Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1
Запропоновано методологію обробки нечіткої експертної інформації, яка включає оцінювання узгодженості цієї інформації та знаходження нечітких ваг об’єктів. Методологія базується на інтервальній апроксимації нечіткої матриці експертних оцінок. Розглянуто метод знаходження інтервальних ваг з узгодже...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206972 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 / Н.Д. Панкратова, Н.И. Недашковская // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 40-55. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206972 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2069722025-10-11T09:53:14Z Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 Методологія обробки нечіткої експертної інформації в задачах передбачення. Частина 1 Fuzzy expert information processing in technology foresight. Part I Панкратова, Н.Д. Недашковская, Н.И. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Запропоновано методологію обробки нечіткої експертної інформації, яка включає оцінювання узгодженості цієї інформації та знаходження нечітких ваг об’єктів. Методологія базується на інтервальній апроксимації нечіткої матриці експертних оцінок. Розглянуто метод знаходження інтервальних ваг з узгоджених і неузгоджених інтервальних матриць парних порівнянь, який зводиться в загальному випадку до розв’язання задач нелінійного програмування та моделює слабке (перевага за елементами) і сильне (перевага за рядками) збереження рангів. Methodology for fuzzy expert information processing including consistency evaluation and fuzzy weights calculating is proposed. It is based on interval approximation of fuzzy pairwise comparison matrix. Method for finding interval weights from consistency and inconsistency interval pairwise comparison matrices is proposed. It generally results in nonlinear programming problem and allows modeling weak and strong rank preservation. 2007 Article Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 / Н.Д. Панкратова, Н.И. Недашковская // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 40-55. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206972 517.9, 519.816 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Панкратова, Н.Д. Недашковская, Н.И. Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано методологію обробки нечіткої експертної інформації, яка включає оцінювання узгодженості цієї інформації та знаходження нечітких ваг об’єктів. Методологія базується на інтервальній апроксимації нечіткої матриці експертних оцінок. Розглянуто метод знаходження інтервальних ваг з узгоджених і неузгоджених інтервальних матриць парних порівнянь, який зводиться в загальному випадку до розв’язання задач нелінійного програмування та моделює слабке (перевага за елементами) і сильне (перевага за рядками) збереження рангів. |
| format |
Article |
| author |
Панкратова, Н.Д. Недашковская, Н.И. |
| author_facet |
Панкратова, Н.Д. Недашковская, Н.И. |
| author_sort |
Панкратова, Н.Д. |
| title |
Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 |
| title_short |
Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 |
| title_full |
Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 |
| title_fullStr |
Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 |
| title_full_unstemmed |
Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 |
| title_sort |
методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. часть 1 |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206972 |
| citation_txt |
Методология обработки нечёткой экспертной информации в задачах предвидения. Часть 1 / Н.Д. Панкратова, Н.И. Недашковская // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 40-55. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT pankratovand metodologiâobrabotkinečetkoiékspertnoiinformaciivzadačahpredvideniâčastʹ1 AT nedaškovskaâni metodologiâobrabotkinečetkoiékspertnoiinformaciivzadačahpredvideniâčastʹ1 AT pankratovand metodologíâobrobkinečítkoíekspertnoíínformacíívzadačahperedbačennâčastina1 AT nedaškovskaâni metodologíâobrobkinečítkoíekspertnoíínformacíívzadačahperedbačennâčastina1 AT pankratovand fuzzyexpertinformationprocessingintechnologyforesightparti AT nedaškovskaâni fuzzyexpertinformationprocessingintechnologyforesightparti |
| first_indexed |
2025-12-01T08:26:03Z |
| last_indexed |
2025-12-01T08:26:03Z |
| _version_ |
1850293699778445312 |
| fulltext |
© Н.Д. ПАНКРАТОВА, Н.И. НЕДАШКОВСКАЯ, 2007
40 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.9, 519.816
Н.Д. Панкратова, Н.И. Недашковская
МЕТОДОЛОГИЯ ОБРАБОТКИ
НЕЧЕТКОЙ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ
В ЗАДАЧАХ ПРЕДВИДЕНИЯ. Часть 1
Введение
В современных условиях высокого динамизма мировой глобализации имеет
важное значение достоверность и точность экспертного оценивания информации
в задачах технологического предвидения.
Одним из методов, применяемых в методологии сценарного анализа для ре-
шения задач технологического предвидения, является метод анализа иерархий
(МАИ), разработанный Т. Саати. Этот метод позволяет определить относитель-
ные веса (приоритеты) альтернативных вариантов решений задачи предвидения,
базируясь на экспертных оценках парных сравнений элементов задачи относи-
тельно множества критериев. Один из наиболее существенных недостатков тра-
диционного МАИ — возможность обработки лишь точечных экспертных оценок,
что в большинстве случаев неприемлемо при решении задач технологического
предвидения, которые характеризуются наличием концептуальной неопределен-
ности и многофакторных рисков.
Неточность в оценках экспертов и связанные с ней риски можно выразить
двумя способами: 1) с помощью точечных оценок и функции распределения веро-
ятностей; 2) с помощью интервальных оценок без распределения вероятностей.
Вероятностное представление точечных оценок и функций распределения обес-
печивает создание нескольких модификаций МАИ, названных стохастическими
МАИ, тогда как второй способ представления неточности экспертных оценок
приводит к необходимости применения интервальных и нечетких методов нахож-
дения весов.
Традиционно считается, что главное преимущество стохастических МАИ —
возможность оценки вероятностей появления реверса рангов, вероятностей
определенного ранжирования и вероятности того, что альтернатива будет иметь
первый ранг.
В стохастических подходах от эксперта требуется предоставить информа-
цию, которая может быть полезной при построении распределений вероятностей
на каждом интервале оценивания. С помощью вероятностных распределений
находится стохастическая оценка главного собственного вектора, которая, в свою
очередь, используется для оценивания вероятностей реверса рангов и статистиче-
ских отличий в глобальных весах альтернатив.
В литературе известно несколько стохастических МАИ:
• с методом имитационного моделирования Монте-Карло, при этом ис-
пользуется лог-нормальное распределение экспертных оценок и метод соб-
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 41
ственного вектора [1] или взвешенная логит-модель [2–4] и пробит-модель [3], в
которых предполагается мультиномиальное распределение весов объектов;
• с регрессионным методом поиска весов [5–7] и лог-нормальным распреде-
лением оценок экспертов.
Однако оценивание степеней выполнения того, что «альтернатива А лучше
альтернативы В», возможно и для интервальных и нечетких весов альтернатив,
поскольку существует большое количество методов сравнения и ранжирования
нечетких и интервальных чисел. Так, методы нахождения степени преобладания
одной нечеткой оценки над другой изложены в [8–12]. В работе [13] нечеткие
числа сравниваются с использованием введенного расстояния между ними, а в
работе [14] для ранжирования нечетких чисел вводится отношение преоблада-
ния. Обзор методов ранжирования нечетких чисел выполнен в [15, 16]. Способы
сравнения интервальных чисел рассматриваются в [17–20].
Методы получения весов из интервальных матриц парных сравнений (ИМПС)
можно классифицировать по следующим критериям:
• методы, которые позволяют получать веса как из согласованных, так и не-
согласованных ИМПС [21–26], а также методы, которые работают лишь с согла-
сованными ИМПС [27] или не гарантируют получение решения в случае несогла-
сованных ИМПС [17];
• методы, результатом работы которых есть точечные веса [21, 23, 26, 28], и ме-
тоды, результатом работы которых служат интервальные веса [17, 22, 24, 25, 27].
Поскольку предоставленные экспертами интервальные оценки субъективны,
они могут содержать элементы несогласованности. По этому вопросу в литерату-
ре особых дискуссий не наблюдается — большинство известных методов позво-
ляет получать веса из несогласованных ИМПС [21–26]. Но при этом возникает
другая проблема — невозможность проранжировать альтернативы в случае суще-
ственной несогласованности экспертных оценок [29].
По поводу результирующих весов существуют разные взгляды: они должны
быть четкими или интервальными. Приверженцы методов получения четких ве-
сов из ИМПС [19, 21, 23, 26, 28–30] аргументируют свою позицию тем, что для
ранжирования интервальных весов необходимо разрабатывать дополнительные
методы сравнения интервальных чисел. В общем случае интервальные локальные
или глобальные веса перекрываются на отдельных диапазонах и во многих случа-
ях можно определить лишь частичное ранжирование [30].
Ясно, что получение четких весов вместо интервальных облегчает оконча-
тельное упорядочение альтернатив и не требует дополнительных методов ран-
жирования. Однако такой подход неестественен и нелогичен. Это видимое
упрощение ведет к потере важной информации, которая может использоваться
при оценивании степени риска принятия предоставленных экспертами оценок.
Результирующие интервальные веса позволяют оценить неопределенность, при-
сутствующую в интервальных сравнениях. Поэтому более целесообразным ме-
тодом получения весов из ИМПС является метод, результатом работы которого
выступают интервальные, а не точечные веса.
Рассмотрим основные характеристики методов, позволяющих получать ин-
тервальные веса из согласованных и несогласованных ИМПС.
Один из таких методов — метод Монте-Карло, предложенный Т. Саати и
Л. Варгасом [22]. Из интервалов оценок матриц парных сравнений (МПС) слу-
чайным образом выбираются скалярные значения, строится четкая МПС, рассчи-
тывается главный собственный вектор четкой МПС. После проведения достаточ-
42 ISSN 0572-2691
но большого количества имитаций строятся доверительные интервалы для каждо-
го элемента собственного вектора. Однако ограниченность числа имитаций может
привести к более узким интервалам весов по сравнению с реальными.
Другой метод, который позволяет получать интервальные веса из ИМПС,
предложен в [24]. Он базируется на методе главного собственного вектора полу-
чения весов из четких МПС с ограничением на допустимую согласованность и
сводится к решению задачи нелинейного программирования. Также предлагается
задача нелинейного программирования, в которой находятся веса при условии
минимального значения отношения согласованности.
Задача линейного программирования, в которой минимизируются отклоне-
ния заданной экспертом ИМПС от неизвестной согласованной ИМПС, рассмот-
рена в [25]. Однако предложенный здесь метод нахождения интервальных весов
не предусматривает показателя согласованности исходной ИМПС.
Цель данной статьи — создать методологию получения нечетких весов
объектов из нечеткой матрицы парных сравнений (элементы которой — нечет-
кие результаты парного сравнения объектов). Эта методология базируется на
интервальной аппроксимации нечеткой матрицы парных сравнений. Предлага-
ется метод нахождения интервальных весов из согласованных и несогласован-
ных ИМПС, который сводится в общем случае к решению задач нелинейного
программирования. Метод нахождения весов моделирует слабое сохранение ран-
гов (преобладание по элементам) и сильное (преобладание по строкам).
Постановка задачи
Задана МПС },,1,,1){(
fuzzyfuzzy njniaA ij === для которой ))(,(
fuzzy
xxa ijij = —
нормальное нечеткое множество (нечеткое число), которое отображает результат
парного сравнения объектов iO и ,jO ,x где — множество действитель-
ных чисел. Значение функции принадлежности )(xij нечеткого множества
fuzzy
ija — степень выполнения предпочтения ,ji OO причем результат сравне-
ния объекта iO с самим собой равен единице, т.е. .1=iia Матрицу fuzzyA будем
называть нечеткой матрицей парных сравнений (НМПС).
Задача 1. Требуется определить:
• меру согласованности экспертной информации;
• вектор нечетких весов },,1){(
fuzzyfuzzy niww i == который отображает
предпочтения, записанные в НМПС ;fuzzyA координата
fuzzy
iw этого вектора —
нормальное нечеткое множество;
• порядок ранжирования нечетких множеств ;
fuzzy
iw
• степень доверия к полученному ранжированию.
Решение задачи
Опишем общий подход к решению задачи 1. Используем декомпозиционное
представление нечеткого числа, которое позволяет перейти к работе с множе-
ством интервалов. Интервальная аппроксимация нечеткого числа удобна во мно-
гих случаях и широко используется в исследованиях [8, 31–34], поскольку работа
с интервалами может оказаться более простой по сравнению с непосредственным
оперированием нечеткими числами.
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 43
Разложим НМПС fuzzyA по множествам уровня ),(A т.е. представим
fuzzyA в виде
),(
]1,0[
fuzzy =
AA (1)
где },1,,1))({()( njniaA ij === — матрица множеств уровня , ],1,0[
},)(:{)( = xxa ijij )(xij — функция принадлежности нечеткому множе-
ству ,
fuzzy
ija .x
Представление (1) понимается следующим образом:
),(
]1,0[
fuzzy
=
ijij aa ,,1,,1 njni ==
где объединение проводится по правилу ),(sup)( )(
]1,0[
xx
ijaij
= а функция
принадлежности нечеткого множества )( ija вычисляется как = )()( x
ija
),()( x
ija = .x
Поскольку элементы
fuzzy
ija НМПС служат оценками некоторых параметров
(в данном случае оценками парных сравнений), то для их представления удобно
использовать треугольные нечеткие числа ),,,(
fuzzy u
ij
m
ij
l
ijij aaaa = u
ij
m
ij
l
ij aaa
(рисунок). Тогда элементы матрицы )(A множества уровня ]1,0[ равняются
)],(),([)( m
ij
u
ij
u
ij
l
ij
m
ij
l
ijij aaaaaaa −−−+= ,,1 ni = .,1 nj =
0
1
(x)
x l
ija m
ija u
ija
ijx1
ijx2
Элементы )(ija также можно представить в виде ,1[
interv
−= ij
m
ijij xaa
],2+ ij
m
ij xa где m
ija — наиболее вероятное значение интервала, −= )1(1ijx
),( l
ij
m
ij aa − ),()1(2 m
ij
u
ijij aax −−= ,01
ijx 02
ijx — величины отклонений
от наиболее вероятного значения .m
ija
Таким образом, от исходной НМПС fuzzyA переходим к рассмотрению мно-
жества ИМПС ]},1,0[|)({ A где },,1,,1))({()( njniaA ij === =)(ija
].2,1[ +−= ij
m
ijij
m
ij xaxa
44 ISSN 0572-2691
Задача сводится к нахождению множества интервальных весов
)({ w ]},1,0[
где },,1))({()( niww i == ],1,0[ а координата )].(),([)( = u
i
l
ii www
Множество }]1,0[)({ w есть множество уровней вектора нечетких весов
},,1){(
fuzzyfuzzy niww i == который отображает предпочтения, записанные в
НМПС .fuzzyA В общем виде вектор fuzzyw можно получить с помощью следую-
щего объединения по :]1,0[
).(
]1,0[
fuzzy =
ww (2)
Как упоминалось ранее, координата
fuzzy
iw вектора fuzzyw — нормальное
нечеткое множество, )),(,(
fuzzy
xxw
iwi = .,1 ni = В связи с этим равенство (2)
понимается следующим образом:
),(
]1,0[
fuzzy
=
ii ww ,,1 ni =
где ,)(sup)( )(
]1,0[
xx
ii ww
= а функция принадлежности нечеткого множества
)( iw вычисляется как ),()( )()( xx
ii ww = .x
Рассмотрим ИМПС
},,1,,1],2,1[){( njnixmxmaaA ijijijijijij ==+−==
где ijm — наиболее вероятное значение интервала, ijij xx 2,1 — отклонения от
,ijm ,01 ijx ,02 ijx которые показывают степень неопределенности, связан-
ную с приближенным равенством ./ jiij wwm
ИМПС A также можно представить в виде ,,1],,[){( niulaaA ijijijij ===
},,1 nj = где ,1ijijij xml −= ijijij xmu 2+= при ,01 ijx .02 ijx
В дальнейшем будем рассматривать обратно симметричные ИМПС, поэтому
введем следующее определение.
Определение 1. Интервальная матрица A называется обратно симметричной,
если ,/1 jiij ul = jiij lu /1= ,,1 ni = ,,1 nj = таких, что ,ji и == iiii la
1== iiu [24].
После изложения общего подхода к решению поставленной задачи 1 сфор-
мулируем задачу 2, решение которой приведено ниже.
Задача 2. Необходимо определить:
• меру согласованности интервальной экспертной информации;
• вектор интервальных весов },,1],,[){( niwwwww u
i
l
iii === который
отображает предпочтения, записанные в ИМПС A.
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 45
Определение меры согласованности интервальной
экспертной информации
Определение 2. ИМПС A называется согласованной, если допустимая область
=====
=
1,,1,,1,0,0,)...,,(
1
1
n
k
kjiij
j
i
ijn wnjniwwu
w
w
lwwwW
непустая [24, 26, 27].
Для проверки согласованности ИМПС используем следующее утверждение.
Утверждение 1. ИМПС согласованная тогда и только тогда, когда ее элемен-
ты удовлетворяют следующему ограничению [24]:
)(min)(max kjik
k
kjik
k
uull для ,,1 ni = .,1 nj =
Поскольку интервальные оценки могут интерпретироваться как ограничения
на веса, то для согласованной ИМПС выполняется неравенство
,ij
j
i
ij u
w
w
l ,,1 ni = .,1 nj = (3)
Согласно определению 2, если ИМПС A несогласованная, то не существует
такого вектора весов, чтобы неравенство (3) выполнялось ,,1 ni = .,1 nj =
В этом случае предположим, что оцененные веса iw будут удовлетворять нера-
венству (3) нечетко, приближенно. Пусть отношение весов ji ww / гарантировано
попадает в некоторый расширенный интервал
,)21()11( ijij
j
i
ijij u
w
w
l +− ,,1 ni = ,,1 nj = (4)
где ,110 ij 120 ij — величины отклонений.
Тогда имеем расширенную область
,1,,1,,1,120,110
,0,0,)21()11()...,,(
~
1
1
===
+−==
=
n
k
kijij
jiijij
j
i
ijijn
wnjni
wwu
w
w
lwwwW
(5)
которая по построению непустая.
И чем меньше величины отклонений ,1ij ,2ij тем больше степень согласо-
ванности ИМПС. Отметим, что для согласованной ИМПС величины всех откло-
нений равны нулю, т.е. 021 == ijij ,,1 ni = .,1 nj =
Идея моделирования субъективности ИМПС и связанной с ней неопределен-
ности с помощью расширенных интервалов не нова. Так, в работе [35] непустая до-
пустимая область строится вычислением ),,(max~
kjik
k
ij uuu = ijij ul ~/1
~
= ,,1 ni =
.,1 nj = Однако такой подход приводит к очень широким интервалам расширен-
ной области, которые могут оказаться нереалистичными.
46 ISSN 0572-2691
В [26] предлагается определять расширенную область в виде
+−== ,0,0),()()...,,(
~
1 jiijij
j
i
ijijn wwpu
w
w
plwwwW
,1,,1,,1,0
1
===
=
n
k
kij wnjnip (5)
где ijp — параметр отклонения.
В работе [36] рассматривается несколько иная расширенная область:
+−== ,0,0,)1()1()...,,(
~
1 jiij
j
i
ijn wwu
w
w
lwwwW
.1,,1,,1,0
1
===
=
n
k
kwnjni (5)
Таким образом, в области (5) предполагается одинаковая величина отклоне-
ния ijp как от левой, так и от правой границ интервала ];,[ ijij ul в области (5)
для всех интервалов рассматриваются одинаковые относительные величины откло-
нений , поэтому обе эти области — некоторое упрощение реальности.
Расширенная область (5), которая предлагается в данной работе, предусмат-
ривает разные относительные величины ijij 2,1 отклонений от левой и правой
границ интервала ],[ ijij ul и, следовательно, является обобщением тех областей,
которые рассматриваются в [26, 36]. Отметим также, что область (5) удобна для
дальнейшей работы.
Найдем границы расширенных интервалов, в которые гарантировано попадут
отношения весов ./ ji ww Представляют интерес наименьшие величины отклоне-
ний, при которых область W
~
будет непустой.
Для нахождения наименьших значений отклонений, при которых область W
~
непустая, в данной работе предлагается задача математического программирования
−
= +=
+=
1
1 1
)21()2,1(min
n
i
n
ij
ijij (6)
при следующих ограничениях:
),11( ijij
j
i l
w
w
− ,1,1 −= ni ;,1 nij += (7)
),21( ijij
j
i u
w
w
+ ,1,1 −= ni ;,1 nij += (8)
,110 ij ,1,1 −= ni ;,1 nij += (9)
,120 ij ,1,1 −= ni ;,1 nij += (10)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 47
,10 iw ;,1 ni = (11)
.1
1
0
1
=
n
i
iw
n
(12)
Поскольку рассматриваемая ИМПС обратно симметрична, то целесообразно
рассматривать отклонения только для верхней треугольной части этой матрицы
или только для нижней треугольной ее части. В данной задаче целевая функ-
ция (6) минимизирует сумму отклонений выше главной диагонали ИМПС.
Ограничения (7) и (8) — это условия включения отношения весов в расши-
ренный интервал (4), ограничения (9) и (10) — предположения относительно ве-
личин отклонений от интервалов (3). Условия положительности весов гарантиру-
ются ограничением (11).
Решением задачи (6)–(12) есть минимальные значения величин отклонений
ijij 2,1 таких, что расширенная допустимая область W
~
(5) непустая.
Оптимальное значение * целевой функции )2,1( ijij (6) можно рассмат-
ривать как меру согласованности ИМПС — чем больше значение ,* тем несо-
гласованней ИМПС.
Идея использования в качестве меры согласованности матрицы парных срав-
нений оптимального значения целевой функции, минимизирующей некоторые от-
клонения, также не нова. Так, в работах [26, 28, 32] показатель согласованности —
оптимальное значение целевой функции классической задачи нечеткого матема-
тического программирования на основе подхода Белмана–Заде. В работе [21] ме-
рой согласованности является оптимальное значение целевой функции, миними-
зирующей сумму модулей логарифмов отклонений элементов четкой МПС. При
использовании предложенного в данной работе метода нахождения интервальных
весов показателем согласованности служит оптимальное значение целевой функ-
ции, которая минимизирует сумму отклонений элементов не четкой, а интерваль-
ной МПС.
Поскольку целевая функция минимизирует сумму 2/)1( −nn переменных,
а именно, ijij 21 + для ,ji то можно определить индекс согласованности *CI
как среднее значение ijij 21 + для элементов, которые находятся выше главной
диагонали ИМПС:
,
)1(
2 *
*
−
=
nn
CI (13)
где * — оптимальное значение целевой функции (6), полученное в результате
решения задачи (6)–(12).
В случае согласованности ИМПС все значения отклонений ijij 2,1 равны
нулю, 0* = и индекс согласованности также равен нулю. Чем большее значе-
ние принимает индекс согласованности *CI (13), тем несогласованней ИМПС.
*CI можно рассматривать как альтернативу индексу согласованности ,CI
предложенному Т. Саати.
48 ISSN 0572-2691
Нахождение вектора интервальних весов
Рассмотрим метод нахождения интервального вектора весов ){( iww =
},1],,[ niwww u
i
l
ii == из заданной экспертом обратно симметричной ИМПС
,,1],2,1[){( nixmxmaaA ijijijijijij =+−== }.,1 nj =
Этот метод имеет такие характерные особенности: во-первых, интервальные
веса должны адекватно отображать уровень риска, вызванный субъективным ха-
рактером заданной экспертом ИМПС, во-вторых, моделируются свойства так
называемого слабого и сильного сохранения рангов ИМПС.
Рассмотрим первую характерную особенность предлагаемого метода.
Определение 3. Матрицей, порожденной h-й строкой ИМПС A ),,1( nh =
назовем интервальную матрицу },,1,,1],,[){( njniulaaA h
ij
h
ij
h
ij
h
ij
h ==== эле-
менты ],,[ h
hj
h
hj
ul ,hj h-й строки которой равняются элементам h-й строки ис-
ходной ИМПС A; элементы ],,[ h
ih
h
ih
ul ,hi h-го столбца hA рассчитываются по
элементам h-й строки hA согласно правилу обратной симметричности:
,/1 h
hi
h
ih
ul = ;/1 h
hi
h
ih
lu = все остальные элементы ],[ h
ij
h
ij ul матрицы ,hA hji
(кроме диагональных), вычисляются в соответствии с правилом транзитивности
следующим образом: ,h
hj
h
ih
h
ij lll = ;h
hj
h
ih
h
ij uuu = элементам главной диагонали при-
сваиваются единицы.
Таким образом, в h-й строке hA отображены результаты сравнения всех объ-
ектов ,iO ,,1 ni = с объектом .hO
Понятие матрицы, порожденной одной строкой (столбцом), введено в [37]
для четких МПС. Определение 3, предложенное в данной статье, расширяет по-
нятие матрицы, порожденной одной строкой, на ИМПС [37].
Поскольку все элементы матрицы hA полностью определяются элементами
h-й строки, то при любом методе нахождения весов объектов значения этих весов
определяются результатами сравнения всех объектов с объектом .hO
Субъективность ИМПС A и противоречия, возникающие при сравнении объек-
тов, приводят к тому, что полученные после обработки множества },1{ nhAh =
значения весов },1],,[){( niwwwww uh
i
lh
i
h
i
h
i
h === отличаются между собой.
И отличия будут тем бóльшими, чем несогласованней ИМПС A. В связи с этим
интервальные веса должны отображать не только записанные в ИМПС A преоб-
ладания одного объекта над другим, а и степень противоречий в заданной экспер-
тами ИМПС, а именно, степень отклонения ИМПС A от соответствующей порож-
денной матрицы.
Утверждение 2. Мерой отклонения интервальной матрицы hA ),1( nh = от
исходной ИМПС A будем считать оптимальное значение целевой функции (6).
Введем понятие четкой матрицы, порожденной h-й строкой ИМПС A.
Определение 4. Четкой матрицей, порожденной h-й строкой ИМПС A
),,,1( nh = назовем согласованную матрицу },,1,,1){(
.crisp.crisp njniaA
h
ij
h ===
элементы h-й строки которой равняются наиболее вероятным значениям интерва-
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 49
лов h-й строки ИМПС A, т.е. ,
.crisp
hj
h
hj
ma = ,,1 nj = а все остальные элементы
вычисляются по элементам этой строки согласно правилам обратной симметрич-
ности и транзитивности.
Перейдем к рассмотрению второй характерной особенности предлагаемого
метода. Будем моделировать следующие два свойства ИМПС: слабое сохранение
рангов (преобладание по элементам) и сильное (преобладание по строкам). В [21]
анализируются слабое и сильное сохранения рангов для четкой МПС. В данной ра-
боте предлагается обобщение понятия слабого и сильного сохранения рангов для
ИМПС.
Определение 5. Ранг сохраняется слабо, если )0()1( − jiij wwa при
,,1 ni = nj ,1= [21].
Определение 6. Ранг сохраняется сильно, если из условий ,,1 nk = jkik aa
и nq ,1= jqiq aa вытекает, что ji ww [21].
Следует отметить, что метод главного собственного вектора и логарифмиче-
ский метод наименьших квадратов не обеспечивают слабое сохранение рангов [21].
Сильное сохранение рангов обеспечивается и в методе главного собственного
вектора, и в логарифмическом методе наименьших квадратов [38].
В случае интервальных элементов МПС необходимо определить способ
сравнения интервальных чисел. В данной задаче используем метод, который ба-
зируется на понятии расстояния между интервальными числами.
Определение 7. Расстояние ),( BAD между интервальными числами ],[ 21 aaA =
и ],[ 21 bbB = определим следующим образом [13]:
=
−+
+
−
−+
+
=
− −
2/1
2/1
2/1
2/1
2
12
21
12
212 )(
2
)(
2
),( dydxbby
bb
aax
aa
BAD
,
223
1
22
2
12
2
12
2
2121
−
+
−
+
+
−
+
=
bbaabbaa
.),(),( 2 BADBAD =
Преимущество этого метода определения расстояния между интервальными
числами в том, что учитываются все точки в обоих интервалах, в отличие от
большинства существующих способов [17, 18], которые часто базируются только
на левой и правой границах интервалов.
Построим матрицу расстояний },1,,1){( njnidD ij === от каждого эле-
мента ИМПС до числа нуль ],0,0[=O т.е. ),,( OaDd ijij = где ].,[ ijijij ula =
Согласно определению расстояния выражение для ),(2 OaD ij принимает вид
,
23
1
2
),(
22
2
−
+
+
=
ijijijij
ij
luul
OaD т.е. .
23
1
2
22
−
+
+
=
ijijijij
ij
luul
d
Расстояние ijd используем как четкое представление интервального чис-
ла .ija Теперь сравнение интервальных чисел сводится к сравнению их расстояний.
50 ISSN 0572-2691
Сформулируем следующие утверждения для определения свойств слабого и
сильного сохранения рангов в случае ИМПС.
Утверждение 3. Для ИМПС имеет место слабое сохранение рангов, если из
условия 1ijd вытекает 0− ji ww при ,,1 ni = ,,1 nj = где ijd — расстояние
от интервального числа ija до нуля.
Утверждение 4. Для ИМПС имеет место сильное сохранение рангов, если
из условий nk ,1= jkik dd и nq ,1= jqiq dd вытекает, что ,ji ww где
ijd — расстояние от интервального числа ija до нуля.
Сформулируем следующую пару задач математического программирования
для нахождения интервального веса ],,[ u
h
l
hh www = :,1 nh =
hwmax/min (14)
при таких ограничениях:
),11( ijij
j
i l
w
w
− ,1,1 −= ni ;,1 nij += (15)
),21( ijij
j
i u
w
w
+ ,1,1 −= ni ;,1 nij += (16)
0− ji ww при ,1ijd ;,1,,1 njni == (17)
0− ji ww при ,jkik dd ,,1 nk = и ,:,1 jqiq ddnq = ;,1,,1 njni == (18)
,110 ij ,1,1 −= ni ;,1 nij += (19)
,120 ij ,1,1 −= ni ;,1 nij += (20)
,10 iw ;,1 ni = (21)
;1
1
0
1
=
n
i
iw
n
(22)
,)21( *
1
1 1
=+
−
= +=
n
i
ijij
n
ij
(23)
где * в ограничении (23) — оптимальное значение целевой функции (6).
Слабое и сильное сохранения рангов ИМПС моделируются ограничения-
ми (17) и (18) данных задач. Задачи (14)–(23) — задачи нелинейного програм-
мирования и их можно решить традиционными методами. Известно, что для
решения задачи нелинейного программирования необходимо определить
начальное приближение решения [8]. Предлагается следующий метод определе-
ния начального приближения задач (14)–(23) нахождения границ для интер-
вального веса :hw
1) построить четкую матрицу ,crisp.hA порожденную h-й строкой ИМПС A;
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 51
2) найти вектор весов },,1){(
.crisp.crisp niww
h
i
h == используя один из мето-
дов нахождения четких весов из четкой МПС ;.crisp hA
3) h-й элемент
h
hw
.crisp
полученного вектора весов hw .crisp — начальное при-
ближение для задач (14)–(23).
Оптимум min*
hx задачи минимизации (14)–(23) — левая граница, а оптимум
max*
h
x задачи максимизации (14)–(23) — правая граница для интервального веса
].,[ u
h
l
hh www =
Приведем последовательность шагов выполнения предложенного в данной
работе метода нахождения интервального веса hw из ИМПС A:
1) определить начальное приближение;
2) решить задачу нелинейного программирования (6)–(12) и найти границы
допустимой расширенной области (5);
3) решить две задачи нелинейного программирования (14)–(23), где * в
ограничении (23) — оптимум целевой функции (6), полученный в результате ре-
шения задачи (6)–(12) на шаге 2;
4) границы интервального веса ],[ u
h
l
hh www = равняются
min*
h
l
h
xw = и =u
h
w
,max*
hx= где min*
hx и
max*
h
x — полученные на шаге 3 оптимальные решения задач
минимизации и максимизации соответственно.
Примеры
Рассмотрим два примера интервальных матриц парных сравнений, которые
анализируются в публикациях. Найдем интервальные веса, используя метод,
предложенный в данной статье. Сравним полученные результаты с опубликован-
ными ранее результатами.
Пример 1. Рассмотрим ИМПС, которая анализировалась в [17, 25]:
.
11,
2
1
2
1
,
4
1
1,
4
1
5
1
,
9
1
]2,1[15,
5
1
1,
5
1
5
1
,
7
1
]4,2[5,
5
1
11,
4
1
3
1
,
5
1
]4,1[]5,1[]4,1[11,
3
1
]9,5[]7,5[]5,3[]3,1[1
=A
Для упрощения расчетов в данном примере и в примере 2 задачи (6)–(12)
и (14)–(23) были преобразованы к задачам линейного программирования путем
логарифмирования. Результаты решения задачи (6)–(12) позволяют сделать вы-
вод, что данная ИМПС A согласованная ).0( * =
В табл. 1 представлены веса, полученные с помощью интервального МАИ [17],
метода целевого программирования [25], а также метода, предложенного в данной
статье.
52 ISSN 0572-2691
Таблица 1
Объект
Веса
Интервальный МАИ
Метод целевого
программирования
Метод, предложен-
ный в данной статье «Нижняя»
аппроксимация
«Верхняя»
аппроксимация
O1 [0,4225; 0,5343] [0,2909; 0,4092] 0,4527 [0,433; 0,507]
O2 [0,1781; 0,2817] [0,1364; 0,2909] [0,1396; 0,3320] [0,156; 0,256]
O3 0,1408 [0,0273; 0,1818] [0,0818; 0,2097] [0,12; 0,156]
O4 [0,0763; 0,0845] [0,0364; 0,1364] [0,0591; 0,1347] [0,067; 0,094]
O5 0,0704 [0,0455; 0,1364] 0,0633 [0,06; 0,072]
Таким образом, для рассмотренной согласованной ИМПС результаты, полу-
ченные с помощью предложенного метода, согласовываются с результатами,
представленными в литературе.
Пример 2. Рассмотрим ИМПС, которая исследовалась в работах [23, 24]:
.
1
6
1
,
8
1
4
1
,
5
1
2
1
,
3
1
]8,6[1
3
1
,
5
1
1,
2
1
]5,4[]5,3[11,
2
1
]3,2[]2,1[]2,1[1
=A
Используя утверждение 1, в работе [24] показано, что данная ИМПС несогла-
сованная, причем несогласованность имеет довольно высокий уровень, поскольку
не существует ни одной пары ,, ji для которой выполняется условие утвержде-
ния 1.
Результаты решения задачи (6)–(12) также свидетельствуют о несогласован-
ности этой интервальной матрицы.
В табл. 2 приведены веса, полученные методом лексикографического целе-
вого программирования [23], разными вариантами задачи нелинейного про-
граммирования [24] (при минимизации отношения несогласованности ;CR при
ограничении ;1,0CR при отсутствии ограничений на )CR и методом, предло-
женным в данной статье.
Таблица 2
Объект
Веса
Метод лек-
сикографиче-
ского целевого
програм-
мирования
Метод нелинейного программирования
Метод, пред-
ложенный
в данной статье Миними-
зация CR
При CR ≤ 0 ,1
Отсутствуют
ограничения на
CR
O1 0,3030 0,2812 [0,2577; 0,3259] [0,2282; 0,3830] [0,293; 0,439]
O2 0,4545 0,4132 [0,3878; 0,4297] [0,3264; 0,4758] [0,317; 0,396]
O3 0,1515 0,2386 [0,2116; 0,2579] [0,1792; 0,2819] [0,129; 0,172]
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 53
O4 0,0910 0,0670 [0,0637; 0,0743] [0,0562; 0,0843] [0,06; 0,075]
Как следует из табл. 2, порядки ранжирования весов, полученных разными
методами, не совпадают между собой. Вопрос об «истинности» весов, получен-
ных тем или иным методом, пока остается открытым.
Преимущество предложенного в данной статье метода нахождения весов со-
стоит в том, что результатом его работы являются интервальные (а не точечные,
как в методе лексикографического целевого программирования [23]) веса, по-
скольку они позволяют оценить неопределенность, имеющуюся в интервальных
сравнениях, выполняемых экспертом.
Заключение
В данной работе предлагается методология обработки нечеткой экспертной
информации, которая включает оценивание согласованности этой информации и
нахождение нечетких весов объектов.
Нахождение нечетких весов базируется на расчете интервальных весов с по-
следующим синтезом по множествам уровня. Для этого авторы предложили но-
вый метод, который позволяет получить интервальные веса как из согласованных,
так и с несогласованных ИМПС.
Рассмотрено несколько примеров ИМПС, которые анализируются в пуб-
ликациях. В этих примерах в случае согласованной ИМПС интервальные веса,
полученные предложенным методом, задают тот же порядок ранжирования,
что и известные в литературе методы, чего нельзя сказать о несогласованных
ИМПС. Так если ИМПС характеризуется высоким уровнем несогласованности,
то ранжирование, полученное после нахождения интервальных весов предло-
женным методом, может отличаться от ранжирований, полученных известными
методами.
Во второй части данной работы будет описана методология обработки нечет-
кой экспертной информации, а именно, введена новая мера согласованности
ИМПС — интервальный спектральный коэффициент согласованности, который
обобщает известный в литературе спектральный коэффициент согласованности
для четких матриц парных сравнений [37]. Кроме того, будут предложены метод
ранжирования нечетких весов и способ расчета степени выполнения строгого
предпочтения одного нечеткого веса над другим.
Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська
МЕТОДОЛОГІЯ ОБРОБКИ НЕЧІТКОЇ
ЕКСПЕРТНОЇ ІНФОРМАЦІЇ
В ЗАДАЧАХ ПЕРЕДБАЧЕННЯ.
Частина 1
Запропоновано методологію обробки нечіткої експертної інформації, яка вклю-
чає оцінювання узгодженості цієї інформації та знаходження нечітких ваг
об’єктів. Методологія базується на інтервальній апроксимації нечіткої матриці
експертних оцінок. Розглянуто метод знаходження інтервальних ваг з узгодже-
них і неузгоджених інтервальних матриць парних порівнянь, який зводиться в
загальному випадку до розв’язання задач нелінійного програмування та моде-
54 ISSN 0572-2691
лює слабке (перевага за елементами) і сильне (перевага за рядками) збереження
рангів.
N.D. Pankratova, N.I. Nedashkovskaya
FUZZY EXPERT INFORMATION
PROCESSING IN TECHNOLOGY
FORESIGHT. Part I
Methodology for fuzzy expert information processing including consistency evalua-
tion and fuzzy weights calculating is proposed. It is based on interval approximation
of fuzzy pairwise comparison matrix. Method for finding interval weights from con-
sistency and inconsistency interval pairwise comparison matrices is proposed. It gen-
erally results in nonlinear programming problem and allows modeling weak and
strong rank preservation.
1. Bañuelas R., Antony J. Six sigma or design for six sigma // The TQM magazine. — 2004. —
16(4). — P. 250–263.
2. Hahn E.D. Decision making with uncertain judgments: a stochastic formulation of the analytic
hierarchy process // Decision Sciences. — 2003. — 34(3). — P. 443–466.
3. Hahn E.D. Link function selection in stochastic multicriteria decision making models // Europ.
Journ. of Oper. Res. — 2006. — 172. — P. 86–100.
4. Phillips-Wren G.E., Hahn E.D., Forgionne G.A. A multiple-criteria framework for evaluation of
decision support systems // Omega. — 2004. — 32. — P. 323–332.
5. Laininen P., Hämäläinen R.P. Analyzing AHP-matrices by regression // Europ. Journ. of Oper.
Res. — 2003. — 148. — P. 514–524.
6. Crawford G., Williams C. A note on the analysis of subjective judgment matrices // Journ. of
Mathemat. Psychology. — 1985. — 29. — P. 387–405.
7. De Jong P. A statistical approach to Saaty’s scaling method for priorities // Ibid. — 1984. — 28. —
P. 467–478.
8. Зайченко Ю.П. Исследование операций: Учебник. — Киев : Слово. — 2003. — 688 с.
9. Kahraman C., Ertay T., Büyüközkan G. A fuzzy optimization model for QFD planning process
using analytic network approach // Europ. Journ. of Oper. Res. — 2006. — 171. — P. 390–411.
10. Chang D.Y. Applications of the extent analysis method on fuzzy AHP // Ibid. — 1996. — 95. —
P. 649–655.
11. Chan F., Kumar N. Global supplier development considering risk factors using fuzzy extended
AHP-based approach // Omega. — 2007. — 35. — P. 417–431.
12. Enea M., Piazza T. Project selection by constrained Fuzzy AHP // Fuzzy Optimization and Deci-
sion Making. — 2004. — 3. — P. 39–62.
13. Tran L., Duckstein L. Comparison of fuzzy numbers using fuzzy distance measure // Fuzzy sets
and systems. — 2002. — 130. — P. 331–341.
14. Modarres M., Sadi-Nezhad S. Ranking fuzzy numbers by preference ratio // Ibid. — 2001. —
118. — P. 429–436.
15. Weng X., Kerre E.E. Reasonable properties for the ordering of fuzzy quantities (I) // Ibid. —
2001. — 118. — P. 375–385.
16. Weng X., Kerre E.E. Reasonable properties for the ordering of fuzzy quantities (II) // Ibid. —
2001. — 118. — P. 387–405.
17. Sugihara K., Ishii H., Tanaka H. Interval priorities in AHP by interval regression analysis // Eu-
rop. Journ. of Oper. Res. — 2004. — 158. — P. 745–754.
18. Ishibuchi H., Tanaka H. Multiobjective programming in optimization of the interval objective
function // Ibid. — 1990. — 48. — P. 219–225.
19. Xu Z. A direct approach to group decision making with uncertain additive linguistic preference re-
lations // Fuzzy optimization and decision making. — 2006. — 5. — P. 21–32.
20. Xu Z. On method for uncertain multiple attribute decision making problems with uncertain multi-
plicative preference information on alternatives // Ibid. — 2005. — 4. — P. 131–139.
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 55
21. Chandran B., Golden B., Wasil E. Linear programming models for estimating weights in the ana-
lytic hierarchy process // Computers & Oper. Res. — 2005. — 32. — P. 2235–2254.
22. Saaty T.L., Vargas L. Uncertainty and rank order in the analytic hierarchy process // Europ. Journ.
of Oper. Res. — 1987. — 32. — P. 107–117.
23. Islam R., Biswal M., Alam S. Preference programming and inconsistent interval judgements //
Ibid. — 1997. — 97. — P. 53–62.
24. Wang Y.-M., Yang J.-B., Xu D.-L. Mathematical programming methods for generating weights
from interval comparison matrices. — www.sm.umist.ac.uk/wp/papers/wp0205.htm.
25. Wang Y.-M., Elhag T.M.S. A goal programming method for obtaining interval weights from an in-
terval comparison matrix // Europ. Journ. of Oper. Res. — 2007. — 177(1). — P. 458–471.
26. Mikhailov L. A fuzzy approach to deriving priorities from interval pairwise comparison judge-
ments // Ibid. — 2004. — 159. — P. 687–704.
27. Arbel A. Approximate articulation of preference and priority derivation // Ibid. — 1989. — 43(3). —
P. 317–326.
28. Mikhailov L. Group prioritization in the AHP by fuzzy preference programming method // Com-
puters & Oper. Res. — 2004. — 31. — P. 293–301.
29. Sengupta A., Pal T. On comparing interval numbers // Europ. Journ. of Oper. Res. — 2000. —
127. — P. 28–43.
30. Salo A., Hämäläinen R. Preference programming through approximate ratio comparisons // Ibid. —
1995. — 82. — P. 458–475.
31. Grzegorzewski P. Nearest interval approximation of a fuzzy number // Fuzzy Sets and Systems. —
2002. — 130. — P. 321–330.
32. Mikhailov L. Deriving priorities from fuzzy pairwise comparison judgements // Ibid. — 2003. —
134. — P. 365–385.
33. Nasibov E.N., Baskan O., Mert A. A learning algorithm for level sets weights in weighted level-
based averaging method // Fuzzy Optimiz. and Decision Making. — 2005. — 4. — P. 279–291.
34. Насибов Э.Н. К вопросу агрегации нечеткой информации на базе декомпозиционного
представления // Кибернетика и системный анализ. — 2005. — № 2. — С. 176–186.
35. Salo A. Inconsistency analysis by approximately specified priorities // Mathemat. and comput.
model. — 1993. — 17. — P. 123–133.
36. Leung L., Cao D. On consistency and ranking of alternatives in fuzzy AHP // Europ. Journ. of
Oper. Res. — 2000. — 124. — P. 102–113.
37. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмический аспект. —
Киев : Наук. думка. — 2002. — 381 с.
38. Saaty T., Vargas L. Inconsistency and rank preservation // Journ. of Mathemat. Psychology. —
1984. — 28. — P. 205–214.
Получено 29.12.2006
http://www.sm.umist.ac.uk/wp/papers/wp0205.htm
|