Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях
Розглянуто задачі оптимального керування рухомими джерелами в розподілених системах, коли керування визначено імпульсними, кусково-постійними і хевісайдівськими функціями. Досліджено різні варіанти відносно розташування джерел. Для розглянутих задач оптимального керування отримано формули для градіє...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207314 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях / К.Р. Айда-заде, Е.Р. Ашрафова // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 102–119. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860086425575227392 |
|---|---|
| author | Айда-заде, К.Р. Ашрафова Е.Р. |
| author_facet | Айда-заде, К.Р. Ашрафова Е.Р. |
| citation_txt | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях / К.Р. Айда-заде, Е.Р. Ашрафова // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 102–119. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто задачі оптимального керування рухомими джерелами в розподілених системах, коли керування визначено імпульсними, кусково-постійними і хевісайдівськими функціями. Досліджено різні варіанти відносно розташування джерел. Для розглянутих задач оптимального керування отримано формули для градієнта фукціонала в просторі оптимізованих параметрів, що дозволяють для числового розв’язання використовувати методи оптимізації першого порядку. Наведено результати числових експериментів
Problems of optimal control of movable lumped sources in distributed systems when controls are determined by functions as impulsive, piecewise constant, and Heaviside are considered. The optimal control problems are investigated for various cases, according to the position of the sources. The necessary conditions of optimality are obtained with respect to all the considered problems of optimal control on these classes, which consists in deriving constructive analytical formulas for the gradient of a functional in the space of optimized parameters. The results of some numerical experiments are also given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:19:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
© К.Р. АЙДА-ЗАДЕ, Е.Р. АШРАФОВА, 2011
102 ISSN 0572-2691
УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
УДК 519.6
К.Р. Айда-заде, Е.Р. Ашрафова
КЛАСС ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ИСТОЧНИКАМИ
В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ
НА ИМПУЛЬСНЫХ, КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ
И ХЕВИСАЙДОВСКИХ ФУНКЦИЯХ*
В последние время возрос интерес к задачам управления движением источ-
ников той или иной субстанции различной физической природы. Например, они
возникают при исследовании подвижных источников концентрации химического
реагента, массы (напора) подземных вод, нефти (вообще вещества), импульса,
напряжений, термонапряжений, тепла, звука, излучения электромагнитных коле-
баний (вообще энергии), информации и др. Подобные задачи возникают также
при решении некоторых обратных задач математической физики.
Наряду с непрерывными перемещениями источника возможны примеры, ког-
да источник может перемещаться из одного положения в другое только скачкооб-
разно, и оптимальное подвижное управление необходимо искать в классе лишь
таких перемещений.
Известно, что при управлении реальными объектами реализация оптимальных
управляющих воздействий из класса непрерывных, кусочно-непрерывных функций
вызывает технические сложности. Поэтому важное практическое значение имеет
решение задач оптимального управления на технически легко и точно реализуемых
классах функций [1–11]. К ним можно отнести системы с управляющими воздей-
ствиями из классов импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функций.
В отличие от многих других работ [6–8, 11] здесь управляющими факторами яв-
ляются не только мощности источников, но также место и время их приложения.
Задачи оптимального управления в классах кусочно-постоянных функций
для случая обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены в [6–8].
В [3] исследована задача размещения нефтяных скважин и управления их дебитами.
В математических моделях многих управляемых процессов в качестве управ-
ляющих воздействий используются функции Хевисайда. Ясно, что такие управле-
ния являются частным случаем кусочно-постоянных функций, но управления из
класса функций Хевисайда представляют самостоятельный интерес с практиче-
ской точки зрения, так как многие управляемые процессы на практике таковы, что
управляющие воздействия после задействования принимают постоянные во вре-
мени значения.
Задачи оптимального управления движением источников и их интенсивно-
стью (мощностью) исследовались многими авторами в классе кусочно-непрерыв-
ных функций [1, 9]. В работе [9] исследована постановка задачи управления со-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Респуб-
лики Азербайджан (Гранты № EIF-2010-1(1)-40/11 и EIF-2010-1(1)-40/12).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 103
средоточенными источниками для двумерного случая, при этом оптимизация со-
стоит в определении как оптимального закона движения источников (траектории
и движения по ней), так и их интенсивности.
В данной работе рассматривается задача оптимального управления подвиж-
ными источниками в распределенных системах, когда управления определены на
импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских классах функций. Исследо-
ваны различные варианты относительно управления положением источников. Для
задач оптимального управления на этих классах получены формулы для градиен-
та функционала в пространстве оптимизируемых параметров, позволяющие ис-
пользовать численные методы оптимизации первого порядка для решения задач
оптимального управления [12, 13].
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу оптимального управления системой с распределенными
параметрами, которая заключаются в минимизации функционала
20
3
20
2
2
1
22
)()()()()]();,([)(
LL
tststvtvdxxUwTxuwJ -a+-a+-a= ñ
W
(1)
при условии, что состояние управляемого объекта описывается следующей крае-
вой задачей относительно параболического уравнения:
)),((),()()),(grad)((div),(
1
txtxbtvtxuxtxu i
ii
L
i
t x-d+s= ä
=
,nRx ËWÍ ,0 Tt¢< (2)
),()0,( xxu j= ,WÍx (3)
),,(),( 11 txtxu
x
m=
GÍ
),,(
),(
)( 2
2
tx
n
txu
x
x
m=
µ
µ
s
GÍ
,0 Tt ¢< (4)
., 2121 Å=GGWµ=GG=G <G
Здесь ),^(cos
),(
1
ix
n
i
enu
n
txu
iä
=
=
µ
µ
n — единичная внутренняя нормаль к части гра-
ницы области ;2G );,(),( wtxutxuu == — фазовое состояние объекта, определя-
емое из решения краевой задачи (2)–(4) при соответствующем допустимом значе-
нии оптимизируемого управляющего вектора ));(),(( tstvw= nR — n-мерное ев-
клидово пространство; L — заданное число управляющих воздействий
(источников); ),,(...,),,(1 txbtxb L ),,(),,(),( 21 txtxx mmj ),(xs ),(xU ,0>ai
,2,1=i ,0>l ,0>T )),(....,),(()( 00
1
0 tvtvtv L= ))(....,),(()( 00
1
0 tststs L= — заданные
функции и величины, определяющие исследуемый процесс и критерий управле-
ния им; ),()(
1
i
n
i
xx d=d Ô
=
)( ixd — обобщенная функция Дирака;
))(....,),(()( 1 tvtvtv L= — управления, определяющие мощности источников из
пространства 2L с нормой ;
2L
Ö
ni Rt Íx )( — координаты месторасположения
i-го источника в момент времени t, ));(....,),(()( 1 ttt Lxx=x ie — i-я координатная
орта.
104 ISSN 0572-2691
Относительно месторасположения источников )),(...,),(()( 1 ttt i
n
ii xx=x
,...,,1 Li = рассмотрим следующие варианты.
Источники неподвижны:
,const)( =x=x ii t ],,0[ TtÍ ,ni RÍx ,...,,1 Li =
или подвижны, а закон движения источников определяется задачей Коши относи-
тельно системы дифференциальных уравнений
),),(,()( ttsft i
iii x=x" ,)0( 0
ii x=x ],,0[ TtÍ ,...,,1 Li = (5)
где ,0
ni RÍx ,...,,1 Li = — заданные начальные значения координаты траекто-
рий; ),;,( ÖÖÖ= ii ff ,...,,1 Li = — заданные n-мерные вектор-функции; ),(tsi
,...,,1 Li = — im -мерные управляющие воздействия на движение источников. Та-
ким образом, механические движения источников также могут быть управляемы-
ми процессами.
В настоящей работе исследуются задачи оптимального управления источни-
ками, в которых управление объектом (процессом) осуществляется за счет управ-
ления мощностью и движением источников. Рассмотрены также задачи, в кото-
рых могут оптимизироваться как времена воздействия источников, так и коорди-
наты расположения неподвижных источников — ,ix ....,,1 Li=
Рассмотрим задачи оптимального управления (1)–(5) для следующих классов
управляющих воздействий.
¶ Управляемые мощности источников из класса импульсных функций
),()(
1
ijij
m
j
i tqtv
i
q-d=ä
=
,
1
i
L
i
mM ä
=
= ,...,,1 Li = (6)
определяются конечномерным вектором ,),( 2LMRqw Íq= где ijq — значения
импульсной мощности i-го источника в момент воздействия ,ijq ,...,,1 imj=
;..,,1 Li= im — заданное число импульсных воздействий i-го источника, т.е.
функционал (1) определяется конечномерным вектором
)....,,...,,,,...,,...,,,(
11 1121111211 LL LmmLmm qqqqw qqqq= (7)
Имеются ограничения на управляющие параметры, например,
,iiji
qqq ¢¢ ,10 h¢q-q<z¢ - jiij ],,0[ TijÍq ,...,,1 imj= ,...,,1 Li= (8)
где hz,,, jj
qq заданы.
¶ Управляемые мощности источников из класса кусочно-постоянных функций
,...,,1,,,0,...,,1
,),,[,const)(
1
0
11
LimMTmj
tqtv
L
i
iimii
ijijijijiji
===q=q=
q<qqqÍ==
ä
=
--
(9)
определяются конечномерным вектором ,),( 2LMRqw Íq= т.е. значения управ-
ления )(tvi постоянны на полуинтервалах ],0[),[ 1 Tijij Ëqq- и должны принад-
лежать некоторому допустимому множеству V, в частности параллелепипеду (8),
а ,ijq ,1...,,1 -= imj ,...,,1 Li = определяют интервалы ),[ 1 ijij qq- постоянства
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 105
значения мощности i-го источника; im — заданное число интервалов постоянства
для i-го источника.
¶ Управляемые мощности источников из класса функций Хевисайда
),(),;()( iiiiii tqqtvtv q-c=q= ,...,,1 Li= (10)
определяются конечномерным вектором
,)...,,,...,,(),( 2
11
L
LL Rqqqw Íqq=q= (11)
где i-я компонента является мощностью i-го источника, начинающего свое влия-
ние в момент времени ,iiLw q=+ ;..,,1 Li= )( it q-c — функция Хевисайда, ко-
торая равна нулю при it q< и единице при .it q²
Пусть имеются ограничения на управляющие параметры:
,iii
qqq ¢¢ ,0 Ti ¢q¢ ....,,1 Li= (12)
Здесь Lqq ii
,, заданы. Таким образом, каждая компонента управляющей вектор-
функции (управления) )(tv — кусочно-постоянная функция с одним переключе-
нием значения и определяется значениями iq и ,iq т.е. временем начала включе-
ния воздействия и величиной ее мощности.
¶ Движение источников, описываемое системой уравнений (5), осуществля-
ется управлением из класса импульсных функций
),()(
1
ijij
m
j
i tsts
i
t-d=ä
=
,
1
i
L
i
mM ä
=
= ,...,,1 Li= (13)
и определяется конечномерным вектором ,),( 2LMRsw Ít= где ijs — значение
воздействия импульсной мощности на движение i-го источника в момент времени
,ijt ,..,,1 imj= ;..,,1 Li= im — заданное число импульсных воздействий, т.е.
)....,,...,,,,...,,...,,,(
11 1121111211 LL LmmLmm ssssw tttt= (14)
В задаче управления могут быть наложены ограничения вида (8) на управляющие
параметры.
¶ Управляющие воздействия )(ts на движение источников, описываемые си-
стемой уравнений (5), — кусочно-постоянные функции, т.е.
....,,1,,,0
,...,,1,),,[,const)(
1
0
11
LimMT
mjtsts
L
i
iimi
iijijijijiji
L
===t=t
=t<tttÍ==
ä
=
--
(15)
Таким образом, управление определяется конечномерным вектором ,),( 2LMRsw Ít=
т.е. значения управляющих воздействий на траекторию постоянны на полу-
интервалах ],0[),[ 1 Tijij Ëtt- и должны принадлежать некоторому допустимому
множеству, например (8).
¶ Управляющие воздействия на движение источников из класса функций
Хевисайда представлены в виде
),()( iii tsts t-c= ,...,,1 Li=
т.е. определяются конечномерным вектором
.)...,,,...,,(),( 2
11
L
LL Rsssw Ítt=t= (16)
106 ISSN 0572-2691
Здесь i-я компонента вектора (16) является мощностью i-го управляющего воз-
действия на движение источника. Пусть имеются ограничения на управляющие
параметры, например, типа (13).
Для всех вышерассмотренных классов задач оптимального управления пред-
полагается, что участвующие в этих задачах функции и параметры удовлетворяют
всем условиям существования и единственности решения краевой задачи.
Рассматриваемые задачи оптимального управления эквивалентны задачам
оптимизации функционала )(wJ в замкнутой допустимой области, следователь-
но, они имеют непустые множества оптимальных решений [11, 12].
Рассмотрим следующую теорему.
Теорема. Если функционал )(wJ выпуклый на классе кусочно-непрерывных
управляющих функций, то он выпукл и на классах импульсных, кусочно-постоян-
ных и хевисайдовских функций.
Так как в рассматриваемых задачах управление может иметь разрывы, то
классического решения этих задач не существует.
Под обобщенным решением краевой задачи (2)–(4), соответствующим управ-
лению ))(),(( tstvw= из гильбертова пространства ]),,0([2 TLH= подразумевае-
тся функция );,(),( wtxutxu = из пространства ]),,0[(2 TL ³W удовлетворяющая
интегральному тождеству
-yj-y ññ
WW
dxxxdxTxTxu )0,()(),(),(
-ys+y-ññ
W
T
t dtdxtxxtxtxu
0
))),(grad)((div),()(,(
0))((),()(),(
01
=x-dy- ññä
W=
dtdxtxtxbtvtx i
ii
TL
i
для всех ]),0[(),( 1,2 THtx ³WÍy=y таких, что 0
),(
=
µ
yµ
GÍxn
tx
[12].
2. Численный подход к решению рассматриваемых задач
Для численного решения задач оптимального управления мощностью, место-
расположением и движением сосредоточенных источников в распределенных си-
стемах предлагается использовать итерационные методы оптимизации первого
порядка, основанные на применении аналитических формул градиента целевого
функционала по управляющим параметрам. Например, можно использовать мето-
ды проекции градиента
)),(grad(Pr1 k
k
k
V
k wJww a-=+ ...,,1,0=k
или проекции сопряженного градиента [12, 13]. Здесь 0w — некоторое заданное
начальное значение управления; )(grad wJ — вектор градиента целевого функци-
онала по оптимизируемым управляющим воздействиям; ka — величина шага
одномерного поиска в направлении антиградиента функционала; )(Pr ÖV — опера-
тор проектирования функции на допустимое множество управлений V (для пози-
ционных ограничений вида (15) этот оператор имеет простой вид [12]).
Формулы для градиента функционала, полученные ниже, можно использо-
вать также для формулировки необходимых условий оптимальности (в виде
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 107
принципа максимума, в вариационной форме) для рассмотренных выше задач.
Ясно, что исследуемые в данной работе классы управляющих функций являются
частными случаями общих классов, рассмотренных в других работах [1, 11, 12, 14],
в которых получены формулы компонент градиента более общего вида. В данной
работе, используя общий подход для конкретных классов функций, получены со-
ответствующие этим классам формулы компонент градиента.
Учитывая, что в рассматриваемых задачах управляющие воздействия на
мощность и движение источников взаимно независимы, получение формул для
соответствующих компонент градиента можно проводить независимо, что и де-
лают авторы в данной работе.
2.1. Формулы для компонент градиента функционала по мощности
и времени воздействия источников. Покажем, что функционал (1) в задаче
оптимального управления (1)–(4) дифференцируем в H. Для этой цели возьмем
два допустимых управления: ))(),(( tstvw= и )).(),()(( tstvtvww D+=D+ Пусть
),;,( wtxu );,( wwtxu D+ — решения краевой задачи (2)–(4), соответствующие
этим управлениям. Обозначим
).;,();,(),( wtxuwwtxutxu -D+=D
Из (2)–(4) следует, что ),( txuD — обобщенное решение следующей краевой
задачи:
,0,
)),((),()()),(grad)((div),(
1
TtRx
txtxbtvtxuxtxu
n
i
ii
L
i
t
¢<ËWÍ
x-dD+Ds=D ä
= (17)
,0)0,( =D xu ,WÍx (18)
,0),( 1 =D
GÍx
txu ,0
),(
)(
2
=
µ
Dµ
s
GÍxn
txu
x .0 Tt¢< (19)
Тогда приращение функционала (1) можно записать
+D-a=-D+=D ñ
W
dxTxuxUwTxuwJwwJwJ ),()]();,([2)()()( 1
).)()()()()((),(
2020
2
2
1
2
tvtvtvtvtvdxTxu
L
---D+a+Da+ ñ
W
Пусть ),( txy — решение сопряженной задачи [11, 12]:
,0)),(grad)((div),( =ys+y txxtxt ,WÍx ,0 Tt¢< (20)
)),(),((2),( 1 xUTxuTx -a=y ,WÍx (21)
,0),( | 1=y
GÍx
tx ,0
),(
)(
2
=
µ
yµ
s
GÍxn
tx
x .0 Tt¢< (22)
Из (17)–(22) следует
=Dy=D-a ññ
WW
dxTxuTxdxTxuxUTxu ),(),(),())(),((2 1
108 ISSN 0572-2691
=Dy+Dy=Dy
µ
µ
= ññññ
WW
dtdxtxutxtxutxdxdttxutx
t
tt
TT
)),(),(),(),(())),(),((
00
+Dsy+ysD-= ññ
W
dtdxtxuxtxtxxtxu
T
))),(grad)((div),()),(grad)((div),((
0
=x-dDy+ ññä
W=
dtdxtxtvtxbtx i
ii
TL
i
))(()(),(),(
01
+yD-Dys= ññ
W
dtdxtxtxutxutxx
T
))),((div),()),((div),()((
0
=x-dDy+ ññä
W=
dtdxtxtvtxbtx i
ii
TL
i
))(()(),(),(
01
+ö
÷
õ
æ
ç
å
µ
yµ
D-
µ
Dµ
ys= ññ
G
dtds
n
tx
txu
n
txu
txx
T
),(
),(
),(
),()(
0
.))(()(),(),(
01
dtdxtxtvtxbtx i
ii
TL
i
x-dDy+ ññä
W=
Пользуясь оценкой, полученной в [12, 15] для более общего случая управления, из
класса измеримых функций
,)(),(
2
0
2
dttvCdxTxu
T
D¢D ññ
W
(23)
где 0>C — постоянная, не зависящая от выбора ,vD для приращения функцио-
нала (1) имеем
+x-dDy=D ññä
W=
dtdxtxtvtxbtxwJ i
ii
TL
i
))(()(),(),()(
01
).)(()())()((2 0
0
2 tvodttvtvtv ii
T
D+D-a+ ñ (24)
Для получения формул градиента функционала в пространстве управляющих
воздействий для вышерассмотренных классов функций используем частные слу-
чаи, получаемые из (24).
2.1.1. Управляемые мощности источников из класса импульсных функ-
ций. Из (24) получим формулы для градиента функционала ,
)(
ijqd
wJd
,...,,1 imj=
....,,1 Li= Приращение функционала за счет приращения ijqD аргумента ijq век-
тора w из (6), т.е. ,)0,( 2LM
ij Rqw ÍD=D ,)0...,,...,,0( ML
ijij Rqq ÍD=D можно за-
писать в виде
+x-dq-dDy=D ññ
W
dtdxtxtqtxbtxwJ i
ijiji
T
qij
))(()(),(),()(
0
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 109
=D+q-dD-a+ ñ ))(()())()((2 0
0
2 tvodttqtvtv ijijii
T
).())()((2)),(()),(( 0
2 qoqvvqb ijijijiijiijijij
i
iijij
i D+Dq-qa+Dqqxqqxy=
Разделив обе части на ijqD и перейдя к пределу при ,0D ijq учитывая, что
,0/)( DD ijij qqo имеем
)),()((2)),(()),((
)( 0
2 ijiijiijij
i
iijij
i
ij
vvb
dq
wdJ
q-qa+qqxqqxy= ....,,1 Li= (25)
Формула (25) определяет компоненты градиента функционала по величине им-
пульсной мощности в задаче (1)–(8).
Для того, чтобы получить формулы для производных ,
)(
ijd
wJd
q
,...,,1 imj=
,...,,1 Li= введем следующую функцию [2]:
îí
î
ì
ë
te-tÎ
te-tÍ
e=t-de
],,[,0
],,[,
1
)(
t
t
t (26)
где ,0>e t — параметры, t — аргумент функции. Ясно, что при e, стремящемся
к нулю, функция )(Öde приближается к обобщенной функции Дирака ).(Öd Прида-
дим параметру t приращение .e=tD Это равнозначно тому, что ed-функция по-
лучит приращение
î
í
î
ì
ë
tD+te-tD+tÍe
e-tD+te-tÍe-
tD+te-tÎ
=t-dD et
].,[,/1
],,[,/1
],,[,0
)(
t
t
t
t (27)
При e<tD приращение ed-функции будет иметь вид
îí
î
ì
ë
tD+ttÍe
e-tD+te-tÍe-
te-tD+tÍtD+te-tÎ
=t-dD et
];,[,/1
],,[,/1
],,[],,[,0
)(
t
t
tt
t (28)
при e<tD имеем
î
í
î
ì
ë
tD+te-tD+tÍe
te-tÍe-
e-tD+ttÍtD+te-tÎ
=t-dD et
].,[,/1
],,[,/1
],,[],,[,0
)(
t
t
tt
t (29)
Если аргумент ijq вектора v из (7) получит приращение ,ijqD т.е. =Dw
,),0( 2LM
ij RÍqD= ,)0...,,...,,0( LM
ijij RÍqD=qD то для приращения функциона-
ла, используя (24), имеем
+x-dq-dDy=D eq
W
q ññ dtdxtxtqtxbtxwJ i
ijiji
T
ijij
))(()(),(),()(
0
).)()())()((2 (00
0
2 tvdttqtqtq oijijijiijij
T
ij
D+q-dDq-d-q-da+ eqeñ (30)
Пусть ,e=qD ij с учетом (27) из (30) имеем
110 ISSN 0572-2691
+x-d
ö
ö
ö
÷
õ
æ
æ
æ
ç
å
y-y
e
=D ñññ
e-qD+q
e-q
qD+q
e-qD+qW
q dxtxdttxbtxdttxbtx
q
wJ i
ii
ij
ijij
ij
ijij
ijij
ij
))((),(),(),(),()(
-q-d-q-da+ e
qD+q
e-qD+q
ñ dttqtqq ijijijijij
ijij
ijij
))()((2 00
2
=D+q-d-q-d- e
e-qD+q
e-q
ñ ))(())()(( 00 tvodttqtq ijijijij
ijij
ij
).)(())((),(),(),(),( tvodxtxdttxbtxtxbtx
q i
iijiij
ij
ij
ij
D+x-d
ö
ö
ö
÷
õ
æ
æ
æ
ç
å
y-qD+qD+y
e
= ññ
q
e-qW
(31)
При e>qD ij с учетом (29) имеем
+x-d
ö
ö
ö
÷
õ
æ
æ
æ
ç
å
y-y
e
=D ñññ
q
e-q
qD+q
e-qD+qW
q dxtxdttxbtxdttxbtx
q
wJ i
ii
ij
ij
ij
ijij
ijij
ij
))((),(),(),(),()(
-q-d-q-da+ e
qD+q
e-qD+q
ñ dttqtqq ijijijiji
ijij
ijij
))()((2 00
2
=D+q-d-q-d- e
q
e-q
ñ )())()(( 00 vodttqtq ijijijij
ij
ij
).())((),(),(),(),( vodxtxdttxbtxtxbtx
q i
iijiij
ij
ij
ij
D+x-d
ö
ö
ö
÷
õ
æ
æ
æ
ç
å
y-qD+qD+y
e
= ññ
q
e-qW
(32)
Разложив функцию ),(),( txbtx iy в ряд Тейлора в окрестности точки t, получим
=y-qD+qD+yñ
q
e-q
dttxbtxtxbtx iijiij
ij
ij
)],(),(),(),([
).()),(),(()()),(),(( ijiijijijti otxbtxodttxbtx ij
ij
ij
ij
qD+yqD=qD+qD¡y=
q
e-q
q
e-q
ñ (33)
Учитывая (33) в формулах (31), (32), имеем
).())(())),(),(),(),((()( ij
i
tiiij
ij
odxtxtxbtxtxbtx
q
wJ
ijij
qD+x-de-e-y-yqD
e
=D
q=
W
q ñ
Разделив обе части на ijqD и перейдя к пределу ,0qD ij ,0e получим
,))),(()),(((
)(
ijtt
i
i
i
ij
ij
ttbttq
d
wJd
q=
¡xxy=
q
,...,,1 imj= ....,,1 Li= (34)
Если ,e<qD ij то с учетом (30) из (28) имеем
+x-d
ö
ö
ö
÷
õ
æ
æ
æ
ç
å
y-y
e
=D ñññ
e-qD+q
e-q
qD+q
qW
q dxtxdttxbtxdttxbtx
q
wJ i
ii
ij
ijij
ij
ijij
ij
ij
))((),(),(),(),()(
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 111
æ
æ
æ
ç
å
-q-d-q-da+ e
qD+q
q
ñ dttqtqq ijiijijij
ijij
ij
))()((2 00
2
=D+
ö
ö
ö
÷
õ
q-d-q-d- e
e-qD+q
e-q
ñ ))(())()(( 00 tvodttqtq ijiijij
ijij
ij
).)(())(()),(),(),(),(( tvodxtxdttxbtxtxbtx
q
i
ii
ij
ijij
ij
D+x-d
ö
ö
ö
÷
õ
æ
æ
æ
ç
å
e-e-y-y
e
= ññ
qD+q
qW
(35)
Разлагая функцию ),(),( txbtx iy в ряд Тейлора в окрестности точки t, разделив обе
части (35) на ijqD и перейдя к пределу при ,0qD ij ,0e несложно получить
.))((
),(),(),(),(
limlim
)(
00
dxtx
txbtxtxbtx
q
d
wdJ i
t
ij
iijiij
ij
ij
ij
ij
x-d
qD
y-qD+qD+y
=
q
q=
qDe
W
ñ
Отсюда следует совпадение с формулой (34), определяющей компоненты гради-
ента функционала по моментам импульсных воздействий в задаче (1)–(8).
2.1.2. Управляемые мощности источников из класса кусочно-постоян-
ных функций. Для получения формул для компонент градиента функционала
,
)(
ijqd
wJd
,...,,1 imj= ,...,,1 Li = в задаче (1)–(4), (9),(10) при управлении из класса
кусочно-постоянных функций используем формулу для приращения функциона-
ла (24) и выберем приращение )(tvw D=D в следующем виде:
îí
î
ì
ë
==q<¢q=D
<<qq<<
=D
-
-
....,,1,...,,1,,const
,,0,0
)(
1
1
Limjtq
Ttt
tv
iijijij
ijij
(36)
С учетом (36) в (24) формула для приращения функционала примет следующий вид:
+x-dDy=D ññ
W
dtdxtxqtxbtxwJ i
iji
T
qij
))((),(),()(
0
=D+D-a+ ñ
q
q-
))(())()((2 0
2
1
tvodtqtvtv ijii
ij
ij
).)(())()((2)),(()),(( 0
2
11
tvodtqtvtvdtqttbtt ijiiij
i
i
i
ij
ij
ij
ij
D+D-a+Dxxy= ññ
q
q
q
q --
Разделив обе части на ,ijqD переходя к пределу при 0D ijq и учитывая
,0/))(( DD ijqtvo ,0D ijq имеем
,))()((2)),(()),((
)( 0
2
11
dttvtvdtttbtt
qd
wJd
ij
ij
ij
ij
i
i
i
ij
-a+xxy= ññ
q
q
q
q --
,...,,1 imj= ....,,1 Li= (37)
112 ISSN 0572-2691
Для получения формул для производных ,
)(
ijd
wJd
q
,1...,,1 -= imj ,...,,1 Li=
дадим аргументу ijq вектора ),( q=qw приращение :ijqD
,),0( 2LMRw ÍqD=D .)0...,,...,,0( )( LML
ijij R -ÍqD=qD
Сначала предположим, что .0>qD ij Ясно, что управление )(tv получит сле-
дующее приращение :)(tvD
îí
î
ì
ë
qD+q<¢q-
<<qD+qq<<
=D
+ .,
,,0,0
)(
1 ijijijijij
ijijij
tqq
Ttt
tv
Тогда функционал получит приращение
+xxy-=D +
qD+q
q
q ñ dtttbttqqwJ i
i
i
ijij
ijij
ij
i
)),(()),(()()( 1
).)(()))(()((2 1
0
2 tvoqqtvtv ijij
ijij
ij
D+--a+ +
qD+q
q
ñ
Используя теорему о среднем значении, имеем
+qDxxy-=D
q=+q ijt
i
i
i
ijij
ijij
ttbttqqwJ )),(()),(()()( 1
).)(()))(()((2 1
0
2 tvoqqvv ijijijijij D+qD-q-qa+ +
Разделив обе части на ijqD и перейдя к пределу при ,0qD ij получим
....,,1,1...,,1),))(()((2
)),(()),(()(
)(
1
0
2
1
Limjqqvv
bqq
wJ
iijijijij
ijij
i
iijij
i
ijij
ij
=-=-q-qa+
+qqxqqxy-=
qµ
µ
+
+
(38)
Аналогично можно показать, что и для случая 0<qD ij формула для компо-
ненты градиента функционала относительно параметра ijq совпадает с (38).
2.1.3. Управляемые мощности источников из класса функций Хеви-
сайда. Для получения компонент градиента ,
)(
iqd
wJd
,...,,1 Li= функционала
задачи (1)–(4), (11)–(13) при управлении из класса функций Хевисайда использу-
ем формулу приращения функционала (24), получаемого лишь за счет допустимо-
го приращения iqD аргумента iq вектора v из (12), т.е.
,)0,(v 2L
i Rq ÍD=D .)0...,,...,,0( L
ii Rqq ÍD=D
Функционал получит следующее приращение:
+x-dq-cDy=D ññ
W
dtdxtxtqtxbtxwJ i
iii
T
qi
))(()(),(),()(
0
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 113
=D+D-a+ ñ
q
))(())()((2 0
2 tvodtqtvtv iii
T
i
).)(())()((2)),(()),(( 0
2 tvodtqtvtvdtqttbtt iii
T
i
i
i
i
T
ii
D+D-a+Dxxy= ññ
qq
Разделив обе части на ,iqD перейдя к пределу при ,0Diq учитывая, что
,0/))(( DD iqtvo имеем
,))()((2)),(()),((
)( 0
2 dttvtvdtttbtt
qd
wJd
ii
T
i
i
i
T
i
ii
-a+xxy= ññ
qq
....,,1 Li= (39)
Для получения формул для производных ,
)(
id
wJd
q
,...,,1 Li= по аргументу iq
вектора (12) будем иметь приращение ,iqD т.е.
,),0( 2L
i Rw ÍqD=D .)0...,,...,,0( L
ii RÍqD=qD
Сначала предположим, что .0>qDi Это равнозначно тому, что функция
Хевисайда получит приращение
í
ì
ë
qD+qqÍ-
qD+qqÎ
=q-c-qD+q-c=q-cD
].,[,1
],,[,0
)())(()(
iii
iii
iiii
t
t
ttt
Тогда:
-q-cDx-dy=D ññ
W
q dtdxttxqtxbtxwJ i
i
ii
T
i
)())((),(),()(
0
=D+-a- ñ
qD+q
q
))(())()(2 0
2 tvodttvtvq iii
ii
i
).)(())()(2)),(()),(( 0
2 tvodttvtvqdxdtttbttq iii
i
i
i
i
ii
i
ii
i
D+-a-xxy-= ññ
qD+q
q
qD+q
q
При 0<qD i приращение )( it q-cD функции Хевисайда запишем
îí
î
ì
ë
qqD-qÍ
qqD-qÎ
=q-cD
].,[,1
],,[,0
)(
iii
iii
i
t
t
t
Тогда
+xxy=D ñ
q
qD-q
q dtdxttbttqwJ i
i
i
i
i
ii
i
)),(()),(()(
).)(())()((2 0
2 tvodttvtvq iii
i
ii
D+-a+ ñ
q
qD-q
В обоих случаях: 0>qD i и ,0<qDi учитывая теорему о среднем значении инте-
грала, приращение функционала запишем
),)(())()((2)),(()),(()( 0
2 tvoqvvbqwJ iiiiiiiii
i
iii
i
ii
D+qDq-qaqDqqxqqxy=Dq __
114 ISSN 0572-2691
где знак – соответствует случаю ,0>qDi а + — случаю .0<qDi Разделив обе
части на iqD и перейдя к пределу при ,0qD i независимо от знака iqD получим
,))()((2)),(()),((
)( 0
2 iiiiiii
i
iii
i
i
i
qvvbq
d
wJd
q-qa-qqxqqxy-=
q
....,,1 Li= (40)
Следовательно, в пространстве управляющих параметров LRq 2),( Íq компонен-
ты градиента функционала в задаче (1)–(4), (11)–(13) определяются формула-
ми (39), (40).
2.2. Формулы для компонент градиента функционала по месторасположе-
нию источников. Получим формулы для градиента функционала по управляющим
воздействиям на траекторию движения источников, определяемую системой диф-
ференциальных уравнений (5). Для этой цели возьмем два допустимых управления:
))(),(( tstvw= и )),()(),(( tststvww iD+=D+ ).0...,),(..,,0()( tsts ii D=D Тогда при-
ращение траектории движения i-го источника будет удовлетворять следующей
задаче Коши:
.0)0(],,0(),),(),(()),()(),()(()( =xDÍx-D+xD+x=xD i
i
ii
ii
iiii Ttttstfttststtft" (41)
Пусть ),;,( wtxu );,( wwtxu D+ — решения краевой задачи (2)–(4) при этих
управлениях и соответствующих траекториях движения источников. Обозначим
).;,();,(),( wtxuwwtxutxu -D+=D
Из (2)–(5) следует, что ),( txuD — обобщенное решение следующей краевой
задачи:
,0,
)),((),()()),(grad)((div),(
)(
1
TtRx
txtxbtvtxuxtxu
n
i
tii
L
i
t i
¢<ËWÍ
x-dD+Ds=D
x
=
ä
(42)
,0)0,( =D xu ,WÍx (43)
,0),( 1 =D
GÍx
txu ,0
),(
)(
2
=
µ
Dµ
s
GÍxn
txu
x .0 Tt¢< (44)
Тогда приращение функционала (1) можно записать так:
+D-a=-D+=D ñ
W
dxTxuxUwTxuwJwwJwJ ),()]();,([2)()()( 1
).)()()()()((),(
2020
3
2
1 tststststsdxTxu ---D+a+Da+ ñ
W
Пусть ),( txy — решение сопряженной задачи (20)–(22). Проводя выкладки, ана-
логичные случаю оптимизации мощности источников, для приращения функцио-
нала получим
+x-dDy=D ex
W
x ññ dtdxtxtvtxbtxwJ i
tii
T
t ii ))(()(),(),()(
)(
0
)(
).)(()())()((2 0
0
3 tsodttststs iii
T
D+D-a+ ñ
Как и в случае оптимизации моментов импульсных воздействий источников,
имеем
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 115
+xD+xD¡xxy=D
xx ñ ))(()())),(()),(()(()(
)(
0
)(
todttttbtttvwJ ii
t
i
i
i
i
T
t ii
).)(()())()((2 0
0
3 tsodttststs iii
T
D+D-a+ ñ (45)
Введем аналог функции Гамильтона–Понтрягина [14] в следующем виде:
).),(()),(()()),(),(()()),(),(),((
11
ttbtttvttstftttsttH i
i
i
i
L
i
i
iii
L
i
xxy+xw=wx ää
==
Пусть )(tiw — решение сопряженной задачи
.0)(],,0(,
)(
)),(),(),((
)( =wÍ
xµ
wxµ
-=w TTt
t
ttsttH
t i
i
i" (46)
Очевидно имеет место
.)()()()()0()0()()(
00
dtttdtttTT ii
T
ii
T
iiii xDw+xDw=xDw-xDw ññ "" (47)
Из (41), (46), (47) получаем
,)()()()(
00
dtttdttt ii
T
ii
T
xDw-=xDw ññ ""
т.е.
-xD
xµ
wxµ
w-=xD
xµ
wxµ
- ññ dtt
t
ttsttf
tdtt
t
ttsttH i
i
i
iii
i
T
i
T
i
)(
)(
)),(),(),((
)()(
)(
)),(),(),((
00
-xD
xµ
D+wxµ
w-ñ dtt
t
ttststtf
t i
i
ii
iii
i
T
)(
)(
)),()(),(),((
)(
0
=D
µ
wxµ
w-ñ dtts
ts
ttsttf
t i
i
i
iii
i
T
)(
)(
)),(),(),((
)(
0
,)(
)(
)),(),(),((
)()(
)(
)),(),(),((
)(
00
h+D
µ
wxµ
w-xD
xµ
wxµ
w-= ññ dtts
ts
ttsttf
tdtt
t
ttsttf
t i
i
i
iii
i
T
i
i
i
iii
i
T
где
,4321 h+h+h+h=h ),)((1 to ixD=h ñ xD=h
T
to
0
12 ),)((
,)(
)(
)),(),(),((
0
3 dtt
t
ttsttH i
i
s
T
xD
xµ
wxDµ
-=h ñ ),)((4 tso D=h
).),(),(),(()),()(),(),(()),(),(),(( ttsttHttststtHttsttHs wx-D+wx=wxD
Следовательно,
.)(
)(
)),(),(),((
)()())),(()),(()((
0
)(
0
h+D
µ
wxµ
w=xD¡xxy ññ x
dtts
ts
ttsttf
tdttttbtttv i
i
i
iii
i
T
i
t
i
i
i
i
T
i
Учитывая, что
=x-D+x=D ))((,()))()((,()()( tsvJtstsvJwJ iiitsi
116 ISSN 0572-2691
=x-xD+x= )))((,())(())((,( tsvJtstsvJ iii
,)())()((2)(
)(
)),(),(),(( 0
0
3
0
h+D-a+D
µ
wxµ
= ññ dttststsdtts
ts
ttsttH
iii
T
i
i
T
(48)
имеем
)).()((2
)(
)),(),(),((
)(grad 0
3)( tsts
ts
ttsttH
wJ ii
i
tsi
-a+
µ
wxµ
= (49)
В частности если источники неподвижны, но координаты их месторасположения
оптимизируется, то формулы для градиента функционала
20
1
3
20
2
2
1
2
)()()]();,([)( nR
ii
L
i
L
tvtvdxxUwTxuwJ x-xa+-a+-a= äñ
=W
по координатам источников имеют вид
),(2)),(),()((
)( 0
3
0
i
j
i
jxxii
T
i
j
dttxbtxtv
d
wJd
i
j
x-xa+¡y=
x
x=ñ ,...,,1 nj = ....,,1 Li= (50)
2.2.1. Управляющие воздействия на движение источников из класса им-
пульсных функций. Пусть движение источников, описываемое системой урав-
нений (5), осуществляется импульсным управлением. Приращение функционала,
получаемого за счет приращения ,wD ,)0,( 2LM
ij Rsw ÍD=D ...,...,,0( ijij ss D=D
MLRÍ)0..., аргумента ijs вектора (14), можно записать в следующем виде:
+t-dD
µ
wxµ
=D ñ dtts
ts
ttsttH
wJ ijij
i
T
sij
)(
)(
)),(),(),((
)(
0
.)())()((2 0
0
3 h+t-dD-a+ ñ dttststs ijijii
T
Разделив обе части на ijsD и перейдя к пределу при ,0Dijs получим иско-
мую формулу для компонент градиента функционала
)),()((2
)(
)),(),(),(()( 0
3 ijiijiij
iji
ijijijij
ij
sss
s
sH
ds
wdJ
t-ta+
tµ
tttwtxµ
=
,...,,1 imj= ....,,1 Li=
2.2.2. Управляющие воздействия на движение источников из класса ку-
сочно-постоянных функций. Пусть движение источников, описываемое систе-
мой (5), осуществляется управлением из класса кусочно-постоянных функций.
Выберем приращение )(tsiD в следующем виде:
í
ì
ë
==t<¢t=D
<<tt<<
=D
-
-
....,,1,...,,1,,const
,,0,0
)(
1
1
Limjts
Ttt
ts
iijijij
ijij
i
Учитывая это в (48), получим формулы для компонент градиента функционала:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 117
,))()((2
)(
)),(),(),(()( 0
3
11
dttstsdt
ts
ttsttH
ds
wdJ
ii
iij
ij
i
ij
ij
-a+
µ
wxµ
= ññ
t
t
t
t --
,...,,1 imj= ....,,1 Li=
2.2.3. Управляющие воздействия на движение источников из класса хеви-
сайдовских функций. Пусть движение источников, описываемое системой (5),
осуществляется релейным управлением из класса хевисайдовских функций. При-
ращение функционала, получаемого за счет приращения ,wD ,)0,( 2L
i Rsw ÍD=D
,)0...,,...,,0( L
ii Rss ÍD=D аргумента is вектора (16), можно записать в следую-
щем виде:
+t-cD
µ
wxµ
=D ñ dtts
ts
ttsttH
wJ ii
i
T
si
)(
)(
)),(),(),((
)(
0
.)())()((2 0
0
3 h+t-cD-a+ ñ dttststs iiii
T
Разделив обе части на isD и перейдя к пределу при ,0Dis получим формулу
для компонент градиента функционала в задаче (1)–(7):
,))()((2
)(
)),(),(),(()( 0
3 dttstsdt
ts
ttsttH
ds
wdJ
T
ii
T
ii
ii
ññ
tt
-a+
µ
wxµ
= ....,,1 Li=
3. Результаты численных экспериментов
Задача 1. Рассмотрим задачу нагрева стержня сосредоточенным источником
с импульсным воздействием при ,1=L т.е. имеется возможность осуществить
только одно импульсное воздействие на процесс:
),()()( q-dx-d++= txqtxuu xxt ,10,10 ¢<<< tx
,)0,( xexu = ,10 ¢¢x
,),1(,1),0( 1+=+= tetuttu ,10 ¢<t
,100,10,10 ¢<¢q¢¢x¢ q
.min)3,0(1,0)5,0(1,0)3(1,0]4)1,([)( 2222
1
0
-q+-x+-+-=ñ qdxxuwJ
Таким образом, оптимизируемыми параметрами являются координата, мощ-
ность и время импульсного воздействия источника: ).,,( xq= qw
Точное оптимальное значение управляющего вектора неизвестно. Задача с
использованием полученных выше формул решалась численно.
В табл. 1 приведены результаты численных экспериментов с использованием
метода проекции сопряженного градиента при различных начальных значениях
управляющих параметров — ),,( 0000 xq=qw с точностью оптимизации .001,0=e
Аппроксимация краевой задачи производилась с использованием неявной схемы
метода сеток с погрешностью ),( 2
tx hhO + включая краевые условия, где
,01,0=xh 01,0=th — шаги сетки соответственно по переменным x и t.
118 ISSN 0572-2691
Таблица 1
№
п/п
),,( 000 qxq ),,( *** qxq 0J *J
Число
итераций
1 (3; 0,6; 0,1) (2,995; 0,479; 0,219) 2,973 2,568 9
2 (6; 0,2; 0,2) (2,998; 0,490; 0,229) 3,477 2,568 4
3 (1; 0,2; 0,4) (3,00; 0,494; 0,219) 2,978 2,568 3
Задача 2. Пусть
),()()(
2
1
22
iii
i
xxt txqtxuu q-dx-d++= ä
=
,10 <<x ,10 ¢<t
,)0,( xexu = ,10 ¢¢x
,1),0( +=ttu ,),1( 1+= tetu ,10 ¢<t
,10 ¢x¢ i ,10 ¢q¢ i ,100 ¢< iq ,2,1=i
+-+-+-=ñ
2
2
2
1
2
1
0
)4()3((1,0]4)1,([)( qqdxxuvJ
.min))5,0()3,0((1,0))8,0()5,0((1,0 2
2
2
1
2
2
2
1 -q+-q+-x+-x+
В этой задаче .2=L Точное оптимальное значение управляющего вектора
),,,( qx= qw 2,, Rq Íqx неизвестно. Задача с использованием полученных выше
формул решалась численно. В табл. 2 приведены результаты численных экспери-
ментов с использованием метода проекции сопряженных градиентов при различ-
ных начальных значениях управляющего вектора ),,( 0000 xq=qw при точности
оптимизации .001,0=e Аппроксимация краевой задачи производилась так же,
как и в предыдущей задаче.
Таблица 2
№
п/п
),,( 000 qxq ),,( *** qxq 0J *J
Число
итераций
1 (1; 3; 0,2; 0,2; 0,4; 0,3) (3,026; 4,008; 0,491; 0,860; 0,258; 0,299) 3,1177 2,5735 11
2 (2; 6; 0,4; 0.6; 0,74; 0,6) (3,00; 3,985; 0,486; 0,888; 0,260; 0,369) 3,3466 2,5727 12
3 (2; 4; 0,3; 0.5; 0,2; 0,3) (2,998; 3,99; 0,488; 0,911; 0,259; 0,359) 2,6867 2,5729 36
4 (1; 2; 0.5; 0.5; 0,2; 0,1) (2,998; 3,996; 0,488; 0,910; 0,259; 0,367) 3,3933 2,5728 15
Аналогичные исследования легко распространяются как на другие постанов-
ки краевых задач относительно параболических уравнений, так и на другие типы
уравнений, описывающие процессы с распределенными параметрами.
К.Р. Айда-заде, Є.Р. Ашрафова
КЛАС ЗАДАЧ КЕРУВАННЯ ДЖЕРЕЛАМИ
В РОЗПОДІЛЕНИХ СИСТЕМАХ
НА ІМПУЛЬСНИХ, КУСКОВО-ПОСТІЙНИХ
І ХЕВІСАЙДІВСЬКИХ ФУНКЦІЯХ
Розглянуто задачі оптимального керування рухомими джерелами в розподіле-
них системах, коли керування визначено імпульсними, кусково-постійними і
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 119
хевісайдівськими функціями. Досліджено різні варіанти відносно розташу-
вання джерел. Для розглянутих задач оптимального керування отримано фор-
мули для градієнта фукціонала в просторі оптимізованих параметрів, що до-
зволяють для числового розв’язання використовувати методи оптимізації
першого порядку. Наведено результати числових експериментів.
K.R. Aida-zade, Ye.R. Ashrafova
OPTIMAL CONTROL PROBLEMS OF SOURCES
IN DISTRIBUTED SYSTEMS ON THE CLASSES
OF IMPULSIVE, PIECEWISE CONSTANT
AND HEAVISIDE FUNCTIONS
Problems of optimal control of movable lumped sources in distributed systems when
controls are determined by functions as impulsive, piecewise constant, and Heaviside
are considered. The optimal control problems are investigated for various cases, ac-
cording to the position of the sources. The necessary conditions of optimality are ob-
tained with respect to all the considered problems of optimal control on these classes,
which consists in deriving constructive analytical formulas for the gradient of a func-
tional in the space of optimized parameters. The results of some numerical experi-
ments are also given.
1. Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами с распре-
деленными параметрами. — М. : Наука, 1980. — 384 с.
2. Дыхта В.А. Оптимизация динамических систем с разрывными траекториями и импульсны-
ми управлениями // Соросовский образовательный журнал. — 1999. — № 8. —
C. 110–115.
3. Aida-zade K.R., Bagirov A.H. On the problem of placement of oil wells and control of their flow-
rates // Automat. and Remote Contr. — 2006. — N 1. — P. 52–61.
4. Miller B., Rubinovitch E. Impulsive control in continuous and discrete-continuous systems. —
Amsterdam : Kluwer Academ. Publ., 2002. — 420 p.
5. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управле-
ниями. — М. : Наука. — 2005. — 430 с.
6. Aida-Zade K.R., Ashrafova E.R. Control of systems with concentrated parameters in a class of
special control functions // Automat. Contr. and Comput. Sci. — 2009. — 43(3). — P. 150–157.
7. Aida-zade K.R., Rahimov A.B. Solution of optimal control problem in class of piecewise constant
functions // Ibid. — 2007. — 41(1). — P. 18–24.
8. Rahimov A.B., Ashrafova Y.R. Optimal control for systems on some classes of control functions //
Selected Papers of ISI Proceedings of 24th Mini Euro Conf. «Continuous Optimization and Infor-
mation-Based Technologies in the Financial Sector», (MEC EurOPT), Izmir, Turkey. — 2010. —
P. 141–147.
9. Айда-заде К.Р., Хандзель А.Б. Двумерные задачи управления сосредоточенными источни-
ками в распределенных системах // Изв. НАНА. — 1997. — С. 81–85.
10. Ashrafova Y.R., Musayev S.R. Optimal control by sources in distributed systems on the classes of
piecewise constant and Heaviside functions // Abstracts of The Third Intern. Conf. «Problems of
Cybernetics and Informatics». — 2010. — 3. — P. 116–119.
11. Lions J.L. Contrôle des systèmes distribuès singuliers. — Paris : Gauthier-Villars, 1987. — 411 p.
12. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М. : ФакториалПресс. — 2002. — 824 с.
13. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах опти-
мизации. — М. : Наука. — 1982. — 432 с.
14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. —
Минск : Наука и техника. — 1974. — 272 с.
15. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М. : Наука. — 1973. —
408 с.
Получено 05.01.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207314 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:19:52Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Айда-заде, К.Р. Ашрафова Е.Р. 2025-10-05T16:04:34Z 2011 Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях / К.Р. Айда-заде, Е.Р. Ашрафова // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 102–119. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207314 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i5.60 Розглянуто задачі оптимального керування рухомими джерелами в розподілених системах, коли керування визначено імпульсними, кусково-постійними і хевісайдівськими функціями. Досліджено різні варіанти відносно розташування джерел. Для розглянутих задач оптимального керування отримано формули для градієнта фукціонала в просторі оптимізованих параметрів, що дозволяють для числового розв’язання використовувати методи оптимізації першого порядку. Наведено результати числових експериментів Problems of optimal control of movable lumped sources in distributed systems when controls are determined by functions as impulsive, piecewise constant, and Heaviside are considered. The optimal control problems are investigated for various cases, according to the position of the sources. The necessary conditions of optimality are obtained with respect to all the considered problems of optimal control on these classes, which consists in deriving constructive analytical formulas for the gradient of a functional in the space of optimized parameters. The results of some numerical experiments are also given. Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Республики Азербайджан(Гранты No EIF-2010-1(1)-40/11 и EIF-2010-1(1)-40/12). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях Клас задач управління джерелами в розподілених системах на імпульсних, кусочно-постійних і хевісайдових функціях A Class of Control Problems for Sources in Distributed Systems Using Impulse, Piecewise-Constant, and Heaviside Functions Article published earlier |
| spellingShingle | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях Айда-заде, К.Р. Ашрафова Е.Р. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами |
| title | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях |
| title_alt | Клас задач управління джерелами в розподілених системах на імпульсних, кусочно-постійних і хевісайдових функціях A Class of Control Problems for Sources in Distributed Systems Using Impulse, Piecewise-Constant, and Heaviside Functions |
| title_full | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях |
| title_fullStr | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях |
| title_full_unstemmed | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях |
| title_short | Класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях |
| title_sort | класс задач управления источниками в распределенных системах на импульсных, кусочно-постоянных и хевисайдовских функциях |
| topic | Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами |
| topic_facet | Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207314 |
| work_keys_str_mv | AT aidazadekr klasszadačupravleniâistočnikamivraspredelennyhsistemahnaimpulʹsnyhkusočnopostoânnyhihevisaidovskihfunkciâh AT ašrafovaer klasszadačupravleniâistočnikamivraspredelennyhsistemahnaimpulʹsnyhkusočnopostoânnyhihevisaidovskihfunkciâh AT aidazadekr klaszadačupravlínnâdžerelamivrozpodílenihsistemahnaímpulʹsnihkusočnopostíinihíhevísaidovihfunkcíâh AT ašrafovaer klaszadačupravlínnâdžerelamivrozpodílenihsistemahnaímpulʹsnihkusočnopostíinihíhevísaidovihfunkcíâh AT aidazadekr aclassofcontrolproblemsforsourcesindistributedsystemsusingimpulsepiecewiseconstantandheavisidefunctions AT ašrafovaer aclassofcontrolproblemsforsourcesindistributedsystemsusingimpulsepiecewiseconstantandheavisidefunctions |