Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы

Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы

Викладено теоретичні основи нового методу ідентифікації багатовимірних динамічних систем за наближеними даними, які отримано з експериментів. Запропоновано та обгрунтовано ітеративну схему відновлення математичної моделі об’єкта за окремими частинами, що називаються субмоделями. Для цьоговикористано...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Проблемы управления и информатики
Дата:2006
Автор: Губарев, В.Ф.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Теми:
Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206889
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 16-31. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206889
record_format dspace
spelling Губарев, В.Ф.
2025-09-26T10:11:35Z
2006
Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 16-31. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206889
681.5
Викладено теоретичні основи нового методу ідентифікації багатовимірних динамічних систем за наближеними даними, які отримано з експериментів. Запропоновано та обгрунтовано ітеративну схему відновлення математичної моделі об’єкта за окремими частинами, що називаються субмоделями. Для цьоговикористано постановку задачі в нестандартній формі. На її основі отримано умови ідентифікованості та запропоновано способи формування на вході інформативних сигналів, які дозволяють на виході виділяти сигнали субмоделі. Описано процедуру визначення структури субмоделі та відповідних їй власних значень.
Theoretical foundation of new identification method of multivariable dynamical systems over approximate data obtained from experiments are stated. It is proposed and justified the iterative scheme of reconstruction of mathematical model of the object by separate parts named submodels. For this the non-traditional problem statement was used. On the basis of it the identifiability conditions were derived and way to form the informative input signals which allow to select submodel on output are proposed. Procedure allowing to establish the submodel structure and to evaluate the submodel eigenvalues is described.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Методы идентификации и адаптивного управления
Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы
Метод ітеративної ідентифікації багатовимірних систем за неточними даними. Частина 1. Теоретичні основи
Method of iterative identification of multivariable systems over inexact data. Part I. Theoretical aspects
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы
spellingShingle Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы
Губарев, В.Ф.
Методы идентификации и адаптивного управления
title_short Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы
title_full Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы
title_fullStr Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы
title_full_unstemmed Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы
title_sort метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. часть 1. теоретические основы
author Губарев, В.Ф.
author_facet Губарев, В.Ф.
topic Методы идентификации и адаптивного управления
topic_facet Методы идентификации и адаптивного управления
publishDate 2006
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Метод ітеративної ідентифікації багатовимірних систем за неточними даними. Частина 1. Теоретичні основи
Method of iterative identification of multivariable systems over inexact data. Part I. Theoretical aspects
description Викладено теоретичні основи нового методу ідентифікації багатовимірних динамічних систем за наближеними даними, які отримано з експериментів. Запропоновано та обгрунтовано ітеративну схему відновлення математичної моделі об’єкта за окремими частинами, що називаються субмоделями. Для цьоговикористано постановку задачі в нестандартній формі. На її основі отримано умови ідентифікованості та запропоновано способи формування на вході інформативних сигналів, які дозволяють на виході виділяти сигнали субмоделі. Описано процедуру визначення структури субмоделі та відповідних їй власних значень. Theoretical foundation of new identification method of multivariable dynamical systems over approximate data obtained from experiments are stated. It is proposed and justified the iterative scheme of reconstruction of mathematical model of the object by separate parts named submodels. For this the non-traditional problem statement was used. On the basis of it the identifiability conditions were derived and way to form the informative input signals which allow to select submodel on output are proposed. Procedure allowing to establish the submodel structure and to evaluate the submodel eigenvalues is described.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206889
citation_txt Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным данным. Часть 1. Теоретические основы / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 16-31. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT gubarevvf metoditerativnoiidentifikaciimnogomernyhsistemponetočnymdannymčastʹ1teoretičeskieosnovy
AT gubarevvf metodíterativnoíídentifíkacííbagatovimírnihsistemzanetočnimidanimičastina1teoretičníosnovi
AT gubarevvf methodofiterativeidentificationofmultivariablesystemsoverinexactdatapartitheoreticalaspects
first_indexed 2025-11-25T23:55:47Z
last_indexed 2025-11-25T23:55:47Z
_version_ 1850591026500075520
fulltext © В.Ф. ГУБАРЕВ, 2006 16 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 681.5 В.Ф. Губарев МЕТОД ИТЕРАТИВНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ. Часть 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ При идентификации многомерных непрерывных динамических систем по приближенным данным, полученным из экспериментов, селекция структуры мо- дели представляет собой нетривиальную задачу. Во многих случаях модель, раз- мерность которой значительно меньше числа степеней свободы объекта, дает лучшую оценку по невязке, характеризующей точность идентификации, чем пол- номасштабная или приближенная модель большой размерности [1, 2]. Как след- ствие, дальнейшее использование в управлении и прогнозировании такой модели, оптимальной с точки зрения идентификации, может давать неудовлетворитель- ный результат. Поэтому стали применяться итеративные схемы, в которых проце- дуры идентификации и проектирования управления последовательно чередуются до достижения приемлемого результата [3, 4]. Такой подход называют медленной адаптацией, проводимой не в режиме on-line. Однако эти схемы нелинейные и по- этому трудны для анализа и получения условий сходимости. В данной работе развивается альтернативный подход с использованием ите- ративной схемы идентификации, позволяющей для систем большой размерности восстанавливать модель желаемой сложности по отдельным частям, которые бу- дем называть субмоделями. При этом предельная по сложности модель, которая может быть восстановлена, определяется уровнем возмущений и ограничением на максимально допустимую величину входного воздействия, если возбуждающие сигналы реализуются в виде кусочно-постоянной на S-интервалах функции. Постановка задачи Пусть идентифицируемый многомерный объект представляет собой линей- ную стационарную систему, имеющую R входов, на которые могут подаваться управляемые воздействия ),(...,),(),( 21 tututu R а также M выходов ...),(),( 21 tyty ),(, tyM которые дают отклик системы на эти воздействия. Число внутренних степеней свободы n априори не известно и подлежит определению. Известно только, что значение n достаточно велико или равно бесконечности, если рас- сматривается система с распределенными параметрами. В последнем случае под- разумевается конечномерная аппроксимирующая модель, вытекающая, например, из метода Галеркина [5]. Для таких систем наиболее подходит описание с исполь- зованием пространства состояния, т.е. система уравнений вида , , ++= ++= DuCxy BuAx dt dx (1) Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 17 где x — вектор внутренних переменных, определяющих текущее состояние си- стемы, а при помощи вектор-функций  и  соответствующих размерностей учи- тывается наличие неконтролируемых возмущений или немоделируемой динами- ки () и погрешности при измерениях (). Величины  и  будем считать неопре- деленными, о них известно только то, что их текущие значения принадлежат ограниченным множествам. Ограничение, как правило, определяет максимально допустимые по норме или метрике отклонения от нулевого элемента в соответ- ствующем пространстве. По данным входа )(tu и выхода ),(ty получаемым в проводимых на объекте экспериментах, кроме порядка модели n должны быть определены значения элементов матриц А, В, С, D. В условиях указанной неопре- деленности относительно  и  могут быть найдены только приближенные точеч- ные или множественные оценки параметров модели. Поэтому ставится задача: по исходным данным дать такую оценку детерминированных параметров модели (1), согласованную с погрешностями  и , чтобы при 0→ и 0→ в пределе получалось точное решение. В случае рассматриваемой неопределенности нельзя ставить задачу об отыскании решения, обеспечивающего состоятельность оценки, как это делается, если )(t и )(t — случайные процессы, которые могут быть представлены стационарными эргодическими белыми гауссовыми шумами с ну- левым математическим ожиданием [6]. В этой ситуации невозможно обеспечить сходимость к точному решению при увеличении количества используемых дан- ных. Более того, даже при множественной оценке параметров в общем случае нельзя гарантировать, что найденное множество моделей будет содержать точную модель. Только в специальных случаях и при дополнительных предположени- ях [7, 8] удается получить гарантированные оценки. Поэтому приближенное ре- шение задачи идентификации дает и приближенную размерность модели n. При этом должна обеспечиваться сходимость приближенного значения n к точному при 0→ и .0→ Точечные и множественные решения, обладающие ука- занными выше свойствами сходимости, будем называть регуляризированными решениями. В данной статье поставлена задача разработать такой метод идентификации многомерных систем, который позволял бы находить регуляризированные реше- ния для достаточно общего случая. С этой целью преобразуем уравнение (1) к другой, более удобной для реализации такого метода форме. Воспользуемся фор- мулой Коши, позволяющей от дифференциального описания (1) перейти к интег- ральному представлению модели. Тогда соотношение вход–выход для системы, находившейся в покое до момента ,0=t начиная с которого прикладывается входное воздействие ),(tu запишем в виде ,)()()())(()( 0 ttDuduBtCty t ++−=  (2) где )( − t — переходная матрица, элементы которой формируются из неза- висимых фундаментальных решений, )(t — вектор ограниченной неопределен- ности, содержащий возмущения, погрешности измерения и немоделируемую ди- намику. Если возбуждающие воздействия подаются отдельно на каждый вход ru при нулевых остальных, то отклик системы (2) на m-м выходе можно представить в виде уравнения ),()()())(()( 0 T)( ttuddubtcty mrmrr t rm r m ++−=  (3) где T mc — m-я вектор-строка С; rb — r-й вектор-столбец В. 18 ISSN 0572-2691 Для матрицы А, записанной в блочно-диагональной жордановой форме, вы- ражение переходной матрицы )( − t может быть получено в явном виде при помощи, например, подхода, описанного в [9]. Воспользовавшись этим подходом, преобразуем уравнение к виду (3)    = = −− − +−+− − − = = P p n j r t t p r mpjp r mpj j r m p p duetftf j t ty 1 1 )( 0 )2()1( 1 )( )())(sin)(cos( )!1( )( )( ).()()()( )!1( )( 0 1 1 1 )( ttudduet j g mrmrr t t j Q q n q r mpj q qP ++− − + −−− = =   + (4) В (4) первый интеграл соответствует модам системы с комплексными соб- ственными значениями pp i кратности ,pn а второй — определяет моды с действительными собственными числами q кратности .qPn + При этом систему считаем устойчивой ).0,0(  qp Чтобы выразить коэффициенты )2()1( , r mpj r mpj ff и )(r mqjg через компоненты векторов mc и ,rb представим сначала матрицы С и В в блочном виде, согласованном с клеточной структурой А: ,][,,, III 1 II 1 I II I CCC B B B B B B B B B B B QP qP P P p =                 =                 =      = + + +     ].,,,,[],,,,,[ 1II1I QPqPPPp CCCCCCCC +++==  Тогда ,],,,,,,,,,[ TTT 1 TTT 1 T QmPqmPmPmPmpmm ccccccc +++=  ],,,,,,,,,,[ TTT 1 TTT 1 T QrPqrPrPrPrprr bbbbbbb −++=  где векторы TTTT ,,, qrPrpqmPmp bbcc ++ имеют размерности pn и qPn + соответству- ющих клеток матрицы А, т.е. ],,,,,,,[ )()()( 2 )( 2 )( 1 )( 1 T s mpn c mpn s mp c mp s mp c mpmp pp ccccccc = ],,,,[ 21 T qPqnmPqmPqmPqmP cccc +++++ =  ],,,,,,,[ )()()( 2 )( 2 )( 1 )( 1 T s rpn c rpn s rp c rp s rp c rprp pp bbbbbbb = ].,,,[ 21 T qPqnrPqrPqrPqrP bbbb +++++ =  При этом )(c mpc и )(c rpb соответствуют косинусным модам, а )(s mpc и )(s rpb — синус- ным. Размерность, или число мод системы, определяется соотношением ....2...22 2121 QPPPP nnnnnnn +++ +++++++= Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 19 Образовав из коэффициентов ,, )2()1( r mpj r mpj ff и )(r mpjg векторы ,],,,[ T)1()1( 2 )1( 1 )1( r mpn r mp r mp r mp P ffff = ,],,,[ T)2()2( 2 )2( 1 )2( r mpn r mp r mp r mp P ffff = ,],,,[ T)()( 2 )( 1 )( r mqn r mq r mq r mq qP gggg + =  составим уравнения связи этих векторов с векторами :,,, qrPrpqmPmp bbcc ++ ,,, )()()2()()1( qmPqrP r mqmprp r mpmprp r mp cBgcBfcBf ++ −+ === (5) где , 0000 00 )()( )( 3 )( 3 )( 2 )( 2 )()()( 2 )( 2 )( 1 )( 1 )(                     =+     s rpn c rpn s rp c rp s rp c rp s rpn c rpn s rp c rp s rp c rp rp pp pp bb bbbb bbbbbb B , 0000 00 )()( )( 3 )( 3 )( 2 )( 2 )()()( 2 )( 2 )( 1 )( 1 )(                     − −− −−− =−     c rpn s rpn c rp s rp c rp s rp c rpn s rpn c rp s rp c rp s rp rp pp pp bb bbbb bbbbbb B . 00 032 21                   = + + + ++ +++ +     qP qP qnrP qrPqrP qnrPqrPqrP qrP b bb bbb B Таким образом, (4) определяет rm уравнений, которые непосредственно связывают каждое входное воздействие и измеряемый отклик на него на каждом выходе. Идентифицируемые параметры этой структуры модели — qpp  ,, и ,, qPp nn + определяющие собственное движение объекта и матрицу А, представ- ленную в канонической жордановой форме, а также коэффициенты разложения ,, )2,()1( r mpj r mpj ff )(r mpjg и .mrd Зная эти коэффициенты, при помощи (5) легко вычис- лить матрицы В, С, D для модели (1), т.е. установить конкретную модель в про- странстве состояний. Кроме того, с использованием (4) в задаче идентификации появляются новые возможности, а именно: 1. Поэтапная идентификация параметров, которые можно разбить на группы. Выделяются две основные группы параметров. К первой относятся qpp  ,, и кратности ,, qPp nn + которые полностью задают жорданову форму матрицы А. Остальные параметры ,, )2()1( r mpj r mpj ff )(r mpjg и mrd составляют вторую группу. Сна- чала по экспериментальным данным следует найти приближенную точечную или 20 ISSN 0572-2691 множественную оценку параметров первой группы. При этом каждое из rm уравнений можно использовать независимо на основе данных последовательности экспериментов, в которых возбуждение системы производится отдельно на каж- дом входе при нулевом сигнале на остальных. Поскольку параметры первой груп- пы — общие для всех уравнений (4), то могут применяться различные процедуры усреднения как при приближенной точечной, так и при множественной их оценке. Определение же параметров второй группы можно свести к задаче аналитической аппроксимации экспериментально полученных функций. 2. Декомпозиция процедуры идентификации на ряд самостоятельных задач; проведение идентификации в интерактивном режиме, позволяющем выявлять особенности объекта и соответствующим образом корректировать план экспери- ментов, синтезируя наиболее информативные входные сигналы; манипулирова- ние выходными данными с выделением из них подходящих наборов для решения вспомогательных задач; формирование разнообразных итеративных схем и алго- ритмов идентификации. 3. Благодаря жордановой форме, каждая клетка которой определяет свои временные характеристики объекта, появляется возможность независимого вос- становления отдельных частей модели, названых субмоделями. Для конкретного объекта субмодель может включать одну или несколько жордановых клеток. При простых собственных значениях субмодель может быть одномодовой или содер- жать кластер мод с близкими характеристиками переходного процесса. Размерно- сти субмоделей могут быть различными. Допускается также присутствие одних и тех же мод в разных субмоделях. Определение параметров субмодели означает идентификацию соответствующих блоков матриц А, В, С, а также отдельных эле- ментов матрицы D. Таким образом, из последовательности субмоделей можно восстановить всю модель или модель желаемой сложности в случае большой или бесконечномерной размерности. Это особенно важно при идентификации много- мерной системы по приближенным данным, когда проявляется некорректность, сильно влияющая на точность оценивания. Проводить идентификацию отдельно по субмоделям можно, если специально подбирать входное воздействие, форми- рующее отклик, из которого при соответствующих преобразованиях и подборе данных выделяются моды рассматриваемой субмодели. Следует отметить, что структура модели (4) инвариантна относительно вы- бора базиса пространства состояний. Однако только жорданова форма позволяет простыми соотношениями связать параметры моделей (1) и (4). Общие условия идентифицируемости Структура (4) позволяет установить некоторые общие условия идентифици- руемости, которые должны выполняться при произвольном входном воздействии для построения полной модели объекта. Условия идентифицируемости мод с дей- ствительными собственными значениями, входящих в q-ю жорданову клетку, сводятся к следующему [9]. Чтобы все qn мод q-й клетки были идентифицируе- мы, необходима наблюдаемость первой моды и управляемость последней моды данной клетки, что эквивалентно условию .01 = ++ ++ qmPqnrPmqn cbg qPqP Для жордановых клеток с комплексными собственными значениями идентифицируе- мость всех мод гарантируется, если )1(r mpnp f и )2(r mpnp f одновременно не обраща- ются в ноль. Это условие обеспечивается, когда одна из первых двух мод (синус- ная или косинусная), как минимум, наблюдаема, а любая из последних двух мод (синусная или косинусная) — управляема. Математически данное условие сво- дится к требованию отличия от нуля хотя бы одного из произведений );( )( 1 )( c mp c rqn cb p );();( )( 1 )()( 1 )( c mp s rqn s mp s rqn cbcb pp .)( )( 1 )( s mp c rqn cb p Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 21 Все приведенные выше условия идентифицируемости должны выполняться хотя бы для одной из вектор-строк ,qmPc + mpc матриц ,qPC + ,pC а также для какого-нибудь вектор-столбца ,qrPb + rpb матриц ,qPB + .pB Идентифицируе- мость всей системы может быть обеспечена, если идентифицируема каждая жор- данова клетка матрицы А. По существу, полученные условия позволяют восста- навливать полностью матрицу А в жордановой форме. Тогда определение матриц В и С сводится с решению уравнений связи (5) для найденных по эксперимен- тальным данным коэффициентов разложения )2()1( , r mpj r mpj ff и . )(r mpjg Рассмотрим вопрос разрешимости (5). Пусть система имеет один выход и R входов. В этом случае компоненты векторов TTT ,, rpqPp bcc + и T qrPb + определяются из (5) по значениям )2()1( , r pj r pj ff и )(r qjg неоднозначно. Поэтому структуру модели следует выбрать в наблюдаемой канонической форме, положив ,),1(1... )()()( 2 )( 1 Ppcccc s pn c pn s p c p pp ====== .),1(1...21 Qqccc qPqnPqPqP ===== ++++ Тогда обратным ходом метода Гаусса однозначно находим из (5) компоненты векторов rpb и qrPb + .),1,,1,,1( QqPpRr === Аналогично следует поступить и в случае, когда система имеет один вход и М выходов. Выбираем модель в управляемой канонической форме, т.е. принимаем ,),1(1... )()()( 1 )( 1 Ppbbbb s pn c pn s p c p pp ====== ;),1(1...11 Qqbbb qPqnPqPqP ===== ++++ тогда система уравнений (5) принимает гауссово представление и значения qjmP s mpj c mpj ccc +,, )()( вычисляются однозначно. При выборе наблюдаемой канониче- ской формы можно взять 0...,1 )()()( 2 )( 2 )( 1 )( 1 ======= s pn c pn s p c p s p c p pp cccccc ,),1( Pp = 0...,1 21 ==== ++++ qPqnPqPqP ccc .),1( Qq = В результате получаем )()()()( , rs pj s rpj rc pj c rpj fbfb == и . )(r qjqjrP gb =+ Для аналогичной управляемой канонической формы с коэффициентами ,),1(1,0... )()()()()( 1 )( 1 11 Ppbbbbbb c pn s pn s pn c pn s p c p pppp ======== −− 1,0... 1121 ===== +−+++ pqp PnPnqPqP bbbb находим .,, )( 1 )2()( 1 )1()( 1 r mqjqmP r mpj s jmpn r mpj c jmpn gcfcfc qq =−== +−++−+− Рассмотрим общий многомерный случай с М выходами и R входами. Не- трудно убедиться, что для каждого блока соотношения (5) дают переопределен- ную систему и в то же время сохраняется неоднозначность при вычислении эле- ментов соответствующих клеток матриц В и С. Тогда следует, как и в предыду- 22 ISSN 0572-2691 щем случае, выбрать по одному из входов управляемую каноническую форму или по одному из выходов — наблюдаемую каноническую форму, а остальные коэф- фициенты находить уже из переопределенной системы (5). Один из возможных путей решения — представить систему как совокупность подсистем, каждая из которых имеет один вход (r фиксировано) и М выходов или один выход (m фик- сировано) и R входов. Одну из этих подсистем представим в управляемом или наблюдаемом каноническом виде с выбором соответствующих значений коэффи- циентов. С учетом переопределенности системы уравнений все остальные коэф- фициенты целесообразно определять на основе метода наименьших квадратов (МНК). Возможны различные модификации данного алгоритма — например, сна- чала установить уравнения, в которых найденные из экспериментов коэффициен- ты разложения имеют наибольшую погрешность, а затем исключить их из проце- дуры идентификации. Формирование информативных сигналов Полученные условия идентифицируемости необходимые, но не достаточные. Их следует дополнить требованиями информативности входного воздействия. В методе идентификации, который излагается в настоящей статье, в качестве ис- ходных используются данные переходного процесса. Способ его выделения при входном воздействии в виде кластера гармоник описан в [9]. Здесь предлагается еще один возможный способ формирования переходного процесса на основе ку- сочно-постоянного входного воздействия вида }.,0],,0[,1,0,:{)( 01 TttTtSstttutu Sssrsr ==−= + Тогда при Tt  происходит свободное движение системы, определяемое вы- ражением +−     − − = + = − + = − =  )(cos( )!1( )( ),( 1 )1( 1 1 1 1 1 0 )( sp r mpj n j j s P p S s rs r m ttv j tt uTtty p .)( )!1( ))(sin )( 1 1 1 1 )( )( 1 )2( 11      − − +−+ + + + −− = = − + −− +   sq qP sp tt Q q n j j s r mqjtt sp r mpj ett j w ettv (6) Здесь векторы ,},,,{ T)1()1( 2 )1( 1 )1( r mpn r mp r mp r mp p vvvv = T)2()2( 2 )2( 1 )2( },,,{ r mpn r mp r mp r mp p vvvv = и T)()( 2 )( 1 )( },,,{ r mpn r mp r mp r mq qP wwww + =  выражаются соответственно через ,)1(r mpf )2(r mpf и )(r mqg соотношениями ,)1()2()1()1()1( r mp r mp r mp fHfHv += ,)1()2()2()1()2( r mp r mp r mp fHfHv −= ,)()3()( r mq r mq gHw = (7) где ,)1(H ,)2(H )3(H — верхнетреугольные теплицевы матрицы вида , 000 0 )( 1 )()( 2 )( 1 )()( 3 )( 2 )( 1 )( 1                 = − i i n ii i n iii i h hhh hhhh H p p     ,3,2,1=i Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 23 ,)(cos )()!( )1( cos )( )1( 1 2/222/22 )1( + +− − − + − =  = − − k kj ejh sp j k k pp kj s k j pp j j sp ,)(sin )()!( )1( sin )( )1( 1 2/222/22 )2( + +− − − + − =  = − − k kj ejh sp j k k pp kj s k j pp j j sp , )!( )( 1 1 1 )3(         −  −=  = − −− j k k sqj qj kj eh sp ,1 sss tt −= + ,)(sin 2/122 −+−= ppp .)(cos 2/122 −+−= ppp Фактически выражение (6) представляет собой разложение выходов системы в свободном движении по собственным функциям оператора (1) с априори не из- вестными их количеством и собственными числами. Поэтому задачу идентифика- ции на основе (6) можно интерпретировать как усложненную задачу аналитиче- ской аппроксимации экспериментально полученных функций рядом независимых базисных функций. Как известно, такая задача при бесконечном количестве функ- ций и неточных исходных данных является некорректно поставленной [10–13], по- скольку оценка точности аппроксимации с прибавлением членов ряда сначала уменьшается, а затем, начиная с некоторого номера ,*n неограниченно растет. Структура базисных функций априори известна, а их конкретные параметры определяются собственными значениями матрицы A. Коэффициенты , )1(r mpjv )2(r mpjv и )(r mpjw определяются параметрами, включающими, наряду со столбцовыми и строчными элементами блоков ,pC ,qpC + ,pB qpB + и собственными значени- ями, еще и величины ,s которые задаются при планировании эксперимента. От их значений и особенно от амплитуд ступенчатого воздействия rsu существенно зависит вклад каждой моды в выходные сигналы (6). Чтобы проанализировать информативность получаемого отклика, рассмотрим объект, имеющий простые действительные собственные значения .q В этом случае == +−− − ==  )( 1 0 )3( 1 1 )()( 1)( sq tt rs S s n q r mq r m euhgty ,)1( 1 1 0 )( 1 sqsqsq t n q S s rs t q r mq euee g − = − = −           −  = + .Stt  (8) Возьмем воздействие, состоящее из одного прямоугольного импульса. Тогда ,)()()( )()( 1 000 )( qqtr mqq n q r m eguty −− = =  ,0t (9) где ,0 qq = ,00 uur = .)1()( 1 0 qeqq −− −= График этой весовой функции изображен на рис. 1. Из (9) и рис. 1 следует известный результат: чем меньше ширина прямо- угольного импульса ),0( 0 → тем больше для информативности выходного сиг- нала следует делать амплитуду 0u и тем большее количество мод дает различи- 24 ISSN 0572-2691 мый отклик на возбуждение. Варьируя 0 и 0u так, чтобы ,100 = u можно из- менять количество мод, которые дают существенный вклад в выходной сигнал. При заданном 0 возбуждаются в основном моды с собственными числами q из интервала ,0 max q где max определяется значением 0 и ограничением на возмущение )(tm при .1tt  Фактически это означает отнесение мод, не по- павших в этот интервал, к возмущениям, за исключением, может быть, некоторых мод с большими значениями .)(r mqg Если 00 → при ,100 = u то прямоугольное импульсное воздействие приближается к -функции, обеспечивающей широкопо- лосное возбуждение объекта. 10 – 3 10 – 2 10 – 1 10 0 10 1 10 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0  Рис. 1 При воздействии, состоящем из двух прямоугольных импульсов с одинако- вым шагом ,0 ,),()()()( )2()( 001 1 000 )( qqtr mqq n q q r m eguty −− = =  ,2 0t (10) где , )1( ),( 00 00 001 − −− − − = e ee q q , 1 00 0 0 − − = e u ur . 1 00 00 0 1 − − − −= e eu ur Оптимальным выбором трех параметров ,0 0u и 00 можно более эффек- тивно отделить моды первой субмодели от остальных, отклик которых находится на уровне возмущений. Входная последовательность из трех прямоугольных им- пульсов позволяет распорядиться четырьмя параметрами ,0 ,0u ,00 01 и да- ет на выходе сигнал ,),,()()()( )3()( 01002 1 000 )( qqtr mqq n q q r m eguty −− = =  ,3 0t (11) где , ),0( ),,( ),,( 01002 01002 01002   = q q ,)(,,( )(2 01002 01000100 +−−−−− ++−= eeeee qq q . ),,0( , ),,0( )( , ),,0( 01002 )( 0 2 01002 0 1 01002 0 0 01000100  =  + −=  = +−−− eu u eeu u u u rrr Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 25 Еще больший эффект может быть достигнут при воздействии, состоящем из четырех последовательных прямоугольных импульсов с откликом ,),,,()()()( )4()( 0201003 1 000 )( qqtr mqq n q q r m eguty −− = =  ,4 0t (12) где , ),,,( ),,,( ),,,( 0201003 0201003 0201003   = q q q +++−= −−−−− qq eeeeeq 23 0201003 )(),,,( 020100 ,)( )()()()( 020100020102000100 ++−−+−+−+− −+++ eeeee q , ),,,0( )( , ),,,0( 0201003 0 1 0201003 0 0 020100  ++ −=  = −−− eeeu u u u rr , ),,,0( )( 0201003 )()()( 0 2 020102000100  ++ = +−+−+− eeeu ur . ),,,0( 0201003 )( 0 3 020100  −= ++− eu ur Графики функций ,1001 = ,2002 = 3003 = представлены на рис. 2. При этом значения ,00 ,01 02 выбраны так, чтобы интервал по  , от- деляющий моды субмодели от остальных мод, был наименее узким. 10 – 2 10 – 1 10 0 10 1 10 2 0 – 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0i  01 02 03 1,2 10 – 3 Рис. 2 Результаты (10)–(12) легко обобщить на общее кусочно-постоянное воздей- ствие, состоящее из s последовательных прямоугольных импульсов, которому со- ответствует функция ,0 s сколь угодно близкая к прямоугольному импульсу, что позволяет выделять сигнал субмодели даже при малой неопределенности. Аналогичный результат имеет место для случая однократных комплексных собственных значений. Тогда вместо (8) получаем ,))(sin)(cos()( )( 1 1 )2( 1 )1( 1 0 )( 1+−− = ++ − =  −+−= sq tt P p sp r mpjsp r mp S s rs r m ettvttvuty .Stt  (13) 26 ISSN 0572-2691 При воздействии, состоящем из одного прямоугольного импульса, ,))(sin)(cos()()( )()2()1( 1 00 )( pqt pp r mppp r mp P p r m etvtvuty −− = −+−=  ,0t (14) где ,0= pp .0= pp Для этого случая выражения )1(r mpv и )2(r mpv в (14) запишем в виде ,),(),( )2( 00 )1( 01 )1( r mppp r mppp r mp ffv −−= ,),( )2( 01 )1()2( r mppp r mp r mp ffv −−= где , )cossin( ),( 2200 pp ppppp pp pe + +− −= − . )sincos( ),( 2201 pp ppppp pp pe + −− −= − В нулевой точке ,0)0,0(00 = .1)0,0(01 −= По любому лучу, исходящему из этой точки, функции 00 и 01 изменяются колебательно с амплитудой, стре- мящейся к нулю приблизительно обратно пропорционально расстоянию от нулевой точки. На луче 0=p колебательность исчезает, ,000  ,/)1(01 p pe −−=  т.е. приходим к уравнению (10). Таким образом, случай простых действительных собственных значений представляет собой частный случай (13). По аналогии с (9), выбирая подходящее )( 00u можно сформировать первую субмодель. При воздействии, состоящем из трех прямоугольных импульсов, +−+−=  = ))3(sin)3(cos)(,,,(()()( )2()1( 0010 1 00 )( pp r mppp r mppp P p r m tvtvuty ,)))3(sin)3(cos)(,,,( )3()1()2( 0011 ppt pp r mppp r mppp etvtv −− −−−+ ,3 0t (15) где , cos21 coscos22cos ),,,( 0 2 0 )(22 0010 00 00 −+ −+ = −− +−−− ee eee pp pp pp ; cos21 cossin22sin ),,,( 0 2 0 )(2 0011 00 0 −+ − = −− +−− ee ee pp pp pp эти функции соответствуют ,)cos21( 1 0 2 00 00 −−− −+= eeuur ,cos2 001 0 −= − euu rr .02 02 − = euu rr Когда p=0 и ,0 p= соответствующая р-я мода не дает сигнала в (13). Это обстоятельство можно использовать при формировании субмодели. На рис. 3 Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 27 схематически показано, как это можно сделать. Точки 1, 2, 3 и т.д. представляют на плоскости ),(  величины p и p ...),2,1( =p различных собственных зна- чений системы. При этом точками 1–3 представлены моды субмодели, а точка- ми 5–8 — моды, начальные состояния которых в свободном движении находятся на уровне возмущений. В промежуточной зоне находится точка 4, соответствую- щая моде с начальным состоянием достаточно малым, но не настолько, чтобы ее можно было отнести к возмущениям. Тогда, выбрав значения 0 и 0 в окрест- ностях этой точки, можно существенно понизить уровень сигнала этой моды в (15).  0  1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 3 Используя функцию с пятью прямоугольными импульсами и другие воздей- ствия с нечетным количеством интервалов кусочно-постоянной функции, можно выделять сигнал субмодели, когда в переходной зоне находятся две и более точек, представляющих соответствующие моды. Данная процедура с соответствующим уточнением формул, определяющих выбор параметров ,rsu распространяется и на случай кратных корней. В резуль- тате можно реализовывать селективное входное воздействие, которое преимуще- ственно будет возбуждать определенные моды системы. Эту же процедуру можно применять для исключения из выходного сигнала отклика мод уже идентифици- рованных субмоделей. Тогда отклик каждой новой субмодели будет формиро- ваться более сложным многоступенчатым сигналом, который обеспечивает нуле- вые начальные состояния для мод идентифицированных субмоделей и понижает до уровня возмущений начальные состояния мод буферной зоны. Определение структуры субмодели и ее собственных значений Для определения размерности субмодели и ее собственных значений вос- пользуемся подходом, широко применяемым в методах подпространства состоя- ний (4SID-methods) [14], которые базируются на классической теории реализа- ций [15]. Любое свободное движение системы ),0( u как это следует из (1), удо- влетворяет следующим уравнениям: . , , , )( 2'' xCAy xCAy CAxy Cxy jj = = = =  (16) Выбрав на интервале переходного процесса N точек },,,{ 21 Nttt  и введя матрицы 28 ISSN 0572-2691 , )()()( )()()( )()()( )( 2 )( 1 )( 21 21                  = N jjj N N j tytyty tytyty tytyty Y     ,)],(,),(),([ 21             == j jN CA CA C txtxtxX  имеющие размерности njMNjM ++ )1(,)1( и Nn соответственно, из (16) получаем матричное уравнение .XY jj = (17) Когда )),1((min NjM + больше предполагаемой размерности субмодели, любое разложение jY на произведение двух полноранговых матриц в соответ- ствии с теорией реализации первым сомножителем представляет матрицу наблю- даемости, а вторым — матрицу X для некоторого базиса пространства состояний. Как и в 4SID-методах, используем сингулярное разложение (SVD) матри- цы jY [16], т.е. ,TVUY j = (18) где U и V — ортогональные матрицы,  — диагональная матрица с невозраста- ющим порядком сингулярных чисел на диагонали. Поскольку размерность jY больше предлагаемой размерности субмодели, то из матрицы  следует выде- лить сингулярные числа, которые определяют порядок субмодели: . 0 0           = p s Здесь матрица s имеет сингулярные числа, соответствующие субмодели; p представляет моды, не вошедшие в субмодель, а также имеющиеся в системе воз- мущения. Аналогичное разбиение выполняется для матриц U и V: ].,[],,[ psps VVVUUU == Способ осуществления указанного разбиения будет обсуждаться при описа- нии алгоритмов метода итеративной идентификации. Представим матрицу jsY как полноранговое произведение двух матриц вида ].[][ T2/12/1 ssssjs VUY = Тогда в качестве оценки матрицы js можно взять выражение .ˆ 2/1 ssjs U = (19) Из матрицы наблюдаемости легко получить систему уравнений для определения матрицы субмодели sA ,ˆˆˆ :2)1(:1 jsssj A = − (20) Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 29 где js:2̂ получено из js̂ исключением первых m строк соответствующих мат- риц C, sj )1(:1 ˆ − также формируется из js̂ путем исключения последних m строк. При snjm + )1( sn( — размерность субмодели) получаем переопределенную систему. Применяя для ее решения МНК или его модификации [16], находим приближенную усредненную оценку . Поскольку  соответствует одной из ре- ализаций в некотором базисе пространства состояний, то для перехода к жорда- новой форме достаточно оценить все собственные значения , используя для этого алгоритмы, описанные, например, в [16]. Для того чтобы избежать сложностей, возникающих при использовании про- изводных от y в обобщенной ганкелевой матрице ,jY следует применить к обеим частям уравнения (17) преобразование Пуассона, которое позволяет вместо зна- чений функции получить ее моменты по правилу ,0,)()()( 0 )( 0 −=  tdtPyy i t t i t (21) где − + +  = e i P i i i ! )( 1 1 ( и  — специально подбираемые константы). Тогда, применяя интегрирование по частям, приходим к соотношению , )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( 01 01 0 0 0 1 )(                 − − − −−                    =                    − − ttΡ ttΡ ttΡ jΗY y y y jΗ y y y j j t j t j t jj t j t j t  (22) где )( jΗ — квадратная матрица размерности j, )1( −jΗ — та же матрица, но размерности j–1. Компоненты k матриц )( jΗ и )1( −jΗ следующие:     −  = −−− − − ,если,)1( ,если,0 11 1    kC k k k kk jk ,1,  или ,1,1, − jk  1 1 − −  kC — количество сочетаний из k–1 элементов по .1− В соотношении (22)                     = −− )()()( 0)()( 00)( 000 00 )2( 0 )1( 00 0 0 tytyty tyty ty Y jj      . Преобразованное уравнение (17) запишем в виде ),()( XY jjj = (23) 30 ISSN 0572-2691 где , )( )( )( )(, )()()( )()()( )()()( )( )( )( 2 )( 1 )( )()()( 21 21 21                      =                      = k Mi j k i j k i j k i j jj t jj t jj t j t j t j t j t j t j t j yt yt yt yt yyy yyy yyy Y N N N      . )( )( )( )()],(,),(),([)( 2 1 21                      == n j t j t j t i jj t j t j tj x x x xtxxxX i i i N   Таким образом, чтобы найти оценку j̂ с использованием преобразования Пуассона, следует проделать следующие операции. Сначала подобрать такие па- раметры  и  преобразования Пуассона, чтобы вторым выражением в правой ча- сти (22) можно было пренебречь. Для этого достаточно обеспечить приемлемую малость ).( 01 ttΡi − После этого из (22), пренебрегая указанным выражением, вы- числить все столбцы, формирующие матрицу .)( jY Выполнив в соответствии с (18) ее сингулярное разложение с выделением субмодели, из (19) находим матри- цу наблюдаемости. Заключение В данной работе описаны и обоснованы основные процедуры метода итера- тивной идентификации многомерных стационарных линейных систем, который базируется на идее восстановления полной или желаемой сложности модели через последовательность субмоделей, составляющих отдельные части искомой моде- ли. Целесообразность именно такого подхода продиктована прежде всего зависи- мостью в условиях помех точности оценивания от размерности пространства со- стояний, определяющего текущие значения переменных объекта. После того как размерность этих переменных превысит некоторое оптимальное значение ,n по- грешность оценивания неограниченно растет с увеличением n. Поэтому размер- ность субмоделей следует подбирать так, чтобы она была меньше или равна .n Не менее важно, что предлагаемые подходы и процедуры позволяют строить ал- горитмы идентификации, легко адаптируемые к особенностям конкретных объек- тов, и находить приближенные регуляризированные решения, согласованные с погрешностью исходных данных. В.Ф. Губарев МЕТОД ІТЕРАТИВНОЇ ІДЕНТИФІКАЦІЇ БАГАТОВИМІРНИХ СИСТЕМ ЗА НЕТОЧНИМИ ДАНИМИ. Частина 1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ Викладено теоретичні основи нового методу ідентифікації багатовимірних ди- намічних систем за наближеними даними, які отримано з експериментів. За- пропоновано та обгрунтовано ітеративну схему відновлення математичної мо- делі об’єкта за окремими частинами, що називаються субмоделями. Для цього Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 31 використано постановку задачі в нестандартній формі. На її основі отримано умови ідентифікованості та запропоновано способи формування на вході ін- формативних сигналів, які дозволяють на виході виділяти сигнали субмоделі. Описано процедуру визначення структури субмоделі та відповідних їй власних значень. V.F. Gubarev METHOD OF ITERATIVE IDENTIFICATION OF MULTIVARIABLE SYSTEMS OVER INEXACT DATA. Part I. THEORETICAL ASPECTS Theoretical foundation of new identification method of multivariable dynamical sys- tems over approximate data obtained from experiments are stated. It is proposed and justified the iterative scheme of reconstruction of mathematical model of the object by separate parts named submodels. For this the non-traditional problem statement was used. On the basis of it the identifiability conditions were derived and way to form the informative input signals which allow to select submodel on output are pro- posed. Procedure allowing to establish the submodel structure and to evaluate the submodel eigenvalues is described. 1. Ninness B.M., Goodwin G.C. Estimation of model quality // Automatica. — 1995. — 31. — P. 1771–1797. 2. Giarre L., Milanese M. H -identification and model quality evaluation // IEEE Trans. Automat. Control. — 1997. — 42, N 2. — P. 188–199. 3. Van den Hof P.M.J. Closed-loop issues in system identification // Proc. of the Symposium on System Identification, SYSID’97, Kitakyushu, Japan. — 1997. — P. 1651–1664. 4. Albertos P., Sala Piqueras A. Iterative identification and control. Advances in theory and applications. — Berlin : Springer-Verlag, 2002. — 309 p. 5. Губарев В.Ф. Проблемно-ориентированные идентификация и управление в системах с рас- пределенными параметрами // Проблемы управления и информатики. — 2000. — № 3. — С. 26–37. 6. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. — М. : Наука, 1991. — 432 с. 7. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с. 8. Canale S., Malan S.A., Milanese M. Model quality evaluation in identification for H -control // IEEE Trans. Automat. Сontrol. — 1998. — AC-43, N 1. — Р. 125–132. 9. Губарев В.Ф., Тигунов П.А. Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью // Проблемы управления и инфор- матики. — 2006. — № 1–2. — С. 231–246. 10. Akaike H. A new look at the statistical model identification // IEEE Trans. Automat. Control. — 1974. — AC-19, N 6. — P. 716–723. 11. Степашко В.С., Кочерга Ю.А. Методы и критерии решения задач структурной идентифи- кации // Автоматика. — 1985. — № 5. — С. 29–37. 12. Верулава Ю.Ш., Поляк Б.Т. Выбор порядка регрессионной модели // Автоматика и телеме- ханика. — 1988. — № 11. — С. 113–129. 13. Кунцевич В.М. О точности построения аппроксимирующих моделей при ограниченных по- мехах измерений // Там же. — 2005. — № 5. — С. 125–133. 14. Van Overschee P., De Moor B. Subspace identification for linear systems. — Dordrecht (Netherlands) : Kluwer Academic Publishers, 1996. — 157 p. 15. Kailath T. Linear systems. — N. J. : Prentice-Hall, 1980. — 270 p. 16. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М. : Мир, 1999. — 548 с. Получено 29.06.2006

Схожі ресурси