О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина
Побудовано нові спрощені схеми для нижнього альтернованого інтеграла Понтрягіна. На основі цих схем доведено, що в лінійній диференціальній грі для початкових станів, до яких застосовується нижній альтернований інтеграл, існує стратегія переслідування, що гарантує точне закінчення переслідування і м...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207585 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина / Исканаджиев И.М. // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 33–39. — Бібліогр.: 19 назв. - рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859477001832759296 |
|---|---|
| author | Исканаджиев, И.М. |
| author_facet | Исканаджиев, И.М. |
| citation_txt | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина / Исканаджиев И.М. // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 33–39. — Бібліогр.: 19 назв. - рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Побудовано нові спрощені схеми для нижнього альтернованого інтеграла Понтрягіна. На основі цих схем доведено, що в лінійній диференціальній грі для початкових станів, до яких застосовується нижній альтернований інтеграл, існує стратегія переслідування, що гарантує точне закінчення переслідування і має кусково-сталу реалізацію.
The simplified schemes for the lower Pontryagin alternating integral are constructed. Basing on these schemes, we prove that in a linear differential game, for initial states to which the lower alternating integral applies, there exists a pursuer strategy guaranteeing exact completion of pursuit and having a piecewise constant realization.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:40:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.М. ИСКАНАДЖИЕВ, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 33
УДК 517.977
И.М. Исканаджиев
О НИЖНЕМ АЛЬТЕРНИРОВАННОМ
ИНТЕГРАЛЕ ПОНТРЯГИНА
Для решения задачи преследования в линейных дифференциальных играх
Л.С. Понтрягин предложил два прямых метода [1, 2]. Второй прямой метод, осно-
вывающийся на понятии альтернированного интеграла, сыграл большую роль в
развитии теории дифференциальных игр. Исследованию этого метода посвящено
много работ [3–l7]. B частности, введен его нижний аналог, названный нижним аль-
тернированным интегралом [3, 4]. В связи с этим новым понятием сам альтерниро-
ванный интеграл был назван верхним. Нижний альтернированный интеграл оказал-
ся полезным при решении задачи преследования при определенной информацион-
ной дискриминации преследователя по сравнению с убегающим. В работе [3]
также установлена связь между этими понятиями, которая и применена к пробле-
ме информированности [5].
Понятие альтернированного интеграла (верхнего и нижнего) имеет ряд суще-
ственных отличий от классического интеграла. Одно из отличий — использова-
ние в его определении интеграла многозначного отображения. В связи с этим воз-
никают некоторые трудности при вычислении альтернированного интеграла.
В работе [6] предложена первая упрощенная схема построения верхнего альтер-
нированного интеграла без участия интеграла многозначного отображения. Ме-
тод, применяемый в этой работе, назван «методом надевания шапок» (на терми-
нальное множество М). Оказалось, что этот метод позволяет строить и другие
упрошенные схемы [5].
В настоящей работе построены упрощенные схемы для нижнего альтерни-
рованного интеграла и, основываясь на этих схемах, доказано, что в линейной
дифференциальной игре для начальных состояний, к которым применим нижний
альтернированный интеграл, существует стратегия преследователя, гарантиру-
ющая точное завершение преследования и имеющая кусочно-постоянную реа-
лизацию.
Используем следующие обозначения: ],0[ τ=I — фиксированный отрезок вре-
мени; ∆ — подотрезок I; ∆ — длина отрезка ∆; )(cl dR (соответственно
))(Ccl dR ) — семейство всех непустых замкнутых (выпуклых замкнутых) подмно-
жеств ;dR )(cm dR (соответственно ))(Ccm dR — семейство всех непустых ком-
пактных (выпуклых компактных) подмножеств ;dR }1{ ≤∈= zRzH d — еди-
ничный замкнутый шар в ;dR },0{min),( rHABrHBArBAh +⊂+⊂≥= —
метрика Хаусдорфа; },...,,,{ 210 nττττ=ω — разбиение отрезка I ( <τ<τ= 100
,...2 τ=τ<<τ< n n может зависеть от ω); Ω — совокупность всех разбиений от-
резка I; ;],[ 1 iii ττ=∆ − ;ii ∆=δ iδ=ω max — диаметр разбиения ω; ∫i —
интеграл по отрезку .i∆ Если X — подмножество евклидового пространства, то
][∆X — совокупность всех измеримых функций .:)( Xa →∆⋅ В случае ],[ βα=∆
пишем .],[ βαX
Упрощенные схемы построения нижнего альтернированного интеграла.
Пусть X, Y — произвольные подмножества .dR Их алгебраической суммой YX +
называется множество }.,,{ YyXxyxzRzZ d ∈∈+=∈= Геометрической разно-
34 ISSN 0572-2691
стью YX ∗ называется множество }.{ XYzRzZ d ⊂+∈= Отметим некоторые
свойства введенных операций, непосредственно вытекающие из определений:
,)( YZXZYX ∗+⊂+∗ (1)
,)( ZYXZYX +∗=∗∗ (2)
.XYYX ⊂+∗ (3)
Если ,ZY ⊂ то
., YXZXZXYX ∗⊂∗+⊂+ (4)
В соотношениях (1)–(4) X, Y, Z — произвольные подмножества .dR
Отметим также, что имеет место включение
,)( BXAXXBA +⊂+ (5)
где A и B — )( dd × -матрицы, Х — произвольное подмножество .dR
Лемма 1 [3]. Пусть последовательность открытых множеств d
k RX ∈ моно-
тоннo возрастает по включению и ).(cm dRY ∈ Тогда имеет место равенство
.)(
11
∞
=
∞
=
∗=∗
k
k
k
k YXYX (6)
Пусть )(tС — непрерывная на I матричная функция со значениями в про-
странстве dd × -матриц, ),(Ccm dRP∈ )(Ccm dRQ∈ и М — непустое подмно-
жество .dR Положим ,)( dtPtCU
ii ∫= dtQtCV
ii ∫= )( (об интеграле многознач-
ного отображения см. [1, 7]).
Каждому разбиению Ω∈ω ставим в соответствие множество )(ωS , называ-
емое нижней альтернированной суммой. Она является последним членом по-
следовательности ,iS вводимой следующим образом:
.)(,, 10 niiii SSUVSSMS =ω+∗== − (7)
Множество
Ω∈ω
τ ω= )()( SMW называется нижним альтернированным инте-
гралом Понтрягина [3, 4].
В дальнейшем по мере необходимости в обозначениях указывается зависи-
мость сумм и интегралов не только от ω или τ, но и от других исходных данных.
Пусть },,)()({max)( 2121 δ≤−−=δγ tttCtC где ⋅ — норма матрицы.
Очевидно, что 0)( →δγ при .0)0(;0 =γ→δ
Пусть .)(,)( QdttCVPdttCU
iiii ∫∫ ==
Лемма 2. Если )(Ccm,)(Cm dd RQRP ∈∈ и ,lHQP ⊂ то имеют место
неравенства
.)(2),(,)(2),( lVVhlUUh iiiiiii δγδ≤δγδ≤ (8)
Доказательство. Пусть iξ — произвольная точка из .i∆ Тогда
.),)(())(,(),( iiiiiiii UPChPCUhUUh ξδ+ξδ≤ (9)
Очевидно, )()( iiiii lPCU δγδ+ξδ⊂ и ).()( iiiii lUPC δγδ+⊂ξδ Из этих вклю-
чений следует
).())(,( iiiii lPCUh δγδ≤ξδ (10)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 35
Теперь оценим второе слагаемое соотношения (9):
.))()(()()( dttCCdttCdtC iiiii
−ξ+=ξ ∫∫∫
Отсюда
.))()(()()( HPdttCCdtPtCdtPC iiiii
−ξ+⊂ξ ∫∫∫
Тем более,
.)()( HlUPC iiiii δγδ+⊂ξδ (11)
Пользуясь включением (5), оценим iU сверху:
.)()())()(()()( HlPCdtPCtCdtPCdtPtCU iiiiiiiiii δγδ+ξδ⊂ξ−+ξ⊂= ∫∫∫ (12)
Из (11) и (12) следует
.)(),)(( HlUPCh iiiii δγδ≤ξδ (13)
Складывая (10) и (13), получаем первое неравенство (8). Аналогично доказы-
вается второе неравенство (8).
Лемма 2 доказана.
Примечание. В дальнейшем для удобства записи в формулах будем считать
,1=l т.е .HQP ⊂
Пусть .Ω∈ω Положим ).(,, 10 ω=+∗== − BBUVBBMB niiii
Лемма 3. Имеют место включения
).)(6(),)(2(),( HMSHMBMS ωτγ∗⊃ωωτγ∗⊃ω (14)
Доказательство. Сначала докажем ).,)(2(),( ωωτγ∗⊃ω HMBMS Пусть
).(2)( kkk δγδ=δΓ В силу (8) и ii UU ⊂ имеем
).)(())(( 1111111 HMBUHVMUVMS i δΓ∗=+δΓ+∗⊃+∗=
Предположим, что .)()(
1
δΓ∗⊃ ∑
=
HMBMS i
k
i
kk Покажем, что ⊃+ )(1 MSk
.)(
1
1
1
δΓ∗⊃ ∑
+
=
+ HMB i
k
i
k По определению .)()( 111 +++ +∗= kkkk UVMSMS В силу
предположения .)()( 11
1
1 ++
=
+ +∗
δΓ∗⊃ ∑ kk
k
i
ikk UVHMBMS Пользуясь неравен-
ством (8) и учитывая ,11 ++ ⊂ kk UU приходим к соотношению
111
1
1 ))(()()( +++
=
+ +δΓ+∗
δΓ∗⊃ ∑ kkk
k
i
ikk UHVHMBMS .
Воспользовавшись включениями (1) и (2), операцию геометрической разности с
членом Hk )( 1+δΓ применим для терминального множества, в результате получим
.)()(
1
1
11
δΓ∗⊃ ∑
+
=
++ HMBMS
k
i
ikk
36 ISSN 0572-2691
В силу этого .)()(
1
δΓ∗⊃ ∑
=
HMBMS
n
i
inn Поскольку ),()( ωγ≤δγ i то =δΓ∑
=
)(
1
i
n
i
).(2)(2
1
ωτγ≤δγδ= ∑
=
ii
n
i
Поэтому ))(2(),( ωτγ∗⊃ω MBMS .
Левая часть включений (14) доказана.
Теперь докажем правую часть включения (14). Для этого частичные суммы
iB оценим снизу частичными суммами .iS
По определению
.)(2))(2( 111 UVHMHMB +∗ωτγ∗=ωτγ∗
В силу соотношений (8) и (4)
.))(()(2))(2( 1111 UHVHMHMB +δΓ+∗ωγτ∗⊃ωγτ∗
Применив включение (3) к правой части этого соотношения, получим
.)()())(()(2))(2( 111111 HUHHVHMHMB δΓ++δΓ∗δΓ+∗ωτγ∗⊃ωτγ∗
Учитывая, что HUU )( 111 δΓ+⊂ и воспользовавшись (4), имеем
.)())(()(2))(2( 11111 UHHVHMHMB +δΓ∗δΓ+∗ωτγ∗⊃ωτγ∗
Теперь, применяя соотношения (2) к правой части этого включения, операцию
геометрической разности применим для терминального множества
)).)()((2())((2))(2( 111111 HMSUVHMHMB δΓ+ωγτ∗=+∗δΓ+ωτγ∗⊃ωγτ∗
Предположим, что
.)()(2))(2(
1
δΓ+ωγτ∗⊃ωτγ∗ ∑
=
HMSHMB
k
i
ikk
Покажем, что
.)()(2))(2(
1
1
11
δΓ+ωτγ∗⊃ωτγ∗ ∑
+
=
++ HMSHMB
k
i
ikk
На самом деле
.)))((2())(2( 111 +++ +∗ωτγ∗=ωτγ∗ kkkk UVMBHMB
В силу предположения
.)()(2))(2( 11
1
1 ++
=
+ +∗
δΓ+ωτγ∗⊃ωτγ∗ ∑ kk
k
i
ikk UVHMSHMB
Пользуясь включениями (3), (8), приходим к соотношению
.)()(2))(2( 11
1
1
111 ++
+
=
++ +∗
δΓ+ωτγ∗⊃ωτγ∗ ∑ kk
k
i
kk UVHMSHMB
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 37
Отсюда следует, что
,)()(2))(2(
1
1
δΓ+ωτγ∗⊃ωτγ∗ ∑
=
HMSHMB
n
i
nn (15)
поскольку ),(2)(
1
ωτγ≤δΓ∑
=
i
n
i
то ).,)(4(),)(2( ωωτγ∗⊃ωωγτ∗ HMSHMB
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть М — открытое подмножество .dR Тогда справедливо равенство
).(),(),)(4( MWMSHMS τ
ωω
=ω=ωωτγ∗
Доказательство. Покажем включение
).,(),)(4( ω⊃ωωτγ∗
Ω∈ωΩ∈ω
MSHMS
Обратное включение очевидно.
Пусть 0ω — произвольное разбиение из Ω и kω — последовательность измель-
чающих разбиений таких, что kω⊂⊂ω⊂ω ...10 и ,0→ωk .∞→k Покажем, что
00 ),,(),( ≥ ω⊂ω k kkMSMS где .)(2 HMM kk ωτγ∗= При измельчении разбиений
суммы ),( ωMS возрастает. Поэтому достаточно показать ).,(),( 000 ω⊂ω ≥ kk MSMS
На самом деле здесь имеет место равенство ).,(),( 000 ω=ω≥ MSMS kk
Пользуясь леммой 1, операцию объединения по k применим для терминаль-
ного множества и получим
.,),( 0
00
0
ω=ω
≥≥
k
k
k
k MSMS
Остается заметить, что .0 MMk k =≥ Следовательно,
Ω∈ω
ωωτγ∗⊂ω ).,)(4(),( 0 HMSMS
Лемма 4 доказана.
Теорема 1. Пусть М — открытое подмножество .dR Тогда справедливо ра-
венство
ω
τ HMBMW ).,)(2()( ωωτγ∗=
Доказательство теоремы следует из лемм 3 и 4.
Пусть .Ω∈ω Положим
ω
τ− ω==ω+∗== .),()(,),(,, 10 MCMCCMCUVCCMC niiii (16)
Лемма 5. Имеют место включения
.),)(2(),(),( ωωτγ∗⊃ω⊃ω HMSMCMS
Доказательство леммы 5 аналогично доказательству леммы 3.
Теорема 2. Если М — открытое подмножество ,dR то
).()( MCMW ττ = (17)
Доказательство теоремы следует из лемм 4 и 5.
38 ISSN 0572-2691
Отметим, что в схеме (16) частичные суммы iC образуются без учета ап-
проксимация интеграла iU интегралом .iU
Приложение упрощенных схем для нижнего альтернированного инте-
грала к линейным дифференциальным играм. Рассмотрим линейную диффе-
ренциальную игру
,vuCzz +−= (18)
,dRz∈ С — )( dd × -матрица, .)(Ccm),(Ccm,, dd RQRPQvPu ∈∈∈∈
Стратегией преследователя назовем пару ),,( Uω где },...,,,{ 210 nττττ=ω —
разбиение отрезка ),( Ω∈ωI 1
0}{ −= n
iUU — семейство операторов ,iU каждый
из которых ставит в соответствие вектору dR∈ξ и точке iτ измеримую функцию
).()( iPu ∆∈⋅ Семейство всех таких стратегий преследователя обозначим .∗U
Произвольную измеримую функцию )()( IQv ∈⋅ назовем допустимым управлени-
ем убегающего.
Каждой точке dRz ∈0 стратегии преследователя ∗∈ω= UUU ),( и управления
убегающего )()( IQv ∈⋅ соответствует единственная абсолютно-непрерывная траек-
тория )),(,,,()( 0 ⋅= vUztztz которая определяется следующим образом.
Пусть },...,,,0{ 210 τ=ττττ==ω n и .,0, nkkkn =τ=τ−τ − На отрезке ],0[ 11 τ=∆
траектория )(tz определяется как решение задачи Коши
,)0(),()( 00 zztvtuCzz =+−=
где .),()( 0000 zUu τ=⋅
Пусть )(tz построена на отрезке ).(,],0[ 111 −−− τ=τ nnn zz Тогда )(tz на от-
резке ],[ 11 nn ττ=∆ − определяется как решение задачи Коши
,)(),()( 111 −−− =τ+−= nnn zztvtuCzz
где ).,()( 1111 −−−− τ=⋅ nnnn zUu Функцию )()( tutu k= при kt ∆∈ назовем реализа-
цией стратегий U.
Таким образом, преследователь для построения стратегий из класса ∗U не
пользуется информацией об управлении убегающего, а пользуется значением
)(tz в дискретные моменты времени iτ , т.е. )( iz τ и в этом отношении стратегии
из класса ∗U близки к нижним кусочно-программным стратегиям [4, 18, 19].
По определению из точки 0z можно завершить преследование за время τ
(в момент времени τ), если существует стратегия преследователя ∗∈ω= UUU ),(
такая, что при любом управлении убегающего )()( IQv ∈⋅ в некоторый момент вре-
мени It ∈∗ (в момент времени τ) окажется ).)(())(,,()( 0 MzMvztztz ∈τ∈= ⋅∗∗
Пусть в схемах (7) и (16) .)( tCetC = Тогда на основе соотношении (17) дока-
зывается следующая теорема.
Теорема 3. Пусть М — открытое подмножество .dR Тогда в игре (18) из то-
чек ,0z для которых ),()(exp 0 MWzC τ∈τ можно завершить преследование в мо-
мент времени τ в классе стратегии .∗U При этом все реализации стратегий пре-
следователя можно сделать кусочно-постоянными.
Каждому разбиению ω, ,Ω∈ω ставим в соответствие множество ,ωS назы-
ваемое верхней альтернированной суммой, определяемой следующим образом:
.,)(, 1 n
ii
iio SSVUSSMS =∗+== ω−
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 39
Множество ω
Ω∈ω
τ = SMW
)( называется верхним альтернированным инте-
гралом Понтрягина [1–4].
Пусть существуют положительное число r и функция ,:)( dRIf →⋅ имею-
щая ограниченную вариацию на отрезке I, такие, что для каждого разбиения
Ω∈ω частичные альтернированные суммы iS удовлетворяют условиям
.,0,,)( niSrHf i
i
i =ω∈τ⊂+τ (19)
Теорема 4. Если )(Ccl dRM ∈ и выполнены условия (19), то =τ )(Int MW
)Int( MCτ= .
Доказательство. Из теоремы 2 следует, если ),(Ccl dRM ∈ то =τ )Int( MW
).Int( MCτ= С другой стороны, при выполнении условия теоремы из результата
работы [5, § 6, теорема 9] следует ),Int()(Int MWMW τ
τ = поэтому =τ )(Int MW
).Int( MCτ=
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда из всех точек ,0z
для которых ),(Int)(exp 0 MWzC τ∈τ можно завершить преследование в момент
времени τ в классе стратегии ∗U в игре (18). При этом все реализации стратегий
преследователя можно сделать кусочно-постоянными.
Отметим, что аналогичное утверждение доказано в работе [5], когда все реали-
зации стратегий преследователя являются измеримыми функциями (см. также [4]).
І.М. Ісканаджієв
ПРО НИЖНІЙ АЛЬТЕРНОВАНИЙ
ІНТЕГРАЛ ПОНТРЯГІНА
Побудовано нові спрощені схеми для нижнього альтернованого інтеграла Пон-
трягіна. На основі цих схем доведено, що в лінійній диференціальній грі для
початкових станів, до яких застосовується нижній альтернований інтеграл, іс-
нує стратегія переслідування, що гарантує точне закінчення переслідування і
має кусково-сталу реалізацію.
I.M. Iskanadjiev
ON THE LOWER PONTRYAGIN
ALTERNATING INTEGRAL
The simplified sсhemes for the lower Pontryagin alternating integral are constructed.
Basing on this schemes we also prove that in linear differential game the lower alter-
nating integral can be applied to initial states, then there exists the pursuer strategy
guaranteeing exact completion of pursuit and having a piecewise constant realization.
1. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх // Докл. АН СССР. — 1967. — 175,
№ 4. — С. 764–766.
2. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. — 1980. —
112, № 3. — С. 307–330.
3. Азамов А. О втором методе Понтрягина в линейных дифференциальных играх // Там же. —
1982. — 118, № 3. — С. 422–430.
40 ISSN 0572-2691
4. Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных диффе-
ренциальных играх преследования // Там же. — 1985. — 128, № 1. — С. 35–49.
5. Азамов А. Полуустойчивость и двойственность в теории альтернированного интеграла
Понтрягина // Докл. АН СССР. — 1988. — 299, № 2. — С. 265–268.
6. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина // Мат. сб. — 1981. —
116, № 4. — С. 136–144.
7. Половинкин Е.С. Об интегрировании многозначных отображений // Докл. АН СССР. —
1988. — 271, № 5. — С. 1059–1074.
8. Мищенко Е.Ф., Сатимов Н. Альтернированный интеграл в линейных дифференциальных
играх с нелинейными управлениями // Диф. уравнения. — 1974. — 10, № 12. —
С. 2173–2178.
9. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем.
// Кибернетика. — 1970. — № 2. — С. 54–63.
10. Гусятников П.Б. К вопросу информированности игроков в дифференциальной игре //
ПММ. — 1972. — 36, № 5. — С. 917–924.
11. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Рапопорт И.С. Эффективный метод решения дифференци-
альных игр со многими преследователями // Докл. АН СССР. — 1981. — 256, № 3. —
С. 530–535.
12. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. — Киев : Наук. думка, 1992,
— 264 с.
13. Азамов А. О существовании стратегии с кусочно-постоянными реализациями // Мат. замет-
ки. — 1987. — 41, № 5. — С. 718–723.
14. Куржанский А.Б., Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный инте-
грал Понтрягина и уравнение Гамильтона–Якоби // Мат. сб. — 2000. — 191, № 6.
С. 69–100.
15. Мухамедиев Б.М., Мансурова М.Е. Альтернированные интегралы Понтрягина со смешан-
ными ограничениями // Вычисл. технологии. — 2007. — 12, № 2. — С 104–114.
16. Silin D. A generalization of Pontryagin’s alternating integral and generalized solutions to Hamil-
ton–Jakobi equations // Междунар. конф. «Дифференциальные уравнения и топология», по-
свящ. 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. Тез. докл. — М. : МГУ им. В.М. Ломо-
носова, 2008. — С. 291.
17. Пономарев А.П., Розов Н.X. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтря-
гина // Вестн. Москов. ун-та. Сер. вычисл. математика и кибернетика. — 1978. — № 1. —
С. 82–90.
18. Субботин А.И. Ченцов А.Г. Оптимизации гарантии в задачах управления. — М. : Наука,
1981. — 288 с.
19. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1977. —
222 с.
Получено 14.03.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207585 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:40:38Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Исканаджиев, И.М. 2025-10-10T08:38:16Z 2013 О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина / Исканаджиев И.М. // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 33–39. — Бібліогр.: 19 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207585 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i2.40 Побудовано нові спрощені схеми для нижнього альтернованого інтеграла Понтрягіна. На основі цих схем доведено, що в лінійній диференціальній грі для початкових станів, до яких застосовується нижній альтернований інтеграл, існує стратегія переслідування, що гарантує точне закінчення переслідування і має кусково-сталу реалізацію. The simplified schemes for the lower Pontryagin alternating integral are constructed. Basing on these schemes, we prove that in a linear differential game, for initial states to which the lower alternating integral applies, there exists a pursuer strategy guaranteeing exact completion of pursuit and having a piecewise constant realization. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина Про нижній альтернований інтеграл Понтрягіна On the Lower Pontryagin Alternating Integral Article published earlier |
| spellingShingle | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина Исканаджиев, И.М. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина |
| title_alt | Про нижній альтернований інтеграл Понтрягіна On the Lower Pontryagin Alternating Integral |
| title_full | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина |
| title_fullStr | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина |
| title_full_unstemmed | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина |
| title_short | О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина |
| title_sort | о нижнем альтернированном интеграле понтрягина |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207585 |
| work_keys_str_mv | AT iskanadžievim onižnemalʹternirovannomintegralepontrâgina AT iskanadžievim pronižníialʹternovaniiíntegralpontrâgína AT iskanadžievim onthelowerpontryaginalternatingintegral |