Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности
Побудовано узагальнені математичні моделі нелокальних у часі процесів масо- та теплопереносу в пористих середовищах. Отримано аналітичні розв’язки деяких крайових задач теорії геофільтрації, поставлених у рамках запропонованих математичних моделей. The generalized mathematical models for time-nonloc...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207316 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности / В.М. Булавацький // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 128–138. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859896489057189888 |
|---|---|
| author | Булавацкий, В.М. |
| author_facet | Булавацкий, В.М. |
| citation_txt | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности / В.М. Булавацький // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 128–138. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Побудовано узагальнені математичні моделі нелокальних у часі процесів масо- та теплопереносу в пористих середовищах. Отримано аналітичні розв’язки деяких крайових задач теорії геофільтрації, поставлених у рамках запропонованих математичних моделей.
The generalized mathematical models for time-nonlocal processes of mass and heat transfer in porous mediums are constructed and the analytical solutions of some boundary value problems of the theory of a geofiltration put within the frame of the offered mathematical models are received.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:55:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.М. БУЛАВАЦКИЙ, 2011
128 ISSN 0572-2691
УДК 517.954:532.546
В.М. Булавацкий
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ГЕОИНФОРМАТИКИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ
ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В УСЛОВИЯХ
ВРЕМЕННÓЙ НЕЛОКАЛЬНОСТИ
Введение
Одним из важных направлений современной геоинформатики является раз-
работка и исследование математических моделей для анализа динамики систем
с распределенными параметрами, описывающими пространственно-временные
процессы геофильтрации и тепломассопереноса. При этом особую актуальность
приобретает развитие методов математического моделирования процессов пере-
носа, протекающих в локально-неравновесных условиях. Это обусловлено как
широким распространением процессов переноса энергии и вещества в природе
и технике, так и интенсификацией исследований в области моделирования дина-
мики указанных процессов в сложных горно-геологических условиях их протека-
ния, вызванных разработкой и обоснованием новейших современных геотехноло-
гий, в частности технологий добычи полезных ископаемых [1, 2].
Следует отметить, что проявляющаяся в сложных горно-геологических усло-
виях неравновесность, в частности геофильтрационного процесса, обусловлена
рядом причин, среди которых следует отметить:
— сложность структуры и диссипативные свойства среды (трещиноватость,
кавернозность и т.д.);
— микронеоднородность составляющих пористой среды;
— инерционные свойства жидкостей и запаздывание скорости от градиента
давления;
— релаксация давления и запаздывание градиента давления от скорости и
многие другие факторы [2, 3].
Настоятельно необходимым является исследование различных релаксацион-
ных эффектов при изучении процессов фильтрации неньютоновских жидкостей,
в частности нефтяных соединений, растворов полимеров, смесей, эмульсий, буро-
вых растворов, физиологических жидкостей, полиэлектролитов и т.д.
В настоящее время ведутся интенсивные исследования в области математи-
ческого моделирования процессов переноса в рамках локально-неравновесных
моделей и их взаимосвязи между собой. При этом существенный прогресс до-
стигнут в области моделирования процессов релаксационной фильтрации в пори-
стых средах как при моделировании динамики однородной поровой жидкости
(в простейшем случае — воды [1, 2]), так и при моделировании процессов релак-
сационной фильтрации солевых растворов [4]. Учет в математических моделях
фильтрационных процессов в деформируемых пористых средах эффектов прост-
ранственно-временнóй нелокальности частично выполнен в [5], а учет релаксаци-
онной сжимаемости среды — в [6]. Математическое моделирование нестационар-
ных неизотермических фильтрационных процессов солевых растворов в условиях
временнóй нелокальности выполнено в [7, 8]. Следует отметить, что все указан-
ные выше математические модели неравновесных процессов массо- и теплопере-
носа базируются на обобщениях законов переноса с учетом новых локально-
неравновесных членов и приводят к дифференциальным уравнениям для диссипа-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 129
тивных потоков эволюционного типа целого порядка [1–8]. В отличие от этого,
в настоящей работе используются обобщенные законы переноса, включающие
производные дробных порядков и, следовательно, соответствующие уравнения
для диссипативных потоков (а значит, и для давления, температуры и т.д.) явля-
ются уравнениями дробных порядков, из которых, как частный случай, получают-
ся известные уравнения классических релаксационных моделей процессов пере-
носа [1–3].
Цель построенных в данной работе математических моделей — описать ди-
намику процессов массотеплопереноса в пористых средах в условиях сильной
временнóй нелокальности. В рамках указанных моделей переноса ниже получены
замкнутые решения некоторых краевых задач теории аномальной геофильтрации.
Математические модели фильтрации в пористой среде
в условиях сильной временнóй нелокальности процесса
Известно [1–4], что простейший закон фильтрации в пористой среде в ло-
кально-неравновесных условиях имеет вид
,1
x
pk
t
u
u x
x
(1)
где xu — скорость фильтрации, p — давление, 1 — параметр релаксации скоро-
сти, k — коэффициент фильтрации, — вязкость жидкости.
Из соотношения (1) следует общепринятое (телеграфное) уравнение релакса-
ционной фильтрации [1, 2]
2
2
2
2
1
x
p
t
p
t
p
(2)
( — коэффициент пьезопроводности).
Для сильно локально-неравновесных во времени фильтрационных процессов
в пористых средах положим
x
p
D
k
t
u
u t
x
x
1
1 ),10( (3)
где
1
tD — оператор дробного дифференцирования Римана–Лиувилля [9–15] по-
рядка .1 (Отметим, что из (3) при 1 следует (1).)
Отсюда с учетом уравнения неразрывности [1, 2]
0*
t
p
x
ux (4)
*( — коэффициент упругоемкости пласта) получаем уравнение для определения
фильтрационного давления
2
2
)()1(
1
x
p
pDpD tt
),10( (5)
где
*
k
— коэффициент пьезопроводности [2],
)(
tD — оператор регуляри-
зованной дробной производной (по Капуто [13–15]) порядка
Отметим, что постановка основных краевых задач теории фильтрации для
уравнения (5) в значительной мере аналогична постановке соответствующих кра-
евых задач для уравнения (2), а также, что из соотношения (5) при 1 следует
соотношение (2).
130 ISSN 0572-2691
Если вместо (3) рассмотреть соотношение
x
p
D
k
t
u
u t
x
x
)1(
1 ),10( (6)
то с учетом уравнения неразрывности (4) получим уравнение для напора в виде
.
2
2
)1(
2
2
1
x
p
D
t
p
t
p
t (7)
В рамках математической модели неравновесного фильтрационного процес-
са, базирующейся на уравнении (7), простейшая краевая задача теории фильтра-
ции для конечного промежутка ],0[ l с проницаемыми границами формулируется
как задача отыскания решения (7) при краевых условиях:
,0),(,0),0( tlptp (8)
),()0,(),()0,( xxpxxp t (9)
где )(),( xx — заданные функции, определяющие начальные условия.
Кратко изложим методику получения замкнутого решения задачи (7)–(9). Пусть
l
n
dxxtxptp nn
l
n )(sin),()(
0
(10)
— конечное интегральное синус-преобразование Фурье функции ),( txp по гео-
метрической переменной [16]. Тогда в пространстве изображений по Фурье рас-
сматриваемую задачу запишем в виде
,0)(
)()( )1(
2
2
1
tpD
dt
tpd
dt
tpd
ntn
nn (11)
,)0(,)0( nnnn pp (12)
где
,)(sin)(,)(sin)(
00
dd n
l
nn
l
n ,2
nn ...).,2,1( n (13)
Применяя к (11), (12) преобразование Лапласа по переменной t, получаем
,
)(
)(
~
12
1
11
sss
ss
sp
n
nnnn
n (14)
где )(
~
spn — образ функции )(tpn в пространстве изображений по Лапласу.
Возвращаясь в последнем соотношении к оригиналам по временнóй пере-
менной, с учетом таблиц [17] получаем
)),()()(()()( 11
1,1
1
1,1
0
taEbttaEbttp n
k
knnn
k
kn
k
k
n (15)
,/,/1 11 nnab )(, zE
— обобщенная функция Миттаг–Леффлера [13, 15].
Далее, возвращаясь в соотношении (15) к оригиналам по геометрической пере-
менной, получаем решение задачи (7)–(9) в виде
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 131
,));,()();,()((),( 21
0
dtxQtxQtxp
l
(16)
где
);,(1 txQ
)),()()((sin)(sin)(
2 11
1,1
1
1,1
1 0
tabtEtaExbt
l
n
k
kn
k
k
n
nn
k
k
(17)
1
11
1,1
1
0
2 ).()(sin)(sin)(
2
);,(
n
n
k
knn
kk
k
taExtb
l
txQ (18)
Соотношение (1), как и соотношение (3), можно обобщить также следующим
образом:
,
1)(
1
x
p
D
k
uDu txtx (19)
где .10 Очевидно, что из (19) при 1 получаем (1).
Из уравнения неразрывности (4) с учетом соотношения (19) получаем нело-
кальное уравнение фильтрации в пористой среде вида
.
2
2
)()2(
1
x
p
pDpD tt
(20)
Для математической модели, основанной на уравнении (20), рассмотрим за-
дачу фильтрации для конечного промежутка ],0[ l с краевыми условиями (8), (9).
Применим к (20), (8), (9) конечное интегральное преобразование по переменной x
вида (10). Тогда в пространстве изображений рассматриваемую задачу запишем
в виде
,0)()()(
)()2(
1
tptpDtpD nnntnt (21)
,)0(,)0( nnnn pp (22)
где величины nn , определены соотношениями (13).
Обозначая через )(
~
spn трансформанту Лапласа функции ),(tpn получаем в
изображениях по Лапласу из (21), (22) соотношение
.
)(
)(
~
2
1
12212
1
n
nnn
n
ss
sss
sp
(23)
Переходя в последнем соотношении к оригиналам по временнóй переменной,
с учетом результатов работы [18] получаем
))()(()(
1
)(
)(
21,
)(
11,
0
)(
2
)(
1
tEtEttp
nn
l
nnn
))()(()(
)(
22,
)(
12,
1 tEtEt
nn
,)(sin))()((
)( )(
2
)(
1
1
dtEtE n
nn
(24)
132 ISSN 0572-2691
где
),411(
2
1
1
1
)(
2,1 n
n
)(, zE — функция Миттаг–Леффлера [9–15].
Возвращаясь в (24) к оригиналам по геометрической переменной, получаем
решение задачи (20), (8), (9) в виде
,));,()();,()((),( 21
0
dtxGtxGtxp
l
(25)
где
)(
2
)(
11
1
)sin()sin(2
);,(
nn
nn
n
x
l
txG
,))()((
1
))()((
)(
2
)(
1
1
)(
21,
)(
11,
tEtEtEtEt
nnnn
(26)
)).()((
)sin()sin(2
);,(
)(
22,
)(
12,)(
2
)(
11
1
2
tEtE
x
t
l
txG
nn
nn
nn
n
(27)
Одним из наиболее часто используемых в современной теории релаксацион-
ной фильтрации в пористых средах является закон фильтрации вида
,21
t
p
p
x
k
t
u
u x
x (28)
учитывающий не только релаксацию скорости, но и релаксацию давления 21,( —
параметры релаксации, соответственно скорости и давления).
Математическую модель сильно нелокальных во времени фильтрационных
процессов в пористых средах построим на основе следующего обобщения закона
фильтрации (28):
)(
)(
2
)(
1 pDp
x
k
uDu txtx
).10( (29)
(Отметим, что из (29) при 1 получаем (28).)
Из уравнения неразрывности (4) с учетом соотношения (29) получаем соот-
ветствующее уравнение фильтрации дробного порядка для давления
)(
)(
2
)1(
1 pDp
x
pD
t
p
tt
).10( (30)
Последнее уравнение при 1 переходит в общепринятое уравнение релак-
сационной фильтрации в пористой среде следующего вида [1, 2]:
.22
2
2
2
1
t
p
p
xt
p
t
p
(31)
Простейшая фильтрационная краевая задача для уравнения (30) формулиру-
ется с привлечением краевых условий (8), (9). Аналогично вышеизложенному
можно получить ее замкнутое решение, например, методом интегральных преоб-
разований. Действительно, применяя к задаче (30), (8), (9) конечное синус-преоб-
разование Фурье по промежутку ],0[ l вида (10), получаем задачу
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 133
,0))()(()(
)( )(
2
)1(
1
tpDtptpD
dt
tpd
ntnnnt
n (32)
.)0(,)0( nnnn pp (33)
В области изображений по Лапласу из (32), (33) находим
.
)()1(
)(
~
2
1
1
1
121
nn
nnnn
n
sss
ss
sp
(34)
Отсюда, возвращаясь в область оригиналов, получаем
,));,()();,()((),( ***
0
dtxGtxGtxp
l
(35)
где
)(()(
2
);,(
1
1)(,
1 0
)(
0
* ctEt
k
j
a
l
txG
j
jkj
n j
jkjkjj
n
j
k
),(sin)(ins))()(
1
1)1(,
1
2)(,
nn
j
jkj
j
jkjn xctEctcttEa (36)
1 0
1)(
0
** )(
2
);,(
n j
jkjkjj
n
j
k
t
k
j
a
l
txG
),(sin)(sin)(
1
2)(,
nn
j
jkj xctE (37)
.
1
,
1
,,
211
2
cbba n
nnn
При 1 из (35)–(37) получаем решение краевой задачи (31), (8), (9) в виде,
отличном от приведенного в [4].
Локально-неравновесная математическая модель
фильтрационного процесса в трещиновато-пористых средах
Рассмотренные выше математические модели локально-неравновесных фильт-
рационных процессов в пористых средах получены путем формального обобще-
ния соответствующих классических феноменологических релаксационных моде-
лей фильтрации на диффузионные процессы аномальной природы, что математи-
чески выражается в появлении в соответствующих фильтрационных законах
производных дробных порядков по временной переменной. При этом соответ-
ствующие математические модели фильтрационных процессов описываются
дифференциальными уравнениями дробных порядков по t, из которых следует,
что данные процессы сильно нелокальные во времени. В этой связи необходимо
подчеркнуть, что модели, подобные рассмотренным выше, могут появляться и
вполне естественным путем, без привлечения дополнительных соотношений вида
(3), (6), (19), (29), обобщающих общепринятые [1, 2] феноменологические релак-
сационные законы фильтрации в пористых средах. В подтверждение этого рас-
смотрим, например, построение локально-неравновесной математической модели
134 ISSN 0572-2691
для описания динамики фильтрационного процесса в трещиновато-пористых сре-
дах.
Используя стандартную [19] модель трещиновато-пористой среды, будем счи-
тать среду состоящей из пористых блоков (проницаемость — ,2k пористость —
,2m давление — )2p и трещин (проницаемость — ,1k пористость — ,1m давле-
ние — ).1p Пусть 1w — скорость фильтрации в трещинах, 2w — скорость филь-
трации в блоках (согласно общепринятой точке зрения 02 w [19]). Известно, что
аналог закона Дарси, учитывающий временнýю нелокальность процесса трещин-
ной фильтрации, может быть записан в виде [20–22]
x
p
D
k
w t
111
1 ),10( (38)
где оператор дробного дифференцирования Римана–Лиувилля
1
tD порядка
1 определен в [9–15]. (При 1 из соотношения (38) получаем классический
закон Дарси [1, 2, 19].) Уравнения неразрывности фильтрационного потока с уче-
том перетока жидкости из блоков в трещины согласно [2, 19] имеют вид
,01
0
1*
10
g
x
w
t
p
(39)
,02*
20
g
t
p
(40)
где 0 — средняя плотность жидкости, *
2
*
1, — коэффициенты упругоемкости
трещин и блоков соответственно, причем имеет место соотношение
)( 12
02 pp
k
g
(41)
( — коэффициент перетока [2, 19]).
Из соотношений (40), (41) имеем
.2
2
*
2
21
t
p
k
pp
(42)
Подставляя соотношение (42) в (39), с учетом (38) получаем
2
1
2
12
2
2
2
1
x
p
D
t
p
t
p
t ),10( (43)
где
,
)( *
2
*
12
*
2
*
1
1
k
.
)( *
2
*
1
1
k
(44)
Соотношение (43) с учетом (42) перепишем в виде
t
p
p
x
D
t
p
t
p
t
2
222
2
12
2
2
2
1 ),10( (45)
где
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 135
.
2
*
2
2
k
(46)
Отсюда для давления в блоках ),(2 txp получаем уравнение
t
p
p
x
pDpD tt
2
222
2
2
)(
2
)1(
1 ),10( (47)
причем параметры 21, имеют вполне определенный физический смысл соглас-
но соотношениям (44), (46). Аналогично, исключая из системы (39)–(41) функцию
),(2 txp , можно показать, что уравнение для давления в трещинах имеет тот же
вид, что и (47). Таким образом, в рамках математической модели, базирующейся
на уравнении (47), моделирование динамики полей давлений при фильтрации
в бипористой среде в условиях сильной временнóй нелокальности сводится
(например, в случае одномерной фильтрации на промежутке ],0[ l с проницаемы-
ми границами) к решению следующей краевой задачи:
t
p
p
x
pDpD tt 22
2
)()1(
1 ),10( (48)
,0),(,0),0( tlptp (49)
).()0,(),()0,( xxpxxp t (50)
Как и выше, можно получить замкнутое решение этой задачи, используя ме-
тод конечных интегральных преобразований Фурье по геометрической перемен-
ной в совокупности с преобразованием Лапласа по временнóй переменной. Не
останавливаясь на деталях, приведем окончательную формулу для определения
фильтрационного давления:
,));,(
~~
)();,(
~
)((),(
0
dtxGtxGtxp
l
(51)
где
)(
12
);,(
~ 1
1)(,
1 0
)(
10
taEt
k
j
l
txG n
j
jkj
n j
jkjkj
n
jj
k
),(sin)(sin)()(
1
2)(,
1
1
1)1(,
nnn
j
jkjn
j
jkjn xtaE
t
taEta
1 0
1)(
10
12
);,(
~~
n j
jkjkj
n
jj
k
t
k
j
l
txG
).(sin)(sin)(
1
2)(,
nnn
j
jkj
xtaE
В заключение заметим, что аналогично изложенному можно построить и ма-
тематическую модель теплопереноса в двухкомпонентных системах в условиях
сильной временнóй нелокальности процесса, причем эта модель также базируется
на уравнении вида (48). Действительно, в рамках термомеханики бинарных си-
стем для описания пространственно-временнóй эволюции температур подсистем
iT )2,1( i имеем соотношения [3]
136 ISSN 0572-2691
),( 12*
1
1 TT
x
q
t
T
c
(52)
),( 21*
2
2 TT
t
T
c
(53)
где ic )2,1( i — удельные теплоемкости подсистем, * — коэффициент тепло-
обмена между подсистемами. Предположим, что тепловой поток в соотношении
(52) подчиняется следующему обобщенному закону Фурье [22]:
x
T
Dq t
11
),10( (54)
где — коэффициент теплопроводности. Подставляя соотношение (54) в (52)
и исключая из полученного уравнения и уравнения (53) функцию ,1T получаем
,2
222
2
2
)(
2
)1(
1
t
T
T
x
aTDTD tt (55)
где
.,,
)( 21
1
*
2
2
21*
2
1
cc
a
c
cc
c
Отсюда заключаем, что полученное уравнение теплопереноса (55) с точно-
стью до обозначений совпадает с уравнением фильтрации (48).
Заключение
В настоящей работе построены математические модели геоинформатики для
описания динамики процессов геофильтрации и теплопереноса в условиях суще-
ственной временнóй нелокальности, а также приведены аналитические решения
простейших фильтрационных задач, поставленных в рамках указанных моделей.
Численная реализация изложенных решений открывает возможность теоретиче-
ского исследования особенностей динамики локально-неравновесных во времени
процессов фильтрации и теплопереноса, в частности в геопористых средах фрак-
тальной структуры.
В.М. Булавацький
ДЕЯКІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ
ГЕОІНФОРМАТИКИ ДЛЯ ОПИСУ ПРОЦЕСІВ
ПЕРЕНОСУ ЗА УМОВ ЧАСОВОЇ НЕЛОКАЛЬНОСТІ
Побудовано узагальнені математичні моделі нелокальних у часі процесів масо-
теплопереносу в пористих середовищах. Одержано аналітичні розв’язки деяких
крайових задач теорії геофільтрації, поставлених в рамках запропонованих ма-
тематичних моделей.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 137
V.M. Bulavatsky
SOME MATHEMATICAL MODELS
OF GEOINFORMATICS FOR THE DESCRIPTION
OF MASS-TRANSFER PROCESSES
UNDER TIME-NONLOCAL CONDITIONS
The generalized mathematical models for time-nonlocal processes of mass and heat
transfer in porous mediums are constructed and the analytical solutions of some
boundary value problems of the theory of a geofiltration put within the frame of
the offered mathematical models are received.
1. Молокович Ю.М. Непримеров Н.И., Пикуза В.И., Штанин А.В. Релаксационная фильтра-
ция. — Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1980. — 136 с.
2. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически слож-
ных средах. — Москва–Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2003. — 288 с.
3. Соболев С.Л. Локально–неравновесные модели процессов переноса // Успехи физических
наук. — 1997. — 167, № 10. — С. 1095–1106.
4. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі проце-
сів тепло- та масопереносу. — Київ : Наук. думка, — 2005. — 283 с.
5. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Математическое моделирование динамики консолидацион-
ных процессов с учетом релаксационных эффектов // Кибернетика и системный анализ. —
2008. — № 6. — С. 59–66.
6. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Математическое моделирование динамики процесса консо-
лидации на основе системного подхода // Проблемы управления и информатики. — 2007. —
№ 4. — С. 59–66.
7. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Системный подход к проблеме математического модели-
рования процесса фильтрационной консолидации // Кибернетика и системный анализ. —
2006. — № 6. — С. 71–79.
8. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів гео-
гідродинаміки. — Київ : Наук. думка, 2007. — 292 с.
9. Вірченко Н.О., Рибак В.Я. Основи дробового інтегродиференціювання. — Київ : Задруга,
2007. — 361 с.
10. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. — М. : Физматлит, 2003. — 272 с.
11. Чикрий А.А., Матичин И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольно-
го дробного порядка // Доп. НАН Украины, 2007. — № 1. — С. 50–55.
12. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и не-
которые их приложения. — Минск : Наука и техника, 1987. — 688 с.
13. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 523 p.
14. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order //
Fractals and fractional calculus in continuum mechanics / Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi. — Wien :
Springer Verlag, 1997. — P. 223–276.
15. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York : Academ. Press, 1999. — 341 p.
16. Sneddon I. The use of integral transform. — New York : Mc Graw–Hill Book Comp., 1973. —
539 p.
17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. — М. : Наука, 1969.
— 344 с.
18. Saxena R.K., Mathai A.M., Haubold H.J. Reaction-diffusion systems and nonlinear waves //
Astrophysics and Space Sci. — 2006. — 305. — P. 297–303.
19. Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пла-
стах. — М. : Недра, 1984. — 303 с.
20. Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Paradisi P. Time fractional diffusion: a discrete random
walk approach // Nonlinear Dynamics. — 2002. — 29, N 1–4. — P. 129–143.
21. Paradisi P., Cesari R., Mainardi F., Tampieri F. The fractional Fick’s law for nonlocal transport
processes // Physica A. — 2001. — 293, N 1–2. — P. 130–142.
22. Povstenko Y.Z. Thermoelasticity which uses fractional heat conduction equation // Мат. методи
та фізико-механічні поля. — 2008. — 51, № 2. — С. 239–246.
Получено 19.01.2011
138 ISSN 0572-2691
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Чикрием.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207316 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:55:00Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Булавацкий, В.М. 2025-10-05T16:14:14Z 2011 Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности / В.М. Булавацький // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 128–138. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207316 517.954:532.546 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i6.50 Побудовано узагальнені математичні моделі нелокальних у часі процесів масо- та теплопереносу в пористих середовищах. Отримано аналітичні розв’язки деяких крайових задач теорії геофільтрації, поставлених у рамках запропонованих математичних моделей. The generalized mathematical models for time-nonlocal processes of mass and heat transfer in porous mediums are constructed and the analytical solutions of some boundary value problems of the theory of a geofiltration put within the frame of the offered mathematical models are received. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности Деякі математичні моделі геоінформатики для опису процесів переносу за умов часової нелокальності Some Mathematical Models of Geoinformatics for the Description of Mass-Transfer Processes under Time-Nonlocal Conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности Булавацкий, В.М. Методы обработки информации |
| title | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности |
| title_alt | Деякі математичні моделі геоінформатики для опису процесів переносу за умов часової нелокальності Some Mathematical Models of Geoinformatics for the Description of Mass-Transfer Processes under Time-Nonlocal Conditions |
| title_full | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности |
| title_fullStr | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности |
| title_full_unstemmed | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности |
| title_short | Некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности |
| title_sort | некоторые математические модели геоинформатики для описания процессов переноса в условиях временной нелокальности |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207316 |
| work_keys_str_mv | AT bulavackiivm nekotoryematematičeskiemodeligeoinformatikidlâopisaniâprocessovperenosavusloviâhvremennoinelokalʹnosti AT bulavackiivm deâkímatematičnímodelígeoínformatikidlâopisuprocesívperenosuzaumovčasovoínelokalʹností AT bulavackiivm somemathematicalmodelsofgeoinformaticsforthedescriptionofmasstransferprocessesundertimenonlocalconditions |