Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц
Проведено ідентифікацію параметрів дифузії в нанопорових складових за умов їх змінності в часі та за припущенням їх сталості на малих проміжках часу. Identification of the parameters of diffusion in nanoporous components under conditions of their variability in time and the assumption of their const...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207445 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 27–39. — Бібліогр.: 17 назв. - рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860165716566605824 |
|---|---|
| author | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. |
| author_facet | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. |
| citation_txt | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 27–39. — Бібліогр.: 17 назв. - рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Проведено ідентифікацію параметрів дифузії в нанопорових складових за умов їх змінності в часі та за припущенням їх сталості на малих проміжках часу.
Identification of the parameters of diffusion in nanoporous components under conditions of their variability in time and the assumption of their constancy in small time intervals is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:56:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК, Д.М. МИХАЛИК, 2012
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 27
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.6
В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ВНУТРИЧАСТИЧНОЙ
ДИФФУЗИИ В НЕОДНОРОДНОМ СЛОЕ
НАНОПОРИСТЫХ ЧАСТИЦ
Введение
Применение современных высокоэффективных методов идентификации внут-
рикинетических параметров сложных распределенных многокомпонентных систем,
которыми являются многокомпонентные системы массопереноса в неоднородных
каталитических средах частиц нанопористой структуры, позволяет оптимально
управлять физическим экспериментом, существенно снизить затраты на его прове-
дение, повысить качество результатов, определяющих физическую картину иссле-
дуемых явлений и процессов. Вопросы исследований различных аспектов модели-
рования переноса в микропористых средах с различными характеристиками погло-
щаемости рассматривались в [18]. В работах [610] выполнено теоретическое
обоснование и приведены результаты моделирования систем двухуровневого ад-
сорбционного массопереноса в неоднородных каталитических средах микропори-
стых частиц. В [9, 11] с использованием результатов теории оптимального управле-
ния состояниями сложных систем [12, 13] выполнены постановки прямой и сопря-
женной краевых задач для получения градиентов функционалов-невязок, а в [10]
реализована градиент-процедура идентификации параметров внутренней кинетики
переноса и выполнено восстановление средних на выделенных промежутках вре-
мени распределений значений коэффициентов диффузии для внутричастичного пе-
реноса с использованием результатов экспериментальных исследований [6].
Вместе с тем важным аспектом идентификации рассматриваемых систем есть
разработка и применение методов функциональной идентификации, позволяю-
щих определять неизвестные коэффициентные параметры и условия не в виде чи-
сел, а в виде функциональных зависимостей, например, от временнóй или одной
из геометрических координат. Такой подход дает возможность получить для ис-
следователей более наглядную визуализацию, проследить в динамике комплекс-
ную эволюцию рассматриваемых параметров для всего интервала определения
параметров, проследить возможные изменения профилей градиента функционала-
невязки, изменение самой величины невязки и др.
Цель данной работы, следуя [9, 11], — создать на основе результатов теории
оптимального управления состояниями сложных систем [12, 13] рассмотренных
моделей массопереноса в микропористых средах частиц [68] эффективную ме-
тодику и процедуру функциональной градиентной идентификации параметров
внутренней кинетики исследуемых систем переноса и получить функциональные
распределения значений коэффициентов диффузии для внутричастичного массо-
переноса в пористых средах.
28 ISSN 0572-2691
1. Построение алгоритма функциональной идентификации
коэффициентов внутричастичной диффузии
m
Dintra
Постановка прямой задачи идентификации. Следуя [9, 1314], для восста-
новления коэффициента диффузии
m
Dintra микрочастиц т-й составляющей (слоя)
многослойной нанопористой среды получаем следующую задачу идентификации:
,),(),,0(,
2),,(
2
2
intra mT
mmm ztRr
r
q
rr
q
D
t
zrtq
m
,),(),,(,),(,0
0
mTmmrmmT
r
m ztztckRqzt
r
q
(1)
,,1,),,0(,00 MmzRrq mt
где M — количество слоев m слоистой среды; mm cq , — концентрация веще-
ства соответственно в сорбированном виде и в жидкости в т-м слое; R — диаметр
сферических микрочастиц, составляющих матрицу нанопористой составной пла-
стины; mk — некоторый параметр, ).,0( TmmT
Выбор функционала-невязки. Коэффициенты диффузии
m
Dintra будем счи-
тать неизвестными при условии, что на поверхностях наблюдения mz из-
вестны следы решений (значения концентраций):
),,0(,),( Tttgztq mm
(2)
где
R
mm drzrtq
R
ztq
0
),,(
1
),( — усредненные значения концентрации диффун-
дированной компоненты в микропорах частиц, которые будем считать равными
концентрации (решению краевой задачи (1)) на линии 2/Rr при .),( mTzt
Полученная задача (1), (2) состоит в нахождении функциональной зависимости
кинетических параметров ,
mintra DD где }0]),,0([:),({
vTCvztvD
m
, как
функций, зависимых от времени, при которых решение mq начально-краевой за-
дачи (1) удовлетворяет условию (2).
В данном случае функционал-невязка, определяющая величину отклонения
искомого решения от его следа на поверхностях наблюдения ,m будет иметь
вид [14–17]
1
1 0
2
)(intraintra
2
)())(,,(
2
1
))((
n
m
T
Lmm dttgtDztqtDJ
mm
,)())(,2/,(
2
1 1
1 0
2
)(intra
2
n
m
T
Lmm dttgtDRtq
m
(3)
где
2
)(2
L
— квадрат нормы; здесь ,),(
)(2
zL
zt 1n — количество
слоев нанопористой среды.
При известных концентрациях ),( ztcm задача (1), (2) может быть рассмот-
рена для каждой точки z каждого m-го сегмента. Функционал-невязка отклонения
искомого решения от его следов на поверхностях наблюдения m запишется
в виде
.))(,2/,(
2
1
)(
0
2
)(intraintra
2
T
Lmm dtgtDRqDJ
mm
(4)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 29
Постановка прямой задачи идентификации. Для удобства аналитических
расчетов, анализа функциональных зависимостей и взаимовлияний, используя за-
мены переменных ,/),,( XNzXtq mm ,/ RrX получаем следующую поста-
новку задачи идентификации для функций ),,( zXtNm в безразмерном виде:
,),(),1,0(,
),(
2
2
2
intra
mT
mm ztX
X
N
R
D
t
XtN m
,),(,,0
11
lim
1
0
mTmmXmm
m
X
ztckNN
XdX
dN
X
(5)
.)1,0(,0
0
XN
tm
Известные следы решений в точке mz имеют вид
).,0(,),
2
1
,2 TttgztN mm
(6)
В результате получаем задачу (5), (6), состоящую в отыскании ,intra DD
m
},,0),,0(:),({ mzvTCvztvD при которых решение mN задачи (5) удо-
влетворяет равенству (6).
Функционал-невязка отклонения искомого решения mN от его следов на по-
верхностях m в этом случае имеет вид
.)()(,
2
1
,2
2
1
))((
0
2
)(
intraintra
2
T
L
mm dttgtDtNtDJ
mm
(7)
Решение прямой задачи. Используем конечное интегральное преобразова-
ние Фурье по пространственной переменной, определенное следующими инте-
гральными операторами [9, 10]:
— прямого действия
1
0
),(),,()],([ dXXzXtNXtNF mmms
1
0
);,(sin),,( ztNdXXzXtN mkkm (8)
— обратного действия
1
2
1
),(
),(
),()],([
k m
m
mkmks
X
X
ztNztNF
;),,(sin),(2
1
k
mkmk zXtNXztN (9)
— основного тождества интегрального преобразования дифференциального
оператора Лапласа
),(),( 2
1
0
2
2
2
ztNdXX
X
N
X
N
F mkkk
mm
s
),,()1(),(),,(),( 12
1
0
ztcztNzXtN
X
X
X
N
mk
k
mkk
X
X
mk
m
(10)
30 ISSN 0572-2691
где ,sin),( XX kk , kk ,,1 k — спектральная функция и спек-
тральные значения конечного интегрального преобразования Фурье (sin-Фурье).
Использование данного аналитического подхода дает возможность легко выписы-
вать точные аналитические решения как прямой, так и сопряженной задач иден-
тификации, что позволяет существенно сократить время идентификации.
Применяя к задаче (5) интегральные операторы (8), (9), получим задачу Коши
,0
,),(),,()1(
),(
0
1
2
2
intra
tmk
mTmm
k
kmk
kmk
N
ztztckN
R
D
dt
ztNd m
(11)
решение которой с применением метода функций Коши имеет вид [14]
.),()(exp
2
)1(),(
0
2
2
intraintra1
t
m
kk
mmk dzct
R
D
R
kD
kztN mm (12)
Применяя к выражению (12) интегральный оператор обратного действия (10), по-
лучим единственное решение прямой задачи (5):
),,( zXtNm
.),()(exp)sin()1(2
1 0
2
2
intra
2
intra1
k
t
mm
k
k
kk dzckt
R
D
R
D
mm X (13)
2. Постановка и решение сопряженной краевой задачи идентификации
Следуя [9, 11–13], запишем сопряженную задачу идентификации в виде
r
Dr
rt
r mnm
intra
22
,),(,0,0
,),(),,0(),2/())(),2/,;((
0
intra
mTRrm
r
m
mTm
n
m
zt
r
ztRrRrtgzRtDq
m
(14)
).,0(,0),( Rrrt
Ttm
Здесь ),2/,;(
intra
zRtDq n
m
m — усредненное значение концентрации диффундиро-
ванной компоненты в микропорах частицы, сосредоточенной в точке 2/Rr (со-
гласно принятому допущению) на n-м шаге идентификации.
Формулировка сопряженной задачи идентификации в функциях ),,( zXtm .
Учитывая замену переменных ,/),,( XzXt mm ,/ RrX получим следую-
щую постановку сопряженной краевой задачи идентификации в терминах функ-
ций ),,( zXtm в безразмерном виде:
)2/1())(),2/1,;(2(
2
2/1intra2
2
2
intra
XtgztDN
RXR
D
t
mX
n
mm
n
m
m
m
,),(,0,0
11
lim
,),(),1,0(),,;(
10
intra
mTXmm
m
X
mT
n
m
zt
XdX
d
X
ztXztDF
m
(15)
).1,0(,0),(
XXt
Ttm
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 31
Решение сопряженной задачи. Следуя подходу к решению прямой зада-
чи (5), применяя к задаче (15) интегральные операторы, определенные формулами
(8), (10), и основное тождество интегрального преобразования дифференциально-
го оператора Лапласа начально-краевой задачи
),,(),( 2
1
0
2
2
2
2
ztdXX
XX
F mkkk
mm
s
(16)
получим единственное решение сопряженной задачи (15) в виде
.),()(exp)sin(2),,(
0
2
2
intra
k
m
T
t
k
n
km dzFt
R
D
XzXt m (17)
Здесь
))(),2/1,;(2(
2
),(
intra2
tgztDN
R
ztF m
n
mm
m
.)(),()(exp4
2
0 0
2
2
intra
2
intra
2
k
m
t
mm
k
n
k
n
tgdzckt
R
D
R
D
R
mm (18)
В задаче (1), (4) предполагаем, что для каждой точки mz восстанавлива-
емый коэффициент диффузии изменяется во времени, т.е. ).(intraintra tDD
mm
Формулы для градиента функционала-невязки. Для использования регу-
ляризирующих градиентных методов [16] идентификации изменяющихся во вре-
мени коэффициентов диффузии, следуя [12, 17], имеем следующие формулы для
градиента функционала-невязки:
— в терминах функций :, mmq
);,0(,)(
0
2
intra
Ttdr
r
q
r
r
tJ
R
m
mn
D
m
(19)
— в терминах функций :, mmN
),,0(,),(
),(
)(
1
0
2
2
intra
TtdXXt
X
XtN
tJ m
mn
D
m
(20)
где
),,(
2
2
zXtN
X
m
.),(exp
)(sin
)1(
2
1 0
2
2
intra
3
2
2
intra1
k
t
mm
k
n
k
kk
n
k dzck
R
tD
R
D
R
mm X
(21)
Регуляризационное выражение для (n 1)-го шага определения иденти-
фицирующей функциональной зависимости. Следуя [12, 16, 17], с помощью
метода минимальных ошибок для определения идентифицируемой функциональ-
ной зависимости коэффициента внутричастичной диффузии 1
intra
n
m
D от времени и
от координаты z слоя m получим следующее регуляризационное выражение для
последующего (n 1)-го шага идентификации:
).,0(,
)(
)(),2/1,;(2
)()()(
2
2
intra
intra
1
intra
intra
intra
Tt
tJ
tgltDN
tJtDtD
n
D
mm
n
mn
D
nn
m
m
mmm
(22)
32 ISSN 0572-2691
Здесь
,),()(exp2),2/1,;(2
1 0
2
2
intra
2
intra
intra
k
t
mm
k
n
k
n
n
m dzckt
R
D
R
D
ztDN mm
m
(23)
,)]()2/1,;(2[)()2/1,;(2
0
2
intra
2
intra
T
m
n
mm
n
m dttgtDNtgtDN
mm
(24)
.)]([)(
0
22
intraintra
T
n
D
n
D
dttJtJ
mm
(25)
Некоторые особенности практической реализации и тестирования алго-
ритма идентификации. Программная реализация данной методики функцио-
нальной идентификации в целях ее верификации и тестирования осуществлялась
численно с помощью реализованной нами в [10] модифицированной схемы Кран-
ка–Николсона и аналитическим доопределением интегральных выражений ком-
понентов, входящих в регуляризационную формулу (22). Как видно из последней,
даже при таком аналитическом подходе есть еще множество проблем, связанных
с определением составляющих его компонентов на каждом шаге регуляризациии
(итерационным вычислением определенных и несобственных интегралов, произ-
водных, интегральных норм и др.). Все это, даже при наличии аналитических вы-
ражений решений прямой и сопряженной задач, существенно сказывается на ско-
рости и эффективности идентификации. Поэтому поиск средств и подходов для
сокращения всевозможных, так называемых микроитераций, является одной из
важных задач совершенствования методик идентификации и программных про-
цедур их реализации.
Первый аспект, который существенно может повыcить эффективностю реа-
лизации процедур идентификации, — это систематизация данных следов экспе-
риментальных наблюдений, решений и дальнейшее установление их приближен-
ных аналитических зависимостей в целях возможного применения для них анали-
тических операций и операторов, используемых в компонентах формулы (22),
в том числе аналитическое интегрирование.
В частности, для верификации и тестирования данной методики идентифика-
ции использовались данные нанофизических экспериментов, изложенных в [6].
Кривые этих экспериментальных распределений концентраций поглощенного
вещества в микропорах частиц имеют экспоненциальный характер, поэтому после
предварительной их обработки было предложено использовать для описания со-
ответствующих распределений зависимости типа ).1()(
t
mm
meBtg
Анало-
гично экспериментальные данные распределений концентраций в газовой фазе
имеют вид зависимостей типа ,)(
t
m
metc
где mmmB ,, — аппроксимиру-
щие константы, получаемые нами для каждого конкретного распределения
наблюдения.
В результате подстановки указанных аппроксимирующих выражений )(tgm
и )(tcm в основные интегрально-дифференциальные компоненты формулы (22)
получены компактные аналитические выражения, не содержащие интегралов и
производных:
;
1
2)2/1,;(;
)sin(
)(2),(
1
intra
1
k k
m
n
m
k k
k
mm tEtDN
X
tEXtN
kmk
;)sin()(2
),(
1
2
2
k
kkm
m XtE
X
XtN
k
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 33
;
1
)1(
exp)(
2
intra
22
2
intra
k
m
k
tk
m
m
mm
k
D
R
et
R
D
tE
;)(
1
)(4
2
))()2/1,(2(
2
)(
1
22
k
m
k
mmmm tgtE
R
tgtN
R
tF
k
11
11
);sin()(2),(
k
kmm XtIXt
k
1
2
intra
22
1
18
)(
1
k
k
mk
m
m
k
D
RR
tI
t
R
D
etT
R
D
D
R kraTk
n
kk
n
mmm
n
m
2
2
int
2
2
intra
22
intra
2
exp)(exp
)(
1
1
)(exp1
2
2
intra
2
2
intra
1
1
tT
R
D
R
D
e
m
k
n
m
k
n
t
m
m
m
)(exp1
4
2
2
intra
2
intra
2
2
1
1
tT
R
D
D
R
R
B k
n
k
n
m m
m
;)(exp1
2
2
intra
2
2
intra
1
1
tT
R
D
R
D
e
m
k
n
m
k
n
t
m
m
m
1
0
2
2
),(
),(
)(
intra
dXXt
X
XtN
RtJ m
mn
D
m
1
0 11 1
11
)sin()()sin()(4 dXXtIXtER
k
km
k
km kk
;,0
,),)1(21()()(2
1
1
1 11
1
kk
kktItER k
k k
mm kk
.)1(
1
exp
4)()2/1,(2
0
2
1
2
intra
2
2
2
intra
2
T
t
m
k
k
mk
kt
mm dteB
D
R
t
R
D
e
tgtN m
m
mm
В полученных рядах Фурье, абсолютно и равномерно сходящихся, для чис-
ленных расчетов достаточно взять от 5 до 10 членов ряда, что проверено нами для
большого количества вычислительных экспериментов.
34 ISSN 0572-2691
Для удобства вычислений и обобщения полученных результатов для более ши-
рокой области применения имеет смысл оперировать приведенными концентрация-
ми: ,/~),(
mmm ccztc ,/~),,(
mmm qqzrtq где mc~ , mq~ — текущие концент-
рации, а
mm qc , — равновесные концентрации (при ).t В связи с этим усло-
вие mmRrm ckq ~~ при соответствующей замене будет иметь вид
Rrmq~
mmmmmRrmm cckckqq ~)( или ,mRrm cq где
mRrm cqk / —
константа адсорбции согласно ее физическому смыслу. Выражая таким способом
константу адсорбции на данном этапе с использованием приведенных концентра-
ций, на следующем этапе можно получить дополнительную информацию для ее
вычисления через восстановленное значение коэффициента диффузии и равно-
весные концентрации.
3. Численное моделирование и идентификация
кинетических параметров системы
Результаты проведенной функциональной идентификации показаны на
рис. 18 для различных положений частиц в нанопористом слое вдоль безразмер-
ной координаты z толщины слоя: z = 0,5 — средина слоя (рис. 16), z 1,0 —
начало (рис. 7), z 0 — конечное положение (рис.8).
На рис. 1 (z 0,5 — положение частицы в средине слоя) показан процесс эволю-
ции функциональной зависимости от времени коэффициента внутричастичной диф-
фузии ,
intra
n
m
D восстанавливаемой согласно регуляризационной процедуре иденти-
фикации, определенной формулой (22). Здесь приведены группы итераций, наиболее
существенным образом влияющие на процесс сходимости модельного решения
n
mq
model
к его экспериментальному следу )2/,(experm Rtqm , визуализация которого
показана на следующей диаграмме (рис. 1: 1 — начальное приближение, 2 — 15-я
итерация, 3 — 45-я итерация, 4 — 70-я итерация, 5 — 150-я итерация,
6 — 300-я итерация, 7 — 700-я итерация, 8 — 1100-я итерация, 9 — 1270-я итерация).
В качестве начального приближения для идентификации функциональной зависимо-
сти коэффициентов внутричастичной диффузии взято 80
intra
100,1)( tD
m
м/c
2
.
Далее, по мере выполнения итераций функциональная зависимость )(
intra
tDn
m
изме-
няется по всему временнóму диапазону. Для полноты картины тестирования алго-
ритма выполнено больше 1500 итераций, условно разбитых на группы. Для послед-
ней группы итераций достигается достаточно устойчивая картина профиля зависимо-
сти ),(
intra
tDn
m
что обеспечивает максимальное приближение модельного профиля
концентраций — решения n
mq
model
к его экспериментальному следу .experm
mq
На рис. 2 (z 0,5; 1 — начальное приближение, 2 — 15-я итерация, 3 — 45-я
итерация, 4 — 70-я итерация, 5 — 150-я итерация, 6 — 300-я итерация, 7 — 700-я
итерация, 8 — 1100-я итерация, 9 — 1270-я итерация, 10 — эксперимент) показан
процесс итерационного приближения (сходимости) модельного профиля концентра-
ций n
mq
model
к экспериментальному следу
experm
mq в полном соответствии с эволюци-
ей во времени функциональной зависимости коэффициента внутричастичной диффу-
зии )(
intra
tDn
m
(см. рис. 1), полученного в процессе процедуры идентификации. Здесь
также отражены группы итераций, наиболее влияющие на сходимость процесса к
экспериментальному следу ).2/,(experm Rtqm Как видно на рис. 2, уже на 57-й
группах итераций имеем довольно устойчивую картину сходимости, которая при-
водит практически к максимально полному приближению модельного профиля
концентрации n
mq
model
к его экспериментальному следу .experm
mq
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 35
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
)2/,,()2/,( n
intra
modelexperm RDtqRtq mm
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1
10
8
7
6
5 4
2
3
9
Рис. 2
Аналогичная картина наблюдается при изменении невязки )(ten
m на всем
протяжении временнóго интервала (рис. 3). На 79-й группах итераций наблюдаем
ее практически полное уменьшение к нулю, что соответствует получению необхо-
димого функционального распределения коэффициентов диффузии ),(
intra
tDn
m
приближающего модельное решение к его следу.
Следует отметить, что аналогичные результаты по восстановлению функцио-
нальных зависимостей коэффициентов диффузии
n
m
D
intra
можно получить, вы-
брав другое начальное приближение, например 90
intra
1001,1)( tD
m
м/c
2
, демон-
стрируя таким образом, как ведет себя регуляризационный процесс относительно
искомого решения на каждой итерации.
На рис. 4–6 показаны картины эволюции восстановления функциональных
зависимостей коэффициентов диффузии
n
m
D
intra
(рис. 4: 1 — начальное прибли-
жение, 2 — 5-я итерация, 3 — 15-я итерация, 4 — 25-я итерация, 5 — 35-я итера-
ция, 6 — 50-я итерация, 7 — 100-я итерация, 8 — 180-я итерация), итерационного
приближения модельных концентрационных профилей к экспериментальному
(рис. 5: обозначения кривых 1–8 те же, что и на рис. 4, 9 — эксперимент)
и уменьшения невязки на каждой итерации для данного начального приближения
(рис. 6: обозначения кривых те же, что и на рис. 4). Как видно из представленных
графиков, результат регуляризации получается один и тот же и при меньшем коли-
честве операций. Однако с точки зрения физических представлений о кинетике ад-
сорбции, первый вариант результатов восстановления функциональных зависимо-
стей коэффициентов диффузии )(
intra
tDn
m
более предпочтительный для экспери-
ментаторов.
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
9
intra
10n
m
D
1,84
3,68
5,51
7,35
9,19
1
8 7,
6
5
4
2
3
Рис. 4
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
9
intra
10n
m
D
2,2
4,4
6,6
8,8
11,08 1
9
8
7
6
5
4
2
3
Рис. 1
200 400 600 800 1000
Время (мин)
110)( ten
m
5,25
3,15
1,05
0,0
1,05
1
9 8
7
6 5
4
2
3 3,15
5,25
Рис. 3
36 ISSN 0572-2691
200 400 600 800 1000
Время (мин)
1
7 6 5 4
2
3
110)( ten
m
5,68
3,41
1,14
0,0
1,14
3,41
5,68
Рис. 6
Аналогичный анализ по идентификации коэффициентов диффузии )(
intra
tDn
m
выполнен для наблюдений, соответствующих положениям частиц в слое (z 0
и z 1,0), которые подтверждают те же устойчивые картины сходимости (рис. 7:
1 — начальное приближение, 2 — 30-я итерация, 3 — 75-я итерация, 4 — 200-я ите-
рация, 5 — 655-я итерация, 6 — 1000-я итерация, 7 — 1600-я итерация, 8 — 2065-я
итерация, 9 — 2295-я итерация, рис. 8: 1 — начальное приближение, 2 — 15-я ите-
рация, 3 — 30-я итерация, 4 — 45-я итерация, 5 — 60-я итерация, 6 — 90-я итера-
ция, 7 — 130-я итерация, 8 — 180-я итерация, 9 — 210-я итерация, 10 — 260-я ите-
рация). В качестве начального приближения для идентификации функциональной за-
висимости коэффициентов внутричастичной диффузии также принято )(0
intra
tD
m
8100,1 м/c
2
.
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
9
intra
10n
m
D
1,76
3,52
5,28
7,04
8,8
1
10
7 6
5
4
2
3
9 8
Рис. 8
4. Сравнительный анализ результатов функциональной и параметрической
идентификации коэффициентов внутричастичной диффузии
Разбив временнóй интервал протекания диффузии ),0( T на S интервалов
),,( 1
1
jj
S
j
,00 ,1 TS следуя [10, 11], получим формулу для гради-
ента функционала невязки для j-го временнóго интервала, :,1 Sj
),(,),(
),(
1
1
0
2
2
1
int
jjm
mn
D
tdXdtXt
X
XtN
J
j
j
mra
, (26)
и формулу для определения (n 1)-го приближения 1
intra
n
m
D для j-го временнóго
интервала, :,1 Sj
200 400 600 800 1000
0,0
Время (мин)
)2/,,()2/,( n
intra
modelexperm RDtqRtq mm
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1
8 7
6
5
4 2
3
9
Рис. 5
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
9
intra
10n
m
D
2,2
4,4
6,6
8,8
11,0
9
1
8
7
6
5
4
2
3
9
Рис. 7
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 37
.),(,
)(),2/1,;(2
12
2
intra1
intra
1
intra
intra
intra
jj
n
D
m
n
mn
D
nn t
J
tgztDN
JDD
m
m
mmm
(27)
Результаты сравнительного анализа восстановления коэффициента внутрича-
стичной диффузии
m
Dintra с использованием функциональной модели идентифи-
кации (формула (22)) и параметрической модели (формула (27)) приведены на
рис. 9–11 (по функциональной (сплошная линия) и параметрической (маркер Δ)
моделям идентификации) для различных положений микропористых частиц в ка-
талитическом слое. Для расчетов временнóй отрезок диффузии был разбит на
пять равномерных интервалов по 200 с каждый. Как видно из представленных
графиков на рис. 9–11, распределения, полученные по функциональной модели
идентификации и как средние значения на элементарных временнх отрезках до-
статочным образом согласуются между собой. Имеются незначительные различия
между полученными значениями распределений по обеим моделям для первых
временнх интервалов диффузии, что определяется, на наш взгляд, большой не-
стационарностью восстанавливаемых параметров на первоначальных стадиях
процесса. Среди них наибольшее отклонение зафиксировано для частиц «дна» —
конечного слоя (порядка 10–12 %) и наименьшее отклонение (порядка 3 %) для
частиц «верха» — входного слоя каталитической среды. Для частиц средних сло-
ев отклонение составляет не больше 5–7 %. По мере приближения системы к ее
равновесию (последующие временне интервалы) наблюдается практически пол-
ное совпадение результатов, восстановления, полученных по функциональной и
параметрической моделям идентификации (22), (27).
На рис. 11 также показаны аналогичные результаты сравнительного анализа
восстановления коэффициента с использованием функциональной и параметриче-
ской модели при выборе начального приближения 90
intra
1001,1)( tD
m
, что прак-
тически в целом подтверждает идентичность обоих подходов идентификации.
Рис. 12 демонстрирует динамику уменьшения значения функционала невязки
),( intra nDJ как от числа итераций, так и от разных начальных приближений ко-
эффициента диффузии значений . Здесь Dlow — нижнее значение, соответствую-
щее 90
intra
1001,1)( tD
m
м/c
2
, и верхнее — Dhigh, 80
intra
100,1)( tD
m
м/c
2
.
Уже второе (верхнее) начальное приближение дает существенное уменьшение
значения функционала невязки (примерно на порядок), что обеспечивает высокую
эффективность регуляризационного процесса идентификации.
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
9
intra
10n
m
D
1,76
3,52
5,28
7,04
8,8
z 1
Рис. 10
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
9
intra
10n
m
D
2,2
4,4
6,6
8,8
11,0
9
z 1/2
Рис. 9
38 ISSN 0572-2691
506 1006 1506 2006 2506 6
20
40
60
80
100
3006
0
120
140
Dlow Dhigh
Рис. 12
Заключение
Для модели адсорбционного массопереноса в каталитических пористых сре-
дах обоснованы постановки прямой и сопряженной начально-краевых задач
функциональной идентификации. Реализована методика функциональной иден-
тификации внутренних кинетических параметров неоднородной системы адсорб-
ционного массопереноса с использованием градиентного метода и аналитических
решений модели однокомпонентного массопереноса в неоднородной каталитиче-
ской среде нанопористых частиц методом конечных интегральных преобразова-
ний. Проведена идентификация коэффициентов диффузии для внутричастичного
массопереноса. По результатам идентификации выполнена проверка моделей на
адекватность результатам экспериментальных наблюдений. Проведено комплекс-
ное тестирование и верификация разработанной функциональной модели иденти-
фикации и сравнительный анализ с аналогичными результатами, полученными
с помощью параметрической модели идентификации.
Полученные результаты позволяют проводить эффективное моделирование
кинетики процесса диффузии и могут использоваться для повышения эффектив-
ности экспериментальных исследований кинетики переноса в многокомпонент-
ных нанопористых системах, для исследования свойств новых супрамолекуляр-
ных материалов в медицине, экологии, химической и других отраслях.
В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик
ФУНКЦІОНАЛЬНА ІДЕНТИФІКАЦІЯ
КОЕФІЦІЄНТІВ ВНУТРІШНЬОЧАСТКОВОЇ
ДИФУЗІЇ В НЕОДНОРІДНОМУ ПРОШАРКУ
НАНОПОРОВИХ ЧАСТОК
Проведено ідентифікацію параметрів дифузії в нанопорових складових за умов
їх змінності в часі та за припущенням їх сталості на малих проміжках часу.
V.S. Deineka, M.R. Petryk, D.M. Mykhalyk
FUNCTIONAL IDENTIFICATION OF INTRAPARTICLE
DIFFUSION COEFFICIENTS IN INHOMOGENEOUS
LAYER OF NANOPOROUS PARTICLES
Identification of the parameters of diffusion in nanoporous components under condi-
tions of their variability in time and the assumption of their constancy in small time
intervals is considered.
200 400 600 800 1000 0,0
Время (мин)
9
intra
10n
m
D
1,01
2,02
3,03
4,04
5,05
Рис.11
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 39
1. Kärger J., Ruthven D. Diffusion and adsorption in porous solids // Handbook of Porous Solids /
Ed. by . F. Shuth, K.W. Sing, J. Weitkamp. — Wenheim : Wiely-VCH, 2002. — P. 2089–2173.
2. Ruthven D. Principles of adsorption and adsorption processes. — New York : Wiley-Interscience,
1984. — 464 p.
3. N’Gokoli-Kekele P., Springuel-Huet M.-A., Fraissard J. An analytical study of molecular
transport in a zeolite crystallite bed // Adsorption. — 2002. — 8, N 3. — P. 35–44.
4. Kärger J., Grinberg F., Heitjans P. Diffusion fundamentals. — Leipzig : Leipziger Unviersite,
2005. — 615 p.
5. Petryk M., Leclerc S., Canet D., Fraissard J. Mathematical modeling and visualization of gas
transport in a zeolite bed using a slice selection procedure // Diffusion Fundamentals. — 2007.
— 4. — P. 11.1–11.23.
6. Petryk М., Fraissard J., Leclerc S., Canet D. Modeling of gas transport in a microporous solid us-
ing a slice selection procedure : Application to the diffusion of benzene in ZSM5 // Catalysis To-
day, Elsevier. — 2008. — 139, N 3. — P. 234–240.
7. Petryk. M., Vorobiev E. Liquid flowing from porous particles during the pressing of biological
materials // Computer and Chem. Eng. Elsevier (Irland). — 2007. — 31(10). – P. 1336–1345.
8. Петрик М.Р., Фрессард Ж. Математическое моделирование и визуализация системы мно-
гоуровневого массопереноса в неоднородных каталитических средах нанопористых частиц
// Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 5. — С. 54–73.
9. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация градиентными методами параметров задач
диффузии двухкомпонентного вещества в нанопористых средах // Доп. НАН України. —
2010. — № 12. — С. 42–49.
10. Дейнека В.С., Петрик М.Р., Михалик Д.М. Идентификация кинетических параметров одно-
компонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах //
Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». —
2011. — № 2. — C. 12–25.
11. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация градиентными методами параметров задач
диффузии вещества в нанопористой среде // Там же. — 2010. — № 6. — С. 5–18.
12. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с.
13. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.
— New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005. — 400 p.
14. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Інтегральні перетворення Фур’є, Бесселя із спектральним пара-
метром в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорідних і нанопори-
стих середовищах. — Київ : Наук. думка, 2000. — 372 с.
15. Петрик М.Р. Математическое моделирование массопереноса в симметрических неодно-
родных и нанопористых средах с системой n-интерфейсных взаимодействий // Кибернети-
ка и системный анализ. — 2007. — № 1. — C. 114–134.
16. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. — М. : Машиностроение, 1988. — 280 с.
17. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных си-
стем. — Киев : Наук. думка, 2009. — 638 с.
Получено 19.07.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207445 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:56:34Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. 2025-10-07T15:41:11Z 2012 Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 27–39. — Бібліогр.: 17 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207445 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i2.10 Проведено ідентифікацію параметрів дифузії в нанопорових складових за умов їх змінності в часі та за припущенням їх сталості на малих проміжках часу. Identification of the parameters of diffusion in nanoporous components under conditions of their variability in time and the assumption of their constancy in small time intervals is considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц Функціональна ідентифікація коефіцієнтів внутрішньочасткової дифузії в неоднорідному прошарку нанопорових часток Functional Identification of Intraparticle Diffusion Coefficients in Inhomogeneous Layer of Nanoporous Particles Article published earlier |
| spellingShingle | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц |
| title_alt | Функціональна ідентифікація коефіцієнтів внутрішньочасткової дифузії в неоднорідному прошарку нанопорових часток Functional Identification of Intraparticle Diffusion Coefficients in Inhomogeneous Layer of Nanoporous Particles |
| title_full | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц |
| title_fullStr | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц |
| title_full_unstemmed | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц |
| title_short | Функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц |
| title_sort | функциональная идентификация коэффициентов внутрипористой диффузии в неоднородном слое нанопористых частиц |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207445 |
| work_keys_str_mv | AT deinekavs funkcionalʹnaâidentifikaciâkoéfficientovvnutriporistoidiffuziivneodnorodnomsloenanoporistyhčastic AT petrikmr funkcionalʹnaâidentifikaciâkoéfficientovvnutriporistoidiffuziivneodnorodnomsloenanoporistyhčastic AT mihalikdm funkcionalʹnaâidentifikaciâkoéfficientovvnutriporistoidiffuziivneodnorodnomsloenanoporistyhčastic AT deinekavs funkcíonalʹnaídentifíkacíâkoefícíêntívvnutríšnʹočastkovoídifuzíívneodnorídnomuprošarkunanoporovihčastok AT petrikmr funkcíonalʹnaídentifíkacíâkoefícíêntívvnutríšnʹočastkovoídifuzíívneodnorídnomuprošarkunanoporovihčastok AT mihalikdm funkcíonalʹnaídentifíkacíâkoefícíêntívvnutríšnʹočastkovoídifuzíívneodnorídnomuprošarkunanoporovihčastok AT deinekavs functionalidentificationofintraparticlediffusioncoefficientsininhomogeneouslayerofnanoporousparticles AT petrikmr functionalidentificationofintraparticlediffusioncoefficientsininhomogeneouslayerofnanoporousparticles AT mihalikdm functionalidentificationofintraparticlediffusioncoefficientsininhomogeneouslayerofnanoporousparticles |