О задаче регулирования процесса нагрева
Досліджується один клас задач оптимального керування процесом нагрівання стержня (пластини) при регулюванні температури всередині печі. Керування здійснюється зворотним зв’язком, при якому інформація про стан процесу безперервно або дискретно надходить лише з окремих точок стержня, в яких встановлен...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207292 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О задаче регулирования процесса нагрева / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 33–45. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207292 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. 2025-10-05T10:05:13Z 2011 О задаче регулирования процесса нагрева / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 33–45. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207292 517.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i3.40 Досліджується один клас задач оптимального керування процесом нагрівання стержня (пластини) при регулюванні температури всередині печі. Керування здійснюється зворотним зв’язком, при якому інформація про стан процесу безперервно або дискретно надходить лише з окремих точок стержня, в яких встановлено датчики температури. Математична модель керованого процесу в обох випадках зводиться до точково навантаженого параболічного рівняння. Отримано необхідні умови оптимальності, запропоновано числові схеми їх розв’язання. A class of optimal control problems for the heating process of a rod (plate) at the expense of adjusting the temperature inside a stove is investigated. Feedback is used for control. Information on the state of the process is received continuously or discretely only from distinct points of the rod, at which temperature sensors are set. The mathematical model of the controlled process is reduced in both cases to a pointwise loaded parabolic type equation. Necessary optimality conditions are obtained, numerical schemes for the solution are proposed. Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Азербайджанской Республики (проект No EIF-2010-1(1)-40/11). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации О задаче регулирования процесса нагрева Про задачу регулювання процесу нагрівання On a regulation problem for heating proces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О задаче регулирования процесса нагрева |
| spellingShingle |
О задаче регулирования процесса нагрева Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title_short |
О задаче регулирования процесса нагрева |
| title_full |
О задаче регулирования процесса нагрева |
| title_fullStr |
О задаче регулирования процесса нагрева |
| title_full_unstemmed |
О задаче регулирования процесса нагрева |
| title_sort |
о задаче регулирования процесса нагрева |
| author |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| author_facet |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про задачу регулювання процесу нагрівання On a regulation problem for heating proces |
| description |
Досліджується один клас задач оптимального керування процесом нагрівання стержня (пластини) при регулюванні температури всередині печі. Керування здійснюється зворотним зв’язком, при якому інформація про стан процесу безперервно або дискретно надходить лише з окремих точок стержня, в яких встановлено датчики температури. Математична модель керованого процесу в обох випадках зводиться до точково навантаженого параболічного рівняння. Отримано необхідні умови оптимальності, запропоновано числові схеми їх розв’язання.
A class of optimal control problems for the heating process of a rod (plate) at the expense of adjusting the temperature inside a stove is investigated. Feedback is used for control. Information on the state of the process is received continuously or discretely only from distinct points of the rod, at which temperature sensors are set. The mathematical model of the controlled process is reduced in both cases to a pointwise loaded parabolic type equation. Necessary optimality conditions are obtained, numerical schemes for the solution are proposed.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207292 |
| citation_txt |
О задаче регулирования процесса нагрева / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 33–45. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT aidazadekr ozadačeregulirovaniâprocessanagreva AT abdullaevvm ozadačeregulirovaniâprocessanagreva AT aidazadekr prozadačuregulûvannâprocesunagrívannâ AT abdullaevvm prozadačuregulûvannâprocesunagrívannâ AT aidazadekr onaregulationproblemforheatingproces AT abdullaevvm onaregulationproblemforheatingproces |
| first_indexed |
2025-11-25T22:29:41Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:29:41Z |
| _version_ |
1850564309671739392 |
| fulltext |
© К.Р. АЙДА-ЗАДЕ, В.М. АБДУЛЛАЕВ, 2011
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 33
УДК 517.977.58
К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев
О ЗАДАЧЕ РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПРОЦЕССА НАГРЕВА
Введение
Исследования задач оптимального управления с обратной связью (задачи
синтеза управления) объектами (процессами) с сосредоточенными и распределен-
ными параметрами привлекают в последние годы большое внимание. Повышен-
ный интерес к этим проблемам прежде всего связан с развитием измерительных
средств контроля и управления техническими объектами и технологическими
процессами, а также средств вычислительной техники, позволяющих проводить
оперативный сбор и обработку большого объема информации в реальном мас-
штабе времени.
Имеющиеся результаты в области управления с обратной связью — синтеза
управления — в основном связаны с линейными объектами с сосредоточенными
параметрами, описываемыми системами дифференциальных уравнений с обыкно-
венными производными [1–3]. Результатов относительно систем с распределен-
ными параметрами существенно меньше, и они относятся к конкретным классам
задач [3–6].
В данной работе рассмотрен класс задач оптимального управления темпера-
турой печи с обратной связью для нагрева помещаемых в нее стержней. Обратная
связь осуществляется за счет непрерывного замера температуры в определенных
точках стержня, в которых размещены соответствующие датчики. Возможен так-
же случай, когда съем значений температуры проводится в отдельные заранее за-
данные моменты времени. Математическая модель процесса нагрева, описывае-
мая краевой задачей относительно параболического уравнения [7], приводится
к точечно-нагруженному параболическому уравнению [8–10] с учетом управля-
ющих воздействий с обратной связью.
Для решения задачи предложен численный метод, основанный на ранее про-
веденных авторами исследованиях [11–13].
1. Постановка задачи
Пусть однородные стержни длиной l последовательно обогреваются в печи за
счет создаваемой в ней внешним источником одинаковой во всей печи темпера-
туры )(t в целях достижения заданной температуры стержня ),(xU ],,0[ lx за
заданное время T. Тогда процесс нагрева каждого стержня согласно закону Нью-
тона [7] будет описываться следующим дифференциальным уравнением парабо-
лического типа:
],,0[),0(),()],,()([),(),( 2 Tltxtxuttxuatxu xxt (1)
с краевыми условиями:
)],(),0([),0( ttutux ],,0( Tt (2)
,])(),([),( ttlutlux ],,0( Tt (3)
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Азер-
байджанской Республики (проект № EIF-2010-1(1)-40/11).
34 ISSN 0572-2691
где 0const2
c
k
a — коэффициент температуропроводности;
c
h
и
k
h
—
приведенные коэффициенты теплообмена между средой и стержнем в печи соответ-
ственно по длине и на концах стержня; h — коэффициент теплообмена; k — коэффи-
циент теплопроводности; c — коэффициент удельной теплоемкости, — плотность
материала.
Начальную температуру стержней для простоты будем считать постоянной
по их длине, но различными для разных стержней. При этом задано некоторое до-
пустимое множество (интервал) возможных значений температур ],[ BBB :
],,0[,,const)0,( lxBbbxu (4)
причем задана функция плотности начальных температур )(bB такая, что
.,0)(,1)( Bbbdbb BB
B
(5)
Регулирование (управление) температурой в печи проводится за счет того,
что в заданных L точках ],0[ lxi ,...,,2,1 Li стержня с помощью датчиков из-
меряется текущая температура ),,( txu i в зависимости от значений которых уста-
навливается текущая температура )(t в печи.
Пусть ,i ,...,,2,1 Li — весовые коэффициенты, определяющие относи-
тельную важность учета значения температуры в i-й точке замера:
L
i
i
1
,1 ,10 i ....,,2,1 Li (6)
Значение
,),()(~
1
L
i
ii txutu ],0[ Tt ,
— текущая «усредненная» температура стержня по замеренным данным. Оно ис-
пользуется для формирования синтезируемого управления печи:
,),()()(~)(),;()(
1
L
i
ii txutKtutKKtt ],,0[ Tt (7)
где )(tK — оптимизируемый параметр регулирования (коэффициент усиления),
определяющий температуру печи. Вектор )...,,,( 21 L в общим случае мо-
жет быть функцией времени, но для простоты будем считать его значение неиз-
менным и неизвестным.
Подставляя (7) в (1)–(3), получаем краевую задачу:
],,0[),0(),(,),(),()(),(),(
1
2 TltxtxutxutKtxuatxu ii
L
i
xxt
(8)
,),()(),0(),0(
1
txutKtutu ii
L
i
x ],,0( Tt (9)
,),()(),(),(
1
txutKtlutlu ii
L
i
x ].,0( Tt (10)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 35
Задача (8)–(10) — точечно-нагруженная краевая задача, так как в ее правых
частях используются неизвестные значения фазового состояния в отдельных точ-
ках пространственной переменной, а условия (9), (10) — нелокальные краевые
условия [8–10].
Из (8)–(10) несложно получить следующие эквивалентные виды этой задачи:
],0[),0(),(),,(),0(),0(),(),( 2 Tltxtxutututxuatxu xxxt
или
],,0[),0(),(),,(),(),(),(),( 2 Tltxtxutlutlutxuatxu xxxt
при следующих условиях:
,0)],(),0([),(),0( tlututlutu xx ],,0( Tt
,),()(),0(),0(
1
L
i
iix txutKtutu ].,0( Tt
Здесь точкой нагружения уравнения является левый или правый конец стерж-
ня, а краевые условия, оставаясь нелокальными, различаются лишь своим видом.
Важно отметить, что с учетом вычислительной сложности, численных методов,
алгоритмов обе постановки вполне эквивалентны.
В практических приложениях на параметр регулирования )(tK могут быть
наложены определенные технологические требования вида
,)( KtKK ],,0[ Tt (11)
где KK, — заданные соответственно верхнее и нижнее допустимые значения
коэффициента усиления.
В качестве критерия качества управления процессом нагрева используем
следующий взвешенный среднеквадратичный функционал :
,)()();,(),(
2
02
2
],0[01
2
LRTLB
B
KtKdbbbKIKJ (12)
,)](),,;,([)();,(
0
2
l
dxxUbKTxuxbKI (13)
где )(xU — заданная функция; 0)( x — заданная весовая функция, которая
определяет относительную важность нагрева каких-либо участков стержня;
);,;,( bKtxu — решение краевой задачи (8)–(10) при управляющих параметрах
),(tKK и начальном условии ,)0,( bxu ],0[ lx ; ,0,0 21 ,10 RK
LR0 — параметры регуляризации, удовлетворяющие (6), (11).
Замечание 1. Учитывая особенности систем регулирования, важной характе-
ристикой является свойство «стабильности» значения параметра регулирования
),(tK а именно требование незначительного изменения его величины во времени.
В этом случае в критерии (12) параметр 1 будет играть роль коэффициента
штрафа, а значение 0K оптимизируется при условии (11).
Сформулированная задача (8)–(11) относится к задачам параметрического
оптимального управления системами с распределенными параметрами и имеет
следующие особенности:
36 ISSN 0572-2691
1) процесс описывается нагруженным параболическим уравнением;
2) краевые условия имеют нелокальный характер;
3) начальные условия заданы не точно, а задано множество возможных их
значений;
4) имеются результаты наблюдения за состоянием процесса в отдельных точ-
ках стержня, количественные значения которых используются для управления
процессом;
5) на значения коэффициента усиления )(tK имеются ограничения техноло-
гического характера;
6) управляющее воздействие )(t зависит от времени и одинаково для всех
пространственных точек стержня (это больше относится к технологической, а не
математической части постановки).
Третья, четвертая и пятая особенности очень важны, в частности третья: если
бы начальные значения были заданы точно, то эту задачу можно было решать как
задачу с программным управлением. В этом случае не было бы необходимости
проводить замеры текущих значений состояния процесса в каких-либо точках.
Выше говорилось об управлении процессом нагрева стержня, хотя ясно, что
все сказанное выше можно перенести на процесс нагрева в печи пластины или
трехмерного тела. Но чтобы не усложнять вывод формул, остановимся на задаче
регулирования процесса управления нагрева стержня.
Представляет практический интерес случай, когда наблюдение за процессом
нагрева в заданных точках стержня ,...,,2,1],,0[ xi Lilx ведется не непрерыв-
но, а в заданные дискретные моменты времени ],,0[ Tt j ,...,,1,0 tLj ,00 t
Tt
tL [3, 4]. Температура в печи задается по результатам наблюдения, постоянна
на интервале времени между двумя наблюдениями и определяется, например, по
формуле
....,,2,1),,[const,,const),()( 1
1
1 tjjj
L
i
jiij LjtttKtxuKt
x
(14)
Возможно использование «памяти» для замеров значений температуры во
времени с помощью формулы
),,[const,),()( 1
1
1
1
jj
L
i
j
iij ttttxuKt
x
(15)
где i — весовые коэффициенты относительной важности учета на )1( j -м
интервале времени значения температуры в i-й точке ix при -м замере, т.е.
в моменты времени ,t .1...,,0 j
В случаях (14) и (15) задача управления приводит к отысканию конечномер-
ного вектора параметров: )...,,(),...,,( 11 xt LLKKK в случае (14) и матри-
цы ,...,,1,...,,1)),(( txij LjLi в случае (15).
Для обоих случаев приводимые ниже выкладки существенно не изменяются,
поэтому рассмотрим только управление вида (7).
2. Необходимые условия оптимальности
Для численного решения поставленной задачи параметрического оптималь-
ного управления (8)–(13), т.е. определения функции )(tK и конечномерного век-
тора параметров предлагается использовать методы оптимизации первого по-
рядка, например итерационный метод проекции градиента:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 37
,
),(grad
),(grad)(
),(Pr
)(
)11(
1
ss
ss
k
s
ss
kJ
kJtK
k
tK
...,,1,0s (16)
где ),(Pr )11( K — оператор проекции пары ),(tK на допустимые множества, за-
данные условиями (6), (11), s — шаг одномерной минимизации.
Из (8)–(13), учитывая взаимную независимость начальных условий, а следо-
вательно, независимость решений краевых задач (8)–(10) для различных началь-
ных условий ,)0,( Bbxu
.
)(2)();,(grad
))((2)();,(grad
),(grad
),(grad
02
01
B
B
B
BK
K
dbbbKI
KtKdbbbKI
KJ
KJ
Поэтому для применения итерационной процедуры (14) получим формулы гради-
ента функционала (12) с учетом краевой задачи (8)–(10) при каком-либо одном
допустимом начальном условии:
.],,0[,)0,( Bblxbxu (17)
Пусть пара ),),(( tK которой соответствует решение нагруженной краевой
задачи ),,( txu получила приращение ),),()(( tKtK и этой паре соответ-
ствует решение краевой задачи ).,(),( txutxu
Из (8)–(10) следует, что ),( txu — решение краевой задачи
L
i
ii
L
i
iixxt txutKtxutKtxuatxu
11
2 ),()(),()(),(),(
],,0[),0(),(,),(),()(
1
TltxtxutxutK
L
i
ii
(18)
L
i
ii
L
i
iix txutKtxutKtutu
11
),()(),()(),0(),0(
],,0(,),()(
1
TttxutK
L
i
ii
(19)
L
i
ii
L
i
iix txutKtxutKtlutlu
11
),()(),()(),(),(
],,0(,),()(
1
TttxutK
L
i
ii
(20)
].,0[,0)0,( lxxu (21)
Пусть функция ),( tx пока произвольная непрерывная по ),( tx в , диффе-
ренцируемая по ],0[ Tt и дважды дифференцируемая по x на всех интервалах
),,( 1ii xx .,0,...,,0 10 lxxLi L Учитывая, что ),( txu и ),(),( txutxu —
решения краевой задачи (8)–(10) при разных значениях оптимизируемых пара-
метров, можно записать:
38 ISSN 0572-2691
dxxUTxuxbKI
l
2
0
)](),([)();,(
,),(),()(),(),(),(
0 1
2
0
dtdxtxutxutKtxuatxutx
T
ii
L
i
xxt
l
dxxUTxuTxuxbKKI
l
2
0
)](),(),([)();,(
T l
xxxxtt tKtKtxuatxuatxutxutx
0 0
22 ))()((),(),(),(),(),(
.)),(),(()),(),()((
1
dtdxtxutxutxutxu iiii
L
i
Тогда для приращения функционала имеем
dtdxtxutxdxTxuxUTxuxbKΙ t
T ll
),(),(),()](),([)(2),,(
0 00
),()(),(),(),(
10 01 0
2
1
txutKtxdxdttxutxa ii
L
i
T lL
i
x
x
xx
Ti
i
.),()(),(),()(),()(
2
011
dxTxuxdtdxtxutxutKtxutK
lL
i
ii
L
i
ii
(22)
Используя интегрирование по частям отдельно для третьего и четвертого
членов (22) и учитывая условия (19)–(21), наложенные на ),,( tx имеем:
;),(),(),(),(),(),(
0 000 0
dtdxtxutxdxTxuTxdtdxtxutx
T l
t
l
t
T l
dxdttxutxa
L
i
x
x
T
xx
i
i
1 0
2
1
),(),(
dttlutltltutta
T
xx
0
2 )],()),(),((),0()),0(),0([(
dttxutlttKa i
T L
i
i ),()),(),0(()(
0 1
2
dttxutlttKa i
T L
i
i ),()),(),0(()(
0 1
2
dttxutxtxadttxutlttKa i
L
i
xx
T
i
T L
i
i ),()],(),([),()),(),0(()(
1 0
2
0 1
2
).()(),(),(
2
0 0
2
nRL
l T
xx oKodtdxtxutxa
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 39
Здесь использовано обозначение
).,0(),(),,0(),( txtxtxtx ixixixix
Пятое слагаемое из правой части равенства (22) с помощью свойства
-функции, перегруппируем:
),()(),()(),(
1100
txutKtxutKtx ii
L
i
ii
L
i
lT
dtdxtxutxutK
L
i
ii
1
),(),()(
dtdxdtuxttK
l T L
i
i
l
i ),()(),()(
0 0 1 0
T lL
i
L
i
iiii
T l
dtdxtxutxdtdxtxtxutKtxutK
0 01 10 0
.),(),(),(),()(),()(
Cменив в тройном интеграле порядок интегрирования по и x и снова пере-
именовав переменные и x на x и , получим
dtdxdtuxttK
T l L
i
l
ii ),()(),()(
0 0 1 0
.),()(),()(
0 0 1 0
dtdxtxuxxdttK
T l L
i
l
ii
Тогда для приращения функционала с точностью до членов первого порядка имеем:
dxTxuTxxUTxuxbKΙ
l
),()],())(),()((2[),,(
0
dtdxtxutxdxttKtxatx
T L
i
l
iixxt
l
),(),()(),()(),(),(
0 1 0
2
0
dttlutltltutta
T
xx
0
2 )],()),(),((),0()),0(),0(([
dttxutxtxtlttKa i
T
xxi
L
i
),())],(),(()),(),0(()([
0 1
2
dttKtxutltatxudxtx
l L
i
L
i
iiii
T
)(),()),(),0((),(),(
0 1 1
2
0
dttltadxtxtxutK i
l
i
T L
i 0
2
0 1
)),(),0((),(),()(
).),(()()(
22 LRL
TxuooKo n
40 ISSN 0572-2691
В силу произвольности функции ),( tx потребуем, чтобы она была кусочно-
гладким решением следующий сопряженной начально-краевой задачи:
,),()(),()(),(),(
10
2
L
i
ii
l
xxt txxxdttKtxatx
,..,,2,1],,0[),,( 1 LiTtxxx ii (23)
],,0[)],(),()[(2),( lxxUTxuxTx (24)
],,0[),,0(),0( Txttx (25)
],,0[),,(),( Txtltlx (26)
и удовлетворяла в точках ,...,,2,1, Lixi при ],0[ Tt следующим условиям:
,...,,1),,(),( Litxtx ii
....,,1)),,0(),(()(),(),( LittltKtxtx iixix (27)
Учитывая, что градиент функционала определяется линейной частью прира-
щения функционала при приращениях соответствующих аргументов, имеем
],,0[
,)),(),0()(,(),(),(),,(grad
1
2
10
Tt
tlttxuatxudxtxbKI
L
i
iiii
L
i
l
K
(28)
,)),(),0((),(),()(),,(grad
0
2
0
dttltadxtxtxutKbKI
lT
(29)
где
T
11 )),(...,),,((),( txutxutxu L — L-мерный вектор.
Таким образом, можно считать доказанной следующую теорему.
Теорема 1. Градиент функционала в задаче (8)–(13) для допустимых управ-
ляющих параметров ),(tKK определяется следующими формулами:
],,0[),)((2)()),(),0()(,(
),(),(),(grad
01
1
2
0 1
TtKtKdbbtlttxua
txudxtxKJ
B
L
i
ii
l L
i
ii
B
K
(30)
),(grad KJ
),(2)()),(),0((),(),()( 02
0
2
0
dbbdttltadxtxtxutK B
lT
B
(31)
где );,;,(),(),;,;,(),( bKtxtxbKtxutxu — соответственно решение
прямой и сопряженной краевой задач (8)–(13) и (23)–(27) при заданном начальном
допустимом условии .)0,( bxu
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 41
Замечание 2. Отметим, что для более строго доказательства теоремы 1 следо-
вало бы получить оценку для ),( txu вида
,)(),( 21 MtKMtxu (32)
где постоянные 21, MM не зависят от приращений ., K Один из способов
получения этой оценки заключается в аппроксимации краевой задачи (8)–(10) ме-
тодом прямых [14] системой обыкновенных точечно-нагруженных дифференци-
альных уравнений второго порядка с нелокальными краевыми условиями. Далее
используется методика работы [13], в который для системы нагруженных обык-
новенных дифференциальных уравнений первого порядка такая оценка изучена.
Из-за громоздкости вывода получение оценки (32) в данной работе не приводится.
Замечание 3. Если в задаче регулирования процесса нагрева ставится условие
«стабильности» ),(tK то, учитывая замечание 1, требуется оптимизировать зна-
чение .0K Несложно получить следующую формулу значения производной
функционала задачи (8)–(13) по параметру :0K
.))((2
0
01
0
T
dtKtK
dK
Jd
Теорема 2. Если пара )),(( ** tK оптимальна в задаче (8)–(13), то для всех
допустимых пар )),(( tK из достаточно малой ее окрестности имеет место
.0
)(
)),(grad),,(grad(
*
*
KtK
KJKJK
Как видно из (23)–(27), сопряженная нелокальная краевая задача имеет тип
нагружения, отличный от нагружения прямой задачи (8)–(13).
3. Схема численного решения задачи
Приведенные выше формулы (23)–(27) для градиента функционала зада-
чи (8)–(13) можно получить с помощью метода прямых по времени для сведения
исходной задачи к задаче оптимального управления системой нагруженных диф-
ференциальных уравнений с обыкновенными производными с нелокальными кра-
евыми условиями. Далее, применяя полученные в [13] необходимые условия оп-
тимальности для этих задач и переходя обратно к пределу шага дискретизации по
времени к нулю, можно получить формулы (23)–(27). Ниже метод прямых пред-
лагается использовать для численной реализации процедуры (16), а именно для
решения краевых задач: прямой (8)–(11) и сопряженной (23)–(27). Для решения
задачи оптимального управления, полученной нагруженной системой дифферен-
циальных уравнений с нелокальными краевыми условиями, используем числен-
ный метод, предложенный в [11–13].
В области введем прямые: ,/,...,,0, tttts NThNssht и обозначим
....,,1,0),(),,()( ttsts NsshKKshxuxu
Методом прямых [14] аппроксимируем краевую задачу (8)–(10) последова-
тельностью tN краевых задач относительно следующих нагруженных обыкно-
венных дифференциальных уравнений второго порядка с нелокальными условиями:
,0)(
1
)(
1
)(
1
1
2
is
L
i
iss
t
s
t
s xuKu
h
xu
h
xua (33)
42 ISSN 0572-2691
,)()0()0(
1
L
i
isisss xuKuu (34)
,...,,1,)()()(
1
t
L
i
isisss NsxuKlulu
(35)
].,0[,)(0 lxBbxu (36)
Целевой функционал (13) аппроксимируем, например, формулой
.)()()]()([)();,(
1
2
2
1
0
2
0
0
1
2
L
i
oii
N
s
s
l
tN
t
t
KKhdxxUxuxbKI (37)
Полученная задача оптимального управления заключается в определении
)( LNt -мерного вектора параметров )....,,,...,,(),( 11 LNt
KKK Для ее ре-
шения методом проекции градиента приведем формулы вектора градиента функ-
ционала (37):
....,,,...,,);,(grad
11
LN
II
K
I
K
I
bKI
t
Сопряженную краевую задачу (23)–(31) также аппроксимируем методом
прямых, нагруженными дифференциальными уравнениями второго порядка с
обыкновенными производными с нелокальными краевыми условиями:
,0)()()(
1
)(
1
)(
0 1
1
2
l L
i
iisss
t
s
t
s xxdxxKx
h
x
h
xa (38)
),0()0( ss (39)
),()( ll ss (40)
,...,,1)),0()(()()( LilKxx sssisis
(41)
решаемыми последовательно от 1 tNs до 1s при условии
)].()()[(2)( xUxuxx
tt NN (42)
Тогда компоненты градиента функционала задачи (33)–(37) определяются ап-
проксимацией формул (30), (31) следующим образом:
,...,,1
),(2))()0(()()( 01
0
2
1
t
s
l
sssis
B
L
i
it
s
Ns
KKdbladxxxuh
dK
Jd
(43)
....,,1
),(2))()0(()()( 01
0
2
1
Li
dbladxxxuKh
d
Jd
l
sssis
B
N
s
st
i
(44)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 43
Особенностями этих краевых задач являются: точечная нагруженность урав-
нений (33), интегральная нагруженность уравнений (38), нелокальность краевых
условий (34), (35), (39), (40). В работах [11, 13] для решения подобных краевых
задач предложен численный метод решения, основанный на сдвиге краевых усло-
вий, например, слева направо последовательно из точки 0x в точки ...,1x
,,..., lxxL и в результате получено nL )1( (n — порядок системы) алгебраи-
ческих уравнений относительно )).(),(...,),(( 1 lxxuxu sLss После решения этой си-
стемы исходная краевая задача приводится к задаче Коши, решаемой уже справа
налево. Аналогичный подход в [12] предложен для интегрально нагруженных диф-
ференциальных уравнений с обыкновенными производными с нелокальными крае-
выми условиями. При численном решении задачи оптимального управления,
например с применением метода проекции градиента (16), на каждой итерации при
текущих значениях минимизируемых параметров
LNtEK
),( решение указан-
ных краевых задач проводится многократно для всех s, ,...,,1 tNs и для различ-
ных начальных условий ,)0,( bxu ,...,,1 BN где b — узловые точки дис-
кретной (равномерной или неравномерной) аппроксимации множества BNB, —
число точек.
4. Результаты численных экспериментов
Приведем результаты численных экспериментов, полученных при решении
задачи управления нагревом стержня с обратной связью при следующих данных:
длина стержня ;1l время процесса нагрева ;5T коэффициент температуро-
проводности ;1a коэффициент граничного теплообмена .01,0 Приведем
точки замера температуры с учетом симметричности процесса нагрева по длине
стержня: ,4,0,2,0 21 xx т.е. .2L В ограничении (11) верхнее допустимое
значение коэффициента регулирования ,5,6K нижнее — ;0K в функциона-
ле (13) желаемое конечное значение температуры стержня 100,)( xU ].1,0[x
Множество допустимых начальных температур в расчетах варьировалось,
а именно:
]28;20[],26;20[],22;20[],21;20[ 4321 BBBB ,
их дискретизация проводилась с шагом ,5,0 функция плотности )(bB в расчетах
принята равномерно распределенной, т.е. .
1
)(
BB
bB
При этом весовые коэффициенты были взяты равными ,2,1,5,0 ii и оп-
тимизация по ним не проводилась.
Точное решение задачи регулирования при приведенных выше условиях не-
известно и получить его аналитическими методами невозможно.
Для аппроксимации прямой (8)–(10) и сопряженной (23)–(27) задач система-
ми нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений использован ме-
тод прямых с шагом .02,0th Вспомогательные задачи Коши, получаемые при
применении к нагруженным дифференциальным уравнениям с нелокальными
условиями метода, предложенного в [12], решались методом Рунге–Кутта четвер-
того порядка с шагом .04,0xh Точность решения (по норме градиента) задачи
оптимального управления методом проекции градиента ,01,01 точность одно-
мерной оптимизации .001,02
44 ISSN 0572-2691
В качестве начального приближения )(0 tK для итерационного процесса оп-
тимизации (16) брались разные значения, функции, проведенные расчеты показа-
ли независимость полученных результатов от начального приближения.
В таблице приведены полученные в результате решения задачи оптимальные
управления )(* tK iB
для разных диапазонов начальных температур стержня ,iB
,4,3,2,1i а также оптимальные значения управляющих обратной связью коэф-
фициентов регулирования K с шагом .5,0t В предпоследнем столбце таблицы
приведены оптимальные значения функционала ,*
iBJ а в последнем — максималь-
ные по длине стержня относительные отклонения полученных температур стержня
от желаемой температуры ,100)( xU т.е. )(/)(),(max
]1,0[
xUxUTxuR
x
i
для
разных диапазонов начальных температур стержня .4,3,2,1, iBi
Таблица
Управ-
ление
t 0,5 t 1 t 1,5 t 2 t 2,5 t 3 t 3,5 t 4 t 4,5 t 5 *J iR
)(*
1 tK
B
1,94 2,46 2,97 3,48 3,99 4,50 5,02 5,53 6,04 6,50 0,002 0,0023
)(*
2 tK
B
1,86 2,37 2,88 3,39 3,94 4,41 4,92 5,43 5,94 6,50 1,89 0,0048
)(*
3 tK
B
1,69 2,20 2,70 3,21 3,71 4,22 4,72 5,23 5,73 6,24 4,69 0,12
)(*
4 tK
B
1,61 2,11 2,61 3,11 3,62 4,12 4,62 5,13 5,63 6,14 5,05 0,148
Как видно из таблицы, с увеличением диапазона возможных начальных тем-
ператур стержней усложняется их приведение к нужной температуре за счет
усредненного управления температурой печи, т.е., как следовало ожидать, в этом
случае ухудшаются свойства регулирования процесса нагрева.
Заключение
Приведенный в данной работе подход к построению систем управления с об-
ратной связью для объектов с распределенными параметрами можно перенести на
случай, когда процессы описываются краевыми задачами других классов. Воз-
можно рассмотрение и других типов наблюдений (дискретных, интервальных во
времени и их комбинации).
Предложенный подход может найти применение в системах автоматического
управления различными технологическими процессами, описываемыми система-
ми с распределенными параметрами.
К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаєв
ПРО ЗАДАЧУ РЕГУЛЮВАННЯ
ПРОЦЕСУ НАГРІВАННЯ
Досліджується один клас задач оптимального керування процесом нагрівання
стержня (пластини) при регулюванні температури всередині печі. Керування
здійснюється зворотним зв’язком, при якому інформація про стан процесу
безперервно або дискретно надходить лише з окремих точок стержня, в яких
встановлено датчики температури. Математична модель керованого процесу
в обох випадках зводиться до точково навантаженого параболічного рівнян-
ня. Отримано необхідні умови оптимальності, запропоновано числові схеми
їх розв’язання.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 45
K.R. Aida-zade, V.M. Abdullayev
ON A REGULATION PROBLEM
FOR HEATING PROCESS
A class of optimal control problems for the heating process of a rod (plate) at
the expense of adjusting the temperature inside a stove is investigated. Feedback
is used for control. Information on the state of the process is received continuous-
ly or discretely only from distinct points of the rod, at which temperature
sensors are set. The mathematical model of the controlled process is reduced
in both cases to a pointwise loaded parabolic type equation. Necessary optimality
conditions are obtained, numerical schemes for the solution are proposed.
1. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М. : Наука, 1981. —
290 с.
2. Prajna S., Parrilo P.A., Rantzer A. Nonlinear control synthesis by convex optimization // IEEE
Transact. on Automat. Contr. — 2004. — 49, N 2. — P. 310–314.
3. Егоров А.И. Основы теории управления. — М. : Физматлит, 2004. — 504 с.
4. Ray W.H. Advanced process control. — N.Y. : McGraw-Hill Book Company, 1981. — 368 p.
5. Mamedov R.S., Karimov V.A. Optimal stabilization problem for the oscillation process of an elas-
tic rod // Selected Papers of 24-th Mini EURO Conference «On Continuous Optimization and In-
formation – Based Technologies (MEC EurOPT 2010)», June 23–26, 2010. — Izmir, Turkey. —
2010. — P. 130–134.
6. Айда-заде К.Р. Подход к синтезу сосредоточенных управлений в распределенных системах //
Автоматика и вычислительная техника. — 2005. — № 3. — С. 16–22.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1966. —
724 с.
8. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. — М. : Наука,
2005. — 199 с.
9. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М. : Высш. шк., 1995. — 305 с.
10. Алиханов А.А, Березков А.М., Шхануков–Лафшиев М.Х. Краевые задачи для некоторых
классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной
реализации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2008. — 48, № 9. —
C. 1619–1628.
11. Айда-заде К.Р. О численном решении систем дифференциальных уравнений с нелокаль-
ными условиями // Вычислительные технологии. — 2004. — 9, № 1. — С. 11–25.
12. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. О численном решении нагруженных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2004. — 44,
№ 9. — С. 1585–1595.
13. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. Численные решение задач оптимального управления
нагруженными сосредоточенными системами // Там же. — 2006, — 46, № 9. — C. 1566–
1581.
14. Абдуллаев В.М. О применении метода прямых для краевой задачи с нелокальными услови-
ями относительно нагруженного параболического уравнения // Изв. НАН Азербайджана:
Сер. ФТМН. — 2008. — 28, № 3. — С. 76–81.
Получено 05.05.2010
После доработки 31.10.2010
|