О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца

Розглянуто чотиристадійну модель захворювання, де час перебування на кожній стадії має розподіл Гомперца. Проведено розрахунки перехідних ймовірностей. З цією метою показано розподіли загального часу перебування на стадіях захворювання....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Марценюк, В.П., Клымук, Н.Я.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Управление в биологических и природных системах
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207550
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца / В.П. Марценюк, Н.Я. Клымук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 6. — С. 137–143. — Бібліогр.: 6 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207550
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2075502025-10-12T00:04:30Z О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца Про модель онкологічного захворювання з часом перебування на стадії у відповідності з розподілом Гомперца On the Model of Oncologic Disease for the Stage Waiting Time According to Gompertz Distribution Марценюк, В.П. Клымук, Н.Я. Управление в биологических и природных системах Розглянуто чотиристадійну модель захворювання, де час перебування на кожній стадії має розподіл Гомперца. Проведено розрахунки перехідних ймовірностей. З цією метою показано розподіли загального часу перебування на стадіях захворювання. This work considered a four-stage model of the disease where waiting time for each stage had a Gompertz distribution. Transition probabilities were calculated. The distribution of total waiting time for disease stages was shown. 2012 Article О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца / В.П. Марценюк, Н.Я. Клымук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 6. — С. 137–143. — Бібліогр.: 6 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207550 519.876.2:611.018.4 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i12.80 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление в биологических и природных системах Управление в биологических и природных системах
spellingShingle	Управление в биологических и природных системах Управление в биологических и природных системах Марценюк, В.П. Клымук, Н.Я. О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто чотиристадійну модель захворювання, де час перебування на кожній стадії має розподіл Гомперца. Проведено розрахунки перехідних ймовірностей. З цією метою показано розподіли загального часу перебування на стадіях захворювання.
format	Article
author	Марценюк, В.П. Клымук, Н.Я.
author_facet	Марценюк, В.П. Клымук, Н.Я.
author_sort	Марценюк, В.П.
title	О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца
title_short	О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца
title_full	О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца
title_fullStr	О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца
title_full_unstemmed	О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца
title_sort	о модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением гомперца
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Управление в биологических и природных системах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207550
citation_txt	О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца / В.П. Марценюк, Н.Я. Клымук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 6. — С. 137–143. — Бібліогр.: 6 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT marcenûkvp omodelionkologičeskogozabolevaniâsovremenemprebyvaniânastadiivsootvetstviisraspredeleniemgomperca AT klymuknâ omodelionkologičeskogozabolevaniâsovremenemprebyvaniânastadiivsootvetstviisraspredeleniemgomperca AT marcenûkvp promodelʹonkologíčnogozahvorûvannâzčasomperebuvannânastadííuvídpovídnostízrozpodílomgomperca AT klymuknâ promodelʹonkologíčnogozahvorûvannâzčasomperebuvannânastadííuvídpovídnostízrozpodílomgomperca AT marcenûkvp onthemodelofoncologicdiseaseforthestagewaitingtimeaccordingtogompertzdistribution AT klymuknâ onthemodelofoncologicdiseaseforthestagewaitingtimeaccordingtogompertzdistribution
first_indexed	2025-11-26T22:01:33Z
last_indexed	2025-11-26T22:01:33Z
_version_	1849892011091427328
fulltext	© В.П. МАРЦЕНЮК, Н.Я. КЛЫМУК, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 6 137 УПРАВЛЕНИЕ В БИОЛОГИЧЕСКИХ И ПРИРОДНЫХ СИСТЕМАХ УДК 519.876.2:611.018.4 В.П. Марценюк, Н.Я. Клымук О МОДЕЛИ ОНКОЛОГИЧЕСКОГО ЗАБОЛЕВАНИЯ СО ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ НА СТАДИИ В СООТВЕТСТВИИ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ГОМПЕРЦА Введение. В работах [1–3] предложена многостадийная модель заболевания как компартментный процесс, для которого известны законы распределения вре- мени пребывания пациента на каждой из стадий. Для разных видов заболеваний стадии могут классифицироваться по-разному. Так, для инфекционных заболеваний начальные стадии связаны с инфекционными и латентными периодами, для онкологических — это ранние стадии рака и т.п. Инди- видуум может переходить из одной стадии на следующую стадию с определенными переходными вероятностями. В любой момент индивидуум может умереть из-за причин, не связанных с заболеванием, т.е. он может перейти из определенной стадии непосредственно на стадию смерти. В настоящее время существует два основных подхода к моделированию за- болевания как многостадийного компартментного процесса. При первом подходе учитывается количество пациентов на каждой из стадий, которое математически может быть описано как с помощью дифференциальных уравнений, так и с помощью цепи Маркова с единичным приращением (процессы рождаемости–смертности). Такой подход в основном нашел применение при изу- чении инфекционных заболеваний, характеризующихся эпидемиями. Сложно- стью такого подхода в практических применениях, следующих, например, из за- дач медицинского страхования, является проблематичность получения информа- ции о количестве всех пациентов, пребывающих на стадии. При втором подходе используется время пребывания пациента на каждой из стадий, что является более доступной информацией, например, когда речь идет об онкологических заболеваниях. В работе [4] предложена общая модель 3m -стадийного заболевания, осно- ванная на учете времени пребывания пациента на стадии.  )(tS — стадия (целое от 0 до ),1m на которой пациент пребывает в мо- мент времени t;  iV — время пребывания пациента на стадии i до перехода на стадию ,1i ;,0 mi   iU — время пребывания пациента на стадии i до перехода на стадию .2m Введем вспомогательные случайные величины: ),,(min iii VUH  ,iii VUW  ,,0 mi  .k j ik ij HY    138 ISSN 0572-2691 Основной результат работы [4] сформулирован в виде теоремы. Теорема. Переходные вероятности ),(tqij ,ji  ,1,0,  mji могут быть рассчитаны в соответствии с соотношением  }1,,0{})0(/)({)( jikWPiSjtSPtq kij }).1,,0/{}1,,0/0{( 1,   jikWtYPjikWYP kjikij Практическое применение теоремы для реальных нозологий требует рас- смотрения конкретных классов распределений величин iU и .iV В работе [5] впервые экспериментально показано соответствие роста опухоли закону распределения Гомперца. Данному закону подчинены выживаемость он- кологических больных, а также время их пребывания на стадиях заболевания. По- этому цель данной работы — расчет времени пребывания пациента на стадиях онкологического заболевания. Такие результаты представляют практическую зна- чимость при расчете параметров полиса медицинского страхования. Основная часть. Рассмотрим случай, когда величины ,iU ,iV ,2,0i име- ют распределение Гомперца, т.е. ),,(~ iii GU  ),,(~ iii GV  .2,0i При этом использовано переопределение параметров распределения Гомперца, в соот- ветствии с которым ,exp1)(        i i i t U etF ,exp1)(        i i i t V etF .2,0i В дальнейшем будем рассматривать лишь случай, когда ii  .2,0i Распределения .Ηi Найдем распределения ,iH ,2,0i при . Имеем              tt eetVtUPtHP expexp},{}{ ,1exp                tt ee ,0t (1) а соответствующая функция плотности распределения имеет вид                                    1 1exp1)1(}{)( tt H eeeetHP dt d tf .exp 1                     tttt eeee (2) Распределения .Wi Утверждение 1. Пусть ),(~ GU и ),(~ GV — случайные величины, распределенные по Гомперцу, причем . Тогда разность VUW  распреде- ления имеет плотность .)( 2                   t t VU ee e tf (3) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 6 139 Доказательство. Имеем функции плотности ,exp 1 )(           x U e x tf .exp 1 )(             x V e x tf Согласно теореме о свертке и с учетом, что , имеем                   s VUVU e s dsstfsftf exp 1 )()()( 2 . 2 exp 1 exp 2 dsee ts dse ts tssts                          Используем замену переменных .ln xs  Тогда , 1 dx x ds  а пределы инте- грирования меняются на ).,0( x В результате имеем                  dxxexe tx x tf t VU 11 0 2 ln2 exp 11 )( .exp 11 12 0 2 dxeexex x tt                          Используем замену переменных . 1               t eex Тогда d dxxee t 1 1 1                и                         t t VU ee d exetf 1 0 2 1 )( , 1 220                                      t t t t ee e ee de e что и нужно было доказать. Вероятности 0}.{ iWP Очевидно, что {}0{ PWP i  индивидуум выжил на стадии i и перешел на стадию )}.1( i Следовательно, .}0{ 20 dt ee e WP t t i                    Введем замену переменных: .       t ee Тогда       dted t 1 , 1 dte            а пределы интегрирования меняются на .,                 eee 140 ISSN 0572-2691 В результате имеем                                                             22 1 }0{ d e e d ee WP ee e ee e .1 11                             ee e e e ee e (4) Общее время ожидания. В случае предположения ii  рассмотрим зада- чу нахождения общего времени ожидания . 1 k j k ij HY    Очевидно, что при ji  ,iij HY  .2,0i При этом функция плотности рас- пределения имеет вид ,exp 1 )(                     i i i i i i i i ii tttt i Y eeeetf .2,0i Найдем распределение величины .1001 HHY  Используем представление .1exp1)( 1 1 1 1                i i eetF t H Имеем                                )(1exp1)()()( 0 1 11 1 1 0110 sdFeesdFstFtf H st HHHH                                     dseeeeee ssssst 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 1 exp 1 1exp1 0                 dseeeee ssststs 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 exp 1 1 0 .exp 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 dseeeee ssststs                    Заметим, что в правой части получены специальные функции, изучение ко- торых составляет отдельную задачу. Аналогичным способом могут быть рассчитаны распределения 12Y и .02Y О том, что на данном етапе мы непременно придем к специальным функци- ям, свидетельствует следующий результат, полученный при отсутствии смертно- сти на промежуточных стадиях заболевания. Утверждение 2. Пусть 0V распределена согласно ),,( G а 1V согласно ),0( G — независимые случайные величины. Здесь .0,  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 6 141 Тогда случайная величина 10 VVY  имеет функцию распределения ),2(21)( 1 ZKZtFY  (5) где ,   t eZ а )(1 K — модифицирована функция Бесселя второго рода [6]. Доказательство.                         12211221 )()()()()( 1 1 010 1 10 dtdttftfdtdttftftF V tt VVV tt VV ).()()()( 11111 0110 tdFttFdtttFtf VVVV       Использовав представление ,1)( 0    t e V etF ,1)( 1  t e V etF получим                        1 1 11 10 exp1)( dte t etF t e VV tt .exp)( 1 1 11 11 1                  dtee t dttf ttt t Введем замену переменных: . 1 ue t   Тогда , 1 1 1 dudte b t   т.е. . 1 1 duudt   При этом , 1     uee t т.е. . 1 1      ttt e u e Отсюда           u du e u uutF t VV 1 10 1 lnexp1)( 0 . 2 1 exp 2 21 1 exp1 0 2 0 du t e u uedue u u ttt                     Обозначим    t eZ и введем функцию ).2(: 2 1 4 )2( exp 2 ln1 exp 2 2 00 Zwdu Zu Z udu Z Z u u               Можно показать, что )(tw является решением дифференциального уравнения ,0)1( 2 2 2 2  wt dt dw t dt wd t т.е. )()( 1 tKtw  — модифицирована функция Бесселя второго рода [4]. Следова- тельно, окончательно имеем ).2(21)( 110 ZKZtF VV  Численный пример. Поскольку величина iH представляет собой точное время пребывания на стадии i, то характер ее распределения является важной ин- формацией для расчета параметров полиса медицинского страхования. 142 ISSN 0572-2691 Рассмотрим влияние распределения величины iU на распределение .iH Для этого рассчитаем по формуле (2) распределение iH на примере ),2,6(~ GUi ),2,5(~ GUi ),2,4(~ GUi (6) ).2,5(~ GVi (7) На рис. 1 представлены плотности распределения величины iH в трех рас- смотренных случаях. Видно, что при увеличении параметра  в распределении iU график плотности iH сдвигается вправо. Положительность величины iW определяет направление протекания заболе- вания: положительный знак — переход пациента на следующую стадию; отрица- тельный знак — стадия смерти. На рис. 2 приведены плотности распределе- ния ,iW рассчитанные по формуле (3). При 4 наиболее вероятен смертельный исход, при 6 пациент вероятнее всего перейдет на стадию .1i 0,02 0,04 0 5 10 – 15 15 1 2 3 1 —  2 — 5 3 — 6 – 10 – 5 Рис. 2 Вероятности, соответствующие пе- реходу из стадии i на стадию ,1i вы- численные по формуле (4) на примере величин (6), (7), приведены в таблице. При увеличении параметра  в рас- пределении времени iU вероятность пе- рехода на следующую стадию заболевания возрастает. Распределение .01Y Рассмотрим случай, когда 0V отвечает распределени- ям (6), а ).2,0(~1 GV Во всех случаях предполагается, что ,ii VU  т.е. известно, что для пациента на данной стадии заболевания летальный исход невозможен. Тогда .1001 VVY  Функции распределения ,01Y вычисленные по формуле (5), представлены на рис. 3. На рис. 4 приведен график функции плотности распределения .01Y Видно, что при увеличении параметра шкалы  общее время пребывания па- циента на стадиях возрастает. 0,1 0,2 0 0,4 5 10 – 15 15 0,3 1 2 3 1 —  2 — 5 3 — 6 – 10 – 5 Рис. 4 0,02 0,06 0 0,14 0,18 2 4 6 8 10 12 14 0,1 1 2 3 1 —  2 — 5 3 — 6 Рис. 1 Таблица i i i }0{ iWP 6 2 5 0,62 5 2 5 0,5 4 2 5 0,38 0,2 0,4 0 0,8 1 5 10 – 15 15 0,6 1 2 3 1 —  2 — 5 3 — 6 – 10 – 5 Рис. 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 6 143 Заключение. В настоящей работе рассмотрена модель многостадийного за- болевания, где время пребывания на каждой из стадий имеет распределение Гом- перца, что наиболее характерно онкологическим заболеваниям. Предложен алго- ритм поиска переходных вероятностей, реализация которого продемонстрирована на примере четырехстадийной модели. На такой упрощенной модели получены конструктивные формулы для распределения разности и суммы случайных вели- чин времени пребывания, которые имеют распределение Гомперца. Влияние на стадийные этапы развития онкологического заболевания в дан- ной модели может быть представлено параметрами распределения Гомперца для величин iU и ,iV а именно, параметрами шкалы ii  , и параметрами фор- мы i и .i Практическое значение результатов данной работы состоит в расчете пара- метров полиса медицинского страхования в случае онкологического заболевания на основе установленных распределений и переходных вероятностей. В.П. Марценюк, Н.Я. Климук ПРО МОДЕЛЬ ОНКОЛОГІЧНОГО ЗАХВОРЮВАННЯ З ЧАСОМ ПЕРЕБУВАННЯ НА СТАДІЇ У ВІДПОВІДНОСТІ З РОЗПОДІЛОМ ГОМПЕРЦА Розглянуто чотиристадійну модель захворювання, де час перебування на кож- ній стадії має розподіл Гомперца. Проведено розрахунки перехідних ймовірно- стей. З цією метою показано розподіли загального часу перебування на стадіях захворювання. V.P. Martsenyuk, N.Ya. Klymuk ON THE MODEL OF ONCOLOGIC DISEASE FOR THE STAGE WAITING TIME ACCORDING TO GOMPERTZ DISTRIBUTION This work considered four-stage model of disease where waiting time for each stage had Gompertz distribution. Transition probabilities were calculated. The distribution of total waiting time for disease stages was shown. 1. Whittemore A.S., Keller J.B. Quantitative theories of carcinogenesis // SIAM Review. — 1978. 20. — P. 1–30. 2. Andersen P.K. Multistate models in survival analysis: A study of nephropathy and mortality in di- abetes // Statistics in Medicine. — 1988. — 7. — P. 661–670. 3. Weiss K.M., Chakraborty R. Multistage models and the age patterns of cancer: Does the statistical analogy imply genetic homology? // Familial Adenomatous Polyposis, ed. L. Herrera. — New York : Wiley-Liss, 1990. — P. 77–89. 4. Billard L., Zhao Z. A Review and synthesis of the HIV / AIDS Epidemic as a Multiiple State Pro- cess // Mathematical Biosciences. — 1993. — 117. — P. 19–33. 5. Laird A.K. Dynamics of growth in tumors and in normal organisms // National Cancer Inst. Mon- ographs. — 1969. — 30. — P. 15–28. 6. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of mathematical functions. — New York : Dover Publ., 1970. — 1044 p. Получено 28.11. 2011 После доработки 05.03.2012

О модели онкологического заболевания со временем пребывания на стадии в соответствии с распределением Гомперца

Institution

Ähnliche Einträge