О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием
Розглянуто задачу побудови імпульсної динамічної системи з постійним запізненням, враховуючи марковські збурення. Ця система випадкової структури повинна мати асимптотичну стійкість за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу. The problem of creation of impulse d...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207334 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 5–15. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859716442359857152 |
|---|---|
| author | Мусуривский, В.И. |
| author_facet | Мусуривский, В.И. |
| citation_txt | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 5–15. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто задачу побудови імпульсної динамічної системи з постійним запізненням, враховуючи марковські збурення. Ця система випадкової структури повинна мати асимптотичну стійкість за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу.
The problem of creation of impulse dynamical system with constant lag taking into account Markov disturbances is considered. This system of random structure must be asymptotically stable by the probability and provide preassigned optimality of a transient process.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:12:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.И. МУСУРИВСКИЙ, 2011
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.718:519.217:519.837:517.929
В.И. Мусуривский
О ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРЫ
С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Влияние марковских возмущений на устойчивость импульсных динамических
систем исследовали В.С. Королюк [1], А.В. Скороход [2], В.Б. Колмановский,
Л.Е. Шайхет [3], Р.З. Хасьминский [4], Н.Н. Красовский, И.Я. Кац [5, 6], Н.Е. Ка-
заков, В.М. Артемьев [7] и многие другие.
Задача аналитического конструирования регуляторов для обыкновенных
дифференциальных уравнений рассмотрена в работах А.М. Летова, Н.Н. Красов-
ского [8, 9]. Предложенная ими идея к решению вышеназванной задачи основана
на методе функций Ляпунова [10] и принципе оптимальности Беллмана [11]. Для
динамических систем с последействием эта идея нашла воплощение в монографи-
ях [3, 12–14].
Проблемы устойчивости и стабилизации математических моделей импульс-
ных динамических систем случайной структуры с конечным последействием при
наличии внешних и внутренних марковских параметров рассмотрены в рабо-
тах [13, 15–17].
В данной публикации анализируется проблема построения импульсной си-
стемы случайной структуры с постоянным запаздыванием (СССЗ) под влиянием
внешних и внутренних марковских параметров при наличии переходного процес-
са и запаздывания одновременно. СССЗ должна обладать свойством асимптотиче-
ской устойчивости по вероятности и обеспечивать наперед заданную оптималь-
ность переходного процесса. Построение подобной динамической системы реша-
ется за счет выбора управления, работающего по закону обратной связи.
1. Постановка задачи об оптимальной стабилизации
динамической системы с постоянным запаздыванием
с учетом импульсных марковских переключений
Пусть задан вероятностный базис )},0,{,,( P ttFF [18, 19]. Имеем: фел-
леровский марковский процесс }0),({ tt со значениями в метрическом прост-
ранстве Y с переходной вероятностью );,,,( tysP феллеровскую цепь Маркова
{ 0, kk } со значениями в метрическом пространстве H с переходной вероят-
ностью на k-м шаге ),( GhkP [20].
Пусть случайный процесс
mtx R)( динамической системы с постоянным за-
паздыванием описывается дифференциально-функциональным уравнением (ДФУ)
[5, 21, 22, 16, 17]
dtuxttbutxttatdx t )],),(,()),(),(,([)( (1)
6 ISSN 0572-2691
с импульсными внешними марковскими воздействиями
),),(),(,()( kkkktt
txttgtx
k
(2)
где },,{ N ntSt nk причем ,lim
n
n
t и с начальным условием
D, 00
zxt Y, yt )( 0 H. hk0
(3)
Асимптотика решения mtxx R )( СССЗ исследуется относительно нулевого ре-
шения 0)( tx
00 tt ),( txxt ,0
)],0,[( mR DD — пространство Скорохода непрерывных справа функций,
имеющих левосторонние границы [2]. Величина r
t hxytuu R ),,,( — r-мерное
управляющее воздействие [3].
Случайное внутреннее изменение структуры динамической системы могут
быть вызваны:
cкалярным чисто разрывным марковским процессом ,)( 1R t допускаю-
щим разложение [20]:
),(),,(})(),()({ tοttpttt P (4)
),(),(1})(,)({ tοttptttt P ],,[, 21 Y (5)
где )( BAP — условная вероятность, )( tο — бесконечно малая величина отно-
сительно ,t а ),,( tp и ),( tp — заданные функции;
простой марковской (непрерывной) цепью )(t с конечным числом состоя-
ний },...,,{ 21 kyyyY и известными параметрами ,:}{
ij
ijiij qqq при этом
),()(})()({ tοttqyytytt ijjij P .,1, kji (6)
Поскольку исследуется тривиальное решение 0)( tx системы (1)–(3), то
правая часть этой системы удовлетворяет условиям
H.Y,
hytthytguytb
uyta
;0,0),0,,(,0),0,,(
,0),0,,(
0
(7)
Предположим, что измеримые по совокупности переменных функционалы
,: mrma RRRYR ,mrb RRYR: D mmg RHRYR:
удовлетворяют условию Липшица ,, 21 mxx R D 21, zz равномерно по всем
другим аргументам для ,00 tt Yy , H,h :ru R
),,,(),,,(),,,(),,,( 2121 uzytbuzytbuxytauxyta
),(),,,(),,,( 212121 zzxxhxytghxytg (8)
и условию равномерной ограниченности
,)),,,(),,,(),,,((sup
,,0
hxytguxytbuxyta t
h
yt
H
Y
.0 (8)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 7
Согласно [5] управление ),,( yxtuu можно определять по принципу пол-
ной обратной связи: в любой фиксированный момент времени ],0[ Tt возможно
точное измерение реализовавшегося состояния системы mtx R)( и одновремен-
но той случайной структуры Y, )(t H,k в которой находится система в
данный момент времени .),0[ t
Предполагается выполнение условия о непрерывности ),,,( hytu по t, z
в области
,0t D,z Y,y H,h (9)
для каждого фиксированного Y yt)( и H. hk
Определение 1. Случайный процесс mtxx R ),( назовем сильным реше-
нием задачи Коши (1), (3) с импульсным воздействием (2), если:
1) mtx R)( согласован с потоком -алгебр },0,{ 0 tttF ;FF t
2) удовлетворяет интегральному уравнению
duxbuxasxtx
t
s
))](,),(,())(),(),(,([)()( (10)
для всех ),,[ 1 kk tts ),,( 1 ktst ;0ttk
3) при этом
)),(),(,()()( kkkkkk txttgtxtx .00 ttk (11)
Таким образом, определенные выше условия на отображения a и g гаранти-
руют наличие сильного решения задачи (1)–(3) согласно определению 1
с точностью до стохастической эквивалентности при ,00 t ,mx R ru R и за-
данных реализациях марковских цепей Y }),({ 0ttt и H },{ 0kkk [1, 22].
Поскольку
mtx R)( однозначно определяется с помощью начальных дан-
ных (3), его удобно обозначать ),,,,( 0 hzyttx .
Значит, ДФУ (1), марковский процесс }),({ kt и начальные условия (3) опре-
деляют при любом управлении [20] ),),(,( ktxttuu )2( n -мерный марковский
процесс )),(,( kt tx на прямом произведении пространств .HY D При этом
mtx R)( характеризует состояние системы в момент времени t, а )(t и k —
структуру, в которой находится система в этот же момент времени: .St
Заметим, что почти все реализации марковских процессов )(t и ,k ,0kk
постоянные, а переключения происходят в случайные моменты времени ).( tt
Поэтому естественно предположить, что на каждом случайном интервале времени
ttht движение будет происходить в силу системы (1) при фиксированном
значении параметра ,)( syt .hts При этом в момент t переключение си-
стемы (1) следует задать для нового состояния системы (1) (структуры) начальные
условия. Как правило, они выбираются из требований непрерывного продолже-
ния траектории
mtx R)( как решения ДФУ (1)–(3). Например, случайный па-
раметр )(t может характеризовать упругие свойства системы или силы сопро-
тивления окружающей среды [5]. Другой пример: )(t может служить характе-
ристикой случайного скачкобразного изменения массы или геометрического
устройства изучаемой системы. Тогда верна теорема об изменении количества
движения или кинетического момента, а значит, фазовый вектор )(tx должен из-
меняться скачкообразно [5].
8 ISSN 0572-2691
Для учета рассматриваемых ситуаций будем считать, что для случайного мо-
мента времени t переключения системы (1) (за счет перехода )(t из состояния
iyt )0( ) в состояние ,)( jyt )ji задан условный закон распределения
начального состояния )( tx для изменившейся структуры системы [5]:
,)(),(})0(),()({ dzοdzxztpxtxdzzztx ij P (12)
где ),( zpij — условная плотность заданного распределения.
Естественно предположить, что почти все реализации процесса )}(),({ ttx
непрерывны справа. Можно выделить три наиболее часто встречающиеся ситуа-
ции [5]:
если в момент скачка t марковского процесса )(t фазовый вектор mtx R)(
изменяется непрерывно, то условная плотность равна:
,)(),( zztpij (13)
где )(z — -функция Дирака;
наиболее правдоподобно следует принимать в механических задачах ли-
нейное условие скачка
),0()( txKtx ij (14)
где ijK — заданная mm -матрица.
2. Основные обозначения и определения устойчивости
Пусть )),,(( Ghyk P — переходная вероятность цепи Маркова }),({ kkt
на k-м шаге. В соответствии с принятыми в теории марковских процессов обозна-
чениями вероятностных событий [20], связанных с этой цепью, используем ин-
дексы этих вероятностей так, чтобы выполнялись равенства
)),,((),)((
,
GhyGt kkk
t
hy
k PP (15)
при всех ,0ttk ;Yy Hh и борелевских ,Y .HG
Теперь введем функцию
);)(;),,,,(()),,,(( 111,
GtxChxyttxCGxhy kkkk
t
hyk
k PP (16)
при всех },{ 0tStk },0{Nk ,)( mtx R ;Yy Hh и борелевских
,mC R ,Y .HG
Определение 2. Дискретный оператор Ляпунова ),,( hxykL на последователь-
ности измеримых скалярных функций ,:),,( 1RHY Dhxyk }0{Nk для
ДФУ (1) с импульсным воздействием (2) определяется соотношением
.),,(),,()(),,(),,( 111 hxylzzdldzdzhxyhxy kkkk
HY
P
D
L (17)
Определение 3. Если ktk при всех Nk и некотором ,0 отображе-
ния a, b и g не зависят от t, марковский процесс )(t и цепь Маркова k однород-
ные, то систему (1), (2) назовем автономной.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 9
В случае автономной системы (1), (2) индекс k функции )),,,(( CGxhyk P
можно опустить и дискретный оператор Ляпунова определить равенством
).,,(),,()),,((),,( 11 hxylzzdldzdzhxyhxy
HY
P
D
L (18)
При развитии второго метода Ляпунова для ДФУ (1) с импульсным воздей-
ствием (2) понадобятся специальные последовательности вышеупомянутых
функций ),,,( hxyk .Nk
Определение 4. Функционалом Ляпунова–Красовского для системы случай-
ной структуры (1), (2) назовем последовательность неотрицательных функциона-
лов },0),,,({ khxyk если:
1) при всех ,0k ;Yy ,Hh Dx определено выражение (18);
2)
),,(inf)(
,
,
hxyr k
rxh
yk
H
YN
при ;r (19)
3) 0),,(sup)(
,
,
hxyr k
rxh
yk
H
YN
при ,0r (20)
причем )(r и )(r непрерывны и монотонны.
Определение 5. Решение )(tx системы случайной структуры (1)–(3) назовем:
устойчивым по вероятности, если 0,0 21 можно указать такое
,0 что из неравенства 0z следует неравенство
210 ),,,,(sup
0
uhzytxt
tt
P (21)
при всех ;Yy ,Hh ru R и ;00 t
асимптотически устойчивым по вероятности, если выполнено (21) и можно
указать такие 01 и ,02 что для почти всех реализаций, удовлетворяющих
неравенству ,),,,,(sup 10
0
uhzytxt
tt
P имеет место соотношение
0),,,,(lim 0
uhzytxt
t
P (22)
при всех ,00 t ;Yy ,Hh ru R и ;20 z
асимптотически стохастически устойчивым, если система устойчива по ве-
роятности и для любого 0 существует 01 такое, что
0),,,,(suplim 0
uhzytxt
t
P (23)
при всех ,10 z ;Yy ,Hh ru R и .00 t
Определение 6. Решение )(tx системы случайной структуры (1)–(3) назовем:
p -устойчивым (при ),0p если 0 можно указать такое ,0 что из
неравенства 0z следует неравенство
p
t uhzytx ),,,,( 0E (24)
при всех ;Yy ,Hh ,ru R ,00 t ;0tt ;Dz
10 ISSN 0572-2691
асимптотически p-устойчивым (при ),0p если система p-устойчива и
существует такое ,01 что из неравенства 10 z следует
0),,,,(suplim 0
,
p
t
hyt
uhzytxE
HY
(25)
при всех ,00 t ,ru R .Dz
Замечание 1. При 2p будем иметь устойчивость в среднем квадратичном
(l.i.m.) (24) и асимптотическую устойчивость в (l.i.m.) (25).
Определение 7. Решение )(tx системы случайной структуры (1)–(3) называ-
ется экспоненциально p-устойчивым при некотором ,0p если существует та-
кое ,0 что из неравенства 0z следует неравенство
pttp
t zMeuhzytx
)(
0
0),,,,(
E (26)
при некоторых ,0M 0 для ,Yy ,Hh ,ru R ,00 t .0tt
Замечание 2. Заметим, что при 2p будем иметь экспоненциальную устой-
чивость в l.i.m.
Замечание 3. Если (22), (23) или (24) выполняются для всех ,mx R то к со-
ответствующему определению устойчивости следует добавлять «в целом».
3. Общие теоремы об устойчивости систем случайной структуры
Для дальнейших выкладок приведем вначале оценку решения задачи (1), (2)
на интервалах ),( 1kk tt через значения решения в точках ,kt 0k [10].
Лемма. Пусть реализовано требование выполнения неравенства Липши-
ца (8), неравенств равномерной ограниченности (8) и
)(),,,(),,,(),,,( zxhxytguzytbuxyta (27)
для ],,0[ Tt Y,y ,Hh .ru R
Тогда для решения задачи Коши (1)–(3) при всех 0k имеет место неравенство
),()()1(sup 1
)( 1
1
kkt
tt
t
ttt
ttxex
k
kk
kk
(28)
где ,0,)( txxt для фиксированного .00 tt
Замечание 4. В дальнейшем будем считать, что 0 в (8) , а также обозна-
чим .00 k
Теорема 1. Пусть:
1) ;,0,1 N ktt kk
2) выполнено условие Липшица (8) ;
3) в силу системы (1)–(3) для последовательности функционалов Ляпунова–
Красовского }0,{ kk имеет место неравенство
0),,)(( hxykL ,Nk ,Yy ,Hh ,Dx .ru R (29)
Тогда импульсная система (1)–(3) устойчива по вероятности в целом.
Доказательство. Пусть
kt
F — минимальная -алгебра, относительно кото-
рой )(t измеримы при всех ],[ 0 ktt и n при .kn
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 11
Тогда условное математическое ожидание можно вычислить по формуле [20]
}),),(({ 111 1 kk tktkk xt FE
.),,()(),,(
)(
111
kt
k
k
xx
h
ty
kk wzzdwdzdzhxy
HY
P
D
(30)
По определению дискретного оператора Ляпунова–Красовского ),,)(( hxykL
из равенства (30) с учетом неравенства (29) получим
}),),(({ 111 1 kk tktkk xt FE
.)(),),((),),((
kkk tktkkktkk xxtxt L (31)
В силу леммы, свойств функционала следует существование условного
математического ожидания левой части неравенства (31), ибо
ktx при каждом
0ttk в силу (25) ограничено константой, пропорциональной ,z равномерно по
;Yy Hh и ,00 t а именно
.)1(
)(
010 kk
k
ttkk
t ezx
На основании (34) вдоль решений (1)–(3) запишем следующее неравенство:
),),()(( ktkk k
xtL
.0),),((),),((}),),(({ 111 1
ktkkktkktktkk kkkk
xtaxtxt FE (32)
Тогда при Nk выполняется неравенство
),,),((}),),(({ 111 1 ktkktktkk kkk
xtxt
FE (33)
а значит, последовательность случайных величин )},),(({ ktkk k
xt при Nk
образует супермартингал относительно
ktF [19].
Далее, взяв математическое ожидание от обеих частей неравенства (32) и про-
суммировав по k от 0kn до ,N получим выражение
)},),(({)},),(({
1111 nN tnnntNNN xtxt EE
.0}),),(({}),),(({
N
nk
ktkk
N
nk
ktkk kk
xtaxt EE L (34)
Поэтому в силу леммы легко получить цепочку неравенств :01
10 ),,,(sup
0
hxytxt
tt
P
10 ),,,(supsup
010
hxytxt
tttn nknkN
P
100
)(
),,,()1(sup
10
010 hxytxe
nk
nknk
t
tt
n N
P
ehxytx
nkt
n )1(
),,,(sup 1
0010
N
P
.
1
),),((sup 1
111 01000
ext nktnknk
n
nk
N
P (35)
12 ISSN 0572-2691
Действительно, если ,rx
kt
то на основании (19) должно выполняться не-
равенство
.)(),,(inf),),((sup
,
,00
rhxyxt k
rxHh
Yykk
ktkk
kk
k
(36)
Далее следует воспользоваться известным неравенством для неотрицатель-
ных супермартингалов [19]:
ext nktnknk
n
nk 1
),),((sup 1
111 01000
N
P
.
1
)(
),,(
1
1
11
0
e
z
hxy
e
k (37)
C учетом неравенств (35), (37) можно утверждать, что выполняется (21), а зна-
чит, система (1)–(3) устойчива по вероятности в целом.
Теорема 1 доказана. ■
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы 1, а в силу системы
(1)–(3) существуют последовательности функционалов Ляпунова–Красовского
)},,({ hxyk и )},,,({ hxyak ,Nk такие, что на основании системы (1)–(3) имеем
).,,(),,)(( hxyahxy kk L (38)
Тогда система случайной структуры (1)–(3) асимптотически стохастически
устойчива в целом.
Доказательство. Неравенство (34) дает оценки
),,,()}),(),(({
01111 hxytxt kNNNN E (39)
),,(}),),(({
0
hxyxta k
N
nk
ktkk k
E (40)
при всех ,0kN ;Yy ,Hh .Dx
В силу того, что последовательность },{ ka ,Nk образует функционал Ля-
пунова–Красовского, должны существовать непрерывные строго монотонные
функции )(ra и ),(ra равные нулю в нуле и такие, что
),(),,()( xahxyaxa k ,Nk ;Yy ,Hh .Dx
Таким образом, из сходимости ряда в левой части неравенства (40) следует
сходимость ряда
0
)}),,,(({ 0
kk
t hxytxa
k
E ,00 t ;Yy ,Hh .Dx
В силу непрерывности )(ra и равенства 0)0( a запишем
.0),,,(lim 0
hxytx
ktk
Из сказанного выше следует, что последовательность )),,,(( 0 hxytx
kt
при
k для всех ,00 t ;Yy ,Hh ,Dx стремится к нулю по вероятности.
Таким образом, из свойств функционала Ляпунова–Красовского заключаем,
что неотрицательный супермартингал ),),(( ktkk k
xt при k стремится к
нулю по вероятности на всех реализациях процесса ),()( tt и последователь-
ности .k
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 13
Неотрицательный ограниченный сверху супермартингал имеет предел с веро-
ятностью единица [5, 17]. Тогда, используя результат леммы, получим асимптоти-
ческую стохастическую устойчивость в целом импульсной системы (1)–(3) в силу
определения 5. ■
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1)–3) теоремы 2, причем функционалы
Ляпунова–Красовского },{ k },{ ka ,0k удовлетворяют неравенствам для не-
которых :0p
,),,()0( 21
p
k
p
zczhyzc (41)
p
k
p
zczhyazc 43 ),,()0( (42)
при ,4,1,0 ici и для всех ,Nk ;Yy ,Hh .Dz
Тогда импульсная система (1)–(3) асимптотически p -устойчива в целом.
Доказательство. Используя неравенство (32) при ,0kn на основании (41) мож-
но получить неравенство
)},),(({
1
}{
11 111
1
NN tNNN
p
t xt
c
x EE
p
kkk z
c
c
zt
c 1
2
1
)},),(({
1
000
E , (43)
для всех ,0kN ,0 Nk Dz и начальных распределениях случайного вектора
}.),({
00 kkt Отсюда по определению 6 сразу следует p -устойчивость систе-
мы (1)–(3).
В силу неравенств (34), (41) и (42), справедлива оценка сверху
)},),(({
1
}{
00
3
kk tkkk
N
kk
N
kk
p
t xta
c
x EE
.)},),(({
1
3
4
3
000
p
kkk z
c
c
zt
c
E (44)
Это неравенство гарантирует сходимость ряда, членами которого выступают
}{
p
tk
xE для любых начальных данных zx
kt
0
и начальных распределений
случайного вектора }.),({
00 kkt
Таким образом,
0}),,,({suplim 0
,
p
t
hyk
zhytx
k
E
HY
при всех ,00 t что и доказывает теорему 3. ■
Из доказательства теоремы 3 получаем следствие: если выполнены условия
теоремы 2 и имеет место неравенство (41), то импульсная система (1)–(3) p -ус-
тойчива в целом.
Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и существует такое чис-
ло ,01 что
11 kk tt .Nk (45)
Тогда импульсная система (1)–(3) экспоненциально p -устойчива в целом.
14 ISSN 0572-2691
Доказательство. В силу неравенства (28) (при )0 достаточно доказать,
что неравенство (26) выполнено для любого Dz при всех .St Действительно,
),,( 1 kk ttt ,nk из (29) для 0k следует неравенство
.
)()(
00
eee
tttt
kkk (46)
Воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 1 и доказанным
ранее равенством
),),()((),),((}),),(({
1111 kkkk tkkktkkkttkkk xtxtxt
LFE (47)
,Nk 00 tt и всех начальных значений ,Dz ,)( 0 Y t .
0
Hk
Из условий теоремы 4 следует неравенство
).,,,(),,,(),,,)((
2
3
3 zhy
c
c
zczhyazhy k
p
kkL
Тогда из (46) легко получить оценку сверху для условного математического
ожидания
}}),),(({{
1111 kk ttkkk xt FEE .)},),(({1
2
3
ktkkk xt
c
c
E (48)
Пусть ,10 k тогда из оценки (48) 0kk следует неравенство
)},,),(({1}}),),(({{
0000
0
2
3
kkk tkkk
kk
ttkkk xt
c
c
xt
EEE F
откуда в силу условий теоремы легко записать
.1})),,,(,),((
1
}),,,(
0
00
2
3
1
2
1
p
kk
ktkk
p
kt z
c
c
c
c
zhytxt
c
zhytx
kk
{E{E
Не теряя общности, считаем ,32 cc тогда ).1,0(1
2
3
c
c
Воспользовав-
шись неравенством (46), получаем доказательство теоремы 4. ■
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору
физико-математических наук, профессору В.К. Ясинскому за помощь при поста-
новке задач, анализе проблем стабилизации импульсных систем случайной струк-
туры с запаздыванием.
В.І. Мусурівський
ПРО ПРОБЛЕМУ СТІЙКОСТІ ІМПУЛЬСНИХ
СИСТЕМ ВИПАДКОВОЇ СТРУКТУРИ
З ПОСТІЙНИМ ЗАПІЗНЕННЯМ
Розглянуто задачу побудови імпульсної динамічної системи з постійним запіз-
ненням, враховуючи марковські збурення. Ця система випадкової структури
повинна мати асимптотичну стійкість за ймовірністю та забезпечувати наперед
задану оптимальність перехідного процесу.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 15
V.I. Musurivskiy
ON THE PROBLEM OF STABILITY
OF IMPULSE SYSTEMS OF RANDOM
STRUCTURE WITH CONSTANT LAG
The problem of creation of impulse dynamical system with constant lag taking into
account Markov disturbances is considered. This system of random structure must be
asymptotically stable by the probability and provide preassigned optimality of a tran-
sient process.
1. Koroliuk V.S., Limnios W. Stochastic systems in merging phase space. — London : Wolrd Scien-
tific, 2006. — 331 p.
2. Скороход А.В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных урав-
нений. — Киев : Наук. думка, 1987. — 328 с.
3. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием.
— М. : Наука, 1992. — 336 с.
4. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных воз-
мущениях их параметров. — М. : Наука, 1969. — 369 с.
5. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случай-
ной структуры. — Екатеринбург : Изд-во Уральск. гос. академии путей сообщения, 1998.
— 222 с.
6. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // ПММ.
— 1960. — 24, вып. 5 — C. 809–823.
7. Казаков Н.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. —
М. : Наука, 1980. — 382 с.
8. Красовский Н.Н., Летов А.М. К теории аналитического конструирования регуляторов //
Автоматика и телемеханика. — 1962. — № 6. — С. 11–18.
9. Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в систе-
мах со случайными свойствами // Там же. — 1961. — 22, № 9. — С. 1145–1150; № 10. —
С. 1273–1278; № 11. — С. 1425–1431.
10. Ляпунов А.М. Общая задача устойчивости движения. — М. : Гостехиздат, 1950. — 472 с.
11. Беллман Р. Динамическое программирование. — М. : Изд-во иностр. лит., 1960. — 324 с.
12. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых си-
стем с последействием. — М. : Наука, 1981. — 448 с.
13. Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Квазилинейные стохастические функционально-дифференци-
альные уравнения. — Рига : Ориентир, 1992. — 328 с.
14. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М. : Наука, 1982. —
486 с.
15. Королюк В.С., Мусуривский В.И., Юрченко И.В. Устойчивость динамических систем с по-
следействием с учетом марковских возмущений // Кибернетика и системный анализ. —
2007. — № 6. — C. 134–146.
16. Королюк В.С., Мусуривский В.И. , Ясинский В.К. Стабилизация импульсных динамических
систем с конечным последействием при наличии марковских параметров. Часть 1 // Проб-
лемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 16–35.
17. Королюк В.С., Царьков Є.Ф. , Ясинський В.К. Ймовірність, статистика та випадкові проце-
си. Теорія та комп’ютерна практика : В 3-х т. — Т. 3. Випадкові процеси. Теорія та
комп’ютерна практика. — Чернівці : Золоті литаври, 2009. — 798 с.
18. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов : В 2-х т. — М. :
Физматгиз, 1994. — Т. 1. — 544 с.
19. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов : В 2-х т. — М. :
Физматгиз, 1994. — Т. 2. — 473 с.
20. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. — М. : Физматгиз, 1969. — 859 с.
21. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздей-
ствиями. — Киев : Вища шк., 1987. — 287 с.
22. Свердан М.Л., Царьков Е.Ф. Устойчивость стохастических импульсных систем. — Рига :
РТУ, 1994. — 300 с.
Получено 18.05.2010
После доработки 28.12.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207334 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:12:11Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мусуривский, В.И. 2025-10-06T15:25:08Z 2011 О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 5–15. — Бібліогр.: 22 назви. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207334 519.718:519.217:519.837:517.929 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i9.40 Розглянуто задачу побудови імпульсної динамічної системи з постійним запізненням, враховуючи марковські збурення. Ця система випадкової структури повинна мати асимптотичну стійкість за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу. The problem of creation of impulse dynamical system with constant lag taking into account Markov disturbances is considered. This system of random structure must be asymptotically stable by the probability and provide preassigned optimality of a transient process. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием Про проблему стійкості імпульсних систем випадкової структури з постійним запізненням On the Problem of Stability of Impulse Systems of Random Structure with Constant Lag Article published earlier |
| spellingShingle | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием Мусуривский, В.И. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием |
| title_alt | Про проблему стійкості імпульсних систем випадкової структури з постійним запізненням On the Problem of Stability of Impulse Systems of Random Structure with Constant Lag |
| title_full | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием |
| title_fullStr | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием |
| title_full_unstemmed | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием |
| title_short | О проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием |
| title_sort | о проблеме устойчивости импульсных систем случайной структуры с постоянным запаздыванием |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207334 |
| work_keys_str_mv | AT musurivskiivi oproblemeustoičivostiimpulʹsnyhsistemslučainoistrukturyspostoânnymzapazdyvaniem AT musurivskiivi proproblemustíikostíímpulʹsnihsistemvipadkovoístrukturizpostíinimzapíznennâm AT musurivskiivi ontheproblemofstabilityofimpulsesystemsofrandomstructurewithconstantlag |