Квадратичные системы с запаздыванием
Розглянуто системи нелінійних диференціальних рівнянь зі сталим запізнюванням. Досліджено нелінійність квадратичного виду. Системи рівнянь записано у спеціальному уніфікованому векторно-матричному вигляді. Досліджено стійкість стаціонарного положення рівноважного стану, який знаходиться в першому кв...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207582 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Квадратичные системы с запаздыванием / Джалладова И.А., Хусаинов Д.Я. // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 5–13. — Бібліогр.: 9 назв. - рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860140367717859328 |
|---|---|
| author | Джалладова, И.А. Хусаинов, Д.Я. |
| author_facet | Джалладова, И.А. Хусаинов, Д.Я. |
| citation_txt | Квадратичные системы с запаздыванием / Джалладова И.А., Хусаинов Д.Я. // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 5–13. — Бібліогр.: 9 назв. - рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто системи нелінійних диференціальних рівнянь зі сталим запізнюванням. Досліджено нелінійність квадратичного виду. Системи рівнянь записано у спеціальному уніфікованому векторно-матричному вигляді. Досліджено стійкість стаціонарного положення рівноважного стану, який знаходиться в першому квадранті координатної системи. Для дослідження використано другий метод Ляпунова із застосуванням умов Разуміхіна.
The systems of nonlinear differential equations with constant delay are considered. Nonlinearity of a quadratic type is studied. Systems are recorded in a special unified vector-matrix form. The stability of the stationary position of the equilibrium state, located in the first quadrant of the coordinate system, is investigated. Lyapunov’s second method with the application of Razumikhin’s conditions is used for the research.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:49:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.А. ДЖАЛЛАДОВА, Д.Я. ХУСАИНОВ, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.929.4
И.А. Джалладова, Д.Я. Хусаинов
КВАДРАТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Системы без запаздывания
Один из эффективных подходов при разработке динамических моделей в эко-
номике, экологии и динамике популяций состоит в разработке моделей, в которых
скорость динамики пропорциональна количеству популяции [1, 2]. Значительная
часть математических моделей описывается системами обыкновенных дифферен-
циальных уравнений вида
.)()]([)( txtxKtx = (1)
Здесь )]([ txK — квадратная матрица, указывающая на зависимость скорости ро-
ста от фазовых координат. Если матрица )]([ txK линейная, то модель представ-
ляет собой систему с квадратичной правой частью. В частности, если модель ска-
лярная, то
,)()]([)( txtbxatx −= (2)
где ,)( 1Rtx ∈ a, b — некоторые положительные постоянные, .0≥t
1.1. Модель Ферхюльста. Одно из наиболее известных уравнений, которое
описывает динамику народонаселения с учетом ограниченности роста популяции
в ограниченном регионе, — логистическое уравнение, предложенное
Ферхюльстом в 1838 г. [2, 3]:
.)(1)()(
−=
k
txtax
dt
tdx (3)
Уравнение имеет две особенности. При малых значениях параметра k числен-
ность популяции )(tx растет, а при больших величинах приближается к значению
k. Решение задачи Коши, дифференциального уравнения (1), удовлетворяющей
начальному условию ,)0( 0xx = можно записать в виде
.
)1(
),(
0
0
0
−+
= at
at
exk
ekxtxx (4)
Если начальное значение ,
2
1
0 kx < кривая имеет точку перегиба. Если началь-
ные условия таковы, что ,0 kx > то численность популяции со временем падает.
Динамическая система имеет два положения равновесия: ktx ≡)( и ,0)( ≡tx
причем первое положение равновесия устойчиво, а второе неустойчиво. Таким
образом, количество популяции стремится к некоторому установившемуся коли-
честву, зависящему от параметров модели.
6 ISSN 0572-2691
1.2. Общая квадратичная модель. В общем случае систему (1) с линейной
частью )]([ txK можно записать в виде [4]
),()()(
1
txtxbatx i
n
j
jijii
−= ∑
=
,,1 ni = (5)
или в векторно-матричном виде систему (5) можно записать следующим образом:
.)(])([)( T txBtXAtx −= (6)
Здесь A — квадратная диагональная матрица с постоянными коэффициентами
},{ iiaA = ,,1 ni = T
21 },...,,{ nBBBB = — прямоугольная nn ×2 -матрица, состоя-
щая из симметричных квадратных nn× -матриц ,iB ,,1 ni = у которых на месте
i-го столбца стоит вектор :)...,,,( 21
T
iniii bbbb =
,
00
...
00
00
2
1
=
in
i
i
i
b
b
b
B ,,1 ni =
)}(),...,(),({)( 21
T tXtXtXtX n= — прямоугольная 2nn× -матрица, состоящая из
квадратных nn× -матриц ),(tX i у которых на i-х строках стоят векторы ),(tx
остальные элементы нулевые, т.е.
,
0...00
......
0...00
)(...)()(
)(
21
1
=
txtxtx
tX
n
,
0...00
......
)(...)()(
0...00
)( 21
2
= txtxtxtX n …
…, .
)(...)()(
......
0...00
0...00
)(
21
=
txtxtx
tX
n
n
Здесь и в дальнейшем под векторными и матричными нормами будем понимать
,)()(
2/1
1
2
= ∑
=
n
i
i txtx ,)}({ 2/1T
max BBB λ=
),(max ⋅λ )(min ⋅λ — наибольшее и наименьшее собственные числа соответству-
ющих симметричных, положительно-определенных матриц. Предположим, что
,0det 0 ≠B .
...
......
...
...
21
22212
12111
=
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
B
Тогда, как правило, интерес для исследования представляет особая точка =T
0x
),...,,( 00
2
0
1 nxxx= , которая является решением системы алгебраических уравнений
,0 axB = T
21
T ),...,,( naaaa =
и находится в первом квадранте, т.е. ,00
1 >x ,00
2 >x .00 >nx После замены
0)()( xtytx += получаем систему уравнений возмущений
,))(]())(([)( 0
T
0 xtyBXtYAty ++−=
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 7
которая после преобразований принимает вид
,)()()()( T tyBtYtyAty −= (7)
.
...
......
...
...
00
2
0
1
0
22
0
222
0
212
0
11
0
121
0
111
=
nnnnnnn
n
n
xbxbxb
xbxbxb
xbxbxb
A (8)
Предположим, что матрица ,A определенная в (8), асимптотически устойчи-
вая, т.е. ,0)(Re <λ Ai .,1 ni = Тогда особая точка ),...,,( 00
2
0
1
T
0 nxxxx = будет
асимптотически устойчивой и область ее устойчивости можно оценить с помо-
щью квадратичной функции Ляпунова ,)( T yHyyV = где симметричная, положи-
тельно-определенная матрица H является решением уравнения Ляпунова [5]
.T CAHHA −+ (9)
Здесь C — произвольная, симметричная, положительно-определенная матрица.
Взяв полную производную функции )(xV в силу системы (7), получим
=+= )()()()())(( TT tyHtytyHtytyV
dt
d
=−+−= )]()()([)()()]()()([ TTTT tBytYtyAHtytHytBytYtyA
).(])()()[()(])[( TTTT tyBtHYHtYBtytyAHHAty +−+=
Учитывая, что матрица H является решением уравнения Ляпунова, получаем
).(])()()[()()())(( TTTT tyBtHYHtYBtytCytytyV
dt
d
+−−=
Таким образом, для полной производной функции Ляпунова имеет место неравенство
=+λ−≤ 32
min )(2)()((t))( tyBHtyCyV
dt
d
.)(])(2)([ 2
min tytyBHC −λ−=
В случае асимптотической устойчивости матрицы A гарантированной областью
устойчивости положения равновесия особой точки 0x будет внутренность эллип-
са ,2T rHyy = находящаяся внутри сферы .Ry = Обозначив
},:{0 RyRxG n <∈= ,
2
)(min
BH
CR λ
= (10)
получим, что область «гарантированной» устойчивости имеет вид [4]
},:{max 0
00
GGGG rr
r
r ⊂=
>
}.:{ 2T rHyyRyG n
r <∈= (11)
Как следует из зависимости (11), нужно поместить эллипс 2T ryHy = внутрь
сферы радиуса
BH
CR
2
)(minλ
= и «растягивать» ∞→r до тех пор, пока эллипс не
коснется сферы.
2. Системы с запаздыванием
Как правило, моделям экономики и экологии присущ фактор запаздывания,
определяемый «временем полового созревания» или «временем принятия решения».
Поэтому более адекватными являются математические модели, описываемые систе-
8 ISSN 0572-2691
мами функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием [6–9]. Одними
из первых математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями
с постоянным запаздыванием, были уравнения Хатчисона и Вольтерра [1–3].
2.1. Уравнение Ферхюльста с запаздыванием. Уравнение Ферхюльста
отображает динамику роста популяции )(tx с насыщением. Ограниченность роста
обусловлена «внутренней конкуренцией». Отметим следующий фактор, уточняю-
щий модель Ферхюльста. Конкуренция, вообще говоря, возникает между новой по-
пуляцией )(tx и популяцией ),( τ−tx родившейся с запаздыванием τ. В этом слу-
чае динамика популяции определяется уравнением Хатчисона (1948 г.), имеюще-
го вид дифференциального уравнения с запаздыванием
.)(1)()(
τ−
−=
k
txtax
dt
tdx (12)
Запаздывание возникает из-за конечного времени, необходимого для достижения
«времени половой зрелости».
Динамическая система, описываемая уравнением (12), также имеет два по-
ложения равновесия: 0)( ≡tx и .)( ktx ≡ Нетрудно видеть, что линейное прибли-
жение в точке 0)( ≡tx дает уравнение )()( taxtx = и указывает на неустойчивость
нулевого положения равновесия. Рассмотрим вторую точку покоя .)( ktx ≡
Проведем линеаризацию уравнения
))(),(()(
τ−= txtxf
dt
tdx
в окрестности точки .)( ktx ≡ Запишем
+−
∂
τ−∂
=
=τ−=
])([
)(
))(),(()(
)()(
ktx
tx
txtxf
dt
tdx
ktxtx
.])([
)(
))(),((
)()(
ktx
tx
txtxf
ktxtx
−τ−
τ−∂
τ−∂
+
=τ−=
После подстановки соответствующих значений получим
])([)( ktxa
dt
tdx
−τ−−=
и в окрестности особой точки ktx ≡)( уравнение линейного приближения имеет вид
),()(
τ−−= tay
dt
tdy .)()( ktxty −= (13)
Характеристическое уравнение запишем 0=+λ λτae и, как следует из [6, 7], при
2/0 π<τ< a положение равновесия ktx ≡)( будет локально асимптотически
устойчивым.
Проведем оценку области устойчивости в фазовом пространстве положения
равновесия ktx ≡)( исходной нелинейной системы (12). Перенесем преобразова-
нием )()( txkty =+ точку ktx ≡)( в начало координат. В результате получим
уравнение
).(])([)(
τ−+−= tykty
k
a
dt
tdy (14)
Исследование устойчивости и оценку области устойчивости в фазовом про-
странстве будем проводить с использованием квадратичной функции Ляпунова
.5,0)( 2yyV = Геометрически второй метод Ляпунова состоит в нахождении поло-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 9
жительно-определенной функции, полная производная которой в силу уравнения
является отрицательно-определенной функцией. Поскольку рассматривается урав-
нение с запаздыванием, то полная производная представляет собой функционал,
содержащий фазовую переменную в предшествующий момент времени. При ее вы-
числении будет использоваться условие Разумихина [4]. Геометрически оно означа-
ет, что полная производная вычисляется при условии подхода решения изнутри
поверхности уровня функции Ляпунова. Применительно к функции 25,0)( yyV =
оно имеет вид
)(
2
1))(())(()(
2
1 22 tytyVtyVty =<τ−=τ−
и производная вычисляется при условии
.)()( tyty <τ− (15)
Вычислим полную производную функции Ляпунова в силу уравнения (14):
=τ−+−= )(])()[())(( tyktyty
k
atyV
dt
d
)]()(][)()[()(])()[( tytyktyty
k
atyktyty
k
a
−τ−+−+− .
Отсюда следует, что
.)()(])([)()()(11))(( 2 τ−−++
−−≤ tytyktyty
k
atyty
k
atyV
dt
d
Оценим разность фазовых координат с запаздыванием и без него. Перепишем
уравнение (14) в виде
.)(])([)()( ∫
τ−
τ−+−τ−=
t
t
dssyksy
k
atyty
Используя условие (15), получаем
τ+≤τ−+<τ−− ∫
τ−
)(])([)(])([)()( tykty
k
adssyksy
k
atyty
t
t
,
и для полной производной функции Ляпунова имеет место выражение
.)(])([)()(11))(( 22
2
2 τ+
+
−−< tykty
k
atyty
k
atyV
dt
d (16)
Рассмотрим шар )0(δU радиуса ,ξ=∆ k .10 <ξ< Для полной производной (16) с
решениями ),(ty находящимися в этом шаре, будет иметь место следующее:
τξ+
+ξ−−< 222
2
2 )()1()()1())(( tyk
k
atyatyV
dt
d (17)
и при ,0τ<τ где
,
)1(
1
20
ξ+
ξ−
=τ
a
(18)
полная производная функции Ляпунова будет иметь вид
2
22
0 )(
)1(
))(( ty
a
tyV
dt
d
ξ+
τ−τ
−< (19)
и будет отрицательно-определенной функцией. Следовательно, нулевое решение
будет асимптотически устойчивым.
10 ISSN 0572-2691
Заметим, что в подынтегральное выражение входит функция ),( τ−sy а инте-
грал берется в границах ].,[ tts τ−∈ Поэтому функция )( τ−sy определена на про-
межутке ,2 τ−≤τ−≤τ− tst и полную производную функции Ляпунова следует
брать для момента времени .τ>t Оценим максимальную величину ),(ty
,τ≤≤τ− t и выберем начальные условия таким образом, чтобы при τ≤≤τ− t
решение не выходило за переделы шара )0(δU радиуса ,ξ=∆ k .10 <ξ< Пред-
ставим (14) в виде
.)(])([)0()(
0
∫ τ−+−=
t
dssyksy
k
ayty
Пусть ,)( δ<ty .0≤≤τ− t Тогда
∫
δ
+δ+≤
t
dssy
k
aaty
0
)()1()(
и на основании леммы Беллмана получаем .exp)1()(
δ
δ+≤ t
k
aaty Таким обра-
зом, если δ<)(ty при ,0≤≤τ− t то при τ≤≤τ− t будет выполняться ≤)(ty
,exp)1(
τ
δ
δ+≤
k
aa и чтобы при τ≤≤τ− t решение )(ty не выходило из шара
радиуса k, достаточно положить ,exp)1( kt
k
aa ≤
δ
δ+ т.е .
1
exp
a
kt
k
a
+
≤
δ
δ
Таким образом, «гарантированной» областью асимптотической устойчивости
нулевого решения является шар
},:{)0( δ<=δ yyU .
1
exp
a
kt
k
a
+
≤
δ
δ (20)
2.2. Общая квадратичная модель с запаздыванием. В универсальном век-
торно-матричном виде квадратичная модель с запаздыванием записывается сле-
дующим образом:
.)(])([)( T txBtXAtx τ−−= (21)
Пусть, как и в случае без запаздывания, ),...,,( 00
2
0
1
T
0 nxxxx = — решение системы
алгебраических уравнений
,0 axB = .),...,,( T
21
T
naaaa =
Произведя замену ,)()( 0xtytx += получаем систему уравнений возмущений
),)(]())(([)( 0
T
0 xtyBXtxAty ++τ−−=
которая после преобразований принимает вид
),()()()( T tyBtYtyAty τ−−= (22)
.
...
......
...
...
00
2
0
1
0
22
0
222
0
212
0
11
0
121
0
111
=
nnnnnnn
n
n
xbxbxb
xbxbxb
xbxbxb
A
Исследуем устойчивость нулевого положения равновесия системы (22) c ис-
пользованием метода функций Ляпунова квадратичного вида .)( T yHyyV = При
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 11
оценке полной производной будет использоваться условие Разумихина [8]. При-
менительно к функции yHyyV T)( = оно имеет вид
,)()())(())(()()( 2
max
2
min tyHtyVtyVtyH λ≤<τ−≤τ−λ
т.е.
,)()()( tyHty ϕ≤τ− .
)(
)(
)(
min
max
H
H
H
λ
λ
=ϕ (23)
Обозначим множество точек ,nRy∈ находящихся внутри поверхности уровня
α=)(yV функции Ляпунова yHyyV T)( = через ,αV а его границу — через ,α∂V т.е.
},)(:{ α<∈=α yVRyV n }.)(:{ α=∈=∂ α yVRyV n
Лемма 1. Пусть для решения )(ty системы (22) в момент τ>= Tt выполня-
ется ,)( α∂∈ VTy а при Tt <≤τ− — .)( α∈Vty Тогда справедливо неравенство
.)()(])()([)()( τϕϕ+≤τ−− TyHTyHBATyTy (24)
Доказательство. Перепишем систему (22) в виде
.)]()()([)()( T∫
τ−
τ−−+τ−=
T
T
dssBysYsyATyTy
Будет иметь место соотношение
∫
τ−
≤τ−+≤τ−−
T
T
dssyBsYsyATyTy ])()()([)()(
,)()(])()([ τϕϕ+≤ TyHTyHBA
т.е. утверждение леммы 1.
Лемма 2. Пусть при 0≤≤τ− t для начального условия )(tϕ решения )(ty
выполняется .)( δ<ϕ t Тогда для этого решения на промежутке τ≤≤ t0 будет
выполняться
}.]{[exp)( τδ+δ≤ BAty (25)
Доказательство. Перепишем систему дифференциальных уравнений (22) в виде
.)]()()([)0()(
0
T∫ τ−−+=
t
dssyBsYsyAyty
Отсюда получаем соотношение dssyBAty
t
)(][)(
0
∫ δ++δ≤ и, как следует
из неравенства Беллмана, }]{[exp)( tAty δδ≤ и для промежутка τ≤≤ t0 бу-
дет выполняться утверждение леммы 2.
Теорема. Пусть матрица A асимптотически устойчивая, т.е. ,0)(Re <λ Ai
.,1 ni = Тогда при ,0τ<τ где
)(])()()(2[
)()1(2
minmax
max
0
HHCHA
H
ϕϕξλ+λξ
λξ−
=τ , (26)
будет асимптотически устойчивым и положение равновесия .0)( ≡ty Причем
«гарантированной» областью асимптотической устойчивости будет шар
},:{)0( δ<∈=δ yRyU n .)(exp
)(2
)()(exp min τ−
ϕ
ξλ
<δτδ A
HBH
CB (27)
12 ISSN 0572-2691
Доказательство. Рассмотрим произвольное решение )(ty системы (22), нахо-
дящееся при 0≤≤τ− t в δ-окрестности нуля, т.е. ),0()( δ∈Uty .0≤≤τ− t Тогда,
как следует из неравенства (25) леммы 2, при τ≤≤ t0 решение не выйдет из
ε-окрестности нуля ),0(εU где },]{[exp τδ+δ=ε BA и тем более будет находить-
ся внутри области ,αV содержащейся внутри поверхности уровня функции Ля-
пунова ,α∂V ),(max Hελ=α а область αV будет содержаться внутри шара ),0(∆U
,)(}]{[exp HBA ϕτδ+δ=∆ .
)(
)(
)(
min
max
H
H
H
λ
λ
=ϕ
Выберем величину 0>δ таким образом, чтобы
,
2
)(min
BH
Cξλ
≤∆ .10 <ξ< (28)
Для этого надо положить
.)(exp
)(2
)()(exp min τ−
ϕ
ξλ
<δτδ A
HBH
CB
Вычислим полную производную функции Ляпунова yHyyV T)( = вдоль ре-
шений )(ty системы (22), начинающихся в δ-окрестности )0(δU начала коорди-
нат. Она имеет вид
+τ−−=+= )()]()()([)()()()())(( TTTT tyHtBytYtyAtyHtytyHtytyV
dt
d
=τ−−+ )]()()([)( TT tyBtYtyAHty
.)(])()()[()(])[( TTTTT tyBtHYHtYBtytyAHHAty τ−+τ−−+=
В результате операций сложения и вычитания получим следующее:
++−−= )(])()()[()()())(( TTTTT tyBtHYHtYBtytyCtytyV
dt
d
.)(]))()(())()(()[( TTT tyBtYtYHHtYtYBty −τ−+−τ−−
Отсюда имеем
)()()(2)(2)()())(( 232
min τ−−++λ−< tytytyBHtyBHtyCtyV
dt
d
или
.)(})()(2)(2)({))(( 2
min tytytyBHtyBHCtyV
dt
d
τ−−−−λ−< (29)
Получим условия, при которых полная производная является отрицательно-
определенной. Для этого достаточно, чтобы
.0)()(2)(2)(min >τ−−+−λ tytyBHtyBHC
При этих условиях выполняется (26).
Из доказательства теоремы следует, что произвольное решение ),(ty начинаю-
щееся в )0(δU при ,τ≤≤τ− t будет находиться в области ,αV ),(max Hλ=α
}.]exp{[)(max τδ+δλ=α BAH Покажем, что это будет выполняться и при
.τ>t Пусть, от противного, это не так и при некотором τ>T происходит первый
выход на границу ,α∂V т.е. ,)( α∂∈ VTy αVsy ∈)( , .Ts <≤τ−
Тогда, используя неравенство (24) леммы 1, выражение (29) для полной про-
изводной функции Ляпунова можно переписать следующим образом:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 13
≤τ−−−−λ−< 2
min )(})()(2)(2)({))(( TyTyTyBHTyBHCTyV
dt
d
.)(})()(])()([2)(2)({ 2
min TyTyHTyHBABHTyBHC τϕϕ+−−λ−<
Поскольку решение )(ty находится в шаре ),0(∆U то, используя (28), получаем
.)()(
2
)()(
)()()1())(( 2min
minmin TyH
H
HC
ACCTyV
dt
d
τϕ
ϕξλ
+ξλ−λξ−−<
Таким образом, при ,0τ<τ где
)(
2
)()(
)1(
min
0
H
H
HC
A ϕ
ϕξλ
+ξ
ξ−
=τ ,
полная производная функции Ляпунова в момент Tt = выхода на границу α∂V бу-
дет отрицательно-определенной, что противоречит предположению о выходе из об-
ласти .αV Таким образом, нулевое решение 0)( ≡ty асимптотически устойчиво,
а «гарантированной» областью устойчивости является шар ).0(δU
І.А. Джалладова, Д.Я. Хусаінов
КВАДРАТИЧНІ СИСТЕМИ З ЗАПІЗНЮВАННЯМ
Розглянуто системи нелінійних диференціальних рівнянь зі сталим запізнюван-
ням. Досліджено нелінійність квадратичного виду. Системи рівнянь записано у
спеціальному уніфікованому векторно-матричному вигляді. Досліджується
стійкість стаціонарного положення рівноважного стану, який знаходиться в
першому квадранті координатної системи. Апаратом дослідження обрано дру-
гий метод Ляпунова виду квадратичних функцій з умовою Разуміхіна.
I.A. Dzhalladova, D.Ya. Khusainov
QUADRATIC SYSTEMS WITH DELAY
The systems of the nonlinear differential equations with constant delay are consid-
ered. Nonlinearity of a square-law type is studied. Systems are recorded in the special
unified vector-matrix type. The stability of stationary position of equilibrium state
which is in the first coordinate quarter is investigated. Lyapunov’s second method of
a type of square-law functions with B.S. Razumikhin’s condition has been chosen
as techniques of research.
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М. : Наука, 1976. — 287 с.
2. Смит Дж. Модели в экологии. — М. : Мир, 1976. — 286 с.
3. Колмановский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование // Соро-
совский образовательный журнал. — 1996. — № 4. — С. 122–127.
4. Хусаінов Д.Я., Джалладова І.А., Шатирко О.А. Оцінка області стійкості диференціальної
системи з квадратичною правою частиною // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Фіз.-мат. науки. —
2011. — №. 3. — С. 227–230.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М. : Наука, 1967. —
472 с.
6. Эльсгольц Л.Э. Введение в дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.
— М. : Наука, 1970. — 240 с.
7. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых си-
стем с последействием. — М. : Наука, 1981. — 448 с.
8. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости
дифференциально-функциональных систем. — Киев : Изд-во Киев. ун-та, 1997. — 236 с.
9. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. — Киев : Наук. думка, 1992. — 384 с.
Получено 26.04.2012
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
1. Системы без запаздывания
2. Системы с запаздыванием
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207582 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:49:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Джалладова, И.А. Хусаинов, Д.Я. 2025-10-10T08:19:04Z 2013 Квадратичные системы с запаздыванием / Джалладова И.А., Хусаинов Д.Я. // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 5–13. — Бібліогр.: 9 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207582 517.929.4 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i2.20 Розглянуто системи нелінійних диференціальних рівнянь зі сталим запізнюванням. Досліджено нелінійність квадратичного виду. Системи рівнянь записано у спеціальному уніфікованому векторно-матричному вигляді. Досліджено стійкість стаціонарного положення рівноважного стану, який знаходиться в першому квадранті координатної системи. Для дослідження використано другий метод Ляпунова із застосуванням умов Разуміхіна. The systems of nonlinear differential equations with constant delay are considered. Nonlinearity of a quadratic type is studied. Systems are recorded in a special unified vector-matrix form. The stability of the stationary position of the equilibrium state, located in the first quadrant of the coordinate system, is investigated. Lyapunov’s second method with the application of Razumikhin’s conditions is used for the research. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Квадратичные системы с запаздыванием Квадратичні системи з запізнюванням Quadratic Systems with Delay Article published earlier |
| spellingShingle | Квадратичные системы с запаздыванием Джалладова, И.А. Хусаинов, Д.Я. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Квадратичные системы с запаздыванием |
| title_alt | Квадратичні системи з запізнюванням Quadratic Systems with Delay |
| title_full | Квадратичные системы с запаздыванием |
| title_fullStr | Квадратичные системы с запаздыванием |
| title_full_unstemmed | Квадратичные системы с запаздыванием |
| title_short | Квадратичные системы с запаздыванием |
| title_sort | квадратичные системы с запаздыванием |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207582 |
| work_keys_str_mv | AT džalladovaia kvadratičnyesistemyszapazdyvaniem AT husainovdâ kvadratičnyesistemyszapazdyvaniem AT džalladovaia kvadratičnísistemizzapíznûvannâm AT husainovdâ kvadratičnísistemizzapíznûvannâm AT džalladovaia quadraticsystemswithdelay AT husainovdâ quadraticsystemswithdelay |