Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов
У статті представлено математичну модель для дослідження локально-нерівноважних геофільтраційних процесів сольових розчинів. Розглянуто постановку нелінійної крайової задачі фільтрації, запропоновано алгоритм наближеного розв’язання, а також наведено результати чисельної реалізації розробленого алго...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207379 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов / В.М. Булавацкий. // Проблемы управления и информатики. — 2011. — №6. — С. 76–83. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207379 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2073792025-10-07T00:04:36Z Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов Математична модель геоінформатики для дослідження динаміки локально-нерівноважних геофільтраційних процесів Mathematical Model of Geoinformatics for Research of Local-Nonequilibrium Geofiltration Processes Dynamics Булавацкий, В.М. Методы обработки информации У статті представлено математичну модель для дослідження локально-нерівноважних геофільтраційних процесів сольових розчинів. Розглянуто постановку нелінійної крайової задачі фільтрації, запропоновано алгоритм наближеного розв’язання, а також наведено результати чисельної реалізації розробленого алгоритму. The mathematical model for research of local-nonequilibrium in time geofiltration processes of salt solutions is constructed. The statement of corresponding nonlinear filtration boundary-value problem, the algorithm of receipt of its approximation solution, and also results of numerical realization of the specified algorithm are given 2011 Article Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов / В.М. Булавацкий. // Проблемы управления и информатики. — 2011. — №6. — С. 76–83. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207379 517.954:532.546 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i12.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы обработки информации Методы обработки информации |
| spellingShingle |
Методы обработки информации Методы обработки информации Булавацкий, В.М. Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов Проблемы управления и информатики |
| description |
У статті представлено математичну модель для дослідження локально-нерівноважних геофільтраційних процесів сольових розчинів. Розглянуто постановку нелінійної крайової задачі фільтрації, запропоновано алгоритм наближеного розв’язання, а також наведено результати чисельної реалізації розробленого алгоритму. |
| format |
Article |
| author |
Булавацкий, В.М. |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. |
| author_sort |
Булавацкий, В.М. |
| title |
Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов |
| title_short |
Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов |
| title_full |
Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов |
| title_fullStr |
Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов |
| title_full_unstemmed |
Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов |
| title_sort |
математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Методы обработки информации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207379 |
| citation_txt |
Математическая модель геоинформатики для исследования динамики локально-неравновесных геофильтрационных процессов / В.М. Булавацкий. // Проблемы управления и информатики. — 2011. — №6. — С. 76–83. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackijvm matematičeskaâmodelʹgeoinformatikidlâissledovaniâdinamikilokalʹnoneravnovesnyhgeofilʹtracionnyhprocessov AT bulavackijvm matematičnamodelʹgeoínformatikidlâdoslídžennâdinamíkilokalʹnonerívnovažnihgeofílʹtracíjnihprocesív AT bulavackijvm mathematicalmodelofgeoinformaticsforresearchoflocalnonequilibriumgeofiltrationprocessesdynamics |
| first_indexed |
2025-11-26T07:13:58Z |
| last_indexed |
2025-11-26T07:13:58Z |
| _version_ |
1849836164898357248 |
| fulltext |
© В.М. БУЛАВАЦКИЙ, 2011
76 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
УДК 517.954:532.546
В.М. Булавацкий
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ГЕОИНФОРМАТИКИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИНАМИКИ ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНЫХ
ГЕОФИЛЬТРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
Введение
Геоинформационные задачи, относящиеся к математическому моделирова-
нию динамики систем, описывающих пространственно-временные процессы гео-
фильтрации, представляют значительный интерес, прежде всего, при разработке
современных геотехнологий добычи полезных ископаемых (в частности, методом
подземного выщелачивания), а также при изучении вопросов охраны подземных
вод и водозаборов от загрязнений, являющихся результатом действия техноген-
ных факторов человеческой деятельности [1]. В частности, знание особенностей
динамики геофильтрационных процессов играет важную роль при решении задач
охраны подземных вод от загрязнений токсичным содержимым накопителей
промышленных и бытовых стоков (шламо- и хвостохранилищ).
Следует отметить, что математическое моделирование геофильтрационных
процессов, являясь одним из важнейших направлений геоинформатики и геогид-
родинамики, развивается преимущественно в предположении насыщенности мас-
сивов геопористой среды чистой водой [2–4]. Однако в настоящее время особую
актуальность (в связи с экологическими приложениями) приобретают исследова-
ния в области математического моделирования динамики геофильтрационных
процессов в массивах, насыщенных различными солевыми растворами. При этом
ведутся комплексные исследования в области математического моделирования
динамики геофильтрации солевых растворов [5] при учете релаксационных
свойств жидкости [6], релаксационных свойств пористого скелета [7], учете не-
изотермичности процесса и термодиффузии [8, 9], теплового расширения жидкой
фазы [10], влияния геохимических факторов подземного выщелачивания [11] и др.
Проявляющаяся в сложных горно-геологических условиях неравновесность
геофильтрационного процесса, обусловленная рядом причин (сложность структу-
ры среды, микронеоднородность, кавернозность и др. [12]), приводит к необходи-
мости разработки методов математического моделирования динамики локально-
неравновесных геофильтрационных процессов. В этой связи в настоящей работе
построена новая математическая модель для исследования динамики процесса
фильтрации солевых растворов в геопористой среде в условиях сильной времен-
нóй нелокальности. В рамках предложенной модели выполнена постановка соот-
ветствующей краевой задачи теории геофильтрации для массива конечной мощ-
ности с проницаемыми гранями, разработана методика приближенного решения
указанной краевой задачи и приведены результаты численного эксперимента.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 77
1. Построение математической модели процесса
и постановка краевой задачи
Используем следующее обобщение геофильтрационного закона Дарси [2–4]
на случай движения солевых растворов с учетом осмоса в условиях сильной вре-
менной нелокальности
.
1
x
C
x
pk
Du tx (1)
Здесь xu — скорость фильтрации, p — давление, С — концентрация солей в жид-
кой фазе, k — коэффициент фильтрации, — вязкость жидкости, — коэффици-
ент осмоса [5],
1
tD — оператор дробного дифференцирования Римана–Лиувил-
ля [13] порядка 1 ).10( Отсюда с учетом уравнения неразрывности [2–4]
0*
1
t
p
x
ux (2)
*
1( — коэффициент упругоемкости пласта) получаем уравнение для определения
фильтрационного давления в виде
2
2
2
2
1
x
C
x
p
D
t
p
t (3)
или
,),(
2
2
2
2
)(
x
C
x
p
txpDt
(4)
где ,
1
k
,
1
)(
tD — оператор регуляризованной дробной производной
(по Капуто [14, 15]) порядка .
Предполагая также наличие условий сильной временнóй нелокальности для
диффузионного процесса, будем исходить из следующего обобщения закона Фика:
,
11
xtt uCJ
x
C
dDq (5)
q — диффузионный поток, d — коэффициент диффузии [16],
1
tJ — дробный
интеграл Римана–Лиувилля порядка 1 [13–15]. Для получения уравнения кон-
вективной диффузии растворимых веществ при геофильтрации солевых раство-
ров запишем одномерное уравнение баланса массы в виде [16]
,0
x
q
t
C
(6)
где — пористость среды. Тогда из соотношения (6) с учетом (1) и (5) в предпо-
ложении слабой сжимаемости среды получаем, в первом приближении, уравнение
для концентрации в виде
x
C
x
C
x
pk
x
C
dD
t
C
t 2
2
1
(7)
или
.),(
2
2
)(
x
C
x
C
x
pk
x
C
dtxCDt
(8)
78 ISSN 0572-2691
Таким образом, неклассическая математическая модель геофильтрации соле-
вых растворов с учетом осмотических явлений в условиях временнóй нелокально-
сти базируется на системе уравнений дробного порядка вида
,),(
2
2
2
2
)(
x
C
x
p
txpDt
(9)
.),(
2
2
)(
x
C
x
C
x
pk
x
C
dtxCDt
(10)
Эта модель обобщает на случай наличия локально-неравновесных во времени
условий протекания процесса известную ранее (общепринятую [5]) математиче-
скую модель фильтрации солевых растворов в деформируемых пористых средах
при наличии осмотических явлений. Действительно, из (9) и (10) в случае 1
получаем систему уравнений общепринятой модели [1, 5, 8, 9]
,
2
2
2
2
x
C
x
p
t
p
(11)
.
2
2
x
C
x
C
x
pk
x
C
d
t
C
(12)
При этом очевидно, что формальная замена производных по времени в урав-
нениях (11), (12) их дробными аналогами непосредственно приводит к уравнени-
ям неклассической модели (9), (10).
В рамках описанной выше модели исследование динамики полей давлений и
концентраций при геофильтрации в условиях временной нелокальности процесса,
например в случае массива конечной мощности l с проницаемыми границами,
сводится к решению в области ),0(),0( l системы уравнений (9), (10) с крае-
выми условиями
,0),0( tp ,0),( tlp ,)0,( 0pxp (13)
,),0( 0CtC ,0
),(
x
tlC
,0)0,( xC (14)
где 0p — начальное давление в массиве, 0C — заданное значение концентрации
солей на входе фильтрационного потока.
Введем в рассмотрение безразмерные переменные и параметры:
,
l
x
x ,
/1
2
t
l
t
,
0C
C
C ,
0p
p
p ,
d
d ,0
C
,0
kp
k .
0
0
p
C
(15)
Переходя в (9), (10), (13), (14) к безразмерным переменным согласно соотно-
шениям (15) и опуская в дальнейшем знак «штрих» над безразмерными величи-
нами, получаем следующую нелинейную краевую задачу:
,),(
2
2
2
2
)(
x
C
x
p
txpDt
(16)
,),(
2
2
)(
x
C
x
C
x
p
k
x
C
dtxCDt
(17)
,0),0( tp ,0),1( tp ,1)0,( xp (18)
,1),0( tC ,0
),1(
x
tC
.0)0,( xC (19)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 79
2. Методика получения приближенного решения краевой задачи
и вычислительный алгоритм
Ниже кратко излагается методика построения приближенного решения рас-
сматриваемой задачи, базирующаяся на совместном применении дифференциаль-
но-разностного (в совокупности с методом суммарных представлений
Г.Н. Положего [17]) и собственно разностного методов.
Введем в рассмотрение сеточную область )},1,0(:{ miihxx iih где
h — шаг сетки по геометрической переменной, и поставим в соответствие задаче
для вычисленя поля давлений (16), (18) дифференциально-разностную задачу вида
),()()2(
1
)( )(
2
)(
twtuET
h
tuD m
t
(20)
,)0( eu
(21)
где
,)](...,),(),([)( T
21 tptptptu m
,)1...,,1,1( Te
],)()2([)](...,),(),([)( 1
)(
32
T
21
tVTE
h
twtwtwtw
m
m
,)](...,),(),([)( T
21 tCtCtCtV m
,)0...,,0,1( T
1
,)(mT
)(
3
m
T — квадратные матрицы порядка m, определенные в [17], E — еди-
ничная матрица порядка m. Введем также в рассмотрение P-трансформации век-
торов u
и :w
),()(ˆ )( tuPtu m
),()(ˆ )( twPtw m
(22)
)(mP — фундаментальная матрица порядка m, определенная соотношением [17]
.
1
sin
1
2
][
1,
1,
)(
m
jk
m
jkjk
m
m
jk
m
pP
Умножая (20), (21) слева на матрицу ,)(mP с учетом соотношения [17]
,
)()()()( mmmm
PPT
]...,,,[ 21
)(
m
m — диагональная матрица собственных чисел матрицы ,)(mT
1
cos2
m
k
k ),,1( mk получаем задачу в изображениях, записываемую
в скалярной форме в виде
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(
twtutuD iiiit
),,1( mi (23)
ii eu ˆ)0(ˆ ),,1( mi (24)
где
),2(
1
2
ii
h
,ˆ
1
ik
m
k
i pe
)).()(2)(()(ˆ 11
1
2
tCtCtCp
h
tw kkkik
m
k
i
Согласно [13] решение задачи (23), (24) запишем
dwtEttEetu ii
t
iii )(ˆ))(()()(ˆ)(ˆ ,
1
0
, ).,1( mi (25)
Здесь )(zE — функция Миттаг–Леффлера, )(, zE — обобщенная функция
Миттаг–Леффлера [13, 14].
80 ISSN 0572-2691
Возвращаясь в соотношениях (25) к оригиналам по геометрической перемен-
ной, получаем точное решение исходной дифференциально-разностной зада-
чи (20), (21) в виде следующей явной зависимости функции давления p от концен-
трации C :
dtCCCtGtp
m
k
ikkkk
t
ii
1
11
0
)())()(2)(()()( ),,1( mi (26)
),()(
1 1
tEpptG s
m
s
skis
m
k
i
)()( ,
1
2
1
tEpp
h
t
t sskis
m
s
ik ).,1;,1( mkmi
Задача (17), (19) для вычисления поля концентраций решается численно. Для
этого введем в рассмотрение сеточную область ),1,0(:),({ miihxtx ijih
)},0( njjt j ,(h — шаги сетки по геометрической переменной и времени
соответственно) и использем, например, монотонную разностную схему
А.А. Самарского, которая в обозначениях работы [18] имеют вид
,ˆˆˆ)(
xxxxt CuCuCC
(27)
где
,
R
d
,
2
1
d
uh
R ),(
2
1
uuu .00
xx
Ckpu
При этом в соотношении (27) оператор
)(
t обозначает дискретный аналог про-
изводной дробного порядка .
)(
tD Согласно работе [19] можно записать
,
)2(
1
,
)(
0
)(
1+
st
j
s
j
s
t
CbC
j
(28)
],)()1([ 111)( sjsjb j
s ,
1
,
ss
st
CC
C
)( — гамма-функция [20]. В классе достаточно гладких функций имеем [19]
).(
)()(
OuuD tt .
Расписывая в соотношении (27) соответствующие разностные операторы и
приводя подобные члены, получаем следующую систему линейных алгебраиче-
ских уравнений:
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i FCBCSCA
1
1
11
1 ),,0;,1( njmi (29)
где
.
1
)2(
,
)2(
,)(
1
,)(
1
1
)(
1
0
s
i
s
ij
s
j
s
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
ij
i
j
i
j
ij
i
CC
bCF
BASu
hh
Bu
hh
A
(30)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 81
Разностные уравнения системы (29) трехточечные и эффективно решаются мето-
дом прогонки [18]. При этом прогоночные соотношения имеют вид
j
i
j
i
j
i
j
i CC 1
1
11
1
),,0;,1( njmi
а прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам
,1 j
i
j
i
j
i
j
ij
i
AS
B
)(1
1
j
i
j
i
j
ij
i
j
ij
i AF
B
).,0;,1( njmi
Для определения стартовых значений прогоночных коэффициентов используем
конечноразностные аналоги граничных условий. Тогда получим
,01
j
11
j
).,0( nj
Следует отметить, что устойчивость метода прогонки для системы (29) вытекает
(с учетом (30)) из факта диагонального преобладания в матрице коэффициентов
этой системы алгебраических уравнений.
Учитывая изложенное, вычислительный алгоритм для приближенного реше-
ния рассматриваемой задачи сформулируем следующим образом.
1. На данном временнóм слое вычисляем значение концентрации C в соот-
ветствии с разностной схемой (27), используя значение порового давления p из
предыдущего временнóго слоя.
2. С учетом найденных на данном временнóм слое значений C вычисляем
значения давления p на этом слое согласно явной зависимости (26). Этим решение
задачи на рассматриваемом временнóм слое завершается.
3. Переходим на следующий временнóй слой и повторяем вычисления, начи-
ная с шага 1.
При численной реализации изложенного алгоритма интеграл в соотношени-
ях (26) аппроксимируется соответствующей квадратурной формулой [21].
3. Результаты численных экспериментов и выводы
Численное моделирование динамики полей фильтрационных давлений
и полей концентраций в рамках рассматриваемой математической модели,
учитывающей временнýю нелокальность геофильтрационного процесса, вы-
полнено относительно безразмерных переменных, опрелеляемых соотношени-
ями (15). Некоторые из полученных результатов расчетов графически изобра-
жены на рис. 1–3. На рис. 1 показана динамика поля фильтрационных давле-
ний для модели с учетом временнóй нелокальности (кривые 1–5, )6,0 и для
общепринятой модели (кривые 1–5). Динамика соответствующих полей кон-
центраций в рамках указанных моделей показана на рис. 2 (кривые 1–5 соот-
ветствуют неклассической модели, а кривые 1–5 — общепринятой). На рис. 3
приведены кривые, отражающие особенности динамики поля фильтрационных
давлений в рамках модели с временнóй нелокальностью (для значения )7,0
при наличии влияния явления химического осмоса (кривые 1–5), а также при
отсутствии указанного влияния (кривые 1–5). Графики на всех приведенных
рисунках соответствуют таким значениям безразмерного параметра t:
;25,01,1 t ;3,02,2 t ;4,03,3 t ;5,04,4 t .7,05,5 t
Анализ результатов численных экспериментов позволяют сделать следующие
выводы об особенностях динамики полей фильтрационных давлений и концен-
траций при фильтрации солевых растворов в геопористой среде в условиях замет-
ного влияния временнóй нелокальности.
82 ISSN 0572-2691
1. Имеет место явление суще-
ственного (на поздних стадиях про-
цесса) запаздывания рассеивания по-
лей фильтрационных давлений в ге-
опористой среде в условиях
моделирования массопереноса на
основе модели, учитывающей вре-
меннýю нелокальность по сравне-
нию со случаем моделирования в
рамках общепринятой [1, 5–8] мате-
матической модели (см. рис. 1).
2. При моделировании геофильт-
рации солевых растворов в рамках
локально-неравновесной математиче-
ской модели также наблюдается за-
паздывание процесса формирования
поля концентраций растворимых
веществ по сравнению со случаем
моделирования указанного процесса
на основе общепринятой математи-
ческой модели (см. рис. 2).
3. Учет явления осмотической
фильтрации в рамках локально-не-
равновесной математической модели
геофильтрации солевых растворов
ускоряет процесс рассеивания фильт-
рационного давления в среде по срав-
нению со случаем отсутствия осмоса
(см. рис. 3).
Заключение
Рассмотренная в настоящей ра-
боте математическая модель позво-
ляет численно моделировать дина-
мику процессов переноса при гео-
фильтрации солевых растворов в
локально-неравновесных по времени
условиях. Результаты численных
экспериментов свидетельствуют о
существенном влиянии условий
неравновесности на динамику ука-
занных процессов.
В.М. Булавацький
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ
ГЕОІНФОРМАТИКИ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ
ДИНАМІКИ ЛОКАЛЬНО-НЕРІВНОВАЖНИХ
ГЕОФІЛЬТРАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ
Побудовано математичну модель для дослідження локально-нерівноважних
у часі геофільтраційних процесів сольових розчинів. Сформульовано відповід-
ну нелінійну фільтраційну крайову задачу, наведено алгоритм її наближеного
розв’язку, а також результати чисельної реалізації вказаного алгоритму.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
p
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
x
1
2
3
4
5
3
4
5
1
2
Рис. 1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
C
0,85
0,9
0,95
x
1
2
4
5
3
4
5
1
0,8
0,75
3
2
1
Рис. 2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
p
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
x
1
1
2
2
4
5
4
5
3
3
Рис. 3
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 83
V.M. Bulavatsky
MATHEMATICAL MODEL
OF GEOINFORMATICS FOR RESEARCH
OF LOCAL-NONEQUILIBRIUM
GEOFILTRATION PROCESSES DYNAMICS
The mathematical model for research of local-nonequilibrium in time geofiltration
processes of salt solutions is constructed. The statement of corresponding nonlinear
filtration boundary-value problem, the algorithm of receipt of its approximation solu-
tion, and also results of numerical realization of the specified algorithm are given.
1. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі про-
цесів тепло- та масопереносу. — Київ : Наук. думка, 2005. — 283 с.
2. Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пла-
стах.— М. : Недра, 1984. — 303 с.
3. Мироненко В.А., Шестаков В.М. Основы гидрогеомеханики. — М. : Недра, 1974. — 296 с.
4. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. — М. : Изд-во МГУ, 1979. — 386 с.
5. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації ґрунтів в процесі
фільтрації сольових розчинів. — Рівне : УДУВГП, 2004. — 211 с.
6. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Математическое моделирование динамики консолидаци-
онных процессов с учетом релаксационных эффектов // Кибернетика и системный анализ.
— 2008. — № 6. — С. 59–66.
7. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Системный подход к проблеме математического модели-
рования процесса фильтрационной консолидации // Там же. — 2006. — № 6. — С. 71–79.
8. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів гео-
гідродинаміки. — Київ : Наук. думка, 2007. — 292 с.
9. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів при філь-
трації сольових розчинів в неізотермічних умовах. — Рівне : НУВГП, 2008. — 416 с.
10. Булавацкий В.М.,Скопецкий В.В. Об одной неизотермической консолидационной матема-
тической модели геоинформатики // Международный научно-технический журнал «Про-
блемы управления и информатики». — 2010. — № 6. — С. 35–45.
11. Булавацкий В.М.,Скопецкий В.В. Приближенное решение одной динамической задачи гео-
информатики // Там же. — 2010. — № 3. — С. 68–77.
12. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически слож-
ных средах. — Москва–Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. — 288 с.
13. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential
equations. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 523 p.
14. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York : Academ. Press, 1999. — 341 p.
15. Чикрий А.А., Матичин И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольно-
го дробного порядка // Доп. НАН Украины. — 2007. — № 1. — С. 50–55.
16. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопе-
реноса в пористых средах. — Киев : Наук. думка, 1991. — 264 с.
17. Положий Г.Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математиче-
ской физики и функции дискретного аргумента. — Киев : Вища шк., 1962. — 161 с.
18. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1977. — 656 с.
19. Таукенова Ф.И., Шхануков–Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для
дифференциальных уравнений дробного порядка // Журн. вычисл. математики и мат. фи-
зики. — 2006. — 46, № 10. — С. 1871–1881.
20. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. —
М. : Наука, 1966. — 386 с.
21. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М. : Наука, 1987. —
600 с.
Получено 28.02.2011
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Чикрием.
|