Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации
Запропоновано спосіб розв’язку складних багатокритеріальних задач оцінки та оптимізації, заснований на методі вкладених скалярних згорток векторних критеріїв. Метод дає змогу достатньо просто розв’язувати задачі структурного та параметричного синтезу багатокритеріальних ієрархічних систем....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206893 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации / А.Н. Воронин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 64-68. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206893 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2068932025-09-27T00:00:56Z Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации Метод вкладених скалярних згорток в теорії багатокритеріальної оцінки та оптимізації A method of nested scalar convolutions in multicriteria estimation and optimization theory Воронин, А.Н. Методы оптимизации и оптимального управления Запропоновано спосіб розв’язку складних багатокритеріальних задач оцінки та оптимізації, заснований на методі вкладених скалярних згорток векторних критеріїв. Метод дає змогу достатньо просто розв’язувати задачі структурного та параметричного синтезу багатокритеріальних ієрархічних систем. A method of solution of complex multicriteria problems of estimation and optimization is proposed, underlined by approach of nested scalar convolutions of vectorvalued criteria. The method enables us to obtain a comparatively simple solution of structure and parameter synthesis of multicriteria hierarchy structures. 2006 Article Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации / А.Н. Воронин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 64-68. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206893 519.9 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы оптимизации и оптимального управления Методы оптимизации и оптимального управления |
| spellingShingle |
Методы оптимизации и оптимального управления Методы оптимизации и оптимального управления Воронин, А.Н. Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано спосіб розв’язку складних багатокритеріальних задач оцінки та оптимізації, заснований на методі вкладених скалярних згорток векторних критеріїв. Метод дає змогу достатньо просто розв’язувати задачі структурного та параметричного синтезу багатокритеріальних ієрархічних систем. |
| format |
Article |
| author |
Воронин, А.Н. |
| author_facet |
Воронин, А.Н. |
| author_sort |
Воронин, А.Н. |
| title |
Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации |
| title_short |
Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации |
| title_full |
Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации |
| title_fullStr |
Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации |
| title_full_unstemmed |
Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации |
| title_sort |
метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Методы оптимизации и оптимального управления |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206893 |
| citation_txt |
Метод вложенных скалярных свёрток в теории многокритериальной оценки и оптимизации / А.Н. Воронин // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 64-68. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT voroninan metodvložennyhskalârnyhsvërtokvteoriimnogokriterialʹnojocenkiioptimizacii AT voroninan metodvkladenihskalârnihzgortokvteorííbagatokriteríalʹnoíocínkitaoptimízacíí AT voroninan amethodofnestedscalarconvolutionsinmulticriteriaestimationandoptimizationtheory |
| first_indexed |
2025-11-24T07:11:48Z |
| last_indexed |
2025-11-24T07:11:48Z |
| _version_ |
1849654833132339200 |
| fulltext |
© А.Н. ВОРОНИН, 2006
64 ISSN 0572-2691
УДК 519.9
А.Н. Воронин
МЕТОД ВЛОЖЕННЫХ СКАЛЯРНЫХ
СВЕРТОК В ТЕОРИИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ
ОЦЕНКИ И ОПТИМИЗАЦИИ
Актуальность проблемы. В теории принятия решений оценка альтернатив в
целом обычно осуществляется путем перехода к оценкам их отдельных свойств
(многокритериальная декомпозиция) с последующей интеграцией этих оценок
(композиция). Конструктивный подход к решению задачи композиции в про-
стейшем случае предусматривает расчет скалярной свертки частных критериев,
по численной величине которой судят об эффективности полученного решения.
Выражение для скалярной свертки зависит от схемы компромиссов, принятой в
данной задаче, и определяется предпочтениями лица, принимающего решение
(ЛПР). В более сложных случаях глубина многокритериальной декомпозиции
приводит к иерархической структуре критериев. При этом получается задача ком-
позиции критериев по нескольким уровням иерархии. Для решения подобных
задач разработан метод вложенных скалярных сверток [1]. Сложные многокрите-
риальные задачи возникают во многих практических приложениях, и этим обу-
словлена актуальность проблемы решения задачи многоуровневой композиции
критериев методом вложенных скалярных сверток.
Анализ состояния проблемы. Задаче композиции критериев предшествует
декомпозиция задачи принятия решения и оценка свойств альтернатив [2]. Пред-
полагается, что в отношении отдельного свойства существенно проще сказать, ка-
кая из альтернатив предпочтительней для ЛПР. Выделение свойств альтернатив
представляет собой декомпозицию. Свойства первого иерархического уровня мо-
гут делиться на следующие наборы свойств, и т.д. Глубина деления определяется
стремлением дойти до тех свойств, которые удобно сравнивать друг с другом.
Свойства, для которых существуют объективные численные характеристики,
принято называть критериями. Получение набора критериев — конечный итог де-
композиции.
Сравнение по отдельным свойствам порождает серьезные проблемы обрат-
ного перехода к требуемому сравнению альтернатив в целом. Эти проблемы
предполагают решение задачи композиции критериев по уровням иерархии, что
достаточно непросто, особенно при значительной глубине декомпозиции свойств.
В простейшем случае задача композиции решается традиционным получением
однократной скалярной свертки критериев. Но уже при наличии двухуровневой
иерархии требуются другие подходы.
В монографии [3] рассмотрен общий случай разработки технологии под-
держки принятия решений, когда требуется выбрать альтернативу из множества
неоднородных альтернатив, для которых нельзя сформулировать единое множе-
ство количественных критериев оценки. В этом случае задача решается методами,
основанными на иерархическом целевом оценивании альтернатив, без привлече-
ния критериального анализа. Проблема композиции при наличии качественных
свойств может быть решена методами бинарных отношений, например методом
анализа иерархий [4]. Но задача существенно облегчается, когда для оценки аль-
тернатив можно привлечь количественные (или сводимые к ним) критерии, до-
пускающие операции в нормализованном критериальном пространстве. Для таких
задач применима теория многокритериальной оценки и оптимизации. В настоя-
щей статье рассматривается именно такой класс задач исследования иерархиче-
ских структур.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 65
Постановка задачи. Состояние иерархической системы определяется пара-
метрами: }...,,2,1{ nI = — множество элементарных подсистем; ,}{ Iiiy =y
}...,,{ 1 nyy= — оценки по скалярным критериям элементарных подсистем и век-
торный критерий нижнего уровня иерархии. Эффективность каждого высшего
уровня зависит от значений оценок по критериям низшего уровня иерархии.
Дополнительные условия, определяющие собственно иерархическую струк-
туру: }...,,2,1{ mJ = — множество иерархических уровней; JjjI }{ — распреде-
ление подсистем по уровням, };...,,2,1{ jj nI = Jjj }{ — векторы приоритета.
Требуется найти аналитическую оценку * и качественную оценку эффек-
тивности иерархической структуры, а из имеющихся альтернатив выбрать лучшую.
Метод вложенных скалярных сверток. Состояние иерархической системы
в кортежной записи выражается формулой
,}{,}{ ,,}{,: JjjJjjIii IJyI (1)
а поиск решения происходит на основе данного кортежа:
.*→ (2)
Для аналитической оценки эффективности иерархических структур предлага-
ется применить метод вложенных скалярных сверток [1]. Здесь композиция в ис-
ходной задаче (1), (2) осуществляется по «принципу матрешки». Задачи оценива-
ния на каждом иерархическом уровне и межуровневой оценки совмещаются так,
что скалярные свертки взвешенных компонент векторных критериев низшего уров-
ня служат компонентами векторных критериев высшего уровня. Скалярная сверт-
ка критериев, полученная на самом верхнем уровне, автоматически становится
выражением для оценки эффективности всей иерархической системы в целом.
Формализм решения задачи методом вложенных скалярных сверток пред-
ставляется последовательностью операций взвешенной скалярной свертки век-
торных критериев каждого уровня иерархии с учетом векторов приоритета на ос-
нове выбранной схемы компромиссов
( ) ( ) ,}),{( )(11
Jj
jjj
→ −− ,)1( y
а поиск оценки эффективности всей иерархической системы в целом выражается
задачей определения скалярной свертки верхнего уровня иерархии
.* )(m=
В задаче структурного синтеза количество вариантов (альтернатив) .1an
Каждый вариант характеризуется своей иерархической структурой. При 1=an по-
ставленная задача трансформируется в задачу оценки данной иерархической
структуры. Если ,1an то каждая структура оценивается как данная и выбирает-
ся тот вариант, иерархическая структура которого получила наилучшую оценку.
Поэтому при многокритериальной оптимизации в качестве базовой рассматрива-
ется задача оценки данной иерархической структуры.
Схема компромиссов. В качестве схемы компромиссов предлагается ис-
пользовать нелинейную схему, описанную в [5]. Предпосылки для ее применения
следующие: все частные критерии подлежат минимизации и ограничены,
],,1[,}{, 1 niAAAy n
iiii = =
где А — вектор ограничений.
66 ISSN 0572-2691
Простой содержательной моделью функции полезности ЛПР на нижнем
уровне иерархии при минимизируемых критериях в соответствии с концепцией
нелинейной схемы компромиссов служит скалярная свертка
=
−−=
n
i
iii yAy
1
1][),(
или
=
−−=
n
i
ii yy
1
1
00 ,]1[),(
если критерии нормированы по формуле ./0 Ayy = Область определения коэф-
фициентов приоритета — симплекс
.1,0
1
==
=
n
i
ii (3)
Здесь const= — формальные параметры, имеющие двоякий физический смысл.
С одной стороны, это коэффициенты приоритета, выражающие предпочтения
ЛПР по отдельным критериям, с другой — коэффициенты содержательной ре-
грессионной модели, построенной на основе концепции нелинейной схемы ком-
промиссов. Определение коэффициентов на каждом уровне иерархии может
быть выполнено с использованием дуального подхода, описанного в [5], или по
формуле
,,
)(
1
)1(
/ j
n
i
ikik
j
ik
Ikff
j
k
=
=
−
где
)1( −
j
ik
— i-я компонента вектора приоритета на ( j–1)-м уровне иерархии при
расчете оценки эффективности k-й подсистемы j-го уровня; ikf — параметр зна-
чимости i-й подсистемы ( j–1)-го уровня для k-й подсистемы j-го уровня (опреде-
ляется экспертами по 10-балльной шкале);
)( j
k
n — количество подсистем ( j–1)-го
уровня, поддерживающих k-ю подсистему j-го уровня.
Расчет вложенных скалярных сверток. Все скалярные свертки снизу до-
верху целесообразно вычислять на основе концепции нелинейной схемы компро-
миссов. При этом оценка эффективности k-й подсистемы на j-м уровне иерархии в
виде нормированной вложенной скалярной свертки с учетом коэффициентов при-
оритета вычисляется по формуле
,]1[
)(
1
1)1(
0
)1()()(
0
=
−−−
−=
j
kn
i
j
ik
j
ik
j
k
j
k
N ,jIk ,0
)1(
0
y (4)
где
)1(
0
−
j
ik
— оценка i-й компоненты нормированного векторного критерия на
( j – 1)-м уровне иерархии при расчете оценки k-й подсистемы j-го уровня;
)( j
k
N — нормирующий множитель.
При определении нормирующего множителя используем формализм фунда-
ментальной шкалы. Понятие фундаментальной шкалы описано в [4] и представ-
лено таблицей, где показана связь между качественными градациями объектов и
соответствующими количественными оценками. Практика свидетельствует, что
при оценке качества объектов по 10-балльной шкале эксперты руководствуются
именно градациями фундаментальной шкалы. Можно сказать, что в терминах
теории нечетких множеств фундаментальная шкала выступает как универсальная
функция принадлежности для перехода от числа к соответствующей качественной
градации и обратно.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 5 67
Оценки f получаются по прямой фундаментальной шкале для максимизиру-
емых критериев. Применяемая в статье методика многокритериальной оценки
разработана для нормированных минимизируемых критериев ,0y оценки которых
получаются из f по формуле [6] ,]1;0[,1,01 00 −= yfy что отражается обра-
щенной нормированной фундаментальной шкалой в таблице. По этой же шкале
измеряются и нормированные скалярные свертки критериев .0
Таблица
Категория качества
Фундаментальная шкала
f
Обращенная нормированная
фундаментальная шкала
00 , y
Неприемлемое 0–3 1,0–0,7
Низкое 3–5 0,7–0,5
Удовлетворительное 5–6 0,5–0,4
Хорошее 6–8 0,4–0,2
Высокое 8–10 0,2–0,0
Логично утверждать, что если оценки по всем парциальным относительным
критериям ],1[,
)()1(
0
j
k
j
ik
ni
−
одинаковы и равны ,0
)1(
0 k
j
ik
−
то их нормиро-
ванная скалярная свертка в формуле (4) должна выражать такую же аналитиче-
скую и качественную оценку по обращенной нормированной фундаментальной
шкале:
.
)1(
)(
1
)1(
0
)(
0
=
−
−
=
j
kn
i
j
ik
k
j
k
k
N
С учетом того, что по условиям нормировки (3) ,1
)(
1
)1(
=
=
−
j
kn
i
j
ik выражение для
нормирующего множителя приобретает вид
).1( 00
)(
kk
j
k
N −= (5)
По формуле (5) проведем калибровочные вычисления значений нормирую-
щего множителя )(
)1(
0
)( −
j
ik
j
k
N для оценок ,
)1(
0
−
j
ik
.],1[
)( j
k
ni Составим меру
суммарной квадратичной погрешности, возникающей из-за того, что вместо точ-
ных значений нормирующего множителя в калибровочных точках )(
)1(
0
)( −
j
ik
j
k
N
используется искомый множитель :
)( j
k
N
=
−
−=
)(
1
2)1(
0
)()(
.))((
j
kn
i
j
ik
j
k
j
k
NNM
Используя необходимое условие экстремума функции ,0/
)(
=
j
k
NM полу-
чаем, с учетом (5), значение нормирующего множителя
.)1(
1
)(
1
)()(
1
)1(
0
)1(
0)(
1
)1(
0
)(
)(
)(
=
−−
=
−
−==
j
k
j
k n
i
j
ik
j
ikj
k
n
i
j
ik
j
kj
k
j
k
n
N
n
N
Рекуррентная формула (4) позволяет рассчитать количественные и получить
качественные оценки нормированных по обращенной фундаментальной шкале
скалярных сверток критериев по всем уровням иерархии вплоть до верхнего
.0
*
0
m= Решение оценочной многокритериальной задачи методом вложенных
скалярных сверток описано, например, в [7]. Задача выбора лучшей из имеющих-
68 ISSN 0572-2691
ся альтернатив относится к классу задач структурного синтеза. Задачи парамет-
рического синтеза, решаемые методом вложенных скалярных сверток, описаны
в работе [6].
Выводы. Предложен способ решения сложных многокритериальных задач
оценки и оптимизации, основанный на методе вложенных скалярных сверток век-
торных критериев, который позволяет достаточно просто решать задачи струк-
турного и параметрического синтеза иерархических систем. При этом иерархич-
ность может быть как естественной (многоуровневые системы с подчиненностью
сверху вниз), так и возникающей вследствие декомпозиции свойств объекта до
уровня критериев (иерархия критериев).
Оценка вариантов по единой нормированной фундаментальной шкале, а так-
же использование предложенных условий нормировки при композиции критериев
по уровням иерархии дает возможность решать многокритериальные задачи не
только в традиционных постановках, но и в том случае, когда требуется выбрать
альтернативу из множества неоднородных альтернатив, для которых нельзя
сформулировать единое множество количественных критериев оценки, а также
для оценки единственной (уникальной) альтернативы.
А.М. Воронін
МЕТОД ВКЛАДЕНИХ СКАЛЯРНИХ
ЗГОРТОК В ТЕОРІЇ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОЇ
ОЦІНКИ ТА ОПТИМІЗАЦІЇ
Запропоновано спосіб розв’язку складних багатокритеріальних задач оцінки та
оптимізації, заснований на методі вкладених скалярних згорток векторних кри-
теріїв. Метод дає змогу достатньо просто розв’язувати задачі структурного та
параметричного синтезу багатокритеріальних ієрархічних систем.
A.N. Voronin
A METHOD OF NESTED SCALAR
CONVOLUTIONS IN MULTICRITERIA
ESTIMATION AND OPTIMIZATION THEORY
A method of solution of complex multicriteria problems of estimation and optimiza-
tion is proposed, underlined by approach of nested scalar convolutions of vector-
valued criteria. The method enables us to obtain a comparatively simple solution of
structure and parameter synthesis of multicriteria hierarchy structures.
1. Воронин А.Н. Вложенные скалярные свертки векторного критерия // Проблемы управления
и информатики. — 2003. — № 5. — С. 10–21.
2. Губанов В.А., Захаров В.В., Коваленко А.Н. Введение в системный анализ. — Л. : Изд-во
ЛГУ, 1988. — 232 с.
3. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. — Киев : Наук. думка,
2002. — 382 с.
4. Saaty T.L. Multicriteria decision making : The analytical hierarchy process. — N.Y. : McGraw-
Hill, 1990. — 380 p.
5. Воронин А.Н., Зиатдинов Ю.К., Козлов А.И. Векторная оптимизация динамических
систем. — Киев : Техніка, 1999. — 284 с.
6. Воронин А.Н. Векторная оптимизация иерархических структур // Проблемы управления и
информатики. — 2004. — № 6. — С. 26–34.
7. Воронин А.Н. Системный анализ и многокритериальная оценка космических проектов экс-
пертными методами // Там же. — 2004. — № 1. — С. 121–135.
Получено 06.06.2006
После доработки 04.07.2006
|