Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях
Розглянуто проблему контролю системного виродження складних технічних систем в алгебраїчній постановці. Задача розв’язується кількісно за допомогою функціоналів виродження, побудованих на спектрі сингулярних чисел критеріальних матриць. Наведено методи конструювання критеріальних матриць складної те...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207313 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях / Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 93–101. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859802891944984576 |
|---|---|
| author | Дударенко, Н.А. Ушаков, А.В. |
| author_facet | Дударенко, Н.А. Ушаков, А.В. |
| citation_txt | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях / Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 93–101. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто проблему контролю системного виродження складних технічних систем в алгебраїчній постановці. Задача розв’язується кількісно за допомогою функціоналів виродження, побудованих на спектрі сингулярних чисел критеріальних матриць. Наведено методи конструювання критеріальних матриць складної технічної системи.
The control problem of complex technical systems degeneration in algebraic statement is considered. The problem is solved numerically by means of degeneration factors built on singular numbers spectrum of criterial matrices. The methods of construction of criterial matrices of complex technical systems are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:14:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.А. ДУДАРЕНКО, А.В. УШАКОВ, 2011
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 93
УПРАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
И ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 62-50
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЯ ВЫРОЖДЕНИЯ
СЛОЖНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ПРИ КОНЕЧНОМЕРНЫХ
ЭКЗОГЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Введение
Вырождение многомерной динамической системы будем рассматривать в ма-
тематической постановке как сокращение ранга линейного оператора отношения
вход–выход, отображающего пространство входов в пространство выходов, мат-
ричное представление которого с помощью критериальной матрицы сводит зада-
чу к контролю ранга этой матрицы. Ранг матрицы, как одна из ее численных
характеристик, является величиной целочисленной, а процесс изменения ранга, по
существу, оказывается скачкообразным. В этой связи для осуществления матема-
тического мониторинга процесса изменения свойств линейного оператора при
подходе к скачкообразному изменению ранга необходимо на параметрах матрицы
линейного оператора сформировать некоторый характеристический показатель,
который обладает свойством непрерывного изменения своего значения при скач-
кообразном изменении ранга. Таким свойством обладает характеристический по-
казатель в форме числа обусловленности матрицы оператора, развитие пользова-
тельских возможностей которого способствовало созданию аппарата функциона-
лов вырождения.
Проблема вырождения сложных динамических систем возникла в связи с тен-
денциями усложнения систем многомерного управления в составе обслуживае-
мых технологических процессов. На фоне постоянно возрастающего уровня
сложности функционального состава многомерных динамических систем очевид-
но наличие такого свойства сложной системы, как вырождение [1], характеризу-
ющее сужение функциональных возможностей, снижение и даже потерю работо-
способности системы.
Работоспособность, как одно из важнейших свойств любой системы управ-
ления, должно оцениваться априорно. В связи с этим и возникла необходимость
разрешения проблемы контроля вырождения сложной динамической системы.
1. Постановка задачи
Исследование задачи вырождения сложных технических систем позволило
выделить три ее постановочные версии: функциональное вырождение, физиче-
ское и системное вырождение.
Первая постановка предполагает, что сложная техническая система (СТС)
типа «многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ) функционально оказы-
94 ISSN 0572-2691
вается вырожденной в силу функциональной необходимости работы ее агрегат-
ных компонентов как единого целого. Наиболее наглядные примеры таких си-
стем — технологические процессы по обработке материальных потоков, направ-
ленные на формирование и подачу ленточного материала в листопрокатном про-
изводстве [2], в производстве бумаги и тканей; процессы динамической юсти-
ровки многокомпонентных оптических и радиооптических систем; организация
заготовительных процессов в составе «бесскладовых» технологических произ-
водств и т.д.
Примерами технологических процессов по обслуживанию гуманитарных по-
токов являются процессы движения строем подвижных технических средств,
управляемых антропокомпонентами-операторами (строй самолетов, вертолетов,
автомобилей и т.п.), и автономных антропокомпонентов (строй военнослужащих,
спортсменов и т.п.).
Вторая постановка задачи вырождения предполагает сохранение способности
нормального функционирования технологического оборудования системы МВМВ-
типа в условиях, когда экзогенный поток заявок из-за смены поколения техноло-
гий, экономических факторов уменьшается и даже исчезает полностью.
Третья постановка задачи вырождения, названная системной, решает задачу
вырождения систем МВМВ-типа, вызванную организационными причинами,
приводящими к неправильному распределению заявок по входам, неправильным
согласованием их динамики с динамикой сепаратных каналов, а также неудачно
синтезированными связями между сепаратными каналами [3]. При этом система
может вырождаться структурно, когда какой-либо ее функциональный элемент
выходит из строя. Вырождение системы также может происходить в силу пара-
метрической природы, когда неудачно организованы связи между каналами си-
стемы, неудачно назначены показатели характеристик этих связей, когда не-
удачно сформированы полосы пропускания каналов, а в случае, если система име-
ет дискретную природу, неудачно назначены и распределены по каналам интервалы
дискретности и т.д.
Задача контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем
может быть рассмотрена как в геометрической, так и в алгебраической постановке.
Причем в обоих случаях решение поставленной задачи осуществляется с привлече-
нием возможностей матричного формализма. В настоящей статье рассматриваются
многомерные системы, в которых размерность входов и выходов совпадает.
2. Проблема контроля вырождения
Контроль вырождения как показателя свойств системы МВМВ-типа осущест-
вляется в основном в установившемся режиме функционирования системы, а за-
дача контроля вырождения решается на основе априорных оценок возможной
склонности проектируемой системы МВМВ-типа к вырождению.
Математически вырождение означает сокращение размерности образа линей-
ного оператора, реализуемого СТС, который отображает «пространство намерений»
в «пространство осуществляемых реализаций», т.е. изменение ранга этого операто-
ра. Ранг оператора является целочисленной характеристикой. В этой связи нужен
такой инструментарий, который позволил бы непрерывно оценивать появляющую-
ся в системе тенденцию к возможному ее вырождению. Этот инструментарий стро-
ится на использовании сингулярного разложения [4, 5] критериальных матриц, поз-
воляющего конструировать функционалы вырождения, с помощью которых мож-
но оценить склонность системы к вырождению.
Технология контроля вырождения сложных технических систем МВМВ-ти-
па основывается на использовании сепаратных и глобальных функционалов
вырождения, конструируемых на спектре сингулярных чисел матрицы линейного
(локально линейного) оператора СТС, отображающего входное пространство це-
левых намерений в выходное пространство их реализаций.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 95
Представляемый авторами инструментарий аппарата функционалов вырож-
дения позволяет дать численную оценку близости сложной динамической техни-
ческой системы МВМВ-типа к частичной или полной потере работоспособности.
Технология контроля системного вырождения СТС сформировалась как двух-
фазный процесс. В первой фазе конструируются функционалы вырождения кри-
териальных матриц, во второй — критериальные матрицы.
3. Функционалы вырождения и их свойства
Пусть сложная динамическая система МВМВ-типа сведена путем векторно-
матричных преобразований к линейной алгебраической задаче (ЛАЗ) вида
,)(),()( wwNw (1)
где ),( wN — mm -матрица для любых w, ; ),(w )(w — m-мерные векто-
ры; — p-мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N.
Для контроля вырождения воспользуемся аппаратом функционалов вырож-
дения DvJ [1], которые строятся на спектре сингулярных чисел j ),1( mj
матрицы N, таких что
},,1:0)(det::{}{ T2/1 mjNNIN ijj (2)
и удовлетворяют соотношению
.1,;/ 1 mJ D (3)
При этом функционал вырождения вида
,/ 1 mDJ
где 1, m — минимальное и максимальное сингулярные числа матрицы N соот-
ветственно, определим как глобальный функционал вырождения, а значения
функционалов вырождения для 1,1 m назовем сепаратными функционалами
вырождения.
Функционалы вырождения обладают следующими свойствами.
Свойство 1. Функционалы вырождения DJ для всех в силу (3) удовлетво-
ряют неравенствам
.10 DJ (4)
Свойство 2. Умножение критериальной матрицы N на скаляр в непараметри-
зованной или параметризованной форме ( или ))( не меняет спектра ее функ-
ционалов вырождения.
Свойство 3. Умножение критериальной матрицы N на ортогональную матри-
цу слева или справа не меняет ее функционалов вырождения.
Свойство 4. Глобальный функционал вырождения )(NJD является обрат-
ным числу обусловленности )(NC критериальной матрицы N. Данное свойство
опирается на свойство числа обусловленности, которое в случае использования
спектральных норм критериальной матрицы является величиной, обратной гло-
бальному функционалу вырождения.
Свойство 5. Глобальный функционал вырождения DJ прямой матрицы N
совпадает с глобальным функционалом вырождения обратной матрицы 1N , т.е.
выполняется соотношение
).()( 1 NJNJ DD (5)
96 ISSN 0572-2691
В целях демонстрации наглядной геометрической интерпретации функцио-
налов вырождения воспользуемся сингулярным разложением матрицы (SVD-про-
цедурой) [4, 5], тогда матрица N запишется в виде
,T
NNN VUN (6)
где },1;{diag mjjN — матрица с сингулярными числами на главной диа-
гонали, построенная по правилу убывания их значений с ростом индекса j,
NU и NV — матрицы соответственно левого и правого сингулярных базисов
,TT IUUUU NNNN ,TT IVVVV NNNN для которых выполняется соотношение
,jNjjN UNV .,1 mj (7)
Векторно-матричное соотношение (7) придает исходной ЛАЗ (1) геометриче-
скую наглядность, которая состоит в том, что вектор jNV ),1( mj единич-
ной нормы отображается в подпространство, натянутое на j-й элемент jNU лево-
го сингулярного базиса NU так, что соответствующий ему вектор имеет норму,
равную .j Таким образом, единичная сфера в пространстве, натянутом на век-
торы ,jNV отображается в эллипсоид, натянутый на левый сингулярный базис с
длиной полуосей, определяемых сингулярными числами матрицы N.
Спектр функционалов вырождения DJ в отличие от числа }{NC обуслов-
ленности матрицы N, которое в вычислительных процедурах используется для
оценки близости матрицы к ее вырождению, позволяет зафиксировать всю карти-
ну вырождения ЛАЗ (1). Так, по мере обнуления сингулярных чисел происхо-
дит сплющивание эллипсоида, который строится с помощью ЛАЗ (1) при отобра-
жении сферы 1)( w , последовательно вдоль каждой из осей этого эллипсои-
да. При 01 и 0 )2,( m эллипсоид вырождается в отрезок прямой,
при этом ЛАЗ (1) оказывается на границе глобального вырождения и, наконец,
при 0 )1,( m эллипсоид вырождается в точку и фиксируется глобальное
вырождение ЛАЗ (1).
Спектр сингулярных чисел и сконструированный на нем спектр функциона-
лов системного вырождения матрицы N указывают механизм численного кон-
троля процесса вырождения при вариации параметра с помощью контроля
функционалов вырождения.
Таким образом, процесс вырождения алгебраической задачи можно отслежи-
вать по последовательному обнулению функционалов вырождения DJ матрицы
),,( wN которую назовем критериальной.
4. Критериальные матрицы и методы их конструирования
Формирование критериальных матриц линейных операторов в зависимости
от постановки задачи контроля системного вырождения в форме его «экспресс-
оценки» или в более детализированной форме с учетом вида потока входных за-
явок детерминированного или стохастического характера опирается на матрич-
ный формализм алгоритма Фаддеева–Леверье, аппарата грамианных представле-
ний, матричных коэффициентов разложения вектора выхода системы по произ-
водным вектора задающего воздействия, а также с использованием возможностей
матричного формализма уравнений Сильвестра и Ляпунова для случаев конечно-
мерного и стохастического представлений входных заявок, при этом каждый из
перечисленных способов имеет приложение для пользователей.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 97
Процедуру конструирования критериальных матриц рассмотрим на примере
системы следующего вида:
),()()( tGgtFxtx );0(x ),()( tCxty (8)
где x, g, y — векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответствен-
но; ,nRx ;, mRyg F, G, C — матрицы состояния системы, входа и выхода
непрерывного объекта управления соответственно, согласованные по размерности
с размерностью векторов x, g и y так, что ,nnRF ., T mnRCG Для оценки
склонности сложной технической системы (8) к вырождению рассмотрим случай,
когда )(tg — конечномерная векторная функция, задаваемая в форме
),()( ;)()0( );()( 0 tPztgtzztEztz t
(9)
где ,lRz lmll RPRE ; — соответственно вектор состояния, матрицы со-
стояния и выхода источника задающего конечномерного воздействия (ИЗКВ).
Матрица P удовлетворяет условию .T IPP ИЗКВ выбирается минимальной
размерности, но такой, чтобы его выход
),()( tPztg где ),0()( zetz Et (10)
на множестве начальных состояний )0(z адекватно представлял весь класс ко-
нечномерных задающих воздействий системы.
Аналитические представления для переменных )(tx и )(ty системы (8)
сформируем с помощью положений следующего утверждения.
Утверждение. Пусть матрица T отношения подобия (в общем случае особо-
го) удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра [4, 5]
,GPFTTE (11)
тогда решение системы (8) может быть представлено в форме
),0()()0()( zTeTexetx tFtEtF (12)
).0()()0()()( zTeTeCxCetCxty tFtEtF (13)
Доказательство утверждения приведено в Приложении.
Раскроем содержание матрицы отношения подобия T. Для этой цели сравним
выражение (10) для )(tz и выражение (12) для )(tx при ,t что позволяет за-
писать соотношение
).()( tzTtxy (14)
Таким образом, матрица T является матрицей подобия установившейся со-
ставляющей вектора состояния системы МВМВ-типа (8) вектору состояния
ИЗКВ, а матричное уравнение (11) является способом ее вычисления.
Для формирования критериальных матриц отношения вход–выход непре-
рывной динамической системы МВМВ-типа при конечномерном экзогенном за-
дающем воздействии рассмотрим подробнее решение (13)
).0()()0()()( zTeTeCxCetCxty tFtEtF (15)
Это решение содержит все компоненты движения системы по выходу: свободное
)(fr ty и вынужденное )(for ty , переходное )(tr ty и )(ss ty в установившемся
режиме:
98 ISSN 0572-2691
).0()()0()(
);0()()0()(
);0()()0()()(
);0()()0()(
ssss
trtr
forfor
frfr
ztNzCTety
ztNTzCety
ztNzTeTeCty
xtNxCety
Et
tF
FtEt
tF
(16)
Соотношения (16) — основа конструирования банка критериальных, пара-
метризованных временем матриц. Конкретное представление критериальной мат-
рицы определяется моделью системы МВМВ-типа (8), видом экзогенного задаю-
щего воздействия, определяющего пару матриц ),( PE и, как следствие, решение
матричного уравнения Сильвестра (11) в виде матрицы T.
Конкретный выбор критериальной матрицы из банка (16) определяется пред-
метом исследования. Так если ставится задача оценки временнóго интервала,
по прошествии которого в системе обнаруживается склонность к вырождению, то
для этих целей целесообразно использовать модельное представление СТС в
форме ЛАЗ вида .)0()()0()()( forfor ztNzTeTeCty tFtE Если задача контроля
вырождения формулируется применительно к процессу, параметризация време-
нем которого не является основным, а важны сочетания динамических парамет-
ров
сепаратных каналов и межканальных связей, то в этом случае целесообразно
использовать модельное представление СТС в форме линейной алгебраической
задачи вида ).0()()0()( ssss ztNzCTety tE
Отмеченная возможность разбиения банка (16) динамических ЛАЗ при опи-
сании СТС по специфике их применения оказывается достаточно остро востребо-
ванной, если в состав СТС входят антропокомпоненты [6], характеризующиеся
такими свойствами, как усталость, запаздывание в сенсорике и моторике, степень
тренированности.
Пример. Рассмотрим многомерную непрерывную систему типа трехмерный
вход–трехмерный выход вида (8), где
,3,1;
734,2734,2
100
010
diag
0
2
0
3
0
iFF
iii
ii
,3,1;0
0
coldiag
3
0
iGG
i
ii .3,1;
0
0
1
coldiagT
iCС ii
Рассмотрим исследуемую систему при конечномерном экзогенном воздей-
ствии типа гармоническое многочастотное воздействие с вектором частот
}3,1;{col ibii и с вектором распределения частот }3,1;{col ibib
по входам системы вида
),()( tEztz );0(z ),()( tPztg
где
3,1;;
0
0
:diag iEEE ibi
i
i
iiii , },3,1;{col ibib
],01[ IP
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 99
I — единичная матрица размерности .33
Проведем эксперимент для значений характеристических частот 00 igi
моделей сепаратных каналов, характеристические полиномы матриц состояния
которых имеют распределения мод Баттерворта, при 1
0 с2 и трех случаев
реализации сочетаний векторов }3,1;{col iqiq и ,b задающих распределе-
ние частот гармонических воздействий по сепаратным входам моделирующей си-
стемы и распределение диапазонов полосы пропускания каждого из сепаратных ка-
налов соответственно вариантами:
a) ],931[q ;]111[b
b) ,]931[q ;]9/13/11[b
c) ,]931[q .]13/19/1[b
В силу вида матрицы E матричная экспонента e
Et
ортогональная, что с уче-
том свойства 3 функционалов вырождения позволяет перейти от критериальной
матрицы (16) к матрице, не зависящей от времени и принимающей вид ,ss CTN
где матрица T определяется как решение уравнения Сильвестра (11).
Кривые глобальных функционалов вырождения )(DJ критериальной мат-
рицы )()( CTNN многомерной непрерывной системы при экзогенном
многочастотном гармоническом воздействии, характеризующимся значениями
1с]30;0( , приведены на рисунке (a, b, c).
0 5 10 15 20 25 30
, c
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
J D
a; b
c
Результаты моделирования доказывают, что система МВМВ-типа работает без
вырождения при согласованном распределении частот векторного гармоническо-
го входного воздействия с полосами пропускания каждого из сепаратных каналов,
которому соответствует случай c) сочетания полос пропускания и распределения
частот экзогенных воздействий по каналам и кривая (рисунок, кривая с) значений
глобального функционала вырождения )(DJ как функции частоты .
Заключение
Решение задачи контроля системного вырождения сложных технических си-
стем в алгебраической постановке позволило разработать инструментарий кон-
троля системного вырождения СТС, способствующий получению численной
оценки близости сложной динамической технической системы МВМВ-типа к ча-
стичной или полной потере работоспособности. По существу, обнаружилась воз-
можность количественной оценки такого качественного показателя сложных си-
100 ISSN 0572-2691
стем, как робастность сложных систем в смысле показателя DJ относительно
системных параметров.
Приложение
Доказательство утверждения строится на использовании структурного объ-
единения системы (8) и ИЗКВ (9), представляющего собой автономную систему
с вектором состояния },{col)(~ zxtx , и имеющую векторно-матричное описание
),(~~
)();(~~
)()};0(),0({col)0(~);(~~
)(~ txCtytxCtxzxxtxFtx yx (П.1)
где
.]0[
~
;]0[
~
;
0
~
lmylnnnx CCIC
E
GPF
F
(П.2)
Для переменных )(tx и )(ty системы (8) на основе представления (П.1)
можно записать
.)0(~)0(~);0(~~
)();0(~~
)( 0
~~
t
tF
y
tF
x xxxeCtyxeCtx (П.3)
При вычислении матричной экспоненты
tFe
~
запишем матрицу F
~
(П.2) в форме
,
0
~
E
FTTEF
F (П.4)
в которой использован факт зависимости матричных компонентов в виде уравне-
ния Сильвестра (11).
Запишем матричную экспоненту
tFe
~
в виде матричного степенного ряда
,
~
!
1~
!3
1~
!2
1~ 3322
~
pptF tF
p
tFtFtFIe (П.5)
в котором для степеней матрицы F
~
с учетом (П.4) можно записать
.
000
~~~
;
000
~~~
;
000
00
~~~
;
0
~
1
111
1
3
333
2
222
23
2
222
2
222
2
p
ppp
p
ppp
pp
E
TFTEF
E
FTTEF
E
TFTEF
FFF
Γ
TFTΓF
E
FTTEF
E
TFTEF
FFF
E
TFTEF
E
FTTEF
E
FTETETFFTEF
E
FTTEF
E
FTTEF
FFF
E
FTTEF
F
(П.6)
Подстановка (П.6) в матричный степенной ряд (П.5) позволяет представить
матричную экспоненту
tFe
~
в форме
.
0
~
Et
FtEtFt
tF
e
TeTee
e (П.7)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 101
Подстановка (П.7) в (П.3) с учетом соотношений (П.2) приводит к представ-
лениям (12) и (13). ■
Н.О. Дударенко, А.В. Ушаков
МАТРИЧНИЙ ФОРМАЛІЗМ ЗАДАЧІ
КОНТРОЛЮ ВИРОДЖЕННЯ СКЛАДНИХ
НЕПЕРЕРВНИХ ДИНАМІЧНИХ
СИСТЕМ ПРИ СКІНЧЕННОВИМІРНИХ
ЕКЗОГЕННИХ ВПЛИВАХ
Розглянуто проблему контролю системного виродження складних технічних
систем в алгебраїчній постановці. Задача розв’язується кількісно за допомогою
функціоналів виродження, побудованих на спектрі сингулярних чисел критері-
альних матриць. Наведено методи конструювання критеріальних матриць скла-
дної технічної системи.
N.A. Dudarenko, A.V. Ushakov
MATRIX FORMALISM OF DEGENERATION
CONTROL PROBLEM FOR COMPLEX
CONTINUOUS-TIME DYNAMIC SYSTEMS
WITH FINITE-DIMENSIONAL
EXOGENEOUS PERTURBATIONS
The control problem of complex technical systems degeneration in algebraic
statement is considered. The problem is solved numerically by means of degenera-
tion factors built on singular numbers spectrum of criterial matrices. The methods
of construction of criterial matrices of complex technical system are presented.
1. Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории
управления: аппарат метода пространства состояний : Уч. пособие / Под ред.
А.В. Ушакова — СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. — 325 с.
2. Система управления лентопротяжным механизмом / В.А. Власенко, И.В. Мирошник,
Ю.А. Сабинин, А.В. Ушаков и др. // Электротехн. пром. Сер. Электропривод. — 1977. —
Вып. 5/58. — С. 16–78.
3. Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. К вопросу о синтезе перекрестных связей, обеспечивающих
синхронную работу параллельно включенных агрегатов // Приборы и системы автоматики.
Тр. ЛИТМО. — 1975. — Вып. 85. — C. 39–43.
4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М. : Наука, 1984. — 320 с.
5. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления / Пер. с англ. — М. : Мир, 1999. — 548 с.
6. Дударенко Н.А., Полякова М.В. Контроль вырождения сложных динамических систем со-
зидательного типа с антропокомпонентами // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО.
Системы: Управление, моделирование, безопасность. — 2008. — № 55. — С. 25–30.
Получено 11.10.2010
После доработки 12.01.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207313 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:14:19Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дударенко, Н.А. Ушаков, А.В. 2025-10-05T15:57:57Z 2011 Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях / Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 93–101. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207313 62-50 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i6.30 Розглянуто проблему контролю системного виродження складних технічних систем в алгебраїчній постановці. Задача розв’язується кількісно за допомогою функціоналів виродження, побудованих на спектрі сингулярних чисел критеріальних матриць. Наведено методи конструювання критеріальних матриць складної технічної системи. The control problem of complex technical systems degeneration in algebraic statement is considered. The problem is solved numerically by means of degeneration factors built on singular numbers spectrum of criterial matrices. The methods of construction of criterial matrices of complex technical systems are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление физическими объектами и техническими системами Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях Матричний формалізм задачі контролю виродження складних неперервних динамічних систем при скінченновимірних екзогенних впливах Matrix Formalism of Degeneration Control Problem for Complex Continuous-Time Dynamic Systems with Finite-Dimensional Exogenous Perturbations Article published earlier |
| spellingShingle | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях Дударенко, Н.А. Ушаков, А.В. Управление физическими объектами и техническими системами |
| title | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях |
| title_alt | Матричний формалізм задачі контролю виродження складних неперервних динамічних систем при скінченновимірних екзогенних впливах Matrix Formalism of Degeneration Control Problem for Complex Continuous-Time Dynamic Systems with Finite-Dimensional Exogenous Perturbations |
| title_full | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях |
| title_fullStr | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях |
| title_full_unstemmed | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях |
| title_short | Матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях |
| title_sort | матричный формализм задачи контроля вырождения сложных непрерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях |
| topic | Управление физическими объектами и техническими системами |
| topic_facet | Управление физическими объектами и техническими системами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207313 |
| work_keys_str_mv | AT dudarenkona matričnyiformalizmzadačikontrolâvyroždeniâsložnyhnepreryvnyhdinamičeskihsistemprikonečnomernyhékzogennyhvozdeistviâh AT ušakovav matričnyiformalizmzadačikontrolâvyroždeniâsložnyhnepreryvnyhdinamičeskihsistemprikonečnomernyhékzogennyhvozdeistviâh AT dudarenkona matričniiformalízmzadačíkontrolûvirodžennâskladnihneperervnihdinamíčnihsistempriskínčennovimírnihekzogennihvplivah AT ušakovav matričniiformalízmzadačíkontrolûvirodžennâskladnihneperervnihdinamíčnihsistempriskínčennovimírnihekzogennihvplivah AT dudarenkona matrixformalismofdegenerationcontrolproblemforcomplexcontinuoustimedynamicsystemswithfinitedimensionalexogenousperturbations AT ušakovav matrixformalismofdegenerationcontrolproblemforcomplexcontinuoustimedynamicsystemswithfinitedimensionalexogenousperturbations |