О стабилизируемости неуправляемых линейных систем
Аналізується зв’язок між некерованістю та стабілізованістю лінійних систем довільного порядку. Численні приклади ілюструють основні положення статті. Connection between noncontrollability and stabilizability of random order linear systems is analyzed. Basic concepts of the article are illustrated wi...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207583 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 14–24. — Бібліогр.: 14 назв. - рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859941095668973568 |
|---|---|
| author | Онищенко, С.М. |
| author_facet | Онищенко, С.М. |
| citation_txt | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 14–24. — Бібліогр.: 14 назв. - рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Аналізується зв’язок між некерованістю та стабілізованістю лінійних систем довільного порядку. Численні приклади ілюструють основні положення статті.
Connection between noncontrollability and stabilizability of random order linear systems is analyzed. Basic concepts of the article are illustrated with many examples.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:11:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С.М. ОНИЩЕНКО, 2013
14 ISSN 0572-2691
УДК 62-501.5
С.М. Онищенко
О СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ
НЕУПРАВЛЯЕМЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Введение. Следует отметить существенное различие между такими двумя свой-
ствами динамических систем, как управляемость и стабилизируемость.
Система называется вполне управляемой, если ее можно перевести из некото-
рого начального состояния в желаемое (например, нулевое) за конечное время [1].
Cистема стабилизируема, если она переводится в это же состояние асимптотиче-
ски за бесконечное время [2].
Подобный подход с точки зрения теории управления позволяет неформально
объяснить, почему неуправляемая система может быть стабилизируемой: то, чего
нельзя добиться на конечном интервале времени, иногда удается обеспечить на
сколь угодно большом его промежутке.
Гораздо сложнее оказывается аналитический анализ этой проблемы [3]. Конеч-
но, если представляет интерес только характер поведения траекторий системы, то
никакой разницы между асимптотически устойчивой и стабилизированной системой
не будет: и в том, и в другом случае траектории системы, выходя из некоторой
начальной области, будут асимптотически стремиться, в частности, к нулю. Разли-
чия будут лишь в способах обеспечения такого их поведения. Для устойчивых си-
стем это достигается наложением условий (обычно в виде неравенств) на их свобод-
ные параметры (как правило, немногочисленные) и на компоненты функций Ляпу-
нова. Этот путь можно назвать пассивным. Для стабилизируемых систем
устойчивость обеспечивается активным вмешательством в их структуру и динамику
с помощью принудительного изменения их свободных параметров (компонент их
матриц управления) по синтезируемым законам. При этом пассивно устойчивые си-
стемы собственно и называют устойчивыми, а активно устойчивые — стабилизиру-
емыми.
Поэтому понятию стабилизируемости можно дать еще и такое определение: стаби-
лизируемость системы — это возможность активного обеспечения ее свойства устой-
чивости с помощью синтезируемого тем или иным методом управления.
Подобная интерпретация позволяет объединить устойчивость, стабилизируе-
мость и управляемость в единую группу специфических свойств системы. Но ес-
ли взаимоотношение устойчивости и стабилизируемости как пассивного, так и ак-
тивного проявления собственно устойчивости системы достаточно очевидно, то
их связь с управляемостью все же нуждается в специальном анализе.
Так, в частности, априори неустойчивую систему можно попытаться тем или
иным управлением превратить в устойчивую через ее стабилизируемость.
Утверждение 1. Стабилизируемость систем никак не влияет на их управляе-
мость, поскольку управлять можно как устойчивыми, так и неустойчивыми си-
стемами, поэтому для управления стабилизируемость не нужна.
Иное дело — влияние управляемости и особенно неуправляемости системы
на ее стабилизируемость. Эта проблема еще далека от завершения и требует от-
дельного рассмотрения.
Анализ линейных систем. Он конструктивен по сравнению с анализом их
нелинейных вариантов [4], во-первых, в силу следующего утверждения.
Утверждение 2. Для стабилизации линейных систем любого порядка (стаци-
онарных и нестационарных) достаточно их управляемости [5].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 15
Во-вторых, потому что на основе анализа линейных систем удается выявить
некоторые общие закономерности возможной стабилизации неуправляемых систем.
Не оказывая существенного влияния на общность рассматриваемой пробле-
мы, ограничимся линейной стационарной системой
,)(, 00 xtxBuAxx =+= (1)
с вектором состояния nx RΩ ⊂∈ в области определения Ω и заданными матри-
цами коэффициентов .,,, nmnnn xnmBA RΩRR ⊂∈≤∈∈ ××
Система (1) замкнута аддитивным управлением по обратной связи
mxCu RU ⊂∈−= (2)
из некоторого выпуклого множества U, принадлежащего пространству Rm, с ис-
комой матрицей усиления ;nmC ×∈R точкой в (1) обозначена операция диффе-
ренцирования по времени .),0[ 1
+⊂∞=∈ RTt
Кроме системы (1) в дальнейшем понадобится соответствующая ей разо-
мкнутая система
.)(, 00 xtxAxx == (3)
Как уже отмечалось, для стабилизируемости систем типа (1) достаточно их
управляемости, которая согласно известной теореме Калмана [6] выражается че-
рез ранг матрицы управляемости nmnM ×∈R в виде
nBABAABBM n == − ]...,,,,[rankrank 12 (4)
и определяется структурами двух матриц из (1): A и B. При этом необходимое и
достаточное условие управляемости (4) выступает в качестве только достаточного
условия стабилизируемости системы (1). Но стабилизируемость линейных систем
можно определять не только по их управляемости, но и, воспользовавшись вто-
рым методом Ляпунова, через две положительно-определенные квадратичные
формы:
,),(0,)(),( T
2
T
1
T xxtxVxxxtDxtxV α≤≤α<= (5)
),(0,)(),( T
3
T txWxxxtQxtxW ≤α<= (5')
в виде дифференциального уравнения
,0<−= WV 0=+WV (6)
или (в случае усиленной устойчивости [7] системы (1)) дифференциального нера-
венства
.0<+WV (7)
Здесь V согласно (5) допускает бесконечно малый высший предел, а ее полная
производная V по времени t, вычисляемая на любых траекториях ),,( 00 txtxx =
системы (1), удовлетворяет условиям (6) или (7), причем в соотношениях (5), (5')
|,,{:},0,0;:,|)(),({:, 321
TT αααα∃∈∀>>→== × TRT tQDQQDDtQtDQD nn
}.3,1,:0const 1 =∈α>=α + sss R
При таком подходе условия стабилизируемости (6), (7) системы (1), как ос-
нованные на втором методе Ляпунова, оказываются тоже только достаточными
16 ISSN 0572-2691
(как и условия стабилизируемости (4)) и сводятся к отрицательной определеннос-
ти матрицы [8]
0)( TTT <++=− FDAADDFQFF (8)
в случае (6) или соответственно
0)( TT <+++ FQDADADF (9)
для условия (7), где матрица F определяется как решение матричного уравнения
0T =DFB (10)
и тем самым неявно зависит от матрицы B из (1).
Критерии стабилизируемости (8)–(10) в отличие от условия (4) зависят от
трех матриц (A, B и D согласно (8), (10)) или от четырех матриц QDBA ,,,( в
(9), (10)) и обусловливаются не только структурой самой системы (1) (ее соб-
ственными матрицами ),, BA но и структурами матриц коэффициентов QD,
применяемых дополнительно квадратичных форм V и W из (5), (5').
Поэтому если, исходя из критерия (4), можно говорить о стабилизируемости
собственно системы (1), то выполнение критериев (8), (10) или (9), (10) может
свидетельствовать о стабилизируемости этой системы лишь относительно опре-
деленной квадратичной формы V в (8), (10) или соответственно двух квадратич-
ных форм V и W в (9), (10). При этом нестабилизируемость системы (1) с какими-
то одними квадратичными формами еще не означает, что с другими квадратич-
ными формами она не окажется стабилизируемой (причем одним и тем же управ-
лением (2)).
Пример 1. Рассмотрим систему второго порядка
uxxxuxxx ++=++= 212211 42,5 (11)
вида (1) со скалярным управлением
],,[, 21
TT cccxcu =−= (12)
из (2) и матрицами коэффициентов
.1
1,42
51
=
= bA (13)
Система (11) неуправляема, поскольку ранг ее матрицы управляемости M со-
гласно (4), (13)
161
61rank =
(14)
меньше ее размерности .2=n
Матрица A в (13) имеет одно отрицательное и одно положительное собствен-
ное число
,06,01 21 >=λ<−=λ (15)
но характеристическое уравнение матрицы коэффициентов TbcA − системы
(11), замкнутой управлением (12), будет иметь вид
0)6()5()(det 2121
2
2
T =−−−λ−−−λ=λ−− ccccIbcA
(здесь 2I — единичная матрица второго порядка), а его корни определятся
выражениями
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 17
.06,01 2121 >−−=λ<−=λ cc (16)
В рассматриваемом случае отрицательный корень 1λ не затрагивается
управлением, а чтобы положительный корень 2λ из (15) сделать отрицательным,
достаточно в выражении (16) сохранить одну ненулевую компоненту ,2,1, =ici
из (12). Тогда любое из управлений
2211 , xcuuxcuu ∗∗ −==−== (17)
превратит положительный корень 62 =λ в отрицательный 0)6(2 <−−=λ ∗c при
,6>∗c (18)
а условия модальной стабилизируемости [9, 10] системы (11), имеющие
согласно (16), (17) вид
,0)6(,01 21 <−−=λ<−=λ ∗c (19)
будут заключаться в следующем:
• собственное число 1λ матрицы коэффициентов A системы (11), на которое
в случае неуправляемости системы нельзя воздействовать управлением, должно
быть априори отрицательным;
• чтобы стабилизировать систему (11) (превратить ее из неустойчивой в
асимптотически устойчивую), можно воздействовать на нее простейшим управ-
лением (17) по одной (любой) из координат с коэффициентом усиления ,∗c удо-
влетворяющим неравенству (18).
Пример 2. Рассмотрим систему
uxxxuxxx +−=+−= 212211 42,53 (20)
с матрицами коэффициентов
=
−
−= 1
1,42
53 bA (21)
и рангом матрицы управляемости
121
21rank =
−
−
подобно (14), меньшим ее размерности.
Матрица A как и в случае (14), имеет одно отрицательное и одно положи-
тельное собственное значение
,01,02 21 >=λ<−=λ (22)
а ее характеристическое уравнение в замкнутом состоянии с учетом (12) приобре-
тает вид
,0)2()1( 2121
2 =++−λ+++λ cccc
и его корни определяются выражениями
.01,0)(2 2211 >=λ<+−−=λ cc (23)
Здесь, разумеется, никаким управлением не удастся стабилизировать систе-
му (20), поскольку положительное собственное число ее матрицы коэффициентов
недоступно управлению и остается положительным и в замкнутом варианте си-
стемы. Воздействовать же управлением на отрицательное собственное значение
1λ матрицы A в этой ситуации бессмысленно.
18 ISSN 0572-2691
Пример 3. Рассмотрим систему
,42,5 212211 uxxxuxxx ++=++= (24)
аналогичную (11), но с переставленными элементами первой строки матрицы A
в (13), а именно
.1
1,42
15
=
= bA (25)
Нетрудно заметить, что матрица управляемости системы (24) будет полно-
стью повторять ситуацию (14), так что система (24) тоже оказывается неуправля-
емой. Но в отличие от (13) ее матрица коэффициентов A из (25) имеет два поло-
жительных собственных значения:
.06,03 21 >=λ>=λ (26)
Замкнув систему (24) управлением (12), для ее матрицы коэффициентов
TbcA − получим характеристическое уравнение
,0)6(3)9( 2121
2 =−−+λ−−−λ cccc
корни которого будут иметь вид
.03,03 2121 >−−=λ>=λ cc (27)
По аналогии с (16) выражения (27) можно рассматривать как условия стаби-
лизируемости системы (24). Но если корень 2λ в (27) с помощью любого из двух
управлений (17) можно сделать отрицательным при условии ,3>∗c то корень 1λ
недоступен управлению и остается положительным, поэтому система (24) неста-
билизируема.
Пример 4. Рассмотрим систему
uxxxuxxx ++=++= 212211 42,5 (28)
с матрицами коэффициентов
.1
0,42
15
=
= bA (29)
Она отличается от системы (24) лишь вектором b, но благодаря этому ранг ее
матрицы управляемости определяется выражением
.241
10rank n==
и равен ее размерности, так что система (28) в отличие от (24) оказывается
управляемой.
Разумеется, собственные числа ее матрицы коэффициентов A в разомкнутом
состоянии по-прежнему задаются значениями (26), но корни характеристического
уравнения
0)518()9()(det 212
2
2
T =−++λ−−λ=λ−− cccIbcA
ее замкнутой матрицы коэффициентов определяются выражением
2
8)1(4)9( 2
212
2,1
−+−±−−
=λ
ccic
(30)
и при условии
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 19
,9,
2
12 2
2
2
1 >
+
+> ccc (31)
накладываемом на коэффициенты усиления 21, cc в управлении (12), могут быть
сделаны комплексно-сопряженными с отрицательными вещественными частями.
В этом случае система (28), (12) при выполнении условий стабилизируемости
(31) превращается из неустойчивой в асимптотически устойчивую, но для этого,
во-первых, в отличие от системы (11) приходится задействовать полное управле-
ние (12) по обеим координатам 21, xx и, во-вторых, в отличие от системы (24) си-
стема (28) должна быть управляемой.
Таким образом, можно утверждать, что управляемость позволяет управлению
влиять на все собственные числа матрицы коэффициентов замкнутой линейной
системы (пример 4), тогда как в неуправляемой системе часть этих собственных
чисел оказывается недоступной управлению (примеры 1–3). Именно поэтому
управляемость линейных систем гарантирует их стабилизируемость. Неуправляе-
мые же системы можно стабилизировать, когда недоступные управлению соб-
ственные числа их замкнутых матриц коэффициентов будут априори иметь отри-
цательные вещественные части или сами будут отрицательными (пример 1). Если
же это условие не выполняется (примеры 2, 3), то неуправляемая система не мо-
жет быть стабилизирована никаким управлением. К сожалению, по внешнему ви-
ду (по явным признакам) неуправляемой системы нельзя сделать вывод о ее ста-
билизируемости без дополнительных исследований (как правило, это выясняется
лишь в процессе решения задачи стабилизации). Возможно, одним из приемле-
мых путей разрешения этой проблемы может оказаться применение процедуры
декомпозиции исходной системы [11] — выделение в ней управляемой и не-
управляемой подсистем с дальнейшим исследованием устойчивости ее неуправ-
ляемой части. Разумеется, этот подход может оказаться тем конструктивнее, чем
полнее будет декомпозиция системы (в идеале управляемая и неуправляемая под-
системы должны бытьавтономными, иначе необходимо дополнительное исследо-
вание степени их остаточной зависимости, если декомпозиция неполная).
Применительно ко второму методу Ляпунова спектральный анализ заменяет-
ся соответствующими утверждениями относительно структур (и их взаимосвязи)
матриц коэффициентов разомкнутой системы и ее квадратичной формы (разуме-
ется, этот подход справедлив также для линейных нестационарных и нелинейных
систем).
Альтернативный анализ управляемости линейных систем. Известна сле-
дующая теорема из [8].
Теорема. Чтобы система (3) могла быть α -стабилизированой относительно
квадратичной формы (5), необходимо, чтобы число управлений m в системе (1)
и число αµ неположительных квадратов [12] в разложении квадратичной формы
),(2)()( xVxVxR α−−=α
(32)
вычисляемой на траекториях разомкнутой системы (3), были связаны неравенством
.αµ≥m (33)
Эта теорема, доказанная в [8] для частного случая ),(2)( xVxW α= без труда
обобщается [4] как для квадратичной формы W из (5'), так и, разумеется, на слу-
чай ,0=W когда квадратичная форма αR в (32) принимает вид
),,(),(0 txVtxR −= (34)
20 ISSN 0572-2691
а условие (33) — соответственно
.0µ≥m (35)
Пример 5. Рассмотрим систему (28) с матрицами коэффициентов (29), за-
мкнутую управлением (12) с параметрами усиления
,11,40 21 == cc (36)
подчиняющимися условиям (31).
В этом случае матрица коэффициентов замкнутой системы
−−=− 738
15TbcA (37)
согласно (30) и с учетом (36) будет иметь пару комплексно-сопряженных соб-
ственных чисел
212,1 i±−=λ (38)
с отрицательными вещественными частями, так что по первому методу Ляпунова
рассматриваемая система будет стабилизируемой.
Чтобы убедиться в этом с помощью второго метода Ляпунова, воспользуемся
обратимостью теоремы об асимптотической устойчивости линейных стационар-
ных систем [13] и по заданной матрице
0210
1056 >
=Q (39)
получим из уравнения Ляпунова
QDbcAbcAD −=−+− TTT )()( (40)
матрицу D. Будем иметь
.016
640 >
=D (41)
В разомкнутом варианте (3) системы (28), (29) квадратичная форма
,20192424)( 2
221
2
10 xxxxxR −−−=
построенная согласно (34) с использованием матрицы D из (41), приводится,
например, методом Лагранжа [12] к алгебраической сумме двух квадратов:
,
53
92)1253(
424
1)( 2
2
2
210 xxxxR ++−= (42)
из которых один положительный и один отрицательный. При этом количество от-
рицательных квадратов совпадает с размерностью управления 1=m в системе
(28), и поэтому она согласно указанной теореме [4, 8] действительно стабилизи-
руется управлением (12)
21 1140 xxu −−= (43)
при условии (36).
Для других положительно-определенных матриц ,0>D например, вида
,14
420,12
25,21
11,2
I (44)
квадратичные формы )(0 xR приводятся к сумме двух отрицательных квадратов,
когда их количество превышает размерность управления 1=m и согласно этой
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 21
же теореме рассматриваемая система не может быть стабилизирована никаким
управлением (в том числе и (43), что вступает в явное противоречие с (38) и (42)).
К аналогичному заключению приводит и использование матриц (44) в урав-
нении Ляпунова (40), когда в результате получаются знакопеременные матрицы
Q соответственно в виде
,626
26104,1037
37102,2677
7766,1437
3710
−
с которыми не выполняется условие стабилизируемости (7), хотя исходная
система согласно (38) стабилизируется управлением (43).
Разумеется, практически никакого противоречия здесь нет, поскольку все из-
вестные критерии стабилизируемости, так или иначе связанные с функциями Ля-
пунова, являются лишь достаточными и существенно зависят от удачного выбора
этих функций.
Пример 6. Рассмотрим управляемый вариант системы (11)
uxxxxxx ++=+= 212211 42,5 (45)
со скалярным управлением (12) и матрицами коэффициентов
,1
0,42
51
=
= bA (46)
отличающимися от (13) лишь вектором b.
В отличие от (14) ранг матрицы управляемости системы (45) совпадает с ее
размерностью, а собственные числа матрицы коэффициентов в разомкнутом со-
стоянии по-прежнему равны величинам (15).
Применим к системе (45), (12) метод прямого жесткого синтеза (ПЖС) [14],
для этого зададим матрицы QD, квадратичных форм (5), (5') в виде
.0
)(
2,0const2
1
2
2
2
1
22
1
2
1
2
1 >
+
=>=
=
qqddq
dqqQdd
dD (47)
Будем строить управление (12), используя уравнение Ляпунова (40), которое
предварительно подвергнем E-преобразованию матрицей [14]
.10
1,10
1 1
22
=
−= − dEdE
В результате получим условия устойчивости замкнутой системы (45), (12):
.035
,2)4(2
,2)51(2
2
2
2
2
2
2
2
11
=++
−=−
−=−+
dcd
qdcd
qdcd
Из первых двух соотношений определяются искомые параметры управления
21, cc в виде
,0,4),51( 2
22
2
1
1
1 ≠+=++= − dqcqddc (48)
а третье (после исключения величины 2c из (48)) превращается в условие стаби-
лизируемости
075 2
2 =++ dqd (49)
и позволяет идентифицировать параметр ,2
2q разумеется, лишь в случае
22 ISSN 0572-2691
,0,0 ><−= ∗∗ ddd (50)
следующим образом:
075 12
2 >−= −
∗dq (51)
∗∀d из диапазона
.
7
50 << ∗d (52)
В результате компоненты управления (48) определятся выражениями
1
2
2
1
1
1 53),1(5 −
∗
−
∗ +−=+−= dcqdc (53)
и обеспечат исходной системе асимптотическую устойчивость в полном соответ-
ствии с уравнением Ляпунова (40), матрицами (47) вида
0
)75(
2,0
2
1
12
1
22
1
2
1
2
1
2 >
−+−
−=>
−
−
= −
∗∗∗
∗
∗∗
∗
dqdqd
qdqQ
dd
d
D (54)
и комплексно-сопряженными собственными числами с отрицательными
вещественными частями
∗
∗∗∗ −−−±−−
=λ
d
dqdid
2
)25()2(20)85( 22
1
2,1 (55)
замкнутой матрицы коэффициентов системы (45) при ограничениях на параметры
управления в (53)
.)4,0(25,12,
8
50 212
1 −−<<< −
∗∗∗ ddqd (56)
Далее откажемся от уравнения Ляпунова (40) и проигнорируем условие ста-
билизируемости (49).
Будем рассматривать управление (12), (48), построенное методом ПЖС, как
трехпараметрическое семейство законов стабилизации, зависящее от трех произ-
вольных параметров .,, 2
2
2
1 qqd Для упрощения выражений (48) положим в них
.1=d (57)
В результате вместо (53) будем иметь
.,4,6 2
2
2
1
2
22
2
11 qqqcqc ∀+=+= (58)
Конечно же, условие (57) противоречит (50), (52) и нарушает условие стаби-
лизируемости (49), однако система (45), замкнутая управлением (12) с параметра-
ми усиления (58), имеет матрицу коэффициентов
,4
51
2
2
2
1
T
−−−
=− qqbcA (59)
собственные числа которой в отличие от (15) определяются соотношениями
2
)1(2080)1( 22
2
2
1
2
2
2,1
+−+±−−
=λ
qqiq
(60)
и оказываются подобно (55) тоже комплексно-сопряженными с отрицательными
вещественными частями при условии
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 23
.1154,04
20
)1( 2
2
22
22
1 >−>>−
+
> qqq (61)
Следовательно, управление (12), (58), построенное методом ПЖС, может
обеспечить стабилизацию системы (45) и при явном нарушении условия стабили-
зируемости (49), которое в случае (57) принимает вид
012 2
2 =+ q
и не может быть реализовано никакими вещественными значениями 2q .
Уравнение Ляпунова (40) с матрицами
02,021
11
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 >
+
=>
=
qqq
qqQD
и 2
2
2
1 , qq∀ из (61), записанное для системы (45) с матрицей коэффициентов (59),
при этом также не удовлетворяется, но по первому методу Ляпунова эта система
согласно (60), (61) оказывается асимптотически устойчивой (стабилизированной).
Рассмотренный пример показывает, с одной стороны, обременительность
условий стабилизируемости, которые существенно сужают множество законов
управления (их однопараметрическое семейство (53), значительно уже двухпара-
метрического (58)), накладывают более жесткие условия (50)–(52), (56) на пара-
метры системы по сравнению с (60). С другой стороны, убеждаемся в их необяза-
тельности (они ведь имеют лишь достаточный характер), когда управление (58)
и без них обеспечивает стабилизацию системы (45).
Заключение. В результате проведенного анализа можно сделать следующие
выводы.
• Стабилизируемость не влияет на управляемость системы, ибо она может
трактоваться как активно обеспечиваемая устойчивость [4], а управлять можно
как устойчивыми, так и неустойчивыми объектами.
• Управляемость в линейных системах является достаточным условием их
стабилизируемости. В стационарном случае в замкнутом состоянии она позволяет
управлять всеми модами матриц коэффициентов линейных систем (пример 4).
• В неуправляемых системах часть собственных чисел их матриц коэффициен-
тов в замкнутом состоянии оказывается недоступной управлению (примеры 1–3),
и для стабилизируемости систем эти собственные числа должны априори иметь от-
рицательные вещественные части или быть отрицательными (пример 1). Иначе
неуправляемая система будет нестабилизируемой (примеры 2, 3). При этом следу-
ет заметить, что хотя для наглядности в работе приведены примеры не выше вто-
рого порядка, сформулированные выводы можно проиллюстрировать примерами
любого порядка. Но, к сожалению, пока не существует критериев, позволяющих
без решения задачи стабилизации первым методом Ляпунова с анализом аналити-
ческих выражений корней характеристического уравнения системы в замкнутом
состоянии определять, доступны ли все эти ее неотрицательные корни (или в об-
щем случае, корни с неотрицательными вещественными частями) воздействиям
управления. Для систем достаточно большого порядка подобная проблема остает-
ся далекой от конструктивной реализации.
• В нестационарном случае управляемость линейных систем при удачном
выборе функций Ляпунова, по-видимому, обеспечивает нужную для удовлетворе-
ния условиям стабилизируемости вида (8)–(10) структуру матриц коэффициентов
этих систем в замкнутом состоянии. Но это утверждение нуждается в дополни-
тельном исследовании [4].
24 ISSN 0572-2691
• Для стабилизации систем необходимо, чтобы размерность управления m
была не меньше количества неотрицательных квадратов в разложении полной
производной по времени удачно выбранной функции Ляпунова на любых траек-
ториях разомкнутой системы.
• Реализация условий стабилизируемости для линейных систем в методах их
синтеза, основанных на прямом методе Ляпунова, приводит к неизбежному умень-
шению множества синтезируемых управлений. Однако, поскольку второй метод
Ляпунова является практически единственным конструктивным инструментом ана-
лиза стабилизируемости (устойчивости) систем (в частности, высокого порядка и,
конечно же, нестационарных), с этим неудобством приходится мириться.
С.М. Онищенко
ПРО СТАБІЛІЗОВАНІСТЬ
НЕКЕРОВАНИХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
Аналізується зв’язок між некерованістю та стабілізованістю лінійних систем
довільного порядку. Численні приклади ілюструють основні положення статті.
S.M. Onyshchenko
ON STABILIZABILITY
OF NONCONTROLLED LINEAR SYSTEMS
Connection between noncontrollability and stabilizability of random order linear sys-
tems is analyzed. Basic concepts of the article are illustrated with many examples.
1. Д’Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез. — М. :
Машиностроение, 1974. — 288 с.
2. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования
систем управления. — М. : Высш. шк., 1989. — 447 с.
3. Яковлев О.С. Эргатические системы стабилизации // Технические эргатические системы /
Под общ. ред. В.В. Павлова. — К. : Вища шк., 1977. — С. 178–259.
4. Онищенко С.М. Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динами-
ческих систем // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и
информатики». — 2011. — № 3. — С. 13–24.
5. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Дополнение VI к кн.
Малкина А.Г. Теория устойчивости движения. — М. : Наука, 1966. — С. 475–514.
6. Kalman R.E., Ho Y.C., Narenda K.S. Controllability of linear dynamical systems // Contributions
to Differential Equations. — 1962. — 1, N 2. — P. 189–213.
7. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизации: методы жест-
кого синтеза // Проблемы управления и информатики. — 2000. — № 2. — С. 5–12.
8. Якубович Е.Д. Экспоненциальная стабилизация линейных систем // Докл. АН СССР. —
1969. — 186, № 1. — С. 47–49.
9. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М. : Наука, 1967. —
424 с.
10. Онищенко С.М. Модальный подход к синтезу нелинейных систем стабилизации // Пробле-
мы управления и информатики. — 1996. — № 6. — С. 5–19.
11. Мороз А.И. Курс теории систем. — М. : Высш. шк., 1987. — 304 с.
12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1967. — 576 с.
13. Малкин А.Г. Теория устойчивости движения. — М. : Наука, 1966. — 532 с.
14. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизации: метод пря-
мого жесткого синтеза // Проблемы управления и информатики. — 2000. — № 3. —
С. 17–25.
Получено 27. 07. 2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207583 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:11:46Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Онищенко, С.М. 2025-10-10T08:30:36Z 2013 О стабилизируемости неуправляемых линейных систем / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 14–24. — Бібліогр.: 14 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207583 62-501.5 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i2.10 Аналізується зв’язок між некерованістю та стабілізованістю лінійних систем довільного порядку. Численні приклади ілюструють основні положення статті. Connection between noncontrollability and stabilizability of random order linear systems is analyzed. Basic concepts of the article are illustrated with many examples. Работа частично поддерживалась программой фундаментальных исследований Отделения физики и астрономии НАН Украины. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем О стабилизируемости неуправляемых линейных систем Про стабілізованість некерованих лінійних систем On Stabilizability of Noncontrolled Linear Systems Article published earlier |
| spellingShingle | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем Онищенко, С.М. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем |
| title_alt | Про стабілізованість некерованих лінійних систем On Stabilizability of Noncontrolled Linear Systems |
| title_full | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем |
| title_fullStr | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем |
| title_full_unstemmed | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем |
| title_short | О стабилизируемости неуправляемых линейных систем |
| title_sort | о стабилизируемости неуправляемых линейных систем |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207583 |
| work_keys_str_mv | AT oniŝenkosm ostabiliziruemostineupravlâemyhlineinyhsistem AT oniŝenkosm prostabílízovanístʹnekerovanihlíníinihsistem AT oniŝenkosm onstabilizabilityofnoncontrolledlinearsystems |