Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием

Обґрунтовується компактність максимальних множин слабкої практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом, вивчаються властивості межі та внутрішніх точок таких множин. Для лінійного включення з імпульсним впливом отримано функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опор...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2011
Main Authors:	Линдер, Я.Н., Пичкур, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207377
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием / Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 6. — С. 52–60. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207377
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2073772025-10-07T00:00:35Z Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием Умови слабкої практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом Conditions of Weak Practical Stability of Differential Inclusions with Impulse Impact Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Обґрунтовується компактність максимальних множин слабкої практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом, вивчаються властивості межі та внутрішніх точок таких множин. Для лінійного включення з імпульсним впливом отримано функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опорну функцію максимальної множини, а також критерій належності точки до її межі. Результати алгоритмічно спрямовані. The properties of maximum sets of weak practical stability for systems with impulse impact are considered, compactness of initial data set is proven. Minkowski function, inverse Minkowski function, and support function for linear system with impulse impact are obtained. Results are algorithmic oriented. 2011 Article Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием / Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 6. — С. 52–60. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207377 517.929.4 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i11.60 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В. Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием Проблемы управления и информатики
description	Обґрунтовується компактність максимальних множин слабкої практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом, вивчаються властивості межі та внутрішніх точок таких множин. Для лінійного включення з імпульсним впливом отримано функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опорну функцію максимальної множини, а також критерій належності точки до її межі. Результати алгоритмічно спрямовані.
format	Article
author	Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В.
author_facet	Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В.
author_sort	Линдер, Я.Н.
title	Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием
title_short	Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием
title_full	Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием
title_fullStr	Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием
title_full_unstemmed	Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием
title_sort	условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207377
citation_txt	Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием / Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 6. — С. 52–60. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT linderân usloviâslabojpraktičeskojustojčivostidifferencialʹnyhvklûčenijsimpulʹsnymvozdejstviem AT pičkurvv usloviâslabojpraktičeskojustojčivostidifferencialʹnyhvklûčenijsimpulʹsnymvozdejstviem AT linderân umovislabkoípraktičnoístíjkostídiferencíalʹnihvklûčenʹzímpulʹsnimvplivom AT pičkurvv umovislabkoípraktičnoístíjkostídiferencíalʹnihvklûčenʹzímpulʹsnimvplivom AT linderân conditionsofweakpracticalstabilityofdifferentialinclusionswithimpulseimpact AT pičkurvv conditionsofweakpracticalstabilityofdifferentialinclusionswithimpulseimpact
first_indexed	2025-11-24T05:16:12Z
last_indexed	2025-11-24T05:16:12Z
_version_	1849647560190328832
fulltext	© Я.Н. ЛИНДЕР, В.В. ПИЧКУР, 2011 52 ISSN 0572-2691 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.929.4 Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур УСЛОВИЯ СЛАБОЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ Введение Для исследования прикладных задач, в которых на систему влияют кратко- временные, но существенные по интенсивности внешние силы, целесообразно ис- пользовать дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Такие си- стемы на данный момент достаточно изучены. В работах [1–4] исследуются во- просы существования, единственности, продолжимости, непрерывной зависимости решений от начальных условий, а также устойчивость систем с им- пульсным воздействием. В работах [5–8] построены критерии практической устойчивости систем с импульсным влиянием, получены алгоритмы для нахож- дения экстремальных областей начальных условий и их оптимальных оценок. При условии постоянно действующих возмущений правая часть системы дифференциальных уравнений приобретает многозначный характер. В результате сталкиваемся с проблемами анализа решений дифференциальных включений [1, 9–11]. Задачи, связанные с дифференциальными включениями с импульсным воздействием, на данный момент интенсивно исследуются. В [1, 4] рассматрива- ются вопросы существования, непрерывной зависимости по начальным условиям, продолжимости решений дифференциальных включений c импульсным воздей- ствием. В [7] исследованы свойства максимального по включению множества для сильной и слабой устойчивости дифференциальных включений, приведены мето- ды аппроксимации этой области. В настоящей статье исследуются свойства множества начальных условий, для каждой точки из которого существует хотя бы одно решение дифференциаль- ного включения с импульсным воздействием, полностью принадлежащее фазо- вым ограничениям на заданном временнóм интервале. Импульсные воздействия рассматриваются в фиксированные моменты времени. В случае линейного диф- ференциального включения с линейным импульсным воздействием получен кри- терий принадлежности точки границе оптимального множества ,I также найден функционал Минковского и опорный функционал .I В настоящей публикации используются следующие обозначения: \|\|\|\|  — евкли- дова норма в ;nR T — знак транспонирования; )(comp nR — совокупность всех не- пустых компактных множеств из ;nR )(conv nR — совокупность всех непустых вы- пуклых компактов из ;nR )(,)(  xfxf — соответственно левая и правая границы Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 53 функции f в точке ;1Rx Aint — внутренность, A — граница, }1:{  xxS — единичная сфера с центром в точке 0; :{)( nRxK  }x — замкнутый шар радиуса ε с центром в точке α; )0(=    KAA —  -расширение множества ;A )(co   F — выпуклая оболочка функции );(F )(F — график отображения F; Ftube — трубка отображения ;F xaAa Ax   inf=),( — расстояние от точки a до множества ;A ),(sup=),( BaBA Aa   — полуметрика Хаусдорфа между множе- ствами A и B; )},(,),({max=),( ABBABA  — метрика Хаусдорфа; =)(suplim t t           ))(,(lim: txinfRx t n — верхняя топологическая граница отображения  в точке . Оптимальное множество начальных условий Рассмотрим дифференциальное включение с импульсным воздействием ,=,=,}...,2,1,{,),[,),( 001 TtNittxF dt dx Niii   (1) ,}1...,2,1,{,))(()(   NixGx iii (2) где nRx — вектор фазовых координат, ,),( Dtx  D — область в .1nR Кроме этого, для любого }...,2,1,{ Ni отображение )(conv: n i RDF  удо- влетворяет основным условиям на ),,[ 1 ii   т.е. множество его значений непу- сто, ограничено, замкнуто и выпукло, а само отображение полунепрерывно сверху по xt, [10]. Также существуют непрерывные положительные функции )(tLi такие, что ,)()),(,),(( vutLtvFtuF iii  если .),(,),( Dtvtu  Отображе- ния )(comp: nn i RRG  полунепрерывны сверху, }.1...,2,1,{  Ni Решением дифференциального включения с импульсным воздействием (1), (2) назовем абсолютно непрерывную на промежутках, не содержащих ,i },1...,2,1,{  Ni функцию ),,( 00 txtx , которая удовлетворяет дифференциаль- ному включению (1) почти всюду, а в точках i — условию (2) [1]. Зададим многозначное отображение ),(: tt   которое описывает фазовые ограничения. Отображение )(: tt  компактнозначно, равномерно ограничено на ],[ 0 Tt и полунепрерывно сверху на интервалах ,),[ 1 iit   }....,2,1,{ Ni График ,)( D ),(0 t ),0,(0 tFi ,),[ 1 iit   }.21,{ Ni  Кроме того, ,)0(0 iG },121,{  Ni  т.е. точка 0 принадлежит )(t для всех ],[ 0 Ttt и является решением дифференциального включения (1), (2). Определение 1. Нулевое решение дифференциального включения (1), (2) называется },,)(,{ 00 TttI  -слабо устойчивым при любом ,00 Ix  существует решение ),,( 00 txtx дифференциального включения (1), (2), при котором для всех ],[ 0 Ttt имеет место соотношение ).(),,( 00 ttxtx  Определение 2. Совокупность точек )( 0* tI  называется максимальным по включению множеством практической слабой устойчивости решения 0=)(tx включения (1), (2) при фазовых ограничениях )(t на временнóм отрезке ],,[ 0 Tt 54 ISSN 0572-2691 если невозмущенное решение },,)(,{ 0* TttI  слабо устойчиво и 0 II  для всех множеств ),( 00 tI  для которых нулевое решение дифференциального включения (1),(2) },,)(,{ 00 TttI  слабо устойчиво. Решение дифференциального включения ],[,),( 1 iii ttxF dt dx   обозначим ),,(~ 00 txtxi . Также введем замкнутые отображения ,)(comp],[: 1 n iii R  ,)(=)( tt ii  ),,[ 1 iit   )(suplim=)( t it ii   [11]. Обозначим  множество решений дифференциального включения (1), (2), графики которых лежат в ).( Лемма. Из любой последовательности решений, которые лежат в , можно выделить сходящуюся к решению дифференциального включения (1), (2) подпо- следовательность. Доказательство. Пусть i — подмножества пространства ),,],([ 1 n ii RC   состоящие из решений дифференциального включения ],,[,),( 1 iii ttxF dt dx   графики которых лежат в ).(comp)( 1 n i R Согласно свойствам множества решений дифференциального включения классы i являются совокупностями равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций. Поэтому по теореме Арцела i — предкомпактные классы в пространстве непрерывных функций [9]. Замкнутость множеств i следует из замкнутости )( и теоремы о сходящейся последовательности решений дифференциального включения ],[,),( 1 iii ttxF dt dx   [9]. Следовательно, i — компактные классы в про- странстве ).,],([ 1 n ii RC   Возьмем последовательность решений ,n разобьем каждое решение по точкам импульсного воздействия },1...,,1{,  Nii и продолжим каждое из решений на интервал ],[ 1 ii   непрерывным образом, т.е. определим последовательности ),,[),()( 1 ii nn i tttf   ).(lim)( tff n i t i n i i   Таким образом, получим совокупность последовательностей функций },{ n if },,,21,{ Ni  на интервалах ].,[ 1 iit   Каждая функция из }{ n if будет при- надлежать фазовым ограничениям }....,2,1,{, Nii  Выделим из последователь- ности }{ 1 nf подпоследовательность, которая сходится на первом интервале в прост- ранстве ),],([ 10 nRC  в равномерной метрике к некоторой функции .11 f Следовательно, в конечной точке интервала ],[ 10  для каждого 0> существует такое ,00 n что для любого 0> nn имеет место .<)()( 1111  ff n Вследствие полунепрерывности сверху отображения )(1 G имеем ,<)))((,))((( 111111  fGfG n следовательно, для каждого ))(( 111  nfGx выполняется .<)))((,( 111  fGx Так как )),(()( 11112  nn fGf можно записать .<)))((,)(( 11112  fGf n Это означа- ет, что в сколь угодно малой ε-окрестности компакта ))(( 111 fG содержится бес- конечное количество точек последовательности )},({ 12 nf из которой можно вы- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 55 делить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей )).(( 111 fG Таким образом, получим некоторую подпоследовательность функций },{ 2 nf схо- дящихся в момент времени 1 в пространстве nR к точке, которая принадлежит )).(( 111 fG Элементы последовательностей }{ n if с номерами, не вошедшими в подпоследовательность },{ 2 nf исключаем и переобозначаем данные подпоследова- тельности }.21,{},{ Nif n i  Вследствие компактности 2 из последователь- ности }{ 2 nf выделим подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции ,22 f причем в момент времени 1 имеем )).(()( 11112  fGf Аналогично вследствие полунепрерывности сверху отображения )(2 G можем выбрать такое ,00 n что для всех 0> nn выполняется .<)))((,)(( 22223  fGf n Продолжая аналогичную процедуру, придем к последнему временному отрезку ],[ 1 TN и получим последовательность, сходящуюся к функции, которая, с одной сторо- ны, является, решением (1), (2), а с другой, — лежит в ).( Полученная функ- ция имеет вид ),[),()( 1 iii ttftf   и в точках импульсного воздействия удо- влетворяет условию (2). Лемма доказана. Теорема 1. Множество ).(comp nRI  Доказательство. Ограниченность множества I следует из ограниченно- сти ),( 0t так как ).( 0 tI  Выберем последовательность ,}{ Ixk  кото- рая сходится к точке .0x Существует соответствующая последовательность ,),,(= 0  txx kk ....2,1,=k По лемме 1 выделим сходящуюся подпоследо- вательность },{}{ kr  ),,,(=lim 00 txxr  ....2,1,=r Следовательно, точка .0 Ix  Теорема доказана. Теорема 2. Пусть .0 Ix  Тогда для всех решений ),,( 00 txx  дифференци- ального включения (1), (2), для которых ,)(),,( 00 ttxx  ],,[ 0 Ttt существует }...,2,1,{ Ni такое, что Ø.tube)~(  iix Доказательство проведем от противного. Предположим, что существует ),,,( 00 txx  для которого выполняются условия теоремы, но на каждом из интер- валов ],[ 1 ii   имеем Ø.=tube)~( iix  Вследствие компактности i на каждом из интервалов },...,2,1,{,],[ 1 Nit ii   и согласно утверждению [7, с. 42], мо- жем выбрать 0>i такое, что ).()),,(~( 00 ttxtx i i i   Выберем .min= i По- строим последовательность ., 0 xzIz kk  Согласно теореме о непрерывной зависимости решения от начальных условий [1] существует последовательность iki tzx  ),,(~ 0 такая, что после некоторого номера 0k для всех ,],[ 1 iit   },...,2,1,{ Ni выполняется соотношение .)),,(~(),,(~ 000  txtxtzx iki Тогда ),(),,(~ 0 ttzx iki  значит, ,>,)(),,( 00 kkttzx k  ].,[ 0 Ttt Получили про- тиворечие с условием теоремы. Теорема доказана. Вместе с тем обратное утверждение в общем случае не всегда выполняется. Пример. Пусть на интервале времени ]2,0[ задано дифференциальное включение с импульсным воздействием 56 ISSN 0572-2691 1,)1(=)1(;]21,[,]5,05,,0[;)10,[,]1,1[  xxt dt dx t dt dx .]2,1[,]5,5[=)(;)10,[,]2,[]2,[=)(  tttttt Максимальное по включению множество ].1,1[=* I Решения tx = и ,= tx  которые выходят из начальной точки ,0=0x содержатся в расширенных фазовых ограничениях и касаются границы )(1 t при .]1,0[t Однако точка 0 не принад- лежит границе множества .I Таким образом, в данном случае обратное утвер- ждение к теореме 2 не имеет места. Линейные дифференциальные включения с импульсным воздействием Рассмотрим линейное дифференциальное включение с импульсным воздей- ствием ,=,=,}...,2,1,{,),[,)()( 001 TtNittUxtA dt dx Niiii   (3) },1...,2,1,{,)()(   NiVxBx iiii (4) где )(conv),[: 1 n iii RU   — непрерывное отображение, )(tAi — непрерыв- ная матрица размерности },...,2,1,{, Ninn  iV — выпуклый компакт, iB — невырожденная матрица размерности }.1...,2,1,{,  Ninn Обозначим ,)(),(=)( dssUsttQ ii t i i   где ),( sti — фундаментальная матрица системы ,)(= xtA dt dx i нормированная по моменту s, интеграл от многозначного отображения рассматриваем в смысле Ауманна [12]. Отображение )(: tt  выпуклозначно, компактнозначно и равномерно ограничено при ],,[ 0 Ttt непрерывно на },,2,1{),,[ 1 Niii   график ,)( D ),(0 t ),(0 tUi ,0 iV t ),,[ 1 ii   }.,2,1{ Ni  На интервале ],[ 0 Tt множество достижимости имеет вид ),,( 00 xttX ),()( 0 tMxtH  где ,)())((),(),(=)( 111211 1=2= 1 tQVQBBttM kkkkkjjjj k ij i k ii               ).,[,),(),(=)( 11 1 1= iijjjj ij ii tBttH              Оператор произведения в выражениях для )(,)( tMtH является произведением с обратным порядком умножения, т.е.      .<1, ,,... = 1 = ba baBBB B baa i b ai В данной формуле )(,)( tHtM теряют непрерывность в точках импульсного воз- действия, в которых )(,)( tHtM непрерывны справа. Определим многозначные Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 57 отображения )(=)(,)(=)( tMtMtHtH ii для всех ),[ 1 iit   а  )( iiH ,)(suplim tH it   ).(suplim=)( tMM it ii   Частичное решение соответственно будет иметь вид ,),,()(=),,,,( 000 vutMxtHvuxttx  где               ),(),(=),,( 1j 1=2= 1 jjj k ij i k ii BtvutM ,),()),(( 1121 utQvuQB kkkkk   ,),[ 1 iit   ,)(),(=),( dssustutQ i t i i   второй аргумент u — измеримая и интегрируемая на ],[ 0 Tt функция, причем ,),[,)()(:{=)( 1 iii ttUtuuuu   }},...,2,1,{ Ni а вектор 1 NRv выбираем из множества }....,,:{=)( 112211   NN VvVvVvvv Теорема 3. Максимальное по включению множество I выпукло. Доказательство. Возьмем точки ., 21 Ixx  Это значит, что существуют )(,,)(, 2121 vvvuuu  такие, что ,)(),,()(),,,,( 00 tvutMxtHvuxttx iiiii i  .],[2,1,= 0 Ttti  Зафиксируем ]1,0[ и возьмем   ,)(1)(=)(~ 21 tututu  .)1(=~ 21 vvv  На промежутках ),[ 1 ii   функция ),()(~ tUtu i а в точках разрыва iVv ~ вследствие выпуклости )(tUi и iV соответственно. Следовательно, ,)()(~ utu  ).(~ vv  Тогда =)~,~,())1()(( 21 vutMxxtH  ,)()],,()()[1()],,()([ 221111 tvutMxtHvutMxtH  поскольку множество )(t выпукло. Это значит, что .)1( 21 Ixx  Теорема доказана. Теорема 4. Опорная функция множества I выражается соотношением .,)))((,)()1()((minminco=),( T1 ],1[}...,2,1,{ n iii iitNi RtHtMtcIc    Доказательство. Если ,0 Ix  то существуют ),(,)( vvuu  для кото- рых }....,2,1,{,],[,)(),,()( 10 NittvutMxtH iiiii   Следовательно, ,}...,2,1,{,],[,,),)((),,()( 1 T 0 T NitRtcvutMxtH ii n iii   ,],[,,),)(()),,()(inf( 1 T 0 T ii n iii tRtcvutMxtH   (5) ,}...,2,1,{ Ni где нижняя грань берется по всем ).(,)( vvuu  Множества )(tM i для каждого },...,2,1,{ Ni ],[ 1 iit   — выпуклые компакты. Значит, точная нижняя грань в (5) достигается при ).(,)( vvuu  Кроме этого, ,),)((=))(),,((sup=)),,((inf TT  tMcvutMvutM iii где нижняя и верх- 58 ISSN 0572-2691 няя грани в последнем выражении берутся по всем ).(,)( vvuu  Поэтому из (5) следует ,),)((),)(()( 0 T  tMctcxtH iii ,nR ,],[ 1 iit   .}...,2,1,{ Ni Делаем замену ,)(= T  tH i .))((= T1   tH i Тогда ),))((,)()1()(( =)))((,)(()))((,)(( T1 T1T1 0 T     tHtMtc tHtMctHtcx iii iiii (6) где ,nR .],[ 1 iit   Принимая во внимание, что неравенство (6) выполняется для всех моментов времени, его можно переписать так: ).))((,)()1()((minmin T1 ],1[}1,2,...,{ 0 T    tHtMtcx iii iitNi Если же ,0 Ix  то для всех измеримых селекторов )(uu  и векторов )(vv  существует интервал }...,2,1,{ Ni и момент времени ],[ 1 iit   такой, что ).(),,()( 0 tvutMxtH iii  Тогда найдется nR такое, что ).,)((>),,()( T 0 T  tcvutMxtH iii Таким образом, существуют ,nR ,],[ 1 iit   },...,2,1,{ Ni такие, что ).,)((),)((>)( 0 T  tMctcxtH iii Замена  )(= T tH i приводит к неравенству ,)()1()((>0 T tMtcx ii  ),))(( T1  tH i которое можно переписать как ).))((,)()1()((minmin> T1 ],1[}...,2,1,{ 0 T    tHtMtcx iii iitNi Следовательно, )},(:{= 0 T 0*   fxxI S где функция )))((,)()1()((minmin=)( T1 ],1[}...,2,1,{    tHtMtcf iii iitNi положительно однородна. По теореме о взаимосвязи между опорной функцией и выпуклым множеством [12] следует, что )(=),( *   fcoIc — опорная функция .I Теорема доказана. Теорема 5. Пусть 0 Ix  и для всех решений ),,(),,(= 0000 txXtxxx  дифференциального включения (1), (2), для которых ],,[,)(),,( 000 Tttttxtx  для некоторого }...,2,1,{ Ni существует момент ],,[ 1 ii   для которого ).(),,( 00  itxx Тогда .0 Ix  Доказательство. Обозначим nRI  максимальное по включению множе- ство практической устойчивости при ограничениях ],,[,)(=),( 0 Ttttt   где }.)0(:{ AKxRxA n    Точка 0 Ix  может поглощаться монотон- но невозрастающим отображением 0,)(:  Ih в точке 0, .0>,)(0  Ix Согласно теореме 4   =)))((,)()1()((minmin=),)(( T1 ],1[1,2,...,    tHtMtccoIc iii iitNi ,}))(()))((,)()1()(({minminco= T1T1 ],1[}...,2,1,{    tHtHtMtc iiii iitNi .nR Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 59 Поскольку =)0( II и функция ),)(( Ic непрерывна по ]0,[  для лю- бого ,nR то отображение )(:  Ih непрерывно на интервале ].0,[  Здесь 0> выбирается из условия .]0,[,],[,Ø),( 0  Tttt Таким образом, 0 Ix  [7]. Теорема доказана. Обозначим .],[,}2,...,1,{, ),)((),)(( )( maxmax=)( 1 0 T 0*              ii ii i S tNi tMctc xtH xm Критерий. Для того чтобы точка ,0 Ix  необходимо и достаточно, чтобы вы- полнялось соотношение 1=)( 0 xm при условии, что 0>),)((),)((  tMctc ii для всех моментов времени ],[ 0 Ttt и направлений .S Доказательство. Из (6) и свойств опорной функции следует, что для всех nR 1.],[,}...,2,1,{, )))((,)()1()(( max 1T1 0 T              ii iii tNi tHtMtc x (7) Из того, что ,0 Ix  теоремы 4 и свойств опорной функции следует суще- ствание nR такое, что 1.],[,}...,2,1,{, )))((,)()1()(( max 11 0 T              iiT iii tNi tHtMtc x (8) Из (7), (8) следует, что 1.],[,}...,2,1,{, )))((,)()1()(( maxmax 1T1 0 T              ii iii S tNi tHtMtc x Осуществляя замену ,))((= T1   tHi получаем утверждение критерия. Из поло- жительной однородности опорной функции следует справедливость критерия. Критерий доказан. Следствие 1. Функция )( 0 xm является функционалом Минковского для множества .I Доказательство. По определению функционал Минковского =),( Ixm }.\|0>{inf Ixtt  Пусть .nRx Тогда вследствие компактности и выпуклости множества I имеем ),(/ IIxmx  и .1=)),(/( Ixmxm Вследствие положи- тельной однородности функции ),(* m ).,(=)( ** Ixmxm Следствие доказано. Следствие 2. Функция деформации для множества слабой практической устойчивости имеет вид .],[,}...,2,1,{, )( ),)((),)(( minmin=)( 1*              ii i T ii S tNi ltH tMctc lk Тогда }.,)](0,[=,=:{= ** SllkkklxRxI n  Заключение В статье доказана компактность оптимального множества практической слабой устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием, изучены 60 ISSN 0572-2691 свойства границы множества практической слабой устойчивости. Кроме того, получен опорный функционал и функционал Минковского максимального по включению множества практической слабой устойчивости линейного дифференциального вклю- чения с линейным импульсным воздействием, доказана его выпуклость, найден крите- рий принадлежности точки границе этого множества. Как следствие, вычислена функ- ция деформации максимального по включению множества. Я.М. Ліндер, В.В. Пічкур УМОВИ СЛАБКОЇ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВКЛЮЧЕНЬ З ІМПУЛЬСНИМ ВПЛИВОМ Обґрунтовується компактність максимальних множин слабкої практичної стійкос- ті диференціальних включень з імпульсним впливом, вивчаються властивості межі та внутрішніх точок таких множин. Для лінійного включення з імпульсним впли- вом отримано функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опорну функцію максимальної множини, а також критерій належності точки до її межі. Результати алгоритмічно спрямовані. Ya.N. Linder, V.V. Pichkur CONDITIONS OF WEAK PRACTICAL STABILITY OF DIFFERENTIAL INCLUSIONS WITH IMPULSE IMPACT The properties of maximum sets of weak practical stability for systems with impulse impact are considered, compactness of initial data set is proven. Minkowski function, inverse Minkowski function, and support function for linear system with impulse im- pact are obtained. Results are algorithmic oriented. 1. Перестюк Н.А., Плотников В.А, Самойленко А.М., Скрипник Н.В. Импульсные дифферен- циальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев : Ин-т математи- ки НАН Украины, 2007. — 428 с. 2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздей- ствием. — Киев : Вища шк., 1987. — 286 с. 3. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of impulsive differential equations. — Singapure : World sc., 1989. — 273 p. 4. Benchora M., Henderson J. Impulsive differential equations and inclusions // Contemporary Math. and its Appl., 2006. — 2. — Hindawi Publ. Corp. — 366 p. 5. Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Критерії практичної стійкості для динамічних систем з ім- пульсним впливом // Вісник кібернетики. — 2002. — Вип. 3. — С. 35–37. 6. Гаращенко Ф.Г., Хитько И.В. Максимальные по включению множества практической устойчивости импульсных систем // Кибернетика и вычисл. техника. — 2004. — Вып. 142. — С. 65–72. 7. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість, оцінки та оптимізація. — Київ. нац. ун-т імені Тараса Шевченка, 2008. — 383 с. 8. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оптимизация и устойчивость динамики пучков. — Киев : Наук. думка, 1985. — 304 с. 9. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями и диффе- ренциальные включения // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравне- ния. — М. : Физматлит, 2003. — С. 265–288. 10. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М. : Наука, 1985. — 223 с. 11. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston : Birkhauser, 1990. — 460 p. 12. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М. : Физматлит, 2004. — 416 с. Получено 30.06.2011 Статья представлена к публикации членом редколлегии Ф.Г. Гаращенко.

Условия слабой практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием

Institution

Similar Items