Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований
Розглянуто систему обслуговування з двома потоками вимог, яка може слугувати моделлю соти з повнодоступною організацією обслуговування вимог I типу та наявністю черги для вимог II типу. Отримано необхідну і достатню умову, коли ймовірність відмови системи на інтервалі зайнятості еквівалентна ймовірн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207453 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований / И.Н. Кузнецов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 118–125. — Бібліогр.: 14 назв. - рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207453 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кузнецов, И.Н. 2025-10-07T16:50:15Z 2012 Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований / И.Н. Кузнецов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 118–125. — Бібліогр.: 14 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207453 519.872 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i1.70 Розглянуто систему обслуговування з двома потоками вимог, яка може слугувати моделлю соти з повнодоступною організацією обслуговування вимог I типу та наявністю черги для вимог II типу. Отримано необхідну і достатню умову, коли ймовірність відмови системи на інтервалі зайнятості еквівалентна ймовірності монотонної відмови (для кожного типу вимог). A queueing system with two types of customers being the model of a cell with fully accessible service of customers of the first type and a queue for customers of the second type is considered. A necessary and sufficient condition when the system failure in a busy period is equivalent to the probability of monotone failure (for both types of customers) is obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований Асимптотичний аналіз внеску немонотонних траєкторій у відмову системи обслуговування з двома типами вимог Asymptotic Analysis of the Contribution of Nonmonotone Trajectories to the Failure of Queueing System with Two Types of Customers Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований |
| spellingShingle |
Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований Кузнецов, И.Н. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title_short |
Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований |
| title_full |
Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований |
| title_fullStr |
Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований |
| title_full_unstemmed |
Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований |
| title_sort |
асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований |
| author |
Кузнецов, И.Н. |
| author_facet |
Кузнецов, И.Н. |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Асимптотичний аналіз внеску немонотонних траєкторій у відмову системи обслуговування з двома типами вимог Asymptotic Analysis of the Contribution of Nonmonotone Trajectories to the Failure of Queueing System with Two Types of Customers |
| description |
Розглянуто систему обслуговування з двома потоками вимог, яка може слугувати моделлю соти з повнодоступною організацією обслуговування вимог I типу та наявністю черги для вимог II типу. Отримано необхідну і достатню умову, коли ймовірність відмови системи на інтервалі зайнятості еквівалентна ймовірності монотонної відмови (для кожного типу вимог).
A queueing system with two types of customers being the model of a cell with fully accessible service of customers of the first type and a queue for customers of the second type is considered. A necessary and sufficient condition when the system failure in a busy period is equivalent to the probability of monotone failure (for both types of customers) is obtained.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207453 |
| citation_txt |
Асимптотический анализ вклада немонотонных траекторий в отказ системы обслуживания с двумя типами требований / И.Н. Кузнецов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 118–125. — Бібліогр.: 14 назв. - рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kuznecovin asimptotičeskiianalizvkladanemonotonnyhtraektoriivotkazsistemyobsluživaniâsdvumâtipamitrebovanii AT kuznecovin asimptotičniianalízvneskunemonotonnihtraêktoríiuvídmovusistemiobslugovuvannâzdvomatipamivimog AT kuznecovin asymptoticanalysisofthecontributionofnonmonotonetrajectoriestothefailureofqueueingsystemwithtwotypesofcustomers |
| first_indexed |
2025-11-25T21:04:32Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:04:32Z |
| _version_ |
1850547833640321024 |
| fulltext |
© И.Н. КУЗНЕЦОВ, 2012
118 ISSN 0572-2691
УДК 519.872
И.Н. Кузнецов
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВКЛАДА
НЕМОНОТОННЫХ ТРАЕКТОРИЙ
В ОТКАЗ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ДВУМЯ ТИПАМИ ТРЕБОВАНИЙ
На протяжении нескольких последних десятилетий асимптотический анализ
является одним из основных инструментов анализа вероятностных характеристик
высоконадежных систем. Впервые асимптотический анализ дублированных систем
осуществлен в работах Б.В. Гнеденко [1, 2]. Используя регенеративный подход,
А.Д. Соловьев и его ученики [3–5] получили ряд предельных теорем об асимп-
тотическом распределении момента первой потери требования. Многие схемы
рассматривали И.Н. Коваленко [6, 7], В.В. Анисимов [8] и другие авторы.
В схеме регенерирующего процесса доказана общая предельная теорема [3],
позволяющая устанавливать асимптотическую экспоненциальность распределе-
ния времени до первого момента потери требования для различных систем об-
служивания. При этом параметр асимптотического экспоненциального распределе-
ния зависит как от среднего времени интервала занятости, так и от вероятности q
отказа системы на интервале занятости (промежуток времени, когда в системе
имеется хотя бы одно требование). Среднюю продолжительность интервала заня-
тости при достаточно естественных условиях можно аппроксимировать средним
временем обслуживания одного требования. В то же время вычисление вероятно-
сти q — весьма сложная задача. Оценке q посвящены многие работы (см., напри-
мер, [9–11]). Среди предлагавшихся подходов к вычислению q наиболее продук-
тивным оказался принцип монотонных отказов, сформулированный И.Н. Кова-
ленко [12], а затем развитый школой А.Д. Соловьева [3–5, 9, 10].
По аналогии с теорией надежности отказом системы обслуживания назовем
потерю требования. Монотонным называется такой отказ, при котором с момента
начала интервала занятости и до отказа системы не было окончено обслуживание
ни одного требования, т.е. на протяжении всего интервала занятости наблюдался
монотонный рост числа требований в системе. Все остальные траектории немоно-
тонные. Тогда ,10 qqq где 0q и 1q — вероятности монотонного и немонотон-
ного отказов соответственно. Замечено [12], что в случае высоконадежной системы
типична такая ситуация: если в интервале занятости произошел отказ системы, то с
вероятностью, близкой к единице, он произошел по монотонной траектории, т.е.
).( 01 qoq (1)
Вероятность 0q оценить гораздо проще, чем .1q Усилия многих исследова-
телей были направлены на выявление условий, гарантирующих выполнение соот-
ношения (1). Так, в [9] доказано, что для системы rmGM /// (пуассоновский по-
ток с интенсивностью , m обслуживающих приборов, r мест для ожидания, вре-
мя обслуживания имеет функцию распределения ),(xB зависящую от малого
параметра ,0 обслуживание проводится в порядке поступления, отказ
системы — потеря требования) условие
0
)(
)(
0
1
1
rm
rm
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 119
является достаточным для выполнения соотношения (1); здесь )(k
,2,1,)(
0
kxdBxk
В работе [11] для более общей системы удалось суще-
ственно ослабить моментные условия: требуется существование лишь момента
),(2 r а не )).(( 1 rm
При исследовании соотношения (1) все внимание уделялось достаточным
условиям. В работе [13] для системы обслуживания, в которой длительность об-
служивания является смесью двух экспоненциально распределенных случайных
величин, впервые получено необходимое и достаточное условие и проведено его
сравнение с достаточными условиями А.Д. Соловьева и И.Н. Коваленко.
В настоящей статье продолжены исследования, начатые в [13]. Рассматрива-
ется система обслуживания с двумя потоками поступающих требований, которая
может служить моделью соты с полнодоступной организацией обслуживания
требований первого типа и наличием очереди для требований второго типа [14].
Получены необходимые и достаточные условия, когда соотношение (1) имеет место
для каждого типа требований.
Постановка задачи
В настоящей статье рассматривается система с nm каналами обслужива-
ния. Эти nm каналов разделяются на две группы: первая содержит m каналов,
вторая — n каналов. На эти каналы поступают пуассоновские потоки требований
I типа (хендовер-вызовы или h-вызовы) с интенсивностью 1 и II типа (новые вы-
зовы или o-вызовы) с интенсивностью .2 Для обслуживания поступившего h-вы-
зова поиск свободного канала сначала ведется в первой группе; если все m каналов
этой группы заняты, то поиск свободного канала осуществляется во второй груп-
пе. Если все каналы обеих групп заняты, то h-вызов теряется. В то же время
o-вызовы могут обслуживаться лишь первой группой каналов. Если в момент по-
ступления o-вызова все m каналов заняты, то o-вызов становится в очередь (при
наличии в очереди свободных мест). В очереди к первой группе каналов имеется r
мест для ожидания. При освобождении канала первой группы (т.е. после завер-
шения обслуживания h-вызова или o-вызова) один из h-вызовов, обслуживаемых
каналом второй группы (если такой вызов имеется в наличии), переключается на
обслуживание освободившимся каналом первой группы (независимо от длины
очереди o-вызовов). Если же во второй группе каналов нет обслуживаемых требо-
ваний, то на обслуживание поступает o-вызов из очереди к первой группе каналов
(если очередь непустая). Длительности обслуживания предполагаются экспонен-
циально распределенными случайными величинами, 1 и 2 — интенсивности
обслуживания соответственно h- и o-вызовов.
Введем понятие монотонного отказа I (II) типа системы обслуживания на ин-
тервале занятости. Монотонным отказом I типа (монотонная отказовая траектория
I типа) называется такой отказ, при котором с момента начала интервала занятости
и до отказа системы, наступающего в момент поступления h-вызова при занятых
nm обслуживающих приборах, не было окончено обслуживание ни одного тре-
бования. Монотонным отказом II типа (монотонная отказовая траектория II типа)
называется такой отказ, при котором с момента начала интервала занятости и до от-
каза системы, наступающего в момент поступления o-вызова при отсутствии сво-
бодных мест в очереди, не было окончено обслуживание ни одного требования. Все
остальные отказовые траектории системы назовем немонотонными траекториями
I (II) типа соответственно. Обозначим )(
)2(
0
)1(
0
qq и )(
)2(
1
)1(
1
qq вероятности мо-
нотонного и немонотонного отказов I (II) типа соответственно.
120 ISSN 0572-2691
Предположим, что const,const,,0 1212 (в [14, с. 48] отме-
чается, что допущение 2112 , соответствует режиму работы реальных
пикосот). Цель статьи — получение необходимых и достаточных условий, при
которых .2,1),(
)(
0
)(
1 iqoq
ii
Марковский граф переходов
Поведение системы на интервале занятости описывается трехмерной цепью
Маркова, состояния которой задаются в виде ),,,( lks где s — общее число вы-
зовов в системе, k — число h-вызовов в группе из m каналов, а l — число h-вызовов
в группе из n каналов. Множество всех возможных состояний цепи Маркова зада-
ется в виде
},0:)0,,{( rmskmkksE
}.,1,0:),,{( rnmslmnlmklks
Определим вероятности перехода цепи Маркова (вероятность перехода из
),,( lks в ),,( 111 lks обозначаем };),,(),,{( 111 lkslks P здесь и в далее символ
)(O используем для обозначения величин одного порядка):
;10),1(}0)1,1,+(0)0,,{(
221
1
msO
s
ssP
;),1(}1)0,1,+(0)0,,{(
221
1 rmsmO
m
ss
P
),/1(
)(
}1,0)+1,+(0),,{( 1
2121
1
O
ksk
ksksP
;1,11 mskmk
),/1(
)()(
}1)+,1,+(),,{( 1
2121
1
O
kmlk
lkslksP
;,0,10,0 rnmslmlknlmk
;0),(
),min(
}0)0,1,+(0)0,,{( 2
221
2 rmsO
ms
ss
P
),/(
]),[min(
}0),1,+(0),,{( 12
2121
2
O
kmsk
ksksP
;,1 rmskmk
),/(
)()(
}),1,+(),,{( 12
2121
2
O
kmlk
lkslksP
;,1,0 rnmslmnlmk
),1(
]),[min(
}0)1,1,(0),,{(
2121
1 O
kmsk
k
ksks
P
;,1 mrskmk
),1(
)()(
)()(
}1),1,(),,{(
2121
21 O
kmlk
kmlk
lkslks
P
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 121
;,1,0 rnmslmnlmk
),/1(
]),[min(
]),[min(
}0),1,(0),,{( 1
2121
2
O
kmsk
kms
ksksP
;1,11 rmskmk
),1(
),min(
),min(
}0)0,1,(0),0,{(
221
2 O
ms
ms
ss
P .1 rms
Оценка вероятностей монотонного отказа I и II типов
Рассмотрим вначале монотонный отказ II типа. Оценим порядок вероятности
наступления такого отказа. Приведенный выше марковский граф переходов поз-
воляет выделить два вида наиболее вероятных монотонных траекторий отказа си-
стемы II типа и оценить их вероятности.
1. Вероятность траектории
)0,,()0,1,1()0,0,0( mm )0,,1( mrm
имеет порядок .)/( 1
1
2
rmrO
2. Вероятность траектории
)0,0,()0,0,1()0,0,0( m )0,0,1()0,0,()0,0,1( rmrmm
имеет порядок .)( 1
2
rmO
Все траектории, связанные с заполнением второй группы из n каналов, тре-
буют дополнительных маловероятных переходов. Кроме того, вероятности пере-
ходов ),,1(),,( lkslks при 1 lk имеют порядок )./( 12 O Поэтому ве-
роятности монотонных траекторий другого вида имеют более высокий порядок
малости по сравнению с приведенными выше.
Сравнивая порядки вероятностей указанных траекторий, приходим к выводу:
если 12 ,0 и ,012 rmm то ;)/( 1
1
2
)2(
0
rmrOq если же существу-
ет 0c такое, что crmm
12 при ,,0 12 то .)( 1
2
)2(
0
rmOq
Аналогичными рассуждениями достаточно просто устанавливается порядок
вероятности
)1(
0q монотонного отказа I типа: если 12 ,0 и ,012
то ;)/1( 1
)1(
0
nmOq если же существует 0c такое, что c 12 при ,02
,1 то )./( 12
)1(
0
nmOq
Необходимые и достаточные условия эквивалентности
вероятностей отказа и вероятностей монотонного отказа
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Предположим, что .const,const,,0 1212
Условие
012 (2)
является необходимым и достаточным для выполнения соотношения .)(
)1(
0
)1(
1 qoq
Если условие (2) выполнено, то
)./1(
1
)!(
1
1
1)1(
0
nm
nm
nm
o
nm
q
(3)
Условие
012 rmm
(4)
122 ISSN 0572-2691
является необходимым и достаточным для выполнения соотношения ).(
)2(
0
)2(
1 qoq
Если условие (4) выполнено, то
,
! 1
1
2
1
1
21)2(
0
rm
r
rm
r
r
r
o
mm
q .
1
1
2)2(
0
rm
r
Oq (5)
Доказательство. Все рассуждения проведем для вероятности отказа II типа.
Необходимость и достаточность соотношения (2) для более простого случая отка-
за I типа доказывается аналогично.
Необходимость. Доказательство проведем методом от противного. Предпо-
ложим, что )(
)2(
0
)2(
1 qoq и в то же время соотношение (4) не выполнено. Это
означает, что ).( 1
2
)2(
0
rmOq Указанный порядок имеет вероятность следу-
ющей монотонной отказовой траектории: )0,0,()0,0,1()0,0,0( m
).0,0,1()0,0,()0,0,1( rmrmm Из марковского графа пере-
ходов следует, что тот же порядок имеет немонотонная траектория )0,0,0(
)0,0,1()0,1,2()0,0,1( )0,0,()0,0,1()0,0,( rmmm
).0,0,1( rm Это противоречит условию .)(
)2(
0
)2(
1 qoq
Достаточность. Как показано выше, условие (4) гарантирует выполнение ра-
венства .)/( 1
1
2
)2(
0
rmrOq При этом лишь вероятность монотонной траектории
)0,,1()0,,()0,1,1()0,0,0( mmmm )0,,1( mrm имеет ука-
занный порядок. Вероятности всех остальных монотонных траекторий имеют бо-
лее высокий порядок малости. Покажем, что ).(
)2(
0
)2(
1 qoq Для этого построим
оценку сверху для .
)2(
1q
Пусть Elks ),,( — одно из допустимых состояний системы. Траекторию
системы вида ,1),,,(),,(),,(),,( 111 Nlkslkslkslks NNN ,),,( Elks iii
,0is ),,,(),,( lkslks iii ,,,1 Ni назовем ),,( lks -циклом. Обозначим
),,( lks множество всех ),,( lks -циклов, — множество всех отказовых траек-
торий, т.е. траекторий вида )},,,(),,()0,0,0{( 111 NNN lkslks
,1 rmN ,),,( Elks iii ,0is .1,1,,1 rmlsNi NN Пусть
— произвольная отказовая траектория. Сформулируем алгоритм приведе-
ния данной траектории к виду ,* который назовем каноническим.
1. В траекторию * включаем переход ).,,()0,0,0( 111 lks
2. Пусть ),,( lks — последнее состояние траектории , включенное в траек-
торию .* Положим 0),,( lksN (счетчик циклов в состоянии )).,,( lks
3. Просматриваем все состояния ),,( jjj lks траектории после ).,,( lks Если
не существует j такого, что ),,,(),,( lkslks jjj то в траекторию * включаем
состояние траектории идущее за ).,,( lks Если это состояние отказовое, то ал-
горитм окончен. В противном случае возвращаемся на шаг 2 с новыми значения-
ми s, k и .l
4. Предположим, что j — первое значение, для которого ).,,(),,( lkslks jjj
Тогда полагаем 1),,(:),,( lksNlksN (символ « : » означает, что новое значе-
ние переменной — функция ее старого значения). При этом в траекторию * включа-
ется траектория ).,,()},,(),,(),,{(),,()),,(( lkslkslkslkslks jjj
lksN
Далее переходим на шаг 3 алгоритма.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 123
В результате работы алгоритма любая отказовая траектория может быть
представлена в виде
),,(),,()0,0,0{( 111
)1(
111
* zvuzvu
),,(),,(),,( )1(
111
)),,(( 111
tttttt
zvuN
zvuzvuzvu
)},,,(),,(
)),,((
NNNttt
zvuN
lkszvuttt (6)
где ),,(),,( jjjiii zvuzvu при ,ji 0),,( iii zvuN и ).,,(),,()(
iiiiii
j zvuzvu
При этом переходы типа ),,(),,( zvuzvu игнорируются.
Например, если ,3m ,2n 1r и )0,1,2()0,0,1()0,0,0{(
)1,1,4()0,1,3()0,0,2()0,1,3()0,1,2()0,1,3()0,1,2()0,0,1(
)},1,1,5( то
)0,1,3()0,1,2()0,0,1()0,0,1()0,0,0{( )1(*
)},1,1,5()1,1,4()0,1,3()0,1,3( )2()1(
где
)0,0,1{()0,0,1()1(
)},0,0,1()0,1,2(
)0,1,2()0,1,3{()0,1,3()1( )},0,1,3(
)}.0,1,3()0,0,2()0,1,3{()0,1,3()2(
Обозначим множество отказовых траекторий вида
)},,,(),,(),,()0,0,0{( 111 lkszvuzvu ttt (7)
где ),,(),,( jjjiii zvuzvu при ,ji .1 rmls Очевидно, что таких траек-
торий может быть лишь конечное число. В основе каждой траектории вида (6)
лежит траектория из множества .
Согласно предположению теоремы вероятность лишь одной траектории из
множества имеет тот же порядок, что и :
)2(
0q )0,1,1()0,0,0{()0(
)}.0,,1()0,,1()0,,( mrmmmmm
Обозначим )(q вероятность прохождения системой траектории , а ),,( lksQ
),,(
)(
lks
q — вероятность возникновения циклической траектории с началь-
ным состоянием ).,,( lks Оценим вероятность ),,( lksQ для всех возможных зна-
чений s, k и l.
Если ,1),0,,(),,( mjjjlks то вероятность перехода системы по цепочке
)0,0,0()0,1,1()0,,( jjjj стремится к единице при 1 (см. пе-
реходные вероятности). Поэтому .0),,( lksQ Если же ),,,(),,( jmjmlks
,1 nj то аналогичными рассуждениями получаем, что 0),,( lksQ при ,1
.02
Рассмотрим состояние .),,( Elks Вероятность перехода системы по цепочке
)0,0,()0,1,1()0,,()1,,1(),,( klsklsklslkslks
)0,0,0( можно оценить снизу как
klslksh ))/((),,( 212 (символ «»
124 ISSN 0572-2691
означает равенство с точностью до )).1(o Поэтому .1),,(1),,( lkshlksQ Обо-
значив ,)/( 212
rmh имеем
)1(1),,( ohlksQ (8)
для всех состояний ).,,( lks
Оценим сверху вероятность
)2(
1q немонотонного отказа. Рассмотрим два
множества немонотонных траекторий: множество A, состоящее из немонотонных
траекторий вида (6), в основе которых лежит монотонная траектория ;)0( мно-
жество B, содержащее все остальные траектории.
Вероятность перехода системы по монотонной траектории )0( имеет поря-
док .)/( 1
1
2
rmrO В каждом из rm состояний ),0,,(,),0,1,1( mm
)0,,(,),0,,1( mrmmm возможны циклы. Если iN — количество циклов в
состоянии ),0),,min(,( mii то 11 rmNN (иначе траектория была бы моно-
тонной). Поэтому для вероятности );(
)0()2(
1 Aq немонотонной траектории из мно-
жества A имеет место очевидное соотношение
rm
r
NN
rmiN
rm
j
N
rm
r
omjjQOAq
rm
i
j
1
1
2
1
,,,1,0 11
1
2)0()2(
1
1
))]0),,min(,([);(
(учтено, что все ).0)0),,min(,( mjjQ
Аналогичное соотношение имеет место и для вероятности немонотонной
траектории из множества B. Пусть — произвольная траектория из множества B,
в основе канонического представления которого лежит траектория вида (7),
причем .)0( Как было показано выше, вероятность прохождения системы по
этой траектории имеет порядок .)/( 1
1
2
rmro Учитывая возможность возникно-
вения циклов, для вероятности );(
)2(
1 Bq немонотонного отказа по траектории,
в основе которой лежит , имеем
tiN
t
j
N
jjjrm
r
i
jzvuQoBq
,,1,0 11
1
2)2(
1 ]),,([);(
.)]1(1[
1
1
2
,,1,0 11
1
2
rm
r
tiN
t
j
N
rm
r
ooho
i
j
Поскольку множество содержит лишь конечное число траекторий, то
суммируя по всем траекториям ,g получим ,)/( 1
1
2
)2(
1
rmroq что и требова-
лось доказать. Асимптотическое равенство (5) следует из соотношений для пере-
ходных вероятностей цепи Маркова. Доказательство необходимости и достаточ-
ности соотношения (2) в случае отказа I типа полностью повторяет приведенное
выше. Поэтому приводить его не будем.
Теорема доказана.
Полученные необходимые и достаточные условия по сути являются легко
проверяемым критерием, позволяющим определять, когда отказы системы в по-
давляющем числе являются монотонными, а когда такое предположение ошибочно.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 125
Автор глубоко благодарен научному руководителю академику НАН Украины
И.Н. Коваленко за постановку задачи и критические замечания, способствовав-
шие ее решению.
І.М. Кузнєцов
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛІЗ ВНЕСКУ
НЕМОНОТОННИХ ТРАЄКТОРІЙ
У ВІДМОВУ СИСТЕМИ ОБСЛУГОВУВАННЯ
З ДВОМА ТИПАМИ ВИМОГ
Розглянуто систему обслуговування з двома потоками вимог, яка може слугу-
вати моделлю соти з повнодоступною організацією обслуговування вимог I ти-
пу та наявністю черги для вимог II типу. Отримано необхідну і достатню умо-
ву, коли ймовірність відмови системи на інтервалі зайнятості еквівалентна
ймовірності монотонної відмови (для кожного типу вимог).
I.N. Kuznetsov
ASYMPTOTIC ANALYSIS OF THE CONTRIBUTION
OF NONMONOTONE TRAJECTORIES
TO THE FAILURE OF QUEUEING SYSTEM
WITH TWO TYPES OF CUSTOMERS
A queueing system with two types of customers being the model of a cell with fully
accessible service of customers of the first type and a queue for customers of the
second type is considered. A necessary and sufficient condition when the system
failure in a busy period is equivalent to the probability of monotone failure (for both
types of customers) is obtained.
1. Гнеденко Б.В. О ненагруженном дублировании // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. —
1964. — № 4. — С. 3–12.
2. Гнеденко Б.В. О дублировании с восстановлением // Там же. — 1964. — № 5. — С. 111–118.
3. Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента первого наступления редкого события
в регенерирующем процессе // Там же — 1971. — № 6. — С. 79–89.
4. Гнеденко Д.Б., Соловьев А. Д. Оценка надежности сложных восстанавливаемых систем //
Там же. — 1975. — № 3. — С. 89–96.
5. Соловьев А.Д., Карасева Н. Г. Оценка среднего времени жизни восстанавливаемых систем
// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. — 1998. — № 5. — С. 25–29.
6. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности си-
стем. — М. : Сов. радио, 1980. — 209 с.
7. Kovalenko I.N. Approximation of queues via small-parameter method // Advances in Queue-
ing. — Boca Raton : CRC Press, 1995. — P. 481–506.
8. Anisimov V.V. Switching processes in queueing models. — Chichester : Wiley-ISTE, 2008. —
352 p.
9. Вопросы математической теории надежности / Е.Ю. Барзилович, Ю.К. Беляев, В.А. Кашта-
нов, И.Н. Коваленко, А.Д. Соловьев, И.А. Ушаков. — М. : Радио и связь, 1983. — 376 с.
10. Константинидис Д.Г. Принцип монотонной траектории отказа сложной восстанавливае-
мой системы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. — 1990 — № 3. — С. 7–13.
11. Коваленко И.Н. Оценка интенсивности потока немонотонных отказов в системе обслужи-
вания (≤) /G /m // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 9. — C. 1219–1225.
12. Коваленко И.H. Об оценке надежности сложных систем // Вопpосы pадиоэлектpоники. —
1965. — 12, № 9. — С. 50–68.
13. Коваленко И.Н., Кузнецов И.Н. Оценка вклада немонотонных траекторий в отказ системы
обслуживания на периоде занятости // Кибернетика и системный анализ. — 2011. —
№ 4. — C. 8–17.
14. Меликов Ф.З., Пономаренко Л.А., Паладюк В.В. Телетрафик. Модели, методы, оптимиза-
ция. — Киев : Политехника, 2007. — 251 с.
Получено 12.07.2011
|