Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах
На основі теорії оптимального керування побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач дифузії однокомпонентної речовини в нанопористому середовищі. Наведено результати ідентифікації коефіцієнта дифузії для нанопористих складових. Exp...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207290 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 12–25. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860248341571436544 |
|---|---|
| author | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. |
| author_facet | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. |
| citation_txt | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 12–25. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | На основі теорії оптимального керування побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач дифузії однокомпонентної речовини в нанопористому середовищі. Наведено результати ідентифікації коефіцієнта дифузії для нанопористих складових.
Explicit expressions of the functional-residuals gradients for gradient methods of identification of parameters of single-component substance diffusion in nanoporous medium problems are constructed on the basis of optimal control theory. Results of identification of diffusion coefficient for nanoporous components are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:39:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК, Д.М. МИХАЛИК, 2011
12 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.6
В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ
ПАРАМЕТРОВ ОДНОКОМПОНЕНТНОГО
АДСОРБЦИОННОГО МАССОПЕРЕНОСА
В МИКРОПОРИСТЫХ КАТАЛИТИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Введение. Управление научным экспериментом и анализом состояния слож-
ных физических объектов, к которым можно отнести системы адсорбционного
массопереноса в нанопористых средах (цеолитах), базируется на современных
разработках в области системного анализа и математического моделирования.
Цеолиты, на сегодня широко используемые в различных областях (медицина,
нефтехимия, катализ, разделения веществ и т.д.), представляют собой многоуров-
невую систему пор, из которых можно выделить две ключевые подсистемы:
систему микро- и нанопор с высокой степенью адсорбционной емкости и низкой
степенью диффузного проникновения (intraparticle space) и систему макропор (пу-
стот между частицами среды), которая характеризуется низким уровнем вмести-
тельности и высокой скоростью проникновения (interparticle space) [1–5].
Вопросы математического моделирования двухуровневого адсорбционного
массопереноса в каталитических средах частиц микропористой структуры и по-
строения решений соответственных математических моделей рассматривались
в предыдущих работах авторов [6–12]. Однако важным остается вопрос идентифи-
кации внутренних кинетических параметров процесса, которые являются опреде-
ляющими для его течения и могут стать основой для разработки новых технологий.
Цель данной работы — построенние градиент-процедур идентификации па-
раметров внутренней кинетики переноса и получение распределений значений
коэффициентов диффузии для внутричастичного массопереноса в пористых сре-
дах на основе разработанной теории оптимального управления состояниями
сложных систем [13, 14] с использованием математических моделей адсорбцион-
ного массопереноса в неоднородних нанопористых средах, полученных для них
аналитических и численных решений [10–12], результатов экспериментальных
исследований [5, 6].
Задача адсорбционного массопереноса. Математическую модель однокомпо-
нентного адсорбционного массопереноса можно описать с помощью следующей
начально-краевой задачи: построить ограниченное в области ),,0(,0>{ RrtI
);,( 1
1
1
mm
n
m
llz
};0 10 lll n решение системы уравнений вида
),,()(0,),(
,
ε
ε1(3
1
intra
inter
)inter
2
2
inter
mmmT
Rr
mmm
llTzt
r
q
R
D
z
c
D
t
c m
m
(1)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 2 13
),,0(,),,0(,
2
2
2
intra TtzRr
r
q
rr
q
D
t
q
m
mmm
m
(2)
с нулевыми начальными условиями
,),,0(,0),,(,,0),(
00 mtmmtm zRrzrtqzztc
(3)
краевыми условиями
,1+1,=,),,(),,(,),(
1
1 nmzztcKzrtqcztc mmmRrmlzn
n
(4)
,),,0(,0
),,(
,0),(
00
1
m
r
m
z
zTt
r
zrtq
zt
z
c
(5)
и условиями контакта [15–17] по координате z
.,1,0),(),(
,0)],(),([
1interinter
1
1
nkztc
z
Dztc
z
D
ztcztc
k
kkk
kk
lz
k
lzk
(6)
Решение задачи. Введем в области ][0,][0, RTI mm равномерную орто-
гональную сетку ;,1,;,1,:),,(* MizizNktktrztI ikijikm
,rjrij
L
R
r
M
ll
z
N
T
tLj
mm
,,;,1
1
и аппроксимируем уравнения систе-
мы (1)–(6) по модифицированной разностной схеме Кранка–Николсона (где N,
M, L — параметры разбиения области, XZt ,, — шаги сетки по пере-
менным t, Z, r соответственно, ))1,1 nm [18]:
,][
2
1
2
1
22
2
1
11
22
111
2
inter
1
22
1111
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
iLiL
iLiLiLiL
iiiiiiii
NN
X
NN
X
NN
Z
CCC
Z
CCCD
t
CC
(7)
.
)(
2
)(
2
2R 22
111
2
intra
1
1111
X
NNN
X
NNN
D
t
NN k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m ijijijijijijijij
(8)
Здесь k
mi
C — концентрация для i-го узла k-го временнóго слоя в m-м сегменте
междучастичного пространства среды;
k
mij
N — концентрация для j-го узла k-го
временнóго слоя внутричастичного пространства в m-м сегменте среды;
( ).
X
N
Q m
m
С помощью алгебраических преобразований система (7), (8) приводится к виду
,111
11
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
iiii
fCbCdCa
(9)
,111
11
q
m
k
m
q
m
k
m
q
m
k
m
q
m
ijijijij
fNbNdNa
(10)
14 ISSN 0572-2691
где
,,,, 2121 mmmm
q
m
c
m
q
m
c
m bbaa
,)21( 1m
c
md ),21( 2m
q
md
,
2)(
,
2)( 2
intra
222
inter
21
R
D
X
tD
Z
t m
m
m
m
,)]())(1[(
22
111 k
m
k
m
k
m
k
mm
k
m
iLiLiLiL
i
NNNNx
x
t
N
,)2(
1
1
11
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
c
m i
iiiimi
NCCCCf
.)2(
11
2
k
m
k
m
k
m
k
m
q
m iijijijmij
NNNNf
Для отыскания значений концентрации междучастичного и внутричастично-
го пространства для (k 1)-го временнóго слоя m-го сегмента неоднородной ката-
литической среды по известным значениям концентраций на k-м слое необходимо
решить систему уравнений (9), (10) с помощью алгоритма Томаса или метода
прогонки [19, 20].
Значение концентрации в i- и j-м узлах (k 1)-го временнóго слоя имеет вид
., 1111
11
q
m
k
m
q
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
m ijijijijiiii
NNCC
(11)
Значения коэффициентов c
m
c
m ii
, и
q
m
q
m ijij
, определяем при прямом ходе
алгоритмом Томаса по формулам:
.,,,
,,,,
11
1
11
11
1
11
1
1
1
1
11
1
q
m
q
m
q
m
q
m
q
mq
mq
m
q
m
q
m
q
mq
mq
m
q
mq
mq
m
q
m
q
mq
m
c
m
c
m
c
m
c
m
c
m
mc
m
c
m
c
m
c
mc
mc
c
c
c
cc
c
da
f
da
b
a
f
d
ab
da
f
da
b
a
f
d
ab
ij
jj
ij
ij
ij
i
ii
i
ii
i
i
i
(12)
Концентрации в последних узлах слоя в соответствии с краевыми условиями
задачи равны:
.,
1
1
1
1
1
1
111
11111
1 q
m
q
m
q
m
k
m
q
m
q
m
q
m
q
mk
m
nnn
nnnnk
n
da
Cbaf
N
da
baf
C
iL
iiLiL
iL
MMM
MMMM
M
(13)
Для обеспечения взаимосвязи между отдельными сегментами неоднородной
среды из условия контакта (6) задачи получены выражения для вычисления зна-
чений коэффициентов для следующего (m 1)-го сегмента среды по значениям
коэффициентов предыдущего m-го сегмента:
.,
1
1
1
1
11
1
1
1
1
11
1
1
11 c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
c
mc
mc
m
k
m
c
m
c
m
c
mc
m
da
af
da
ab
(14)
Следовательно, при реализации алгоритма построения численного решения
математической модели адсорбционного массопереноса в неоднородной катали-
тической среде частиц микропористой структуры для вычисления значений кон-
центраций для узлов (k 1)-го временнóго слоя применяется метод прогонки
к системам уравнений всех n сегментов среды одновременно, и для вычисления
коэффициентов при прямом ходе используются формулы (12), (14), а при обрат-
ном — формулы (13), (11).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 2 15
Выбор функционала-невязки. Считаем, что коэффициенты диффузии ,interm
D
m
Dintra задачи (1)–(6) неизвестны, но на поверхностях известны следы решений
(концентраций):
,),,(,),(),(
ztgztqztfztc mmmm (15)
где
R
mm drzrtq
R
ztq
0
),,(
1
),( — усредненное значение концентрации диффун-
дирующей компоненты в микропорах частицы, сосредоточенной в точке с коор-
динатой .2/Rr
Отсюда получаем задачу (1)–(6), (15), заключающуюся в определении пара-
метров ,, interintra DDDD где },0),(:),({
vCvztvD m
m
при которых
решение ),( mm qc задачи (1)–(6) удовлетворяет равенствам (15).
Функционал-невязку, определяющий величину отклонения искомого реше-
ния от его следов на поверхности Оz j, запишем в виде [21, 22]
1
1 0
2
)(intrainterintrainter
2
),,,((
2
1
),(
m
m
T
Lmm fDDzcDDJ
mmmm
dgDDzq
Lmm mm
)),,,(
2
)(intrainter
2
, (16)
где
d
L
22
)(2
— квадрат нормы. В данном случае .),(
)(2
zL
zt
Следуя [16, 17], на основе задачи (1)–(6), (15) при необходимости восстанов-
ления лишь параметров диффузии
m
Dintra микрочастиц т-й составляющей сло-
истой нанопористой среды получаем следующую задачу идентификации:
.),,0(,0
,),(,,),(,0
,),(),,0(,
2
0
0
2
2
intra
mt
mTmmRrmmT
r
m
mT
mmm
zRrq
ztckqzt
r
q
ztRr
r
q
rr
q
D
t
q
m
(17)
Считаем, что в некоторых точках mz известны значения концентраций:
,),(),(
ztfztc mm (18)
).,0(,),,( Ttztgztq mm
(19)
Постановка начально-краевой задачи в приращениях. Давая приращения
mDintra значениям коэффициентов диффузии ,intraintra
mm DD получаем соответ-
ствующие приращения w и для концентраций .wq В результате, пренебрегая
членами второго порядка малости, получим следующую начально-краевую задачу
в приращениях
),,0(),,0(),,0(
,
11
),,( 2
2intra
2
2intra
TtzRr
r
q
r
rr
D
r
w
r
rr
Dzrtw
t
nn
(20)
16 ISSN 0572-2691
при начальных условиях:
,0),,(
0
t
zrtw (21)
и краевых условиях по переменной r :
.0,
0
intra
0
intra
Rr
r
n
r
n wq
r
Dw
r
D (22)
Для начально-краевой задачи (20)–(22) введем в рассмотрение обобщенную
задачу.
Определение 1. Обобщенным решением начально-краевой задачи (20)(22)
называется функция ),;,0(),( 2 VTLrtw которая 0)( Vrz удовлетворяет ра-
венствам
),,0(),(),(
0
2 Ttzlzwadrz
t
w
r w
R
(23)
,0,0
0
Rrt
ww (24)
где
},0)(:),0()({)},,0(),,0(:),({ 1
20
1
2 RvRWrvVTtRWvrtvV
.)(,),(
0
intra
2
0
intra
2 drz
r
q
Dr
r
zldr
r
z
r
w
Drzwa
R
n
w
R
n
Сопряженная задача. Следуя [16, 17, 22], введем в рассмотрение обозначения
)),()( ),(()(
)),()( ),()((),(
nn
nn
uYvYuYgvL
uYvYuYuYvu
(25)
где ],0[= Rv U .),(,,),/2,;()(
0
intra
dtDuuRtvqvY
T
u
nn
n
U
С учетом (25) Uv имеем
.)()(2),()(2
2
nuYgvLvvvJ (26)
Пусть .U nn uu Тогда )1,0( .U nn uu Следовательно,
),,(),;(),;( rtwrtuyrtuuy nnn (27)
где ),(),,;( rtwrtuy n — решения задач (17)–(19), (20)–(22) соответственно.
Пренебрегая членами второго порядка малости, с учетом (26), (27) получаем
,))()(
~
,)((
)()(
lim, 1
0
nnn
nnn
nu uYuYguY
uJuuJ
uJ
n
(28)
где
nunnn JRtwRtuyRtuyuY ),2/,()2/,;()2/,;(~)(
~
11 — градиент функцио-
нала J(u) в точке .
intra
U nu
n Duu
Следуя [16, 17, 22], с учетом (28) сопряженная задача имеет вид:
),,0(,,0
1
intra
2
2
Ttr
r
Dr
rrt
m
un
),,0(,0][
2/
Tt
Rr
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 2 17
),,0()),()2/,;((
1
2
2/
intra
TttgRtuq
rr
D n
Rr
un
(29)
),,0(,0,0
0
Tt
r Rr
r
,,0 mTt
r
где ).02/,()02/,(][
2/
RtRt
Rr
Вместо классического решения начально-краевой задачи (29) используем ее
обобщенное решение.
Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (29) называ-
ется функция ),;,0(),( 2
dVTLrt которая
0
)( dVrz удовлетворяет равенствам
),,0(),2/())()2/,;((),(
intra
0
2 TtRztgRtDqzadtz
t
r nu
T
(30)
,,0),(),,0(0 dTtRr
rrtTt
(31)
где множества
0
),;,0(2
dd VVTL выбираются, следуя [10].
Выбирая в тождестве (30) вместо функции z разность ),,;(),;(~
1 rtuyrtuy nn
пренебрегая членами второго порядка малости, с учетом (28) получаем
T
nnnnu dtRtuyRtuytgRtuyuJ
n
0
1 ))2/,;()2/,;(~))(()2/,;((,
.),(
0 0
2
00
2 dtdr
r
q
ur
r
dtwadt
t
w
r
T R
n
TT
Следовательно,
,~
nun
J (32)
где
.~
0 0
2 dtdr
r
q
r
r
T R
n
(33)
Решение сопряженной задачи. Для решения сопряженной задачи (29) ис-
пользуем упомянутую модифицированную разностную схему Кранка–Николсо-
на [1820]. Для этого перепишем задачу (29) в эквивалентном виде:
),,0(),,0(),2/())()2/,;((
intra
22 TtRrRrtgRtug
r
Dr
rt
r n
un
),,0(,0,0
0
Tt
r Rr
r
).,0(,0),( Rrrt
Tt
Значение
1k
m j
для (k 1)-го временнóго слоя определяем по известным зна-
чениям k-го временнóго слоя по формуле
.11
1
jjjj m
k
mm
k
m
18 ISSN 0572-2691
Значения коэффициентов j и j определяются так:
m
m
m
m
mm
m
a
g
d
ab 1
11
, (при ),1j
mmm
mm
m
mmm
m
m
da
f
da
b
j
jj
j
j
j
11
, (при ),1 Lj
mmm
mm
k
mk
m
da
a
L
LL
L
1
1
,
1 (при ),Lj
где
,mmm ba ),21( mmd ,
)(2 22
intram
X
t
R
D
m
,)2(
11
, k
m
k
m
k
m
k
m
k
mm
k
m jjjjjj
F
).2/()(
2/
RrjgqF mRrm
k
m j
Алгоритм реализации градиентного метода идентификации коэффици-
ентов диффузии. Процедура реализации градиентного метода идентификации ко-
эффициентов внутричастичного массопереноса
m
Dintra базируется на использова-
нии матрицы состояний системы ),,,(
intra
m
Dzt ikM которая соответствует суммар-
ной накопленной массе диффундируемого компонента в порах частиц [5, 6].
Экспериментальные исследования массопереноса в каталитической среде,
результаты которых представлены на рис. 1 (а — гексан; б — бензол) выполня-
лись в лаборатории Университета Пьера и Марии Кюри, Париж, с участием авто-
ров и использованием метода ядерно-магнитного резонанса (NMR). Они проводи-
лись для систем адсорбции бензола и гексана в среде цеолита ZSM-5 [57]. Ре-
зультаты экспериментов представлены в виде профилей изменения суммарной
накопленной массы диффундированного компонента (бензола или гексана) вдоль
исследуемого экспериментального образца. Для получения картины эволюции про-
филей во времени замеры проводились для различных периодов времени (пред-
ставлены на рис. 1 в часах).
0,04 0,02
0,06
0,11
0,50
1,01
3,83
17,80
0,07
0,11
0,17
0,27
0,39
0,84
2,41
4,36
15,30
a б
Рис. 1
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 2 19
В матрице ),,(
intra
m
Dzt ikM временне и пространственные переменные t
и z определяют конкретные состояния системы адсорбционного переноса, для ко-
торой осуществляется идентификация кинетических параметров — коэффициен-
тов внутричастичной диффузии.
Для идентификации этого распределения используется один из градиентных
методов, математическое обоснование применения которых к задачам параметри-
ческой идентификации мультикомпонентных распределенных систем представ-
лены в [21, 22]. Исходя из специфики задачи, наиболее подходящим является ме-
тод минимальных погрешностей, согласно которому для определения )1( -го
приближения коэффициента диффузии во внутричастичном пространстве приме-
няем следующую градиент-процедуру идентификации [21]:
.
)(
)(
2
intra
2
ntraintra
1
intra
m
mm
DJ
e
DJDD
m
Алгоритм реализации процедуры идентификации коэффициентов диффузии
m
Dintra представлен на рис. 2.
Начальное приближение
коэффициента диффузии
Нахождение значения
коэффициента
Нахождение следующего
приближения для
m
Dintra
Расчет максимальной
погрешности
Определение значений q,
для θ-й итерации
Номер итерации
Проверка условия завершения
итерационного процесса
Расчет градиента от
функционала невязки
0
intram
D
0
mmq ,
dtdr
r
q
r
r
T R
m
m
D
J
0 0
2
mintra
2
2
m
n
m
J
e
m
mm JDD
mm intra
1+
intra
mm
DD
intra
1
intra
max
0
interm
D
+ 1
Рис. 2
Численное моделирование и идентификация кинетических параметров
системы. Выполняемая процедура идентификации заключается в определении
коэффициентов внутричастичной диффузии для системы монокомпонентной ад-
сорбции
m
Dintra в нанопористом каталитическом ложе с использованием описан-
ного градиентного метода.
20 ISSN 0572-2691
При проведении идентификации матрица экспериментальных данных ,][ exp
i
kik
M
,,1,,1 MiNk заполнялась значениями суммарной поглощенной массы вдоль
координаты z для различных временнх отрезков протекания процесса адсорбции
с помощью кривых адсорбции (бензола и гексана) в пористых цеолитных катали-
заторах (см. рис. 1) [57].
Результаты проведенной идентификации кинетики внутричастичной диффу-
зии с использованием описанной выше методики идентификации представлены
на рис. 3–6 для различных временнх срезов по координате z толщины слоя нано-
пористой среды, соответствующих различным продолжительностям адсорбции
(диффузии в микро- и нанопорах) согласно программе проведенных физических
экспериментов. Запишем величины остальных параметров: ,м1,0l ,м001,0R
,8,0inter .8,0K
4.00E12
3.20E12
2.40E12
1.60E12
8.00E13
0,0 z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
z
0,2 0,4 0,0 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M(t, z)
2
1
0,02 ч
4.00E12
3.20E12
2.40E12
1.60E12
8.00E13
0,0 z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
z
0,2 0,4 0,0 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M(t, z)
2
1
0,07 ч
a б
Рис. 3
На рис. 3 представлены идентифицированные распределения коэффициент-
та intraD диффузии (а) и сравнение экспериментальной (1) и модельной (2) кри-
вых адсорбированной массы (б) вдоль координаты z (основного направления пе-
реноса) для системы адсорбции бензола для двух временнх срезов кинетики
02,0 ч и 07,0 ч, относящиеся к начальной стадии адсорбции. Как видно из
рис. 3, б, профили адсорбции массы (1), представляющие экспериментальные
данные заполнения массой микропор, имеют неоднородный характер вдоль слоя
каталитического ложа. Так, для временнóго среза 0,02 ч заполнение подсисте-
мы пор, расположенных во входной части каталитического ложа (положение без-
размерной координаты толщины слоя ),]1,8,0[z составляет 0,350,5 единиц,
если анализировать справа налево по толщине образца. Здесь имеем зону некото-
рого экспоненциального роста адсорбируемой массы по толщине слоя. Для зоны,
расположенной ближе к центру ложа (положение координаты толщины
z 0,80,5), заполнение составляет 0,50,58 ед. Максимум массы (наибольшее
количество молекул бензола) сосредоточено в зоне ложа, локализованного поло-
жениями безразмерной координаты z 0,650,6 и составляет 0,58 ед. Дальше
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 2 21
(положение координаты толщины z 0,40.0) наблюдаем практически линей-
ное убывание значения величины адсорбированной массы с 0,3 до 0,01 ед. По-
следнее наименьшее значение величины адсорбированной массы соответствует
положению выхода рабочей зоны микропористого каталитического ложа.
Если теперь проанализировать полученный профиль восстановленных коэф-
фициентов диффузии intraD (см. рис. 3, а) для временнóго среза 0,02 ч, то так-
же можно увидеть три характерных участка, имеющих зависимости обратного ха-
рактера по отношению распределения адсорбированной массы. Так, на первом
участке, анализируя справа налево, z 1,0–0,8, наблюдаем довольно резкое убы-
вание значения коэффициента диффузии от 12100,4 до 12106,1 м/c
2
(некая зо-
на экспоненциального спада). Далее на отрезке z 0,80,7 имеем незначительное
линейное убывание значения коэффициента диффузии до значения 12105,1 м/c
2
.
Следующий отрезок слоя (z 0,70,5) характеризуется практически постоянным
значением коэффициента диффузии с незначительной выпуклостью в центре. Ми-
нимальное значение коэффициента диффузии здесь составляет
121035,1 м/c
2
,
что соответствует максимальному значению величины заполненной массы на
графике адсорбированной массы (см. рис. 3, б). Для отрезков z = 0,50,4
и z 0,40,2 характерно линейное возрастание коэффициента диффузии до зна-
чений
12106,1 м/c
2
и
12108,2 м/c
2
соответственно. На последнем участке слоя
при z = 0,20 наблюдается незначительное возрастание коэффициента диффузии
до
12100,3 м/c
2
.
Сравнивая результаты для временных срезов 0,02 ч и 0,07 ч, можно
увидеть незначительную, но четко выраженную эволюцию профилей как значе-
ний поглощенной массы в сторону их увеличения, так и значений коэффициентов
диффузии в сторону уменьшения, что связано с накоплением поглощенных моле-
кул бензола в адсорбенте.
Как видно из графиков сравнения экспериментальных (1) и модельных (2)
кривых адсорбированной массы (см. рис. 3, б), эти графики в достаточной степени
согласуются между собой и практически, если не принимать во внимание незна-
чительные отклонения, совпадают, что показывает высокую эффективность пред-
ложенной методики идентификации и обеспечивает адекватность модели резуль-
татам экспериментальных наблюдений. Забегая вперед, следует сказать, что это
касается и всех остальных рассмотренных ниже распределений.
Дальнейшую картину кинетики адсорбции можно проследить по результа-
там, полученным для следующих временнх срезов, представленных на рис. 4
(а — распределение коэффициентов диффузии бензола; б — сравнение экс-
периментальной (1) и модельной (2) кривых адсорбированной массы) для
0,27 ч, 0,39 ч, отображающих средний период адсорбции. Так, для вре-
меннóго среза 0,27 ч для отрезка z 1,00,8 заполнение составляет
0,45–0,75 ед., значения коэффициентов диффузии меняются от 121051,3 до
1210068,1 м/c
2
, что на 2530% ниже соответствующих значений предыдущего
периода. Итак, для слоя z 0,80,4 заполнение составляет 0.76 0.82 ед. Зна-
чения коэффициентов диффузии меняются от
131026,8 до
131045,7 м/c
2
.
Для временнóго среза 0,39 ч (слой z 1,00,8) заполнение составляет
0,50,79 ед., значения коэффициентов диффузии меняются от
1310138,2 до
131062,8 м/c
2
, что на 40–45 % ниже значений предыдущего временнóго среза.
Для слоя z 0,80,4 заполнение составляет 0,81–0,88, значения коэффициентов
диффузии изменяются от
131049,2 до
1310549,7 м/c
2
.
22 ISSN 0572-2691
4.00E12
3.20E12
2.40E12
1.60E12
8.00E13
0,0
z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
z
0,2 0,4 0,0 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M(t, z)
2
1
0,27 ч
4.00E12
3.20E12
2.40E12
1.60E12
8.00E13
0,0 z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
z
0,2 0,4 0,0 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M(t, z)
2
1
0,39 ч
a б
Рис. 4
Важным элементом моделирования кинетики адсорбции является изучение
эволюции системы к ее равновесию (состоянию максимально возможного насы-
щения микропор адсорбентом). Эволюцию состояний системы к ее равновесию
можно проследить, последовательно проанализировав изменения форм кривых (1)
и (2) адсорбированной массы (рис. 35, б). Начиная с временнóго среза 4,6 ч,
форма кривой стабилизируется (равновесие) и при дальнейшем продолжении ад-
сорбции практически очень мало изменяется.
4.00E12
3.20E12
2.40E12
1.60E12
8.00E13
0,0 z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
z
0,2 0,4 0,0 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M(t, z)
2
1
4,36 ч
4.00E12
3.20E12
2.40E12
1.60E12
8.00E13
0,0 z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
z
0,2 0,4 0,0 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M(t, z)
2
1
15,3 ч
a б
Рис. 5
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 2 23
Следующий исследуемый временнóй срез 15,3 ч (более чем в 3,5 раза
больше предыдущего) показывает практически тот же профиль адсорбированной
массы в микропорах, что подтверждает достижение условия равновесия системы
(рис. 5, а — профили коэффициентов диффузии бензола; б — сравнение модель-
ной (2) и экспериментальной (1) кривых).
Достижение равновесия подтверждает представление эволюции коэффициен-
тов диффузии (рис. 35, а), причем степень эволюции формы профилей коэффици-
ентов диффузии уменьшается со временем и при больших значениях времени (бо-
лее 4,36 ч) практически не изменяется, что с другой стороны, также, подтвер-
ждает факт достижения системой состояния равновесия. Для 4,36 ч и = 15,3 ч
наблюдают почти одинаковые изображения кривых поглощенной массы и распре-
деление коэффициента диффузии: для z 1.00.8 заполнение составляет 0,50,9
ед. Значения коэффициентов диффузии меняется от
121019,2 до
131029,2 м/с
2
,
для z 0,80,4 заполнение составляет 0,910,985 ед., значения коэффициентов
диффузии меняются от
1410683,1 до
141074,8 м/с
2
.
Наблюдать в комплексе динамику изменения профилей распределений коэф-
фициентов диффузии вдоль адсорбента во времени можно также на рис. 6, где
сведены все идентифицированные профили (1 — 0,02 ч; 2 — 0,07 ч;
3 — 0,27 ч; 4 — 0,39 ч; 5 — 4,36 ч; 6 и 5 — 15,3 ч).
4.00E12
3.20E12
2.40E12
1.60E12
8.00E13
0.0 z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2
1
3
4
6
5
Рис. 6
На рис. 7 показана 3D-динамика изменения интегральной массы адсорбиро-
ванных молекул бензола в нанопористом каталитическом цеолит-ложе. Диаграм-
ма отображает динамику заполнения бензолом микропор каталитического ложа в
зависимости от времени (секунды) и безразмерной координаты толщины слоя
вплоть до достижения состояния равновесия системы.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
0,2
0
0,4
0,6
0,8
1
Рис. 7
24 ISSN 0572-2691
Заключение. Для модели адсорбционного массопереноса в каталитических
пористых средах обоснованы постановки прямой и сопряженной краевых задач
коэффициентной идентификации. Реализован алгоритм идентификации внутрен-
них кинетических параметров неоднородной системы адсорбционного массопе-
реноса с использованием градиентного метода и численного решения модели од-
нокомпонентного массопереноса в неоднородной каталитической среде нанопо-
ристих частиц. Проведена идентификация коэффициентов диффузии для
внутричастичного массопереноса. По результатам идентификации проверены мо-
дели на адекватность результатам экспериментальных наблюдений. Выполнено
численное моделирование кинетики адсорбции и анализ концентрационных и гра-
диентных полей массопереноса.
Полученные результаты позволяют проводить эффективное моделирование
кинетики процесса диффузии и могут использоваться для исследования условий
равновесия в каталитических системах при действии различных факторов, для
разработки новых материалов с заранее заданными характеристиками, каталити-
ческого разделения смесей в химической и других отраслях.
В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик
ІДЕНТИФІКАЦІЯ КІНЕТИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ
ОДНОКОМПОНЕНТНОГО АДСОРБЦІЙНОГО
МАСОПЕРЕНОСУ В МІКРОПОРИСТИХ
КАТАЛІТИЧНИХ СЕРЕДОВИЩАХ
На основі теорії оптимального керування побудовано явні вирази градієнтів
функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів за-
дач дифузії однокомпонентної речовини в нанопористому середовищі. Наведе-
но результати ідентифікації коефіцієнта дифузії для нанопористих складових.
V.S. Deineka, M.R. Petryk, D.M. Mykhalyk
IDENTIFICATION OF KINETIC PARAMETERS
OF SINGLE-COMPONENT ADSORPTIVE MASS
TRANSFER IN MICROPOROUS CATALYTIC MEDIA
Explicit expressions of the functional-residuals gradients for gradient methods of
identification of parameters of single-component substance diffusion in nanoporous
medium problems are constructed on the basis of optimal control theory. Results of
identification of diffusion coefficient for nanoporous components are presented.
1. Kärger J., Ruthven D. Diffusion and adsorption in porous solids // Handbouk of Porous Solids /
Ed. by F. Shuth, K.W. Sing, J. Weitkamp. — Wiely-VCH Wenheim (Germany). — 2002. —
P. 2089–2173.
2. Ruthven D. Principles of adsorption and adsorption processes. — New York : Wiley-Interscience,
1984. — 464 p.
3. N’Gokoli-Kekele P., Springuel-Huet, M.-A., Fraissard J. An analytical study of molecular
transport in a zeolite crystallite bed // Adsorption. — 2002. — 8, N 3. — P. 35–44.
4. Kärger J., Grinberg F., Heitjans P. Diffusion fundamentals. — Leipzig : Leipziger Universi-
tätsverlag, 2005. — 615 p.
5. Study of molecular transport in beds of zeolite crystallites: semi-quantitative modeling of 129Xe
NMR experiments / F.D. Magalhães, R.L. Laurence, W.C. Conner, M.-A. Springuel-Huet,
F. Nosov, J. Fraissard // J. Phys. Chem. B. — 1997. — 101. — P. 2277–2284.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 2 25
6. Petryk M., Leclerc S., Canet D., Fraissard J. Mathematical modeling and visualization of gas
transport in a zeolite bed using a slice selection procedure // Diffusion Fundamentals. — 2007. —
4. — P. 11.1–11.23.
7. Petryk М., Fraissard J., Leclerc S., Canet D. Modeling of gas transport in a microporous solid us-
ing a slice selection procedure: Application to the diffusion of benzene in ZSM5 // Catalysis To-
day. — 2008. — 139, N 3. — P. 234–240.
8. Petryk. M., Vorobiev E. Liquid flowing from porous particles during the pressing of biological
materials // Comput. and Chem. Eng. Elsevier (Irland), — 2007. — 31. — P. 1336–1345.
9. Петрик М.Р., Фрессард Ж. Математическое моделирование и визуализация системы мно-
гоуровневого массопереноса в неоднородных каталитических средах нанопористых
частиц // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 5. — С. 54–73.
10. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Математичне моделювання дифузійного масопереносу зі спект-
ральним параметром для n-інтерфейсних неоднорідних і нанопористих напівобмежених
середовищ // Волинський мат. вісник. Серія прикладна математика.— 2003. — Вип. 1. —
С. 69–95.
11. Петрик М.Р., Михалик Д.М. Математичне моделювання адсорбційного нелінійного масо-
переносу в каталітичних пористих середовищах // Вісник ТДТУ ім. І. Пулюя. — 2009. —
№ 4. — С. 193–198.
12. Петрик М.Р. Математическое моделирование массопереноса в симметрических неодно-
родных и нанопористых средах с системой n-интерфейсных взаимодействий // Кибернети-
ка и системный анализ. — 2007. — № 1.— C. 114–134.
13. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с.
14. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.
— New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005. —400 p.
15. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Математические модели и методы расчета
задач с разрывными решениями. — Киев: Наук. думка, 1995. — 262 с.
16. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация градиентными методами параметров задач
диффузии двухкомпонентного вещества в нанопористых средах // Доп. НАН України. —
2010. — № 12. — С. 42–49.
17. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация градиентными методами параметров задач
диффузии вещества в нанопористой среде // Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 6. — С. 5–18.
18. Дейнека В.С., Евдин Е.А. Модификация схемы Кранка–Николсона для решения уравнений
конвективно-диффузионного переноса // Компьютерная математика. — 2006. — № 3. —
С. 15–26.
19. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен.
Т. 2. — М. : Мир, 1990. — 392 с.
20. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М. : Наука, 1973.— 632 с.
21. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. — М. : Машиностроение, 1988. — 280 с.
22. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных си-
стем. — Киев : Наук. думка, 2009. — 638 с.
Получено 27.12.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207290 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:39:30Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. 2025-10-05T09:51:53Z 2011 Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 12–25. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207290 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i3.20 На основі теорії оптимального керування побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач дифузії однокомпонентної речовини в нанопористому середовищі. Наведено результати ідентифікації коефіцієнта дифузії для нанопористих складових. Explicit expressions of the functional-residuals gradients for gradient methods of identification of parameters of single-component substance diffusion in nanoporous medium problems are constructed on the basis of optimal control theory. Results of identification of diffusion coefficient for nanoporous components are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах Ідентифікація кінетичних параметрів однокомпонентного адсорбційного масопереносу в мікропористих каталізаторах Identification of kinetic parameters ofsingle-component adsorptive mass transfer in microporous catalytic media Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах |
| title_alt | Ідентифікація кінетичних параметрів однокомпонентного адсорбційного масопереносу в мікропористих каталізаторах Identification of kinetic parameters ofsingle-component adsorptive mass transfer in microporous catalytic media |
| title_full | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах |
| title_fullStr | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах |
| title_full_unstemmed | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах |
| title_short | Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах |
| title_sort | идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207290 |
| work_keys_str_mv | AT deinekavs identifikaciâkinetičeskihparametrovodnokomponentnogoadsorbcionnogomassoperenosavmikroporistyhkatalitičeskihsredah AT petrikmr identifikaciâkinetičeskihparametrovodnokomponentnogoadsorbcionnogomassoperenosavmikroporistyhkatalitičeskihsredah AT mihalikdm identifikaciâkinetičeskihparametrovodnokomponentnogoadsorbcionnogomassoperenosavmikroporistyhkatalitičeskihsredah AT deinekavs ídentifíkacíâkínetičnihparametrívodnokomponentnogoadsorbcíinogomasoperenosuvmíkroporistihkatalízatorah AT petrikmr ídentifíkacíâkínetičnihparametrívodnokomponentnogoadsorbcíinogomasoperenosuvmíkroporistihkatalízatorah AT mihalikdm ídentifíkacíâkínetičnihparametrívodnokomponentnogoadsorbcíinogomasoperenosuvmíkroporistihkatalízatorah AT deinekavs identificationofkineticparametersofsinglecomponentadsorptivemasstransferinmicroporouscatalyticmedia AT petrikmr identificationofkineticparametersofsinglecomponentadsorptivemasstransferinmicroporouscatalyticmedia AT mihalikdm identificationofkineticparametersofsinglecomponentadsorptivemasstransferinmicroporouscatalyticmedia |