126. — P. 39—66. 30. Левитас В. И., Полотняк С. Б., Идесман А. В. Большие упруго-пластические деформа- ции и напряженное состояние деформируемой прокладки аппарата высокого давления с алмазными наковальнями // Пробл. прочности.— 1996. — № 3. — С. 78—88. 31. Polotnyak S. B., Idesman A. V. Numerical modelling of the mechanical state of deformable gaskets in diamond anvil cell // J. Mater. Proc. Technology. — 1996. — 60. — P. 685—690. 32. Левитас В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. — Киев: Наук. думка, 1987. — 232 с. 33. Levitas V. I. Large deformation of materials with complex rheological properties at normal and high pressure. — New York: Nova Science Publishers, 1996. — 374 p. 34. Levitas V. I. Phase transitions in elastoplastic materials: continuum thermomechanical theory and examples of control. Part II // J. Mech. Phys. Solids. — 1997. — 40, N 7. — P. 1203— 1222. Ин-т сверхтвердых материалов Поступила 01.10.07 им. В. Н. Бакуля НАН Украины
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20682
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0203-3119
language	Russian
last_indexed	2025-11-29T11:12:11Z
publishDate	2008
publisher	Інститут надтвердих матеріалів ім. В.М. Бакуля НАН України
record_format	dspace
spelling	Полотняк, С.Б. 2011-06-03T21:09:28Z 2011-06-03T21:09:28Z 2008 Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях / С.Б. Полотняк // Сверхтвердые материалы. — 2008. — № 2. — С. 13-28. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 0203-3119 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20682 539.3:539.89 Разработаны модель, алгоритм и программное обеспечение для конечноэлементного моделирования фазового превращения мартенситного типа в малом объеме материала образца при деформировании в квазигидростатических условиях (в гаскетке без передающей давление среды) на алмазных наковальнях аппарата сверхвысокого давления, которые базируются на термомеханической теории фазовых превращений в неупругих материалах, разработанной проф. В. И.Левитасом. Предложен алгоритм моделирования кинетики процесса фазового превращения, состоящий в циклическом решении контактной упругопластической задачи, оценке возможности протекания фазового превращения и повторном решении задачи с учетом фазовой деформации. A model, algorithm, and software for a finite-element simulation of the martensitic phase transformation in a small volume of a sample material in the deformation under quasihydrostatic conditions (in a gasket without a pressure medium) in diamond anvils of a superhigh-pressure apparatus have been developed. The model is based on the thermomechanical theory of the phase transformations in inelastic materials formulated by Prof. Levitas. The algorithm has been proposed of the simulation of the phase transformation kinetics that consists of the cyclic solution of a contact elastoplastic problem, estimation of the possibility for the phase transformation, and of the repeated solution of the problem with the allowance made for the phase deformation. ru Інститут надтвердих матеріалів ім. В.М. Бакуля НАН України Сверхтвердые материалы Получение, структура, свойства Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях Procedure of numerical simulation of martensitic phase transformation processes in small volumes of materials when deformed in diamond anvils Article published earlier
spellingShingle	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях Полотняк, С.Б. Получение, структура, свойства
title	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях
title_alt	Procedure of numerical simulation of martensitic phase transformation processes in small volumes of materials when deformed in diamond anvils
title_full	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях
title_fullStr	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях
title_full_unstemmed	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях
title_short	Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях
title_sort	методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях
topic	Получение, структура, свойства
topic_facet	Получение, структура, свойства
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20682
work_keys_str_mv	AT polotnâksb metodikačislennogomodelirovaniâprocessovmartensitnyhfazovyhprevraŝeniivmalyhobʺemahmaterialovprideformirovaniinaalmaznyhnakovalʹnâh AT polotnâksb procedureofnumericalsimulationofmartensiticphasetransformationprocessesinsmallvolumesofmaterialswhendeformedindiamondanvils

Методика численного моделирования процессов мартенситных фазовых превращений в малых объемах материалов при деформировании на алмазных наковальнях

Репозитарії

Схожі ресурси