Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием

Наведено огляд робіт з усереднення задач керування з запізненням для систем стандартного вигляду, для систем з повільними змінними та для систем з сингулярними збуреннями. Виокремлено прямі методи асимптотичного розв’язання таких задач і методи, що зводяться до асимптотичного розв’язання крайових за...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2011
Main Author:	Эфендиев, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Subjects:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207335
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием / В.В. Эфендиев // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 16–26. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859867980275384320
author	Эфендиев, В.В.
author_facet	Эфендиев, В.В.
citation_txt	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием / В.В. Эфендиев // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 16–26. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Наведено огляд робіт з усереднення задач керування з запізненням для систем стандартного вигляду, для систем з повільними змінними та для систем з сингулярними збуреннями. Виокремлено прямі методи асимптотичного розв’язання таких задач і методи, що зводяться до асимптотичного розв’язання крайових задач принципу максимуму Понтрягіна. The review of published works is performed on averaging control problems with delay for standard systems, for systems with slow variables, and systems with singular perturbations. The direct methods of asymptotic solution of such problems and methods which are reduced to asymptotic solution of Pontryagin maximum principle boundary value problems are distinguished.
first_indexed	2025-12-07T15:49:42Z
format	Article
fulltext	© В.В. ЭФЕНДИЕВ, 2011 16 ISSN 0572-2691 УДК 517.948.34 В.В. Эфендиев АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ МЕДЛЕННЫМИ И БЫСТРЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Рассмотрим усреднение в задачах управления с запаздыванием для систем стандартного вида, с медленными переменными и с сингулярными возмущения- ми, в основном выполненное в соавторстве с В.П. Желтиковым. Выделены пря- мые методы асимптотического решения таких задач и методы, сводящиеся к асимптотическому решению краевых задач принципа максимума Понтрягина. Под задачами с медленными переменными понимаем системы стандартного вида ),( Xx  где 10  — малый параметр, ,1X x — n-вектор. В та- ких системах фигурируют медленные переменные x, а также независимая пере- менная t с «единичной» скоростью изменения .1t Обобщение таких задач, где переменные с «единичной» скоростью изменения представлены вектором y : ),( Yy  1Y , некоторые из них изучены В.М. Волосовым и названы систе- мами с «медленными и быстрыми» переменными. Но если здесь в частном случае переменные х отсутствуют, то нормальная система обыкновенных дифференци- альных уравнений )( Yy  окажется системой с «быстрыми» переменными, что больше соответствует сингулярно возмущенным уравнениям ).( Zz  Поэтому под системой с «медленными» переменными условимся понимать, вообще говоря, систему уравнений ),( Xx  ),( Yy  а «быстрые» переменные, считаем, воз- никают в системе с появлением в ней сингулярных возмущений. Ввод запаздывания в уравнения движения динамического объекта естестве- нен потому, что оно всегда возникает при управлении реальным объектом. Это запаздывание обычно носит случайный характер, но несмотря на это, решение си- стем с запаздыванием во избежание аварий на управляемых объектах должно быть предсказуемым. В частности, в связи с аварией на ЧАЭС В.И. Зубов назвал исследования задач с запаздыванием приоритетными для прикладной математи- ки [1]. Конечно, без необходимости математическую модель не усложняют запаз- дыванием, поэтому исследования, в которых исходная задача и некоторая задача с «нулевым» запаздыванием оказываются асимптотически эквивалентными, приоб- ретают практический интерес. Именно формулировке ограничений на исходный объект, позволяющих «не замечать» запаздывания, уделяется основное внимание в работах [2–18]. При асимптотическом решении задач в [2–18] выделяется два основных подхода. Первый включает те частные случаи исходной задачи, для которых удается применить так называемые прямые методы. С ними связаны сравни- тельно более простые, эффективные методы решения. При этом выделяются за- дачи, в которых после усреднения оказываются применимыми методы нелиней- ного программирования. Второй способ связан с усреднением дифференциаль- ных включений, которые фактически представляют исходную возмущенную задачу управления с запаздыванием. Второй подход связан с применением принципа максимума Понтрягина к ис- ходной задаче, при котором возникает краевая задача принципа максимума, Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 17 осложненная, как обычно, задачей максимизации гамильтониана, что является не- которым обобщением максимизации функции Лагранжа в задачах нелинейного программирования. Рассмотрим систему стандартного вида с запаздыванием [11, 16, 17] : )),,1(,,(  txxtfx ),( ]0,1[ tx t   (1) где nGx — n-мерный вектор, ,10  ],,0[ 1Tt ,f — n-мерные век- тор-функции. Теорема 1 [16]. Пусть в области },0),,{( nn RGxtxtQ  выполнены следующие условия: 1) );,,0(),,( 2 , nn k yx GGtCyxtf   2) равномерно по ,nGx nGy существует предел ;),,(lim),( 0 1     dtyxtfyxy (2) 3) вектор-функция )(t непрерывна для ];0,1[t 4) решение ),( tx задачи )(),()),,1(,( ]0,1[ ttxtxxfx t    (3) лежит в области nG вместе со своей -окрестностью при .Tt Тогда найдутся постоянные 00  и 0C такие, что при ],0( 0 решение задачи (1) суще- ствует на сегменте T, единственно и удовлетворяет неравенству ,),(),( 1 k k Ctxtx (4) где ),( txk — асимптотическое решение порядка k исходной задачи (1), по- строенное методом шагов вдоль усредненной траектории ),( tx [16]. В [5] методом шагов исследована аналогичная (1) задача с переменным за- паздыванием ),(th ,1)( th для которой при определенных условиях также по- казана справедливость неравенства (4). Решение усредненной задачи методом шагов требует тем большего объема вычислений, чем меньше . Поэтому важны схемы усреднения, не связанные с методом шагов. Пусть равномерно по ,nGx существует предел ,),,( 1 lim)( 0 2       dtxxtfxf (5) поэтому задача, усредненная по второй схеме [11] , имеет вид ),(2    f d d ,t ).0( 0   (6) Решение задачи (1) по аналогии с методом пограничных функций ищем в виде .)](),([)()(),(),( 1 022 tZxtxZtZxx i k i i i xkk k    (7) Подстановка (7) в (1) приводит [11] к последовательности уравнений для ко- эффициентов разложений (7) , достаточных для их однозначного определения. 18 ISSN 0572-2691 Теорема 2 [11]. Пусть в области },0),,{( nn RGxtxtQ  выполнены следующие условия: 1) );,,0(),,( 2 , nn k yx GGtCyxtf   2) равномерно по nGx существует предел (3), причем ,)()](),,([ 0 2 Mdtxfxxtf   где ;const,0)(lim   M 3) вектор-функция )(t непрерывна для ;]0,1[t 4) решение )( задачи (6) определено для ]1,0[ и лежит в области nG вместе с -окрестностью. Тогда найдутся постоянные ,00  0C такие, что при 00  решение задачи (1) существует на сегменте T, единственно и удовлетворяет неравенству (4). В [17] разложение (7) выполнено вдоль траектории, усредненной по первой схеме усреднения и также доказана теорема, аналогичная теореме 2. При дифференциальных связях стандартного вида рассмотрена задача управ- ления [5] ),),,),((),,,(,( uuthtxutxtfx  ),( ]0,1[ tx t   (8) ,min)),,(Ф(][ 1 Uu uxuJ    (9) где ;nRXx  ,)( rRUtu  U — выпуклый компакт; )(Ф x — непрерывная вы- пуклая на X функция, причем ),(Lip)(Ф Xx x  равномерно по ;Uu ),,,( uyxtf ).,,,(2 , UGGTC nn k yx  Полагаем, что управление )(tu параметрическое, например, кусочно-посто- янное или кусочно-линейное при численно-асимптотическом решении задачи. Это значит, что значения параметров управления выбираются постоянными перед началом движения и не меняются при .Tt Такая задача эквивалентна задаче не- линейного программирования. Пусть )(tuu  — допустимое управление, ,Uu ),,( utx — соответству- ющее ему кусочно-гладкое решение задачи (8). В силу теоремы 2 его асимпто- тическое приближение ),,,( utxk ,Tt для ],0( 0 удовлетворяет неравенст- ву ,),,(),,( 1 k k Cutxutx .constC Рассмотрим задачу минимизации функционалa .min)),,(()( 1 Uu k uxuJ    (10) Теорема 3 [5]. Пусть ,u u — решения задач (8)–(10). Тогда справедливы неравенства ,)()( 1  kCuJuJ ,)()( 1  kCuJuJ (11) где .constC Исследование задачи Майера (8), (9) при 1)( th и параметрическом управле- нии ,const)( tu ,Tt с применением первой схемы усреднения и метода шагов проведено в [10], где обоснована асимптотическая близость исходной усредненной фазовой траектории порядка ,1kC а также соответствующие оценки (11) для функционалов. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 19 Задача (8) для управлений из некоторого класса функций Utu )( эквива- лентна дифференциальному включению с запаздывающим аргументом [15]: ),()())((,,( ]0,1[ . ttxthtxxtXx t   (12) где )(txx  есть n-мерная вектор-функция, ),,( yxtX — многозначная функция, ставящая в соответствие каждой точке ),,( yxt из некоторой области )12( n - мерного пространства компактное множество ),,( yxtX n-мерных пространств, .1)( th Поставим в соответствие включению (12) усредненное дифференциальное включение ),0()0(),(  X (13) где     0 1 .),,(lim)( dtxxtXxX (14) Сходимость в (14) понимается в смысле метрики Хаусдорфа [15] . Рассмотрим наряду с дифференциальным включением (12) дифференциаль- ное включение без запаздывания, полученное формально из (12) при :0)( th ).0()0()0()),(),(,(  xytytytXy (15) Теорема 4 [15]. Пусть в области },,0:),,{( nnnn RGyRGxtyxtQ  выполнены следующие условия: 1) ),,( yxtX — непустое компактное множество; 2) функция ),,( yxtX непрерывна по t, x, y; 3) );,(Lip),,( , QyxtX yx  4) )(t — непрерывная вектор-функция, ;01  t 5) nGty )( при .0t Тогда для любого 0 можно указать такое ,0)(00  что при ],0( 0 на отрезке Tt справедливы следующие утверждения : (i) для любого решения )(tx включения (12) существует решение )(ty вклю- чения (15) такое, что выполняется неравенство ;)()(  Ctytx (16) (ii) для любого решения )(ty включения (15) существует решение )(tx включения (12) такое, что выполняется неравенство (16). В [15] доказана также следующая теорема. Теорема 5 [15]. Пусть в области :},,0:),,{( nnnn RGyRGxtyxtQ  1) выполнены все условия теоремы 4; 2) равномерно относительно nGx существует предел (14); 3) для всех 0t все решения включения (13) вместе с некоторой -окрест- ностью лежат в области .nG Тогда для любого 0 можно указать такое ,0)(00  что при ],0( 0 на промежутке Tt справедливы следующие утверждения: 20 ISSN 0572-2691 1) для любого )(t дифференциального включения (13) существует решение )(tx дифференциального включения (12) такое, что ;)()(  txt (17) 2) для любого решения )(tx дифференциального включения (12) существует решение )(t включения (13) такое, что выполняется неравенство (17). Теорема 5 приводит к алгоритмам прямых методов асимптотического решения задач оптимального управления [15]. Для частных случаев задачи (8), (9) в [14] рас- смотрены некоторые из таких алгоритмов. Классическое решение задачи оптимального управления в силу необходимо- го условия оптимальности сводится к краевой задаче принципа максимума Понт- рягина. В [6, 7] изучены случаи, когда дифференциальные связи имеют стандарт- ный вид и зависят от отклоняющихся аргументов. Применение принципа макси- мума к задаче управления стандартной системой с запаздыванием сводится к краевой задаче с запаздыванием и опережением вида: ),(, )),),((),,(),),((,(),( 2]2,[21]0,1[1 2211 . txx tptxtxtptxtXtx TTtt    (18) где 0 — малый параметр; 2,1  — константы; ,),( 21  xxx штрих означает транспонирование; 2211 ,,, pxpx — n-векторы; X — 2n-мерная вектор-функция. Здесь каждая компонента вектора x имеет характерное для приложений свое за- паздывание )(1 tp i или опережение ),(2 tp i .2,1,)(  ktp kk Задаче (18) ставится в соответствие усредненная краевая задача: ,),()1(),0()0(),( 2211 tTxxxX d xd   (19) где .),,,(lim)( 0 21 1 tdxxxtXxX s ss    (20) Асимптотическая близость решений исходной (18) и усредненной (19) задач обоснована следующими теоремами [6]. Теорема 6 [6]. Пусть в области },,0:),{( 22 nn RGxtxtQ  где множест- вo nG2 открыто и ограничено, выполнены следующие условия: 1) функция ),,,( 21 xxxtX ограничена: 0MX  и дифференцируема по x, причем ,),,(Lip 2 M x X G x X nx       где ;const,0 MM 2) равномерно по nGx 2 существует предел (20); 3) решение ),( 0xx  уравнения (19) с начальным условием  00 ),0( xxx nGG 2 0  определено для   [0, 1] и лежит вместе с -окрестностью в ;2nG 4) задача (19) имеет решение )(x такое, что ;int)0( 00 Gxx  5) решение ),( 0xx  уравнения (19) таково, что ;0)/),1((det 0 2 0 2 dxxx 6) функции ),(1 t )(2 t непрерывны соответственно на отрезках ,]0,[ 1 ].,[ 2 11   Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 21 Тогда для любого 0 можно указать такое ,0)(00  что при ],0( 0 и равномерно по Tt имеет место неравенство ,)(),(  txtx (21) где ),( tx — решение исходной задачи (18). Теорема 7 [6]. Пусть в области Q выполнены условия 1), 2), 6) теоремы 6 и следующие условия: 3) решение ),( 1xtx уравнения (19) с дополнительным условием ),( 1xLx nGGx 2 11  определено для ]1,0[ и принадлежит вместе с -окрестностью области ;2nG 4) задача (19) имеет решение )(x такое, что ;int)1( 11 Gxx  5) решение ),( 1xx  уравнения (19) таково, что .0)/),0((det 1 1 1 1  xxx Тогда для любого 0 можно указать такое ,0)(00  что при ],0( 0 и равномерно по Tt имеет место неравенство (21). Рассмотрим задачу управления (8), (9) на кусочно-непрерывных управлениях Utu )( и .1)( th Для этой задачи запишем сопряженную систему с функцией Гамильтона ),,,,(),,,,( uxtfuxtH  [7]. Однозначная в силу сделанных выше относительно задачи (8), (9) предположений функция ),(tu на которой до- стигается минимум функционала (9), удовлетворяет принципу максимума: ).,),1(,,(maxarg utxxtHu Uu    Если отсюда )(tu удастся определить в виде ),),1(,,(  txxtu то ис- ходная задача (8), (9) сводится к следующей краевой задаче: )),),1(,,(),1(,,(  txxttxxtfx ,)()))(),(),(,(),(),(,()( ))1(,,(),1(,,( 1111111 tttxtxttxtxt f T txxttxxt x f         (22) , ))(( )(),( 1 1 ]0,1[ x x tx t       где )(S означает характеристическую функцию множества S, ,11  tt ,]1,0[ 1  T ).,,,( )( ),,,,( )( uxt x ff uxt x f x f             Краевой задаче (22) ставим в соответствие усредненную краевую задачу , ))1(( )1(),0()0(),( 1 1 21 y y yyyY d dy     (23) где )( yY вычислено согласно второй схеме усреднения [7], ).,( 21 yyy  Теорема 8 [7]. Пусть в области },,0),,({ nnnn RGRGxtxtQ  выполнены следующие условия: 1) правые части уравнений (22) непрерывны по t, дифференцируемы по x, , их первые производные по x,  локально удовлетворяют условию Липшица по x,  и равномерно по nGy существуют функции );(yY 22 ISSN 0572-2691 2) решение ),( 0yy  системы (23) с начальным условием 00 ),0( yyy  опре- делено для ]1,0[ и лежит вместе со своей -окрестностью в области ,2nG при- чем ;0 ),1( det 0 2 0 2            y yy 3) задача (22) имеет единственное решение ))(),(( ttx  такое, что  ))0(),0((x ,int 2nG тогда для любого 0 можно указать такое ,0)(00  что при ],0( 0 и равномерно по Tt имеет место неравенство .))1(Ф())(Ф( 1 1  yx (24) Если условие 1) теоремы 8 усилить, потребовав периодичности по t функции )),,,(,,,( 2111 yytyytf  то в оценке (24) можно положить . C Отметим, что из доказательства теоремы 8 следует также возможность по- строения фазовой траектории ),(tx асимптотически близкой к оптимальной для задачи (8), (9) [7]. В системе стандартного вида сравнительно быстрой является независимая переменная t, поэтому в асимптотическом решении таких систем с запаздыванием при ее усреднении по первой схеме усреднения для аппроксимации быстрых со- ставляющих решения введены пограничные функции [11, 17], как это выполнено А.Б. Васильевой при сингулярных возмущениях [9]. Рассмотрим систему уравнений управляемого движения вида [13]: ,)0(,)0()),()),((,()),(),(),(,( 00 yyxxtytxtYytutytxtXx   (25) где ],0[ 1t — время, 0 — малый параметр, mn RyRx  ,,1 — фазо- вые переменные, RrUu  — вектор управления, U — компактное множество, )(t — переменное запаздывание, .)(0 tt  Предположим, что известно решение ),,,( 011 tyxty  вырожденной систе- мы для быстрых движений: ].,0[,)(,)(),,,(,0 1 01010  tytyxtxyxtYyx  (26) Поставим в соответствие медленным переменным x системы (25) следующую систему: .)0()),()0,)),((,(),(,()( 00 xztuytzttztXtz  (27) Теорема 9 [13]. Пусть в области ,,,0:),,,{( mmnn RGyRGxtuyxtQ  }rRUu  выполнены следующие условия: 1) функции X и Y непрерывны по u, t и ),,(Lip, QYX  ,MX  ,constM а функция )(t равномерно непрерывна ; 2) );,(Lip),,,( nGyxt  3) равномерно относительно uxyy ,,,, 00  существует предел .0)]),,,,(,,()),,,,(,,([ 1 lim 00     dtuyxtxtXuyxtxtX s s s Тогда для любого 0 можно указать такое ,0)(00  что при ],0( 0 и равномерно по Tt имеет место неравенство .)()(  tztx (28) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 23 В [15] обосновывается следующий алгоритм асимптотического решения за- дачи (25):  системе (25) ставится в соответствие система (27), содержащая только мед- ленные переменные;  решение задачи (27) осуществляется известными численно-асимптотичес- кими методами;  полученное решение ))0,),((),(( 0yttz  оказывается асимптотически близ- ким к решению ))(),(( tytx задачи (25). В системах с медленными переменными ),,( ztXx  ),,( ztYy  ),(,)0( 0  yxzzz (29) 1,0(  — малый параметр, ,],0[ 1Tt ,nx RGx  my RGy  , множества yx GG , открыты и ограничены, вектор-функции X, Y размерности n, m соответственно равномерно ограничены в ),yx GGTG  как правило [2], пред- полагается известным общее решение порождающей системы: .0),,()0,,(),,()0,,(, 00000  ztyztyztztyyxx Тогда с помощью простой замены переменных можно прийти к системе стандартного вида, что сводит задачу (29) к изученным выше задачам [2]. Наряду с системой (29) введем усредненное уравнение ,,),( 0 0 txxxX d xd    (30) где предел dtyxtxtX s xX s s )),,(,,( 1 lim)( 0 0   (31) предполагается существующим равномерно по ., 0 0 yyx GGyGx  Тогда при известных ограничениях [2, теорема 1] для любого 0 можно указать такое ,0)(00  что при ],0( 0 и равномерно по Tt  решение ),,( 0 ztz задачи (29) существует, единственно и выполняется неравенство ,),(),,( 00  xtxztx (32) где ),( 0xx  — решение усредненной задачи (30). Если, кроме того, система уравнений )(),,(),,( xXyxtXyxtY y u t u       обладает гладким решением, то [2, теорема 2] в (32) .const,  CС Если в (29) заменить переменные z переменными ,1z исходя из решения по- рождающей системы, то система уравнений относительно 1z окажется стандарт- ной, так что оценка (32) примет вид ,),,(),,( 00  ztzztz (33) где )).,(),,((),,( 0 1 00 ztyztxztz  Если порождающая система обладает асимптотически устойчивым решени- ем ),,( xt то y [2, теорема 4] определяется как решение задачи: .),),,(,( 0 0 0 yyyxtxtYy t    24 ISSN 0572-2691 При экспоненциальной устойчивости решения ),( xt в (33) можно положить const,  CС [2, теорема 5]. Для систем с медленными переменными (29) имеем [2] задачу оптимального управления с запаздыванием для медленных переменных: ,)),(),,,(,()),(),,),((),,,(,( 0 011 zztuutztYytuutptxutztXx t   (34) Uu uxuJ    min)),,(()( 1 11 , (35) и задачу оптимального управления с запаздыванием для всех фазовых переменных: ,)),(),,),((),,,(,( )),(),,),((),,,(,( 0 02 2 zztuutptzutztYy tuutptzutztXx t     (36) ,min)),,(()( 1 Uu uzuJ    (37) где управление rRUtu )( кусочно-постоянное с конечным числом переклю- чений при .Tt Теорема 10 [2]. Пусть )(),( tutu  — решения задачи оптимального управ- ления(34), (35) и соответствующей ей усредненной задачи [2]. Тогда в условиях теоремы 6 [2] найдется ,0,const  CC такое, что .))(())((,))1(())(( 11 1 1 CuJuJCuJuJ   (38) Аналогичное утверждение справедливо для задачи оптимального управле- ния (36), (37). Возмущенные задачи оптимального управления медленными переменными с запаздыванием при их сведении к краевым задачам принципа максимума иссле- дованы в работах [3, 4]. Если возмущенная система является сингулярно возмущенной автономной системой уравнений, то заменой независимой переменной она переходит в систе- му с медленными переменными, алгоритмы исследования которых рассмотрены выше. Иначе их надо рассматривать отдельно. В [9] за исходную принята следу- ющая сингулярно возмущенная задача управления с запаздыванием: ),(),),(,,(),),(,,( ]0,[ tywhtyytFzwhtyytfx ht    (39) .min))((Ф)( 1 Ww tywJ   (40) Здесь ),(  zxy , штрих означает транспонирование, x, f — l-мерные вектор- функции, z, F — m-мерные вектор-функции, 0 — малый параметр, ;1 за- паздывание взято постоянным и равным h: ,consth ;1~h ,],0[ 1 Ttt  ,11 t const;T f, F строго выпуклы по w для любых ,),( yTGyt  ;mly RG  );()(Ф 2 yGCy  Ww — r-мерный вектор параметрического управления, по- стоянные значения компонент которого выбираются перед началом движения объекта согласно системe уравнений (39) и не изменяются при :0t constw при ,Tt так что задачу (39), (40) можно считать [9] задачей нелинейного про- граммирования для целевой функции (40) с дифференциальными связями (39), W — компактное множество. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 25 Последовательно, методом шагов, на интервалах длины h строится асимпто- тическое приближение порядка 0n решений исходной задачи ),,( wtyn , кото- рая на этих интервалах будет задачей Коши. Теорема 11 [9]. Пусть в области },:),{( yGyTtytQ  равномерно по rRWw  выполнены условия : 1) функции ),,,(),,,,( wyytFwyytf имеют непрерывные производные по t, y до )2( n -го порядка включительно; 2) уравнение 0),,,( wyytF относительно z имеет изолированный корень ),,,( wxtz  а вырожденная для системы (39) задача при нулевом запаздывании имеет единственное решение ,int yGy соответствующее этому корню; 3) ,0)(Re  ti где )(ti — собственные значения матрицы ),(tFz вычислен- ной вдоль решения )(ty вырожденной задачи, а присоединeнная система ),~,,~,,( wzxzxtF d zd   при ,jt  ],[,...,1,0),,( 1tjwjxx  имеет решение для ,0 которое стремится к точке покоя ),,,( wxtz  ][ 1t означает ближайшее целое, не превосходящее 1t . Тогда для любого 0 можно указать такие ,0)(00  ,0C что при ],0( 0 и равномерно по Tt  решение задачи (39) существует, единственно и имеют место неравенства ,)(,,),,(),,( 111   nnn n CJwJCJJCwtywty (41) где ,min),,(()( 1 Ww n wtywJ   (42) ****** ,),(),( wwwJJwJJ  — решения задач (39), (40) и (42) соответственно. В работах [2–18] исследованы возмущенные задачи с запаздыванием на неко- торых классах управляющих функций. Рассмотрены прямые методы асимптоти- ческого решения таких задач, где также возможно сведение исходных задач к дифференциальным включениям. Приведены также асимптотические решения кра- евых задач, возникших в силу необходимого условия минимума для исходных воз- мущeнных задач оптимального управления с запаздыванием. Из возмущeнных за- дач выделены системы стандартного вида, системы с медленными переменными и системы с быстрыми переменными, т.е. содержащие сингулярные возмущения. Ис- следования выполнены под руководством профессора В.А. Плотникова. В.В. Ефендієв АСИМТОТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ КЕРУВАННЯ ПОВІЛЬНИМИ І ШВИДКИМИ ЗМІННИМИ З ЗАПІЗНЕННЯМ Наведено огляд робіт по усередненню задач керування з запізненням для систем стандартного вигляду, для систем з повільними змінними і для сис- тем з сингулярними збуреннями, які в основному виконані у співавторстві з В.П. Желтіковим. Виокремлено прямі методи асимптотичного розв’язання таких задач і методи, що зводяться до асимптотичного розв’язання крайо- вих задач принципу максимуму Понтрягіна. 26 ISSN 0572-2691 V.V. Efendiev ASYMPTOTIC SOLUTION OF CONTROL PROBLEMS OF SLOW AND FAST VARIABLES WITH DELAY The review of published works is performed on averaging control problems with de- lay for standard systems, for systems with slow variables and systems with singular perturbations, which for the most part were conducted in co-authorship with V.P. Zheltikov. The direct methods of asymptotic solution of such problems and methods which are reduced to asymptotic solution of Pontryagin maximum principle boundary value problems are distinguished. 1. Зубов В.И. Апокалипсис. Завет ушедших поколений. — Ленинград : Тип. газ. «На страже Родины», 1993. — 56 с. 2. Эфендиев В.В. Усреднение систем с медленными переменными // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 9. — C. 1265–1275. 3. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Метод усреднения в управлении медленными и быстрыми переменными с отклоняющимися аргументами // Вестн. Одесc. нац. ун-та. — 2007. — 12, вып. 7. — C. 54–63. 4. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 3. — С. 84–92. 5. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Асимптотическое решение задачи управления стандартной системы с переменным запаздыванием // Там же. — 2000. — № 5. — C. 105–111. 6. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Усреднение краевых задач для стандартных систем с откло- няющимися аргументами // Вестн. Одесс. гос. ун-та. — 1999. — 4, вып. 4. — C. 119–124. 7. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Управление стандартной системой с запаздыванием // Ки- бернетика и системный анализ. — 1996. — № 1. — C. 180–185. 8. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Усреднение краевых задач в управлении стандартной си- стемой с запаздыванием // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 4. — C. 548–553. 9. Желтиков В.П.,Эфендиев В.В. Cингулярно возмущенная задача параметрического управ- ления с запаздыванием // Проблемы управления и информатики. — 1995. — № 4. — C. 44–47. 10. Желтиков В.П.,Эфендиев В.В. Асимптотическое решение задачи оптимального управления системами стандартного вида с запаздыванием // Кибернетика и системный анализ. — 1994. — № 5. — C. 93–101. 11. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Погранслойное усреднение систем стандартного вида с за- паздыванием // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 10. — C. 1362–1369. 12. Небеснов В.И., Цымбал Б.И., Эфендиев В.В. К динамике реверсирования судового дизель- ного привода // Машиноведение. — 1969. — № 5. — C. 3–9. 13. Плотников В.А., Желтиков В.П., Кичмаренко О.Д. Асимптотическое исследование управ- ляемых систем с запаздыванием с медленными и быстрыми переменными // Тр. Одесс. по- литех. ун-та. — 2004. — Вып. 2(22). — C. 214–217. 14. Плотников В.А., Кичмаренко О.Д. Численно-асимптотическое построение множеств до- стижимости для управляемых систем с переменным запаздыванием // Кибернетика и вы- числ. техника. — 2000. — Вып. 126. — C. 63–68. 15. Плотников В.А., Желтиков В.П. Усреднение в дифференциальных включениях с запазды- ванием // Изв. высш. уч. заведений. Математика. — 1983. — № 9 (256). — C. 42–45. 16. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Асимптотическое усреднение стандартных систем с запаз- дыванием. — Одесса, 1991. — 14 с. — Деп. в УкрНИИНТИ. — № 28-Укр92. 17. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Усредненные задачи для стандартных систем с запаздыва- нием. — Одесса, 1992. — 19 с. — Деп. в УкрИНТЭИ. — № 1328-Укр92. 18. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Терминальная задача управления системами стандартного вида с запаздыванием. — Одесса, 1992. — 17 с. — Деп. в УкрИНТЭИ. — № 555-Укр92. Получено 03.04.2011
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207335
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:49:42Z
publishDate	2011
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Эфендиев, В.В. 2025-10-06T15:29:39Z 2011 Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием / В.В. Эфендиев // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 16–26. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207335 517.948.34 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i9.50 Наведено огляд робіт з усереднення задач керування з запізненням для систем стандартного вигляду, для систем з повільними змінними та для систем з сингулярними збуреннями. Виокремлено прямі методи асимптотичного розв’язання таких задач і методи, що зводяться до асимптотичного розв’язання крайових задач принципу максимуму Понтрягіна. The review of published works is performed on averaging control problems with delay for standard systems, for systems with slow variables, and systems with singular perturbations. The direct methods of asymptotic solution of such problems and methods which are reduced to asymptotic solution of Pontryagin maximum principle boundary value problems are distinguished. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием Асимптотичне розв’язання задач керування повільними і швидкими змінними з запізненням Asymptotic Solution of Control Problems of Slow and Fast Variables with Delay Article published earlier
spellingShingle	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием Эфендиев, В.В. Проблемы динамики управляемых систем
title	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_alt	Асимптотичне розв’язання задач керування повільними і швидкими змінними з запізненням Asymptotic Solution of Control Problems of Slow and Fast Variables with Delay
title_full	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_fullStr	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_full_unstemmed	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_short	Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_sort	асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
topic	Проблемы динамики управляемых систем
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207335
work_keys_str_mv	AT éfendievvv asimptotičeskoerešeniezadačupravleniâmedlennymiibystrymiperemennymiszapazdyvaniem AT éfendievvv asimptotičnerozvâzannâzadačkeruvannâpovílʹnimiíšvidkimizmínnimizzapíznennâm AT éfendievvv asymptoticsolutionofcontrolproblemsofslowandfastvariableswithdelay

Асимптотическое решение задач управления медленными и быстрыми переменными с запаздыванием

Institution

Similar Items