Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня
Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів О.М. Аліфанова для розв’язання обернених задач теплопровідності. В основу запропонованих алгоритмів покладено прямі і спряжені задачі в слабких постановках. Цей підхід застосовується для багатокомпонентних тіл. The effec...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206975 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 75-97. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860088073322233856 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 75-97. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів О.М. Аліфанова для розв’язання обернених задач теплопровідності. В основу запропонованих алгоритмів покладено прямі і спряжені задачі в слабких постановках. Цей підхід застосовується для багатокомпонентних тіл.
The effective calculation algorithms of realization of O.M. Alifanov’s gradient method for solution of thermal conduction inverse problems are proposed. The proposed algorithms are based on a direct and conjugate problems in weak formulations. The proposed approach was disseminated on multicomponent bodies.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:21:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2007
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 75
УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
УДК 536.24
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ОБРАТНЫХ
ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
На практике часто возникает необходимость решения обратных задач тепло-
проводности. В работах [1−3] для них рассмотрены вопросы применения гради-
ентных методов путем решения соответствующих прямых и сопряженных задач с
помощью функций Грина. Вопрос применения градиентных методов также ис-
следуется в [4, 5].
В данной статье, на основе результатов работ [6−9], касающихся оптималь-
ного управления многокомпонентными распределенными системами, предложе-
ны вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов [3] для решения
обратных граничных задач, где в основу положены соответствующие слабые,
прямые и сопряженные задачи для многокомпонентных распределенных систем.
Данный подход достаточно универсальный. Его возможности продемонстри-
рованы для ряда граничных обратных задач теплопроводности составного стерж-
ня, где восстанавливаются как потоки тепла, так и свободные параметры третьего
краевого условия на различных концах стержня (в том числе и одновременно).
Этот подход также распространяется на проблемы восстановления внутренних
источников, начальных условий в том числе, и одновременно с восстановлением
потоков тепла и коэффициентов уравнения теплопроводности.
1. Восстановление потоков тепла на противоположных
сторонах пластины
Рассмотрим задачу восстановления плотностей тепловых потоков на двух
противоположных границах пластины толщины b ),(),( 21 tutu полагая, что теп-
лофизические характеристики материала известны и имеются данные о темпера-
туре в N точках тела:
,],0(),0(),(),,(
~
Tbtxtxf
x
y
xt
y
c T =+
=
(1)
,],0[),()0,( 0 bxxyxy = (2)
,],0(),(),0( 1 Tttut
x
y
=
− (3)
76 ISSN 0572-2691
,],0(),(),( 2 Tttutb
x
y
=
(4)
,1,,1],,0(),(),( == NNiTttftdy ii (5)
где )(const,,,)(00,const 1010 tfxc i=== — известные
функции, .0 21 bddd n
Задача (1)–(5) состоит в определении функций )(),( 21 tutu таких, чтобы вы-
полнялись равенства (1)–(5).
Составим функционал-невязку [3] с весовыми коэффициентами :)(ti
,))())()((()( 2
1 0
dttftuAtuJ ii
N
i
T
i −=
=
(6)
где ),;()();,;(,))(),(()( 21 txuyuyytduyuAtututuu ii ===== — решение за-
дачи (1)–(4) при заданной функции .}{),,( 121
N
iiuAAuuuu ===
Приближенное решение задачи (1)−(5) будем искать как функцию =U)(tu
,)),0(()),0(( 22 TLTL = минимизирующую функционал (6) на гильбертовом про-
странстве U при ограничениях (1)–(4).
Приближение )(1 tun+ решения u(t) задачи (1)–(4), (6) находим с помощью
итерационного процесса
,,,1,0),(1
+ =−= nntpuu nnnn (7)
начиная с некоторого начального приближения ),(0 tu где направление спуска
)(tpn и коэффициент n определяются следующими выражениями [3]:
• для метода минимальных ошибок
;,
2
2
n
n
u
n
nun
J
e
Jp
== (8)
• для метода скорейшего спуска
;,
2
2
n
n
n
u
u
nun
JA
J
Jp
== (9)
• для метода сопряженных градиентов
,0, 01 =+= −nnun pJp
n
,
),(
,
22
2
1 n
nu
n
u
u
n
Ap
pJ
J
J
n
n
n
=
=
−
(10)
где .}{,)},;({, 11
N
ii
N
iinnnn fftduyAufAue == ==−=
Следуя [5, 9], можно записать
,))()(,)((, ),0(2 TLu uyvyfuyuvJ −−=− (11)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 77
где ),;(),,;()(,)}({)( 1 txvyytdvyvyvyvy ii
N
ii === = — обобщенное решение
начально-краевой задачи (1)−(4) при ,vu = ,))(),(()( 21
== tututuu == )(tvv
,))(),(( 21
= tvtv ,)(),(),(
1 0
),0(2
=
=
N
i
T
iiTL dttt ,}{ 1
N
ii == .}{ 1
N
ii ==
Определение 1. При каждом фиксированном U= )(tuu обобщенным реше-
нием начально-краевой задачи (1)–(4) называется функция == ),;()( txuyuyy
),,0( TW которая 0)( Vxw удовлетворяет тождествам
],,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c =+
(12)
),,()0)(,( 0 wcywcy = (13)
где ),;,0(),0( 2 VTLTW = )},,0(),0(:),({ 1
2 TtbWvtxvV = )),,0((1
20 bWV =
,),(),(),(
0
dxtxtx
b
= ,),(
0
dx
xx
a
l
= ).()0(),
~
();( 21 bwuwuwfwul ++=
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(, Ttx
x
v
xt
v
c
=
(14)
],,0(),(),0( 1 Tttut
x
v
=
− (15)
],,0(),(),( 2 Tttutb
x
v
=
(16)
).,0(,0)0,( bxxv = (17)
Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (14)–(17)
называется функция ),,0(),( TWtxv которая 0)( Vxw удовлетворяет системе
тождеств
],,0(),;(),(, Ttwulwvaw
t
v
c v =+
(18)
,0)0)(,( =wcv (19)
где ).()0();( 21 bwuwuwulv +=
Для каждого приближения )(tuu nn = решения u(t) задачи (1)–(4), (6) введем
в рассмотрение следующую сопряженную начально-краевую задачу:
,),(, Ttx
xxt
c
=
− (20)
],,0(;,0,0 Ttbx
x
==
(21)
],,0(,,1,,0][ TtNidx i === (22)
78 ISSN 0572-2691
,,1],,0()),(),;()(( NiTttftduyt
x
iini
dx i
=−−=
=
(23)
).,0(,0],( bxTx = (24)
Определение 3. При каждом фиксированном )(tun обобщенным решением
начально-краевой задачи (20)–(24) называется функция ),,0(),( TWtx которая
0)( Vxw удовлетворяет системе тождеств
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n =+
− (25)
,0))(,( = Twc (26)
где ).())(),(();(
1
iiin
N
i
in dwtftdywyl −=
=
Выбирая в задаче (25), (26) вместо функции w разность ,1 nn yy −+ с учетом
(12), (13), (26) получаем
=−− +
=
dttdytdytftduyt ininii
T N
i
ni )),(),())((),;()(( 1
0 1
=−=−+
−
= ++
+ dtululdtyyadt
t
yy
c n
T
n
T
nn
T
nn ));();((),(,
)(
0
1
0
1
0
1
,)),(),0(();(
00
21
dttbutudtul
T
nnn
T
+==
т.е.
),0(1
0 1
2
)~,()),(),())((),(( TLnininii
T N
i
ni udttdytdytftdy =−− +
=
,
или
,),~())()(,)(( ),0(),0(1 22 TLTLnnn uuyuyfuy =−− + (27)
где
.))(),()(),0((),~(,)),(),,0((~
21
0
),0(2
dttutbtututbt
T
TL +==
С учетом (11), (27) имеем
.),~(, ),0(1 2 TLnnnu uuuJ
n
=− +
Следовательно,
.~=
nuJ (28)
Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (8) направле-
ние спуска )(tpn и коэффициент n можем определить с помощью выражений
),(~ tJp nun n
== ,
~ 2
2
n
n
n
e
= (29)
где .))(),(( 2
0 1
2
dttftdye i
T
i
n
i
nn −=
=
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 79
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(,
~
Ttxf
x
z
xt
z
c +
=
],,0(),,(),(
],,0(),,0(),0(
Tttbtb
x
z
Tttt
x
z
n
n
=
=
−
(30)
].,0(),()0,( 0 bxxyxz =
Определение 4. Обобщенным решением начально-краевой задачи (30) назы-
вается функция ),,0(),( TWtxz которая 0)( Vxw удовлетворяет следующей
системе тождеств:
],,0(),;~(),(, Ttwlwzaw
t
z
c n =+
(30)
).,()0)(,( 0 wcywcz = (31)
Решив задачу (30), (31), определим вектор
.)},;~({ 1
N
iinn tdzAp == (32)
С учетом (32) для определения (n +1)-го приближения )(1 tun+ решения )(tu ис-
пользуем метод скорейшего спуска (9).
Поскольку мы получили ,, 1− nu pJ
n
то можем вычислить коэффициент ,n
определить направление спуска ,np вычислить ,nAp коэффициент
2
),(
n
nu
n
pA
pJ
n
= (33)
и завершить процедуру определения (n +1)-го приближения 1+nu решения u зада-
чи (1)–(4), (6) c помощью метода сопряженных градиентов (10).
2. Температурная задача для пластины с составным
тонким включением
Рассмотрим задачу восстановления плотностей тепловых потоков на двух
противоположных границах пластины толщины b, содержащей тонкое составное
включение , состоящее из трех тонких пластин: ,,, 321 где 31, слабо-
теплопроницаемые, а 2 сильнотеплопроницаемая. Тогда, следуя [10, 11], тем-
пературное состояние составной пластины можем описать с помощью следую-
щей начально-краевой задачи. На интервалах ),(),,0( l области 21 =
,0),,(),,0(( 21 bb == — точка срединной поверхности составляю-
щей ,2 расположенной между слабопроницаемыми составляющими 31,
включения ) определено параболическое уравнение
].,0(),,(
~
Tttxf
x
y
xt
y
c +
=
(34)
80 ISSN 0572-2691
На концах отрезка [0, b] заданы условия Неймана
],,0(,0),(1 Ttxtu
x
y
==
− (35)
.],0(,),(2 Ttbxtu
x
y
==
(36)
В точке =x имеем неоднородные условия сопряжения неидеального контакта
,][21 +=+ +− yqRqR yy (37)
,][ =yq (38)
где ,0const, 21 =RR ,021 + RR ,, 1R ,][ −+ −= ),,0(}{ t==
.
x
y
qy
=
При 0=t имеем начальное условие
],,[],0[),()0,( 0 lxxyxy = (39)
где c, — теплофизические характеристики составной пластины (различные для
областей ),, 21 ),( txff = — известная функция ),( iTCf
iT
,f
),,0( TiiT = i = 1, 2.
Предполагаем, что в точках ,id Ni ,1= ji dd ( при ,ji ),,(),0( bdi
известны значения температуры
].,0[,,1),(),( TtNitftdy ii == (40)
Функционал-невязка с весовыми коэффициентами )(ti имеет вид (6).
Тем самым мы получили задачу (34)–(39), (6), где требуется найти функцию
)),,0(()),0(()( 22 TLTLtu =U минимизирующую функционал (6) при условии
выполнения равенств (34)–(39).
Определение 5. При каждом фиксированном )(tu обобщенным решением
начально-краевой задачи (34)–(39) называется функция ),,0(),;( TWtxuy кото-
рая 0)( Vxw удовлетворяет системе тождеств
],,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c =+
(41)
),,()0)(,( 0 wcywcy = (42)
где
,
]][[
),(
210
RR
wy
dx
x
w
x
y
wya
l
+
+
=
),()0(][),
~
();( 21
21
2 bwuwuww
RR
R
wfwul ++−
+
−
+= +
)},,0(;2,1),(:),({,),;,0(),0( 1
22 TtiWvtxvVVVVTLTW i
i
====
}.2,1),(:)({ 1
20 ==
iWvxvV i
i
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 81
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(, Ttx
x
v
xt
v
c
=
],,0(),(),0( 1 Tttut
x
v
=
−
],,0(),(),( 2 Tttutb
x
v
=
(43)
],,0(,,
][
}{,0][
21
Ttx
RR
v
qq vv =
+
==
].,0[,0)0,( bxxv =
Определение 6. Обобщенным решением начально-краевой задачи (43) называ-
ется функция ),,0(),( TWtxv которая 0Vw удовлетворяет системе тождеств
],,0(),;(),(, Ttwulwvaw
t
v
c v =+
(44)
,0)0)(,( =wcv (45)
где ).()0();( 21 bwuwuwulv +=
Для каждого приближения )(tuu nn = решения )(tu задачи (34)–(39), (6) вве-
дем в рассмотрение следующую сопряженную начально-краевую задачу:
,),(, Ttx
xxt
c
=
−
),,0(;,0,0 Ttbx
x
==
),,0(,,1,,0][
),,0(,
][
}{,0][
21
TtNidx
Tt
RR
qq
i
x
x
===
+
==
=
=
(46)
,,1),,0()),(),;()(( NiTttftduyt
x
iini
dx i
=−−=
=
].,0[,0),( bxTx =
Определение 7. При каждом фиксированном )(tun обобщенным решением
начально-краевой задачи (46) называется функция ),,0(),( TWtx которая
0)( Vxw удовлетворяет системе тождеств
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n =+
− (47)
,0))(,( = Twc (48)
где ).())(),(();(
1
iiin
N
i
in dwtftdywyl −=
=
82 ISSN 0572-2691
Выбирая в задаче (47), (48) вместо функции w разность ,1 nn yy −+ с учетом
(41), (42), (48) получаем
=−− +
=
dttdytdytftdy ininii
T N
i
ni )),(),())((),(( 1
0 1
,)),(),0(();(
00
21
dttbutudtul
T
nnn
T
+==
т.е.
),0(1
0 1
2
)~,()),(),())((),(( TLnininii
T N
i
ni udttdytdytftdy =−− +
=
или
.),~())()(,)(( ),0(),0(1 22 TLTLnnn uuyuyfuy =−− + (49)
Cледовательно,
,~
nun
J = (50)
где .)),(),,0(()),;(),,0;((~ == tbttbutu nnnnn
Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (8) направление
спуска )(tpn и коэффициент n можем определить с помощью выражений (29).
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(,
~
Ttxf
x
z
xt
z
c +
=
),,0(),,0(),0( Tttt
x
z
n =
−
),,0(,,][
),,0(),,(),(
21 TtxzqRqR
Tttbtb
x
z
zz
n
=+=+
=
+−
(51)
),,0(,,][ Ttxqz ==
].,[],0[),()0,( 0 lxxyxz =
Определение 8. Обобщенным решением начально-краевой задачи (51) назы-
вается функция ),,0(),( TWtxz которая 0)( Vxw удовлетворяет следующей
системе тождеств:
),,0(),;~(),(, Ttwlwzaw
t
z
c n =+
(52)
.),()0)(,( 0 wcywcz = (53)
Решив задачу (52), (53), определим вектор
.)},;({ 1
N
iinn tdzpA == (54)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 83
С учетом (54) для определения (n +1)-го приближения 1+nu решения )(tu задачи
(34)–(39), (6) можем применить метод скорейшего спуска (9), а также провести
вычисление (n +1)-го приближения 1+nu решения )(tu рассматриваемой задачи
по методу сопряженных градиентов (10). Для этого определим направление спус-
ка np с помощью формул
,0, 01 =+= −nnun pJp
n
.1,
2
2
1
=
−
n
J
J
n
n
u
u
n
Найдем вектор .npA Определим коэффициент n и найдем приближение 1+nu
по формуле (7).
3. Температурная задача c главными
неоднородными условиями сопряжения
Рассмотрим задачу восстановления плотностей тепловых потоков на двух гра-
ницах пластины толщины b, содержащей бесконечно тонкое включение , на кото-
ром заданы смешанные неоднородные условия сопряжения [11]. Температурное
поле описывается следующей начально-краевой задачей. На области 21 =
)),(),,0(( 21 l== определено параболическое уравнение
].,0(),,(
~
Tttxf
x
y
xt
y
c +
=
(55)
На концах отрезка [0, b] заданы условия Неймана
],,0(,0),(1 Ttxtu
x
y
==
− (56)
].,0(,),(2 Ttbxtu
x
y
==
(57)
В точке =x имеем смешанные неоднородные условия сопряжения неидеально-
го контакта
,][ −=y (58)
,][ =yq (59)
где главное неоднородное условие сопряжения (58) получено из (37) при ,01 →R
.02 →R
При 0=t имеем начальное условие
).,(),0(),()0,( 0 lxxyxy = (60)
Предполагаем, что в точках ,id Ni ,1= ji dd ( при ,ji ,,1, Nji = id
)),,(),0( l известны значения температуры
].,0(,,1),(),( TtNitftdy ii == (61)
84 ISSN 0572-2691
Функционал-невязка с весовыми коэффициентами )(ti имеет вид (6). Тем са-
мым мы получили задачу (55)–(60), (6), где требуется найти функцию =U)(tu
),,0(),0( 22 TLTL = минимизирующую функционал (6) при условии выполнения
равенств (55)–(60).
Определение 9. При каждом фиксированном ),0(),0( 22 TLTLu =U обоб-
щенным решением начально-краевой задачи (55)−(60) называется функция =y
),,0(),;()( TWtxuyuy == которая ,2,1),(:)({)( 1
20 ==
iWvxvVxw i
i
},0][ =v удовлетворяет системе тождеств
],,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c =+
(62)
),,()0)(,( 0 wcywcy = (63)
где
)},,0(,][,2,1),(:),({),;,0(),0( 1
22 TtviWvtxvVVTLTW i
i
−====
,),(
0
dx
x
w
x
y
wya
l
= ).()0(),
~
();( 21 bwuwuwwfwul ++−= +
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(, Ttx
x
v
xt
v
c
=
],,0(),(),0( 1 Tttut
x
v
=
−
],,0(),(),( 2 Tttutb
x
v
=
(64)
],,0(,,0][,0][ Ttxqv v ===
.,0)0,( 21 = xxv
Определение 10. Обобщенным решением начально-краевой задачи (64)
называется функция ),,0(),( 0 TWtxv которая 0Vw удовлетворяет системе
тождеств
],,0(),;(),(, Ttwulwvaw
t
v
c v =+
(65)
,0)0)(,( =wcv (66)
где ),;,0(),0( 020 VTLTW = )},,0(,0][:),({0 TtvVtxvV == = );( wulv
).()0( 21 bwuwu +=
Для каждого приближения )(tuu nn = решения )(tu задачи (55)–(60), (6) вве-
дем в рассмотрение следующую сопряженную задачу:
,),(, Ttx
xxt
c
=
−
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 85
),,0(;,0,0 Ttbx
x
==
),,0(,,0,0][ Ttx
x
==
= (67)
),,0(,,0][ Ttdx i ==
),,0(,,1)),(),;()(( TtNitftduyt
x
iini
dx i
=−−=
=
],0[,0),( bxTx = .
Определение 11. При каждом фиксированном )(tun обобщенным решением
начально-краевой задачи (67) называется функция ),,0(),( 0 TWtx которая
0)( Vxw удовлетворяет системе тождеств
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n =+
− (68)
,0))(,( = Twc (69)
где
),;,0(),0( 0
20 VTLTW =
)},,0(,,1,0][,0][,2,0),(:),({ 1
2
0 TtNjvvNjWvtxvV
jj dj ===+==
},,1,0][,0][,2,0),(:)({ 1
2
0 NjvvNjWvxvV
jj
dj ===+==
).())(),(();(
1
i
N
i
iinin dwtftdywyl
=
−=
Области ,1,0, += Njj составляют последовательность интервалов, образо-
ванных точками .,,,0,0,,,0 1 bdd n +−
Выбирая в задаче (68), (69) вместо функции w разность ,1 nn yy −+ с учетом
(62), (63), (69) получаем
=−− +
=
dttdytdytftdyt ininii
T N
i
ni )),(),())((),()(( 1
0 1
,)),(),0(();(
00
21
dttbutudtul
T
nn
T
n +==
т.е.
),0(1
0 1
2
)~,()),(),())((),(( TLnininii
T N
i
ni udttdytdytftdy =−− +
=
86 ISSN 0572-2691
или
.),~())()(,)(( ),0(),0(1 22 TLTLnnn uuyuyfuy =−− + (70)
Следовательно,
,~=
nuJ (71)
где .)),(),,0((~~ == tbtn
Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (8) направле-
ние спуска )(tpn и коэффициент n можем определить с помощью выражений (29).
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(,
~
Ttxf
x
z
xt
z
c +
=
],,0(),,0(),0( Tttt
x
z
n =
−
],,0(),,(),( Tttbtb
x
z
n =
(72)
],,0(,,][,][ Ttxqz z ==−=
].,[],0[),()0,( 0 bxxyxz =
Определение 12. Обобщенным решением начально-краевой задачи (72) назы-
вается функция ),,0(),( TWtxz которая 0)( Vxw удовлетворяет следующей
системе тождеств:
],,0(),;~(),(, Ttwlwzaw
t
z
c n =+
(73)
).,()0)(,( 0 wcywcz = (74)
Решив задачу (73), (74), определим вектор
.)},;({ 1
N
iinn tdzAp == (75)
С учетом (75) для определения (n +1)-го приближения 1+nu решения )(tu за-
дачи (55)−(60), (6) можем применить метод скорейшего спуска (9). Поскольку мы
определили ,,,
11 −
− nn unu JpJ то можем определить направление спуска:
.,0,
2
2
01
1−
==+= −
n
n
n
u
u
nnnun
J
J
pJp (74)
Подставляя в функционал );~( wl n тождества (73) вместо функции n~
функцию ,np в результате решения задачи (73), (74) с функционалом );( wpl n
получим решение ),( npz т.е. вектор
N
inin pzpA 1)}({ == . (75)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 87
Учитывая (74), (75), используем метод сопряженных градиентов (10) для
определения (n+1)-го приближения 1+nu решения ),( txu задачи (55)–(60), (6).
4. Температурная задача c неоднородным краевым
условием Дирихле
Рассмотрим задачу восстановления плотности теплового потока на левом кон-
це отрезка ],0[ b следующей обратной граничной задачи. На области 21 =
),,0(( 1 = )0),,(2 bb = определено параболическое уравнение
.),0(),,(
~
Tttxf
x
y
xt
y
c +
=
(76)
На концах отрезка ],0[ b заданы смешанные неоднородные краевые условия
,),0(,0),( Ttxtu
x
y
==
− (77)
.),0(),(),( 1 Tttutby = (78)
В точке =x имеем условия сопряжения составного тонкого включения
:),0( Tt
,][21 +=+ +− yqRqR yy (79)
.][ =yq (80)
При 0=t имеем начальное условие
].,[],0[),()0,( 0 bxxyxy = (81)
Предполагаем, что в точках ,,1, Nidi = известны значения температуры
.],0(,,1),(),( TtNitftdy ii == (82)
Определена задача (76)–(81), (6), состоящая в нахождении функции = )(tuu
),,0(2 TL=U минимизирующей функционал (6) при выполнении равенств
(76)–(81).
Определение 13. При каждом фиксированном U)(tu обобщенным решени-
ем начально-краевой задачи (76)–(81) называется функция == ),;()( txuyuyy
),,0( TW которая 0)( Vxw удовлетворяет системе тождеств
,),0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c =+
(83)
,0),,(),( 0 == twcywcy (84)
где
),;,0(),0( 2 VTLTW =
)},,0()(),(;2,1),(:),({ 1
1
2 TttutbviWvtxvV ii
===
88 ISSN 0572-2691
,
]][[
),(},0)(;2,1),(:)({
210
1
20
RR
wy
dx
x
w
x
y
wyabviWvxvV
b
i
i +
+
====
).0(][),
~
();(
21
2 uwww
RR
R
wfwul +−
+
−
+= +
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(, Ttx
x
v
xt
v
c
=
),,0(),(),0( Tttut
x
v
=
−
),,0(,0),( Tttbv = (85)
),,0(,,
][
}{,0][
21
Ttx
RR
v
qq vv =
+
==
].,0[,0)0,( bxxv =
Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (85) при
каждом )(tu называется функция ),,0(),( 0 TWtxv которая 0)( Vxw удовле-
творяет системе тождеств
,),0(),;(),(, Ttwulwvaw
t
v
c v =+
(86)
,0)0(),( =wcv (87)
где
),;,0(),0( 020 VTLTW =
)},,0(,0),(;2,1),(:),({ 1
20 TttbviWvtxvV i
i
===
).0()();( wtuwul v =
Для каждого приближения )(tuu nn = решения )(tu задачи (76)–(81), (6) вве-
дем в рассмотрение следующую сопряженную задачу:
,),(, Ttx
xxt
c
=
−
),,0(,0,0 Ttx
x
==
−
],,0(,0),( Tttb =
),,0(,
][
}{,0][
21
Tt
RR
qq
x
x
+
==
=
= (88)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 89
),,0(,,1,,0][ TtNidx i ===
,,1),,0()),(),;(()( NiTttftduyt
x
iini
dx i
=−−=
=
].,0[,0),( bxTx =
Определение 15. Обобщенным решением начально-краевой задачи (88) при
каждом фиксированном )(tun называется функция ),,0(),( 0 TWtx удовлетво-
ряющая 0)( Vxw системе тождеств
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n =+
− (89)
,0)(),( = Twc (90)
где .)())(),(();(
1
iiin
N
i
in dwtftdywyl −=
=
Выбирая в задаче (89), (90) вместо функции w разность ,1 nn yy −+ с учетом
(83), (84), (90) получаем
=−− +
=
dttdytdytftdyt ininii
T N
i
ni )),(),(())(),(()( 1
0 1
,),0()());();((
00
1 dtttudtulul
T
n
T
n =−= +
т.е.
.),0()()),(),(())(),(()(
0
1
10
dtTtudttdytdytftdyt
T
ininii
N
i
ni
T
=−− +
=
С учетом этого равенства имеем
,)(),0())()(,)((
0
),0(1 2
dttutuyuyfuy
T
TLnnn =−− +
где .)},;({)( 1
N
iinn tduyuy ==
Следовательно,
).,0()(~ ttJ nnun
== (91)
Таким образом, для реализации метода минимальных невязок (8) направле-
ние спуска )(tpn и коэффициент n можем определить с помощью формул
,
),0(
),,0(
2
),0(
2
),0(
2
2
TLn
TLn
nnun
e
tJp
n
=== (92)
где n — решение задачи (89), (90).
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(,
~
Ttxf
x
z
xt
z
c +
=
90 ISSN 0572-2691
),,0(),,0(),0( Tttt
x
z
n =
−
,),0(,,][
),,0(),(),(
21
1
TtxzqRqR
Tttutbz
zz =+=+
=
+−
(93)
.),()0,(
),,0(,,][
210 =
==
xxyxz
Ttxqz
Определение 16. Обобщенным решением начально-краевой задачи (93) назы-
вается функция ),,0(),( TWtxz которая 0)( Vxw удовлетворяет следующей
системе тождеств:
),,0(),;~(),(, Ttwlwzaw
t
z
c n =+
(94)
).,()0)(,( 0 wycwzc = (95)
Решив задачу (94), (95), определим вектор
.)},;({ 1
N
iinn tdzpA == (96)
С учетом (96) для определения (n+1)-го приближения )(1 tun+ решения )(tu мо-
жем использовать метод скорейшего спуска (9). Определив направление спуска
np с помощью формулы (10) и решив задачу вида (94), (95), где вместо );~( wl n
необходимо использовать функционал ),;( wpl n получим npA и используем ме-
тод сопряженных градиентов (10) для нахождения приближения 1+nu решения u.
5. Задача c неоднородным краевым условием третьего рода
Рассмотрим задачу восстановления плотности теплового потока на левом
конце отрезка [0, b] и параметра третьего краевого условия на правом конце этого
отрезка.
Пусть на области ),,0(( 121 == )0),,(2 bb = опреде-
лено параболическое уравнение
.),0(),,(
~
Tttxf
x
y
xt
y
c +
=
(97)
На концах отрезка [0, b] заданы смешанные неоднородные краевые условия
),,0(,0),(1 Ttxtu
x
y
==
− (98)
,),0(,),(2 Ttbxtuy
x
y
=+−=
(99)
где 0.const =
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 91
В точке =x заданы условия сопряжения составного короткого включения
),,0( Tt
,][21 +=+ +− yqRqR yy (100)
.][ =yq (101)
При 0=t имеем начальное условие
].,[],0[),()0,( 0 bxxyxy = (102)
Предположим, что в точках ,,1, Nidi = известны значения температуры
.],0(,,1),(),( TtNitftdy ii == (103)
Определена задача (97)−(102), (6), состоящая в нахождении вектор-функции
,))(),(()( 21 U= tututu минимизирующей функционал (6) при выполнении ра-
венств (97)–(102).
Определение 17. При каждом фиксированном ),0(),0()( 22 TLTLtu =U
обобщенным решением начально-краевой задачи (97)–(102) называется функ-
ция ),,0(),;()( TWtxuyuyy == которая 0)( Vxw удовлетворяет системе
тождеств
),,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c =+
(104)
,0),,()0)(,( 0 == twycwyc (105)
где
)},,0(;2,1),(:),({),;,0(),0( 1
22 TtiWvtxvVVTLTW i
i
===
},2,1),(:)({ 1
20 ==
iWvxvV i
i
),(),(
]][[
),(
210
bwtby
RR
wy
dx
x
w
x
y
wya
b
+
+
+
=
).()0(][),
~
();( 21
21
2
bwuwuww
RR
R
wfwul ++−
+
−
+= +
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
),,0(),(),0(
,),(,
1 Tttut
x
v
tx
x
v
xt
v
c T
=
−
=
),,0(,,2 Ttbxuv
x
v
=+−=
(106)
92 ISSN 0572-2691
].,0[,0)0,(
),,0(,,
][
}{,0][
21
bxxv
Ttx
RR
v
qq vv
=
=
+
==
Определение 18. Обобщенным решением начально-краевой задачи (106)
называется функция ),,0(),( TWtxv которая 0)( Vxw удовлетворяет системе
тождеств
),,0(),;(),(, Ttwulwvaw
t
v
c v =+
(107)
,0)0(),( =wvc (108)
где ).()0();( 21 bwuwuwulv +=
Для каждого приближения )(tuu nn = решения )(tu задачи (97)–(102), (6)
введем в рассмотрение следующую сопряженную задачу:
,),(, Ttx
xxt
c
=
−
),,0(,0,0 Ttx
x
==
−
),,0(,, Ttbx
x
=−=
),,0(,,1,0][ TtNi
idx
==
=
(107)
),,0(,,1)),(),;()(( TtNitftduyt
x
iini
dx i
=−−=
=
),,0(,
][
}{,0][
21
Tt
RR
qq
x
x
+
==
=
=
].,0[,0),( bxTx =
Определение 19. Обобщенным решением начально-краевой задачи (107)
называется функция ),,0(),( TWtx удовлетворяющая 0)( Vxw системе
тождеств
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n =+
− (108)
,0))(,( = Twc (109)
где .)())(),;(();(
1
iiinni
N
i
n dwtftduywyl −=
=
Выбирая в тождестве (108) вместо функции w разность ,1 nn yy −+ с учетом
(104), (105), (109) получаем
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 93
=−− +
=
dttdytdytftdyt ininiini
N
i
T
)),(),(())(),()(( 1
10
.)),(),0(( 21
0
dttbutu
T
+= (109)
Следовательно,
),(~ tJ nun
= (110)
где .)),(),,0(()(~ = tbttn
Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (8) (в опреде-
лении приближения )(1 tun+ решения )(tu задачи (97)–(102), (6)) направление
спуска )(tpn и коэффициент n можем определить с помощью выражений
.
~
),(~
2
),0(
2
),0(
2
2
TLn
TLn
nnun
e
tJp
n
===
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
].,[],0[),()0,(
),,0(,,][
),,0(,,][
),,0(),,(),(),(
),,0(),,0(),0(
,),(,
~
0
21
bxxyxz
Ttxq
TtxzqRqR
Tttbtbztb
x
z
Tttt
x
z
txf
x
z
xt
z
c
z
zz
n
n
T
=
==
=+=+
+−=
=
−
+
=
+−
(111)
Определение 20. Обобщенным решением начально-краевой задачи (111)
называется функция ),,0(),( TWtxz которая 0)( Vxw удовлетворяет следу-
ющей системе тождеств:
),,0(),;~(),(, Ttwlwzaw
t
z
c n =+
(112)
).,()0)(,( 0 wcywzc = (113)
Решив задачу (112), (113), определим вектор
.)},;({ 1
N
iinn tdzpA == (114)
С учетом (114) для определения (n+1)-го приближения )(1 tun+ решения )(tu мо-
жем использовать метод скорейшего спуска (9). Определив направление спуска
94 ISSN 0572-2691
)(tpn с помощью формул (10) и решив задачу (112), (113), где вместо );~( wl n
использован функционал ),;( wpl n получим npA и используем метод сопряжен-
ных градиентов (10) для нахождения приближения 1+nu решения u.
6. Смешанная краевая задача
c неоднородным главным условием сопряжения
Пусть на области 21 = определено параболическое уравнение (97).
На концах отрезка [0, b] заданы неоднородные краевые условия (98), (99).
В точке =x неоднородные условия сопряжения имеют вид
),,0(,][ Tty = (115)
).,0(,][ Ttqy = (116)
При 0=t имеем начальное условие (102) и предполагаем, что в точках ,id
,,1 Ni = известны значения температуры (103).
В результате определена задача (97)−(99), (102), (115), (116), (6), состоящая в
отыскании вектор-функции ),,0(),0())(),(()( 2221 TLTLtututu == U мини-
мизирующей функционал (6) на гильбертовом пространстве ,U при условии вы-
полнения равенств (97)–(99), (102), (115), (116).
Определение 21. При каждом фиксированном U)(tu обобщенным решени-
ем начально-краевой задачи (97)–(99), (102), (115), (116) называется функция
),,0(),;( TWtxuy которая 0)( Vxw удовлетворяет системе тождеств
),,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c =+
(117)
),,()0(),( 0 wycwyc = (118)
где
)},,0(;][][;2,1),(:),({
),;,0(),0(
1
2
2
TtvviWvtxvV
VTLTW
xi
i
====
=
=
,}0][][;2,1),(:)({ 1
20 ====
= xi vviWvxvV
i
),(),(),(
0
bwtbydx
x
w
x
y
wya
l
+
=
).()0(),
~
();( 21 bwuwuwwfwul ++−= +
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
,),(, Ttx
x
v
xt
v
c
=
),,0(),(),0( 1 Tttut
x
v
=
−
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 95
),,0(,,2 Ttbxuv
x
v
=+−=
(119)
].,0[,0)0,(
),,0(,,0][,0][
bxxv
Ttxqv v
=
===
Определение 22. Обобщенным решением начально-краевой задачи (119)
называется функция ),,0(),( 0 TWtxv которая 0)( Vxw удовлетворяет системе
тождеств
),,0(),;(),(, Ttwulwvaw
t
v
c v =+
(120)
,0)0)(,( =wvc (121)
где
)},,0(0][][;2,1),(:),({
),;,0(),0(
1
2
0
0
20
TtvviWvtxvV
VTLTW
xi
i
====
=
=
).()0();( 21 bwuwuwulv +=
Для каждого приближения )(tuu nn = решения )(tu задачи (97)−(99), (102),
(115), (116), (6) введем в рассмотрение следующую сопряженную задачу:
,),(, Ttx
xxt
c
=
−
),,0(,0,0 Ttx
x
==
−
),,0(,, Ttbx
x
=−=
),,0(,0][,0][ Ttq
xx
==
==
(122)
),,0(,,1,0][ TtNi
idx
==
=
),,0(,,1)),(),;()((][ TtNitftduytq iinidx i
=−−=
=
].,0[,0),( bxTx =
Определение 23. Обобщенным решением начально-краевой задачи (122)
называется функция ),,0(),( 0 TWtx удовлетворяющая 0)( Vxw системе
тождеств:
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n =+
− (123)
,0)(),( = Twc (124)
где ).())(),;(()();(
1
iiin
N
i
in dwtftduytwyl −=
=
96 ISSN 0572-2691
Выбирая в тождестве (123) вместо функции w разность ,1 nn yy −+ с учетом
(117), (118), (124) получаем равенство вида (109). Тогда имеем равенство ви-
да (110).
Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (8) (в опреде-
лении приближения )(1 tun+ решения )(tu задачи (97)–(99), (102), (115), (116), (6))
направление спуска )(tpn и коэффициент n определим с помощью выражений
,
~
),(~
2
),0(
2
),0(
2
2
TLn
TLn
nnun
e
tJp
n
===
где ,)),(),,0((~ = tbt nnn ),( txn — решение задачи (123), (124).
Введем в рассмотрение следующую начально-краевую задачу:
].,[],0[),()0,(
),,0(,,][,][
),,0(),,(),(),(
),,0(),,0(),0(
,),(,
~
0 bxxyxz
Ttxqz
Tttbtbztb
x
z
Tttt
x
z
txf
x
z
xt
z
c
z
n
n
T
=
===
+−=
=
−
+
=
(125)
Определение 24. Обобщенным решением начально-краевой задачи (125)
называется функция ),,0(),( TWtxz которая 0)( Vxw удовлетворяет следу-
ющей системе тождеств:
),,0(),;~(),(, Ttwlwzaw
t
z
c n =+
(126)
).,()0)(,( 0 wycwzc = (127)
Решив задачу (126), (127), определим вектор
.)},;({ 1
N
iinn tdzpA == (128)
С учетом (128) для определения (n + 1)-го приближения )(1 tun+ решения )(tu за-
дачи (97)–(99), (102), (115), (116), (6) можем использовать метод скорейшего спус-
ка (9).
Определив направление спуска )(tpn с помощью формул (10) и решив зада-
чу (126), (127), где вместо );~( wl n использован функционал ),;( wpl n получим
npA и используем метод сопряженных градиентов (10) для нахождения прибли-
жения 1+nu решения u.
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 97
І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека
РОЗВ’ЯЗАННЯ ГРАНИЧНИХ
ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
ДЛЯ СКЛАДЕНОГО СТЕРЖНЯ
Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних ме-
тодів О.М. Аліфанова для розв’язання обернених задач теплопровідності. В ос-
нову запропонованих алгоритмів покладено прямі і спряжені задачі в слабких
постановках. Цей підхід застосовується для багатокомпонентних тіл.
I.V. Sergienko, V.S. Deineka
SOLUTION OF INVERSE BOUNDARY
THERMAL CONDUCTIVITY PROBLEMS
FOR COMPOUND PIVOT
The effective calculation algorithms of realization of O.M. Alifanov’s gradient meth-
od for solution of thermal conduction inverse problems are proposed. The proposed
algorithms are based on a direct and conjugate problems in weak formulations. The
proposed approach was disseminated on multicomponent bodies.
1. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов: Введение
в теорию обратных задач теплообмена. — М. : Машиностроение, 1979. — 216 с.
2. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. — М. : Машиностроение, 1988. — 280 с.
3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румынцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект-
ных задач. — М. : Наука, 1988. — 288 с.
4. Su J., Silva Neto A.J. Heat sourse estimation with the conjugate gradient method in inverse linear
diffusive problems // J. Braz. Soc. Mech. Sci. — 2001. — 23, N 3. — P. 321−334.
5. Wand J., Silva Neto A.J., Moura Neto F.D., Su J. Function estimation with Alifanov’s iterative
regularization method in linear and nonlinear heat conduction // Appl. Math. Model. — 2002. —
26, N 11. — P. 1093−1111.
6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с.
7. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation
conditions. — N-Y. : Kluwer Akadem. Publ., 2005. — 400 p.
8. Дейнека В.С. Оптимальное управление эллиптическими, многокомпонентными распреде-
ленными системами. — Киев : Наук. думка, 2005. — 506 с.
9. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными
производными. — М. : Мир, 1972. — 414 с.
10. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М. : Высш. шк., 1967. — 599 с.
11. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах. —
Киев : Наук. думка, 2001. — 606 с.
Получено 15.01.2007
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-206975 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:21:13Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. 2025-09-27T09:10:24Z 2007 Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 75-97. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206975 536.24 Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів О.М. Аліфанова для розв’язання обернених задач теплопровідності. В основу запропонованих алгоритмів покладено прямі і спряжені задачі в слабких постановках. Цей підхід застосовується для багатокомпонентних тіл. The effective calculation algorithms of realization of O.M. Alifanov’s gradient method for solution of thermal conduction inverse problems are proposed. The proposed algorithms are based on a direct and conjugate problems in weak formulations. The proposed approach was disseminated on multicomponent bodies. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление системами с распределенными параметрами Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня Розв’язання граничних обернених задач теплопровідності для складеного стержня Solution of inverse boundary thermal conductivity problems for compound pivot Article published earlier |
| spellingShingle | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Управление системами с распределенными параметрами |
| title | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня |
| title_alt | Розв’язання граничних обернених задач теплопровідності для складеного стержня Solution of inverse boundary thermal conductivity problems for compound pivot |
| title_full | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня |
| title_fullStr | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня |
| title_full_unstemmed | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня |
| title_short | Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня |
| title_sort | решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня |
| topic | Управление системами с распределенными параметрами |
| topic_facet | Управление системами с распределенными параметрами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206975 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv rešeniegraničnyhobratnyhzadačteploprovodnostidlâsostavnogosteržnâ AT deinekavs rešeniegraničnyhobratnyhzadačteploprovodnostidlâsostavnogosteržnâ AT sergienkoiv rozvâzannâgraničnihobernenihzadačteploprovídnostídlâskladenogosteržnâ AT deinekavs rozvâzannâgraničnihobernenihzadačteploprovídnostídlâskladenogosteržnâ AT sergienkoiv solutionofinverseboundarythermalconductivityproblemsforcompoundpivot AT deinekavs solutionofinverseboundarythermalconductivityproblemsforcompoundpivot |