Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии

Розглянуто SLIAR-модель епідемії гострого респіраторного вірусного захворювання. Отримано умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану — відсутність захворювання. Також розглянуто модель співіснування двох штамів вірусу, для якої наведено умови стійкості трьох стаціонарних станів. Умо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Проблемы управления и информатики
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Марценюк, В.П., Андрущак, И.Е., Кучвара, А.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schlagworte:	Управление в биологических и природных системах
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207385
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, А.М. Кучвара // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 6. — С. 125–133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859804096343572480
author	Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Кучвара, А.М.
author_facet	Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Кучвара, А.М.
citation_txt	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, А.М. Кучвара // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 6. — С. 125–133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто SLIAR-модель епідемії гострого респіраторного вірусного захворювання. Отримано умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану — відсутність захворювання. Також розглянуто модель співіснування двох штамів вірусу, для якої наведено умови стійкості трьох стаціонарних станів. Умови стійкості виражаються в термінах показників репродуктивності вірусів. SLIAR-model of epidemic of acute respiratory disease is considered. There were obtained conditions of local stability of stationary state corresponding to the absence of disease. Also there was considered the model of coexistence of two virus strains for which there were presented stability conditions for three stationary states. Stability conditions are expressed in terms of viruses reproduction rates.
first_indexed	2025-12-07T15:15:02Z
format	Article
fulltext	© В.П. МАРЦЕНЮК, И.Е. АНДРУЩАК, А.М. КУЧВАРА, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 125 УДК 519.876.2:611.018.4 В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, А.М. Кучвара ОБ УСЛОВИЯХ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В SIR-МОДЕЛЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭПИДЕМИОЛОГИИ Введение. Грипп и острые респираторные заболевания остаются одной из наиболее острых медицинских и социальных проблем в силу высокой заболевае- мости, риска развития осложнений, обострений хронических болезней и, как следствие, — летальности [1, 2]. Поэтому актуальной является разработка адек- ватных моделей распространения эпидемий. Сложность построения моделей со- пряжена с большим количеством факторов, которые влияют на развитие эпиде- мического процесса. Построение новых моделей связано с выбором тех или иных ведущих факторов. В [3–5] приводится обзор SIR-моделей, которые традиционно используются в математической эпидемиологии и построению которых посвящено немало ра- бот. В то же время менее изученным остается вопрос устойчивости SIR-моделей, которые, как правило, относятся к классу нелинейных. Поэтому цель данной работы — построение конструктивных условий асимп- тотической устойчивости в SIR-моделях эпидемий острых респираторных заболе- ваний. Исследование SLIAR-модели. Пусть N — размер рассматриваемой челове- ческой популяции. Предположим, она постоянная, т.е. на протяжении времени, когда рассматривается эпидемия (а это, как правило, несколько месяцев), смерт- ность от заболевания не влияет на размер популяции, а влияние естественной смертности µ покрывается рождаемостью, т.е. .0 NNN  Анализируются следующие компартменты, которые отвечают таким подпо- пуляциям: S — восприимчивые, L — латентные, I — инфицированные, A — асимптоматические, R — выздоровевшие лица. Итак, имеем диаграмму переход- ных состояний (рис. 1). L I A R µS µL µΑ µR µΙ pκL µN )( AIBS  Lp  )1( S Рис. 1 На ее основе рассматривается модель . ,)()1( ,)( ,)()( ,)( RAlR ALpA ILI LAISL SAISNS      (1) 126 ISSN 0572-2691 Уравнение для R в системе (1) можно изъять, поскольку для любого t const.)()()()()(  NtRtAtItLtS Итак, в качестве базовой рассматривается модель .)()1( ,)( ,)()( ),()( ALA ILI LAISL AISSNS     (2) Заметим, что биологически значащая область   LSRAILS 4),,,{( }NAI  положительно инвариантна для системы (2), поскольку векторное поле на границе Ω не выходит наружу Ω. Для анализа точек равновесия системы (2) введем параметр — показатель ре- продуктивности . )1( 0            pp (3) Его биологическое содержание заключается в том, что латентное лицо, попав в популяцию из 0S восприимчивых лиц, станет инфицированным с вероятностью p (в этом случае оно вызовет  /0S инфицирований на протяжении инфекционного периода длиной )/1  или же станет асимптоматическим с вероят- ностью p1 (в этом случае оно вызовет  /0S инфицирований на протяжении асимптоматического периода длиной η). Найдем состояния равновесия системы (2), которые принадлежат границе области :               .0 ,0)()1( ,0)( ,0)()( ,0)()( AILS AkLp IpkL LkAIS AISSN Отсюда )00,0,,(0 NE  — стационарное состояние, которое отвечает отсут- ствию заболевания. Введем обозначение . )( 1          pp Теорема 1. При 10  0E локально асимптотически устойчиво в  . Доказательство. Якобиан системы (2) имеет вид , )(0)1(0 0)(0 )()( 0)( )(                    SSAI SSAI EDF т.е. . )(0)1(0 0)(0 )(0 0 )( 0                    NN NN EDF Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 127 Собственными значениями )( 0EDF являются  и корни полинома ,)( 32 2 1 3 azazazzA  где ,31 a ,2232 2 2  NNNa  22 3 NNNNNa .32  N Согласно критерию Рауса–Гурвица для того, чтобы действительные части корней полинома были неположительными, необходимо и достаточно выполне- ния условия ,01 a ,03 a .0321  aaa Имеем  2232)( 2 2 Na                   2232 )( 2N .2232 2 1     N Поскольку                 )1()1( 0 P , получаем  )()( 2 3 NNa  322  )()( 2 NN          )(322 N             3222 )1( N                222 0 )( N  ][ 01 3 N .3222  Если ,10  то коэффициенты )(zA положительные. Также можно прове- рить, что .321 aaa  128 ISSN 0572-2691 Согласно критерию Рауса–Гурвица корни )(zA имеют отрицательные дей- ствительные части, если .10  Теорема доказана. Модель сосуществования двух штаммов гриппа. Модель предназначена для описания распространения разных штаммов вируса (например, пандемическо- го и сезонного гриппа). В модели делаются предположения: 1) не рассматриваются компартменты латентных лиц; 2) считается, что продвижение гриппа обязательно сопровождается наличием симптомов, т.е. отсутствует компартмент асимптоматически инфицированных; 3) общий размер популяции N считается постоянным. Итак, рассматривается диаграмма переходных состояний (рис. 2). Ι1 R µS µR µΙ1 1S1Ι1 µN S µR1 Y Y R1 Ι2 R2 2SΙ2 2Ι2 11R2Ι1 µY1 µY2 2Y2 22R2Ι21Ι1 µΙ2 µR2 1Y1 Рис. 2 Здесь мы имеем компартменты, которые отвечают таким подпопуляциям: S — восприимчивые, 1I – инфицированные первым штаммом вируса, 2I — ин- фицированные вторым штаммом вируса, 1R — выздоровевшие после первого штамма вируса, 2R — выздоровевшие после второго штамма вируса, 1Y — по- вторно инфицированные (но уже первым штаммом), 2Y — повторно инфициро- ванные (но уже вторым штаммом вируса), R — выздоровевшие после двойного инфицирования. На ее основе имеем систему: . ,,2,1,;)( ,,2,1,;)( ,2,1,)( ,)()( 2211 2211 RYYR jijiYIRY jijiRIIR iISII SIISNS iiijiii ijjjiii iiii      (4) Поскольку для любого t ,212121 NRYYRRIIS  то в последнем уравнении (4) R можно исключить и тогда будем иметь такую эпидемиологиче- скую систему: .)( ,)( ,)( ,)()( 2211 iiiiiii ijjjiii iiiii YIRY RIIR ISII SIISNS     (5) Здесь 2,1,, ji .ji  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 129 Биологически значимой областью для (5) является }.),,,,,,{( 212121 7 212121 NYYRRIISRYYRRIIS   Заметим, что Ω положительно инвариантно для системы (5), поскольку векторное поле на границе Ω не выходит за пределы Ω. Определим состояния равновесия системы (5), которые принадлежат грани- це Ω из системы алгебраических уравнений: .,2,1, ,0)( ,0)( ,0)( ,0)()( 2211 jiji YIR RII ISI SIISN iiijii ijjjii iiii      Имеем три состояния равновесия: ),0,0,0,0,0,0,(0 NE  ),0,0,0,,0,,S( 1111  RIE ).0,0,,0,,S( 2212  RIE Здесь , )( )( , )( )( , 11 111 1 11 11 1 1 1 1           N R N IS . )( )( , )( )( , 22 222 2 22 22 2 2 2 2           N R N IS Обозначив основные показатели репродуктивности ,, 2 2 2 1 1 1       NN имеем ),1(),1(, 1 1 1 11 1 1 1 1         RI R N S ).1(),1(, 2 2 2 22 2 2 2 2         RI R N S Состояния равновесия эпидемиологически можно трактовать так: 0E — от- сутствие заболевания; 1E — наличие лишь штамма 1; 2E — состояние наличия лишь штамма 2. Устойчивость состояний равновесия в модели сосуществования двух штаммов гриппа. Обозначим }.,{max 210  Если ,10  то 0E — един- ственное состояние равновесия в Ω. Если же ,10  то либо 1E , либо 2E , либо оба из них принадлежат Ω. Исследуем условия устойчивости состояния равновесия, которое отвечает от- сутствию заболевания. Теорема 2. Если ,10  то 0E локально асимптотически устойчиво в . Ес- ли ,10  то 0E — седловая точка. 130 ISSN 0572-2691 Доказательство. Якобиан системы (5) имеет вид )(EDF , 0000 0000 0000 0000 00000 00000 0000 2122122 1111211 1112111 2221221 2211 1111 212211                                 IR IR IR IR SI SI SSII (6) . 000000 000000 00000 00000 000000 000000 0000 )( 2 1 2 1 22 111 21 0                                 N N NN EDF )( 0EDF имеет собственные значения:  (кратности 3), ,(µ 1 ,(µ 2  ,(µµ 1111  N ).)((µµ 2222  N Итак, 0E локально асимптотически устойчиво, если 10  и является сед- ловой точкой при .10  Теорема доказана. Исследуем устойчивость состояний равновесия ,iE .2,1u При 11  со- стояние равновесия 1E находится в Ω. Его устойчивость определяется якобианом системы (5) в этой точке: , 00000 00000 0000 0000 000000 00000 0000 )( 2122 1111 1112111 1221 212 11111 221111 1                                        R I IR R S SI SSI EDF который имеет собственные значения ,)(),(),(, 1 1 2 2423121                     ]1[1 111 1 15           N и корни полинома     )2()()( 2 11 2 1 1 111 2 1 zzzA ].1[)()()( 111 2 1111 2  zzzz Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 131 Видно, что 04  , если .21  В свою очередь, ,05  если .111  Согласно критерию Рауса–Гурвица корни полинома )(1 zA имеют отрица- тельные действительные части тогда и только тогда, когда .11  Таким обра- зом, в целом имеем результат. Теорема 3. 1E — локально асимптотически устойчивое состояние систе- мы (5), если }1,1{max 11  и выполняется неравенство .12  (7) Если же неравенство (7) не имеет места, то 1E неустойчиво. Поскольку система (5) симметричная относительно штаммов вируса 1 и 2, то получаем аналогичный результат для состояния равновесия 2E . Теорема 4. 2E — локально асимптотически устойчивое состояние систе- мы (5), если }1,1{max 22  и выполняется неравенство .21  (8) Если же неравенство (8) не имеет места, то 2E неустойчиво. Поскольку для }1,1{max  ii неравенства (7) и (8) не могут выполнять- ся одновременно, то 1E и 2E не могут быть локально-устойчивыми при тех же значениях параметров системы. На рис. 3, 4 представлены области существования и устойчивости состояний равновесия .iE 1 1 0E 1E 2 1 2E Рис. 3 1 1 0E 1E 2 12  12  1 2E Рис. 4 Пример. Рассматривается система (5) со значениями параметров ,103,0,104,0,005,0,10 5 2 5 1 5  N .1,1,1428,0,1428,0 2121  В данном случае имеем ,706,2 1478,0 4,0 1428,0105 10104 3 56 1 1 1         N ,0298,2 1478,0 3,0 1428,0105 10103 3 56 2 2 2         N т.е. 21  и выполняются все условия теоремы 3. Результаты численного мо- делирования системы (5) представлены на рис. 5–11. 132 ISSN 0572-2691 0 200 400 600 800 1000 2 4 6 8 10 t  10 4 Рис. 5 0 200 400 600 800 1000 2 4 6 8 10 t 12 14  10 3 Рис. 6 0 200 400 600 800 1000 2 4 6 8 t  10 3 Рис. 7 0 200 400 600 800 1000 1 4 6 5 t 2 3  10 4 Рис. 8 0 200 400 600 800 1000 2 4 6 8 10 t 12 14  10 3 Рис. 9 0 200 400 600 800 1000 1 4 t 2 3  10 4 Рис. 10 Численное интегрирование показы- вает локальную асимптотическую устой- чивость стационарного состояния 1E . Заключение. Итак, в настоящей рабо- те изучается вопрос устойчивости SIR- моделей эпидемий острых респираторных вирусных инфекций (наиболее распро- страненным примером являются эпидемии гриппа). При рассмотрении SLIAR-модели эпидемии гриппа одного штамма вводится понятие показателя репродуктивности эпидемии, который показывает вероятное 0 200 400 600 800 1000 500 1000 1500 2000 2500 t Рис. 11 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 6 133 число инфицирований, которое может вызвать особь. Аналогичные понятия вво- дятся в модели сосуществования двух штаммов вируса. Следует отметить, что по- лученные условия устойчивости имеют явный биологический смысл. Обязатель- ное условие 1i указывает на необходимость сохранения того же числа инфи- цированных лиц, чтобы стационарное состояние наличия постоянного уровня i-го штамма вируса было устойчивым. Условие ji  указывает на преобладание распространения эпидемии для i-го штамма вируса над j-м, что ведет к стацио- нарному состоянию наличия лишь i-го штамма. В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, О.М. Кучвара ПРО УМОВИ АСИМПТОТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ В SIR-МОДЕЛЯХ МАТЕМАТИЧНОЇ ЕПІДЕМІОЛОГІЇ Розглянуто SLIAR-модель епідемії гострого респіраторного вірусного захво- рювання. Отримано умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану — відсутність захворювання. Також розглянуто модель співіснування двох штамів вірусу, для якої наведено умови стійкості трьох стаціонарних ста- нів. Умови стійкості виражаються в термінах показників репродуктивності ві- русів. V.P. Martsenyuk, I.Ye. Andrushchak, А.M. Kuchvara ON CONDITIONS OF ASYMPTOTIC STABILITY IN SIR-MODELS OF MATHEMATICAL EPIDEMIOLOGY SLIAR-model of epidemic of acute respiratory disease is considered. There were ob- tained conditions of local stability of stationary state corresponding to the absence of disease. Also there was considered the model of coexistence of two virus strains for which there were presented stability conditions for three stationary states. Stability conditions are expressed in terms of viruses reproduction rates. 1. Longini I.M., Halloran M.E., Nizam A., Yang Y. Containing pandemic influenza with antiviral agents // J. Epidem. — 2004. — 159. — P. 623–633. 2. Андрейчин М.А., Копча В.С. Проблеми грипу A/H1N1: минуле і сучасність // Інфекційні хвороби. — 2009. — № 4. — С. 5–19. 3. Марценюк В.П., Цяпа Н.В., Кашуба М.О. Інформаційно-статистичний підхід до моделю- вання розповсюдження інфекційного захворювання на прикладі епідемії ГРЗ в період жов- тень-листопад 2009 року в Тернопільській області // Там же. — 2009. — № 4. — С. 50–59. 4. Марценюк В.П., Цяпа Н.В. SIR-моделювання епідемії гострих респіраторних захворювань // Медична інформатика та інженерія. — 2009. — № 4. — С. 65–69. 5. Марценюк В.П., Цяпа Н.В., Кучвара О.М. , Андрущак І.Є. Компартментні моделі розвитку епідемій грипу з урахуванням доепідемічної вакцинації та противірусного лікування // Ме- дична інформатика та інженерія. — 2010. — № 3. — С. 54–57. Получено 24.03.2011
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207385
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:15:02Z
publishDate	2011
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Кучвара, А.М. 2025-10-06T18:46:20Z 2011 Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, А.М. Кучвара // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 6. — С. 125–133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207385 519.876.2:611.018.4 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i12.70 Розглянуто SLIAR-модель епідемії гострого респіраторного вірусного захворювання. Отримано умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану — відсутність захворювання. Також розглянуто модель співіснування двох штамів вірусу, для якої наведено умови стійкості трьох стаціонарних станів. Умови стійкості виражаються в термінах показників репродуктивності вірусів. SLIAR-model of epidemic of acute respiratory disease is considered. There were obtained conditions of local stability of stationary state corresponding to the absence of disease. Also there was considered the model of coexistence of two virus strains for which there were presented stability conditions for three stationary states. Stability conditions are expressed in terms of viruses reproduction rates. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление в биологических и природных системах Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии Про умови асимптотичної стійкості в SIR-моделях математичної епідеміології On Conditions of Asymptotic Stability in SIR-Models of Mathematical Epidemiology Article published earlier
spellingShingle	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Кучвара, А.М. Управление в биологических и природных системах
title	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии
title_alt	Про умови асимптотичної стійкості в SIR-моделях математичної епідеміології On Conditions of Asymptotic Stability in SIR-Models of Mathematical Epidemiology
title_full	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии
title_fullStr	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии
title_full_unstemmed	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии
title_short	Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии
title_sort	об условиях асимптотической устойчивости в sir-моделях математической эпидемиологии
topic	Управление в биологических и природных системах
topic_facet	Управление в биологических и природных системах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207385
work_keys_str_mv	AT marcenûkvp obusloviâhasimptotičeskoiustoičivostivsirmodelâhmatematičeskoiépidemiologii AT andruŝakie obusloviâhasimptotičeskoiustoičivostivsirmodelâhmatematičeskoiépidemiologii AT kučvaraam obusloviâhasimptotičeskoiustoičivostivsirmodelâhmatematičeskoiépidemiologii AT marcenûkvp proumoviasimptotičnoístíikostívsirmodelâhmatematičnoíepídemíologíí AT andruŝakie proumoviasimptotičnoístíikostívsirmodelâhmatematičnoíepídemíologíí AT kučvaraam proumoviasimptotičnoístíikostívsirmodelâhmatematičnoíepídemíologíí AT marcenûkvp onconditionsofasymptoticstabilityinsirmodelsofmathematicalepidemiology AT andruŝakie onconditionsofasymptoticstabilityinsirmodelsofmathematicalepidemiology AT kučvaraam onconditionsofasymptoticstabilityinsirmodelsofmathematicalepidemiology

Об условиях асимптотической устойчивости в SIR-моделях математической эпидемиологии

Institution

Ähnliche Einträge