К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя

Побудовано диференціальну модель, яка визначає тривимірне поле поперечних динамічних зміщень пружного шару постійної товщини через його поверхневі навантаження. Модель є двовимірним диференціальним рівнянням, параметрично залежним від виродженої координати. Окремим випадком моделі є класичні і уточн...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Authors:	Стоян, В.А., Двирничук, К.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207516
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 74–83. — Бібліогр.: 9 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207516
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2075162025-10-09T00:10:57Z К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя До побудови диференціальної моделі поперечних динамічних зміщень товстого пружного шару To Construction of Differential Model of Transverse Dynamic Displacements of Thick Elastic Layer Стоян, В.А. Двирничук, К.В. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Побудовано диференціальну модель, яка визначає тривимірне поле поперечних динамічних зміщень пружного шару постійної товщини через його поверхневі навантаження. Модель є двовимірним диференціальним рівнянням, параметрично залежним від виродженої координати. Окремим випадком моделі є класичні і уточнені рівняння динаміки тонких пластин, отримані іншими авторами на основі різних механічних гіпотез. The differential model is constructed, which determines three-dimensional cross-field dynamic displacement of the elastic layer of constant thickness through its surface loads. The model is a two-dimensional differential equation, parametrically dependent on the degenerate coordinate. A special case of the model includes classical and refined equations of the dynamics of thin plates obtained by other authors based on various mechanical hypotheses. 2012 Article К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 74–83. — Бібліогр.: 9 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207516 539.3:534.1 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i8.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Стоян, В.А. Двирничук, К.В. К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя Проблемы управления и информатики
description	Побудовано диференціальну модель, яка визначає тривимірне поле поперечних динамічних зміщень пружного шару постійної товщини через його поверхневі навантаження. Модель є двовимірним диференціальним рівнянням, параметрично залежним від виродженої координати. Окремим випадком моделі є класичні і уточнені рівняння динаміки тонких пластин, отримані іншими авторами на основі різних механічних гіпотез.
format	Article
author	Стоян, В.А. Двирничук, К.В.
author_facet	Стоян, В.А. Двирничук, К.В.
author_sort	Стоян, В.А.
title	К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
title_short	К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
title_full	К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
title_fullStr	К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
title_full_unstemmed	К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
title_sort	к построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207516
citation_txt	К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 74–83. — Бібліогр.: 9 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT stoânva kpostroeniûdifferencialʹnoimodelipoperečnyhdinamičeskihsmeŝeniitolstogouprugogosloâ AT dvirničukkv kpostroeniûdifferencialʹnoimodelipoperečnyhdinamičeskihsmeŝeniitolstogouprugogosloâ AT stoânva dopobudovidiferencíalʹnoímodelípoperečnihdinamíčnihzmíŝenʹtovstogopružnogošaru AT dvirničukkv dopobudovidiferencíalʹnoímodelípoperečnihdinamíčnihzmíŝenʹtovstogopružnogošaru AT stoânva toconstructionofdifferentialmodeloftransversedynamicdisplacementsofthickelasticlayer AT dvirničukkv toconstructionofdifferentialmodeloftransversedynamicdisplacementsofthickelasticlayer
first_indexed	2025-12-01T15:05:21Z
last_indexed	2025-12-01T15:05:21Z
_version_	1850318804814397440
fulltext	© В.А. СТОЯН, К.В. ДВИРНИЧУК, 2012 74 ISSN 0572-2691 УДК 539.3:534.1 В.А. Стоян, К.В. Двирничук К ПОСТРОЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ПОПЕРЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕЩЕНИЙ ТОЛСТОГО УПРУГОГО СЛОЯ Введение Проблемы управления пространственно-распределенными динамическими системами всегда были актуальными и сложно решаемыми. Поэтому заслуживает внимания предложенный в [1] и развитый в [2] подход к решению прямых и об- ратных задач динамики таких систем, который позволил построить законченную теорию математического моделирования состояния линейных систем с распреде- ленными параметрами, в общем случае функционирующих в условиях неопреде- ленности, и по начально-краевым наблюдениям за ним. В силу этого и управление напряженно-деформируемым состоянием упругих конструкций типа «тонкая пла- стина–оболочка» в течение длительного времени решалось в рамках модели Кирхгофа–Лява [3], в которой трехмерное напряженно-деформируемое поле кон- струкции строилось после решения начально-краевой задачи динамики ее сре- динной поверхности. Управление динамикой «пластин–оболочек» средней тол- щины традиционно выполнялось после различных усовершенствований [4] этой классической модели. Решение важных для практики задач управления динами- кой упругих тел, ограниченных двумя параллельными плоскостями с конечной толщиной получаемого при этом упругого слоя, не может быть выполнено в рам- ках этих механических моделей. Исходными для решения задач динамики таких систем могут быть известные уравнения Ляме [3, 5] трехмерной теории упруго- сти. Интегрирование этих уравнений в цилиндрической системе координат позво- лило построить математическую модель динамики упругого слоя конечной тол- щины [1, 6]. Показано, что поле упруго-динамических смещений, описываемое такой моделью, согласуется с результатами точного решения задачи, полученны- ми в [7, 8] другими методами. Проблемным осталось построение математической модели динамики толстого упругого слоя, отнесенного к декартовой системе ко- ординат. Эта модель могла бы быть более практичной, однако построение ее усложняется из-за увеличения количества уравнений Ляме, исходных для ее по- строения. Разрешению проблемы построения математической модели динамики декартово определенного упругого слоя, в рамках которой можно применить ма- тематические методы [1, 2] моделирования функции состояния слоя и управления им, и посвящена настоящая публикация, в которой построены дифференциальные уравнения поперечных колебаний упругого слоя и выполнено сравнение полу- ченных уравнений с их осесимметрическим аналогом [1]. Постановка задачи и основные соотношения теории упругости Рассмотрим упругое пространство, которое отнесем к декартовой системе координат Оxyz. Из этого пространства плоскостями hz  выделим некоторый слой, упругие свойства которого будем характеризовать постоянными Ляме  и . Остановимся на вопросах описания поля поперечных динамических смещений ),,,( tzyxw точек слоя с изменением временной координаты t для случая, когда граничные поверхности его находятся под воздействием нормальных ),,(1 tyxq при hz  (1) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 75 и касательных ),,(2 tyxq при hz  (2) к ним внешнединамических воздействий. При решении указанной задачи будем исходить из того, что при конечных зна- чениях h смещение ),,,( tzyxw и смещения ),,,( tzyxu и ),,,( tzyxv точек слоя в направлении координатных осей Ox и Oy удовлетворяют [5] уравнениям ,0)( 2  uu tx ,0)( 2  vv ty (3) ,0)( 2  ww tz в которых ,x ,y ,z t — производные по пространственным координатам x, y, z и времени t,  — удельная плотность материала среды, ,222 zyx  .wvu zyx  Следуя [3, 5], с каждой точкой слоя будем связывать деформации (удлинения) ,x ,y z бесконечно малых отрезков, параллельных координатным осям ,Ox ,Oy ,Oz а также сдвиговые деформации ортогональных к ним бесконечно малых площадок в направлении осей Ox ,( yx ),zx Oy ,( xy )zy и Oz ,( xz )yz соот- ветственно. Введем в рассмотрение также напряжения ,( x ,xy ),xz y( , ,yx )yz и z( , ,zx )zy — нормальные и касательные к этим площадкам. Будем учиты- вать при этом, что в общем случае ,yxxy  ,zxxz  ,zyyz  ,yxxy  ,zxxz  ,zyyz  а ,uxx  ,vyy  ,wzz  ),(5,0 vu xyxy  ),(5,0 wu xzxz  ),(5,0 wv yzyz  ,2 xx  ,xyxy  ,2 yy  ,xzxz  ,2 zz  yzyz  при .zyx  Заметим также, что случай, когда 0xy и ,yx  соответ- ствует осесимметрической деформации упругого слоя, для которой уравнения (3) приводятся к виду ,0 22 ,0 2 2 2 2 1               uDwDw wuDu r (4) где r — производная по радиальной координате r, ),( tru — смещение точек с координатой r в направлении этой координаты, , 1 r D r  ,rD 76 ISSN 0572-2691 штрих обозначает производную по z, 2 2 2 1 t m m c D  ),2,1( m а 1c , 2c — скорости распространения волн сдвига и расширения в бесконечном упругом пространстве. После интегрирования уравнений (4) по поперечной координате z для случая, когда ),,(),,( 1 trqtzr hzz    ),(),,( 2 trqtzr hzrz    (здесь rz — напряже- ние площадки, перпендикулярной к Oz в направлении радикальной координаты r), динамику поперечных смещений ),,( tzrw точек рассматриваемого слоя в цилин- дрической системе координат r, , z удалось описать [1, 6] уравнениями  ),,(),,( )(2)( tzrwhQ l t l ]),,,(),,,()[( 1 )( 2 2)( 2 )( 1 2)( 1 22 1 l t ll t ll qhzDdqhzdD     ),2,1( l (5) в которых ,),,(),,(),,( )2()1( tzrwtzrwtzrw  (6) ),(5,0 11 )1( 1   qqq ),(5,0 22 )1( 2   qqq ),(5,0 11 )2( 1   qqq ),(5,0 22 )2( 2   qqq ),cos( )sin( 4 )sin( )cos()(),,( 2 1 12 1 2 2 1 22 2 2)1( hD D hD D D hD hDDhQ t  , )sin( )cos(4)cos( )sin( )(),,( 2 2 1 2 22 1 122 2 2)2( D hD hDDhD D hD DhQ t  , )sin()sin( 2 )sin()sin( )(),,,( 2 2 1 1 2 2 1 12 2 2)1( 1 D zD D hD D hD D zD Dhzd t  ,)cos( )sin( 2 )sin( )cos()(),,,( 2 1 12 1 2 2 1 2 2 2)1( 2 hD D zD D D zD hDDhzd t  ),cos()cos(2)cos()cos()(),,,( 2121 2 2 2)2( 1 zDhDhDzDDhzd t  . )sin( )cos(2)cos( )sin( )(),,,( 2 2 1 2 22 1 12 2 2)2( 2 D hD zDDzD D hD Dhzd t  Здесь и дальше , )sin( m m D zD )cos( mzD обозначают дифференциальные операторы, выражения для которых получим после разложения функций , )sin( m m D zD )cos( mzD в степенные ряды по степеням )( mzD и возвращения символу mD зна- чения оператора дифференцирования функций. Удержание разного количества членов в этих разложениях позволяет получить и разной точности уравнения по- перечных колебаний рассматриваемого слоя. Построение аналога уравнений (5) — математической модели колебаний упругого слоя (1)–(3) — в декартовой системе координат Оxyz и будет предметом Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 77 наших дальнейших исследований. Исходными для решения этой задачи будут уравнения Ляме вида (3) и методика интегрирования их осесимметрического эк- вивалента (4), изложенная в [1, 6]. Трехмерные уравнения Ляме деформации упругого слоя Рассмотрим общие уравнения динамики вида (3) применительно к упругому слою, деформируемому поверхностными нагрузками (1), (2). Обозначая штрихом, как и в (4), производную по поперечной координате z, а символами ,2 uD ,2 vD 2 2D — линейные дифференциальные операторы , 1 2 2 2 1 222 tyxu c D     , 1 2 2 2 1 222 tyxv c D     , 1 2 2 2 222 2 tyx c D  в которых ,/)2(1 c  /2c — как и выше, скорости распространения волн сдвига и расширения в рассматриваемой среде, уравнения (3) запишем так: ,0 2 2           wvuDu xxyu ,0 2 2           wuvDv yxyv (7) .0)( 22 2 2        vuwDw yx Вводя в рассмотрение функцию ),,( zyxf и операторы ),,( yxd  ),,(2 tyxD  такие, что при :fvu  ,dfvu yx  (8) ,222 fDvDuD vu  (9) упростим уравнения (7). При этом получим .0 22 ,0)( 2 2 2 2                  fdwDw wffDf yxxy (10) Дальше заменами ,)(  yxf )( yxd  (11) уравнения (10) преобразуем к стандарту уравнений (4), а именно, ,0 22 ,0 2 2 2 2 1                wDw wD (12) где в дополнение к определенному выше 2 2D имеем . 2 22 1 xyDD     (13) Последнее означает, что задачу построения математической модели попереч- ных колебаний упругого слоя конечной толщины h, отнесенного к декартовой си- 78 ISSN 0572-2691 стеме координат x, y, z, можно успешно решить, примененяя к уравнениям (12) методику решения уравнений (4), которая изложена в [1, 6]. Открытым остается вопрос выбора операторов d и ,2D определенных соотношениями (8), (9). В част- ном случае, когда ,0xy ,yx  ,0 vu xy (14) что соответствует осесимметрической деформации рассматриваемого слоя, имеем ,yxd  . 1 2 2 1 222 tyx c D  При этом фигурирующий в (12) оператор ,22 yx  а уравнения (12) с учетом (11), (13) совпадают с уравнениями, опре- деленными согласно (4). Математическая модель поперечных колебаний упругого слоя Учитывая специфику трехмерных уравнений динамики упругого слоя, при- веденных к виду (12), а также конечность толщины рассматриваемого слоя, сле- дуя идеям работы [5], будем рассматривать коммутативные дифференциальные операторы ,2 1D 2 2D и  — независимые от поперечной координаты z — как чис- ла, которыми можно оперировать как алгебраическими величинами, а сами урав- нения — как обыкновенные дифференциальные уравнения с переменной z. Исходя из этого, общее решение системы (12) запишем в виде ],)sin()cos()sin()cos([ ],)cos()sin()cos()sin([ 423221 2 111 2 1 422322211111 AzDAzDAzDDAzDDw AzDDAzDDAzDDAzDD         (15) где ,1A ,2A ,3A 4A — функции пространственных координат x, y, z и времени t, которые определяются краевыми условиями по переменной z. Учитывая, что эти функции заданы произвольно, а также с учетом зависимо- стей (8), (11) из (15) заключаем, что ,)cos( )sin( )cos( )sin( )( ),,,(),,,( 4232 2 22 2211 1 1           zD D zD DzD D zD tzyxvtzyxu yx (16) . )sin( )cos( )sin( )cos(),,,( 4 2 2 322 1 12 111  D zD zD D zD DzDtzyxw Произвольные функции ,41  зависящие от пространственно-временных ко- ординат x, y, z, t, определим из условий (1), (2) нагружения упругого слоя, кото- рые запишем ).,,()(),,,( 21 tyxqtyxq hzyzxzhzz      (17) Для упрощения выкладок задачу о построении поля упругих динамических смещений точек слоя при граничных условиях (17) будем рассматривать как сум- му двух задач: задачи продольного динамического растяжения и задачи попереч- ного динамического изгиба. Заметим, что каждая из них имеет и самостоятель- ное значение: первая задача возникает в случае, если упругий слой находится под действием поверхностных динамических сил, симметричных относительно сре- динной поверхности слоя, а вторая — антисимметричных. Согласно этому имеем два случая: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 79 1) для задачи продольного растяжения: );,,(),,()()( ),,,(),,( 22 11 tyxqtyxq tyxqtyxq hzyzxzhzyzxz hzzhzz       (18) 2) для задачи поперечного изгиба: ).,,(),,()()( ,),,(),,( 22 11 tyxqtyxq tyxqtyxq hzyzxzhzyzxz hzzhzz       (19) При такой постановке задачи ,)),,,(),,,((),,,(),,,( 2 1 )()(    l ll tzyxvtzyxutzyxvtzyxu ,),,,(),,,( 2 1 )(    l l tzyxwtzyxw где ),,,,()( tzyxu l ),,,()( tzyxv l и ),,,()( tzyxw l — смещения точек слоя, соот- ветствующие граничным условиям (18) при 1l и (19) при .2l Исходя из (16), заключаем следующее: , )sin()sin( ),,,( ,])cos())[cos((),,,(),,,( 4 2 2 2 1 12 1 )1( 4221 )1()1(   D zD D zD Dtzyxw zDzDtzyxvtzyxu yx (20) .)cos()cos(),,,( , )sin()sin( )(),,,(),,,( 3211 )2( 3 2 22 21 1 1)2()2(         zDzDtzyxw D zD D D zD tzyxvtzyxu yx (21) При этом символические выражения компонент поля напряжений для каждой из задач будут такими: , )sin( 2 )sin( )( ,)cos(2)cos())2(( 4 2 2 2 2 2 1 12 1 )1()1( 4221 2 1 )1(             D zDD D zD D zDzDD yxyzxz z (22) .)cos( 2 )cos()( , )sin( 2 )sin( ))2(( 32 2 2 11 )2()2( 3 2 22 21 1 12 1 )2(             zD D zD D zD D D zD D yxyzxz z (23) После подстановки (22), (23) в (18), (19) получим разрешающую систему симво- лических уравнений для определения функций :41  , )sin( 4)cos()( )2( 2 2 22 2 )2( 12 2 21 Χ D hD DΧhDD  ,)cos(2 )sin( ))2((2 ,)cos(4 )sin( )( )2( 11 )2( 2 1 12 13 )1( 22 )1( 1 2 22 22 ΧhDΧ D hD D ΧhDΧ D hD D   (24) , )sin( 2)cos())2((2 )1( 1 1 12 1 )1( 21 2 14 Χ D hD DΧhDD  80 ISSN 0572-2691 где ,11 )1( 1 )1(   qqΧQ ,22 )1( 2 )1(   qqΧQ ,11 )2( 1 )2(   qqΧQ   22 )2( 2 )2( qqΧQ при ,)( 22   qqyx )()( 2 ll QQ  ),2,1( l ),cos( )sin( 4 )sin( )cos())2)((( 2 1 12 1 2 2 1 2 1 2 2 )1( hD D hD D D hD hDDDQ  . )sin( )cos(4)cos( )sin( ))2()(( 2 2 1 2 22 1 12 1 2 2 )2( D hD hDDhD D hD DDQ  После подстановки (24) в (20), (21) и несложных преобразований в смысле используемого здесь символического подхода к интегрированию и дифференци- рованию получаем следующие зависимости: ),()( 2 1 222111 2 1 )1()1(   qqddqqdDwQ (25) ),()()( 2 1 )( 22 * 211 * 1 )1()1()1(   qqdqqdvuQ yx (26) ),()( 2 1 224113 )2()2(   qqddqqdwQ (27) ).()()( 2 1 )( 22 * 411 * 3 )2()2()2(   qqdqqdvuQ yx (28) В приведенных уравнениях , )sin()sin( 2 )sin()sin( )( 2 2 1 1 2 2 1 12 21 D zD D hD D hD D zD Dd  ),cos( )sin( 2 )sin( )cos())2(( 1 2 1 12 1 2 2 1 2 12 hD D zD D D zD hDDd    ),cos()cos(2)cos()cos()( 2121 2 23 zDhDhDzDDd  ),cos( )sin( ))2(( 1)sin( )cos(2 2 1 12 1 2 2 1 2 24 zD D hD D D hD zDDd    , )sin( )cos()()cos( )sin( 2 2 2 1 2 22 1 12 1 * 1 D hD zDDzD D hD Dd  ),cos()cos())2(( 1 )cos()cos(2 21 2 121 * 2 zDhDDhDzDd    , )sin( )cos(2)cos( )sin( )( 2 2 1 2 22 1 12 2 * 3 D zD hDDhD D zD Dd  . )sin()sin( ))2(( 1)sin()sin( 2 2 2 1 12 1 2 2 2 2 1 12 2 * 4 D zD D hD DD D hD D zD Dd    Уравнения (25)–(28) после возвращения символам , )sin( m m D zD )cos( mzD их дифференциального содержания и будут описывать трехмерное поле динамиче- ских смещений толстого упругого слоя, симметрически (уравнения (25), (26)) и антисимметрически (уравнения (27), (28)) согласно условиям (1) (2) загружен- ного на граничных поверхностях .hz  Особенность уравнений заключается в том, что, что их дифференциальные операторы двухмерны, поскольку зависи- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 81 мость от поперечной координаты z параметрическая. Нетрудно видеть, что эти уравнения являются обобщением уравнений осесимметрической задачи динамики упругого слоя, полученных в [6], и аналогично последним позволяют с заданной точностью (по степеням поперечной толщины h) описать динамику упругого слоя в декартовой системе координат. Заметим, что уравнения (25), (27), записанные с разной степенью точности для ,0z включают в себя классические уравнения двухмерной теории изгиба пластин, а также известные ее обобщения [4], построенные на базе неклассиче- ских моделей механики твердого деформируемого тела типа «плита–пластина». Уравнения (26), (28) принципиально новые. В заключение приведем развернутый вид операторов ,)1(Q ,)2(Q id ( 4,1i ) уравнений (25), (27) с удержанием членов порядка .3h При этом  )}(2))(({( 2112 )1( hQ                         22 21 22 )2( 2 2 tth  112221 3 ))(3)3(2()3({ !3 h  }))5(2)2(( 222122                        2 2 2 12112122 3 2 )5( )23())53(2( !3 tt h                        2 22 1 223 2 )53(2 2 )48(2 2 )5( !3 h                           }4))()2{(( , 2 )72( )8( )2( )65(3)6( 21 )2( 22 212 22 hQ tt (29)                    22 21)2()3( tth  11221 3 ))(2()3({ !3 h  })62())32(2)(3( 212211     2 2212121 3 }3))72(2)62({( !3 t h                                 2 2 2 2223 2 )73( 2 22186 2 73 !3 t h , 2 136 )83( 2 1383 22 2 2 1 22 tt                          ,2 21           tzhd                              21111 2 2 12 2 12 22 )( zh zd t 82 ISSN 0572-2691                        )()(2 !32 )( 2 1 2 12211 3 22 2 2 zzh tt , )2( 24 2 4 !3 22 2 22 21 3 tt z                                 }2{ 2 1222 2 2 23 h d t                 }2{ 2 2 22 2121 2 22 2 2 zh tt (30) , 222 1 2 32 2 22 21 2 tt z                                          2 2114 )(2 thd                                        22 21212 2 2 )( 2 tt hz            )()(2 !3 1112211 3h , 2 32 42 2!3 22 21 3 tt h                   где ,22 2 yx   определяется согласно (11), а 1 — соотношением 2 1D 2 1 2 t    (для осесимметрической деформации упругого слоя [5, 6] ).22 21 yx  Дальнейшие приближения операторов уравнений (25), (27) не будем приво- дить в силу их громоздкости. Заметим, однако, что уравнение (27), записанное с учетом (29), (30) при 0z и 022   qq совпадает с уравнением динамики упругой пластинки, полученным И.Т. Селезовым в [9] для слоя, изгибаемого нор- мальными к граничным поверхностям динамическими нагружениями  1q и ,1 q ко- торое является обобщением известных ранее классических и уточненных уравнений поперечных колебаний тонких упругих пластин. В общем случае уравнения (25), (27) позволяют с любой степенью точности описать трехмерное поле поперечных смещений упругого слоя, изгибаемого поверхностными усилиями  1q и ,1 q нор- мальными к поверхностям ,hz  которые этот слой образуют. Заключение Построена дифференциальная зависимость поля поперечных динамических смещений точек трехмерного упругого объекта, ограниченного двумя параллель- ными плоскостями, которые находятся под воздействием нормальных и касатель- ных к ним внешнединамических воздействий. Методика построения этой зависи- мости лишена всяких механических гипотез и моделей, базируется на частичном интегрировании трехмерных уравнений теории упругости. В процессе решения задачи сформулированы, однако, некоторые ограничения и условия ее разреши- мости. Условия эти обозримы, что проиллюстрировано на примере осесимметри- ческой задачи изгиба упругого слоя. Положительным моментом есть тот факт, что построенная дифференциальная модель динамики рассматриваемого слоя являет- ся обобщением известных ранее двухмерных уравнений динамики тонких пла- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 83 стин, полученных другими авторами на базе уточненных изгибных механических моделей. К особенностям построенной нами математической модели относится и тот факт, что описывается она двухмерными дифференциальными уравнениями в координатах срединной поверхности слоя. Распространение этих уравнений на всю толщину слоя достигается ее параметрической зависимостью от поперечной координаты последнего. Модель получилась компактной, что позволяет работать с ней в целом без всяких ограничений по точности. Построенная математическая модель может быть успешно положена в основу постановок и решений задач моде- лирования функции состояния упругого слоя и управления им. В.А. Стоян, К.В. Двірничук ДО ПОБУДОВИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ МОДЕЛІ ПОПЕРЕЧНИХ ДИНАМІЧНИХ ЗМІЩЕНЬ ТОВСТОГО ПРУЖНОГО ШАРУ Побудовано диференціальну модель, яка тривимірне поле поперечних дина- мічних зміщень пружного шару постійної товщини визначає через його поверх- неві завантаження. Модель є двовимірним диференціальним рівнянням, пара- метрично залежним від виродженої координати. Окремим випадком моделі є класичні і уточнені рівняння динаміки тонких пластин, отримані іншими ав- торами на базі різних механічних гіпотез. V.A. Stoyan, K.V. Dvirnychuk TO CONSTRUCTION OF DIFFERENTIAL MODEL OF TRANSVERSE DYNAMIC DISPLACEMENTS OF THICK ELASTIC LAYER The differential model is constructed, which determines three-dimensional cross-field dynamic displacement of the elastic layer of constant thickness through its surface loads. The model is two-dimensional differential equation, parametrically dependent on the degenerate coordinate. Special case of the model are classic and refined equa- tions of the dynamics of the thin plates obtained by the other authors on the basis of various mechanical hypotheses. 1. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю.Г. Математичне моделювання прямих та обер- нених задач динаміки систем з розподіленими параметрами. — Київ : Наук. думка, 2002. — 361 c. 2. Стоян В.А. Математичне моделювання лінійних, квазілінійних і нелінійних динамічних систем. — Київ : ВПЦ «Київський університет», 2011. — 320 c. 3. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. — Киев : Наук. думка, 1972. — 576 c. 4. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Том 5: Неклассиче- ские теории колебаний стержней, пластин и оболочек. — М. : ВИНИТИ, 1973. — 230 c. 5. Луръе А.И. Пространственные задачи теории упругости. — М. : Гостехиздат, 1955. — 485 c. 6. Стоян В.А. Про напівтривимірні рівняння осесиметричної задачі еластодинаміки товстих плит // Вісник Київ. ун-ту. Сер. мат. і мех. — 1973. — № 15. — С. 47–53. 7. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин // Уч. записки ЛГУ. Сер. физ.-мат. наук. — 1951. — № 149, вып. 24. — С. 121–167. 8. Петрашень Г.И., Молотков Л.А. О некоторых проблемах динамической теории в случае сред, содержащих тонкие слои // Вестн. ЛГУ. Сер. физ. и хим. — 1958. — № 22, вып. 4. — С. 137–156. 9. Селезов І.Т. Дослідження поперечних коливань пластин // Прикладная механика. — 1960. — 6, № 3. — С. 319–327. Получено 15.03.2012 Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.

К построению дифференциальной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя

Institution

Similar Items