Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов

Розглянуто деякі задачі керування групою рухомих роботів, що мають певну масу і момент інерції та обладнаних пристроями для визначення свого положення в заданій двовимірній системі координат. Показано, що наявність неконтрольованих збурень, які діють на роботів, не дозволяє в загальному випадку розв...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
1. Verfasser:	Кунцевич, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207443
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 5–18. — Бібліогр.: 12 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207443
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2074432025-10-08T00:10:56Z Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов Деякі задачі керування груповим рухом рухомих роботів Problems of Control of Team Motion for Moving Robots Кунцевич, В.М. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто деякі задачі керування групою рухомих роботів, що мають певну масу і момент інерції та обладнаних пристроями для визначення свого положення в заданій двовимірній системі координат. Показано, що наявність неконтрольованих збурень, які діють на роботів, не дозволяє в загальному випадку розв’язати задачу керування рухом групи роботів, застосовуючи тільки програмне керування і стратегію «ведучий–ведений». Використовуючи декомпозицію загальної задачі керування груповим рухом, запропоновано ієрархічну дворівневу систему керування, яка поєднує програмне і позиційне (зі зворотним зв’язком) керування. Запропоновано такі алгоритми керування зі зворотним зв’язком, які дозволяють розв’язати досить широкий набір типових рухів групи роботів, а також за наявності фазових обмежень. The control problem of team motion of moving robots that have certain masses and moments of inertia is considered. These robots are supposed to have navigation systems onboard for calculation of locations on the given 2-D plane. It is shown that generally in the presence of uncontrolled disturbances, the team motion control problem cannot be solved with application of a "leader-follower" strategy and program control. We decompose the team motion control problem and present a 2-tier hierarchical control system which includes both program and positional (feedback) control. The presented algorithms of feedback control calculation are applicable to a wide range of typical team motions of robots, also under phase constraints. 2012 Article Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 5–18. — Бібліогр.: 12 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207443 621.391 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i1.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Кунцевич, В.М. Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто деякі задачі керування групою рухомих роботів, що мають певну масу і момент інерції та обладнаних пристроями для визначення свого положення в заданій двовимірній системі координат. Показано, що наявність неконтрольованих збурень, які діють на роботів, не дозволяє в загальному випадку розв’язати задачу керування рухом групи роботів, застосовуючи тільки програмне керування і стратегію «ведучий–ведений». Використовуючи декомпозицію загальної задачі керування груповим рухом, запропоновано ієрархічну дворівневу систему керування, яка поєднує програмне і позиційне (зі зворотним зв’язком) керування. Запропоновано такі алгоритми керування зі зворотним зв’язком, які дозволяють розв’язати досить широкий набір типових рухів групи роботів, а також за наявності фазових обмежень.
format	Article
author	Кунцевич, В.М.
author_facet	Кунцевич, В.М.
author_sort	Кунцевич, В.М.
title	Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов
title_short	Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов
title_full	Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов
title_fullStr	Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов
title_full_unstemmed	Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов
title_sort	некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207443
citation_txt	Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 5–18. — Бібліогр.: 12 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kuncevičvm nekotoryezadačiupravleniâgruppovymdviženiempodvižnyhrobotov AT kuncevičvm deâkízadačíkeruvannâgrupovimruhomruhomihrobotív AT kuncevičvm problemsofcontrolofteammotionformovingrobots
first_indexed	2025-12-02T02:40:08Z
last_indexed	2025-12-02T02:40:08Z
_version_	1850362533812109312
fulltext	© В.М. КУНЦЕВИЧ, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 621.391 В.М. Кунцевич НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ГРУППОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПОДВИЖНЫХ РОБОТОВ Введение Стремительный прогресс в области конструирования и промышленного про- изводства подвижных роботов различных классов, а также и результаты их успешного применения в различных сферах выдвигают на повестку дня проблему управления групповым движением роботов при выполнении ими таких коллек- тивных операций, которые в силу тех или иных причин не могут быть выполнены эффективно отдельными роботами. К их числу следует отнести такие операции, как взятие проб воды в акваториях крупных портов, поиск и обнаружение каких- либо объектов на суше и в морской акватории, гашение крупномасштабных лес- ных пожаров, обработка ядохимикатами заданных районов и ряд других. Пробле- ме управления групповым движением подвижных роботов посвящена достаточно обширная литература (см., например [1–5]). Настоящая работа инициирована до- кладом А.Б. Куржанского [6], посвященным анализу тенденций развития совре- менной теории управления, в котором проблема управления групповым движени- ем роботов отнесена к одной из наиболее актуальных. Общая задача управления групповым движением подвижных роботов состо- ит из двух основных самостоятельных задач: формулирование цели и программы миссии, выполнение которой возлагается на группу роботов, и реализация выпол- нения заданной программы миссии во времени и в пространстве. Такая естествен- ная декомпозиция общей задачи управления групповым движением роботов пред- определяет и иерархическую структуру системы управления заданной группой роботов. На первом уровне системы управления — центре управления движением (ЦУД) — решается «кинематическая» задача, т.е. без учета динамики управляе- мых роботов, разрабатывается подробная программа перемещения во времени и в пространстве отдельных роботов группы для формирования требуемой для вы- полнения заданной технологической операции конфигурации группы и далее — программа заданного группового движения для ее выполнении. При этом учиты- ваются неизбежные ограничения, присущие элементам группы, такие, например, как диапазоны варьирования их скоростей, их маневренные качества, а также наличие неконтролируемых возмущений и возможных ограничений при движе- нии группы, порождаемые особенностями района их функционирования (фазовые ограничения). Решение второй задачи, т.е. реализации заданной программы движения и вы- полнение технологических операций, возлагается на сеть локальных систем управления отдельными роботами. При этом предполагается наличие системы  Работа выполнена в рамках Российско-украинского проекта (проект №09-01-90431-Укр_Ф_а) при финансовой поддержке Национальной академии наук Украины (проект 20-01-10). 6 ISSN 0572-2691 приема и передачи информации, необходимой для реализации намеченной про- граммы движения, включая информацию о местоположении каждого элемента группы в заданной неподвижной системе координат. Строгое сохранение заданной конфигурации группы подвижных роботов в общем случае (в отличие от официальных воздушных и морских парадов, для ко- торых это является главной и единственной целью), вообще говоря, не является обязательным. Тем не менее при выполнении группой роботов некоторых опера- ций это требование должно выполняться. Ниже рассмотрим некоторые задачи управления групповым движением на плоскости группы подвижных роботов, об- ладающих определенной массой и моментом инерции. Такими роботами могут быть беспилотные летательные аппараты, автономные надводные и подводные аппараты, транспортные роботы и др. (см., например, [1]). 1. Математическая модель управляемого подвижного робота Пусть имеется группа N управляемых однотипных подвижных роботов, оснащенных соответствующими системами приема и передачи информации, управляющей и измерительной аппаратурой, состав которой будет оговорен ниже. В отличие от ряда работ, в которых группа подвижных роботов рассматривается как набор точек, для описания движения которых используются лишь уравнения кинематики (см., например, [1]), ниже принимается, что роботы обладают опреде- ленной массой и моментом инерции. Следовательно, для описания их движения необходимо использовать уравнение динамики. На плоскости xOy роботы могут совершать управляемое поступательное движение своего центра масс и совершать вращательное движение вокруг него. Рассмотрим простейшую модель управляемого робота. Каждый i-й робот группы, ,;1 Ni  представляет собой несущую балку длиной 2l с массой, равной m. Вдоль оси балки каждого i-го робота под варьируемым углом i )5,0( i действует варьируемая по величине в пределах от 0 до  сила .iF Под действием продольной силы iii FF  cos центр масс i-го робота совершает поступательное движение вдоль своей оси, а под действием поперечной силы iii FF  sin он со- вершает вращение вокруг своего центра масс. Поступательное движение центра масс описывается уравнениями ,;1, NifFxkxm ixx   (1) ,;1, NifFykym iyy   (2) где  cosFFx — проекция силы F  на ось Ox;  sinFFx — проекция силы F  на ось Oy;  — угол между продольной осью робота и осью Ox; ixf и iyf — неконтролируемые силы (возмущения), действующие вдоль осей Ox и Oy соот- ветственно; k — коэффициент вязкого трения. При 0i вращательное движение i-го робота вокруг центра масс описыва- ется уравнением ,;1,sin NilFJ iii   (3) где i — угол поворота вокруг центра масс; I — момент инерции;  — коэффи- циент вязкого трения; i — неконтролируемый возмущающий момент, l — рас- стояние от центра масс до точки приложения силы iF . Если угол ,0i ,;1 Ni  то одновременно с вращением i-го робота вокруг его центра масс сам центр масс также совершает вращательное движение, что предопределяет возможные траек- тории движения робота. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 7 Математические модели (1)–(3) в первом приближении описывают движение надводных, подводных и наземных колесных роботов, а также беспилотных воз- душных аппаратов. Отметим, что из уравнений (1), (3) следует, что управляемыми являются только ускорения поступательного и вращательного движения робота, а его не- управляемое торможение осуществляется лишь силами вязкого трения. Решение задачи управления группой роботов требует прежде всего знания коор- динат центра масс ,;1, Nizi  в заданной неподвижной системе координат .xOy Примем, что при управлении групповым движением беспилотных автономных подводных роботов необходимая информация о координатах робота поступает от их инерциальных систем навигации (см., например, [1]), а для наземных транс- портных роботов, беспилотных летательных аппаратов и космических аппаратов необходимая информация поступает от системы GPS или ГЛОНАСС и у каждого робота имеется приемник сигналов этих систем, информирующий о векторах .;1, Nizi  Примем также, что каждый робот снабжен датчиками угловых и ли- нейных ускорений, позволяющих после интегрирования получить значения угло- вых скоростей и углов поворота и линейных скоростей робота. По соображениям безопасности группового движения требуется выполнение неравенств ,1   iii zzz где ,1;1},,{max),(T  Niyxyxz iiiii (4) а для сохранения заданной конфигурации группы вместо нестрогих неравенств (4) тре- буется выполнение условий .1;1;  Niz i (5) В дополнение к ограничениям (4), (5) введем еще одно ограничение на вза- имное расположение роботов , iz ,1;1  Ni  — заданное число. Далее группой из 2N элементов будем называть такую мультиагентную систему, для которой их взаимное расположение в состоянии покоя либо в режи- ме равномерного поступательного или вращательного движения выполняется приведенное двухстороннее неравенство. В настоящее время для управления групповым движением роботов достаточ- но часто предлагается использование принципа «ведущий–ведомый» (см., напри- мер, [1, 2, 5]), в соответствии с которым «ведомый», двигаясь с той же скоростью, что и «ведущий», в каждый момент времени направляет свой вектор скорости на «ведущего». Поскольку такой алгоритм управления групповым движением робо- тов имеет ограниченную область применения — он, в частности, неприменим при управлении группой роботов в конфигурации кильватерная колонна, необходи- мой при прохождении узкого криволинейного коридора и при реализации ряда других технологических операций, поэтому мы не будем рассматривать его ис- пользование. 2. Основные формы группового движения Ниже рассмотрим лишь две конфигурации расположения 2N роботов, как наиболее часто используемые при выполнении технологических операций: ше- ренга и, пользуясь морской терминологией, кильватерная колонна и их пере- ходные формы при различного рода реконфигурациях группы. Поступательное движение группы. Рассмотрим реализацию программы миссии движения группы роботов вдоль заданной прямой со скоростью .   Чтобы 8 ISSN 0572-2691 не перегружать изложение второстепенными деталями, без потери общности при- мем, что цель миссии заключается в том, что требуется при сохранении заданной конфигурации группы осуществить движение вдоль оси Оу группы, выстроенной шеренгой по одному вдоль оси Ох, со скоростью .   При этом примем, что при 0t координаты элементов группы заданы в виде ,0 1 xx  ,1   ixx ii ;;2 Ni  ,0yyi  ,;1 Ni  скорости — ,0)0( i ,;1 Ni  и углы — ,5,0)0( i .;1 Ni  По команде от ЦУД при 0t продольные силы iF задаются в виде .;1; NikFi   (6) Подставив (4) в (1), получим уравнение движения i-го робота ,;1; Nifkykym yiii   (7) где yif — неконтролируемая внешняя сила, действующая на i-й элемент вдоль оси Оу. При условии, что constyif , из (7) получаем ),(1 tfky yiii   .)]([)( 0 1    t yii dfkty (8) Из (8) следует, что при ,0yif где ,,;1, ijNji  ,ji yy  не только не га- рантируется выполнение равенств (5) (условие сохранения заданной конфигура- ции группы), но в общем случае с учетом неизбежной неидентичности парамет- ров роботов не гарантируется выполнение условий безопасности движения (4). Поэтому откажемся от использования только программного управления группо- вым движением и воспользуемся сочетанием программного и позиционного (с обратной связью) управлений. Для этого необходима определенная организация управления групповым движением на локальном уровне. Рассмотрим такое постро- ение локальных систем управления элементами группы, которая обеспечивает при ее движении сохранение заданной конфигурации (что может быть необходимым при выполнении технологических операций), т.е. выполнение равенств (5). Для этого на первый робот возложим функцию лидера, это означает, что только его скорость, т.е.  )(1 ty , задается ЦУД. Далее примем, что каждый i-й робот, начиная с первого, передает )1( i -му роботу информацию о величинах )(tzi и )(tzi (в рассматриваемом случае только )(tyi и )).(tyi Для лидера группы ал- горитм управления его движения по команде ЦУД при 0t принимается в виде классического ПИ-регулятора, т.е. ,)]([))(( 0 12111    t dyktykF  (9) где 0,0 21  kk — варьируемые параметры. Приняв, что const,1 yf продифференцировав (1) и подставив результат в уравнение (9), после введения обозначения 11 y с учетом (6) получим .)( 212111   kkkkm  (10) Если варьируемые параметры 01 k и 02 k выбраны так, что при 0)0(1  обеспечивается монотонный характер изменения скорости )(1 t к своему стацио- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 9 нарному (при )011   значению ,)(11   ty то при этом величина ,1F  определяемая выражением (10), удовлетворяет условию .01 F В том случае, ко- гда ,)0(1   то поскольку требуемая для снижения скорости 1 до величины   сила ,1F  определяемая выражением (9), отрицательна, то, как уже отмечалось выше, она физически нереализуема. При этом движение первого робота описыва- ется уравнением (2): .111 yfykym   (11) Если при 0t ,)0(1  y то скорость )(1 ty убывает по экспоненте с ее показа- телем, равным ,1 1 kmp  до величины   1 1 1 ~ fky и, начиная с момента вре- мени 1t (при этом справедливо равенство ),)( 11  ty и далее, движение первого ро- бота описывается уравнением (10). Для всех остальных i роботов группы, где ,;2 Ni  алгоритмы управления ими по команде ЦУД при 0t принимаются в виде    t iiiii dyykyykF 0 1211 )]()([)(  .)]()([)( 0 1413    t iiii dyykyyk (12) Повторив описанную выше процедуру с дифференцированием выражений (2), (12) при ,constyif ,;2 Ni  получим .;2,)()()( 14132114321 Niykykkykykykkykkym iiiiiii    (13) Отметим, что соответствующим выбором параметров ,4;1, jk j всегда можно обеспечить выполнение необходимого и достаточного условия асимптоти- ческой устойчивости ))(( 3214 kkkkmk  решения однородного дифференци- ального уравнения .0)()( 4321  iiii ykykkykkym  Нетрудно убедиться, что если const11   iiy и, следовательно, ,)( 11 tty ii   то стационарное движение системы (13) )0(  ii yy  имеет вид .)( 1tvty ii   Следовательно, алгоритмы управления движением (12) при ,constyif ,;2 Ni  обеспечивают в асимптотике выполнение условий ,01   iii yyy т.е. условий сохранения заданной конфигурации группы (5). Эти же алгоритмы управления в определенной мере обеспечивают компенсацию и медленно изменяющихся возму- щающих сил yif тем полнее, чем больше коэффициенты усиления 2k для лидера группы и суммы коэффициентов )( 32 kk  для остальных элементов группы. Из (12) следует, что системы управления всех )1( N роботов, начиная со второго, функционируют в режиме слежения: )1( i -й робот отслеживает движе- ние i-го робота и благодаря введению в алгоритмы (12) интеграла величины рас- согласования скоростей i-го и )1( i -го роботов, 1;1  Ni (что придает замкну- тым системам (10) и (13) астатизм первого порядка) устраняется скоростная со- ставляющая рассогласования скоростей движения двух соседних роботов. 10 ISSN 0572-2691 При реализации управления движением группы с постоянной скоростью   в произвольном направлении, заданном своими проекциями на оси Ох и Оу в ви- де x   и y   , приведенные выше алгоритмы управления как лидером группы, так и всеми остальными )1( N роботами трансформируются очевидным образом. Алгоритм управления движением лидера (9) по команде ЦУД при 0t принима- ется в виде ,)]()([)( 0 12111    t xxx dxkxkF  (14) .)]()([)( 0 12111    t yyy dykykF  (15) Аналогичным образом алгоритм управления i-м роботом (12), ,;2 Ni  по команде ЦУД при 0t принимается в виде    t iiiiix dxxkxxkF 0 1211 )]()([)(  ,;2,)]()([)( 0 1413 Nidxxkxxk t iiii    (16)    t iiiiy dyykyykF 0 11211 )]()([)(  ,;2,)]()([)( 0 1413 Nidyykyyk t iiii    (17) ixF  и iyF  — соответственно проекции сил iF на оси Ох и Оу. Нетрудно убедиться, что использование алгоритмов управления (9), (14)–(17) обеспечивает прямолинейному групповому движению в произвольном направлении те же свойства, что были отмечены выше при движении вдоль оси Оу. Рассмотрим теперь движение группы в составе кильватерной колонны, кото- рая должна совершать поступательное движение по прямой. Примем, что движе- ние группы должно осуществляться параллельно оси Оу. Начальные условия та- ковы: продольные оси всех i роботов параллельны оси Оу, ;;1,00 Nixx i  ,;2,, 10001 Niyyyy ii   требуемая скорость, как и выше,   . По команде из ЦУД при 0t все углы ,;1, Nii  устанавливаются равными нулю. Для ли- дера алгоритм управления его движением сохраняется прежним (9), а алгоритмы управления всеми остальными )1( i роботами группы вместо (12) принимаются в виде (16), (17). Рассмотрим реализацию программы движения роботов по концентрическим окружностям или их дугам. Такой вид группового движения требуется как само- стоятельный при патрулировании некоторой заданной области, так и при разного рода вспомогательных операциях, связанных с реконфигурацией группы. При 0i движение i-го робота описывается уравнениями (1)–(3). Вначале примем, что 0if и ,0i .;1 Ni  Пусть сила const.iF Покажем, что при этом под действием вращающего момента iii lFM  sin i-й робот вращается во- круг своего центра масс, а сам центр масс под действием продольной силы Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 11 iii FF  cos движется по окружности. Действительно, стационарное движение системы (3) )0( i имеет вид ,;1,sin1 NilF iiii   (18) а стационарное движение )0(  yx  центра масс системы (1), (2) описывается уравнениями ,cos)cos( 1 tFkx iiiiix   ,sin)sin( 1 tFky iiiiiy   .;1 Ni  (19) Уравнения (19) в параметрической форме определяют движение системы (1), (2) по окружности . 1 )()( 22 22   k tytx (20) Из (20) следует, что для вращения каждого i-го робота с угловой скоростью   по концентрическим окружностям с радиусами ,;1,, 11 NiRRRR ii    (21) с центрами в начале координат к каждому i-му роботу необходимо приложить силу ,;2),(,11 NiRkFFkRF ii  (22) и установить углы .;1);2(Arcsin 11 NiFl ii   (23) Принимая во внимание неизбежное наличие неконтролируемых сил и момен- тов, и как следствие этого, отклонение действительных параметров движения от их заданных значений, как и выше, используем сочетание программного и позицион- ного управлений. Радиус окружности, по которой должен совершать свое движение i-й робот, непосредственно не измеряется. Его косвенное определение по соотно- шению iiiR  / из-за наличия помех  i измерения величины i непри- емлемо, так как возможны случаи, когда .0~  iii Поэтому контроль за поддержанием заданных значений радиусов окружностей ,iR  по которым долж- но выполняться движение i-го робота, необходимо осуществлять косвенно, под- держивая скорости i на их заданных значениях ,ii R   ,;1 Ni  предполагая при этом, что угловые скорости вращения i также поддерживаются на своем за- данном значении   . При 0t от ЦУД лидеру группы передается команда начать движение по окружности радиуса 1  R со скоростью .  i Для выполнения этой команды проекции ,1xF  yF1 продольной силы 111 cos FF на оси Ох и Оу соответствен- но регулируются алгоритмами (14), (15). Отметим, что одновременное выполнение условий ,cos iii FF   ,sin iii FF   ,;1 Ni  возможно лишь при соблюдении требования iii FF   tg/ или .;1,)/(Arctg NiFF iii   При этом необходимая для управления угловой скоростью вращения i по- перечная сила   i F определяется из соотношения .;1;sin NiFF iii   12 ISSN 0572-2691 Для реализации момента вращения 1 1 1 FlM   алгоритм управления угло- вой скоростью вращения 1 лидера примем в виде .)]([)( 0 1111    dF t  (24) Из совместного решения уравнений (3) и (24) при const1  имеем .)( 1111   J (25) Стационарное движение системы (25) )0( 11   получаем в виде .11   Алгоритмы управления угловыми скоростями i остальных N;2 элементов группы имеют вид    dF t iiiii 0 1211 )]()([)(  .;2;)]()([)( 0 1413 Nid t iiii    (26) Из совместного решения уравнений (25) и (26) при const1  получим .;2;)()()( 14132114321 NiJ iiiiiii    (27) Стационарное движение системы (27) const( 11  i и )ii   из (27) име- ет вид ,)()( 11 tt iii    .;2 Ni  Таким образом, алгоритмы управления (27) угловыми скоростями 1i при ,;2,const1 Nii   обеспечивают в асимптоти- ке выполнение условий ,01   iii т.е. условий сохранения заданной конфигурации группы. Рассмотрим теперь управление движением кильватерной колонны по окруж- ности заданного радиуса  R с угловой скоростью   при таких начальных услови- ях: ,0ix ;;1 Ni  ;01 y   5,0;;2,1 iii Niyy (отсчет против часо- вой стрелки); ,0i  ;;1 Ni  .;1, Niyx ii   При 0t по команде ЦУД лидер группы начинает движение по окружности радиуса ,1   RR что означает начи- нать движение его центра масс со скоростью ,1   R где   — заданная уг- ловая скорость вращения вокруг центра масс. Для этого проекции xF1 и yF1 силы 111 cos FF на оси Ох и Оу соответственно так же, как и выше, регулируются алгоритмами (14), (15), а проекции xF1 , yF1 поперечной силы 111 sin FF , где ,;2 Ni  регулирует алгоритм (24) при замене в них величин ,0ix ;;1 Ni  ;01 y ,;1,0,2/;;2,1 NiNipyy iiii    и 1iy соответственно ве- личинами  1x и  1y , где xx  1 и yy  1 — проекции скорости   соответ- ственно на оси Ох и Оу. При 0t все i роботов, где ,;2 Ni  начинают движение с заданной скоро- стью   вдоль оси Оу; скорость 2 второго робота управляется алгоритмом (9). При 2tt  , когда ,02 y второй робот начинает свое движение по окружности радиуса  R со скоростью .2   R Проекции xF2 и yF2 силы 2F на оси Ох и Оу соответственно управляются алгоритмами (14), (15). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 13 Управление угловой скоростью вращения 2 вокруг центра масс второго робота осуществляется алгоритмом (26), при этом значение угла 1 заменяется значением угла ,~ 11  где  — значение угла ,21  соответ- ствующее заданному по соображениям безопасности группового движения рас- стоянию  между элементами 1 и 2, т.е. ,Arctg2  где .25,0/5,0 22   R В момент времени ,3t когда ,0)( 33 ty третий робот начинает свое движе- ние по окружности радиуса  R со скоростью   . При этом алгоритмы управления его движением аналогичны алгоритмам управления движением второго робота. Далее вся описанная процедура повторяется для всех остальных роботов. Рассмотрим реализацию программы группового движения, необходимой при проведении сканирования некоторой области * z для поиска в ней с помощью со- ответствующей аппаратуры некоторого объекта. Примем, что область * z задана в виде , ** zz  z где },)(:{ 5,0T 2 rzzzz z 0 z — координаты центра области * z , * r — заданное число. Будем считать, что окно сканирования L каждого робота равно .2L Без потери общности примем, что при 0t конфигурация группы роботов — шерен- га, выстроенная вдоль положительной полуоси Оу. Координаты роботов таковы: ,0ix ;;;1 ** 1 ryyNi  ,1;1,1  Niyy ii углы .;1,0 Nii  Для выполнения поставленной цели: сканирования области * z при ,0t все роботы начинают поступательное движение со скоростью   параллельно оси Ох до момента времени ,1t когда роботы достигнут соответственно точек с коорди- натами .1;1,;;;1, 1 ** 1 *   NiyyryyNixx iii При этом первый робот выполняет функции лидера группы, а для управления движением группы вдоль оси Ох используются описанные выше алгоритмы. При 1tt  изменение во вре- мени координат iz всех роботов должно осуществляться следующим образом: ,;1,cos)( / NiteRtx t ii   .;1,sin)( / NiteRty t ii   (28) Уравнения (28) в параметрической форме определяют, что движение i-го ро- бота осуществляется по спирали  /2222 )()( t iii eRtytx при 1tt  . (29) Нетрудно показать, что при выполнении одного полного оборота группы во- круг точки , * z т.е. за время * /2 T , сканируется область Iz в виде кольца ,}:{ * rzrz II z где ,)1(  Nrr I ширина которого равна  III rrr .])1(1[  Nr Если область * z , которую необходимо просканировать с помощью группы роботов, задана в виде прямоугольника },{conv 4;1 * i i z  z где iz — i-я вершина обла- сти * z , то эта задача решается при использовании сочетания описанных выше ал- горитмов управления поступательного движения вдоль граней области * z с разво- ротами на углы . Иногда реализовать операцию группового сканирования за- 14 ISSN 0572-2691 данной области * z предпочтительнее иным образом, а именно: начать реализацию этой операции, поместив лидера группы в точку ),( ** 0  yxz и при 0t начать движение шеренги по спирали в другом направлении, заменив уравнения движе- ния (28) уравнениями .;1;sin)(;cos)( // NiteRtyteRtx t ii t ii   Реконфигурация группы роботов. В некоторых случаях при выполнении за- данной программы функционирования группы роботов возникает необходимость их реконфигурации, например, шеренгу необходимо перестроить в кильватерную колонну или наоборот. Рассмотрим реконфигурацию шеренги в кильватерную ко- лонну. Пусть при 0t положение элементов группы было таково: ,01 x ,01 y ,01  а координаты остальных )1( N роботов равны: ,1  ii xx ,0iy ,0i ,2/i Ni ;2 . Рассмотрим сначала более простую с точки зрения ее реализации операцию реконфигурации шеренги в кильватерную колонну, выстро- енную вдоль оси Ox. Разворот шеренги в кильватерную колонну со сменой лидера. Для реализа- ции этой операции требуется разворот продольных осей роботов из начального поло- жения, когда все они ориентированы вдоль оси, параллельной оси Oy, в требуемое положение, когда они направлены вдоль оси, параллельной оси Ox. Однако, как от- мечалось выше, при повороте робота вокруг центра масс одновременно с этим про- исходит и вращение самого центра масс. Поэтому реконфигурация группы робо- тов осуществляется по траекториям, показанным на рис. 1. y y0 0 1 1 O1 S1 R1 R1 H1 N N  ON SN R1 R1 HN x Рис. 1 Итак, шеренгу требуется перестроить в кильватерную колонну так, чтобы ро- бот № 1 занял положение в точке 1 с координатами   ,1 xx 01 y и угол 01  , а положение i-х элементов, где Ni ;2 , должно быть таковым: ,12   xx  1ii xx , где ,;3 Ni  ,0i Ni ;1 . При выполнении рассматриваемой ре- конфигурации функции лидера переходят к роботу № 1. Пусть при 0t первый робот находится в точке 1, а N-й робот — в точке N (см. рис. 1), а при ,2tt  когда первый робот переместится в точку 1 , координата Nx N-го робота должна быть равной   )1(1 NxxN (точка N  на рис. 1). Для выполнения заданной реконфигурации группы необходимо, чтобы пер- вый робот, совершив вращение своего центра масс по часовой стрелке по дуге окружности радиуса 1R с угловой скоростью ,1   придя в момент времени 1tt  в точку 1H , точнее говоря, в ее -окрестность, определяемую погрешно- стью измерения координат 11, yx робота, продолжал свое вращение с угловой скоростью  1 против часовой стрелки по дуге окружности радиуса 1R с ли- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 15 нейной скоростью 11 R   до момента времени 2tt  , когда .0)( 21 ty Коорди- наты точки 1H — точки перемены направления угловой скорости вращения и точки, в которой есть общая касательная к дуге окружности радиуса 1R и к дуге окружности радиуса ,1R которая имеет своей касательной ось Ох, определяются из решения задачи прямоугольных треугольников, подобных треугольнику NSO NN  (см. рис. 1). Остальные )1( N роботов совершают аналогичные вращения по часовой стрелке с угловыми скоростями ,  i Ni ;2 , до точек ,iH ,;2 Ni  в кото- рых происходят изменения направления их угловых скоростей вращения на про- тивоположное и продолжают вращение с угловыми скоростями ,  i ,;2 Ni  и линейными скоростями ,Ni R   .;2 Ni  При выполнении описанных ма- невров управление угловыми и линейными скоростями движения осуществляется с помощью изложенных выше алгоритмов. Для того чтобы в тот момент, когда координаты всех элементов группы стали равными их указанным значениям и группа могла продолжить свое движение в конфигурации кильватерная колонна, необходимо выполнение требования ,Ni  где .1;1  Ni В некоторых случаях смена лидера группы при ее реконфигурации в силу тех или иных причин нежелательна. Разворот шеренги в кильватерную колонну без смены лидера группы. Траектории движения роботов при такой реконфигурации группы показаны на рис. 2. Так как в процессе реконфигурации роботы проходят различные пути, то для одновременного занятия ими нового положения вдоль оси Ox осуществляется соответствующее согласование скоростей их вращения по дугам окружностей различных радиусов. y y0 0 1 1 S1 R1 HN N N  O1 SN H1 x RN RN RN Рис. 2 Реконфигурация шеренги в кильватерную колонну вдоль оси Ох со сме- ной лидера. Рассмотрим теперь реконфигурацию шеренги в кильватерную ко- лонну, выстроенную вдоль положительной полуоси Оу, которая должна продол- жить свое движение вдоль оси Оу со скоростью .2 В этом случае лидер группы начинает движение вдоль оси Оу, а все остальные роботы, начиная со второго, выполняют развороты по дугам окружностей соответствующих радиусов с изме- нением направления вращения на противоположное, когда они достигают заранее заданных точек, точнее говоря, их -окрестностей, принимая во внимание по- грешности в определении своих координат на плоскости хОу. 16 ISSN 0572-2691 По существу процедуры, аналогичные рассмотренным выше, требуются и при реконфигурации кильватерной колонны в шеренгу, на чем мы уже останавли- ваться не будем. 3. Движение группы роботов при фазовых ограничениях Рассмотрим движение группы роботов, выстроенных в кильватерную колон- ну, по заданному узкому криволинейному коридору (движение колонны при наличии фазовых ограничений). Пусть требуется выполнить переход лидера ко- лонны, а вслед за ним и всей колонны из точки A в точку H (рис. 3). Но движение колонны по прямой AH в силу тех или иных причин невозможно и с учетом за- данных ограничений движение возможно лишь по указанному на рис. 4 узкому коридору BH, аппроксимированному непрерывно дифференцированной кривой, состоящей из отрезков прямых и дуг окружностей с радиусами соответственно ,1R ,2R 3R с центрами этих окружностей в точках .,, 321 OOO Для управления движением колонны по дугам окружностей и отрезкам прямых используются описанные выше алгоритмы. y 0 x A B C D E G H R2 2 O1 R1 O2 Рис. 3 Фазовые ограничения при дви- жении группы роботов в конфигура- ции шеренга могут существовать и в другой форме, когда возникает необ- ходимость обойти замкнутое ограни- ченное множество * X с его радиусом, равным )( * XR (рис. 4). Один из воз- можных сценариев обхода множества * X состоит в том, что группа из N ро- ботов разделяется на две подгруппы и в каждой из них функции лидера возлагаются на одного из роботов подгруппы. Маршрут обхода препят- ствия * X составляется в ЦУД, а его реализация осуществляется локальной сетью управления по описанным выше алгоритмам. Заключение Анализ управления групповым движением роботов, основанный на исполь- зовании их простейших линейных моделей, позволил получить важные каче- ственные результаты. Показано, что использование только программного управ- y 0 x O2 R1 2 1 O1 R1 R1 R1 R2 R2  X ' 1O ' 2O  O Рис. 4 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 17 ления при наличии неконтролируемых возмущений и неизбежного отличия пара- метров роботов от их расчетных значений не позволяет выполнить требования, предъявляемые к движениям роботов в составе группы. Управление групповым движением роботов по предложенной схеме, сочетающей программное и позици- онное (с обратной связью) управления, при использовании описанных выше алго- ритмов управления позволяет удовлетворить основным требованиям, предъявля- емым к движению роботов в составе группы заданной конфигурации. При проведении анализа управления групповым движением было принято, что все необходимые для реализации рассмотренных алгоритмов величины изме- ряются без погрешностей. Количественный анализ влияния неизбежных в реаль- ных условиях помех измерений на характеристики группового движения, учиты- вая, что оно осуществляется на конечном отрезке времени, возможен лишь при проведении компьютерного моделирования. Нетрудно показать, что все полученные выше результаты очевидным обра- зом переносятся на другие конфигурации роботов, такие, например, как пирамида (клин) и ряд других правильных геометрических фигур. Рано или поздно возникает необходимость в какой-то момент времени оста- новить движение группы. Пусть при ,   tt когда ,0iF i-й робот имел скорость .  i Торможение робота происходит лишь за счет силы вязкого трения, и его скорость убывает экспоненциально с показателем экспоненты .1 km Вре- мя T, за которое скорость i снизится до величины , когда можно уже «бросать якоря», может оказаться недопустимо .мбольши' Уменьшения времени T можно до- биться лишь за счет применения «тормозных парашютов», существенно увеличива- ющих силу вязкого трения и уменьшающих благодаря этому время торможения T. Выше рассматривались задачи управления групповым движением роботов при выполнении ими некоторых задач в мирных целях. Но, очевидно, что терро- ристическими организациями специальные группы подвижных роботов могут ис- пользоваться при попытках совершить нападения на объекты стратегического назначения. В свою очередь, для отражения подобного рода атак могут использо- ваться также специальные группы управляемых подвижных роботов. Таким обра- зом, возникает задача управления двумя конфликтующими между собой группа- ми управляемых подвижных роботов, при разработке алгоритмов управления ко- торыми должны использоваться результаты, полученные в теории конфликтно- управляемых систем со многими участниками (прежнее название «теория диффе- ренциальных игр»). Задачи управления конфликтующими группами относятся к наиболее трудным проблемам теории дифференциальных игр, активно изучаемым в последнее время. Эти исследования в значительной мере были стимулированы работами Л.С. Понтрягина и Е.Ф. Мищенко. Содержательный обзор полученных в этой области результатов приведен в работе А.А. Чикрия [7]. В публикациях, проанализированных в [7] , была введена некая минимаксная функция, сыгравшая ключевую роль при описании Б.Н. Пшеничным ситуации окружения [8]. Исполь- зуя эту идею, впоследствии А.А. Чикрий развил метод разрешающих функций [9]. К этому же кругу вопросов относятся и работы [10–12]. В указанных выше источ- никах получил развитие алгоритм экстремального прицеливания Н.Н. Красовско- го и обосновывалось сближение по погонной кривой Л. Эйлера. Для того чтобы воспользоваться результатами, полученными в теории диффе- ренциальных игр между двумя конфликтующими группами, необходимо решить нетривиальную задачу их обобщения на более широкий класс математических мо- делей участников конфликта, учитывающих их реальные свойства. Это направле- ние исследований органически вписывается в более общий круг проблем — тео- 18 ISSN 0572-2691 рию управления в условиях неопределенности, развивающуюся усилиями многих исследователей, в том числе российскими и украинскими. В.М. Кунцевич ДЕЯКІ ЗАДАЧІ КЕРУВАННЯ ГРУПОВИМ РУХОМ РУХОМИХ РОБОТІВ Розглянуто деякі задачі керування групою рухомих роботів, що мають певну масу і момент інерції та обладнаних пристроями для визначення свого поло- ження в заданій двовимірній системі координат. Показано, що наявність не- контрольованих збурень, які діють на роботів, не дозволяє в загальному ви- падку розв’язати задачу керування рухом групи роботів, застосовуючи тіль- ки програмне керування і стратегію «ведучий–ведений». Використовуючи декомпозицію загальної задачі керування груповим рухом, запропоновано ієрархічну дворівневу систему керування, яка поєднує програмне і позиційне (зі зворотним зв’язком) керування. Запропоновано такі алгоритми керування зі зворотним зв’язком, які дозволяють розв’язати досить широкий набір ти- пових рухів групи роботів, а також за наявності фазових обмежень. V.М. Kuntsevich PROBLEMS OF CONTROL OF TEAM MOTION FOR MOVING ROBOTS Сontrol problem of team motion of moving robots that have certain masses and mo- ments of inertia is considered. These robots are supposed to have navigation systems onboard for calculation of locations on the given 2-D plain. It is shown that generally in the presence of uncontrolled disturbances, the team motion control problem cannot be solved with application of a «leader-follower» strategy and program control. We decompose the team motion control problem and present a 2-tier hierarchical control system which includes both program and positional (feedback) control. The present- ed algorithms of feedback control calculation are applicable to a wide range of typi- cal team motions of robots, also under phase constraints 1. Козлов Р.И., Максимкин Н.Н., Киселев Л.В., Ульянов С.А. Устойчивость конфигураций группового движения автономных подводных роботов в условиях неопределенности // Подводные исследования и робототехника. — 2010. — № 1(9). — С. 40–46. 2. Tanner H.G., Pappas G.J., Kumar V. Leader-to-formation stability // IEEE Transact. on Robot. and Automat. — 2004. — 20, N 3. — P. 443–455. 3. Fax J.A., Murray R.M. Information flow and cooperative control of vehicle formations // IEEE Transact. on Automat. Contr. — 2004. — 49, N 9. — P. 1465–1476. 4. Casalino G., Aicardi M., Bicchi A., Balestrino A. Closed loop steering and patch-following for underactuated marine vehicles: a simple Lyapunov function based approach // IEEE Robot. and Automat. Magazine. — 2005. — 2, N 1. — P. 27–35. 5. Liu S.C., Tan D.A., Liu G.J. Robust leader-follower formation control of mobile robots, based on a second order kinematics model // Acta Automat. Sinica. — 2007. — 33, N 9. — P. 947–955. 6. Куржанский А.Б. О некоторых новых тенденциях в современной теории управления // XI Междунар. конф. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конферен- ция Пятницкого), Москва, 1–4 июня 2010 г. — М., 2010. 7. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects // Int. J. of Mathematics Game Theory and Algebra, Nova Sci. Publ., Inc. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–94. 8. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. — Киев : Наук. думка, 1992. — 260 с. 9. Гусятников П.Б. Дифференциальная игра убегания m лиц // Изв. АН СССР. Техн. киб. — 1978. — № 6. — C. 3–14. 10. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими про- цессами. — М.: МГУ, 1990. — 198 с. 11. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями // Тр. Междунар. мат. центра им. С. Банаха. — Варшава, 1985. — 14. — C. 81–107. 12. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объек- тов. — Ижевск : Изд-во «Удмурт. ун-т», 2009. — 266 с. Получено 31.10.2011

Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов

Institution

Ähnliche Einträge