Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте

Розглянуто обернену задачу, пов’язану з відновленням граничної умови в крайовій постановці для рівнянь двофазної течії в пласті. Побудовано різницевий аналог задачі за допомогою методу «неявний за тиском – явний за насиченістю» і запропоновано обчислювальний алгоритм розв’язання отриманої системи рі...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Гамзаев, Х.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207514
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте / Х.М. Гамзаев // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 55–63. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207514
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2075142025-10-09T00:00:55Z Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте Відновлення граничного режиму для двофазної течії в пласті Restoration of Boundary Mode for Two-Phase Flow in Oil Pool Гамзаев, Х.М. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Розглянуто обернену задачу, пов’язану з відновленням граничної умови в крайовій постановці для рівнянь двофазної течії в пласті. Побудовано різницевий аналог задачі за допомогою методу «неявний за тиском – явний за насиченістю» і запропоновано обчислювальний алгоритм розв’язання отриманої системи різницевих рівнянь. The inverse problem related to restoration of boundary condition in boundary statement for equations of two-phase flow in oil pool is considered. The difference analog of the problem is constructed using the method «implicit by the pressure – explicit by the saturation» and computational algorithm of solving the obtained system of difference equations is presented. 2012 Article Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте / Х.М. Гамзаев // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 55–63. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207514 519.6:532.546 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i8.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Гамзаев, Х.М. Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто обернену задачу, пов’язану з відновленням граничної умови в крайовій постановці для рівнянь двофазної течії в пласті. Побудовано різницевий аналог задачі за допомогою методу «неявний за тиском – явний за насиченістю» і запропоновано обчислювальний алгоритм розв’язання отриманої системи різницевих рівнянь.
format	Article
author	Гамзаев, Х.М.
author_facet	Гамзаев, Х.М.
author_sort	Гамзаев, Х.М.
title	Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте
title_short	Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте
title_full	Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте
title_fullStr	Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте
title_full_unstemmed	Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте
title_sort	восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207514
citation_txt	Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте / Х.М. Гамзаев // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 55–63. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gamzaevhm vosstanovleniegraničnogorežimadlâdvuhfaznogotečeniâvplaste AT gamzaevhm vídnovlennâgraničnogorežimudlâdvofaznoítečíívplastí AT gamzaevhm restorationofboundarymodefortwophaseflowinoilpool
first_indexed	2025-11-24T03:11:42Z
last_indexed	2025-11-24T03:11:42Z
_version_	1849639727750184960
fulltext	© Х.М. ГАМЗАЕВ, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 55 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 519.6:532.546 Х.М. Гамзаев ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРАНИЧНОГО РЕЖИМА ДЛЯ ДВУХФАЗНОГО ТЕЧЕНИЯ В ПЛАСТЕ Известно, что метод заводнения — нагнетание воды в пласт для вытеснения нефти из пласта, является одним из основных технологических методов разработ- ки нефтяных месторождений. Роль воды в процессе вытеснения очень сложна. С одной стороны, она, являясь вытесняющим агентом, способствует повышению коэффициента нефтеотдачи, с другой, прорываясь к скважинам и обводняя их, снижает эффективность разработки месторождения. В связи с этим очень важное значение имеет использование математических моделей процессов вытеснения нефти из пласта водой как при проектировании систем разработки, так и при экс- плуатации нефтяных месторождений. Для моделирования процесса вытеснения нефти из пласта водой традиционно ис- пользуется система уравнений, включающая в себя дифференциальные уравнения не- разрывности фильтрационных потоков нефти и воды, уравнения движения жидкостей, уравнения состояния пористой среды и жидкостей [1]. При этом геометрическая кон- фигурация пласта, свойства породы и жидкостей, начальное состояние пласта, а также условия на контуре пласта и скважин считаются известными. Обычно на поверхно- стях, через которые в пласт поступает вытесняющая фаза (нагнетательные скважины, контур питания, галереи), считаются заданными либо расход вытесняющей фазы, либо давление. Кроме того, на таких поверхностях может быть заданной величина насы- щенности вытесняющей фазы. На поверхностях стоков (эксплуатационные скважины, галереи) также считаются заданными два условия, одно из которых — заданный дебит или давление. Второе условие отражает так называемый «концевой эффект», связан- ный с тем, что во внешней среде, куда происходит истечение, давления жидкостей практически равны, а в пористой среде давления отличается на величину капиллярного давления, которое зависит от водонасыщенности. Поэтому полагают, что движение вытесняющей фазы через выходное сечение оказывается невозможным до тех пор, по- ка насыщенность ее недостаточно велика, чтобы сравнялись давления в обеих фазах. Однако условия, задаваемые на эксплуатационных скважинах или галереи, как правило, не выполняются. Так как режим работы эксплуатационных скважин зависит от состояний системы пласт–скважина, а также от взаимодействий сква- жин, точное представление условия на эксплуатационных скважинах практически не представляется возможным. В связи с этим для разработки нефтяных месторождений очень важное значе- ние имеет моделирование процесса вытеснения нефти из пласта водой только на основании информации, полученной из нагнетательных скважин или галереи. Постановка задачи Пусть имеется горизонтально расположенный нефтеносный пласт протяжен- ностью L, постоянной толщины и ширины. На границе 0x расположена нагне- 56 ISSN 0572-2691 тательная галерея, а на границе Lx  — эксплуатационная галерея. В момент времени 0t через нагнетательную галерею в пласт начинает закачиваться вода. В пласте происходит изотермическое прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой. Предполагается, что в процессе вытеснения в пласте образуется двухфазное течение несжимаемых и взаимно несмешивающихся жидкостей — нефти и воды. Пласт считается деформируемым. Пренебрегая капиллярным дав- лением, систему уравнений, описывающую двухфазное течение в рассматривае- мом пласте, можно представить в следующем виде: ,0      x u t mS ww (1) ,0      x u t mS oo (2) , x Pkk u w w w     (3) , x Pkk u o o o     (4) ,1 ow SS (5) }.0,0{ TtLxG  Здесь wS — насыщенность вытесняющей фазы (воды), oS — насыщенность вы- тесняемой фазы (нефти), ow uu , — скорости фильтрации вытесняющей и вытес- няемой фаз, P — давление, )(xk — коэффициент абсолютной проницаемости, )(Pm — коэффициент пористости, ow  , — вязкости воды и нефти, соответ- ственно )(),( ow SkSk — относительные фазовые проницаемости для воды и нефти. Предполагается, что изменение коэффициента пористости зависит от изме- нения давления линейно, а относительные фазовые проницаемости являются из- вестными однозначными функциями насыщенности вытесняющей фазы и удовле- творяют условиям ,0)( Sko .0)( Skw Уравнения (1)–(5) образуют замкнутую систему для определения всех неиз- вестных параметров — насыщенности воды и нефти ,, ow SS давления P, скоро- сти фильтрации ., ow uu Характерной особенностью этой системы является то, что ее можно свести к двум уравнениям относительно насыщенности вытесняющей фазы wS и давления P. Подставив в (1) и (2) выражения для скоростей фаз ow uu , из (3), (4) и учитывая соотношение (5), получим ,)(               x P S xt mS ww w ,)( )(               x P S xt mSm wo w где , )( )( w ww ww Skk S   . )( )( o wo wo Skk S   Сложив эти уравнения, вместо системы уравнений (1)–(5) получим следую- щую систему связанных нелинейных уравнений: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 57 ,)(                x P S xt P w (6) ,)(               x P S xt mS ww w (7) },0,0{ TtLxG  где dP dm  — коэффициент объемной упругости пласта, ).()()( wowww SSS  Пусть в начальный момент времени 0t распределение давления, а также распределение насыщенности вытесняющей фазы (связанной воды) в пласте из- вестны, т.е. для системы (6), (7) имеем следующие начальные условия: ),(00 xpP t  (8) ).(00 xsS tw  (9) Предположим, что через нагнетательную галерею, расположенную на границе ,0x в пласт закачивается вода со скоростью )(tqw и насыщенность воды на этой границе меняется со временем по заданному закону ).(tsw Тогда на этой границе будем иметь условия ),()( 0 tq x P S wxww      (10) ,)(0 tsS wxw  (11) а для того чтобы сформулировать корректную задачу, необходимо иметь условие на границе Lx  относительно скорости нефти (или давления) ),()( tq x P S oLxwo      (12) где )(tqo — скорость фильтрации нефти на границе .Lx  Но поскольку отборы нефти и воды на границе пласта Lx  невозможно регули- ровать по заранее заданной программе, функция )(tqo считается неизвестной и, следо- вательно, подлежит определению вместе с функциями ),( txSw и ).,( txP В связи с этим необходимо задавать дополнительное условие. Предположим, что на границе 0x наряду со скоростью нагнетания воды одновременно задается закон изменения давления во времени. Тогда на этой границе будем иметь дополнительное условие .)(0 tpP wx  (13) Таким образом, задача об определении распределения давления ),,( txP насы- щенности вытесняющей фазы ),( txSw и функции )(tqo в процессе разработки пласта сводится к решению системы уравнений (6), (7) при выполнении условий (8)–(13). Метод решения Задача (6)–(13) относится к классу граничных обратных задач [2–4]. Для чис- ленного решения задачи (6)–(13) используем подход, предложенный в [5]. Введем равномерную разностную сетку в области :G }...,,2,1,0,...,,2,1,0,,:),{( MjNijtihxxt jiijh   с шагами: NLh / по переменному x и MT / по переменному t. Пользуясь интегро-интерполяционным методом, разностный аналог системы уравнений (6), (7) на сетке h запишем в виде 58 ISSN 0572-2691 ,)()( 1 1 1 1 2/1 11 1 2/1 1                        h PP S h PP S h PP j i j ij wi j i j ij wi j i j i (14) ,)()( 1)()( 1 1 1 2/1 11 1 2/1 1                       h PP S h PP S h mSmS j i j ij wiw j i j ij wiw j iw j iw (15) ,1,,3,2,1  Ni  .1,,3,2,1,0  Mj  Для построения разностных аналогов условий (10), (12) уравнение (6) проинте- грируем сначала по прямоугольнику ],,0[ 12/1  jj tttxx где ,2/2/1 hx  ,)( 0 1 2/1 1 1 2/1 0 dt x P dt x P dxPP x t txx t t tttt x j j j j jj             а затем по прямоугольнику ],,[ 12/1   jjN tttLxx где ,2/2/1 hLxN  .)( 2/1 11 1 2/1 dt x P dt x P dxPP N j j j j jj N xx t tLx t t tttt L x              Заменяя интегралы в двух последних уравнениях их приближенными значе- ниями в соответствии с методом прямоугольников, производные — центральны- ми разностями и учитывая ,)()( 00        x ww x w x P S x P S т.е. отсутствие потока нефти через границу ,0x получим разностный аналог условий (10), (12) в виде , 2 )(2 1 2 1 0 1 1 2/1 0 1 0 h q h pp S PP j w jj j w jj        (16) .)(2 )( )(2 2 1 1 1 2/1 1 1 h pp Sq hS SPP j N j Nj wN j oj wNo j wN j N j N               (17) Разностные аналоги граничных условий (11), (13) и начальных условий (8), (9) со- ответственно запишем так: ),( 1 1 0    jw j tpP (18) ),( 1 1 0    jw j w tsS (19) ,1,0  Mj ),(0 0 ii xpP  (20) ),(0 0 iwi xsS  (21) .,0 Ni  Полученная система разностных уравнений (14)–(21) неявна по давлению и явна по насыщенности вытесняющей фазы [1]. Поэтому процесс решения систе- мы уравнений (14)–(21) может быть организован следующим образом: на каждом временном слое 1j из уравнения (14) с учетом соотношений (16)–(18) опреде- ляется давление и скорость фильтрации нефти на границе Lx  (значение насы- щенности вытесняющей фазы берется с предыдущего временного слоя j). Затем Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 59 из уравнения (15) с учетом соотношения (19) находится насыщенность вытесня- ющей фазы на временном слое 1j с учетом вновь найденного значения давле- ния. После этого осуществляется переход к следующему шагу по времени. Необходимо отметить одно важное обстоятельство относительно разностного уравнения (15). Из уравнения (15) найти значения насыщенности вытесняющей фазы на границе Lx  не представляется возможным. Для того чтобы построить разностный аналог уравнения (7) на границе ,Lx  проинтегрируем его по прямо- угольнику ],,[ 12/1   jjN tttLxx привлекая граничное условие (12). В ре- зультате получим .)(2 )( )(2)()( 2 1 1 1 2/1 1 1 h pp Sq hS SmSmS j N j Nj wNw j oj wNo j wNw j Nw j Nw              (22) Систему разностных уравнений (14)–(22) запишем в следующем виде: ),( 1 1 0    jw j tpP (23) ,1 1 11 1 0 jjjj PP   (24) , 1 1 11 1 j i j i j i j i j i j i j i fPbPcPa      ,1,1  Ni (25) ,102 1 12 1     j o jjj N jj N qPP (26) ),( 1 1 0    jw j w tsS (27) )],)(())(([)()( 1 1 1 2/1 11 12/12 1           j i j i j wiw j i j i j wiw j iw j iw PPSPPS h mSmS (28) ,1,1  Ni ,)(2 )( )(2 )()( 2 1 1 1 2/1 11 h pp Sq hS S mSmS j N j Nj wNw j oj wNo j wNwj Nw j Nw           (29) ),(0 0 ii xpP  ),(0 0 iwi xsS  .,0 Ni  Здесь ),( 2/1 j wi j i Sa   ),( 2/1 j wi j i Sb   ,/2  hbac j i j i j i ,/2  j i j i Phf ),2/)(/()( 2 2/12/11  hSS j w j w j ),2/)(( /)2/( 2 2/1 1 0 2 1   hShqPh j w j w jj ),2/)(/()( 2 2/12/12   hSS j wN j wN j ),2/)(( /2/ 2 2/1 2 2   hSPh j wN j N j ).()2/)(( /)( 2 2/10 j wN j wN j wN j SohSSh   60 ISSN 0572-2691 Предположим, что решение разностной задачи (23)–(29) ,, j wi j i SP ,,0 Ni  и j oq в момент времени jtt  известны. Определим решение задачи в момент времени .1 jtt Очевидно, что уравнение (25) можно записать ,/)( 1 1 1 1 j i j i j i j i j i j i j i bfPaPcP      ,1,,2,1  Ni  из которого с учетом (23), (24) можно последовательно найти ,,,, 11 3 1 2  j N jj r PPP  а из уравнения (26) — неизвестное значение .1joq Однако этот алгоритм очень чувствителен к вычислительным погрешностям, в результате погрешности, до- пускаемые в процессе вычислений, накапливаются и приводят к возрастающим (с ростом N) ошибкам в вычисляемых значениях решения. Заметим, что система линейных алгебраических уравнений (23)–(26) имеет трехдиагональную матрицу; следовательно, если каким-то образом будет определено ,1joq то решение данной системы можно найти устойчивым методом прогонки. Поэтому условие (23) ис- пользуем для определения значения .1joq Решение системы (23)–(26) представим в виде ,1 1 11 1      i j ii j i PP ,1,,2,1,0  Ni  (30) где 11,   ii — неизвестные пока коэффициенты. Записывая аналогичное выра- жение для , 1 1   j iP найдем .1 1 11 1 1 iii j iiii j ii j i PPP       Подставляя выражения 1 1 1 ,    j i j i PP в уравнение (25), получим следующие формулы для опре- деления коэффициентов :, 11   ii ),/(1 iiiii acb   ),/()(1 iiiiiii acfa   ,1,,2,1  Ni  а начальные значения этих коэффициентов находим из требования эквивалентно- сти условия (24) уравнению (30) при :0i ,11 j  .11 j  После того как коэффициенты ii  , найдены для всех ,,1 Ni  можно определить зависимость между 1 0 j P и 1j oq в явном виде. Запишем уравнение (30) при :0i .1 1 11 1 0   jj PP Подставив выражение для 1 1 j P , т.е. ,2 1 22 1 1   jj PP будем иметь  1 0 j P .)( 12 1 221  j P Далее, подставляя в последнее уравнение выражения для 1 1 1 3 1 2 ,,,    j N jj PPP  , получим формулу, в которой 1 0 j P выражается через : 1j NP .1 1 121 11 0      l i l i N i N i i j N j PP (31) Теперь, исключив 1 1   j NP из системы уравнений , 11 1 N j NN j N PP    Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 61 ,102 1 12 1     j o jjj N jj N qPP получим соотношение, связывающее 1j NP и :1j oq . 11 1 2 0 2 221        j o N j j N j j N j j N qP (32) Подставляя соотношение (32) в уравнение (31), получим искомую зависимость между 1 0 j P и :1j oq . 11 1 1 121 1 2 0 12 221 0              i l l N i i N i i j o N j jN i i N j j N j j qP Отсюда можно найти :1j oq . )1( 1 0 2 1 01 1 12 0 221                      N i i j N jj i l li N i j j N j j o P q Определив , 1 0 j q по формуле (32) можно найти 1j NP и далее по рекуррентной формуле (30) определить ,,,, 1 1 1 2 1 1     jj N j N PPP  начиная с .1 Ni После определения распределения давления и скорости фильтрации нефти на границе Lx  на временном слое 1j из системы разностных уравнений (23)–(26) определяется насыщенность вытесняющей фазы в слое 1j по времени по явной разностной схеме (27)–(29). При переходе на следующий временной слой описан- ная процедура вычислений снова повторяется. Таким образом, предложенный численный метод позволяет в каждом вре- менном слое последовательно определить распределение давления в пласте, ско- рость фильтрации нефти на границе пласта и распределение насыщенности вы- тесняющей фазы Результаты численных расчетов Для выяснения эффективности практического применения предложенного вы- числительного алгоритма были проведены численные эксперименты для модельных задач. Схема численного эксперимента заключалась в следующем. Для заданной за- висимости )(tqo решалась прямая задача (6)–(12). Найденная зависимость )(tpw принималась за точные данные для численного решения обратной задачи (6)–(13). Первая серия расчетов выполнялась с использованием этих невозмущенных зависи- мостей. Вторая серия расчетов проводились при наложении на )(tpw некоторой функции, моделирующей погрешность экспериментальных данных: ),2/1)(()()(~  ttptp ww где )(t — случайный процесс, моделируемый с помощью датчика случайных чисел;  — уровень погрешности. Расчеты выполнялись на пространственно-временной разностной сетке с ша- гами .06,0,04,0 h Результаты численного эксперимента, проведенного для ,5,0k ,1w ,3o , 8,0 2,0 )( 3         w ww S Sk , 6,0 8,0 )( 3         w wo S Sk 62 ISSN 0572-2691 ,1,01,0  Pm ,2,0)( tqw ),5sin8,01(1,0)( ttqo  ,8,0)( tsw ,2,0)(0 xs ,1)(0 xp ,1L ,30T представлены в таблице: t — время, t oq — точные значения функции )(tqo , oq — вычисленные значения )(tqo при невозмущенных данных, oq~ — вычисленные значения )(tqo при возмущенных данных. (Все параметры приведены в безраз- мерном виде). Как показывают результаты численного эксперимента, при использовании невозму- щенных входных данных искомая функция )(tqo восстанавливается с достаточно высо- кой точностью. Однако при использовании возмущенных входных данных, в которых погрешность имеет флуктуационный харак- тер, проявляется чувствительность восста- новления функции )(tqo от погрешности во входных данных. При уменьшении уровня погрешности решение восстанавливается более точно. Анализ результатов численного экспе- риментирования показывает, что за счет использования грубых расчетных сеток по времени можно уменьшить влияние погреш- ности во входных данных на точность вос- становления значений функции ).(tqo Ис- пользование малых шагов по времени при решении рассматриваемого класса некор- ректно поставленных задач дает противопо- ложный эффект по сравнению с численным решением прямых задач: с ростом временного шага увеличивается точность восстановления решения. Х.М. Гамзаєв ВІДНОВЛЕННЯ ГРАНИЧНОГО РЕЖИМУ ДЛЯ ДВОФАЗНОЇ ТЕЧІЇ В ПЛАСТІ Розглянуто обернену задачу, пов’язану з відновленням граничної умови в кра- йовій постановці для рівнянь двофазної течії в пласті. Побудовано різницевий аналог задачі за допомогою методу «неявний за тиском – явний за насиченіс- тю» і запропоновано обчислювальний алгоритм розв’язання отриманої системи різницевих рівнянь. H.M. Gamzayev RESTORATION OF BOUNDARY MODE FOR TWO-PHASE FLOW IN OIL POOL The inverse problem related to restoration of boundary condition in boundary state- ment for equations of two-phase flow in oil pool is considered. The difference analog of the problem is constructed using the method «implicit by the pressure – explicit by the saturation» and computational algorithm of solving the obtained system of dif- ference equations is presented. Таблица T t oq oq oq~ 1,5 0,025 0,025 0,025 3,0 0,048 0,048 0,048 4,5 0,139 0,139 0,140 6,0 0,179 0,179 0,174 7,5 0,116 0,113 0,109 9,0 0,032 0,029 0,294 10,5 0,037 0,038 0,157 12,0 0,124 0,126 0,136 13,5 0,180 0,182 0,189 15,0 0,131 0,130 0,118 16,5 0,042 0,043 0,051 18,0 0,028 0,028 0,035 19,5 0,109 0,108 0,103 21,0 0,178 0,178 0,158 22,5 0,145 0,145 0,121 24,0 0,054 0,053 0,048 25,5 0,023 0,023 0,017 27,0 0,093 0,093 0,086 28,5 0,172 0,173 0,168 30,0 0,157 0,157 0,167 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 63 1. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. — М. : Недра, 1982. — 407 c. 2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математи- ческой физики. — М. : Издательство ЛКИ, 2009. — 480 c. 3. Латтес Р., Лионс Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М. : Мир, 1970. — 335 c. 4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект- ных задач. — М. : Наука, 1988. — 288 c. 5. Гамзаев Х.М. Численное решение некорректной задачи однофазного течения в двумерном пласте // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 5. — С. 74–84. Получено 18.11.2011

Восстановление граничного режима для двухфазного течения в пласте

Репозитарії

Схожі ресурси