О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2
Отримано розв’язки таких задач оптимального керування траулером: про оптимальну швидкодію; про оптимальні витрати енергетичних ресурсів. Ці задачі є задачами Лагранжа. Їх розв’язки знайдено за допомогою принципу максимуму Понтрягіна. Описана схема дозволяє створити комп’ютерну систему керування з...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206879 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 72-81. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860003646367858688 |
|---|---|
| author | Мусуривский, В.И. |
| author_facet | Мусуривский, В.И. |
| citation_txt | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 72-81. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Отримано розв’язки таких задач оптимального керування траулером: про оптимальну швидкодію; про оптимальні витрати енергетичних ресурсів. Ці задачі є задачами Лагранжа. Їх розв’язки знайдено за допомогою принципу максимуму Понтрягіна. Описана схема дозволяє створити комп’ютерну систему керування заданим об’єктом — систему прийняття рішень.
The problems of trawler optimal control are solved: about optimal speed, optimal expenditures of energy resources. Given problems are Lagrange problems solved by Pontryagin maximum principle. The described scheme allows creating of computer control system of a given object — the decision making system.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.И. МУСУРИВСКИЙ, 2006
72 ISSN 0572-2691
УПРАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
И ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 517.9:519.24:519.6:519.7:62.50
В.И. Мусуривский
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВАХ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ
СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ТРАУЛЕРОМ. Часть 2
Стремительное развитие современной техники, ее потребностей и возможно-
стей определяет круг задач математической теории оптимальных процессов. В об-
щих чертах, согласно [1, 2], в теории оптимального управления процессами задача
формулируется следующим образом. Рассматривается объект, функционирующий
под действием управлений, при этом:
• известна математическая модель, характеризующая движение объекта;
• заданы элементы желаемого движения, например начальная и конечная
точки (состояния);
• указаны требования к качеству процесса, содержащие, как правило, усло-
вие минимума или максимума определенного показателя работы системы;
• необходимо найти закон, определяющий усилие, которое осуществляет
правильное (нужное) движение.
Один из методов решения задач оптимального управления — принцип макси-
мума Понтрягина [1, 2], используется специалистами в самых различных сферах.
В [3] предложена постановка задач; в данной работе при помощи принципа
максимума решаются:
• задача наведения трала на косяк рыбы за кратчайшее время (оптимального
быстродействия);
• задача минимизации затрат энергетических ресурсов управления траулером
как линейным объектом.
1. Задача оптимального быстродействия
Постановка задачи оптимального быстродействия. В соответствии с [3]
рассмотрим уравнения движения исследуемого объекта — траулера, которые по-
лучены на основе [4, с. 443; 5, с. 337; 6, с. 103] и записаны после линеаризации в
окрестности стационарной точки:
.000005,001189,090775,101957,0
,
+−ω−ϕ−=ω
ω=ϕ
u
(1)
Из табл. 1 работы [4] выберем краевые условия в виде
;0)(
,69533,0)(
0
0
=ω
=ϕ
t
t
(2)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 73
,0)(
,6952,0)(
=ω
=ϕ
T
T
(3)
где .00 =t
В соответствии с общей постановкой задачи наложим на управление следу-
ющее ограничение:
.5,31 ≤≤ u (4)
Задача оптимального быстродействия [7, с. 81] состоит в минимизации функ-
ционала
0tTJ −= (5)
при условиях (1)–(4).
Решение задачи оптимального быстродействия. Решаем задачу при помо-
щи принципа максимума Понтрягина [1, 2]. Для этого построим функцию Га-
мильтона
),000005,001189,090775,101957,0(21 −+ω+ϕψ−ωψ= uH (6)
и составим систему уравнений для вспомогательных функций :iψ
.90775,1
,01957,0
21
2
2
1
ψ+ψ−=
ψ
ψ=
ψ
dt
d
dt
d
(7)
Решение системы (7) найдем в виде
,11
tek λ=ψ .22
tek λ=ψ (8)
После подстановки (8) в (7) получаем
,90775,1
,01957,0
212
21
kkk
kk
+−=λ
=λ
или
.0)90775,1(
,001957,0
21
21
=λ−+−
=+λ−
kk
kk
(9)
Составим характеристическое уравнение
,0
90775,11
01957,0
)( =
λ−−
λ−
=λ∆
или
.001957,090775,12 =+λ−λ (10)
Находим решения (10):
.89745,1,01031,0 21 =λ=λ (11)
В случае, если ,01031,01 =λ выражения (9) принимают вид
.089744,1
,001957,001031,0
1
2
1
1
1
2
1
1
=+−
=+−
kk
kk
74 ISSN 0572-2691
Отсюда находим соотношение
1.:1,89744: 1
2
1
1 =kk
Получаем
.
,89744,1
01031,0
1
1
2
01031,0
1
1
1
t
t
ec
ec
=ψ
=ψ
(12)
Для 89745,12 =λ выражения (9) имеют вид
,001030,0
,001957,089745,1
2
2
2
1
2
2
2
1
=+−
=+−
kk
kk
откуда получаем
.1:01030,0: 2
2
2
1 =kk
Таким образом,
.
,01030,0
89745,1
2
2
2
89745,1
2
2
1
t
t
ec
ec
=ψ
=ψ
(13)
На основании (12) и (13) находим общее решение системы (7):
.
,01030,089744,1
89745,1
2
01031,0
12
89745,1
2
01031,0
11
tt
tt
ecec
ecec
+=ψ
+=ψ
(14)
Подставляя (14) в выражение для функции Гамильтона (6), получаем:
×+−ω+= )()01030,089744,1( 89745,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
tttt ececececH
,)(01189,0)000005,090775,101957,0( 89745,1
2
01031,0
1 uecec tt +−−ω+ϕ× (15)
или
,qupH += (15')
где
×+−ω+= )()01030,089744,1( 89745,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
tttt ececececp
);000005,090775,101957,0( −ω+ϕ×
.01189,001189,0 89745,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
tttt ececececq ′+′=−−=
Исследуем поведение функции q(t):
1) если 0, 21 >′′ cc или ,0, 21 <′′ cc то функция q(t) — знакопостоянна (поло-
жительная или отрицательная);
2) если ,01 <′c 02 >′c или ,02 <′c ,01 >′c то функция q(t) один раз меняет
знак.
Поскольку функция Н линейна по u, она в зависимости от знака коэффициен-
та q(t) достигает максимума на одном из концов отрезка [1; 3,5].
Поэтому, согласно принципу максимума, каждое оптимальное уравнение u(t),
,0 Tt ≤≤ представляет собой кусочно-постоянную функцию, принимающую зна-
чения 1=u и 5,3=u и имеющую не больше двух интервалов постоянства. Ис-
следуем оба случая.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 75
I. При 1=u система (1) принимает вид
,011885,001189,090775,101957,0
,
−−ω−ϕ−=ω
ω=ϕ
u
или
.011885,090775,101957,0
,0
−=ω+ϕ+
ω
=ω−
ϕ
dt
d
dt
d
(16)
Сначала находим решение однородной системы уравнений
090775,101957,0
,0
=ω+ϕ+
ω
=ω−
ϕ
dt
d
dt
d
(17)
в виде
., 21
tt ee µµ α=ωα=ϕ (18)
После подстановки (18) в (17) получаем
,090775,101957,0
,0
212
21
=α+α+µα
=α−µα
или
.0)90775,1(01957,0
,0
21
21
=α+µ+α
=α−µα
(19)
Составляем характеристическое уравнение
001957,090775,12 =+µ+µ (20)
и находим его решение:
.89744,1,01031,0 21 −=µ−=µ
При 01031,01 −=µ выражение (19) можно записать в виде
,089739,101957,0
,001031,0
1
2
1
1
1
2
1
1
=α+α
=α+α
откуда находим соотношение
.01031,0:)1(: 1
2
1
1 −=αα
В этом случае решение имеет вид
.01031,0
,
01031,0
11
01031,0
11
t
t
eс
eс
−
−
=ω
−=ϕ
(21)
76 ISSN 0572-2691
В случае 89744,12 −=µ выражение (19) можно представить в виде
,001035,001957,0
,089744,1
2
2
2
1
2
2
2
1
=α+α
=α+α
откуда следует
).89744,1(:)1(: 2
2
2
1 −=αα
В этом случае решение имеет вид
.89744,1
,
89744,1
22
89744,1
22
t
t
e
eс
−
−
=ω
−=ϕ
(22)
С учетом (21) и (22) записываем общее решение однородной системы урав-
нений:
.89744,101031,0
,
89744,1
2
01031,0
1
89744,1
2
01031,0
1
tt
tt
eсeс
eсeс
−−
−−
+=ω
−−=ϕ
(23)
Частное решение неоднородной системы (16) можно записать так:
.0
,60731,0
=ω
−=ϕ
(24)
Общее решение неоднородной системы (16) представляет собой сумму обще-
го решения однородной системы и частного решения неоднородной, поэтому,
объединяя (23) и (24), получаем:
.89744,101031,0
,60731,0
89740,1
2
01031,0
1
89744,1
2
01031,0
1
tt
tt
eсeс
eсeс
−−
−−
+=ω
−−−=ϕ
(25)
Учитывая краевые условия (2), находим
,01357,001357,0
,60731,000715,030979,1
89744,101031,0
89744,101031,0
tt
tt
ee
ee
−−
−−
+=ω
−−=ϕ
(26)
а при краевых условиях (3) —
.60318,001385,0
,60731,031790,033708,1
89744,101031,0
89744,101031,0
tt
tt
ee
ee
−−
−−
+−=ω
−−=ϕ
(27)
II. В случае, если ,5,3=u система (1) принимает вид
,04161,090775,1019057,0
,
−ω−ϕ−=ω
ω=ϕ
или
.041161,090775,101957,0
,0
−=ω+ϕ+
ω
=ω−
ϕ
dt
d
dt
d
(28)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 77
Прибавив к общему решению (23) соответствующей однородной системы
частное решение неоднородной системы
,0
,12621,2
=ω
−=ϕ
(29)
получим общее решение системы (28) в виде
.89740,101036,0
,12621,2
89744,1
2
01031,0
1
89744,1
2
01031,0
1
tt
tt
ecec
ecec
−−
−−
+=ω
−−−=ϕ
(30)
Учитывая краевые условия, находим решения:
а) при условии (2) —
;02939,0022028,0
,12621,201549,083703,2
89744,101031,0
89744,101031,0
tt
tt
ee
ee
−−
−−
+−=ω
−−=ϕ
(31)
б) при условии (3) —
.30698,103001,0
,11262,268882,089629,2
89744,101031,0
89744,101031,0
tt
tt
ee
ee
−−
−−
+−=ω
−−=ϕ
(32)
В соответствии с полученными решениями (26), (27), (31), (32) при помощи
программного приложения MS Excel'XX строим в фазовом пространстве на ос-
нове таблиц значений соответствующих функций фазовые траектории в виде
диаграмм.
Эти траектории изображены на рис. 1, 2. Точка пересечения траекторий, ко-
торые отвечают условиям (2) и (3) при u = 3,5 и u = 1, дает момент переключения.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
1nϕ
−0,050
0,150
0,350
0,550
0,750
0,950
1,150
1,350
2kϕ
1nω
2kω
Рис. 1
78 ISSN 0572-2691
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0,400
0,450
0,500
0,550
0,600
0,650
0,700
0,750
1kϕ
−0,200
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
2nϕ
0
2nω
1kω
Рис. 2
Если сначала движение происходит под управлением u = 1 по (26), а потом и
под u = 3,5 по (32) одновременно, траектории на рассмотренном отрезке [0, T ] не
пересекаются.
Если движение происходит сначала под управлением u = 3,5 по (31), а потом
и под u = 1 по (27) одновременно, получаем точку пересечения. Искомый момент
переключения t = 1,4 мин.
Таким образом, решение задачи — управление
≤<
≤≤
=
Tt
t
tu
4,1если,0,1
,4,10если,5,3
)( (33)
и траектория
),(
),(
t
t
Ω=ω
Φ=ϕ
(34)
где
∈−−
∈−−
=Φ
−
−−
];2;4,1[если,60731,031790,033708,1
],4,1;0[если,12621,201549,083703,2
)(
89744,101031,0
89744,101031,0
tee
tee
t
tt
tt
∈+−
∈+−
=Ω
−
−−
].2;4,1[если,60318,001385,0
],4,1;0[если,02939,0022028,0
)(
89744,101031,0
89744,101031,0
tee
tee
t
tt
tt
В соответствии с [5] из третьего уравнения (8) работы [3] на основании (33) и
(34) находим второе управление:
.5448)(6700)(1114037)(1851)( ++Ω+Φ=α tuttt (35)
Задача решена: под действием найденных управлений достигается оптималь-
ное быстродействие наведения трала на косяк рыбы за минимальное время.
2. Задача с квадратичным функционалом
Постановка задачи об оптимальных затратах энергетических ресурсов.
Даны уравнения движения системы (1). Заданы краевые условия
0)(
,69533,0)(
0
0
=ω
=ϕ
t
t
(36)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 79
и
,0)(
,7389,0)(
=ω
=ϕ
T
T
(37)
где .2,00 == Tt На управление наложено ограничение (4).
Необходимо минимизировать функционал
.)(
2
0
2 dttuJ ∫= (38)
Задача (1), (4), (36)–(38) — это задача о минимальных затратах энергетиче-
ских ресурсов [7, с. 81].
Решение задачи об оптимальных затратах энергетических ресурсов. Стро-
им функцию Гамильтона данной задачи
.01189,0)000005,090775,101957,0( 2
221 uuH −ψ−−ω+ϕψ−ωψ= (39)
Система уравнений для вспомогательных функций iψ имеет вид (7). Ее ре-
шение представляем следующим образом:
.
,01030,089744,1
89745,1
2
01031,0
12
89745,1
2
01031,0
11
tt
tt
ekek
ekek
+=ψ
+=ψ
(40)
Следовательно, гамильтониан принимает вид
.)(01189,0)000005,090775,101957,0(
)()01030,089744,1(
289745,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
uuekek
ekekekekH
tt
tttt
−+−−ω+ϕ×
×+−ω+=
(41)
По принципу максимума находим
).(005995,0 89745,1
2
01031,0
1
tt ekeku +−= (42)
После подстановки (42) в (1) получаем
).(000031,0000005,090775,101957,0
,0
89745,1
2
01031,0
1
tt ekekω
dt
d
ω
dt
d
++=−ϕ−
ω
=−
ϕ
(43)
Общее решение однородной системы уравнений уже получено в виде (23).
Найдем частное решение неоднородной системы дифференциальных уравне-
ний (43) в виде
).(
),(
89745,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
tt
tt
egegb
eheha
++=ω
++=ϕ
(44)
Подставив (44) в (43), получаем
.000005,0000031,0000031,090775,101957,0
)80520,301957,0()91806,101957,0(
,0)89745,1()01031,0(
89745,1
2
01031,0
1
89745,1
22
01031,0
11
89745,1
22
01031,0
11
++=++
++++
=−−+−
tt
tt
tt
ekekba
eghegh
beghegh
80 ISSN 0572-2691
Отсюда следует
,089745,1
,001031,0
22
11
=−
=−
gh
gh
,000031,091806,101957,0
,0
111 kgh
b
=+
=
(45)
.000005,090775,101957,0
,000031,080520,301957,0 222
=+
=+
ba
kgh
Из (45) определяем
.000008,0,000008,0
,000004,0,00079,0
,0,00026,0
2211
2211
kgkg
khkh
ba
==
==
==
В результате находим частное решение системы (43):
.000008,0000008,0
,000004,000079,000026,0
89745,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
tt
tt
ekek
ekek
+=ω
++=ϕ
(46)
Тогда общее решение неоднородной системы дифференциальных уравне-
ний (43) записывается в виде
.89744,101031,0
000008,0000008,0
,
000004,000079,000026,0
89744,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
89744,1
2
01031,0
1
89745,1
2
01031,0
1
tt
tt
tt
tt
ecec
ekek
ecec
ekek
−−
−−
−−
−+=ω
−−
−++=ϕ
(47)
Учитывая краевые условия (36), (37), находим оптимальную траекторию:
.03795,001771,0
00092,002414,0
,02,071,1
00046,038391,200026,0
89744,101031,0
89745,101031,0
89744,101031,0
89745,101031,0
tt
tt
tt
tt
ee
ee
ee
ee
−−
−−
−+
+−=ω
+−
−−+=ϕ
(48)
Движение по заданной траектории осуществляется под действием оптималь-
ного управления
.069028,081057,1)( 89745,101031,0 tt eetu −= (49)
В соответствии с [4] из третьего уравнения (8) работы [3] на основании (48) и
(49) находим второе управление:
.5448)(6700)(1114037)(1851)( ++ω−ϕ=α tuttt (50)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 81
Задача решена: под действием управлений при минимальных затратах энерге-
тических ресурсов осуществляется управление траулером как линейным объектом.
В.І. Мусурівський
ПРО МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ
ФУНКЦІОНУВАННЯ КОМП’ЮТЕРНОЇ СИСТЕМИ
ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ТРАУЛЕРОМ.
Частина 2
Отримано розв’язки таких задач оптимального керування траулером: про оп-
тимальну швидкодію; про оптимальні витрати енергетичних ресурсів. Ці задачі
є задачами Лагранжа. Їх розв’язки знайдено за допомогою принципу максиму-
му Понтрягіна. Описана схема дозволяє створити комп’ютерну систему керу-
вання заданим об’єктом — систему прийняття рішень.
V.I. Musurivskiy
ON MATHEMATICAL FOUNDATIONS OF
COMPUTER SYSTEM OF TRAWLER OPTIMAL
CONTROL FUNCTIONING. Part II
The problems of trawler optimal control are solved: about optimal speed, optimal ex-
penditures of energy resources. Given problems are Lagrange problems solved by
Pontryagin maximum principle. The described scheme allows creating of computer
control system of a given object — the decision making system.
1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко В.Ф. Математическая тео-
рия оптимальных процессов. — М. : Наука, 1983. — 392 с.
2. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в теории оптимального управления. — М. : Наука,
1989. — 64 с.
3. Мусуривский В.И. О математических основах функционирования компьютерной системы
оптимального управления траулером. Ч. 1 // Проблемы управления и информатики. —
2006. — № 3. — С. 57–64.
4. Мусурівський В.І. Про дослідження деяких керованих процесів і створення програмних сис-
тем керування // Наук. вісн. Чернівецького торговельно-економічного інституту КНТЕУ. —
2003. — Вип. 4. — С. 437–444.
5. Мусурівський В.І. Про програмні засоби розв’язання нелінійних систем для задачі оптималь-
ного управління траулером // Наук. вісн. Буковинського державного фінансово-економіч-
ного інституту. — 2003. — Вип. 4. — С. 335–338.
6. Мусурівський В.І. Про створення системи прийняття рішень для задачі оптимального уп-
равління траулером // Зб. наук. праць V Всеукраїнської науково-практичної конференції
«Комп’ютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті». —
Черкаси : ІСУЕП. — 2003. — С. 101–103.
7. Мусурівський В.І. Про математичні основи функціонування комп’ютерної системи оптималь-
ного управління деякими керованими обє’ктами // Зб. наук. праць Міжнародної науково-
практичної конференції «Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні техно-
логії». — Чернівці : Чернівецький фінансово-юридичний інститут. — 2004. — С. 81–82.
Получено 15.08.2005
1. Задача оптимального быстродействия
2. Задача с квадратичным функционалом
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206879 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:11Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мусуривский, В.И. 2025-09-26T08:04:35Z 2006 О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 72-81. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206879 517.9:519.24:519.6:519.7:62.50 Отримано розв’язки таких задач оптимального керування траулером: про оптимальну швидкодію; про оптимальні витрати енергетичних ресурсів. Ці задачі є задачами Лагранжа. Їх розв’язки знайдено за допомогою принципу максимуму Понтрягіна. Описана схема дозволяє створити комп’ютерну систему керування заданим об’єктом — систему прийняття рішень. The problems of trawler optimal control are solved: about optimal speed, optimal expenditures of energy resources. Given problems are Lagrange problems solved by Pontryagin maximum principle. The described scheme allows creating of computer control system of a given object — the decision making system. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление физическими объектами и техническими системами О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 Про математичні основи функціонування комп’ютерної системи оптимального керування траулером. Частина 2 On mathematical foundations of computer system of trawler optimal control functioning. Part II Article published earlier |
| spellingShingle | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 Мусуривский, В.И. Управление физическими объектами и техническими системами |
| title | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 |
| title_alt | Про математичні основи функціонування комп’ютерної системи оптимального керування траулером. Частина 2 On mathematical foundations of computer system of trawler optimal control functioning. Part II |
| title_full | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 |
| title_fullStr | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 |
| title_full_unstemmed | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 |
| title_short | О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть 2 |
| title_sort | о математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. часть 2 |
| topic | Управление физическими объектами и техническими системами |
| topic_facet | Управление физическими объектами и техническими системами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206879 |
| work_keys_str_mv | AT musurivskiivi omatematičeskihosnovahfunkcionirovaniâkompʹûternoisistemyoptimalʹnogoupravleniâtrauleromčastʹ2 AT musurivskiivi promatematičníosnovifunkcíonuvannâkompûternoísistemioptimalʹnogokeruvannâtrauleromčastina2 AT musurivskiivi onmathematicalfoundationsofcomputersystemoftrawleroptimalcontrolfunctioningpartii |