Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы

Запропоновано метод розв’язання задачі прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи. Побудовано відображення належності нечіткого відношення типу 2, яке характеризує корисність альтернатив. Визначено поняття максимізуючого слабкого розв’язку, досліджено його властивост...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Проблемы управления и информатики
Datum:	2012
1. Verfasser:	Мащенко, С.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schlagworte:	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207532
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы / С.О. Мащенко // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 102–110. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860107025645568000
author	Мащенко, С.О.
author_facet	Мащенко, С.О.
citation_txt	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы / С.О. Мащенко // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 102–110. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано метод розв’язання задачі прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи. Побудовано відображення належності нечіткого відношення типу 2, яке характеризує корисність альтернатив. Визначено поняття максимізуючого слабкого розв’язку, досліджено його властивості. The method of decision-making problem solution under conditions of uncertainty with the fuzzy set of nature states is offered. The mapping of belonging of fuzzy relation of type 2 is built, which characterizes the utility of alternatives. The notion of maximizing weak decision is defined, and its properties are studied.
first_indexed	2025-12-07T17:32:16Z
format	Article
fulltext	© С.О. МАЩЕНКО, 2012 102 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УДК 519.8 С.О. Мащенко ОБОБЩЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГЕРМЕЙЕРА В ЗАДАЧЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ ПРИРОДЫ В общем случае задача принятия решений (ЗПР) в условиях неопределенно- сти определяется на триаде множеств: Х — множество альтернатив; Y — множе- ство исходов; S — множество состояний. Альтернативами могут служить объекты различной природы, планы, программы, действия и т.п. Исходы характеризуют результат выбора альтернатив. В задаче принятия решений в условиях неопреде- ленности каждой альтернативе может отвечать множество исходов, и поэтому связь между альтернативами и исходами может быть неоднозначной. Множество S характеризует проявление неопределенности в принятии решений, причем кон- кретная интерпретация состояний зависит от постановки задачи (например, спрос на ту или иную продукцию, погода и т.п.). Множество S также называют множе- ством «состояний природы» или «состояний внешней среды», чтобы подчеркнуть свойственную ему неопределенность и независимость от лица, принимающего решение (ЛПР). Поскольку любой исход ЗПР в так называемой [1] нормальной форме одно- значно определяется парой ,),( SXsx  то ЛПР может задать функцию полезно- сти исходов ),( sxf на множестве .SX  По умолчанию считают, что она макси- мизируется. Известно достаточно много разнообразных подходов к решению ЗПР в нор- мальной форме [1, 2]. В настоящей работе рассматривается так называемый под- ход Ю.Б. Гермейера [1], в соответствии с которым ЛПР пытается максимизиро- вать функцию полезности исходов на множестве альтернатив X при каждом со- стоянии природы .Ss Общим решением этой задачи считается множество (обозначим его SO) таких альтернатив, строго лучших которых по набору функ- ций ),,( sxf ,Ss не существует. Таким образом, .} ),,(),( :{ SssxfsxfxXxSO   (1) Если ЛПР хочет выбрать какую-либо конкретную альтернативу, то оно должно использовать дополнительную информацию о своем предпочтении на множестве состояний природы. В частности, если известно распределение веро- ятностей на множестве состояний природы с функцией плотности , ),( Sssp  то более вероятным состояниям может отвечать большее предпочтение. В этом слу- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 103 чае при условии конечности множества состояний природы, положительности функций полезности исходов ),( sxf и плотности распределения вероятностей )(sp выбирается решение ).(/),(minmaxArg spsxfx SsXx   В некоторых случаях ЛПР не может четко указать, какие состояния природы Ss благоприятны в момент принятия решения, но может задать некоторое не- четкое подмножество SS  ~ этих состояний. Тогда ЛПР необходимо решить зада- чу вида , ~ ,max),( Sssxf Xx   (2) которую будем называть ЗПР в условиях неопределенности с нечетким множе- ством состояний природы. Решению этой задачи и посвящена данная работа. Для простоты изложения материала будем считать множество S конечным. Обозначим ]1,0[:  S функцию принадлежности нечеткого множества SS  ~ состояний природы. По функции полезности ЛПР ),( sxf определим полное бинарное отношение полезности )(sR следующим образом: . ,, ),,(),()( SsXyxsyfsxfysxR  (3) Построим агрегированное нечеткое отношение полезности ),( ~ ~ sRR Ss   которое представляет собой объединение нечеткого множества S ~ четких отношений ),(sR .Ss В соответствии с [3] оно является нечетким отношением типа 2, т.е. значения функции принадлежности этого отношения образуют нечеткие множества. Пусть }1,0{: XXrs — характеристическая функция отношения ),(sR ,Ss т.е. ,1),()(  yxrysxR s .0),()(  yxrysRx s Для произвольной пары альтернатив Xyx , рассмотрим отношение доми- нирования на множестве состояний природы S, которое порождается парами зна- чений характеристической функции ),( yxrs и функции принадлежности ).(s Будем говорить, что состояние природы St доминирует состояние приро- ды Ss для пары альтернатив Xyx , и обозначать это , ),( st yx  если справед- ливы такие неравенства: ),,(),( yxryxr st  , )()( st  и хотя бы одно из них строгое. Для каждого Xyx , обозначим }:{),( ),( stStSsyxS yx PO  (4) — множество недоминируемых состояний природы ,Ss которые не улучшают- ся при увеличении значений характеристической функции ),( yxrs отношения )(sR и функции )(s принадлежности нечеткого множества ; ~ S        ),,(,0 ),,(),( ),,(~ yxSs yxSsi syx PO PO (5) — функцию принадлежности нечеткого множества с носителем ).,( yxS PO Объединением нечеткого множества S ~ четких отношений ),(sR ,Ss в со- ответствии с [3] будем называть )( ~ ~ sRR Ss   — нечеткое отношение типа 2, ко- 104 ISSN 0572-2691 торое определено на множестве X и задается тройками )),,,(,,( zyxryx где ]1,0[:  ZYXr — функция принадлежности нечеткого отображения , выполняющего роль нечеткой функции принадлежности, определенная таким образом:         ; ,),( ,0 ;),( :},),(\|),,(~{max ),,( Sszyxr zyxrSszyxrsyx zyxr s ss Ss (6) yx, — пара элементов множества альтернатив X; z — элемент универсального множества }1,0{Z значений отображения принадлежности  нечеткого отно- шения R ~ типа 2. Значения нечеткого отображения принадлежности  для фиксированной па- ры альтернатив Xyx 00, образуют нечеткое подмножество ),( 00 yxZ мно- жества }1,0{Z с функцией принадлежности ).,,( 00 zyxr Значение )1,,( 00 yxr можно понимать как степень того, что пара альтернатив 00, yx находится в от- ношении . ~ R Соответственно значение )0,,( 00 yxr имеет смысл степени непри- надлежности пары 00, yx отношению . ~ R Если же в функции ),,( zyxr зафиксировать ,1z то получим функцию принадлежности )1,,( yxr нечеткого множества пар альтернатив x, y, которые находятся в отношении . ~ R Обозначим это множество ).1(X Аналогично для фиксированного значения 0z получим нечеткое множество пар альтернатив x, y, которые не находятся в отношении , ~ R с функцией принадлежности ).0,,( yxr Обозначим его ).0(X Интересно, что в общем случае )1()0( XX  и соот- ветственно ).1,,(1)0,,( yxryxr  Упростить построение отображения ),,( zyxr позволяет следующая теорема. Теорема 1. Пусть ),(sR ,Ss — четкие отношения полезности, которые за- даны на множестве альтернатив X соответствующими характеристическими функ- циями ),,( yxrs ,, Xyx  Ss ; ),(s ,Ss — функция принадлежности нечетко- го множества . ~ S Для того чтобы нечеткое отношение R ~ типа 2, которое задано не- четким отображением  с функцией принадлежности );,,( zyxr ;, Xyx  },1,0{z совпадало бы с объединением нечеткого множества S ~ отношений ),(sR ,Ss т.е. ),( ~ ~ sRR Ss   необходимо и достаточно, чтобы для :, Xyx                   .1),( :)(maxArg,0 ),(maxArg ,0),(),(max )0,,( ,,0),(,0 ,1),(:),(max )1,,( 1),( yxrts tsyxrs yxr Ssyxr yxrSss yxr s St St s Ss s s yxrs (7) Доказательство. Сначала покажем, что формула (6) эквивалентна следующей:         ,),,(,0 ,),,(),(max ),,( ),,( zyxS zyxSs zyxr PO PO zyxSs PO (8) где ,, Xyx  },1,0{z .)(max)( ),,(max),(),,( ),(),()()(          tsyxryxrzSszyxS yxryxr s st s PO st (9) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 105 Отметим, что из (5), (6) следует, что          ,),(,0 ,),(},),()({max ),,( ~ ),( ~ zyxr zyxrzyxrs zyxrRR s ss yxSss Ss PO (10) ,, Xyx  }.1,0{z Поэтому для доказательства эквивалентности формул (6) и (8) достаточно показать, что формула (10) эквивалентна (8), (9). Пусть ,)(max)( ),,(max),(),( ),(),()()(          tsyxryxrSsyxS yxryxr t st s PO st ,, Xyx  (11) и для некоторых ,, Xyx  ,Ss выполняются следующие соотношения: ).(max)( ),,(max),( ),(),()()( tsyxryxr yxryxr t st s st   (12) Предположим противное, что ).,( yxSs PO Тогда в соответствии с (4) ,Sl  для которого ),,(),( yxryxr sl  )()( sl  или ),,(),( yxryxr sl  ).()( sl  В пер- вом случае отсюда следует, что ).,(max),( )()( yxryxr t st l   Во втором случае полу- чим неравенство ).(max)( ),(),( tl yxryxr st   Таким образом, в обоих случаях получа- ем противоречие с (12). Пусть ).,( yxSs PO Предположим противное, что справедливо одно из не- равенств ),(max),( )()( yxryxr t st s   или ).(max)( ),(),( ts yxryxr st   В первом случае можно сделать вывод, что ,Sl  для которого ),()( sl  ).,(),( yxryxr sl  Тогда sl yx ),(  и согласно (4) ).,( yxSs PO Аналогично во втором случае ,Sp для ко- торого ),,(),( yxryxr sp  )()( sp  . Тогда sp yx ),(  и согласно (4) ).,( yxSs PO Таким образом, в обоих случаях получили противоречие, поэтому имеет мес- сто равенство (11). Следует отметить, что доказательство равенства (11) можно получить также при использовании критерия оптимальности по Парето [4]. Из (9), (11) следует равенство }.),({),(),,( zyxrSsyxSzyxS s POPO   Поэтому формула (10) эквивалентна (8), (9), а отсюда следует, что эквивалентны также формулы (6) и (8). Теперь для доказательства теоремы достаточно показать эквивалентность (7) и (8). Сначала запишем (9) при условии 1z в двух возможных случаях. В первом случае пусть 0),( yxrs .Ss Тогда согласно (7) .0)1,,( yxr С другой сторо- ны, из (9) следует, что )1,,( yxS PO и тогда согласно (8) .0)1,,( yxr Во втором случае пусть .1),(:  yxrSs s Определим в соответствии с (8) значения ).1,,( yxr Для этого согласно (9) построим множество )1,,( yxS PO .)(max)( ),,(max),(1 1),()()(          tsyxryxrSs yxr t st s t Покажем, что )1,,( yxS PO ).(maxArg 1),( t yxrt   Обозначим ).(max),( 1),( 1 tyx yxrt    Пусть ),(maxArg 1),( ts yxrt   тогда ),,()( 1 yxs            ),(max),,(maxmax),(max ),()(),()()()( 11 yxryxryxr t yxt t yxt t st 106 ISSN 0572-2691 ).,(1),(max,1max ),()( 1 yxryxr st yxt          Отсюда очевидно, что ).1,,( yxSs PO Теперь наоборот, пусть ).1,,( yxSs PO Тогда ),(max),(1 )()( yxryxr t st s   и ).,()( 1 yxs  Отсюда ),(maxArg 1),( ts yxrt   тогда согласно (8) ,)1,,( 1 yxr поэтому формулы (7), (8) эквивалентны при .1z Далее запишем (9) при условии 0z в двух возможных случаях. Обозначим ),(max0 t St    ).(maxArg tS St    Сначала пусть 0),( yxrs . Ss Тогда со- гласно (7) .)0,,( 0 yxr Определим значение )0,,( yxr по формуле (8). Для этого построим в соответствии с (9) множество           )(max)(),,(max),(0)0,,( )()( tsyxryxrSsyxS St t st s PO .),(max),(0              SyxryxrSs t St s Отсюда согласно (8) .)0,,( 0 yxr Во втором случае пусть .1),(:   yxrSs s Тогда по формуле (7) .0)0,,( yxr Определим значение )0,,( yxr в соответствии с (8). Для этого по формуле (9) по- строим            0 )()( )(max)(),,(max),(0)0,,( tsyxryxrSsyxS St t st s PO .1),(max),(0            yxryxrSs t Sj t Отсюда в соответствии с (8) ,0)0,,( yxr поэтому формулы (7), (8) эквивалентны при .0z Теорема доказана. Перейдем к определению и поиску решения ЗПР (2) в условиях неопределен- ности с нечетким множеством состояний природы. Сначала проанализируем определение общего решения с четким множеством S состояний природы: ,max),( Xx sxf   ,Ss которым, согласно (1), является множество SO. Пусть 1\  RRQ — отношение доминирования, индуцируемое агрегиро- ванным отношением ),(sRR Ss   где отношения полезности ),(sR ,Ss опре- деляются в соответствии с (3). Поскольку отношения полезности ),(sR ,Ss бу- дут полными, то отношение )(sRR Ss   также будет полным, поэтому  1RQ ).(1 sR Ss     Таким образом, множество SO состоит из альтернатив, которые не доминируются в отношении )(1 sRQ Ss     другими альтернативами. Тогда оче- видно, что }. ,{ XyxQyXxSO  Перейдем к формализации общего решения ЗПР (2) в условиях неопределен- ности с нечетким множеством S ~ состояний природы. Пусть j Sj S RR ~ ~    — не- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 107 четкое агрегированное отношение полезности ЛПР (как показано выше, типа 2), которое задается нечетким отображением с функцией принадлежности ),,,( zyxr ,, Xyx  }.1,0{z Построим нечеткое множество (обозначим его F) «макси- мальных» элементов множества альтернатив по отношению .~ S R Сначала построим асимметричную часть агрегированного нечеткого отношения полезности ЛПР .~ S R Обозначим это отношение доминирования  1 ~~~ \ SSS RRQ 1 ~~  SS RR  . Оно будет задаваться нечетким отображением с функцией принад- лежности ]1,0[}1,0{: Xq следующего вида: )},1,,(),,,({minmax),,( 21 },{min ],1,0[, 21 21 zxyrzyxrzyxq zzz zz    }.1,0{,  zXx (13) Рассмотрим нечеткое множества типа 2, которое задается нечетким отобра- жением с функцией принадлежности ]1,0[}1,0{:  X следующего вида: ),1,,(min),( zxyqzx Xy   }.1,0{,  zXx (14) Значение )1,(x можно понимать как степень недоминируемости альтерна- тивы для ЛПР по отношению .~ S Q Соответственно значение )0,(x может иметь смысл степени доминируемости. Идея выбора множества «максимальных» элементов, состоящего из альтер- натив недоминируемых по нечеткому отношению ,~ S Q приводит к следующему определению. Нечеткое множество с функцией принадлежности ]1,0[:  XF вида )1,()( xxF  будем называть множеством общих слабых решений ЗПР (2) в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы и обо- значать F. Множество }0)({)(supp  xXxF F будем называть носителем F. Поскольку ЛПР, как правило, интересует выбор какой-либо единственной альтернативы, то ему стоит выбирать альтернативу x с максимальной степенью недоминируемости ).(xF Эти рассуждения приводят к следующему понятию. Альтернативу Xx  будем называть максимизирующим слабым решением задачи (2), если ).(max)( xx F Xx F    Несложно показать, что для ЗПР (2) в условиях неопределенности с нечетким конечным множеством состояний природы всегда существует максимизирующее слабое решение. Действительно, по определению максимизирующего слабого решения задачи (2) )0,,(minmax)1,(max)(max)( * xyqxxx XyXxXx F Xx F   , где согласно (13) )}}.1,,(),1,,({min)},0,,(),0,,({min )},1,,(),0,,({{minmax)0,,( xyryxrxyryxr xyryxryxq  (15) В свою очередь, в соответствии с формулами (7) из теоремы 1 очевидно сле- дует, что функция ),,( zyxr при }1,0{ ,  zXx может принимать лишь конеч- ные значения из конечного множества },),({}0{ Stt  поэтому и функция )0,,( yxq может также принимать лишь конечные значения из конечного множе- ства. Отсюда следует, что всегда существует ).0,,(minmax xyq XyXx  Таким образом, всегда существует максимизирующее слабое решение (2). 108 ISSN 0572-2691 Теперь опишем нечеткое множество F общих слабых решений ЗПР (2) в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы в терми- нах функции полезности ),( sxf с помощью соотношений (3) . Несложно заме- тить, что функция принадлежности (7) нечеткого отношения )( ~ ~ sRR Ss S    типа 2 примет такой вид:         ,),(),(,0 ),,(),(:),(max )1,,( ),(),(, Sttyftxf tyftxfStt yxr tyftxfSt          ).,(),(:)(maxArg0 ),(maxArg),(),(),(max )0,,( syfsxfts tssyfsxft yxr St StSt Запишем отношения доминирования (15) в терминах функций полезности: 1. Пусть .),(),( ttyftxf  Тогда ,0)1,,( yxr  )1,,()0,,( xyryxr ),(max t St   ,0)0,,( xyr поэтому ).(max0,0),(maxmax)0,,( ttyxq StSt           2. Пусть ,),(),( Sttyftxf  тогда ),(max)0,,()1,,( txyryxr St   )0,,( yxr ,0)1,,(  xyr поэтому .0}0,0,0{max)0,,( yxq 3. Пусть векторы функций полезности несравнимы, т.е. ).()( yfxf  Здесь и да- лее будем использовать обозначение для вектора .)),(()( Sssxfxf  Тогда )1,,( yxr )},,(),(,)(max{ syfsxfSss  )}.,(),(,)({max)1,,( sxfsyfSssxyr  Напомним обозначение ).(maxArg sS Ss    3.1. Пусть ),(),( syfsxf  . Ss Тогда ),(max)0,,( tyxr St   .0)0,,( xyr Поэтому ,)(min{max{,0)},,(),(,)({{maxmax)0,,( SsssxfsyfSssyxq  )}}.,(),(,)({max)},,(),( syfsxfSsssxfsyf  Поскольку ,}},min{,max{ abaa  то окончательно получим )}.,(),(,)({max)0,,( sxfsyfSssyxq  3.2. Пусть ),(),( syfsxf  . Ss Тогда ,0)0,,( yxr ).(max)0,,( txyr St   Поэтому получим )({{maxmin)}}1,,(),1,,({min,0,0{max)0,,( sxyryxryxq  )}.,(),(,)(max{)},,(),(, syfsxfSsssxfsyfSs  Поскольку ),(),( syfsxf  , Ss то )},,(),(,)(max{)},(),(,)({max syfsxfSsssxfsyfSss  поэтому )}.,(),(,)({max)0,,( sxfsyfSssyxq  3.3. Пусть , Ss для которого ),,(),( syfsxf  и , Ss для которо- го ).,(),( syfsxf  Тогда получим ,0)0,,( yxr ,0)0,,( xyr )0,,( yxq )(max{)},,(),(,)({{maxmin)}}1,,(),1,,(min{,0,0{max ssxfsyfSssxyryxr  )}.,(),(, syfsxfSs  Поскольку , Ss для которого ),,(),( syfsxf  то },)({max)},(),(,)({max SsssyfsxfSss  так как : Ss ),( sxf ),( syf , то }.)({max)},(),(,)({max SsssyfsxfSss  Отсюда следует, что )}.,(),(,)({max)},(),(,)({max syfsxfSsssxfsyfSss  Таким об- разом, можно записать, что )}.,(),(,)({max)0,,( sxfsyfSssyxs  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 109 Из рассмотренных выше случаев 1–3 следует, что              ).()(),(max ,),(),(,0 ,),(),(),(max )0,,( ),(),(, yfxfs Sssyfsxf Sssyfsxfs yxq sxfsyfSs Ss (16) Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Максимизирующее слабое решение задачи (2) удовлетворяет .)},(),(,)({maxminmax syfsxfSss XyXx   (17) Если задача (17) имеет единственное решение, то оно является максимизи- рующим слабым решением задачи (2). Доказательство. Пусть векторы ,x ,y s образуют единственное решение задачи (17). Сначала покажем, что .SOx  Действительно, из (17) следует, что )()( ss   ),,(  yxMs где множество )},,(),({),( syfsxfSsyxM   причем ),(*),(),(   yxMyxMyxM ., Xyx  Рассмотрим два случая. 1. Пусть .),( SyxM  Тогда ),(),( syfsxf   .Ss Поскольку  ),( yxM ),(  yxM ,Xy то ),(),( syfsxf  ,Ss ,Xy поэтому .SOx  2. Пусть .),( SyxM  Предположим противное, что .SOx  Тогда ,Xv для которого ),(),( sxfsvf  Ss . Отсюда  ),({),( svfSsyvM ).,()},(),(   yxMsyfsxf Получили противоречие. Таким образом, .SOx  Предположим противное, что .Fx  Тогда согласно определению  )(xF .0)1,(  x Поэтому в соответствии с (14) Xy , для которого .0)0,,( xyq Тогда из (16) следует, что .),(),( Sssxfsyf   Отсюда несложно убедиться, что .SOx  Получили противоречие. Таким образом, .Fx  Пусть ).(supp Fx  Покажем, что x будет решением задачи (17). Сначала по- кажем, что .SOx  Предположим противное: .SOx  Тогда ,Xy для которого .yQx Напомним, что )(11 tRRQ St      и обозначим ).()( 1 tRtQ  Поэтому по- лучим .)( StxtyQ  Отсюда в соответствии с (3) ),(),( txftyf  St . Тогда из (16) следует, что .0)0,,( xyq Значит, .0)1,()(   xxF Поэтому ).(supp Fx  Таким образом, .SOx  Это означает, что Xy или  ),( txf ),( tyf St , и тогда согласно с (16) );(max)0,,( txyq St    или ),()( yfxf  и тогда из (16) следует ).(max)0,,( ),(),( sxyq syfsxf     Отсюда вполне понятно, что Xy ).(max)0,,( ),(),( sxyq syfsxf     Поскольку на основании (14)   )1,(x ),0,,(min    xyq Xy а по определению ),1,()(   xxF то x будет решением зада- чи (17). Теорема доказана. В заключение отметим, что рассмотренный выше подход к решению ЗПР в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы может 110 ISSN 0572-2691 быть естественным образом обобщен на случай бесконечного множества. Кроме того, известные методы дефазификации задач принятия решения в условиях не- четкой информации [5] легко позволят обобщить разработанный в статье метод на случай нечетких множеств альтернатив и нечетких функций полезности. С.О. Мащенко УЗАГАЛЬНЕННЯ КРИТЕРІЮ ГЕРМЕЙЄРА В ЗАДАЧІ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ З НЕЧІТКОЮ МНОЖИНОЮ СТАНІВ ПРИРОДИ Запропоновано метод розв’язання задачі прийняття рішень в умовах невизна- ченості з нечіткою множиною станів природи. Побудовано відображення на- лежності нечіткого відношення типу 2, яке характеризує корисність альтерна- тив. Визначено поняття максимізуючого слабкого розв’язку, досліджено його властивості. S.О. Mashchenko GENERALIZATION OF GERMEYER’S CRITERION IN THE DECISION MAKING PROBLEM UNDER CONDITIONS OF UNCERTAINTY WITH THE FUZZY SET OF NATURE STATES The method of decision making problem solution under conditions of uncertainty with the fuzzy set of nature states is offered. The mapping of belonging of fuzzy rela- tion of type 2 is built, which characterizes the utility of alternatives. Notion of max- imizing weak decision is defined, its properties are studied. 1. Волошин О.Ф., Мащенко С.О. Моделі та методи прийняття рішень : навчальний посібник. — Київ : ВПЦ «Київський університет», 2010. — 336 с. 2. Сергиенко И.В., Рощин В.А., Семенова Н.В. Некоторые задачи целочисленного программи- рования с неоднозначно заданными данными // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 6. — С. 116–123. 3. Мащенко С.О. Нечеткие индивидуально-оптимальные равновесия // Кибернетика и вычис- лит. техника. — 2010. — Вып. 159. — С. 19–29. 4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М. : Физматлит, 2007. —– 255 с. 5. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М. : Наука, 1981. — 208 с. Получено 24.02.2012 Статья представлена к публикации членом редколлегии, доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207532
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:32:16Z
publishDate	2012
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Мащенко, С.О. 2025-10-09T08:23:46Z 2012 Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы / С.О. Мащенко // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 102–110. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207532 519.8 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i10.20 Запропоновано метод розв’язання задачі прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи. Побудовано відображення належності нечіткого відношення типу 2, яке характеризує корисність альтернатив. Визначено поняття максимізуючого слабкого розв’язку, досліджено його властивості. The method of decision-making problem solution under conditions of uncertainty with the fuzzy set of nature states is offered. The mapping of belonging of fuzzy relation of type 2 is built, which characterizes the utility of alternatives. The notion of maximizing weak decision is defined, and its properties are studied. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы Узагальнення критерію Гермейєра в задачі прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи Generalization of Germeyer’s Criterion in the Decision-Making Problem under Conditions of Uncertainty with the Fuzzy Set of Nature States Article published earlier
spellingShingle	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы Мащенко, С.О. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
title	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы
title_alt	Узагальнення критерію Гермейєра в задачі прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи Generalization of Germeyer’s Criterion in the Decision-Making Problem under Conditions of Uncertainty with the Fuzzy Set of Nature States
title_full	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы
title_fullStr	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы
title_full_unstemmed	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы
title_short	Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы
title_sort	обобщение критерия гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы
topic	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
topic_facet	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207532
work_keys_str_mv	AT maŝenkoso obobŝeniekriteriâgermeieravzadačeprinâtiârešeniivusloviâhneopredelennostisnečetkimmnožestvomsostoâniiprirody AT maŝenkoso uzagalʹnennâkriteríûgermeiêravzadačípriinâttâríšenʹvumovahneviznačenostíznečítkoûmnožinoûstanívprirodi AT maŝenkoso generalizationofgermeyerscriterioninthedecisionmakingproblemunderconditionsofuncertaintywiththefuzzysetofnaturestates

Обобщение критерия Гермейера в задаче принятия решений в условиях неопределенности с нечётким множеством состояний природы

Institution

Ähnliche Einträge