О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных
Розглянуто існуючі підходи до моделювання та дослідження кісткової тканини. Представлено модель взаємодії клітинних елементів в процесі реконструкції кісткової тканини на основі нелінійних рівнянь в частинних похідних, в якій враховано такі чинники: популяції остеоцитів, остеобластів, остеокластів...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207007 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных / В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 140-148. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860245928878800896 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. |
| citation_txt | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных / В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 140-148. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто існуючі підходи до моделювання та дослідження кісткової тканини. Представлено модель взаємодії клітинних елементів в процесі реконструкції кісткової тканини на основі нелінійних рівнянь в частинних похідних, в якій враховано такі чинники: популяції остеоцитів, остеобластів, остеокластів та щільність матриксу. За допомогою програмного середовища FEMLAB здійснено кількісне дослідження моделі реконструкції кісткової тканини. Наведено стаціонарний розв’язок моделі.
Existing approaches to investigating and modeling bone tissue are considered. The model of bone tissue remodeling оn basis of nonlinear partial differential equations is presented. In this model there are taken into account the following factors — osteocytes, osteoblasts and osteoclasts populations, matrix density. Quantitative investigation of bone tissue remodeling is also fulfilled with numerical integration using FEMLAB software. Stationary solutions are shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:36:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.П. МАРЦЕНЮК, Д.В. ВАКУЛЕНКО, 2007
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 140
УДК 519.876.2:611.018.4
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко
О МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КЛЕТОЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ РЕКОНСТРУКЦИИ
КОСТНОЙ ТКАНИ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Математическое моделирование костной ткани начало активно развиваться
последние 40 лет по таким основным направлениям [1]:
— уравнения, которые устанавливают связь между состоянием костной тка-
ни и ее реакцией на механические нагрузки;
— уравнения логистического типа, математические модели основываются на
предыдущей статистической оценке полученных денситограмм и исследованиях
относительно характера изменения минеральной плотности костной ткани, воз-
раста, геометрических размеров кости [2];
— уравнения, которые устанавливают связь между активностью функции
ремоделирования костной ткани и механической нагрузкой [3];
— описание гомеостаза кальция в организме [4];
— модель роста костной ткани в области диафиза, которая базируется на
уравнениях сохранения массы [5];
— взаимосвязь вектора поляризации на поверхности кости к скорости ее ро-
ста [6];
— модель метаболизма щелочно-земельных элементов, которая учитывает
изменения структуры костной ткани и неравномерность распределения элементов
в ней [7].
Модели взаимодействия клеточных элементов костной ткани на основе диф-
ференциальных уравнений авторам не известны. В работе [1] представлена мо-
дель реконструкции костной ткани на основе обычных дифференциальных урав-
нений, описывающая процессы взаимодействия клеток в одном простейшем кост-
ном элементе.
Цель настоящей работы — построить модель реконструкции костной ткани
на основе нелинейных уравнений в частных производных, что позволит описать
процессы реконструкции связанных между собой костных элементов.
Костная ткань — это динамическая структура, изменения в которой происхо-
дят неоднородно, зависят от расположения, нагрузки, степени циркуляции крови,
действия других факторов в исследуемой области костной ткани.
Для описания модели реконструкции костной ткани можно воспользоваться
уравнением диффузии с внутренним источником: ,312 QQQ += где 1Q — коли-
чество элементов, которые попадают в единичный объем V в единицу времени t
извне, 2Q — количество элементов, необходимое для изменения концентрации
элементов в единичном объеме V в единицу времени t, 3Q — количество элемен-
тов, которые появляются в единичном объеме V в единицу времени t в результате
их взаимодействия между собой.
Построение модели
Будем считать, что основные действующие факторы реконструкции кост-
ной ткани — это концентрация остеоцитов, остеобластов, остеокластов (кле-
ток /см
3
) и плотность матрикса (г/см
3
).
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 141
Рассмотрим произвольную область костной ткани, ограниченную некоторой
замкнутой поверхностью S [8].
Каждую точку p из G будем характеризовать координатами == ),,( zyxp
).,,( 321 xxx= Процессы распространения клеток нестационарны.
Введем функции :),(),,(),,( tpKtpBtpC концентрации остеоцитов, остеоб-
ластов, остеокластов соответственно (клеток /см
3
) и ),( tpM — плотность мат-
рикса (г /см
3
), которые имеет тело G в точке p в момент времени t.
Предположим, имеется костная ткань объемом V, )(),(),( VQVQVQ RBC —
количество остеоцитов, остеобластов, остеокластов соответственно, а )(VQM —
масса матрикса в объеме V. Тогда
.
)(
lim)(,
)(
lim)(
,
)(
lim)(,
)(
lim)(
00
00
V
VQ
pM
V
VQ
pK
V
VQ
pB
V
VQ
pC
M
V
K
V
B
V
C
V
→→
→→
==
==
Пусть )( pDK — коэффициенты диффузии для остеобластов и остеокластов
в точке p. Коэффициент диффузии в данном случае равняется количеству диф-
фундирующих клеток (остеобластов и остеокластов) в область V через единичную
площадку и прямо пропорционален градиенту концентрации этих клеток.
Также введем ),( tpf — интенсивность взаимодействия клеточных элемен-
тов с матриксом внутри тела G.
Количество клеточных элементов B и K: остеобластов и остеокластов соот-
ветственно, попадающих в единичный объем костной ткани в единицу времени t
через площадку ,dS равняется: ,
1
dS
n
B
DdQ BB
= dS
n
K
DdQ KK
=
1
, где n
—
внешняя по отношению к G нормаль (закон Нернста) [9]. Если ,0dQ то клеточ-
ные элементы мигрируют из костного элемента.
Вычислим количество клеточных элементов
11
, KB QQ (остеобластов, остео-
кластов), попадающих в G за время с 1t по 2t через всю поверхность S, а именно:
.,
,,
21
21
2
1
2
2
1
2
ttddtdS
n
K
DQ
ttdtdS
n
B
DQ
t
t S
KK
t
t S
BB
=
=
(1)
За время с 1t по 2t в произвольной точке p для участка костной ткани объемом
G концентрация клеточных элементов изменится на ),,(),( 12 tpCtpCC −=
),,(),( 12 tpBtpBB −= ),,(),( 12 tpKtpKK −= а плотность матрикса — на
).,(),( 12 tpMtpMM −=
Костная ткань неоднородна, поэтому введем коэффициенты пористости для
матрикса )(pCM (отношение объема без пор к общему объему) и объемные ко-
эффициенты клеточных элементов (отношение объема клеток к общему объему)
)(),(),( pCpCpC KBC в точке p. Пусть )(),(),( ppp KBC — плотность кле-
ток и матрикса )(pM в точке p:
142 ISSN 0572-2691
,)),(),()(()( 12
2
1
1
dtdGtpCtpCppCQ C
t
t G
CC −= ;21 tt
;,)),(),()(()(
;,)),(),()(()(
2112
2112
2
1
1
2
1
1
ttdtdGtpCtpKppCQ
ttdtdGtpCtpBppCQ
K
t
t G
KK
B
t
t G
BB
−=
−=
(2)
,)),(),()(()( 12
2
1
1
dtdGtpCtpMppCQ M
t
t G
MM −= .21 tt
В костном элементе формирование костной ткани происходит с помощью
остеоцитов C, которые поддерживают структурную целостность минерализован-
ного матрикса и их количество зависит от прироста остеоцитов C за интервал
времени t в области V за счет перехода остеобласта в остеоцит и числа остеоци-
тов, которые умирают естественной смертью за интервал времени t в области V.
Определим количество остеоцитов
1CQ в области V:
,)(
2
1
3
dtdGCdBQ
t
t G
CBCC −= .21 tt (3)
Образование костной ткани происходит с помощью остеобластов, число ко-
торых растет за интервал времени t за счет их размножения и попадания в
область V. Количество остеобластов B уменьшается в результате старения за ин-
тервал времени t в области V и числа остеобластов B, занятых в формирова-
нии матрикса, количество остеобластов B зависит от изменения плотности мат-
рикса M за интервал времени t в области V. Определим количество остеобла-
стов
1BQ в области V:
,)(
2
1
3
dtdGMBBdBQ
t
t G
BMBBB +−= .21 tt (4)
Баланс числа остеокластов, которые растворяют костную ткань, зависит от
прироста остеокластов за интервал времени t за счет их размножения и попа-
дания в область V, уменьшение числа остеокластов C в интервале времени t в
области V — за счет старения и числа остеокластов, занятых в рассасывании
матрикса. При этом баланс числа остеокластов зависит от изменения плотности
матрикса M за интервал времени t в области V. Определим количество остео-
кластов
1KQ в области V:
,)(
2
1
3
dtdGMKKdKQ
t
t G
KMKKK +−= .21 tt (5)
Матрикс костной ткани является «органом-мишенью» действия клеточных
элементов и других факторов. Масса матрикса зависит от взаимодействия следу-
ющих элементов: остеоцитов C за интервал времени t в области V, образования
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 143
матрикса M остеобластов B в зависимости от плотности за интервал времени t в
области V, самопроизвольного разрушения матрикса M за интервал времени t в
области V и разрушения матрикса M остеокластами K в зависимости от плотности
за интервал времени t в области V и его масса
3MQ в области V будет:
,)(
2
1
3
dtdGMKkMkBMkCkQ
t
t G
KMMBCM −−+= 21 tt . (6)
Приведем уравнение баланса количества клеточных элементов и массы мат-
рикса:
.,
,,
312312
312312
MMMKKK
BBBCCC
QQQQQQ
QQQQQQ
+=+=
+=+=
(7)
Подставив полученные значения, будем иметь:
,)(
),(
)()(
2
1
2
1
dtdGCdBdtdG
t
tpC
ppC
t
t G
CBCC
t
t G
C −=
,)(
),(
)()(
2
1
2
1
2
1
dtdGMBBdBdtdS
n
B
D
dtdG
t
tpB
ppC
t
t G
BMBB
t
t S
B
B
t
t G
B
+−+
=
=
=
dtdG
t
tpK
ppC K
t
t G
K
),(
)()(
2
1
(8)
,)(
2
1
2
1
dtdGMKKdKdtdS
n
K
D
t
t G
KMKK
t
t S
K +−+
=
.)(
),(
)()(
2
1
2
1
dtdGMKkMkBMkCk
dtdG
t
tpM
ppC
t
t G
KMMBC
M
t
t G
M
−−+=
=
Пусть имеется векторное поле для остеобластов и остеокластов: ),,( zyxB
),(1 GL ).(),,( 1 GNzyxK
Применим формулу Остроградского–Гаусса
,div),( =
GS
dGAdsnA
где GLzyxA 1),,(
— векторное поле элементов,
которые попадают в произвольную область G для ,dS
n
B
D
S
B
dS
n
K
D
S
K
с (8). Тогда ,div),( =
GS
dGBdsnB
.div),( =
GS
dGKdsnK
144 ISSN 0572-2691
Запишем ,),grad(
n
B
DnBD BB
= .),grad(
n
K
DnBD BK
= По формуле
Остроградского–Гаусса приходим к следующей системе уравнений:
,)(
),(
)()(
2
1
2
1
dtdGCdBdtdG
t
tpC
ppC
t
t G
CCBC
t
t G
C −=
,)()grad(div
),(
)()(
2
1
2
1
2
1
dtdGMBBdBdtdSBD
dtdG
t
tpB
ppC
t
t G
BMBB
t
t S
B
B
t
t G
B
+−+=
=
=
dtdG
t
tpK
ppC K
t
t G
K
),(
)()(
2
1
(9)
,)()grad(div
2
1
2
1
dtdGMKKdKdtdSKD
t
t G
KMKK
t
t S
K +−+=
.)(
),(
)()(
2
1
2
1
dtdGMKkMkBMkCk
dtdG
t
tpM
ppC
t
t G
KMMBC
M
t
t G
M
−−+=
=
Имеем:
,0)(
),(
)()(
2
1
=
−−
dtdGCdB
t
tpC
ppC
t
t G
CBCCC
−−
)grad(div
),(
)()(
2
1
BD
t
tpB
ppC BBB
G
t
t
−−
=
+−−
)grad(div
),(
)()(
,0)(
2
1
KD
t
tpK
ppC
dtdGMBBdB
KKK
G
t
t
BMBB
(10)
,0)( =
+−− dtdGMKKdK KMKK
.0)(
),(
)()(
2
1
=
−−+−
dtdGMKkMkBMkCk
t
tpM
ppC
t
t G
KMMBCMM
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 145
Поскольку 21, tt произвольные, то равенство (10) возможно, когда подынтеграль-
ная функция равна нулю. Таким образом, приходим к следующей системе диффе-
ренциальных уравнений реконструкции костной ткани на основе уравнений в
частных производных:
,)()( CdB
t
C
ppC CBCCC −=
,)grad(div)()(
,)grad(div)()(
MKKdKKD
t
K
ppC
MBBdBBD
t
B
ppC
KMKKKKK
BMBBBBB
+−=−
+−=−
(11)
.)()( MKkMkBMkCk
t
M
ppC KMMBCMM −−+=
Для системы уравнений зададим начальные условия. Предположим, мы рас-
сматриваем интервал времени .0 Ttt ),(),( 0
0 pCtpC = ),(),( 0
0 pKtpK =
),(),( 0
0 pBtpB = ),(),( 0
0 pMtpM = где ),(0 pC ),(0 pB )(0 pK — некоторые
функции концентрации остеоцитов, остеобластов, остеокластов соответственно,
)(0 pM — плотность матрикса. Считаем, что ,Gp S — граница области G. На
границе S необходимо задать предельные условия первого рода области V :
),,(),( tpCtpC S= ),(),( tpBtpB S= при .Sp
Численный эксперимент
С помощью программной среды FEMLAB осуществлено количественное ис-
следование модели реконструкции костной ткани на основе уравнений в частных
производных в случае, когда:
,
смсут
клeтокг
78,0
3
= BC ,
смсут
клeтокг
8,0
3
=Cd ,
смсут
клeтокг
21
3
=B
,
смсут
клeтокг
22
3
=Bd ,
смсут
клeтокг
47,0
6
2
=BM ,
смсут
клeтокг
10000
3
=K
,
смсут
клeтокг
1
3
=Kd ,
смсут
клeтокг
10
6
2
=KM ,
смсут
клeтокг
12,0
6
2
=Bk
,
смсут
клeтокг
12,0
3
=Mk .
смсут
клeтокг
12,0
6
2
=KMk
Начальными условиями при 0=t выбирали результаты исследования па-
циента Т 16.05.01. Было проведено денситометрическое исследование пояс-
ничного отдела позвоночника (рис. 1) и определялись маркеры крови. Установ-
лена связь между градиентом цвета и плотностью матрикса (г/см
3
) в позвонке
L3 (рис. 2). Для плотности матрикса (г/см
3
) в позвонке L3 начальные условия
определяли согласно рис. 2. Для остеоцитов, остеобластов и остеокластов в ка-
146 ISSN 0572-2691
честве начальных условий принимались значения маркеров крови в день иссле-
дования 42,20 =C (клеток/см
3
), 09,10 =B (клеток/см
3
), 0K = 1,44 (клеток/см
3
).
L1
L2
L3
L4
Рис. 1
Граничными условиями S области V при Sxxx ),,( 321 принимались: для
матрикса 3,0=sM (г/см
3
), остеоцитов 42,1=sC (клеток/см
3
), остеобластов =sB
59,0= (клеток/см
3
) и остеокластов 64,0=sK (клеток/см
3
). На рис. 3 приведены
результаты расчетов для значений плотности матрикса через 161 день, именно
в этот день пациент проходил обследование (рис. 4). На рис. 5–7 показаны ре-
зультаты расчетов для остеоцитов, остеобластов и остеокластов соответственно.
Рис. 3
−100 0 100 200 300 400 500 600
−100
0
100
200
300
400
Рис. 5
Рис. 2
−100 0 100 200 300 400 500 600
−100
0
100
200
300
400
Рис. 4
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 147
−100 0 100 200 300 400 500 600
−100
0
100
200
300
400
Рис. 7
Выводы
В настоящее время нет технологий для установления концентрации клеточ-
ных элементов в определенной костной ткани, поэтому для моделирования вы-
браны непрямые данные — маркеры крови, которые сейчас широко используются
в медицине.
В работе построена модель взаимодействия клеточных элементов в процессе
реконструкции костной ткани на основе четырех нелинейных уравнений в част-
ных производных. С помощью программной среды FEMLAB осуществлено коли-
чественное исследование модели реконструкции костной ткани на основе уравне-
ний в частных производных.
Получены результаты расчета концентрации остеокластов в позвонке L3
(рис. 7). Величины концентрации остеокластов в исследуемой области равны ну-
лю, это говорит о стационарном состоянии модели. С биологической точки зрения
это значит, что костная ткань находится в состоянии гомеостаза [1], т.е. процесс
ремоделирования остановлен.
Перспективой данной работы есть исследование модели на стойкость реше-
ний на основе уравнений в частных производных.
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко
ПРО МОДЕЛЬ ВЗАЄМОДІЇ КЛІТИННИХ
ЕЛЕМЕНТІВ В ПРОЦЕСІ РЕКОНСТРУКЦІЇ
КІСТКОВОЇ ТКАНИНИ НА ОСНОВІ
НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ
Розглянуто існуючі підходи до моделювання та дослідження кісткової тканини.
Представлено модель взаємодії клітинних елементів в процесі реконструкції
кісткової тканини на основі нелінійних рівнянь в частинних похідних, в якій
враховано такі чинники: популяції остеоцитів, остеобластів, остеокластів та
щільність матриксу. За допомогою програмного середовища FEMLAB здійсне-
но кількісне дослідження моделі реконструкції кісткової тканини. Наведено
стаціонарний розв’язок моделі.
−100 0 100 200 300 400 500 600
−100
0
100
200
300
400
Рис. 6
148 ISSN 0572-2691
V.P. Martsenyuk, D.V. Vakulеnkо
ON MODEL OF INTERACTION OF CELL
ELEMENTS AT BONE TISSUE REMODELING
ОN THE BASIS OF NONLINEAR PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Existing approaches to investigating and modeling bone tissue are considered.
The model of bone tissue remodeling оn basis of nonlinear partial differential equa-
tions is presented. In this model there are taken into account the following factors —
osteocytes, osteoblasts and osteoclasts populations, matrix density. Quantitative in-
vestigation of bone tissue remodeling is also fulfilled with numerical integration
using FEMLAB software. Stationary solutions are shown.
1. Марценюк В.П., Вакуленко Д.В. О модели взаимодействия клеточных элементов в про-
цессе реконструкции костной ткани // Проблемы управления и информатики. — 2007. —
№ 2. — C. 145–156.
2. Проблеми остеопорозу / За ред. проф. Л.Я. Ковальчука. — Тернопіль : Укрмедкнига,
2002. — 446 с.
3. Cowin S.C., Hegedus D.H. Bone remodeling I: theory of adaptive elasticity // J. of Elasticity. —
1976. — 6, N 3. — P. 313–326.
4. Raposo J.F., Sobrinho L.G., Ferreira H.G. A minimal mathematical model of calcium homeosta-
sis // J. of Clinical Endocrinology & Metabolism. — 2002. — 87, N 9. — P. 4330–4340.
5. Differential growth by growth plates as а function of multiple parameters of chondrocytic kine-
tics / N.J. Wilsman, C.E. Farnum, E.M. Leiferman, M. Fry, C. Barreto // J. Orthop. Res. —
1996. — 14. — P. 926–936.
6. Gjelsvik A. Bone remodeling and piezoelectricity-1 // J. Biomechanics. — 1973. — 6. —
P. 69–77.
7. Зайцев Ю.А. Структура модели метаболизма щелочно-земельных элементов // Радиобиоло-
гия. — 1988. — 28, вып. 6. — С. 852–856.
8. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. — М. :
Наука, 1982. — 264 с.
9. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика : Теория равновесных систем. —
М. : Изд-во МГУ, 1991. — 227 c.
Получено 05.03.2007
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207007 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:36:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. 2025-09-27T15:32:00Z 2007 О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных / В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 140-148. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207007 519.876.2:611.018.4 Розглянуто існуючі підходи до моделювання та дослідження кісткової тканини. Представлено модель взаємодії клітинних елементів в процесі реконструкції кісткової тканини на основі нелінійних рівнянь в частинних похідних, в якій враховано такі чинники: популяції остеоцитів, остеобластів, остеокластів та щільність матриксу. За допомогою програмного середовища FEMLAB здійснено кількісне дослідження моделі реконструкції кісткової тканини. Наведено стаціонарний розв’язок моделі. Existing approaches to investigating and modeling bone tissue are considered. The model of bone tissue remodeling оn basis of nonlinear partial differential equations is presented. In this model there are taken into account the following factors — osteocytes, osteoblasts and osteoclasts populations, matrix density. Quantitative investigation of bone tissue remodeling is also fulfilled with numerical integration using FEMLAB software. Stationary solutions are shown. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление в биологических и природных системах О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных Про модель взаємодії клітинних елементів в процесі реконструкції кісткової тканини на основі нелінійних рівнянь в частинних похідних On model of interaction of cell elements at bone tissue remodeling оn the basis of nonlinear partial differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. Управление в биологических и природных системах |
| title | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных |
| title_alt | Про модель взаємодії клітинних елементів в процесі реконструкції кісткової тканини на основі нелінійних рівнянь в частинних похідних On model of interaction of cell elements at bone tissue remodeling оn the basis of nonlinear partial differential equations |
| title_full | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных |
| title_fullStr | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных |
| title_full_unstemmed | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных |
| title_short | О модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных |
| title_sort | о модели взаимодействия клеточных элементов в процессе реконструкции костной ткани на основе нелинейных уравнений в частных производных |
| topic | Управление в биологических и природных системах |
| topic_facet | Управление в биологических и природных системах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207007 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp omodelivzaimodeistviâkletočnyhélementovvprocesserekonstrukciikostnoitkaninaosnovenelineinyhuravneniivčastnyhproizvodnyh AT vakulenkodv omodelivzaimodeistviâkletočnyhélementovvprocesserekonstrukciikostnoitkaninaosnovenelineinyhuravneniivčastnyhproizvodnyh AT marcenûkvp promodelʹvzaêmodííklítinnihelementívvprocesírekonstrukcííkístkovoítkanininaosnovínelíníinihrívnânʹvčastinnihpohídnih AT vakulenkodv promodelʹvzaêmodííklítinnihelementívvprocesírekonstrukcííkístkovoítkanininaosnovínelíníinihrívnânʹvčastinnihpohídnih AT marcenûkvp onmodelofinteractionofcellelementsatbonetissueremodelingonthebasisofnonlinearpartialdifferentialequations AT vakulenkodv onmodelofinteractionofcellelementsatbonetissueremodelingonthebasisofnonlinearpartialdifferentialequations |