Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования
Для системи M/G/m/r запропоновано метод прискореного моделювання ймовірності немонотонної відмови на періоді зайнятості. Оцінка є незміщеною. Знайдено умови, які гарантують обмеженість відносної середньоквадратичної похибки. Точність оцінок ілюструється двома чисельними прикладами. A fast simulation...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207486 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования / И.Н. Кузнецов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 82–92. — Бібліогр.: 19 назв. - рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859733261347979264 |
|---|---|
| author | Кузнецов, И.Н. |
| author_facet | Кузнецов, И.Н. |
| citation_txt | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования / И.Н. Кузнецов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 82–92. — Бібліогр.: 19 назв. - рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Для системи M/G/m/r запропоновано метод прискореного моделювання ймовірності немонотонної відмови на періоді зайнятості. Оцінка є незміщеною. Знайдено умови, які гарантують обмеженість відносної середньоквадратичної похибки. Точність оцінок ілюструється двома чисельними прикладами.
A fast simulation method for the evaluation of the probability of nonmonotone failure in a busy period of the system M/G/m/r is proposed. An estimate is unbiased. Under some weak conditions an estimate has a bounded relative error. The accuracy of estimates is illustrated by two numerical examples.
|
| first_indexed | 2025-12-01T14:05:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.Н. КУЗНЕЦОВ, 2012
82 ISSN 0572-2691
УДК 519.872
И.Н. Кузнецов
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ
НЕМОНОТОННОГО ОТКАЗА НА ПЕРИОДЕ
ЗАНЯТОСТИ СИСТЕМЫ rmGM ///
МЕТОДОМ УСКОРЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Несколько последних десятилетий методы асимптотического анализа надеж-
ности сложных восстанавливаемых систем находятся в центре внимания исследо-
вателей. Пионерскими в этой области следует считать работы Б.В. Гнеденко [1, 2],
в которых была показана высокая эффективность применения асимптотического
анализа к оценке надежности дублированных систем. Существенное развитие
данное направление получило в работах А.Д. Соловьева и его учеников [3–6].
В «схеме серий» доказан ряд предельных теорем об асимптотическом распреде-
лении момента первого наступления редкого события в системах обслуживания и
резервированных восстанавливаемых системах, функционирование которых опи-
сывается регенерирующим процессом. Близкие постановки задач исследовали
В.В. Калашников [7], И.Н. Коваленко [8, 9] и другие авторы.
В работе [4] в схеме регенерирующего процесса доказана асимптотическая
экспоненциальность распределения времени до первого момента потери требова-
ния в системе обслуживания. Параметр экспоненциального распределения зави-
сит как от среднего времени интервала занятости, так и от вероятности q отказа
системы на интервале занятости (промежуток времени, когда в системе присут-
ствует хотя бы одно требование). В большинстве случаев средняя продолжитель-
ность интервала занятости аппроксимируется средним временем обслуживания
одного требования (если это не так, то с высокой точностью данную характери-
стику можно оценить методом Монте-Карло). Вычисление же вероятности q яв-
ляется весьма сложной задачей. Оценке q посвящены многие работы (см., напри-
мер, [10–13]). Еще в работе [14] И.Н. Коваленко заметил, что во многих случаях
преимущественный вклад в отказ системы вносят так называемые монотонные
отказы (согласно терминологии [12] под отказом системы обслуживания понима-
ется потеря требования). Монотонным называется такой отказ, при котором с мо-
мента начала интервала занятости и до отказа системы не было окончено обслу-
живание ни одного требования, т.е. на протяжении всего интервала занятости
наблюдался монотонный рост числа требований в системе. Все остальные траек-
тории являются немонотонными. Тогда ,10 qqq где 0q и 1q — вероятности
монотонного и немонотонного отказов соответственно. В случае малой загрузки
отказы, как правило, носят монотонный характер, т.е. если в интервале занятости
произошел отказ системы, то с вероятностью, близкой к единице, этот отказ про-
изошел по монотонной траектории. Это означает, что
).( 01 qoq (1)
Вероятность ,0q как правило, можно записать в виде многомерных интегра-
лов, вычисление которых сравнительно несложно. Усилия многих исследователей
были направлены на выявление условий, гарантирующих выполнение соотноше-
ния (1). Так, для системы rmGM /// при конечности )1( rm -го момента вре-
мени обслуживания А.Д. Соловьев [10] получил достаточное условие для выпол-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 83
нения (1). В работе [12] для более общей схемы И.Н. Коваленко удалось ослабить
моментное ограничение, а именно, получено достаточное условие выполнения (1)
при требовании конечности лишь )2( r -го момента. В работе [15] для системы
,/// rmGM в которой распределение длительности обслуживания является смесью
двух экспоненциальных распределений, получено необходимое и достаточное
условие для выполнения соотношения (1). Проведено также сравнение с доста-
точными условиями А.Д. Соловьева и И.Н. Коваленко.
В то же время большой интерес вызывает не только качественное сравнение
(на уровне порядков) вероятностей монотонного и немонотонного отказов, но и
количественное сравнение 0q и .1q Вывод аналитических, в том числе и асимп-
тотических формул для вычисления вероятности 1q в большинстве случаев —
трудноосуществимая задача. В последние годы существенное развитие получили
методы ускоренного моделирования (см., например, [16–18]), позволяющие для
весьма сложных моделей систем строить оценки высокой точности. Этого удается
достичь за счет удачного сочетания аналитического вычисления малых вероятно-
стей на траекториях, моделируемых методом Монте-Карло.
В настоящей статье для системы rmGM /// предлагается метод ускоренного
моделирования вероятности 1q . Он основан на идее [19] моделирования траек-
торий системы в интервале занятости с запретом поступления требований и по-
следующим использованием взвешенного моделирования входящего потока тре-
бований. Обосновывается несмещенность оценки, а также доказывается ограни-
ченность относительной среднеквадратической погрешности. Предложенный
метод иллюстрируется численным примером.
Постановка задачи
Рассматривается система обслуживания ,/// rmGM т.е. на m обслуживаю-
щих устройств поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью .
Имеется r мест ожидания. Длительность обслуживания имеет функцию рас-
пределения ).(xB Требования обслуживаются в порядке поступления (дисципли-
на обслуживания FCFS). Если в момент поступления требование застает занятыми
все rm мест, то оно теряется (отказ системы). Исследуется вероятность q по-
тери требования на интервале занятости. Вероятность 0q монотонного отказа
определяется по явной аналитической формуле:
dtduuB
x
txBe
r
t
dxe
m
x
q
m
tx
t
m
t
rr
x
mm
1
1
1
0
1
0
0 )(
1
)(
)!1()!1(
,)(
)!1(!
0
1
0
1
dxduuBedtet
rm
m
tx
t
xtr
rm
(2)
где ).(1)( uBuB Типичная ситуация, когда длительности восстановления в
среднем намного меньше интервалов между поступлениями требований. В даль-
нейшем будем предполагать, что интенсивность входящего потока является малой
величиной, т.е. 0 (случай, когда длительности обслуживания пропорцио-
нальны некоторому малому параметру 0 при фиксированной интенсивности
входящего потока, эквивалентный).
Для вычисления 0q по формуле (2) используют прямой численный метод. В то
же время задача нахождения вероятности 01 qqq существенно сложнее. В по-
84 ISSN 0572-2691
следующих разделах изложен метод ускоренного моделирования, позволяющий
строить несмещенные оценки вероятности ,1q имеющие при весьма общих усло-
виях ограниченную относительную среднеквадратическую погрешность при .0
Случайный процесс, описывающий
поведение системы на интервале занятости
Непрерывный справа марковский процесс, описывающий поведение системы
на интервале занятости, зададим следующим образом:
),,),();();(()( ))(,min(1 tmtttt
где )(t — индикатор того, что в рассматриваемом интервале занятости до мо-
мента t было окончено обслуживание хотя бы одного требования (индикатор не-
монотонности траектории), )(t — число требований в системе в момент t,
а ),(ti )),(,(min,,1 tmi — длительности пребывания на обслуживании тре-
бований. Начальным состоянием является ).0;1;0()0( Случайный про-
цесс )(t обрывающийся: момент обрыва определяется следующим образом:
}.0)(:inf{ tt
Пусть ),,;;()( ),min(1 mt — некоторое фиксированное состоя-
ние системы. Предположим, что после момента t требования не поступают. Оче-
видно, что в этом случае число требований в системе будет монотонно убывать.
Построим случайный вектор ))(,),(()( 1 , ),()(1 моментов
окончаний обслуживаний имеющихся в системе требований. Данный вспомога-
тельный алгоритм назовем алгоритмом А.
1. Строим длительности ,i ),,(min,,1 mi до окончания обслуживания
требований, находящихся в системе в процессе обслуживания при состоянии .
Для этого строим реализации случайных величин с функциями распределения
),;( ixB ),,(min,,1 mi где
}.{})({);( wwxxwwxB PP (3)
2. Упорядочиваем }{ i в порядке возрастания: .)),(min()1( m
3. Если ,m то ,)( )(ii ,,1i , и алгоритм окончен.
4. Пусть .m Строим реализации m случайных величин с функцией
распределения :)(xB ,,1m (длительности обслуживания требований,
находящихся в очереди). Считаем .1n
5. Полагаем ,)( )1(n а также определяем моменты окончания обслужи-
ваний требований ,)1(1 nms ,)(iis .,,2 mi
6. Упорядочивая mss ,,1 в порядке возрастания, получаем новые значения
.)()1( m
7. Если ,mn то алгоритм окончен и в этом случае ,)( )(iin
.,,1 mi
8. Если же ,mn то увеличиваем n на единицу и переходим на шаг 5 ал-
горитма.
Интегральные уравнения для нахождения 1q
Пусть )()1( Q — вероятность отказа системы на интервале занятости, если
известно, что интервал занятости начался в момент 0t и
),,,;;()0( ),min(1 m (4)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 85
а )()0( Q — соответствующая вероятность немонотонного отказа (данную вероят-
ность будем связывать лишь с состояниями вида (1) при ).0 Очевидно, что
),( 0
)0(
1 Qq где ).0;1;0(0 Вероятности )()0( Q и )()1( Q удовлетворяют
системам уравнений:
duuQemrIQ u )))(,;(()()( 1
)0(
)(
0
)(
)0(
1
M
,)))(,;(()1(
)(
)(2
1
duuQe i
u
i
i
i
(5)
,)))(,;(()( )1(
)(
)(1
)(
)1(
1
duuQeQ i
u
i
i
i
M (6)
где )(M — математическое ожидание по распределению случайного вектора
)( при фиксированном состоянии , )(I — индикатор соответствующего со-
бытия, ,0)(0 а ))(,;( ui — состояние системы в момент ,0u если из-
вестно, что в начальный момент времени система находится в состоянии и пер-
вое требование поступило в момент )).(),(( 1 iiu
Алгоритм построения несмещенной оценки для 1q
Пусть при каждом состоянии вида (4) задан набор чисел ),(i ,,,1 i
зависящий лишь от и , такой, что
,0)( i .,,1 i (7)
Прежде чем сформулировать алгоритм построения несмещенной оценки для
,1q представим соотношения (5) и (6) в несколько ином виде:
)(
)1)(()(
)()(
0
)(
1
0)(
)0(
1
D
emrI
DQ M
)(
)()(
)))(,;((
1)(
1
0
)()(
2
1
)0(
)(
)(
01
1
1
1
D
ee
duuQ
e
e ii
i
i
u
duuQ
ee
e
i
u
i ii
i
i
)))(,;((
)(
1 )1(
)()(
)(
)(
1
1
, (8)
)(
)()(
)()(
1
)()(
1
1)(
)1(
1
D
ee
DQ
ii
i
i
M
,)))(,;((
)(
1 )1(
)()(
)(
)(
1
1
duuQ
ee
e
i
u
i ii
i
i
(9)
где
),)(()1)(()()(
)()(
2
)(
10
11
ii eeemrID i
i
(10)
).)(()(
)()(
1
1
1
ii eeD i
i
(11)
86 ISSN 0572-2691
Соотношения (8)–(11) позволяют сформулировать алгоритм построения не-
смещенной оценки для .1q
1. Полагаем )0;1;0( (начальное состояние) и 1ˆ 1 q (нормирующий
множитель).
2. При фиксированном состоянии вида (4) строим реализацию случайного
вектора ))(,),(()( 1 , моментов окончания обслуживаний, имеющихся
в системе требований (алгоритм А).
3. Для каждого ,,1i вычисляем
,
)(
))(()]()0()1(1[
)(
)()(1
D
eemrIIiI
p
ii
i
i (12)
где )(0 D и )(1 D определяются согласно (10) и (11). Случай ,1i 0 и mr
является особым: отказ не может наступить на первом интервале ),1( i посколь-
ку он будет монотонным ).,0( mr
4. Моделируем номер интервала, в котором поступит следующее требование,
т.е. строим реализацию случайной величины , которая принимает значение
},,1{ i с вероятностью )(ip .
5. Вычисляем новое значение нормирующего множителя:
)(
)(
ˆ:ˆ 11
D
qq ,
(здесь и в дальнейшем запись )(: aga означает, что новому значению перемен-
ной a присваивается функция )(g от ее старого значения). Кроме того, если
,1 то полагаем .1:
6. Моделируем момент 1 поступления требования, где — случайная
величина с функцией распределения
,
1
1
)(
))()(( 1
e
e
xA
x
)].()(,0[ 1 x
7. Строим новое состояние ),,;;( *
),(min
*
1
***
m системы обслужи-
вания в момент ,01 если известно, что в начальный момент система
находилась в состоянии и следующее требование поступило в момент .1
8. Если ,1* rm то произошел отказ, алгоритм окончен и в качестве
оценки в одной реализации для 1q выбираем нормирующий множитель .ˆ 1q Ес-
ли же ,* rm то переходим на шаг 2 алгоритма, полагая .: *
Теорема 1. Для любого набора чисел ),(i ,,,1 i удовлетворяющего
условию (7) для всех возможных состояний , оценка 1ˆq является несмещенной,
т.е. .ˆ 11 qqM
Доказательство теоремы вытекает непосредственно из сформулированного
алгоритма и соотношений (8)–(11).
Ограниченность относительной
среднеквадратической погрешности оценки 1q̂
Ограниченность относительной среднеквадратической погрешности (ОСКП)
оценки (отношение корня дисперсии к математическому ожиданию оценки) явля-
ется важным свойством, гарантирующим сохранение высокой точности вычисле-
ний при .0 Оценка 1ˆq будет обладать свойством ограниченности ОСКП
лишь при определенном выборе набора )}.({ i Пусть состояние системы имеет
вид (4). Совокупность },,1),({ ii выберем следующим образом:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 87
,2 если,
, или 1 если,1
)( 11
rm
rm
rm (13)
,)( 1 irm
i .,,2 i (14)
Предположим, что функция распределения )(xB длительности обслужива-
ния обладает плотностью ),(xb причем функция ,
)(1
)(
)(
wB
wb
w
,0w удовле-
творяет условию: существуют 0h и s такие, что
hw )( для любого .sw (15)
Условие (15) имеет простую интерпретацию. Если )(w — случайная вели-
чина с функцией распределения
}{})({);( wwxxwwxB PP
( имеет распределение )),(xB то для любого 0w имеет место неравенство
sw)( (по распределению), т.е. },{})({ xsxw PP где — экспо-
ненциально распределенная случайная величина с параметром h.
Действительно,
duu
duuduu
w
wxw
wxB
w
wxw
)(exp
)(exp)(exp
}{
}{
);(
0
00
P
P
.если},{exp1
,если)},({exp1
,если,0
)(exp1
swhx
wxswswxh
swx
duu
wx
w
Очевидно, что для любых комбинаций параметров xsw ,, последнее выра-
жение не меньше, чем }.{ xs P
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Если выполнено условие (15) и совокупность },,1),({ ii
выбирается в соответствии с (13) и (14), то
.
ˆ
lim
1
1
0
q
qD
(16)
Доказательство. Построим нижнюю оценку вероятности 1q и верхнюю
оценку для второго момента случайной величины .ˆ 1q
Пусть }1,{ )( ii
и }0,{ )( ii
— независимые последовательности неза-
висимых в совокупности и одинаково распределенных в каждой последователь-
ности случайных величин соответственно с функциями распределения xe 1
и )(xB (интервал занятости начинается с обслуживания требования длительно-
стью ).)0( Достаточным условием немонотонного отказа будет наступление сле-
дующего события H:
если ,1m то
};,{ )2()2()1()1()0()2()1()0()1( rH
88 ISSN 0572-2691
если же ,1m то
,,{ )1()2()1()2()1()0()1( rmH
}., )1()1()( rmmm
Очевидно, что при 1m
},{}{ )2()2()1()2()1()0()1( rH PP
(см. случай ).1m Поэтому достаточно строить оценку снизу для вероятности
события H при :1m
11
!
)(
}{ 1
00
1
0
1
mm x
r
m
m
xx
e
r
x
dxedxeHq P
0
1112121 )](1[)](1)][()([
mmm dxxBxxBxBxxB
)]()([
!
1211
00
1
0
1
0
xBxxBxdxdx
r
r
mm
rm
.)](1[)](1[ 1112 mmm dxxBxxB (17)
Условие (15) гарантирует конечность интегралов в правой части (17). Следо-
вательно, порядок вероятности 1q не выше, чем ).( 1 rmO
Построим теперь верхнюю оценку для второго момента случайной величи-
ны .ˆ 1q Для этого воспользуемся сформулированным выше алгоритмом построе-
ния оценки .ˆ 1q Отказовой немонотонной траекторией системы назовем последо-
вательность },,1,0),;({ )()()( niiii такую, что ),1;0()0( ,rmn
,0 )( rmi ,1,,1 ni .1)( rmn Пусть — множество всех отка-
зовых немонотонных траекторий. Тогда
),;(ˆ )0(2
1
VqM (18)
где );( )0( V — среднее значение квадрата произведения нормирующих множи-
телей при известной траектории и начальном состоянии ).0;1;0()0( Пусть
),,;;(
),(min1
)()()(
)(im
iii xx
— фиксированное состояние системы. Обозна-
чим );( )(iyU распределение случайного вектора )).(,),(()( )()(
1
)(
)(
iii
i
Известно, что при поступлении следующего требования в системе окажется )1( i
требований. Поэтому это требование поступило в интервале .2)1()( iij
Следуя алгоритму построения оценки ,ˆ 1q получим систему рекуррентных соот-
ношений для функций :)};({ )( iV
),;(
1
);(
)(
)(
)();( )(
)(
)1(
0
2
)(
)(
)()(
1
1
)( i
yy
z
i
yy
i
j
i
i
j
i dU
e
dze
V
D
pV
jj
jj
i
где ),,,;;(
),(min1
)1()1()1(
)1(
im
iii ww а значения }{ kw однозначно уста-
навливаются по },{ kx если известно, что следующее требование поступит в мо-
мент ;1 zy j значения величин ),( )(
)(
i
iD
),( )(i
jp )( )(i
j определяются со-
отношениями (10)–(14). Данное соотношение можно переписать в виде
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 89
)(
)(
)]()0()1(1[);(
)(
)(
)()()( )(
i
j
i
iii iD
mrIIjIV
).;();( )()1(
0
1
1 izi
yy
y
ydUdzeVe
jj
j
(19)
Далее воспользуемся методом математической индукции. Пусть .1 ni
В этом случае 1)1( n (иначе отказ был бы монотонным) ,1j mrn )1(
(иначе не было бы отказа системы при n-м поступлении требования) и
.1);( )( nV Поэтому 1)( )1(
1 n (см. (13)). Заменяя в соотношении (11) все
)}({ )1( n
i единицей, получаем верхнюю оценку: .)( )1(
1 mr
n yD
Восполь-
зовавшись (19), имеем
).;()();();( )1(22)1(
1
2)1(
n
mr
n
mr
n ydUyydUyyV
Интеграл в правой части последнего соотношения есть второй момент вре-
мени до окончания обслуживания rm требований, присутствующих в системе.
Заменяя m канальную систему одноканальной и воспользовавшись условием (15),
имеем
,)]()([);()( 2
1
)1(2
rm
n
mr srmydUy
M (20)
где }{
i
— последовательность независимых экспоненциально распределенных
случайных величин с параметром h. Окончательно имеем
,);( 2)1()1( nnV (21)
причем данная оценка равномерна относительно длительностей }{ ix проведенно-
го обслуживания при состоянии системы .)1( n
Предположим, что найдена верхняя оценка
)1()1( );( iiV при
.11 ni Построим соответствующую оценку для ).;( )( iV Рассмотрим не-
сколько случаев.
1. 1)( i . Если ,1)( i
то 1)( )(
)(
ijrmi
j (см. (13), (14)). Учитывая,
что ,2)1()( iij имеем оценку
.)(
)(
)(
)(
)()1(
1
)(
)(
)( 1
1
1
)(
)(
1
i
ii
kk
i
i
i
yee
D yykrm
k
jrm
i
j
i
Легко видеть, что такая же оценка имеет место и при 1)( i ,1( j ,1)( )(
1 i
).1)()1( ii
Воспользовавшись соотношениями (19) и (20), получим
,);();( )1(1)()(2)1(1)( )()1(
)(
)()1(
iiiii ii
i
ii
ydUyV (22)
2. ,0)( i
,1)()1( ii
.)( rmi В этом случае .1j Учитывая
(13) и (14), имеем
.)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
0
i
kk
i
yee
D yy
i
i
k
k
i
i
Из (19) следует, что
.);();( )1(2)()(2)1(2)(
)(
iiiii ydUyV i
(23)
90 ISSN 0572-2691
3. ,0)( i .)()1( ii Поскольку 2)1()( iij и 1)( )(
)(
ijrmi
j
(см. (14)), то
)1(
)(
)(
1
)(
)(
1
1
)(
)(
0 y
jrm
rm
i
j
i
e
D
i
i
.)( )(
)()1(
1
)(
)()(
1
1
1
2
i
ii
kk
i
ii
yee
yy
jrm
krm
k
Воспользовавшись (19), получим
.);();( )1(2)()(2)1(2)( )()1(
)(
)()1(
iiiii ii
i
ii
ydUyV (24)
Формулы (21)–(24) позволяют сделать вывод, что во всех случаях, за исклю-
чением одного, при переходе )1()( ii в верхней оценке появляется множи-
тель порядка .1
)()1(
ii
Лишь при ,0)( i
)()1( ii (возможен всего один
переход такого типа) соответствующий множитель будет иметь порядок
,2)()1(
ii
поэтому
.)();( 11
1
)0()0( )1()(
rmnn
n
i
ii
V
Параметр n может принимать лишь значения ,krm где .1k Количе-
ство траекторий из множества при фиксированном k не превосходит .k
krmC
В силу (18)
.ˆ 1
1
)1(2122
1
2
1
kkk
krm
k
rmrmrmkkrmk
krm
k
CCqM
При достаточно малых значениях ряд в правой части последнего соотно-
шения сходится (признак Даламбера). Поэтому ).(ˆ )1(22
1
rmOqM В то же
время порядок вероятности 1q не выше, чем )( 1 rmO (см. (17)). Следователь-
но, имеет место соотношение (16).
Теорема доказана.
Численные результаты
Сравним значения вероятностей монотонного и немонотонного отказов в двух
случаях, когда выполнено и не выполнено условие (15). При этом вероятность моно-
тонного отказа находим численным методом с помощью программы Mathematica 6.0.
Вероятность же немонотонного отказа находим изложенным выше методом ускорен-
ного моделирования. Рассмотрим систему со следующими параметрами:
,1 ,3m ,2r ,1)(
xexB .0x
Обозначим 1
ˆ
K оценку для относительной среднеквадратической погрешно-
сти (отношение корня квадратного выборочной дисперсии к оценке ).ˆ 1q Все
приведенные ниже оценки 1ˆq построены с достоверностью 0,99 и относительной
погрешностью 1 %.
В табл. 1 приведены результаты для 2 и ,5/1 n .6,,1,0 n По-
скольку функция ,
)(1
)(
)(
wB
wb
w
,0w является монотонно возрастающей
(распределение «стареющего» типа), то выполнено условие (15).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 91
Таблица 1
n 0q
1ˆq
1
ˆ
K 01 /ˆ qq
0 1,93 310 3,92 310 5,0 2,0
1 1,43 610 3,40 710 7,7 2,4 110
2 5,47 1010 2,31 1110 9,2 4,2 210
3 1,82 1310 1,51 1510 10,0 8,3 310
4 5,85 1710 9,64 2010 10,9 1,6 310
5 1,88 2010 6,17 2410 10,7 3,3 410
6 6,00 2410 3,94 2810 10,2 6,6 510
Результаты вычислений полностью согласуются с утверждением теоремы 2:
если при больших значениях наблюдается некоторое увеличение ,ˆ
1K то при
008,05/1 3 значение оценки 1
ˆ
K остается практически неизменным. Кроме
того, отношение 01 /ˆ qq монотонно убывает при ,0 что полностью согласу-
ется с теоремами А.Д. Соловьева [10] и И.Н. Коваленко [12].
В табл. 2 приведены результаты для 5,0 и ,2/1 n .4,,1,0 n По-
скольку функция ),(w 0w , монотонно убывающая (распределение «молоде-
ющего» типа), причем 0)(
w
w , то условие (15) не выполняется.
Таблица 2
n 0q
1ˆq
1
ˆ
K 01 /ˆ qq
0 7,18 310 1,34 110 2,0 18,6
1 1,39 310 2,12 210 12,3 15,3
2 1,83 410 1,32 310 77,4 7,2
3 1,66 510 4,77 510 104,6 2,9
4 1,07 510 1,31 510 199,5 1,2
Наблюдается существенный рост .ˆ
1K С дальнейшим уменьшением полу-
чение оценок требуемой точности является весьма проблемной задачей, требую-
щей огромных вычислительных затрат. Отношение 01 /ˆ qq по-прежнему моно-
тонно убывает. В то же время 01 qq для приведенных значений , т.е соотно-
шение (1) не выполнено.
Автор глубоко благодарен научному руководителю академику НАН Украины
И.Н. Коваленко за постановку задачи и критические замечания, способствовав-
шие ее успешному решению.
І.М. Кузнєцов
ОЦІНКА ЙМОВІРНОСТІ НЕМОНОТОННОЇ
ВІДМОВИ НА ПЕРІОДІ ЗАЙНЯТОСТІ
СИСТЕМИ rmGM /// МЕТОДОМ
ПРИСКОРЕНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
Для системи rmGM /// запропоновано метод прискореного моделювання
ймовірності немонотонної відмови на періоді зайнятості. Оцінка є незміщеною.
Знайдено умови, які гарантують обмеженість відносної середньоквадратичної
похибки. Точність оцінок ілюструється двома чисельними прикладами.
92 ISSN 0572-2691
I.N. Kuznetsov
EVALUATION OF THE PROBABILITY
OF NONMONOTONE FAILURE
IN A BUSY PERIOD OF THE SYSTEM rmGM ///
BY FAST SIMULATION METHOD
A fast simulation method for the evaluation of the probability of nonmonotone failure
in a busy period of the system rmGM /// is proposed. An estimate is unbiased. Un-
der some weak conditions an estimate has a bounded relative error. The accuracy of
estimates is illustrated by two numerical examples.
1. Гнеденко Б.В. О ненагруженном дублировании // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.
— 1964. — № 4. — С. 3–12.
2. Гнеденко Б.В. О дублировании с восстановлением // Там же. — 1964. — № 5. —
С. 111–118.
3. Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением // Там же. — 1970. — № 1. —
С. 56–71.
4. Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента первого наступления редкого события
в регенерирующем процессе // Там же. — 1971. — № 6. — С. 79–89.
5. Гнеденко Д.Б., Соловьев А.Д. Оценка надежности сложных восстанавливаемых систем //
Там же. — 1975. — № 3. — С. 89–96.
6. Соловьев А.Д., Карасева Н.Г. Оценка среднего времени жизни восстанавливаемых систем //
Вестн. Москов. ун-та. Сер. 1. — 1998. — № 5. — С. 25–29.
7. Kalashnikov V.V. Mathematical methods in queueing theory. — Dordrecht : Kluwer Academ.
Publ., 1994. — 377 р.
8. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем.
— М. : Сов. радио, 1980. — 209 с.
9. Kovalenko I.N. Approximation of queues via small-parameter method // Advances in Queueing.
— Boca Raton : CRC Press, 1995. — P. 481–506.
10. Вопросы математической теории надежности / Е.Ю. Барзилович, Ю.К. Беляев, В.А. Каш-
танов, И.Н. Коваленко, А.Д. Соловьев, И.А. Ушаков. — М. : Радио и связь, 1983. — 376 с.
11. Константинидис Д.Г. Принцип монотонной траектории отказа сложной восстанавливае-
мой системы // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 1. — 1990. — № 3. — С. 7–13.
12. Коваленко И.Н. Оценка интенсивности потока немонотонных отказов в системе обслужи-
вания (≤ ) /G /m // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 9. — C. 1219–1225.
13. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю. Принцип монотонных отказов и его применение к расчету
характеристик надежности структурно сложных систем // Стохастические модели систем.
— Киев : Военная академия ПВО сухопутных войск, 1986. — С. 25–45.
14. Коваленко И.H. Об оценке надежности сложных систем // Вопpосы pадиоэлектpоники. —
1965. — 12, № 9. — С. 50–68.
15. Коваленко И.Н., Кузнецов И.Н. Оценка вклада немонотонных траекторий в отказ системы
обслуживания на периоде занятости // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 4.
— С. 8–17.
16. Heidelberger P. Fast simulation of rare events in queueing and reliability models // ACM Trans.
Modeling Comput. Simul. — 1995. — 5, N 1. — P. 43–85.
17. Glasserman P., Heіdelberger Ph., Shahabuddіn P., Zajіc T. Multilevel splitting for estimating ra-
re event probabilities // Oper. Res. — 1999. — 47, N 4. — P. 585–600.
18. Kovalenko I.N., Kuznetsov N.Yu., Pegg Ph.A. Mathematical theory of reliability of time depen-
dent systems with practical applications. — Chichester : Wiley, 1997. — 303 p.
19. Коваленко И.H. К расчету характеристик высоконадежных систем аналитико-статис-
тическим методом // Электронное моделирование. — 1980. — 2, № 4. — С. 5–8.
Поучено 18.10.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207486 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:05:21Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузнецов, И.Н. 2025-10-08T12:06:37Z 2012 Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования / И.Н. Кузнецов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 82–92. — Бібліогр.: 19 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207486 519.872 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i3.30 Для системи M/G/m/r запропоновано метод прискореного моделювання ймовірності немонотонної відмови на періоді зайнятості. Оцінка є незміщеною. Знайдено умови, які гарантують обмеженість відносної середньоквадратичної похибки. Точність оцінок ілюструється двома чисельними прикладами. A fast simulation method for the evaluation of the probability of nonmonotone failure in a busy period of the system M/G/m/r is proposed. An estimate is unbiased. Under some weak conditions an estimate has a bounded relative error. The accuracy of estimates is illustrated by two numerical examples. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования Оцінка ймовірності немонотонної відмови на періоді зайнятості системи M/G/m/r методом прискореного моделювання Evaluation of the Probability of Nonmonotone Failure in a Busy Period of the M/G/m/r System by the Fast Simulation Method Article published earlier |
| spellingShingle | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования Кузнецов, И.Н. Методы обработки информации |
| title | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования |
| title_alt | Оцінка ймовірності немонотонної відмови на періоді зайнятості системи M/G/m/r методом прискореного моделювання Evaluation of the Probability of Nonmonotone Failure in a Busy Period of the M/G/m/r System by the Fast Simulation Method |
| title_full | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования |
| title_fullStr | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования |
| title_full_unstemmed | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования |
| title_short | Оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы M/G/m/r методом ускоренного моделирования |
| title_sort | оценка вероятности немонотонного отказа на периоде занятости системы m/g/m/r методом ускоренного моделирования |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207486 |
| work_keys_str_mv | AT kuznecovin ocenkaveroâtnostinemonotonnogootkazanaperiodezanâtostisistemymgmrmetodomuskorennogomodelirovaniâ AT kuznecovin ocínkaimovírnostínemonotonnoívídmovinaperíodízainâtostísistemimgmrmetodompriskorenogomodelûvannâ AT kuznecovin evaluationoftheprobabilityofnonmonotonefailureinabusyperiodofthemgmrsystembythefastsimulationmethod |