Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони

Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони

Описано алгоритми ідентифікації, в яких не використовується проміжна модель з дискретним часом. Задачу розглянуто як у разі регулярної (через рівні проміжки часу), так і у разі нерегулярної реєстрації. Такий підхід ефективний і при нерегулярній послідовності інтервалів реєстрації результатів спостер...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Проблемы управления и информатики
Date:2011
Main Authors: Ларин, В.Б., Апостолюк, А.С.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Subjects:
Методы идентификации и адаптивного управления
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207336
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони / В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 27–44. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207336
record_format dspace
spelling Ларин, В.Б.
Апостолюк, А.С.
2025-10-06T15:34:02Z
2011
Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони / В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 27–44. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207336
517.977.58
10.1615/JAutomatInfScien.v43.i9.10
Описано алгоритми ідентифікації, в яких не використовується проміжна модель з дискретним часом. Задачу розглянуто як у разі регулярної (через рівні проміжки часу), так і у разі нерегулярної реєстрації. Такий підхід ефективний і при нерегулярній послідовності інтервалів реєстрації результатів спостережень. На прикладах показано ефективність запропонованих алгоритмів, зокрема, що в деяких випадках їх застосування дозволяє знизити на один-два порядки вимогу до точності реєстрації вихідної інформації.
The identification algorithms, where the intermediate model with discrete time isn’t used, are described. The problem is considered both in case of regular (through the equidistant time intervals) registration and in the case of irregular one. Such approach is found to be effective also in the case of irregular sequence of registration intervals of measurement results. The efficiency of proposed algorithms is demonstrated by the examples; particularly, it is shown that in some cases using of these algorithms enables to decrease by one or two orders of magnitude the requirement to the initial information registration accuracy.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Методы идентификации и адаптивного управления
Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони
Задачі ідентифікації лінійних стаціонарних систем. Частина 2. Узагальнення методу Проні
Identification Problems of Linear Stationary Systems. Part II. Generalizations of Prony's Method
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони
spellingShingle Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони
Ларин, В.Б.
Апостолюк, А.С.
Методы идентификации и адаптивного управления
title_short Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони
title_full Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони
title_fullStr Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони
title_full_unstemmed Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони
title_sort задачи идентификации линейных стационарных систем. часть 2. обобщения метода прони
author Ларин, В.Б.
Апостолюк, А.С.
author_facet Ларин, В.Б.
Апостолюк, А.С.
topic Методы идентификации и адаптивного управления
topic_facet Методы идентификации и адаптивного управления
publishDate 2011
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Задачі ідентифікації лінійних стаціонарних систем. Частина 2. Узагальнення методу Проні
Identification Problems of Linear Stationary Systems. Part II. Generalizations of Prony's Method
description Описано алгоритми ідентифікації, в яких не використовується проміжна модель з дискретним часом. Задачу розглянуто як у разі регулярної (через рівні проміжки часу), так і у разі нерегулярної реєстрації. Такий підхід ефективний і при нерегулярній послідовності інтервалів реєстрації результатів спостережень. На прикладах показано ефективність запропонованих алгоритмів, зокрема, що в деяких випадках їх застосування дозволяє знизити на один-два порядки вимогу до точності реєстрації вихідної інформації. The identification algorithms, where the intermediate model with discrete time isn’t used, are described. The problem is considered both in case of regular (through the equidistant time intervals) registration and in the case of irregular one. Such approach is found to be effective also in the case of irregular sequence of registration intervals of measurement results. The efficiency of proposed algorithms is demonstrated by the examples; particularly, it is shown that in some cases using of these algorithms enables to decrease by one or two orders of magnitude the requirement to the initial information registration accuracy.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207336
citation_txt Задачи идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони / В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 27–44. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT larinvb zadačiidentifikaciilineinyhstacionarnyhsistemčastʹ2obobŝeniâmetodaproni
AT apostolûkas zadačiidentifikaciilineinyhstacionarnyhsistemčastʹ2obobŝeniâmetodaproni
AT larinvb zadačíídentifíkacíílíníinihstacíonarnihsistemčastina2uzagalʹnennâmetoduproní
AT apostolûkas zadačíídentifíkacíílíníinihstacíonarnihsistemčastina2uzagalʹnennâmetoduproní
AT larinvb identificationproblemsoflinearstationarysystemspartiigeneralizationsofpronysmethod
AT apostolûkas identificationproblemsoflinearstationarysystemspartiigeneralizationsofpronysmethod
first_indexed 2025-11-27T00:00:08Z
last_indexed 2025-11-27T00:00:08Z
_version_ 1850787015055900672
fulltext © В.Б. ЛАРИН, А.С. АПОСТОЛЮК, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 27 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 517.977.58 В.Б. Ларин, А.С. Апостолюк ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. Часть 2. ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА ПРОНИ Введение Как было отмечено в [1], вопросы идентификации в той или иной постановке возникают в различных инженерных задачах (см., например, [2–9]). В случае прос- тейших задач идентификации (идентификации стационарных линейных систем с непрерывным временем) алгоритмы их решения (метод Прони, метод матричных пучков) связаны с введением промежуточной дискретной системы. В свою очередь, это требует оптимизации процедуры выбора соответствую- щей дискретной модели (оптимизация шага дискретизации при наличии априор- ной информации о корнях характеристического полинома и т.п.). В этой связи в разд. 1 рассмотрен алгоритм идентификации (нелинейный аналог метода Про- ни), который, как и метод Прони, позволяет произвести декомпозицию исходной задачи, но исключает промежуточную дискретную модель. В разд. 2 рассмотрены вопросы комплексирования измерений при решении задачи идентификации. Та- кого рода задача возникает, например, при обработке результатов одновременной регистрации двух массивов, соответствующих смещению и ускорению некоторой точки системы виброзащиты. В разд. 3, 4 продолжено рассмотрение вопросов де- композиции. Дело в том, что в методе Прони процедура декомпозиции задачи идентификации базируется на теореме Гамильтона–Кэли. В этих разделах изло- жен алгоритм декомпозиции, который не связан с упомянутой теоремой. Предло- жен соответствующий алгоритм идентификации с использованием этой процеду- ры декомпозиции. К рассмотренным выше задачам близка и так называемая задача уточнения модели [10]. Она состоит в уточнении параметров модели по результатам измере- ний мод системы и соответствующих им собственных значений. В разд. 5 рас- смотрена аналогичная задача уточнения параметров системы, но не по результа- там наблюдения мод, а по результатам регистрации переходных процессов. В разд. 6 рассмотрены задачи идентификации в случае нерегулярной последова- тельности измерений, в частности, при отсутствии результатов измерений в от- дельные моменты времени. 1. Нелинейный аналог метода Прони Таким образом, в случае плохой наблюдаемости в регистрируемом переходном процессе той или иной моды системы для получения удовлетворительных результа- тов идентификации необходимо либо повышать точность регистрации исходной информации, либо использовать более эффективные алгоритмы идентификации. Было показано, что одним из способов повышения точности оценок параметров 28 ISSN 0572-2691 может быть процедура выбора оптимального значения величины k (см. [1, разд. 6]). Однако для своей реализации эта процедура требует априорной информации о ве- личине того или иного корня характеристического полинома (см. [1, разд. 6]). В связи с тем, что такого рода информация отсутствует, представляется, что карди- нальное решение вопроса может быть получено, если вообще исключить из алго- ритма промежуточную дискретную модель. В этой связи рассмотрим алгоритм, который, как и метод Прони, позволяет произвести декомпозицию исходной зада- чи, но исключает промежуточную дискретную модель, т.е. снимает проблему вы- бора оптимального значения k. По этой причине изложим алгоритм идентифика- ции [11]. Суть подхода [11] состоит в формулировке задачи, исключающей про- межуточную дискретную систему, а именно, оценки коэффициентов ja в [1, (3)] получаются в результате минимизации некоторой целевой функции. В этом алго- ритме, как и в методе Прони, исходная задача разбивается на две подзадачи: определение параметров ja и последующее нахождение множителей jd при экспонентах в [1, (1)]. Итак, пусть имеются некоторые приближенные значения коэффициентов ,ja фигурирующих в [1, (3)]. Для этих значений ja и принятого значения k вычисля- ются коэффициенты jk характеристического полинома матрицы ,sAkT e т.е. по- линома [1, (19)]. Далее, подставив в [1, (20)] экспериментальные значения [1, (2)], получим величины kgS невязок, соответствующих индексам k, g (количество этих невязок, естественно, определяется числом экспериментальных данных в [1, (2)]): .E)1(E1E kgnkgnkkgknkg yyyS    (1) Пусть в соответствии с количеством наблюдений [1, (2)], выбранному значению k соответствует kq значений .kgS Целевую функцию J определим следующим образом: . 1 2            k g kg k S q J (2) Как следует из (1), функция J зависит от значений ja и наблюдаемых величин .Eiy Введение этой функции позволяет формулировать алгоритм реше- ния первой подзадачи (нахождение оценок )ja как процедуру минимизации (2) выбором значений .ja Пример 1. Продолжим рассмотрение примера 1 из [1]. Сравним точность описанных выше вариантов метода Прони на этом примере. Итак, исходные дан- ные определяются в [1, (13)]. Принимаем, что в [1, (14)] ,4 т.е. сохраняется четыре знака после запятой. Результаты вычислений оценок j при использова- нии различных алгоритмов сведены в табл. 1. В столбце I приведены точные значения ,j в столбце II — оценки, полу- ченные при использовании метода наименьших квадратов по формуле (27) из [1]. В столбце III приведены оценки, полученные при использовании тотального ме- тода наименьших квадратов (соотношение (29) из [1]), в столбце IV для получе- ния оценок использовался метод матричных пучков, а в V — процедура миними- зации целевой функции (2) (алгоритм минимизации аналогичен использованному в примере 1 из [1]). При этом в качестве начального приближения для коэффици- ентов ja использовались результаты, приведенные в столбце II. При получении оценок, содержащихся в столбцах II–IV, принималось, что .1k В последнем столбце VI приведены результаты [12], полученные при использовании процеду- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 29 ры [12, 13] оптимизации выбора величины k. Отметим, что в [12] использовались данные, содержащие пять значащих цифр после запятой, а не четыре, как при по- лучении остальных оценок. Таблица 1 j I II III IV V VI 1 1 1,8840 1,5378 0,9971 0,9769 1,2354 2 3 4,6442 4,0495 3,0194 2,9678 2,2866 3 5 18,7896 5,7448 5,0124 4,9899 5,0056 Результаты, приведенные в табл. 1, свидетельствуют о том, что максималь- ную точность оценок обеспечивают метод матричных пучков и предлагаемый ал- горитм, связанный с минимизацией целевой функции (2) (столбцы IV, V). Существенно, что последний алгоритм легко обобщается на случай, когда из- вестны значения некоторых из параметров ,j фигурирующих в [1, (1)] (см. ниже пример 2 (пример 2 в [14])). Подобного рода задачи рассматривались также в [12, § 1.4]. Итак, пусть в [1, (1)] известны m показателей ,j т.е. характеристический полином уравнения [1, (3)] может быть представлен в виде ),)(( 1 1 1 1 1 1 m mm mn mnmn n nn aa      (3) где m коэффициентов i определяются известными значениями ,j а mn ко- эффициентов in подлежат определению. Для отыскания коэффициентов in можно использовать алгоритм, описанный в этом разделе, который должен быть дополнен только процедурой вычисления, согласно (3), коэффициентов ja как функций .in Проиллюстрируем это на следующем примере. Пример 2 [14]. Определяются параметры газовых скважин по кривым вос- становления давления. Кривая восстановления давления в скважине описывается следующим образом [14]: ,3 3 2 21 tt ededdy   (4) где ,25,100 321  ddd .5,1 32  Задача состоит в определении 32321 , , , , ddd по экспериментальным данным, которые заданы в моменты ),1(1,0  iti .20,1i В этом случае сохра- нялся только один знак после запятой, т.е. в [1, (14)] .1 Структура выраже- ния (4) свидетельствует о том, что в данном примере известен один показатель ,01  т.е. согласно (3) 0,1  mm и, следовательно, .)( 21 2 32 2 1 3  aaa (5) Из (5) имеем, что 22113 ,,0  aaa . Таким образом, первая часть общей задачи, а именно задача отыскания оценок ,, 32  которые определяются оценками коэффициентов ,, 21  состоит в минимизации (2) путем выбора ., 21  Вторая часть исходной задачи, а именно задача нахождения оценок ,1d 32 , dd при по- лученных оценках 32 ,  не вызывает затруднений. Для минимизации (2), как и выше, использовалась процедура fminsearch.m пакета MATLAB. В качестве начального значения в этой процедуре принималось довольно грубое приближе- 30 ISSN 0572-2691 ние: .121  В результате вычислений получены оценки параметров модели (4): .1566,20,7167,29,8787,99,1334,2,0800,1 32132  ddd В [14] приведены следующие оценки :, 32  .18,2,93,0 32  Таким образом, в данном примере можно констатировать одинаковую точ- ность результатов как предлагаемого алгоритма, так и алгоритма [14]. Однако ал- горитм [14] требует решения минимизационной задачи большего числа перемен- ных, поэтому чувствительность этих алгоритмов к выбору начального приближе- ния может существенно отличаться (см. пример 1 [1]). 2. Комплексирование измерений [15] Вопрос комплексирования возникает в задаче идентификации, когда имеется несколько массивов измерений [1, (2)], соответствующих «моделям» [1, (1)], ко- торые имеют одинаковые показатели ,j но различные «амплитуды» .jd Прос- тейший такого рода случай состоит в одновременной регистрации во время пере- ходного процесса двух массивов [1, (2)], соответствующих, например, смещению и ускорению некоторой точки системы виброзащиты (см. ниже пример 3). В таких задачах идентификации обычно можно ограничиться определением показателей j в [1, (1)] или коэффициентов полинома ),(s стоящего в знаменателе переда- точной функции системы [1, (7)]. Отметим, что использование в подобных зада- чах метода матричных пучков проблематично, но не исключает возможности его использования как отдельной процедуры. Так, применив этот метод к какому- либо из упомянутых массивов [1, (2)], можно получить оценки искомых парамет- ров, которые могут использоваться как начальное приближение в нелинейном аналоге метода Прони. Метод Прони ([1, разд. 3]) и нелинейный аналог метода Прони (разд. 1) легко могут быть адаптированы к аналогичным задачам. Действительно, для каждого из упомянутых массивов [1, (2)] можно составить систему линейных уравнений ти- па [1, (18)] относительно компонент вектора . Далее, объединив эти системы, можно получить одну систему, определяющую искомые коэффициенты j по- линома [1, (15)]. Для решения полученной таким образом системы можно исполь- зовать метод наименьших квадратов или тотальный метод наименьших квадратов, описанные в [1, разд. 4]. В случае нелинейного аналога метода Прони для каждого из массивов необ- ходимо строить функции невязки типа (1) и далее минимизировать суммарную (с теми или иными весовыми множителями) функцию невязки. Таким образом, в случае задачи комплексирования, когда есть несколько массивов типа [1, (2)], можно использовать описанные выше процедуры метода Прони при соответствующей их модификации. Пример 3. Двухмассовая модель системы виброзащиты [16–19] изображена на рис. 1. Она состоит из двух масс ,, 21 mm которые с помощью пружин 21, cc и демпферов 21,  соединены между собой и с неподвижным основанием. Коор- динаты масс относительно неподвижного основания обозначим ., 21 xx До мо- мента времени 0t система находилась в равновесии и к массе 2m была прило- жена постоянная сила .F  В момент 0t сила F  снимается и на интервале вре- мени ],0[ fTt  регистрируется переходной процесс с периодом регистрации q fs TT 2/ (рис. 2). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 31 Предполагается, что измеряются смещение 2x массы 2m (пунктирная кривая на рис. 2) и ее ускорение 2 2 2 2 / dtxdw  (сплошная кривая); соответствующие им массивы отсчетов, аналогичных [1, (2)], имеют вид },)({ 2 xiix txA  },)({ 2 wiiw twA  .)1( si Tit  (6) F  x1 x2 c2 c1 m2 m1 1 2 Рис. 1 Погрешности регистрации: wixi  , моделируются указанным выше способом. Отметим, что процессы )(2 tx и )(2 tw будут иметь структуру, аналогичную [1, (1)] при .4n Они отличаются только параметрами .jd Задача состоит в получении оценок параметров модели j на основании измерений, содержащихся в массивах (6). Итак, принимаются следующие параметры модели, изображенной на рис. 1: 1,5,0,10,50,1,10 212121  Fccmm . Предполагается, что массивы (6) получены при следующих параметрах реги- страции: .2 ,7,10  qT f Результаты регистрации переходного процесса (массивы ,xA )wA приведе- ны на рис. 2. Процесс идентификации (определение параметров )j включал в себя сле- дующие этапы. Используя только массив ,xA с помощью метода матричного пучка получены оценки параметров .j Эти оценки принимались в качестве начального приближения при решении задачи комплексирования на базе нели- нейного аналога метода Прони, использующем оба массива: xA и .wA Результа- ты моделирования приведены в табл. 2. В столбце I приведены точные значения ;j в столбце II — оценки ,j полу- ченные с помощью метода матричного пучка; в столбце III — оценки ,j получен- ные с помощью нелинейного аналога метода Прони при использовании массивов xA и .wA Таблица 2 j I II III 1 2,3301  7,5623i 0,1609  8,0374i 2,3986  7,6130i 2 2,3301  7,5623i 0,1609  8,0374i 2,3986  7,6130i 3 0,1699  0,8773i 0,1725  0,8609i 0,2035  0,9103i 4 0,1699  0,8773i 0,1725  0,8609i 0,2035  0,9103i Сравнивая столбцы табл. 2, можно констатировать, что процедура идентифи- кации системы путем совместной обработки массивов результатов измерений смещения и ускорения (комплексирование результатов измерений) позволила су- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 22 ,10 wx t Рис. 2 32 ISSN 0572-2691 щественно повысить точность оценок параметров ,1 ,2 которые определяют «быстрые» движения в переходном процессе. 3. Декомпозиция задачи [20] Рассмотренный в [1, разд. 3] алгоритм декомпозиции задачи идентификации (метод Прони) базировался на теореме Гамильтона–Кэли. Ниже изложен алго- ритм декомпозиции задачи идентификации, который не связан с упомянутой тео- ремой. Этот алгоритм в определенном смысле близок к рассмотренному в разд. 1 нелинейному аналогу метода Прони. Итак, приняв во внимание [1, (5)], обозначив B оценку вектора ),0(x запишем минимизируемый функционал [1, (6)] следую- щим образом: ,2 TT YBFDBBJ  (7) где , 1 TT    N i ii CZCZD ,)( 1 E T    N i ii tyCZF    N i ityY 1 2 E ,)]([ .i At i eZ  Задача состоит в нахождении оценок параметров ja и вектора B путем ми- нимизации функционала (7) по этим параметрам. Существенно, что функционал (7) квадратичный относительно вектора B. Это дает возможность получить в ана- литическом виде условия минимума (7) по вектору B: 022    FDB B J или, предполагая обратимость матрицы D, имеем .1FDB  (8) После подстановки (8) в (7) получим следующее выражение: .1T 1 FDFYJ  (9) Отметим, что 1J зависит только от принятых значений оценок параметров ja и ре- зультатов наблюдений ).(E ity Другими словами, (9) можно рассматривать как целе- вую функцию, аналогичную (2). Однако вычисление целевой функции (9) менее трудоемко, чем вычисление (2). Отметим, что для получения оценок параметров ja путем минимизации как (2), так и (9) можно использовать различные численные алгоритмы миними- зации. В свою очередь, эти алгоритмы требуют задания начального приближения оценок параметров .ja Для этой цели можно применить метод матричных пуч- ков, отмеченный в [1, разд. 5]. В результате могут быть получены оценки пара- метров ,ja которые используются затем как начальное приближение в алгоритме минимизации целевой функции (2) или (9) (см. примеры 1 и 3 из [1]). Отметим, что и в описанном алгоритме можно использовать соотношения, аналогичные (3). 4. Комбинированный метод Как уже отмечалось, алгоритмы, рассмотренные в разд. 1, 3, позволяют произ- вести декомпозицию исходной задачи, так как ни целевая функция (2), ни целевая функция (9) не зависят от коэффициентов ,jd фигурирующих в [1, (1)]. В этой связи целесообразно рассмотреть алгоритм, который, как и алгоритмы разд. 1, 3, обеспечивает декомпозицию исходной задачи, но в котором минимизируется ли- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 33 нейная комбинация целевых функций (2) и (9). Другими словами, в таком комби- нированном алгоритме в качестве целевой принимается следующая функция: .11JJJk  (10) Здесь функции J и 1J определяются (2), (9) соответственно, а 1 ,  — неотрица- тельные весовые коэффициенты. Отметим, что в случае плохой обусловленности симметричной матрицы D соотношение (9) целесообразно модифицировать следующим образом. Используя разложение Холецкого (процедура chol.m пакета MATLAB), матрицу D предста- вим в виде произведения двух матриц: .TLLD  В этом случае соотношение (9) можно представить как ,T 1 ffYJ  .1FLf  (11) Таким образом, в случае плохой обусловленности матрицы D для вычисле- ния 1J можно использовать соотношение (11). Проиллюстрируем описанные выше алгоритмы на следующих примерах. Пример 4 [11, 21]. Продолжим рассмотрение примеров 1 и 3 из [1]. При 3 (удерживая только три цифры после запятой) определение оценок парамет- ров 321 , ,  осуществлялось различными методами. Результаты приведены в табл. 3. В столбце I находятся точные значения этих параметров, в столбце II — оценки этих параметров, полученные с помощью метода матричных пучков, в столбце III — с помощью алгоритма разд. 1 и в столбце IV — оценки, получен- ные минимизацией целевой функции (10), где .10,1 3 1  Таблица 3 j I II III IV 1 1,0000 1,6229 1,6416 1,0287 2 3,0000 4,2274 4,4003 3,1412 3 5,0000 6,2894 11,2132 5,1082 Как видно из табл. 3, в этом примере точность оценок, полученных описан- ным алгоритмом, выше, чем при использовании метода матричных пучков (столбцы II, IV). Сравним результаты табл. 1 и табл. 3. Отметим, что результаты, приведенные в табл. 1 в столбцах II–V, получены, когда точность исходных дан- ных определялась значением 4 (четыре правильных знака после запятой). Резуль- татам, приведенным в столбце VI этой таблицы, соответствует .5 Сравнивая столбцы V, VI табл. 1 и столбец IV табл. 3, можно констатировать, что описанный в этом разделе алгоритм обеспечивает при 3 такую же точность результата, как и алгоритм разд. 1 при ,4 и более высокую точность, чем алгоритм [12] при .5 Другими словами, описанный выше алгоритм в данном примере позволил снизить на один-два порядка требования к точности регистрации исходной ин- формации. С другой стороны, результаты табл. 3 можно рассматривать и как под- тверждение гипотезы [21] о том, что удовлетворительную точность решения этого примера можно получить при .3 Исходя из анализа результатов решения это- го примера при ,2 в [21, с. 288] говорится: «Этот пример показывает, что мы не можем ожидать удовлетворительных результатов при решении задачи выделе- ния показательных функций даже в случае, когда заранее знаем приблизительные значения постоянных распада, и нам надо лишь уточнить эти значения. С другой стороны, картина была бы совершенно иная, если бы наши данные были в десять раз более точными». 34 ISSN 0572-2691 Пример 5 [11]. Рассмотрим процедуру идентификации параметров системы виброзащиты (пример 3) при комплексировании результатов измерений по двум ка- налам: смещения массы 2m (координата )2x и ускорения 2w этой массы. Отметим, что процессы )(2 tx и )(2 tw будут иметь структуру, аналогичную [1, (1)]. Они будут отличаться только параметрами .jd Задача состоит в получении оценок параметров j модели на основании измерений, содержащихся в массивах (6). Отметим, что кроме четырех параметров j в [1, (1)], которые определяются параметрами системы, изображенной на рис. 1, в массиве xA будет присутство- вать постоянная составляющая. Поэтому при реализации алгоритмов, содержа- щихся в разд. 1, 4 и 5, необходимо принимать во внимание соотношение (3), так как характеристическое уравнение системы имеет нулевой корень. Итак, принимаются следующие параметры модели, изображенной на рис. 1: .1,5,0,10,50,1,10 212121  Fddccmm Предполагается, что мас- сивы (6) получены при следующих параметрах регистрации: 2 ,7,10  qT f . Процесс идентификации (в данном примере — определение параметров )j включал в себя следующие этапы. С использованием только массива xA с помо- щью метода матричного пучка были получены оценки параметров .j Эти оцен- ки принимались в качестве начального приближения при решении задачи ком- плексирования на базе нелинейного аналога метода Прони (разд. 1), использую- щего оба массива: xA и .wA Результаты моделирования приведены в табл. 4. В столбце I приведены точные значения ;j в столбце II — оценки ,j полу- ченные с помощью метода матричного пучка; в столбце III — оценки ,j получен- ные нелинейным аналогом метода Прони при использовании массивов xA и .wA В столбце IV приведены оценки, полученные с помощью комбинированного ал- горитма, описанного в разд. 4. При этом в (10) были приняты следующие значе- ния коэффициентов : , 1 10 ,1 1  . Отметим, что данные, приведенные в столбцах I–III, совпадают с соответствующими данными табл. 2. Как видно в этом примере, использование алгоритма разд. 4 позволило существенно повысить точ- ность получаемых оценок. Таблица 4 j I II III IV 1 2,3301  7,5623i 0,1609  8,0374i 2,3986  7,6130i 2,3316  7,5532i 2 2,3301  7,5623i 0,1609  8,0374i 2,3986  7,6130i 2,3316  7,5532i 3 0,1699  0,8773i 0,1725  0,8609i 0,2035  0,9103i 0,1745  0,8765i 4 0,1699  0,8773i 0,1725  0,8609i 0,2035  0,9103i 0,1745  0,8765i 5. Уточнение параметров модели К рассмотренным выше задачам близка и так называемая задача уточнения параметров модели (см. [10] и ссылки). Согласно [10], эта задача состоит в уточ- нении параметров модели по результатам измерений мод системы и соответству- ющих им собственных значений. Грубо говоря, в [10] рассматривалась система, движение которой (изменение n-мерного вектора обобщенных координат q ) опи- сывается линейным уравнением ,0 KqqBqMa  (12) матричные коэффициенты которого не зависят от времени. Предполагается, что симметричная положительно-определенная матрица aM задана, а значения эле- ментов матриц B, K подлежат уточнению по результатам наблюдения p мод, т.е. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 35 по матрицам ,],,[ 1 pxxX  },,,{diag 1 p  где ix — экспериментально полученные собственные векторы, а i — соответствующие собственные значе- ния, .,,,1 nppi   Представляется естественным рассмотреть аналогичную задачу уточнения параметров системы (тех или иных элементов матриц B, K) не по результатам наблюдения мод, а по результатам регистрации переходных процессов, обуслов- ленных ненулевыми начальными условиями (которые предполагаются неизвест- ными). Покажем, как использовать приведенные выше результаты для решения этой задачи. Отметим, что процедура такого уточнения обычно связана с минимизацией того или иного (обычно квадратичного) функционала на множестве подлежащих уточнению параметров. Упомянутый функционал определяет невязку между экспе- риментальными данными и вычисляемым переходным процессом, соответствую- щим выбранным значениям параметров. Здесь необходимо отметить, что начальные условия, определяющие переходный процесс, предполагаются неизвестными. По- этому минимизацию функционала, вообще говоря, необходимо производить как на множестве подлежащих уточнению параметров системы, так и на множестве неиз- вестных начальных условий. В этой связи ниже, как и в [22], используется описан- ная в [1, разд. 3] декомпозиция исходной задачи, позволяющая фактически ис- ключить процедуру определения неизвестных начальных условий. Пусть движение системы описывается уравнением, аналогичным (12): ,0 qKqBqM aaa  (13) в котором матрицы aa KB , соответствуют точным значениям параметров систе- мы. Как и в (12), предполагаем, что матрица aM задана. Уравнение (13) перепи- шем в виде системы n2 линейных стационарных уравнений: ,zAz a ,][ TTT qqz  (14) . 0 11          aaaa a BMKM I A При ненулевых начальных условиях ))0((z регистрируются в моменты времени it ) , ,1( Ni  векторы .)()(E iii thztY  (15) Отметим, что в (15), в отличие от [1, (4)], h — не вектор, а матрица полного ранга, размера ,2np  i — вектор погрешностей регистрации. Таким образом, резуль- татом эксперимента является матрица .])(,),(),([ E2E1EE NtYtYtYY  (16) Рассмотрим систему, подлежащую уточнению по результатам эксперимента, со- держащимся в (16). Пусть в (12) кроме матрицы aM заданы матрицы B, K, отдель- ные элементы которых отличны от истинных значений, фигурирующих в матрицах . , aa KB Эти элементы подлежат уточнению. Сформируем матрицу A, аналогич- ную матрице aA в (14), но в этой матрице будут фигурировать матрицы :, KB . 0 11          BMKM I A aa (17) При выбранных тех или иных значениях уточняемых параметров в матрицах B, K можно построить переходной процесс, аналогичный (15), но с матрицей системы, определяемой (17): ).0()( zhetY iAt i  (18) 36 ISSN 0572-2691 Невязку между наблюдаемым процессом (15) и последовательностью (18) определим в виде следующего квадратичного функционала, аналогичного [1, (6)]: .)]()([)]()([ 1 E T E   N i iiii tYtYtYtYJ (19) Задача состоит в уточнении параметров модели, определяемой матрицей A, путем минимизации функционала (19). Однако, как следует из (18), функционал (19) за- висит не только от подлежащих уточнению параметров системы, но и от неиз- вестных начальных условий (вектора )).0(z Поэтому функционал (19) необходимо минимизировать как на множестве подлежащих уточнению параметров, фигуриру- ющих в матрице A, так и на множестве начальных условий. Однако начальные условия не представляют интереса в рассматриваемой задаче. Это обстоятельство подтверждает целесообразность использования процедуры декомпозиции исход- ной задачи, описанной в разд. 3. Эта процедура при решении данной задачи поз- волит фактически исключить определение начальных условий. Приняв во внимание (18), запишем минимизируемый функционал (19) сле- дующим образом: ,)0(2)0()0( E T YFzDzzJ  (20) где , 1 TT    N i ii hZhZD ,)]([ 1 T E   N i ii hZtYF ,)()]([ 1 E T EE    N i ii tYtYY .i At i eZ  Исходная задача состоит в уточнении параметров матриц B, K (определяю- щих согласно (17) матрицу A) и вектора )0(z путем минимизации (20) по этим переменным. Существенно, что функционал (20) квадратичен относительно вектора ).0(z Это дает возможность получить в аналитическом виде условия минимума (20) по вектору :)0(z ,02)0(2 )0( T    FDz z J или, если матрица D обратима, то .)0( T1FDz  (21) После подстановки (21) в (20) получим следующее выражение: .T1 E1 FFDYJ  (22) Отметим, что 1J не зависит от ).0(z Другими словами, уточнить параметры, фи- гурирующие в матрице A, можно путем минимизации целевой функции (22). В случае плохой обусловленности матрицы D вычисление ,1J в соответ- ствии с (22), может сопровождаться значительными погрешностями. В этой связи преобразуем второй член в правой части (22). Отметим, что матрицу D можно представить в виде произведения двух прямоугольных матриц, а именно: ,TD .][ TTTT 2 TT 1 hZhZhZ N Используя QR-разложение (процедура qr.m пакета MATLAB), матрицу T пред- ставим в следующем виде: , 0 T     R U (23) где U — ортогональная матрица, а R — квадратная матрица. Приняв во внима- ние (23), матрицу D запишем так: .TRRD  (24) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 37 В соответствии с (24) выражение для 1J запишем .))(( T11 E1  FRFRYJ (25) В связи с тем, что обусловленность матрицы R существенно лучше, чем обу- словленность матрицы D, в случае плохой обусловленности матрицы D целесооб- разно использовать соотношение (25). Пример 6. Рассмотрим снова пример 3, принимая следующие значения па- раметров этой системы (их физический смысл ясен из рис. 1): ,0F ,101 m ,12 m ,10,50 21  cc .5,1 21  aa Этим значениям параметров соответ- ствуют следующие матрицы :,, aaa KBM         10 010 0 0 2 1 m m Ma ,                  61 11 211 11 aaa aa aB , . 6050 5050 211 11                  ccc cc Ka В качестве матриц B, K принимаются следующие: , 211 11         B ,aKK  где .5,2,2 21  Таким образом, уточнению подлежат элементы ,, 21  определяющие мат- рицу B, точное значение которых совпадает с a1 и a2 соответственно. В качестве меры близости параметров, определяющих матрицы B и ,aB при- нимается следующее соотношение: ;/ aan  ],[ 21  ],[ 21 aaa  (26) где  — спектральная норма. Регистрируемый переходный процесс (15) определяется матрицей ]0010[h )1( p и начальными условиями .]0011[)0( Tz Моменты регистрации (после- довательность )it определяются следующим образом: ,)1( si Tit  ,1,0sT 51,,1 i . Погрешность регистрации i в (15) моделировалась путем сохране- ния только фиксированного числа  значащих цифр после запятой. В рассматри- ваемых примерах .3 Отметим, что в начальный момент согласно (26) величина .841,0n При- няв в качестве начального приближения значения параметров ,21  5,22  и использовав процедуру fminsearch.m пакета MATLAB для минимизации функ- ционала (20), получили значения параметров ,, 21  которым соответствует .106,1 3  n Пример 7 [10]. Матрицы, фигурирующие в (13), имеют вид: , 10413180000 1324091300 180104131800 0913240913 0131801041318 0009131222 00013182252 03,0                          aM 38 ISSN 0572-2691 , 59,6436000000 25,8048117,136800000 12,4608059,64360000 0,2106 28,022425,8048117,1368000 0,279025,8048 12,46080 59,6436 00 00,15840,210627,702025,3728 59,1804 0 00,21060,279026,665213,630831,96628258,25                           aB . 4320000 31203300 2043200 03312033 0320432 0003363 0003232 600                        aK В (12) матрица ,aKK  а матрица B отличается от матрицы aB только главной диа- гональю, на которой находятся подлежащие уточнению параметры : ,, , 721   , 000000 25,804800000 12,460800000 0,2106 28,022425,8048000 0,279025,8048 12,46080 00 00,15840,210627,702025,3728 0 00,21060,279026,665213,630831,9662 7 2 1                                 B .]6012055100605020[][ 7654321  (27) Регистрируемый переходный процесс (15) определяется матрицей ]0[Ih  (раз- мер I, 0 равен ,77 т.е. в данном примере ).7p В качестве вектора начальных условий принят следующий вектор: T]00000001111111[)0( z . Моменты наблюдения переходного процесса определяются аналогично тому, как это было сделано в примере 6, а именно: ,)1( si Tit  ,10 2sT .51 , 2, ,1 i Как и в предыдущем примере, при моделировании погрешности i в (15) приня- то, что .3 Отличие, определяемого (27) вектора  от главной диагонали мат- рицы )( nBa определяется соотношением, аналогичным (26). При исходных дан- ных эта величина равна: .1,0n Аналогично тому, как это было сделано в при- мере 6, приняв в качестве начального приближения значение главной диагонали  матрицы B, определяемое (27), и использовав для минимизации функционала (20) процедуру fminsearch.m пакета MATLAB, получили уточненное значение элемен- тов главной диагонали матрицы B, которому соответствует .108 4  n Отметим, что описанная выше процедура декомпозиции может использо- ваться для уточнения параметров модели при обработке регистраций переходных процессов, соответствующих различным начальным условиям. В этой связи крат- ко рассмотрим случай, когда имеется несколько регистраций переходных процес- сов (16), каждый из которых определяется своими начальными условиями. Каж- дой такой (k-й) регистрации будет соответствовать функционал (с индексом k), аналогичный (22) (или (25)): ,T1 E kkkkk FDFYJ  (28) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 39 а фигурирующие в нем матрицы определяются соотношениями, аналогичны- ми (20). Таким образом, для повышения эффективности процедуры уточнения па- раметров модели можно рассмотреть задачу минимизации той или иной линейной комбинации функционалов (28). Проиллюстрируем эту процедуру уточнения параметров модели при совмест- ной обработке регистраций переходных процессов. Пример 8. Продолжим рассмотрение двухмассовой модели, изображенной на рис. 1, предполагая, в отличие от примера 6, что уточнению подлежат не толь- ко элементы матрицы B, но и жесткости, определяющие матрицу K, т. е. исходные данные совпадают с принятыми в примере 6, за исключением значений жесткос- тей в матрице K : acc 11 2,0 , .5,1 22 acc  Другими словами, уточнению подлежат не только параметры, определяющие демпфирование (как в примере 6), но и жесткости модели. Как и в примере 6, принимаем, что ,)1( si Tit  ,1,0sT ;51 , 2, ,1 i .3 Предположим, что имеется четыре регистрации переходных процессов (16), соответствующие различным регистрируемым координатам и различным началь- ным условиям (табл. 5). В первом столбце таблицы стоит номер регистрации переходного процесса, во втором — регистрируемая координата, в третьем — вектор начальных усло- вий. С помощью алгоритма примера 6 уточнялись параметры модели, когда начальное приближение определялось вектором ,][ T 21210 ccbbv  точные значения этих параметров определяют век- тор .][ T 2121 aaaaa ccbbv  Другими сло- вами, уточнение параметров модели при использовании k-й регистрации )4 , ,1( k проводилось путем минимизации функцио- нала kJ (28). Как и в примере 6, точность полученной оценки вектора v характеризу- ется соотношением, аналогичным (26): ./ aa vvvn  Значения ,n полученные при обработке каждой из указан- ных выше регистраций переходных процессов, приведены в четвертом столбце таблицы. В этом же примере в результате совместной обработки всех четырех реги- страций, т.е. когда уточнение параметров модели производилось путем миними- зации функционала , 4 1    k kJJ была получена оценка вектора параметров v, кото- рой соответствует .1028,1 4  n Сравнивая эту величину n с величинами ,n приведенными в табл. 5, можно констатировать, что совместная обработка не- скольких переходных процессов позволяет существенно повысить точность оцен- ки параметров модели. 6. Нерегулярная последовательность моментов измерений [22] Обобщим нелинейный аналог метода Прони на случай нерегулярных измере- ний. Снимем предположение, что измерения проводятся через равные промежут- ки времени [23, 24]. Будем только предполагать, что в [1, (2)] .0 21 Nttt   (29) Вообще говоря, в этом случае, задавшись какой либо регулярной последова- тельностью моментов времени ,21 N  с помощью той или иной проце- дуры интерполяции результатов измерений )(E ity можно получить оценки вели- Таблица 5 N q z (0) n 1 1q T]0001[ 0,2177 2 1q T]0010[ 0,0351 3 2q T]0001[ 0,0185 4 2q T]0010[ 0,0703 40 ISSN 0572-2691 чин ).(E iy  Далее, применительно к этой регулярной последовательности можно использовать описанные выше алгоритмы оценки параметров модели. Однако, при- няв во внимание отмеченную выше высокую чувствительность оценок параметров модели к точности исходной информации, такой подход, как отмечено в [3], позво- ляет получить только довольно грубые оценки параметров модели. В этой связи рассмотрим обобщение нелинейного аналога метода Прони на случай нерегулярной последовательности моментов измерений. Итак, предположим, что в [1, (2)] моменты it наблюдений нерегулярны и об- разуют последовательность (29). Очевидно, что и в случае такой нерегулярной последовательности измерений минимизируемый функционал [1, (6)] можно за- писать в виде, аналогичном (7): ,2 TT YBFDBBJ  (30) где , 1 TT    N i ii CZCZD ,)( 1 E T    N i ii tyCZF    N i ityY 1 2 E ,)]([ .i At i eZ  Задача состоит в нахождении оценок параметров ja и вектора B путем ми- нимизации функционала (30) по этим параметрам. Как уже отмечалось, функцио- нал вида (30) квадратичен относительно вектора B. Это дает возможность, как и в разд. 3, получить в аналитическом виде условия минимума (30) по вектору B: ,022    FDB B J или, предполагая обратимость матрицы D, имеем .1FDB  (31) После подстановки (31) в (30) получим следующее выражение: .1T 1 FDFYJ  (32) Отметим, что 1J зависит только от принятых значений оценок параметров ja и результатов наблюдений ).(E ity Другими словами, (32) можно рассматривать как целевую функцию, аналогичную (2). Для получения оценок параметров ja путем минимизации (32) можно ис- пользовать различные численные алгоритмы минимизации. В свою очередь, эти алгоритмы требуют задания начального приближения оценок параметров .ja Так, для этой цели можно во временнóм интервале наблюдений вместо реальной после- довательности (29) задать регулярную последовательность, аналогичную [1, (2)], но с .)1( si Ti По известным значениям ),(E ity соответствующим последова- тельности (29), с помощью того или иного алгоритма интерполяции можно полу- чить приближенные значения наблюдаемой величины в точках .i Далее, к полу- ченной таким образом регулярной последовательности применим, например, ме- тод матричных пучков, отмеченный в [1, разд. 5]. В результате этой процедуры могут быть получены оценки параметров ,ja которые используются как начальное приближение в алгоритме минимизации це- левой функции (32). Пример 9. Тестовый пример Рао–Гарнье [6]. Передаточная функция иден- тифицируемой системы имеет вид , 16004164085 16006400 )( 234    ssss s sG где ,51 a ,4082 a ,4163 a ,16004 a ,021 bb ,64003 b .16004 b Ре- акция этой системы на единичный скачок приведена на рис. 3 (см. [6]). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 41 Для формирования массива [1, (2)] реакция регистрируется через равные промежутки времени .2/ q fs TT  Принято, что ,10fT ,7q .2 Для модели- рования нерегулярных измерений предполагается, что в массиве [1, (2)] отсутствуют точки, соответствующие индексам ,33 ,32 ,23 ,22 ,11,10,9,8i и все точки с ин- дексом .44i Тогда, ввиду отсутствия упомянутых точек, исходный массив рас- падается на четыре массива регулярных измерений, схематически изображенных на рис. 4. Задача идентификации в данном случае сводится к нахождению оценок па- раметров 434321 , , , , , bbaaaa по результатам этих измерений. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 t yE Рис. 4 Обозначив векторы точных значений и получаемых оценок коэффициентов знаменателя и числителя ,*a *b и ,â b̂ соответственно, имеем: ,]16004164085[* a .]16006400[* b (33) Качество аппроксимации вектора a оценкой ,â а полного вектора искомых па- раметров  — его оценкой ̂ будем характеризовать критерием, аналогичным (26): , ˆ * * a aa Na   , ˆ * *   N (34) где ,][ *** ab ,]ˆˆ[ˆ ab а векторы ,*a *b определяются (33). Для сравнения точности различных подходов также используем следующий критерий, представляющий собой сумму нормализованных погрешностей оцени- вания (NEE) параметров, предлагаемый в работе [6]: , )( )(ˆ)( )( 1 2 * *          pn i ip ipip pNEE (35) где * p — точное значение вектора p искомых параметров (либо отдельного па- раметра), p̂ — его оценка, а pn — число этих параметров. Так, в данном случае характеристика (35) для вектора a коэффициентов знаменателя )(sG и полного вектора  искомых параметров принимает соответственно вид , )( )(ˆ)( )( 4 1 2             i ia iaia aNEE . )( )(ˆ)( )( 6 1 2 * *             i i ii NEE Отметим, что в этом примере имеет место воздействие на систему единичного скачка. Поэтому в [1, (9)] необходимо заменить )(sG на ssGsG /)()(1  и далее ис- кать неизвестную оценку ]ˆˆ[ˆ ab параметров функции )(sG по результатам наблюдения реакции системы с передаточной функцией )(1 sG на -функцию (по- дробнее см. [1, разд. 1], а также [11, п. 6]). Согласно разд. 5 на первом этапе решения задачи идентификации определя- ется оценка коэффициентов .â Эта задача, в свою очередь, распадается на задачу 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 t yE Рис. 3 42 ISSN 0572-2691 выбора начального приближения и процедуру численной минимизации целевой функции (32). Как отмечено выше, для выбора начального приближения можно использовать метод матричных пучков [25, 26], предварительно восстановив (пу- тем интерполяции) значения реакции системы в точках, соответствующих индек- сам ,33 ,32 ,23 ,22 ,11 ,10 ,9 ,8i в которых отсутствуют результаты измерений. С этой целью в данном примере использовалась процедура сплайн-аппроксима- ции (процедура spline.m пакета MATLAB) и получено таким образом начальное приближение (оценка) вектора .â Точность этого приближения характеризуют следующие значения aN и :)(aNEE ,1785,0aN .7676,0)( aNEE (36) Для уточнения полученного начального приближения, использовалась процеду- ра минимизации функции (32) (процедура fminsearch.m пакета MATLAB). В резуль- тате получена оценка ,â точность которой характеризуют следующие величины: ,104,1 4aN .109,4)( 3aNEE (37) Согласно (31) были получены соответствующие значения вектора B. Далее, ис- пользуя [1, (12)], находим оценки коэффициентов 43 , bb , т.е. все элементы векто- ра ̂ полностью определены. Полученной таким образом оценке ̂ соответствует следующее значение :)(NEE .109,4)( 3NEE (38) Сравнивая (36) и (37), можно говорить, что алгоритм, связанный с минимиза- цией (32), позволяет существенно повысить точность оценок, получаемых с ис- пользованием процедуры интерполяции. Отметим, что при регистрации системы удерживались только две цифры после запятой. Поэтому точность рассматриваемого алгоритма, характеризуемую (38), мож- но считать довольно высокой. Заметим, что в [3, 15] предложен другой подход к идентификации систем при нерегулярных измерениях, связанный с обобщением теоремы Гамильтона–Кэли, однако его применение в данном примере привело к существенно менее точным результатам ( ,109,2 3aN ).1045,2)( 2NEE Заключение Рассмотрены алгоритмы идентификации, не использующие промежуточную модель с дискретным временем. Исходная задача идентификации рассматривается как в случае регулярной регистрации, осуществляемой через равные промежутки времени, так и в случае нерегулярной регистрации. Предлагаемый подход оказы- вается эффективным и в случае нерегулярной последовательности интервалов ре- гистрации результатов наблюдений. На примерах проиллюстрирована эффектив- ность такого подхода и разработанных на его основе алгоритмов, в частности, по- казано, что в некоторых случаях их использование позволяет снизить на один-два порядка требование к точности регистрации исходной информации. В.Б. Ларін, О.С. Апостолюк ЗАДАЧІ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ЛІНІЙНИХ СТАЦІОНАРНИХ СИСТЕМ. Частина 2. УЗАГАЛЬНЕННЯ МЕТОДУ ПРОНІ Описано алгоритми ідентифікації, в яких не використовується проміжна модель з дискретним часом. Задачу розглянуто як у разі регулярної (через рівні промі- жки часу), так і у разі нерегулярної реєстрації. Такий підхід ефективний і при нерегулярній послідовності інтервалів реєстрації результатів спостережень. На Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 43 прикладах показано ефективність запропонованих алгоритмів, зокрема, що в деяких випадках їх застосування дозволяє знизити на один-два порядки вимогу до точності реєстрації вихідної інформації. V.B. Larin, A.S. Apostolyuk IDENTIFICATION PROBLEMS OF LINEAR STATIONARY SYSTEMS. Part II. GENERALIZATIONS OF PRONY’S METHOD The identification algorithms, where the intermediate model with discrete time isn’t used, are described. The problem is considered both in case of regular (through the equidistant time intervals) registration and in the case of irregular one. Such approach is found to be effective also in the case of irregular sequence of registration intervals of measurement results. The efficiency of proposed algorithms is demonstrated by the examples; particularly, it is shown that in some cases using of these algorithms enables to decrease by one or two orders of magnitude the requirement to the initial information registration accuracy. 1. Ларин В.Б., Апостолюк А.С. Задачи идентификации линейных стационарных систем . Часть 1. Метод Прони // Международный научно-технический журнал «Проблемы управ- ления и информатики». — 2011. — № 4. — С. 21–37. 2. Идентификация и оценка параметров систем : Препр. IV-го симпозиума ИФАК : В 3 ч. — Тбилиси : Мецниереба, 1976. 3. Apostoluyk A.S., Larin V.B. On linear stationary system identification at regular and irregular measurements // Appl. and Comp. Math. — 2009. — 8, N 1. — P. 42–53. 4. Aström K.J., Eykhoff E. System identification — a survey // Automatika. — 1971. — 7. — P. 123–162. 5. Danilin A.N., Shalashilin V.I. A method to identify hysteresis by an example of an antigalloping device // Int. Appl. Mech. — 2010. — 46, N 5. — P. 588–595. 6. Identification of continuous-time models from sampled data / Eds. H. Garnier, L. Wang. — Lon- don : Springer-Verlag, 2008. — 281 p. 7. Ljung L. System identification: Theory for the user. — Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, 1983. — 609 p. 8. Sergienko I.V., Deineka V.S. Identification of the parameters of the stress-strain problem for a multicomponent elastic body with an inclusion // Int. Appl. Mech. — 2010. — 46, N 4. — P. 377–387. 9. Tormakhov N.N. Experimental verification of constitutive equations of thermoelastoplasticity with taking into account the third invariant of stress deviator // Ibid. — 2010. — 46, N 11. — P. 49–56. 10. Yuan Y. An iterative updating method for damped gyroscopic systems // Int. J. of Computation and Mathematics Sciences. — 2010. — 4, N 2. — P. 63–71. 11. Apostolyuk A.S., Larin V.B. On identification of linear stationary systems // J. of Automat. and In- form. Sci. — 2008. — 40, N 7. — P. 37–47. 12. Оптимизация метода Прони при идентификации линейных динамических систем / А.С. Апостолюк, Б.Ф. Бобров, Б.А. Бордюг, А.В. Градецкий, В.Б. Ларин, Ю.Г. Сафронов, В.С. Соловьев. — Киев, 1987. — 64 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 87.66). 13. Deychenkova L.V., Larin V.B. The method of least squares used in the identification of vib- romeasuring systems // Soviet Autom. Contr. — 1977. — N 3. — P. 11–17. 14. Бахтизин Р.Н., Латыпов А.Р. Оценка порядка линейных объектов по экспериментальной информации // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 3. — С. 108–112. 15. Apostolyuk A.S., Larin V.B. On data processing in identification of mechanical systems // Int. Appl. Mech. — 2010. — 46, N 10. — P. 90–104. 16. Ларин В.Б. Выбор параметров системы виброизоляции приборов // Прикл. механика. — 1966. — 11, № 6. — С. 99–104. 17. Ларин В.Б. Некоторые вопросы конструирования систем виброизоляции приборов // Инж. журнал. Механика твердого тела. — 1966. — 6. — С. 20–26. 18. Ларин В.Б. Некоторые задачи оптимизации систем виброзащиты // Прикл. механика. — 2001. — 37, № 4. — С. 39–67. 19. Ларин В.Б. Статистические задачи виброзащиты. — Киев : Наук. думка, 1974. — 127 с. 20. Апостолюк А.С., Ларин В.Б. К вопросу об идентификации стационарных линейных систем // Прикл. механика. — 2011. — 45, № 6. — С. 201–208. 44 ISSN 0572-2691 21. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справ. руководство. — М. : Фи- зматгиз, 1961. — 524 с. 22. Апостолюк А.С., Ларин В.Б. Об идентификации стационарных линейных систем при нере- гулярных измерениях // Международный научно-технический журнал «Проблемы управ- ления и информатики». — 2010. — № 5. — С. 27–36. 23. Isaksson A.J. Identification of ARX-models subject to missing data // IEEE Trans. Automat. Control. — 1993. — 38, N 5. — P. 813–819. 24. Larsson E.K., Mossberg M., Söderström T. Identification of continuous-time ARX model from irregularly sampled datа // Ibid. — 2007. — 52, N 3. — P. 417–427. 25. Hua Y., Sarkar Т.K. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped/undamped sinusoids in noise // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc., 1990. — 38, N 5. — P. 814–824. 26. Larin V.B. The Use of matrix pencils in an identification problem // J. of Automat. and Inform. Sci. — 1996. — 28, N 3&4. — P. 53–62. Получено 23.03.2011

Similar Items