Топологическая грубость синергетических систем
Розглянуто метод дослідження грубості динамічних систем, побудований на понятті грубості за Андроновим–Понтрягіним, що називається методом топологічної грубості. Також обговорено застосування методу для досліджень синергетичних систем різної фізичної природи. The method of research of robustness of...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207480 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Топологическая грубость синергетических систем / Р.О. Оморов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 5–13. — Бібліогр.: 46 назв. - рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860113833881763840 |
|---|---|
| author | Оморов, Р.О. |
| author_facet | Оморов, Р.О. |
| citation_txt | Топологическая грубость синергетических систем / Р.О. Оморов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 5–13. — Бібліогр.: 46 назв. - рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто метод дослідження грубості динамічних систем, побудований на понятті грубості за Андроновим–Понтрягіним, що називається методом топологічної грубості. Також обговорено застосування методу для досліджень синергетичних систем різної фізичної природи.
The method of research of robustness of dynamical systems, based on the concept of robustness by Andronov–Pontryagin and referred to as the method of topological robustness, is considered, as well as its applications to research of synergetic systems of different physical nature.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:35:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Р.О. ОМОРОВ, 2012
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.938
Р.О. Оморов
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУБОСТЬ
СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введение
Проблемам исследования грубости динамических систем и синтеза грубых
(робастных) систем управления уделяется большое внимание в современной тео-
рии динамических систем и теории управления [1–7].
Существует два различных подхода к проблеме грубости: 1) на основе поня-
тия грубости по Пейксото, или иначе структурной устойчивости; 2) на основе по-
нятия грубости по Андронову–Понтрягину, когда в отличие от предыдущего тре-
буется -близость исходного и возмущенного гомеоморфизмов [8–11].
В работе [3] на базе понятия грубости по Андронову–Понтрягину заложены
основы метода топологической грубости, который позволяет исследовать гру-
бость (робастность) и бифуркации динамических систем различной природы,
в частности синергетических систем, а также синтезировать грубые (робастные)
системы управления [12–14]. В научной литературе встречается разное понима-
ние терминов грубость и робастность. Чаще всего термин грубость применяется в
математических дисциплинах, изучающих динамические системы, где, как прави-
ло, рассматриваются изменения в системе при малых аддитивных или мультипли-
кативных возмущениях, а термин робастность, как правило, применяется в науч-
ных дисциплинах, связанных с техническими приложениями, в частности в тео-
рии и практике систем управления, где предполагаются конечные возмущения без
предположения их малости. В данной работе речь идет о грубости систем с уче-
том прежде всего малых изменений.
В исследованиях грубости по Андронову–Понтрягину предложены различ-
ные подходы [1–7, 15–18]. Один из них — синтез максимально робастных систем
при игровой постановке задачи [7, 18].
В данной статье рассматривается «метод топологической грубости», основы
которого, как отмечено выше, заложены в работе [3], а дальнейшее развитие ме-
тод получил при исследовании грубости и бифуркаций синергетических систем
различной физической природы, в частности при исследовании хаоса в этих си-
стемах [13, 14, 19–21].
1. Основы метода топологической грубости
В классической постановке вопросы грубости и бифуркаций были рассмот-
рены еще на заре становления топологии как нового научного направления мате-
матики великим французским ученым А. Пуанкаре [22], в частности, термин
бифуркация впервые введен им и дословно означает раздвоение: от решений
уравнений динамических систем ответвляются новые решения. Грубость динами-
ческих систем при этом определяется как свойство систем сохранять качествен-
ную картину разбиения фазового пространства на траектории при малом возму-
щении топологий, при рассмотрении близких по виду уравнений систем.
6 ISSN 0572-2691
В современной терминологии бифуркация употребляется как название любо-
го скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении парамет-
ров в любой системе. Таким образом, бифуркация означает переход между про-
странствами грубых систем, который осуществляется через негрубые области
(пространства). Многие основные результаты получены А.А. Андроновым и его
школой [8–10].
В работе [9] впервые сформулированы качественные критерии грубости и да-
но понятие грубости, которое впоследствии названо грубость по Андронову–
Понтрягину [8].
В многомерной постановке рассматривается динамическая система (ДС) n-го
порядка
)),(()( tzFtz (1)
где nRtz )( — вектор фазовых координат, F — n-мерная дифференцируемая
вектор-функция.
Система (1) называется топологически грубой по Андронову–Понтрягину в
некоторой области G, если исходная и возмущенная системы, определенные в под-
области G
~
области G:
,)~()~(~ zfzFz (2)
где )~(zf — дифференцируемая малая по какой-либо норме n-мерная вектор-
функция, являются -тождественными в топологическом смысле.
Системы (1) и (2) -тождественны, если существуют открытые области D, D
~
в n-мерном фазовом пространстве такие, что GGDD
~~
и :0δε, если
,)~( δzf δ,~
)~(
j
i
zd
zdf
,,1, nji (3)
то
ε~ zz (4)
или
,))1(,())2(,
~
( DD
(5)
иначе разбиение областей D
~
и D траекториями систем (2) и (1) -тождественны
(имеют одинаковые топологические структуры с траекториями, близкими до ε).
Если (5) не выполняется, то система (1) негруба по Андронову–Понтрягину.
Топологическая структура динамических систем определяется особыми траек-
ториями и многообразиями типа особых точек, особых линий, замкнутых траекто-
рий, притягивающих многообразий (аттракторов).
В работе [3] на основе понятия грубости по Андронову–Понтрягину предло-
жены основы метода топологической грубости на базе меры грубости в виде чис-
ла обусловленности }{МС матрицы М — нормированной матрицы, приводящей
систему к каноническому диагональному (квазидиагональному) виду в особых
точках фазового пространства. Здесь впервые введено понятие максимальной
грубости и минимальной негрубости на отношениях пары и .
Определение 1. Грубая в области G система (1) максимально грубая на множе-
стве топологически взаимотождественных cистем N, если величина -близости си-
стем (1) и (2), приводящая к -тождественности (для каждого ),0ε максимальна.
Определение 2. Негрубая в области G система (1) называется минимально не-
грубой на множестве топологически взаимотождественных систем N, если вели-
чина -тождественности систем (1) и (2), при которой еще выполняется условие
грубости (для каждого 0),δ минимальна.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 7
Условие достижимости максимальной грубости и минимальной негрубости в
окрестности особых точек фазового пространства определяется следующей тео-
ремой, доказанной в [3].
Теорема 1. Для того чтобы динамическая система в окрестности гиперболи-
ческой особой точки )( 0z была максимальна грубой, а в окрестности негипербо-
лической — минимально негрубой, необходимо и достаточно иметь
},{argmin* MCМ (6)
где М — матрица преобразования, с помощью которой можно привести линейную
часть )]([ 0zFA z
системы (1) в особой точке )( 0z к диагональному (квазидиа-
гональному) базису, }{МС — число обусловленности матрицы М.
Замечание 1. Как следует из определений 1 и 2, а также теоремы 1, суще-
ствуют и минимально грубые, и максимально негрубые системы, для которых
.}{ МС Иначе, множество грубых и негрубых систем образуют непрерывные
множества. При этом системами с }{МС будут системы с жордановой квази-
диагональной формой матриц линейного приближения (линейных частей) А.
Число обусловленности }{МС как меру грубости можно использовать для
кусочно-гладких динамических систем, рассматривая совокупную грубость по
областям гладкости системы, если особые точки не находятся на границе этих об-
ластей. Следует отметить, что для негладких систем, используя какую-либо
обобщенную производную из негладкого анализа при определении матрицы ли-
нейной части, можно обобщить эту меру грубости.
В [23] введена мера грубости периодических движений с периодом Т в виде
числа обусловленности TC по матрице монодромии Х(Т) этих движений:
},)({ TMCCT (7)
),()()()( TMTXTTM
где },,1,{diag)(Λ niμT i — мультипликаторы (собственные значения) мат-
рицы Х(Т), Т — период колебаний цикла. Заметим, что аналогичную меру грубо-
сти можно ввести и для приводимых нестационарных линейных систем, рассмат-
ривая в качестве Х(Т) матрицу Р приведенной системы.
Теоретические результаты метода топологической грубости, полученные в
работах [3, 12, 13], позволяют управлять грубостью синергетических систем.
Рассматривается система
,),( uzQz (8)
где ,nRz rRu — соответственно векторы фазовых координат и управлений
системы, )( Q — n-мерная нелинейная дифференцируемая вектор-функция.
Возможности управления грубостью определяются условиями следующей
теоремы, также доказанной в работе [3].
Теорема 2. Для того чтобы в управляемой динамической системе (8), описы-
ваемой в n-мерном фазовом пространстве с помощью матриц линейного прибли-
жения A, B соответственно для фазовых координат и управлений, существовало
управление ),(tu обеспечивающее в окрестности соответствующей особой точки
замкнутой системы максимальную грубость или минимальную негрубость, необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия невырожденной разрешимости
матричного уравнения Сильвестра.
При этом управление Utuu )( ищется в классе систем с обратной связью
Kxu такое, что матрица замкнутой системы BKAF вблизи особых тра-
екторий, в частности особых точек, удовлетворяет условиям
,,ГГ),()( 1 НМKВНМАМF (9)
8 ISSN 0572-2691
где nnR Г — диагональная (квазидиогональная) матрица состояния канониче-
ской модели; nrRН — матрица, задаваемая произвольно с ограничением на
наблюдаемость пары (Г, Н); nnRА , nrRB — матрицы координат и управле-
ния.
Вблизи особой точки
,
,0))((
BuAzz
tzF
(10)
управление Utuu )( синтезируется так, чтобы достичь требуемого значения
показателя },{МС используя какие-либо методы нелинейного программирования.
Метод топологической грубости также позволяет определять бифуркации
динамических систем на основе критериев, разработанных в [3, 23]. Более того,
метод предоставляет возможности прогнозирования бифуркаций, а также управле-
ния параметрами бифуркаций. В работе [12] доказана соответствующая теорема.
Теорема 3. Для того чтобы в области G многомерной 2)( n ДС при значе-
нии параметра ,*qq ,pRq возникла какая-нибудь бифуркация топологиче-
ской структуры, необходимо и достаточно, чтобы:
— в рассматриваемой области G ДС существовали негиперболические (не-
грубые) особые точки (ОТ) или орбитально-неустойчивые предельные циклы
(ПЦ), для которых имеет место равенство
,)}({min)}({
1
p
i
i
* qMCqMC (11)
где p — количество ОТ или ПЦ в области G;
— в области G ДС имеются какие-либо грубые ОТ или ПЦ, для которых вы-
полняется условие
.)}({ *qMC (12)
Замечание 2. Тип бифуркации зависит, во-первых, от того, какое из усло-
вий (11) или (12) выполняется, во-вторых, какая особая траектория — ОТ или ПЦ,
удовлетворяет этим условиям. Так, хаотические колебания (странные аттракто-
ры), возникающие из-за потери симметрии, происходят, когда условию (11) удо-
влетворяют ОТ, а хаотические колебания, возникающие через последовательно-
сти бифуркаций удвоения периода, происходят в том случае, когда условию (11)
отвечают ПЦ.
2. Синергетика и хаос
В современной науке возрастает интерес к направлениям, которые рассмат-
ривают явления природы и общества, живой и неживой природы с единых точек
зрения в зависимости от проявляемых ими свойств и характеристик. К одному из
таких направлений науки относится синергетика, которая занимается самооргани-
зующимися процессами, явлениями и системами [24–29].
Синергетика в настоящее время вторгается во все области науки: физики, химии,
биологии, геологии, геофизики, экономики, социологии, психологии, философии,
распознавание образов, а также в области техники и технологий [19–21, 23–37].
Многие ученые в настоящее время ставят задачи не только исследования си-
нергетических процессов и систем, но и управления ими для достижения желае-
мого развития и динамики [38–40].
Одним из явлений в синергетических системах, вызывающих огромное вни-
мание исследователей в различных областях науки, являются так называемые
странные аттракторы, представляющие притягивающие многообразия в фазовом
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 9
пространстве с хаотическим поведением (хаосом) траекторий в этих многообра-
зиях [24–28]. Исследование странных аттракторов вызывает интерес, многие уче-
ные видят в изучении этого феномена ключ к разгадке тайн природы турбулент-
ности и хаоса в системах различной природы — физических и химических, эко-
номических и социальных системах [41]. Более того, актуальна задача управления
хаосом в синергетических системах различной физической природы [42, 43].
Основоположниками синергетики по праву считаются выдающиеся ученые —
бельгийский химик и физик, нобелевский лауреат И. Пригожин и немецкий физик
Г. Хакен. Огромный вклад в синергетику сделали многие ученые, особенно пред-
ставители школы философов и математиков С.П. Курдюмова [44, 45].
При исследовании и управлении синергетическими системами важнейшее
значение имеют вопросы грубости и бифуркаций. Одним из методов изучения
свойств грубости и бифуркаций синергетических систем, а также управления ими
является метод топологической грубости, основы которого изложены выше.
Возможности метода проиллюстрированы на примерах известных синерге-
тических систем Лоренца, Белоусова–Жаботинского «хищник–жертва», цепи Чуа
и бифуркации Хопфа.
3. Приложения метода топологической грубости
к синергетическим системам
Система Лоренца. Модель тепловой конвекции в атмосфере, предложенная
и исследованная в 1963 г. американским метеорологом Е. Лоренцом, является от-
крытием детерминированного хаоса в диссипативных системах [24–29].
В безразмерной форме система Лоренца описывается уравнениями
,,ρ,)( zxyzxzyxyxyx (13)
где x — переменная, пропорциональная амплитуде скорости движения, а пере-
менные y, z отражают распределение температуры в конвективном кольце, пара-
метр представляет собой число Прандтля, — число Рэлея, а 3/8 — гео-
метрический множитель. (Часто полагают 10, а параметр варьируется.)
Исследования системы с использованием показателя грубости }{MC под-
твердили основные бифуркации этой си-
стемы, что показано на рис. 1.
Так при 24,74=ρ показатель }{MC
достигает локального минимума, равно-
го 1,389, а в системе (13) возникают хао-
тические колебания с областью хаоса,
получившего широкую известность как
«аттрактор Лоренца». При 1,0 в си-
стеме три ОТ, показатели, грубости кото-
рых на рисунке обозначены соответ-
ственно ,,, 321 ССС а суммарный пока-
затель 3.2,1,, iCC i
Система Белоусова–Жаботинского [29] описывается уравнениями
,2 2
4321 xkxykaxkaykx
,2/1 531 bzkfxykayky (14)
,2 52 bzkaxkz
0 10 20 30 40 50
1
24,74
2
C{M}
3
4
5
6
7
С1
С
С2, 3
Рис. 1
10 ISSN 0572-2691
где ;28,11 k ;0,82 k ;100,8 5
3 k ;100,2 3
4 k ;0,15 k 0,06;a 0,020;b
2,4.0,5 f
Система Белоусова–Жаботинского — это система, описывающая химическую
реакцию, где возникают колебания концентрации веществ, представляющая собой
каталитическое окисление малоновой кислоты .СООН)(СН 22 Реакция происходит
в водном растворе при простом смешении следующих реагентов: 0,2]Н[ моль;
28,0]СООН)(СН[ 22 моль; 2
3 103,6]OBr[ моль; 34 100,2]Се[ моль.
Для реакции характерно изменение окраски раствора от бесцветной до жел-
той, вызванное изменениями концентрации .Се4
В изучение этой реакции большой вклад, кроме советских химиков Белоусо-
ва (1959 г.) и Жаботинского (1964 г.), внесли американские ученые Филд, Кереш
и Нойес в начале 70-х годов прошлого столетия.
В системе (14) в зависимости от f две или три ОТ, одна из которых — начало
координат, ),,(ОТ 000 zyxi определяются соотношениями
.48,0)108078,0/(48,0
,)}1(101152,0]1048,0)1(106{[
]1048,0)1(106[
000
5
00
2/110275
75
0
xzxxfy
ff
fx
(15)
Результаты исследований системы
(14) с использованием показателя гру-
бости }{MC показаны на рис. 2 (гра-
фик с точками бифуркаций).
В реакции Белоусова–Жаботин-
ского обнаружены разнообразные ко-
лебания, в том числе хаотические. По-
следние происходят при f0,9208
,0808,1 бифуркации при ,9208,0f
.0808,1f Максимальная грубость
колебаний наблюдается при .0,2f
Система (цепь) Чуа. Как извест-
но [42], система Чуа представляет собой электронную цепь с одним нелинейным
элементом, которая способна генерировать разнообразные колебания, в частности
хаотические.
Система Чуа описывается уравнениями:
)),(( xfypx ,zyxy ,qyz (16)
где ).11)((5,0)( 011 xxMMxMxf
При ,9p ,3,14q ,7/61 M 7/50 M в системе (16) наблюдаются хаотиче-
ские колебания.
0 0,5 1
f
100
150
C {M}
200
1,5 2
250
92,705
92,832
285,57
Рис. 2
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 11
В данном случае имеется три ОТ:
);0,0,0(ОТ1 ).6/11,0,6/11(ОТ 3,2
При исследовании установлено,
что хаотические движения обнару-
живаются и при значениях :q
,49,0034,1 q а при 8,3q и
05,1q наблюдается максимальная
грубость движений в системе (16),
что показано на рис. 3.
Заключение
Рассмотренный в данной статье метод топологической грубости является ме-
тодом количественного исследования грубости и бифуркаций динамических си-
стем самого широкого класса и различной физической природы. Возможности
метода для исследований грубости и бифуркаций систем показаны на примерах
только некоторых синергетических систем, хотя, безусловно, метод использовался
для исследований множества как синергетических систем различной природы, так и
динамических систем более широкого класса, колебательных систем и бифуркаций
Хопфа, в частности при исследовании аттрактора отображения Хенона [46].
Р.О. Оморов
ТОПОЛОГІЧНА ГРУБІСТЬ
СИНЕРГЕТИЧНИХ СИСТЕМ
Розглянуто метод дослідження грубості динамічних систем, побудований на
понятті грубості за Андроновим–Понтрягіним, що називається методом то-
пологічної грубості, а також застосування методу для досліджень синергети-
чних систем різної фізичної природи.
R.O. Omorov
THE TOPOLOGICAL ROBUSTNESS
OF THE SINERGETIC SYSTEMS
The method of research of robustness of dynamical systems, based on concept of
robustness by Andronov–Pontryagin and reffered to as the method of topological ro-
bustness is considered, as well as its applications to research of synergetic systems of
different physical nature.
1. Джури Э.И. Робастность дискретных систем // Автоматика и телемеханика. — 1990. —
№ 5. — C. 3–28.
2. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техни-
ки. Сер. Техн. кибернетика. Т. 32. — М. : ВИНИТИ, 1991. — C. 3–31.
3. Оморов Р.О. Максимальная грубость динамических систем // Автоматика и телемеханика.
— 1991. — № 8 — С. 36–45.
4. Пелевин А.Е. Робастная стабилизация линейного объекта при неопределенных параметрах
модели // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 1. — С. 40–46.
5. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Синтез систем гарантированной модальной стабильности // Там
же. — 2003. — № 4. — С. 9–16.
6. Поляк Б.Т. Обобщенная сверхустойчивость в теории управления // Автоматика и телемеха-
ника. — 2005. — № 8. — С. 70–80.
7. Проурзин В.А. Эквивалентные игровые постановки синтеза максимально робастных управ-
лений // Там же. — 2005. — № 8. — С. 128–138.
8. Аносов Д.В. Грубые системы // Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения,
динамические системы: Сб. обзорных статей. 2. К 50-летию института (Тр. МИАН СССР).
Т. 169. — М. : Наука, 1985. — С. 59–93.
3,3 q
C{M}
1,05
3,52
1,034 0,49
4,78
Рис. 3
12 ISSN 0572-2691
9. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН СССР. — 1937. — 14, № 5. —
С. 247–250.
10. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М. : Наука, 1981. — 568 с.
11. Piexoto M.M. On structural stability // Ann. Math. — 1959. — 69, N 1. — P.199–222.
12. Оморов Р.О. Количественные меры грубости динамических систем и их приложения к си-
стемам управления : Автореф. дисс. … д-ра техн. наук. — СПб. : Санкт-Петербургский ин-
т точной механики и оптики. — 1993. — 38 с.
13. Оморов Р.О. Метод топологической грубости: Теория и приложения. I. Теория // Изв.
НАН КР. — 2009. — № 3. — С. 144–148.
14. Оморов Р.О. Метод топологической грубости: Теория и приложения. II. Приложения // Там
же. — 2010. — № 1. — С. 32–36.
15. Цыпкин Я.З. Синтез робастно оптимальных систем управления объектами в условиях огра-
ниченной неопределенности // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 9. — С. 139–159.
16. Вишняков А.Н. Синтез максимально-робастной системы управления дискретным объектом
с непараметрической неопределенностью // Там же. — 1999. — № 3. — С. 71–77.
17. Баландин Д.В., Коган М.М. Оценка предельных возможностей робастного Н∞-управления
линейными неопределенными системами // Там же. — 2002. — № 9. — С. 134 –142.
18. Коган М.М. Линейно-квадратичная динамическая игра в условиях неопределенности и
синтез робастных Н∞-субоптимальных регуляторов // Там же. — 1999. — № 3. —
С. 131–142.
19. Оморов Р.О. Синергетические системы: Проблемы грубости, бифуркаций и катастроф //
Наука и новые технологии. — 1997. — № 2. — С. 26–36.
20. Оморов Р.О. Управление грубостью синергетических систем // Проблемы автоматики и
управления. — 2009. — № 1. — С. 23–30.
21. Оморов Р.О. Топологическая теория и метод исследования грубости и бифуркаций синер-
гетических систем // Там же. — 2010. — № 1. — С. 31–34.
22. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными управлениями : Пер.с франц.
под ред. А.А. Андронова. — М.; Л. : Гостехиздат, 1947. — 392 с.
23. Оморов Р.О. Мера грубости динамических систем и критерии возникновения хаотических
колебаний и бифуркаций в синергетических системах // Синтез алгоритмов стабилизации
систем: Межведомствен. сб. — 1992. — Вып. 8. — С.128–134.
24. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и
устройствах : Пер. с англ. — М. : Мир, 1985. — 423 с.
25. Синергетика: Сб. статей : Пер. с англ. / Сост. А.И. Рязанов, А.Д. Суханов / Под ред.
Б.Б. Кадомцева. — М. : Мир, 1984. — 248 с.
26. Николис Г. Пригожин И. Познание сложного : Введение / Пер. с англ. — М. : Мир, 1990. —
342 с.
27. Haken H. Synergetics: Introcluction and advanced topics. — London : Springer, 2004. — 356 p.
28. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулент-
ности и хаоса. — М. : Наука, 1988. — 368 с.
29. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика: От тепловых двигателей до дис-
сипативных структур : Пер. с англ. — М.: Мир, 2002. — 461 с.
30. Feder H.J.S., Feder J. Self-organized criticality in a stick-slip process // Phys. Lett. — 1991. —
N 66. — P. 2669–2674.
31. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической
теории: Пер. с англ. — М. : Мир, 1999. — 335 с.
32. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, це-
ны и изменчивость рынка : Пер.с англ. — М. : Мир, 2000. — 333 с.
33. Кузнецова М. Дезорганизация и организация как свойства социальных систем // Проблемы
теории и практики управления. — 1994. — № 6. — С. 93–96.
34. Юдашкин А.А. Бифуркация стационарных решений в синергетической нейронной сети и
управление распознаванием образов // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 11. —
С. 93–96.
35. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. — М. :
Эдиториал УРСС, 2001. — 288 с.
36. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М. : Наука, 1976. —
286 с.
37. Оморов Р.О., Омуралиев М., Омурлиева А. Введение к исследованиям синергетических си-
стем геологии, геофизики, и геоэкологии // Изв. НАН КР. — 2005. — № 3. — С. 90–97.
38. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. — Таганрог : ТРТУ; М. : Энергоато-
миздат, 1994. — 344 с.
39. Красовский А.А. Некоторые актуальные проблемы науки управления // Автоматика и теле-
механика. — 1996. — № 6. — C. 8–16.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 13
40. Хиценко В. Самоорганизация и менеджмент // Проблемы теории и практики управления. —
1996. — № 3. — С. 120–124.
41. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. — М. : Мир, 1981. — 253 с.
42. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы //
Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 5. — С. 3–45.
43. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. II. Приложения
// Там же. — 2004. — № 4. — С. 3–34.
44. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Синергетика: Нелинейность времени и ландшафты коэволю-
ции. — М. : КомКнига, 2007. — 272 с.
45. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики : Хаос, структуры, вычислительный
эксперимент. — М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 312 с.
46. Оморов Р.О. Исследование грубости аттракторов синергетических систем // Наука и новые
технологии. — 2002. — № 2. — С. 125–130.
Получено 30.05.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207480 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:35:34Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Оморов, Р.О. 2025-10-08T11:33:37Z 2012 Топологическая грубость синергетических систем / Р.О. Оморов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 5–13. — Бібліогр.: 46 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207480 517.938 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i4.70 Розглянуто метод дослідження грубості динамічних систем, побудований на понятті грубості за Андроновим–Понтрягіним, що називається методом топологічної грубості. Також обговорено застосування методу для досліджень синергетичних систем різної фізичної природи. The method of research of robustness of dynamical systems, based on the concept of robustness by Andronov–Pontryagin and referred to as the method of topological robustness, is considered, as well as its applications to research of synergetic systems of different physical nature. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Топологическая грубость синергетических систем Топологічна грубість синергетичних систем Topological Robustness of Synergetic Systems Article published earlier |
| spellingShingle | Топологическая грубость синергетических систем Оморов, Р.О. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Топологическая грубость синергетических систем |
| title_alt | Топологічна грубість синергетичних систем Topological Robustness of Synergetic Systems |
| title_full | Топологическая грубость синергетических систем |
| title_fullStr | Топологическая грубость синергетических систем |
| title_full_unstemmed | Топологическая грубость синергетических систем |
| title_short | Топологическая грубость синергетических систем |
| title_sort | топологическая грубость синергетических систем |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207480 |
| work_keys_str_mv | AT omorovro topologičeskaâgrubostʹsinergetičeskihsistem AT omorovro topologíčnagrubístʹsinergetičnihsistem AT omorovro topologicalrobustnessofsynergeticsystems |